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2019-2020学年天津市西青区高三(上)期末数学试卷

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2019-2020学年天津市西青区高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.将正确箸案填在下面的表格内，1．（5分）若集合{1A =-，0，1，2，3，5}，集合{2B =，3，4，5，6，7}，则集合A B I 等于( ) A ．{2}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{2，3，5，7}2．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan (C = ) A ．34B ．43 C ．43-D ．34-3．（5分）设a ，b R ∈，则“a b <”是“2()0a b a -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知22log 3log 3a =-，0.5log b π=， 1.10.9c -=，则( ) A ．c a b >>B ．a b c >>C ．a c b >>D ．b c a >>5．（5分）正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为j i a ，例如349a =，则464a 等于( )A ．2018B ．2019C ．2020D ．20216．（5分）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若22//l PF 且21l PF ⊥，则双曲线的离心率为( ) A 5B ．2C 3D 27．（5分）设函数()sin()3)(0f x x x ωϕωϕω=+++>，||)2πϕ<的图象与直线2y =的两个相邻的交点之间的距离为π，且()()0f x f x +-=，若()sin()g x x ωϕ=+，则( )A ．()g x 在(0,)2π上单调递增B ．()g x 在(0,)6π上单调递减C ．()g x 在(12π-，5)12π上单调递增D ．()g x 在(6π，)2π上单调递减 8．（5分）已知32||,03()1108,333log x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩…，a ，b ，c ，d 是互不相同的正数，且f （a ）f =（b ）f =（c ）f =（d ），则abcd 的取值范围是( ) A ．(18,28)B ．(18,25)C ．(20,25)D ．(21,24)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上. 9．（5分）已知i 为虚数单位，21z i=-，则||z = ． 10．（5分）在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在[25，30)的人数为 ．11．（5分）在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有 种．（用数字作答）12．（5分）已知四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，23AC =，若四面体P ABC -的体积为32，则该球的体积为 ．13．（5分）已知0ab >，3a b +=，则2221b a a b +++的最小值为 ． 14．（5分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，||||||1OB OC OD ===u u u r u u u r u u u r ，0OB OC OD ++=u u u r u u u r u u u r r ，(1,1)A ，则AD OB u u u r u u u rg的取值范围为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2a =，3c =，又知sin cos()6b A a B π=-．（Ⅰ）求角B 的大小、b 边的长： （Ⅱ）求sin(2)A B -的值．16．（13分）为弘扬中华优秀传统文化，某中学高三年级利用课余时间组织学生开展小型知识竞赛．比赛规则：每个参赛者回答A 、B 两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得1分，答错得0分，两组题目得分的和做为该选手的比赛成绩．小明估计答对A 组每道题的概率均为34，答对B 组每道题的概率均为23． （Ⅰ）按此估计求小明A 组题得分比B 组题得分多1分的概率；（Ⅱ）记小明在比赛中的得分为ξ，按此估计ξ的分布列和数学期望E ξ．17．（13分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b g 的前n 项和为(*)n T n N ∈．18．（13分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，平面ADE ⊥平面CDEF ，60ADE ∠=︒，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，4CF =，点G 是棱CF 上的动点．（Ⅰ）当3CG =时，求证//EG 平面ABF ； （Ⅱ）求直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角G AE D --，求线段CG 的长．19．（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(P -，43P 中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．20．（14分）已知函数()2h x ax lnx =-+．（1）当1a =时，求()h x 在(2，h （2）)处的切线方程； （2）令2()()2a f x x h x =+已知函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且1212x x >g ，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在02[1x ∈+，2]，使不等式20()(1)(1)(1)22f x ln a m a a ln ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围．2019-2020学年天津市西青区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.将正确箸案填在下面的表格内，1．（5分）若集合{1A =-，0，1，2，3，5}，集合{2B =，3，4，5，6，7}，则集合A B I 等于( ) A ．{2}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{2，3，5，7}【解答】解：{1A =-，0，1，2，3，5}，{2B =，3，4，5，6，7}， {2A B ∴=I ，3，5}．故选：C ．2．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，且222()S a b c =+-，则tan (C = ) A ．34B ．43 C ．43-D ．34-【解答】解：ABC ∆中，1sin 2ABC S ab C ∆=Q g ，由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，且222()S a b c =+-，222sin ()(2cos )ab C a b a b ab C ∴=+-+-， 整理得sin 2cos 2C C -=，2(sin 2cos )4C C ∴-=．∴22(sin 2cos )24sin cos C C C C-=+，化简可得23tan 4tan 0C C +=． (0,180)C ∈︒Q ，4tan 3C ∴=-，故选：C ．3．（5分）设a ，b R ∈，则“a b <”是“2()0a b a -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：若0a =，1b =，满足a b <，但2()0a b a -<不成立， 若“2()0a b a -<，则a b <且0a ≠，则a b <成立， 故“a b <”是“2()0a b a -<”的必要不充分条件，故选：B ．4．（5分）已知22log 3log 3a =-，0.5log b π=， 1.10.9c -=，则( ) A ．c a b >>B ．a b c >>C ．a c b >>D ．b c a >>【解答】解：2211log 3log 3(22a ==∈Q ，1)，0.5logb π=<， 1.10.91c -=>．c a b ∴>>．故选：A ．5．（5分）正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为j i a ，例如349a =，则464a 等于( )A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021【解答】解：根据题意，第1行第1列的数为1，此时111(11)112a ⨯-=+=， 第2行第1列的数为2，此时122(21)122a ⨯-=+=， 第3行第1列的数为4，此时133(31)142a ⨯-=+=， ⋯⋯据此分析可得：第64行第1列的数为16464(641)120172a ⨯-=+=，则4642020a =； 故选：C ．6．（5分）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若22//l PF 且21l PF ⊥，则双曲线的离心率为( ) A 5B ．2C 3D 2【解答】解：Q 双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，点P 在第一象限内且在1l 上， 1(,0)F c ∴-，2(,0)F c ，(,)P x y ，渐近线1l 的直线方程为b y x a =，渐近线2l 的直线方程为by x a=-， 22//l PF Q ，∴y bx c a=--，即ay bc bx =-， Q 点P 在1l 上，即ay bx =，bx bc bx ∴=-即2cx =， (P ∴2c，)2bc a ， 21l PF ⊥Q ，∴2()132bcba c a -=-g ，即223ab =， 因为222a bc +=， 所以224a c =，即2c a =， 所以离心率2ce a==． 故选：B ．7．（5分）设函数()sin())(0f x x x ωϕωϕω=+++>，||)2πϕ<的图象与直线2y =的两个相邻的交点之间的距离为π，且()()0f x f x +-=，若()sin()g x x ωϕ=+，则( ) A ．()g x 在(0,)2π上单调递增B ．()g x 在(0,)6π上单调递减C ．()g x 在(12π-，5)12π上单调递增D ．()g x 在(6π，)2π上单调递减 【解答】解：函数()sin())2sin()3f x x x x πωϕωϕωϕ=++=++．由于函数的图象与直线2y =的两个相邻的交点之间的距离为π， 所以T π=， 解得2ω=．由于()()0f x f x +-=，所以函数为奇函数． 所以()3k k Z πϕπ+=∈，由于||2πϕ<，所以当0k =时，3πϕ=-．所以()sin(2)3g x x π=-．令：222()232k x k k Z πππππ-+-+∈剟，解得：5()1212k x k k Z ππππ-++∈剟， 当0k =时，()g x 在(12π-，5)12π上单调递增． 故选：C ．8．（5分）已知32||,03()1108,333log x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩…，a ，b ，c ，d 是互不相同的正数，且f （a ）f =（b ）f =（c ）f =（d ），则abcd 的取值范围是( ) A ．(18,28)B ．(18,25)C ．(20,25)D ．(21,24)【解答】解：先画出32|,03()1108,333log x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩…的图象，如图：a Q ，b ，c ，d 互不相同，不妨设a b c d <<<．且f （a ）f =（b ）f =（c ）f =（d ），34c <<，6d >． 33log log a b ∴-=，10c d +=，即1ab =，10c d +=，故2(10)10abcd c c c c =-=-+，由图象可知：34c <<， 由二次函数的知识可知：2223103104104c c -+⨯<-+<-+⨯， 即2211224c c <-+<，abcd ∴的范围为(21,24)．故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在题中横线上.9．（5分）已知i为虚数单位，21zi=-，则||z=2．【解答】解：22(1)1 1(1)(1)iz ii i i+===+ --+Q，||2z∴=．故答案为：2．10．（5分）在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在[25，30)的人数为160．【解答】解：根据频率分布直方图中频率和等于1，得；年龄组为[25，30)的数据频率为1(0.010.070.060.02)50.2-+++⨯=，∴估计这800名志愿者年龄在[25，30)的人数为8000.2160⨯=．故答案为：160．11．（5分）在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有 60 种．（用数字作答）【解答】解：男医生中唯一的主任医师必须参加， 则从剩余5名男医生中选2名，从4名女医生中选2名，共有225410660C C =⨯=， 故答案为：6012．（5分）已知四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AC =，若四面体P ABC -的体积为32，则该球的体积为 ． 【解答】解：设该球的半径为R ，则2AB R =，22AC R =，AC ∴，由于AB 是球的直径，所以ABC ∆在大圆所在平面内且有AC BC ⊥， 在Rt ABC ∆中，由勾股定理，得： 2222BC AB AC R =-=，所以Rt ABC ∆面积212S BC AC =⨯⨯，又PO ⊥平面ABC ，且PO R =，四面体P ABC -的体积为32，21332P ABC V R R -∴=⨯=，39=，3R =，所以：球的体积34433V R ππ=⨯=⨯⨯球．