切线长定理和内切圆——数学学案

例2 PA、PB是☉O的两条切线，A，B是切点，OA=3. （1）若AP=4，则OP= 5 ； （2）若∠BPA=60 °，则OP= 6 .
A
O
P
B
二、三角形的内切圆及作法
思考
图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使 截下来的圆与三角形的三条边都相切？
思路引导：半径为 r 的☉I 与△ABC 的三 边都相切，圆心 I 到三角形三边的距离相 等，都等于 r.
B
C
F O
由BD+CD=BC,可得（13-x）+（9-x）=14.
B
D
C
解得x=4.
因此AF=4，BD=5，CE=9.
归纳总结
你学会了吗？
求三角形内切圆的问题，一般的作辅助线的方法为： 一是连顶点、内心产生角平分线； 二是连切点、内心产生半径及垂直条件.
小试牛刀
1.下列说法错误的是( C ) A．三角形有且只有一个内切圆 B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上 C．三角形的内心不一定都在三角形的内部 D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
24.2.2.3 切线长定理及 三角形内切圆
九年级上
学习目标
1.探索并证明切线长定理. 重点
2.了解三角形内切圆、内心的概念，对比区分内切圆与外接圆的区别
与联系. 难点 3.会运用切线长定理进行计算与证明. 难点
4.能用尺规作图：作三角形的外接圆.
Байду номын сангаас 新课引入
前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O和⊙O外一点P，你能 过点P画出⊙O的切线吗？
A
☉I是△ABC的内切圆，点I是
I
△ABC的内心，△ABC是☉I的外

24.2.4切线长定理和三角形的内切圆教学目标( 一) 知识与技能1．能判定一条直线是否为圆的切线．2．会过圆上一点画圆的切线．3．会作三角形的内切圆．( 二) 过程与方法1．通过判定一条直线是否为圆的切线，训练学生的推理判断能力．2．会过圆上一点画圆的切线，训练学生的作图能力．( 三) 情感态度与价值观经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．经历探究圆与直线的位置关系的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．教学重点探索圆的切线的判定方法，并能运用．作三角形内切圆的方法．教学难点探索圆的切线的判定方法．教学方法师生共同探索法．教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[ 师] 上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径．由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探索切线的判定条件．Ⅱ．新课讲解1．探索切线的判定条件如下图， AB是⊙ O的直径，直线 l 经过点 A，l 与 AB的夹角∠α，当 l 绕点A旋转时，(1) 随着∠ α的变化，点 O 到 l 的距离 d 如何变化？直线 l 与⊙ O 的位置关系如何变化？(2) 当∠ α等于多少度时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径 r ？此时，直线 l 与⊙ O 有怎样的位置关系？为什么？[ 师] 大家可以先画一个圆， 并画出直径 AB ，拿直尺当直线， 让直尺绕着点 A移动．观察∠ α 发生变化时，点 O 到 l 的距离 d 如何变化，然后互相交流意见．[ 生] (1) 如上图，直线 l 1 与 AB 的夹角为 α，点 O 到 l 的距离为 d 1，d 1＜ r ，这时直线 l 1 与⊙ O 的位置关系是相交；当把直线 l 1 沿顺时针方向旋转到 l 位置时，∠α由锐角变为直角，点 O 到 l 的距离为 d ，d ＝r ，这时直线 l 与⊙ O 的位置关系是相切；当把直线 l 再继续旋转到 l 2 位置时，∠ α由直角变为钝角，点 O 到 l 的距离为 d 2，d 2＜r ，这时直线 l 与⊙ O 的位置关系是相离．[ 师] 回答得非常精彩． 通过旋转可知， 随着∠ α由小变大， 点 O 到 l 的距离 d 也由小变大，当∠ α ＝90°时， d 达到最大．此时 d ＝r ；之后当∠ α继续增大时， d 逐渐变小．第 (2) 题就解决了．[ 生] (2) 当∠α＝°时，点 O 到 l 的距离 d 等于半径． 此时，直线 l 与⊙ O90的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心 O 到直线 l 的距离 d ＝r时，直线与⊙ O 相切．[ 师] 从上面的分析中可知，当直线l 与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙ O 的切线？请大家互相交流．[ 生] 直线 l 垂直于直径 AB ，并经过直径的一端A 点．[ 师] 很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端， 并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．2．做一做已知⊙ O 上有一点 A ，过 A 作出⊙ O 的切线．分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心 O 和圆上一点 A ，那么过 A 点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．[ 生] 如下图．(1)连接 OA．(2)过点 A 作 OA的垂线 l ，l 即为所求的切线．3．如何作三角形的内切圆．如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．解： (1) 作∠ B、∠ C的平分线 BE和 CF，交点为 I ( 如下图 ) ．(2)过 I 作 ID⊥ BC，垂足为 D．(3)以 I 为圆心，以 ID 为半径作⊙I ．⊙I 就是所求的圆．[ 师] 由例题可知， BE和 CF只有一个交点 I ，并且 I 到△ ABC三边的距离相等，为什么？[ 生] ∵I 在∠ B的角平分线 BE上，∴ ID＝ IM，又∵ I 在∠ C 的平分线 CF上，∴ ID＝IN ，∴ ID ＝IM＝IN ．这是根据角平分线的性质定理得出的．[ 师] 因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle) ，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 (incenter) ．Ⅲ．课堂练习随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习了以下内容：1．探索切线的判定条件．2．会经过圆上一点作圆的切线．3．会作三角形的内切圆．4．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念．Ⅴ．课后作业P100练习Ⅵ．活动与探究已知 AB是⊙ O的直径， BC是⊙ O的切线，切点为B，OC平行于弦 AD．求证： DC是⊙ O的切线．分析：要证 DC是⊙ O的切线，需证 DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径 OD，利用平行关系推出∠ 3＝∠ 4，又因为 OD＝OB，OC为公共边，因此△ CDO≌△ CBO，所以∠ ODC＝∠ OBC＝90°．证明：连结 OD．∵OA＝OD，∴∠ 1＝∠ 2，∵AD∥OC，∴∠ 1＝∠ 3，∠ 2＝∠ 4．∴∠ 3＝∠ 4．∵OD＝OB， OC＝OC，∴△ ODC≌△ OBC．∴∠ ODC＝∠ OBC．∵BC是⊙ O 的切线，∴∠ OBC＝90°．∴∠ ODC＝90°．∴DC是⊙ O的切线． 1 、你勤奋充电，你努力工作，你保持身材，你对人微笑，这些都不是为了取悦他人，而是为了扮靓自己，照亮自己的心，告诉自己：我是一股独立向上的力量。

