《切线长定理及三角形的内切圆》导学案

课题：切线长定理【学习目标】1．通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的概念，掌握切线长定理；知道三角形的内切圆和三角形的内心的概念．2．通过对例题的学习，培养分析问题、总结问题的习惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，培养数形结合的思想．【学习重点】切线长定理及其应用，三角形的内切圆和三角形内心的概念．【学习难点】与切线长定理有关的证明和计算问题；三角形内切圆的计算问题．情景导入生成问题旧知回顾：1．直线和圆有哪几种位置关系？怎样判断它们的位置关系？答：三种，d>r，相离；d＝r，相切；d<r，相交．2．你觉得这几种位置关系哪种最特殊？为什么？答：相切，略自学互研生成能力知识模块一切线长定理【自主探究】认真阅读课本P99思考上面内容，完成下列问题：阅读教材P99第一段话可以得到以下归纳：归纳：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．如图，过圆外一点P作两条直线PA、PB与圆相切，切点分别为A、B，连接OA、OB、OP.(1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由．答：△PBO与△PAO均为直角三角形，根据切线的性质．(2)△PBO与△PAO的关系怎样？根据什么判断的？答：△PBO与△PAO全等，根据“HL”可判断．(3)PA与PB、∠APO与∠BPO有怎样的关系？根据是什么？答：PA＝PB，∠APO＝∠BPO，根据△PBO与△PAO全等的性质．归纳：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两切线的夹角．练一练：1、PB=12, PO=13, 则AO=___2、PO=10, AO=6, 则PB=____3、若PA=4, AO=3, 则PO=___PB=___4、如图PA、PB分别与⊙O相切于点A、B、PO与⊙O 相交于点D，且PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长？AOPBD知识模块二 三角形的内心 【自主探究】认真阅读课本P 99思考～P 100，回答下列问题：一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？解：图略．归纳：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三角形三边的距离相等，它一定在三角形的内部．【合作探究】范例：如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB ＝9cm ，BC ＝14cm ，CA ＝13cm ，求AF 、BD 、CE 的长．解：设AF ＝x(cm )，则AE ＝x(cm )， CD ＝CE ＝AC －AE ＝13－x ， BD ＝BF ＝AB －AF ＝9－x. 由BD ＋CD ＝BC 可得： (13－x)＋(9－x)＝14 解得：x ＝4.因此，AF ＝4cm ，BD ＝5cm ，CE ＝9cm .[变式练习]如图，△ABC 中，∠ ABC=50°，∠ACB=75 °，点O 是⊙O 的内心，求∠ BOC 的度数。

课题：切线长定理与三角形的内切圆【学习目标】1．了解切线长的概念，理解切线长定理推导过程．2．熟练应用切线长定理解决问题，理解三角形的内切圆及内心等定义．【学习重点】切线长定理的推导及应用，三角形内切圆的作图及应用．【学习难点】切线长定理的应用及三角形内心的理解与应用．情景导入生成问题1．切线的判定定理和性质定理是什么？答：切线判定定理：经过圆的半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．2．大家知道，过圆上一点可以作圆的切线有且只有一条．如图，过圆外一点P能作圆的几条切线呢？答：能作两条，以OP为直径作圆，交⊙O于点A，B，PA，PB即为所求作的两条切线．自学互研生成能力知识模块一切线长定理阅读教材P52～P54，完成下列问题：问题：什么是切线长？什么是切线长定理？答：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做切线长．过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角，这就是切线长定理．范例：(天津中考)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B.若∠P＝70°，则∠C的大小为55°．仿例1：(宜宾中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC＝20°．(范例图) (仿例1图) (仿例2图)仿例2：(毕节中考)如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点O为BC的中点，以点O为圆心作⊙O，交BC于点M，N，与AB，AC相切，切点分别为点D，E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为( A) A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°仿例3：如图，AD，AE，CB均是⊙O的切线，D，E，F分别是切点，AD＝8，则△ABC的周长是16．仿例4：(乌鲁木齐中考)如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB 上，若BG＝2－1，则△ABC的周长为( A)A．4＋2 2 B．6C．2＋2 2 D．4知识模块二三角形的内切圆问题：什么是三角形的内切圆？什么是三角形的内心？答：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三条角平分线交点，叫做三角形的内心．范例：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°，D，E，F是⊙O与三边相切的切点，AC＝3，BC＝4，则AD＝2，BF＝3，CE＝1，内切圆的半径r＝1．(范例图) (仿例1图) (仿例2图)仿例1：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是点D，E，F，已知∠A＝100°，∠C＝30°，则∠DFE的度数是65°．仿例2：如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC＝140°，则∠BIC的度数为( B) A．110°B．125°C．130°D．140°交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一切线长定理知识模块二三角形的内切圆检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书【课后检测】见学生用书课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________。