故答案为：13．（5分）已知0ab >，3a b +=，则2221b a a b +++的最小值为 32．【解答】解：0ab >Q ，3a b +=，216a b ∴+++=． 则2222222222211(1)(2)113[(2)(1)]()[][2]()21621621662b a b a b b a a a b a b a b ab a b a b a b a b +++=+++++++++=+=++++++厖，当且仅当(1)(2)b b a a +=+，3a b +=，即53b =，43a =时取等号．故答案为：32． 14．（5分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，||||||1OB OC OD ===u u u r u u u r u u u r ，0OB OC OD ++=u u u r u u u r u u u r r ，(1,1)A ，则AD OB u u u r u u u r g的取值范围为 1[2-12． 【解答】解：由||||||1OB OC OD ===u u u r u u u r u u u r，可知O 为外心， 又0OB OC OD ++=u u u r u u u r u u u r r，可知O 又为重心．则有BCD ∆为圆22:1O x y +=的内接等边三角形， 即有()||||cos120||||cos ,AD OB OD OA OB OD OB OA OB OD OB OA OB OA OB =-=-=︒-<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g g1,2OA OB =-<>u u u r u u u r ，由于0OA <u u u r …，OB π>u u u r …，则1cos OA -<u u u r …，1OB >u u u r…，即有1[2AD OB ∈-u u u r u u u r g 12-+．故答案为：1[2-12-+．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2a =，3c =，又知sin cos()6b A a B π=-．（Ⅰ）求角B 的大小、b 边的长： （Ⅱ）求sin(2)A B -的值．【解答】解：（Ⅰ）sin cos()6b A a B π=-Q ．1sin sin )2b A a B B ∴=-，∴由正弦定理可得1sin sin sin sin )2B A A B B =-， sin 0A ≠Q ，1sin sin sin sin )2B A A B B ∴=-，可得sin()03B π-=， (0,)B π∈Q ，(33B ππ-∈-，2)3π，03B π∴-=，可得3B π=．2a =Q ，3c =，∴由余弦定理可得b ===（Ⅱ）3B π=Q ，2a =，b =．∴由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin a B A b ==g ，cos A =，sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=，11sin(2)sin 2cos cos2sin 27A B A B A B ∴-=-=-=16．（13分）为弘扬中华优秀传统文化，某中学高三年级利用课余时间组织学生开展小型知识竞赛．比赛规则：每个参赛者回答A 、B 两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得1分，答错得0分，两组题目得分的和做为该选手的比赛成绩．小明估计答对A 组每道题的概率均为34，答对B 组每道题的概率均为23． （Ⅰ）按此估计求小明A 组题得分比B 组题得分多1分的概率；（Ⅱ）记小明在比赛中的得分为ξ，按此估计ξ的分布列和数学期望E ξ．【解答】解：（Ⅰ）设小明A 组题得1分，B 组题得0分为事件M ，A 组题得2分，B 组题得1分为事件N ，则小明A 组题得分比B 组题得分多1分的概率： ()()()P M N P M P N =+U121222332223()(1)(1)()(1)()443334C C =--+-724=． （Ⅱ）由题意小明在比赛中的得分ξ的可能取值为0，1，2，3，4（单位：分）则22321(0)(1)(1)43144P ξ==--=，1212223322235(1)()(1)(1)()(1)(1)44333472P C C ξ==--+--=， 222211223232223337(2)()(1)(1)()()(1)()(1)43433344144P C C ξ==-+-+--=， 2112223223325(3)()()(1)()(1)()43344312P C C ξ==-+-=， 22321(4)()()434P ξ===，ξ∴的分布列为：1537511701234144721441246E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 17．（13分）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为*()n S n N ∈，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b g 的前n 项和为(*)n T n N ∈．【解答】解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则0q >． 故2(1)12q q +=，解得2q =，由题意，得11132811101111162a d a a d +-=⎧⎪⎨⨯+=⨯⎪⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩． 13(1)32n a n n ∴=+-=-；1222n n n b -==g ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(32)2n n n a b n =-gg ． 211221242(32)2n n n n T a b a b a b n ∴=++⋯+=++⋯+-g g g ，① 23121242(35)2(32)2n n n T n n +=++⋯+-+-g g g g ，② ①-②，得23112323232(32)2n n n T n +-=+++⋯+--g g g g g 21212(122)(32)2n n n -+=+++⋯+--g g1112212(32)212n n n -+-=+---g g1(31)210n n +=+-g ． 110(31)2n n T n +∴=-+g ．18．（13分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，平面ADE ⊥平面CDEF ，60ADE ∠=︒，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，4CF =，点G 是棱CF 上的动点．（Ⅰ）当3CG =时，求证//EG 平面ABF ； （Ⅱ）求直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角G AE D --所成角的余弦值为22，求线段CG 的长．【解答】（Ⅰ）证明：由已知得//CG DE 且CG DE =， 故四边形CDEG 为平行四边形，//CD EG ∴， Q 四边形ABCD 为平行四边形，//CD AB ∴，//AB EG ∴，又EG ⊂/平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，//EG ∴平面ABF ．（Ⅱ）过点A 作AO DE ⊥交DE 于点O ，过点O 作//OK CD 交CF 于点K 由（1）知平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE ⋂平面CDEF DE =，AO ⊂平面ADE ，AO ∴⊥平面CDEF ， CD DE ⊥Q ，OK DE ∴⊥，以O 为原点建立如图的空间直角坐标系，则(0D ，1-，0)，(0E ，2，0)，(3C ，1-，0)，(3F ，3，0)，3)A ，(0D ，1-，0)，∴(3,0,0)DC =u u u r ，(0,1,3)DA =u u u r ，(3,2,3)BE =--u u u r，设平面ABCD 的法向量为(,,)m x y z =r ，则00m DC m DA ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，即030x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令1z =-，则3y =，(0,3,1)m =-r，∴33cos ,||||m BE m BE m BE <>==u u u r r u u u r g ru u u r r g ，∴直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值为33， （Ⅲ）(0,4,0)(01)(3CG CF G λλλ==∴u u u r u u u r剟，41λ-，0)． ∴(0,2,3)AE =-u u u r ，(3,43,0)EG λ=-u u u r，设平面AEG 的法向量为(,,)p x y z =r ，则00p AE p EG ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，即2303(43)0y z x y λ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩， 令3y =，则23z =，34x λ=-，∴(34,3,23)p λ=-r，平面AED 的法向量为(1,0,0)q =r，2||22|cos ,|||||(43)21p q p q p q λ<>===-+r r g r r r r g ， 解得214(43)3λ-=，∴4243λ=±，42||||43CG CF λλ∴===±，||4CG Q …，∴42||33CG =-．19．（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(P -，43P 中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，3(P -，4P 两点必在椭圆C 上，又4P 的横坐标为1，∴椭圆必不过1(1,1)P ， 2(0,1)P ∴，3(P -，4P 三点在椭圆C 上．把2(0,1)P，3(P -代入椭圆C ，得： 222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b =， ∴椭圆C 的方程为2214x y +=．证明：（2）①当斜率不存在时，设:l x m =，(,)A A m y ，(,)A B m y -， Q 直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，∴221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==-， 解得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设:l y kx t =+，(1)t ≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立22440y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩，整理，得222(14)8440k x ktx t +++-=， 122814ktx x k -+=+，21224414t x x k -=+， 则2212212121121211()()P A P B y y x kx t x x kx t x k k x x x x --+-++-+=+= 2222288888(1)141444(1)(1)14kt k kt kt k t k t t t k --+-+===--+-+，又1t ≠， 21t k ∴=--，此时△64k =-，存在k ，使得△0>成立，∴直线l 的方程为21y kx k =--，当2x =时，1y =-，l ∴过定点(2,1)-．20．（14分）已知函数()2h x ax lnx =-+．（1）当1a =时，求()h x 在(2，h （2）)处的切线方程； （2）令2()()2a f x x h x =+已知函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且1212x x >g ，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在0[1x ∈+，2]，使不等式20()(1)(1)(1)22f x ln a m a a ln ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =时，()2h x x lnx =-+，1()2h x x'=-+， 2x =时，h '（2）32=-，h （2）42ln =-+，()h x ∴在(2，h （2）)处的切线方程为342(2)2y ln x +-=--，化简得：322220x y ln +-+=；（2）对函数求导可得，221()(0)ax ax f x x x-+'=>，令()0f x '=可得2210ax ax -+=∴20440112a a a a ⎧⎪≠⎪->⎨⎪⎪>⎩，解得a 的取值范围为(1,2)． ⋯（6分） （3）由2210ax ax -+=，解得11x =，21x =，而()f x 在1(0,)x 上递增，在1(x ，2)x 上递减，在2(x ，)+∞上递增12a <<Q ，211x ∴=++，()f x ∴在[1+，2]单调递增 ∴在[1，2]上，()max f x f =（2）22a ln =-+．0[1x ∴∃∈+，2]，使不等式20()(1)(1)(1)22f x ln a m a a ln ++>--++对a M ∀∈恒成立， 等价于不等式222(1)(1)(1)22a ln ln a m a a ln -+++>--++恒成立即不等式2(1)210ln a ma a m ln +--+-+>对任意的(12)a a <<恒成立．令g （a ）2(1)21ln a ma a m ln =+--+-+，则g （1）0=，g '（a ）12(1)21ma a m a -++=+，①当0m …时，g '（a ）0<，g （a ）在(1,2)上递减．g （a ）g <（1）0=，不合题意．②当0m <时，g '（a ）12(1)21ma a m a -++=+，12a <<Q若1(1)12m -+>，即104m -<<时，则g （a ）在(1,2)上先递减， g Q （1）0=，12a ∴<<时，g （a ）0>不能恒成立；若1(1)12m -+…，即14m -…时，则g （a ）在(1,2)上单调递增， g ∴（a ）g >（1）0=恒成立，m ∴的取值范围为(-∞，1]4-．。