人教版九年级数学（上）第24章 圆24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系课时3切线长定理教案【教学目标】知识与技能1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题；2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．过程与方法1．利用圆的轴对称性帮助探索切线长的特征；2．结合求三角形内面积最大的圆的问题，给出了三角形的内切圆和内心的概念；3．类比思想、数形结合、方程思想的运用．情感、态度与价值观通过操作、实验、发现、证明等数学活动，探索数学结论，激发学生学习数学的兴趣．【教学重点】切线长定理及其运用．【教学难点】1．切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题；2．内切圆、内心的概念及运用.【教学过程设计】一、情境导入新农村建设中，赵村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究知识点一：切线长定理 【类型一】利用切线长定理求三角形的周长例1 如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交P A 、PB 于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若P A 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以P A＝PB，因为⊙O的切线EF分别交P A、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝(PE＋EC)＋(CF＋PF)＝P A＋PB＝2＋2＝4.【类型二】利用切线长定理求角的大小例2如图，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OP A的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠P AO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OP A＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用例3为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得P A＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ 为⊙O的切线，∴AO为∠P AQ的平分线，即∠P AO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠P AO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠P AO＝∠QAO＝60°.在Rt△OP A中，P A＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.知识点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径例4 如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33.方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．【类型二】求三角形的周长例5 如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C.三、教学小结教师引导学生总结本节所学知识：1.圆的切线长概念: ____________________________________2.切线长定理: ________________________________________3.三角形的内切圆及内心的概念: ________________________【板书设计】24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2直线和圆的位置关系课时3 切线长定理1.运用切线长定理求三角形的周长2.运用切线长定理求角的大小3.切线长定理的实际应用题4.三角形的内切圆【课堂检测】1．什么叫切线长?注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是______，不能度量；切线长是______的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。

课题：24.2.2直线和圆的位置关系（4）切线长定理、三角形的内切圆【学习目标】1．能知道什么是切线长、内切圆、内心．2．会应用切线长定理解决相关问题．3．感知图形的对称之美，提高学习数学知识的兴趣．【活动方案】活动1：(知道并能证明、应用切线长定理)1．过圆外一点能作圆的几条切线？自己试试看，小组内交流．2．什么是切线长？你是怎么理解的？3．如图1，猜想图中相等的线段和相等的角并证明．图1切线长定理：如图，P A，PB为⊙O的切线，A，B为切点．则：．4．如图2，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D、C、E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是．活动2：（知道什么是三角形的内切圆、内心）阅读教材99页思考以下部分的内容回答下面的问题：1．什么叫内切圆？什么叫内心？图2 ＯＢＡO2．已知：点O 是△ABC 的内心．则：（1）O 是三角形的 的交点．（2）O 到 距离相等．3．例：△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB =9，BC=14，CA=13，求AF 、BD 、CE 的长．小结：本节课你的收获是什么？还有什么疑问？【检测反馈】1．△ABC 的内切圆的半径为2， △ABC 的周长为10，那么△ABC 的面积为_______ ．2．如图，在△ABC 中，I 是内心，FG 切⊙ I 于K 点，△AFG 的周长为10，∠BIC =110°，则AD =_______，∠A =_______ °，∠FIG = °．3．如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB = 70°． 求∠P 的度数．Ａ O Ｂ C 图9P B D E C A I. G K F C DB。