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天津市六校联考19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)

天津市六校联考19-20学年高三上学期期末数学试卷 (有解析)

天津市六校联考19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知集合P ={x|x −1≤0}，Q ={x|0<x ≤2}，则(∁R P)∩Q =( )A. (0,1)B. (0.2]C. [1,2]D. (1,2]2. “x <0”是“ln(x +1)<0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 过点A(3,5)作圆O ：x 2+y 2−2x −4y +1=0的切线，则切线的方程为( )A. 5x +12y +45=0或x −3=0B. 5x −12y +45=0C. 5x +12y +45=0D. 5x −12y +45=0或x −3=04. 已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1⋅a 5⋅a 9=−8，b 2+b 5+b 8=6π，则cos b 4+b 61−a3⋅a 7的值是( )A. 12B. √32C. −12D. −√325. 已知a =log 23，b =log 46，c =log 1217，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >b >aD. c >a >b6. 已知函数f (x )=√3sin2x −cos2x +1，下列结论中错误的是A. f(x)在(5π12,1112π)上单调递减 B. f(x)的图像关于(π12,1)中心对称 C. f(x)的图像关于直线x =π3对称D. f(x)的最大值为37. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =x 2+2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A. [3,+∞)B. (3,+∞)C. (1,3]D. (1,3)8. 已知函数f(x)(x ∈R)满足f(1)=1，且f(x)的导函数f′(x)<12，则不等式f(x 2)<x 22+12的解集为( )A. (−12,12) B. (−∞,−1)∪(1,+∞) C. (−1,1)D. (−∞,−12)∪(12,+∞)9. 在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =6，点D 在边AC 上，且2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( ) A. 48 B. 24 C. 12 D. 6二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. 复数z 满足1+z1−z =i ，则|z|=______．11. 曲线f(x)=xsin x 在点(π2,π2)处的切线方程是______ ． 12. 在(1−2x)6的展开式中，x 2的系数为__________.(用数字作答)13. 已知底面是正六边形的六棱锥P −ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为√3，则球O 的表面积为______． 14. 已知x ，y 是正数，1x +2y =1，则2x+yxy+1的最小值为______． 15. 已知函数f(x)={xsinx,0<x <π√x,x ≥π，g(x)=f(x)−kx(k ∈R)①当k =1时，函数g(x)有______个零点；②若函数g(x)有三个零点，则k 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知asinA =4bsinB ，ac =√5(a 2−b 2−c 2)．(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B −A)的值．17. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 的交点为O ，PO ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BC 的中点，AB =2，PO =√3，∠BAD =60°． (Ⅰ)求证：直线EF//平面PDC ；(Ⅱ)求二面角C−PA−D的余弦值；(Ⅲ)已知点M在棱BC上，且直线ME与平面PAD所成角的正弦值为2√55，求线段BM的长．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，且AB=2，离心率为√32，O为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设P，Q是椭圆C上的两个动点(不与A，B重合)，且关于y轴对称，M，N分别是OP，BP 的中点，直线AM与椭圆C的另一个交点为D.求证：D，N，Q三点共线．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2log2a n−11，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的最小值及取得最小值时n的值．20.已知函数f(x)=lnx−ax2+1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a=0，xf(x)>k(x−1)在(1,+∞)上恒成立，求整数k的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查集合的运算：交集和补集，考查运算能力，属于基础题．求得P的补集，再由交集的定义，即可得到所求集合．解：集合P={x|x−1≤0}={x|x≤1}，∁R P={x|x>1}，Q={x|0<x≤2}，则(∁R P)∩Q={x|1<x≤2}．故选D．2.答案：B解析：本题考查充分条件和必要条件的判断，熟悉不等式的性质是解决本题的关键，属于基础题．根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解：，由x<0⇏−1<x<0，由−1<x<0⇒x<0，∴“x<0”是“”的必要不充分条件．故选B．3.答案：D解析：本题主要考查圆的切线方程先求出圆心为(1,2)，半径为2.再对直线的斜率分类讨论，利用直线和圆相切求出直线的方程得解．解：x2+y2−2x−4y+1=0⇒(x−1)2+(y−2)2=4圆心(1,2)，半径2因32+52−2×3−4×5+1=9>0故点A(3,5)在圆O:x2+y2−2x−4y+1=0外所以，切线有且只有两条当切线斜率存在时，设切线方程为y−5=k(x−3)故−2k+3√k2+1=2解得：k=512故一条切线为y−5=512(x−3)，即5x−12y+45=0斜率不存在的直线x=3，也是圆的切线综上所述，答案：5x−12y+45=0或x=3故选D．4.答案：C解析：本题主要考查等差数列，等比数列的性质，以及利用诱导公式化简求值，是基础题．求出a5，b5的值，则的值可求．解：根据题意得，a53=−8，，解得，所以．故选C．5.答案：D解析：解：∵a=log23，b=log46=12log26=log2√6，c=log 1217=log27，根据对数的y=log2x为增函数，∴log2√6<log23<log27，即c>a>b故选：D．利用对数性质，化为同底数的对数，再根据对数的y=log2x为增函数，故可判断．本题考查对数的大小的比较，解题时要注意对数性质的灵活运用，是基础题．6.答案：A解析：本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的性质是解决本题的关键．利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性，最值性，对称性的性质分别进行判断即可．解：变形可得f(x)=√3sin2x−cos2x+1=2sin(2x−π6)+1，A.由2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2，k∈Z，得kπ+π3≤x≤kπ+5π6，k∈Z，当k=0时，函数的递减区间是[π3,5π6]，故A错误，B.当x=π12时，sin(2x−π6)=0，则f(x)的图象关于(π12,1)中心对称，故B正确，C.当x=π3时，2x−π6=2×π3−π6=π2，则f(x)的图象关于x=π3对称，故C正确，D.当2sin(2x−π6)=1时，函数取得最大值为2+1=3，故D正确．故选A．7.答案：A解析：解：依题意可知双曲线渐近线方程为y=±ba x，与抛物线方程联立消去y得x2±bax+2=0∵渐近线与抛物线有交点∴△=b2a2−8≥0，求得b2≥8a2，∴c=√a2+b2≥3a∴e=ca≥3．则双曲线的离心率e的取值范围：e≥3．故选A．先根据双曲线方程表示出渐近线方程与抛物线方程联立，利用判别式等于0求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线的离心率可得．本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线之间位置关系．常需要把曲线方程联立根据判别式和曲线交点之间的关系来解决问题．8.答案：B解析：解：设F(x)=f(x)−12x ，则F′(x)=f′(x)−12， ∵f′(x)<12，∴F′(x)=f′(x)−12<0，即函数F(x)在R 上单调递减 而f(x 2)<x 22+12，即f(x 2)−x 22<f(1)−12，∴F(x 2)<F(1)而函数F(x)在R 上单调递减， ∴x 2>1即x ∈(−∞,−1)∪(1,+∞)， 故选：B ．设F(x)=f(x)−12x ，根据题意可得函数F(x)在R 上单调递减，然后根据f(x 2)<x 22+12可得f(x 2)−x 22<f(1)−12，最后根据单调性可求出x 的取值范围．本题主要考查了导数的运算，以及利用单调性解不等式和构造法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．9.答案：B解析：本题考查了平面向量的化简与运算，同时考查了学生的转化能力． 由平面向量的线性运算化简即可得出答案． 解：∵2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅[BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又∵∠ABC =90°，AB =6，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =36，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 故BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×36=24． 故选B ．10.答案：1解析：解：∵1+z1−z =i ， ∴z =−1+i 1+i=(−1+i)(1−i)(1+i)(1−i)=2i 2=i ．则|z|=1． 故答案为：1．直接由1+z1−z =i 利用复数代数形式的乘除运算求出z ，则z 的模可求． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．11.答案：x −y =0解析：本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题． 求导函数，求出切线的斜率，再求出切点的坐标，可得切线方程． 解：∵f(x)=xsinx ， ∴f′(x)=sinx +xcosx ， ∴f′(π2)=1， ∵f(π2)=π2，∴曲线f(x)=xsin x 在点(π2,π2)处的切线方程是y −π2=x −π2，即x −y =0． 故答案为x −y =0．12.答案：60解析：由二项式定理得含x 2的项为C 62(−2x)2=60x 2．13.答案：25π4解析：本题考查的知识点是球的体积和表面积，求出球的半径是解答的关键． 解：当六棱锥P −ABCDEF 为正六棱锥时，体积最大， 由于底面正六边形的边长为1， 故底面外接圆半径r =1， 底面面积S =6×√34×12=3√32， 设高为h ，则V =13Sℎ=13×3√32×ℎ=√3，解得：ℎ=2，设此时外接球半径为R ，则球心到底面的距离d =|ℎ−R|=|2−R|， 由R 2=d 2+r 2 得：R 2=(2−R)2+1， 解得：R =54，故球O 的表面积为4πR 2=25π4，故答案为25π4．14.答案：解析：首先把关系式进行转换，进一步利用基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 解：已知x ，y 是正数，1x +2y =1， 所以2x +y =xy ， 则：2x+yxy+1=1−12x+y+1，因为2x +y =(2x +y)×1=(2x +y)⋅(1x+2y)=2+4x y+y x+2≥4+2√4x y⋅yx=8，(当且仅当y =2x 时等号成立)． 所以(2x +y)min =8． 故(2x +y +1)min =9， 则(12x+y+1)max =19，进一步求出(−12x+y+1)min =−19， 所以：(1−12x+y+1)min =1−19=89． 故答案为89．15.答案：1；(0,√ππ]解析：解：①当k =1时，g(x)=0，即f(x)=x ， 由0<x <π，xsinx =x ，即为sinx =1，解得x =π2； x ≥π，√x =x ，解得x =0或1舍去， 则g(x)的零点个数为1； ②若函数g(x)有三个零点，当x ≥π，√x =kx ，(k >0)，最多一解， 即有x =1k 2≥π， 解得0<k ≤√ππ；又0<x <π时，xsinx =kx ， 即为sinx =k 有两解， 则k >0且k ≠1． 综上可得0<k ≤√ππ．故答案为：1，(0,√ππ].①当k =1时，f(x)=x ，由0<x <π，结合正弦函数的图象和性质，解方程可得；x ≥π时，解方程可得零点个数；②若函数g(x)有三个零点，当x ≥π时，最多一个零点；又0<x <π时，有两个，可得k 的范围．本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．16.答案：解：(1)由ac =√5(a 2−b 2−c 2)，得b 2+c 2−a 2=−√55ac ， 由余弦定理，得cosA =b 2+c 2−a 22bc=−√55ac ac=−√55； (2)由asinA =bsinB ，得asinB =bsinA ， 又asinA =4bsinB ，得4bsinB =asinA ， 两式作比得：a4b =ba ， ∴a =2b ．，又asinA =4bsinB ， 得sinB =asinA 4b=√55． 由(1)知，A 为钝角，则B 为锐角， ∴cosB =√1−sin 2B =2√55． 于是sin2B =2sinBcosB =45，cos2B =1−2sin 2B =35， 故sin(2B −A)=sin2BcosA −cos2BsinA =45×(−√55)−35×2√55=−2√55．解析：本题考查三角形的解法，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题． (1)由ac =√5(a 2−b 2−c 2)，得b 2+c 2−a 2=−√55ac ，代入余弦定理的推论可求cos A 的值；(2)由正弦定理得asinB =bsinA ，结合asinA =4bsinB ，得a =2b.由(1)可得sinA =2√55，代入asinA =4bsinB ，得sin B ，进一步求得cosB.利用倍角公式求sin2B ，cos2B ，展开两角差的正弦可得sin(2B −A)的值．17.答案：证明：(Ⅰ)取PD 的中点G ，连接FG 、CG ，∵FG 是△PAD 的中位线， ∴FG//12AD 且FG =12AD ，在菱形ABCD 中，AD//BC 且AD =BC ，又E 为BC 的中点，∴CE//FG 且CE =FG∴四边形EFGC 是平行四边形， ∴EF//CG ，又EF ⊄面PCD ，CG ⊂面PCD ， ∴EF//面PCD ．解：(Ⅱ)以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，∵底面ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 的交点为O ， PO ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BC 的中点，AB =2，PO =√3，∠BAD =60°． ∴C(−√3,0，0)，A(√3,0，0)，P(0,0，√3)，D(0,−1,0)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,−√3)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,−√3)， 设平面PAD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −√3z =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y −√3z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,1)，平面PAC 的法向量m⃗⃗⃗ =(0,1，0)， 设二面角C −PA −D 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√5=√155． ∴二面角C −PA −D 的余弦值为√155．(Ⅲ)∵点M 在棱BC 上，设BM =a ，a ∈[0,1]，∴M(−√3a 2,1−a2,0)，∵E(√32,0，√32)，∴EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32a −√32,1−a 2,−√32)，平面PAD 的法向量n ⃗ =(1,−√3,1)，∵直线ME 与平面PAD 所成角的正弦值为2√55，∴|EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3|√5⋅√a 2+2a+2=2√55，解得a =12． ∴线段BM 的长为12．解析：(Ⅰ)取PD的中点G，连接FG、CG，由FG是△PAD的中位线，可得FG//12且FG=12；由公理4可得CE//FG且CE=FG，可得四边形EFGC是平行四边形，从而有EF//CG，进而由线面平行的判定得到结论．(Ⅱ)以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C−PA−D的余弦值．(Ⅲ)由直线ME与平面PAD所成角的正弦值为2√55，利用向量法能求出线段BM的长．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18.答案：解：(Ⅰ)因为椭圆的焦点在x轴上，AB=2，离心率e=√32，所以b=1，ca =√32.所以由a2=b2+c2，得a2=4．所以椭圆C的标准方程是x24+y2=1．(Ⅱ)设点P的坐标为(x0,y0)，所以Q的坐标为(−x0,y0).因为M，N分别是OP，BP的中点，A(0,1)，B(0,−1)，所以M点的坐标为(x02 ,y02)，N点的坐标为(x02,y0−12)．所以直线AD的方程为y=y0−2x0x+1．代入椭圆方程x24+y2=1中，整理得[x02+4(y0−2)2]x2+8x0(y0−2)x=0．所以x=0，或x=8x0(2−y0)x02+4(y0−2)2=2x0(2−y0)5−4y0．所以y=y0−2x0⋅2x0(2−y0)5−4y0+1=−2y02+4y0−35−4y0．所以D的坐标为(2x0(2−y0)5−4y0,−2y02+4y0−35−4y0)．所以k QN=y0−12−y0x02+x0=−y0+13x0．又k QD=−2y02+4y0−35−4y0−y0 2x0(2−y0)5−4y0+x0=(y0+1)(2y0−3)3x0(3−2y0)=−y0+13x0=k QN．所以D，N，Q三点共线．解析：(Ⅰ)通过椭圆的焦点在x轴上，AB=2，离心率e=√32，求出a，b，然后求解椭圆方程．(Ⅱ)设点P的坐标为(x0,y0)，所以Q的坐标为(−x0,y0).求出M点的坐标为(x02 ,y02)，N点的坐标为(x0 2,y0−12)，得到直线AD的方程，代入椭圆方程．求出D的坐标然后根据斜率相等证明D，N，Q三点共线．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．19.答案：解：(1)数列{a n}满足S n=2a n−2，①当n=1时，有S1=2a1−2=a1，变形可得a1=2，当n≥2时，有S n−1=2a n−1−2，②，①−②可得：a n=2a n−2a n−1，变形可得：a n=2a n−1，则数列{an}是以a1=2为首项，公比为2的等比数列，故a n=2n，(2)根据题意，b n=2log2a n−11=2log22n−11=2n−11，当n=1时，b1=2−11=−9，数列{b n}为等差数列，且首项b1=−9，公差d=2；则T n=n×(b1+b2)2=n(−9+2n−11)2=n2−10n，则当n=5时，T n取得最小值，且其最小值为−25．解析：(1)根据题意，由S n=2a n−2，令n=1可得a1的值，进而可得n≥2时，有S n−1=2a n−1−2，两式联立分析可得a n=2a n−1，则数列{an}是以a1=2为首项，公比为2的等比数列，据此分析可得答案；(2)根据题意，b n=2log2a n−11=2log22n−11=2n−11，即可得{b n}为等差数列，结合等差数列的前n项和公式分析可得T n，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查数列的递推公式，涉及数列的前n项和的性质，关键是求出数列{a n}的通项公式．20.答案：解：(1)f′(x)=1x −2ax=1−2ax2x(x>0)，当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(0,+∞)上为增函数，当a>0时，由f′(x)>0，得0<x<√12a ，则f(x)在(0,√12a)上为增函数；由f′(x)<0，得x>√12a ，则f(x)在(√12a,+∞)上为减函数．综上，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上为增函数；当a>0时，f(x)在(0,√12a )上为增函数，在(√12a,+∞)上为减函数．(2)由题意，x(lnx+1)>k(x−1)恒成立，即k<x(lnx+1)x−1(x>1)，设g(x)=x(lnx+1)x−1(x>1)，则g′(x)=x−lnx−2(x−1)，令ℎ(x)=x−lnx−2(x>1)，则ℎ′(x)=1−1x>0，所以，ℎ(x)在(1,+∞)上为增函数，由ℎ(2)=−ln2<0，ℎ(3)=1−ln3=ln e3<0，ℎ(4)=2−ln4=ln e24>0，故ℎ(x)在(1,+∞)上有唯一实数根m∈(3,4)，使得m−lnm−2=0，则当x∈(1,m)时，ℎ(x)<0；当x∈(m,+∞)时，ℎ(x)>0，即g(x)在(1,m)上为减函数，(m,+∞)上为增函数，所以g(x)在x=m处取得极小值，为g(m)=m(lnm+1)m−1=m，∴k<m，由3<m<4，得整数k的最大值为3．解析：(1)求出函数的导数，通过a与0的大小比较，讨论导函数的符号，判断函数的单调性即可．(2)利用函数恒成立，推出k的不等式，通过构造法得到新函数，利用函数的导数求出函数的单调性，得到函数的极值，然后求解k的最大值．本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，单调区间的求法，构造法的应用，是难题．。

2019-2020年高三上学期期末考试数学理(2021年整理)

2019-2020年高三上学期期末考试数学理(2021年整理)

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2019—2020年高三上学期期末考试数学理xx 。

1一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

“”是“直线和直线互相垂直”的A.充分不必要条件B 。

必要不充分条件 C.充要条件D 。

既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】当时，直线为，此时两直线不垂直,所以，所以的斜率为,若直线垂直，则有，即，所以“”是“直线和直线互相垂直"的充要条件 ，选C 。

2。

如图，若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为A. B. C. D 。

1 【答案】A【解析】由三视图可知,该几何体是四棱锥，底面为边长为1的正方形，高为1的四棱锥，所以体积为，选A.3.设0.533,log 2,cos 2a b c ===，则A.B 。

C. D 。

【答案】A【解析】,,，，,所以，选A 。

4.设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-=,若，则等于A. B 。

C. D.3【答案】B【解析】因为，所以,即。

所以tan 1211tan()41tan 123πααα---===++，选B. 5。

已知集合，集合，则如图所示的韦恩图中阴影部分所表示的集合为A.B.C. D. 【答案】C【解析】{}222{20}{02}M x y x x x x x x x ==-=-≥=≤≤，{}3,0{1}x N y y x y y ==>=>，则阴影部分为{}x x M N x M N ∈∉且，，所以,即阴影部分为{}{012}x x MN x M N x x x ∈∉=≤≤>且或，即，选C 。

2021-2022学年天津市西青区高三(上)期末数学试卷及答案

2021-2022学年天津市西青区高三(上)期末数学试卷及答案

2021-2022学年天津市西青区高三（上）期末数学试卷一、单选题（共45分）1．（5分）已知全集{2U =，3，5，7，11，13，17，19}，集合{2A =，7，11}，集合{5B =，11，13}，则()(U A B = )A ．{5}B ．{13}C ．{5，13}D ．{11，13}2．（5分）设a R ∈，则“1a =”是“直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）函数22sin ()1x x x f x x -=+在[2π-，]2π的图象大致为( ) A ．B ．C ．D ．4．（5分）在黄陵中学举行的数学知识竞赛中，将高二两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．这两个班参赛的学生人数是( )A ．80B ．90C ．100D ．1205．（5分）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的表面积为( )A ．153πB ．160πC ．169πD ．360π6．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程32y x =，且过点3(5,)2，则双曲线的方程为( )A ．22149x y -=B ．22194x y -=C ．2214x y -=D ．2214y x -=7．（5分）在[5-，5]上随机取一根实数m ，能使函数2()22f x x mx =++在R 上有零点的概率为( ) A ．25 B ．35C ．15D ．3108．（5分）将函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移6π个单位后，得到sin(2)6y x π=-的图象，则函数()f x 的单调增区间为( ) A ．[,],36k k k z ππππ-+∈B ．[,],63k k k z ππππ-+∈C ．[,],44k k k z ππππ-+∈ D ．2[,],63k k k z ππππ++∈ 9．（5分）定义在R 上的函数1(12),(,1]()2,(1,)a a x x f x alog x x ⎧-+∈-∞⎪=⎨⎪∈+∞⎩（其中0a >，且1)a ≠，对于任意12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．3[4，1)B ．1(2，3]4C ．1(2，3)4D ．1(2，1)二、填空题（共30分）10．（5分）设32iz i+=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于 ． 11．（5分）241(1)x x+-的展开式中常数项是 ． 12．（5分）若集合{0A =，1，2，3}，2{|1B y y x ==-，}x A ∈，则集合B 的所有子集的个数是 ．13．（5分）已知直线L 经过点(4,3)P --，且被圆22(1)(2)25x y +++=截得的弦长为8，则直线L 的方程是 ．14．（5分）已知函数221()||1f x x a x a x =-+++有且只有一个零点，若方程()f x k =无解，则实数k 的取值范围为 ．15．（5分）在等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，点P 在三角形内，满足，则APB ∠= ．三、解答题（共75分）16．（14分）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222(32)cos b c b A a b c -=+-．（1）求cos A 的值； （2）求cos(2)3A π+的值．17．（15分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ∠=∠=︒，F 为PA 中点，2PD =，112AB AD CD ===，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．（1）求平面ABC 与平面PBC 所成角的大小；（2）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，请求出FQ 的长；若不存在，请说明理由．18．（15分）已知{}n a 是等差数列，且348a a +=，244a a +=；数列{}n b 满足：121n n n b a a ++=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若1120n S n >+，求n 的最大值． 19．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦点为2F 的抛物线2:4D y x =的准线被椭圆C． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点1F ，2F 到直线:l y mx n =+的距离之积为1，求证：直线l 与椭圆C 相切． 20．（16分）已知()x f x xe =． （1）证明：()1f x lnx x ++；（2）若1x 时，()(1)f x e a lnx x -+-恒成立，求实数a 的取值范围．2021-2022学年天津市西青区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（共45分）1．（5分）已知全集{2U =，3，5，7，11，13，17，19}，集合{2A =，7，11}，集合{5B =，11，13}，则()(U A B = )A ．{5}B ．{13}C ．{5，13}D ．{11，13}【解答】解：{2U =，3，5，7，11，13，17，19}，{2A =，7，11}，{5B =，11，13}， {3U A ∴=，5，13，17，19}，(){5U A B =，13}．故选：C ．2．（5分）设a R ∈，则“1a =”是“直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：直线10ax y a +++=与直线0x ay a ++=平行，∴直线斜率都存在且相等，∴1a a-=-，解得：1a =±，∴ “1a =”是“1a =± “的充分不必要条件，故选：A ．3．（5分）函数22sin ()1x x x f x x -=+在[2π-，]2π的图象大致为( ) A ．B ．C ．D ．【解答】解：2222sin()sin ()()11x x x x x xf x f x x x ----+-===-++，∴函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除AB ；又2224()0214f ππππ-=<+，故排除C ． 故选：D ．4．（5分）在黄陵中学举行的数学知识竞赛中，将高二两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40．这两个班参赛的学生人数是( )A ．80B ．90C ．100D ．120【解答】解：由由频率分布直方图的面积和为1，已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05， 所以第二小组的频率为1(0.30.150.10.05)0.4-+++=， 因为第二小组的频数是40， 所以这两个班参赛的学生人数是401000.4=（人)． 故选：C ．5．（5分）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的表面积为( )A ．153πB ．160πC ．169πD ．360π【解答】解：由题意，三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 为直角三角形，把直三棱柱111ABC A B C -补成四棱柱， 则四棱柱的体对角线是其外接球的直径， 所以外接球半径为222113341222++=， 则三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积是24169R ππ=． 故选：C ．6．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程32y x =，且过点3(5,)2，则双曲线的方程为( )A ．22149x y -= B ．22194x y -= C ．2214x y -=D ．2214y x -=【解答】解：由题意，得22325914b a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩．∴双曲线的方程为22149x y -=．故选：A ．7．（5分）在[5-，5]上随机取一根实数m ，能使函数2()22f x x mx =++在R 上有零点的概率为( ) A ．25 B ．35C ．15D ．310【解答】解：若函数2()22f x x mx =++在R 上有零点， 则△2280m =-，解得2m 或2m -，即在[5-，5]上使函数有零点的范围为[5-，2[2-，5]，由几何概型可得函数()y f x =有零点的概率(52)[(2)(5)]35(5)5P -+---==--．故选：B ．8．（5分）将函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移6π个单位后，得到sin(2)6y x π=-的图象，则函数()f x 的单调增区间为( ) A ．[,],36k k k z ππππ-+∈B ．[,],63k k k z ππππ-+∈C ．[,],44k k k z ππππ-+∈ D ．2[,],63k k k z ππππ++∈ 【解答】解：函数()sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象向右平移6π个单位后，得到：sin[2()]sin(2)sin(2)636y x x x πππϕϕ=-+=-+=-，所以：6πϕ=．所以：()sin(2)6f x x π=+． 令：222()262k x k k Z πππππ-+++∈，解得：()36k x k k Z ππππ-++∈，所以：函数的单调递增区间为：[,]()36k k k Z ππππ-++∈， 故选：A ．9．（5分）定义在R 上的函数1(12),(,1]()2,(1,)a a x x f x alog x x ⎧-+∈-∞⎪=⎨⎪∈+∞⎩（其中0a >，且1)a ≠，对于任意12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是( )A ．3[4，1)B ．1(2，3]4C ．1(2，3)4D ．1(2，1)【解答】解：任意12x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-成立，即为()f x 在R 上递减．当(x ∈-∞，1]时，1()(12)2f x a x =-+递减， 可得120a -<，解得12a >； 当(1,)x ∈+∞时，()log a f x a x =递减， 可得01a <<；由R 上递减，可得112log 102a a a -+=， 解得34a． 综上可得，1324a<． 故选：B ．二、填空题（共30分） 10．（5分）设32iz i+=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于 3- ． 【解答】解：32(32)32i i i z i i i i+-+===-+-，则z 的虚部为3-． 故答案为：3-． 11．（5分）241(1)x x+-的展开式中常数项是 11- ． 【解答】解：241(1)x x +-的展开式的通项公式为24141()(1)rr r r T C x x-+=+⋅-，0r =，1，2，3，4．对于241()r x x -+，它的通项公式为82314k r kk r T C x--+-=⋅，0k =，1，2，4r ⋯-． 令8230r k --=，可得1r =，2k =；或4r =，0k =．故展开式中常数项为1243111C C -+=-， 故答案为：11-．12．（5分）若集合{0A =，1，2，3}，2{|1B y y x ==-，}x A ∈，则集合B 的所有子集的个数是 16 ． 【解答】解：{1B =-，0，3，8}，B ∴的所有子集的个数是4216=．故答案为：16．13．（5分）已知直线L 经过点(4,3)P --，且被圆22(1)(2)25x y +++=截得的弦长为8，则直线L 的方程是 4x =-和43250x y ++= ． 【解答】解：圆心(1,2)--，半径5r =，弦长8m =， 设弦心距是d ， 则由勾股定理，222()2mr d =+3d =，若l 斜率不存在，直线是4x =-， 圆心和它的距离是：3，符合题意， 若l 斜率存在，设直线方程3(4)y k x +=+， 即430kx y k -+-=， 则3d ==，即2296199k k k -+=+，解得43k =-，所以所求直线方程为40x +=和43250x y ++=，故答案为：4x =-和43250x y ++=． 14．（5分）已知函数221()||1f x x a x a x =-+++有且只有一个零点，若方程()f x k =无解，则实数k 的取值范围为 (,0)-∞ ． 【解答】解：函数221()||1f x x a x a x =-+++的定义域为R ， 又221()||()1f x x a x a f x x -=-++=+， 所以()f x 为偶函数， 又函数221()||1f x x a x a x =-+++有且只有一个零点， 所以(0)0f =， 解得1a =-， 故221()||11f x x x x =++-+， 所以221()1||21f x x x x =+++-+， 因为22111y x x =+++在[0，)+∞上为单调递增函数，且||2y x =-在[0，)+∞上为单调递增函数，所以函数()f x 在[0，)+∞上为单调递增函数， 又()f x 为偶函数， 所以()(0)0f x f =， 因为方程()f x k =无解，所以0k <，故实数k 的取值范围为(,0)-∞． 故答案为：(,0)-∞．15．（5分）在等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，点P 在三角形内，满足2(222)0PA PB PC +++=，则APB ∠=58π． 【解答】解：根据题意，延长AP 、BP 、CP ，交对边于D 、E 、F ， 则，， 又由，变形可得，则有，即AFFB =AF AB =，同理可得：2BDDC =2AEEC =+AE AC =， 在等腰直角三角形ABC 中，2C π∠=，AB AC =，则有AE AF =，则有328CABAEF ππ-∠∠==， 延长CF 至点G ，使得//BG AC ，则BG BF AC AF ==， 记EBC α∠=，GCB β∠=，则tanCE CE CB AE EC α===+，tan β= 则tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==-，则4BPF παβ∠=+=，故A 、E 、P 、F 四点共圆，则38APE AFE π∠=∠=， 则58APB π∠=； 故答案为：58π．三、解答题（共75分）16．（14分）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222(32)cos b c b A a b c -=+-．（1）求cos A 的值； （2）求cos(2)3A π+的值．【解答】解：（1）因为222(32)cos b c b A a b c -=+-，所以(32)cos 2cos b c A a C -=，由正弦定理可得(3sin 2sin )cos 2sin cos B C A A C -=， 所以3sin cos 2(sin cos cos sin )2sin()2sin B A A C A C A C B =+=+=， 因为sin 0B ≠， 所以2cos 3A =； （2）由（1）可得2cos 3A =，可得25sin 1A cos A =-，45sin 22sin cos A A A ==，21cos22cos 19A A =-=-，所以114531415cos(2)cos2cos sin 2sin ()33392A A A πππ++=-=-⨯=． 17．（15分）如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，90ADC BAD ∠=∠=︒，F 为PA 中点，2PD 112AB AD CD ===，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N ．（1）求平面ABC 与平面PBC 所成角的大小；（2）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π？若存在，请求出FQ 的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）连接DB ，如图，四边形ABCD 是直角梯形，且112AD AB DC ===， 2BC BD ∴==222DB BC DC ∴+=，DBC ∴∆是直角三角形，DB BC ∴⊥，PD ⊥面ABC ，DB BC ⊥，PB BC ∴⊥， PBD ∴∠是平面ABC 与平面PBC 所成角的平面角，在Rt PBD ∆中，2PD BD ==∴4PBD π∠=，∴平面ABC 与平面PBC 所成角的大小为4π． （2）PD ⊥平面ABCD ，DA ，DC ⊂平面ABCD ，PD DA ∴⊥，PD DC ⊥，90ADC ∠=︒，即DA DC ⊥，即DP ，DA ，DC 两两垂直，∴以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1A ，0，0)，(0P ，0，2)，12(2F ，(1B ，1，0)，(0C ，2，0)，(0E ，2，2)，设存在点(Q x ，y ，)z 在线段EF 上，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π， 则存在实数[0λ∈，1]，使得FQ FE λ=，即11(22Q λ-，2λ22)，设平面BCP 的法向量为(n x =，y ，)z ，(1BC =-，1，0)，(0PC =，2，2)-，则0220n BC x y n PC x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取2z ，得(1n =，12)，11(22BQ λ=--，21λ-，22)22+，BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π， ||sin |cos ,|6||||BQ n BQ n BQ n π⋅∴=<>=⋅，即251||122219107λλλ-=-+ 整理得21λ=，由[0λ∈，1]，解得1λ=， 此时点Q 与点E 重合，12()2FQ FE ==-，则2221219||()2()22FQ =-++=综上所述：在线段EF 上存在点Q 与点E 重合，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为6π， FQ 19． 18．（15分）已知{}n a 是等差数列，且348a a +=，244a a +=；数列{}n b 满足：121n n n b a a ++=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若1120n S n >+，求n 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意，有125824a d d +=⎧⎨=⎩，解得112a d =-⎧⎨=⎩，所以23n a n =-； （Ⅱ）1211111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n ++===--+-+，∴111111(1)2335212121n nS n n n =-+-+⋯+-=-++， 由2121710120n S n n n >⇔-+<+， 设2()2171f x x x =-+，由f （8）70=-<，f （9）100=>及二次函数单调性可知，n 的最大值为8．19．（15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦点为2F 的抛物线2:4D y x =的准线被椭圆C． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点1F ，2F 到直线:l y mx n =+的距离之积为1，求证：直线l 与椭圆C 相切． 【解答】解：（1）抛物线2:4D y x =焦点为2(1,0)F ，即1c =，由题意可知：22b a=① 22221a b c b =+=+，②整理得a =1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=；（2）证明：则1(1,0)F -到直线l 的距离为1d =，2(1,0)F -到直线l 的距离为2d =，由121d d ⋅=1=，整理得2212n m =+，或21n =-（舍去），① 联立22220y mx nx y =+⎧⎨+-=⎩，整理得222(12)4220m x mnx n +++-=，△222222164(12)(22)8(12)m n m n m n =-+-=+-，由①可得 所以△0=，直线l 与椭圆C 相切． 20．（16分）已知()x f x xe =． （1）证明：()1f x lnx x ++；（2）若1x 时，()(1)f x e a lnx x -+-恒成立，求实数a 的取值范围． 【解答】（1）证明：令()()(1)1x g x f x lnx x xe lnx x =-++=---，(0)x >．11()1(1)()x x x g x e xe x e x x'=+--=+-， 令1()(0)x u x e x x=->，可得：函数()u x 在(0,)+∞上单调递增．因此存在01(,1)2x ∈，使得0001()0x u x e x =-=，可得：00x lnx =-．函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，)+∞上单调递增． ∴函数()g x 在0x x =处取得极小值即最小值，000()()110g x g x lnx x ∴=---=，因此()1f x lnx x ++．（2）解：令()(1)x h x xe e a lnx x =--+-，(1)x ，h （1）0=．1()(1)(1)()x x x ah x e xe a x e x x '=+-+=+-，函数()x a u x e x=-， 0a 时，()0u x >，可得()0h x '>，函数()h x 在[1，)+∞上单调递增，()h x h ∴（1）0=，满足条件．0a >时，()x au x e x=-在[1，)+∞上单调递增，()u x u ∴（1）e a =-． 0a e <时，()0u x 此时函数()h x 在[1，)+∞上单调递增，()h x h ∴（1）0=，满足条件．a e >时，存在01x >，使得0000()(1)()0x ah x x e x '=+-=， 因此函数()h x 在[1，0)x 上单调递减，因此0()h x h <（1）0=，不满足条件舍去． 综上可得：a 的求值范围是(-∞，]e ．。

2019-2020学年天津市部分区高三(上)期末数学试卷

2019-2020学年天津市部分区高三(上)期末数学试卷

2019-2020学年天津市部分区高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1．（5分）设全集{1U =，2，3，4，5，6，7，8}，集合{2A =，3，4，6}，{1B =，4，7，8}，则()(U A B =⋂ð )A ．{4}B ．{2，3，6}C ．{2，3，7}D ．{2，3，4，7}2．（5分）抛物线24y x =的准线方程是( ) A ．1x =B ．1y =C ．1x =-D ．1y =-3．（5分）设x R ∈，则“220x x -<”是“|1|2x -<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．（5分）直线10x y -+=与圆22(1)4x y ++=相交于A 、B ，则弦AB 的长度为( ) AB．C ．2D ．45．（5分）已知数列{}n a 中，11a =，*12()n n a a n N +=∈，记{}n a 的前n 项和为n S ，则()A ．21n n S a =-B ．12n n S a =-C ．2n n S a =-D ．2n n S a =-6．（5分）已知偶函数()f x 在区间(,1)-∞-上单调递增，若3a ln =，21log 3b =，121log 5c =，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小关系为( ) A ．f （a ）f >（b ）f >（c ） B ．f （b ）f >（c ）f >（a ）C ．f （c ）f >（b ）f >（a ）D ．f （a ）f >（c ）f >（b ）7．（5分）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是( )A ．1()22g π=B ．()g x 的最小正周期是4πC ．()g x 在区间[0，]3π上单调递增D ．()g x 在区间[3π，5]6π上单调递减8．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，若||||(PO PF O =是原点），且POF ∆C 的方程是( ) A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22133x y -=D ．2215x y -= 9．（5分）已知函数2|(2)|23()15363ln x x f x x x x -<⎧=⎨-+->⎩…，若关于x 的方程()f x kx =恰有三个互不相同的实数解，则实数k 的取值范围是( ) A ．[3，12]B ．(3,12)C ．(0.12)D ．(0,3)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．其中第14题答对1空得3分，全对得5分．10．（5分）i 是虚数单位，若复数z 满足(13)4i z i +=，则z = ． 11．（5分）621(2)x x-的展开式中含3x 项的系数是 （用数字作答）． 12．（5分）已知0a >，0b >，且31a b +=，则43a b+的最小值是 ． 13．（5分）已知半径为2的球的球面上有A 、B 、C 、D 不同的四点，ABC ∆是边长为3的等边三角形，且DO ⊥平面(ABC O 为球心，D 与O 在平面ABC 的同一侧），则三棱锥D ABC -的体积为 ．14．（5分）设{}n a 是等差数列，若59a =，2716a a +=，则n a = ；若*121()n n n b n N a a +=+∈，则数列{}n b 的前n 项和n S = ．15．（5分）设点M 、N 、P 、Q 为圆222()x y r r R +=∈上四个互不相同的点，若0MP PN =，且()2PM PN PQ +=，则||PQ = ．三、解答题：本大题共5个小题，共14×2+15+16×2＝75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（14分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知2(s i n c o s c o s s i n)s i n A C A C A C+=+． （1）求证：a 、b 、c 成等差数列； （2）若7c =，23C π=，求b 和sin 2B 的值． 17．（14分）每年的12月4日为我国“法制宣传日”．天津市某高中团委在2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动．已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、360人、360人．为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试．具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行作答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰．（1）求各个年级应选取的学生人数；（2）若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率； （3）若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记X 表示该名学生答对问题的个数，求随机变量X 的分布列及数学期望．18．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分别为AC 、11A C的中点，11PA PC ==11111A B B C PB ===114AC =．（1）求证：PO ⊥平面111A B C ； （2）求二面角111B PA C --的正弦值；（3）已知H 为棱11B C 上的点，若11113B H BC =，求线段PH 的长度．19．（16分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -、2(,0)F c ，点P 在椭圆上，O 为原点． （1）若||PO c =，23F OP π∠=，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的右顶点为A ，短轴长为2，且满足2211(||||3||ee OF OA F A +=为椭圆的离心率）． ①求椭圆的方程；②设直线:2l y kx =-与椭圆相交于P 、Q 两点，若POQ ∆的面积为1，求实数k 的值．20．（16分）已知函数21()()(1)(2f x ln ex ax a x e =+++为自然对数的底数）．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当0a <时，证明3()12f x a --…．2019-2020学年天津市部分区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1．（5分）设全集{1U =，2，3，4，5，6，7，8}，集合{2A =，3，4，6}，{1B =，4，7，8}，则()(U A B =⋂ð )A ．{4}B ．{2，3，6}C ．{2，3，7}D ．{2，3，4，7}【解答】解：{1U =，2，3，4，5，6，7，8}，{2A =，3，4，6}，{1B =，4，7，8}， {2U B ∴=ð，3，5，6}，(){2U A B =⋂ð，3，6}．故选：B ．2．（5分）抛物线24y x =的准线方程是( ) A ．1x =B ．1y =C ．1x =-D ．1y =-【解答】解：抛物线24y x =，得4124p ==， ∴其准线方程为1x =-．故选：C ．3．（5分）设x R ∈，则“220x x -<”是“|1|2x -<”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：由220x x -<，得02x <<； 由|1|2x -<，得13x -<<． (0，2)(1-Ü，3)，∴ “220x x -<”是“|1|2x -<”的充分不必要条件．故选：A ．4．（5分）直线10x y -+=与圆22(1)4x y ++=相交于A 、B ，则弦AB 的长度为( )AB ．C ．2D ．4【解答】解：圆22(1)4x y ++=的圆心坐标为(0,1)-，半径为4，圆心(0,1)-到直线10x y -+=的距离d ==，∴弦AB的长度为==故选：B ．5．（5分）已知数列{}n a 中，11a =，*12()n n a a n N +=∈，记{}n a 的前n 项和为n S ，则()A ．21n n S a =-B ．12n n S a =-C ．2n n S a =-D ．2n n S a =-【解答】解：数列{}n a 中，11a =，*12()n n a a n N +=∈， 即112n n a a +=， {}n a ∴是以1为首项，以12为公比的等比数列， 11()2n n a -∴=，前n 项和为11112221212n n n n S a --==-=--， 故选：D ．6．（5分）已知偶函数()f x 在区间(,1)-∞-上单调递增，若3a ln =，21log 3b =，121log 5c =，则f （a ），f （b ），f （c ）的大小关系为( ) A ．f （a ）f >（b ）f >（c ） B ．f （b ）f >（c ）f >（a ）C ．f （c ）f >（b ）f >（a ）D ．f （a ）f >（c ）f >（b ）【解答】解：偶函数()f x 在区间(,1)-∞-上单调递增，且函数的图象关于y 轴对称， ()f x ∴在区间(1,)+∞上单调递减， 3(1,2)a ln =∈，221log log 33b ==-，1221log log 525c ==>，且23log 3ln <， 则f （a ）(3)f ln =，f （b ）2(log 3)f =，f （c ）2(log 5)f =， f ∴（c ）f <（b ）f <（a ）， 故选：A ．7．（5分）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是( )。