专题：切线长定理与三角形内切圆※知识要点1．切线长的概念从圆外一点能够作圆的 切线，切线上一点到切点之间的线段长叫做该点到圆的切线长． 2．切线长定理过圆外一点可以引圆的 切线，它们的切线长 ，该点与圆心的连线 两条切线的夹角． 3．三角形的内切圆与 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 ． 注意：三角形的内心具有以下性质：①三角形的内心是三角形 的交点； ②三角形的内心到三角形 距离相等．※题型讲练【例1】(1)如图，P A ，PB 分别切⊙O 于A ，B 两点，∠P ＝40°，则 ∠C 的度数为 ．(2)如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，CD 切⊙O 于点E ，△PCD 的周长为12，∠P ＝60°.求：(1)P A 的长； (2)∠COD 的度数．变式训练1： 1．如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝70°，则∠P ＝________．2．如图，直线AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，且AB ∥CD ，OB ＝6，OC ＝8. (1)求∠BOC 的度数； (2)求BE ＋CG 的长.【例2】如图，P A ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，点E 在AB ︵上，过点E 作⊙O 的切线，分别与P A ，PB 相交于点C ，D .若P A ＝3 cm ，则△PCD 的周长等于________．变式训练2：1． 如图，⊙O 内切于四边形ABCD ，AB ＝10，CD ＝8，则 AD ＋BC ＝________．2．如图，正方形ABCD 的边长为4 cm ，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过点A 作半圆的切线，与半圆相切于点F ，与DC 相交于点E ，求△ADE 的面积．【例3】(1)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， ∠A ＝40°，延长AC 到点D ，使CD ＝BC ， 点P 是△ABD 的内心，则∠BPC 的度数 为_______．(2)如图2，E 为△ABC 内一点，AE 的延长线交△ABC 的外接圆⊙O 于点D ，且DB ＝DC ＝DE .求证：E 为△ABC 的内心．变式训练3：1．为美化校园，学校准备在如图所示的三角形空地上修建一个面积最大的圆形花，请在图中画出这个圆形花坛(保留作图痕迹，不要求写作法)．2．如图，在三角形ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点是D ，E ，F ，AO 交BC 于G ；若AC ＝4，CG ＝ .(1)求⊙O 的半径； (2)求BF 的长.【例4】已知如图，⊙O 内切于△ABC 中，切点分别为D 、E 、F ，设△ABC 的三边长BC=a 、AC=b 、AB=c ，⊙O 半径为r . (1)用含有a 、b 、c 的代数式表示AE 、BD 、CF 的长； (2)若△ABC 的面积为S ，求证：r = ； (3)若△ABC 为直角三角形，且∠C =90°， 求证：r = = .备用图※课后练习1．如图1，P A ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，OP 交AB 于点D ，交⊙O 于点C ，AB ＝4 3，DC ＝2，则∠APB 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°2．如图2，⊙O 截△ABC 的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是( )A ．点O 是△ABC 的内心B ．点O 是△ABC 的外心 C ．△ABC 是等边三角形D ．△ABC 是等腰三角形图1 图2 图33．如图3，O 是△ABC 的内心，过点O 作EF ∥AB ，与AC ，BC 分别交于点E ，F ，则( )A ．EF ＞AE ＋BFB ．EF ＜AE ＋BFC ．EF ＝AE ＋BFD ．EF ≤AE ＋BF 4．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，则AD 的长为( )A ．2.5B ．1.6C ．1.5D ．15．如图5，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( ) A ．133 B ．92 C ．4313 D ．2 56．如图6，在△ABC 中，内切圆I 与边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F ，若∠A ＝70°，则∠EDF ＝________°．图4 图5 图67．如图7，P 是△ABC 的内心，连接P A ，PB ， PC ，△P AB ，△PBC ，△P AC 的面积分别为S 1， S 2，S 3，则S 1___S 2＋S 3.(填＜、＝或＞)8．如图8，由⊙O 外一点F 作⊙O 的两条切线，切点分别为B ，D ，AB 是⊙O 的直径， 图7 连接AD ，BD ，OF 交⊙O 于点E ，交BD 于 点C ，连接DE ，BE .下列四个结论：①BE ＝DE ；②∠EDF ＝∠EBF ；③DE ∥AB ； ④BD 2＝2AD ·FC .其中正确的结论有_______． 图89．如图，在等腰三角形ABC 中，CA ＝CB ，AD 是腰BC 边上的高，△ACD 的内切圆⊙E 分别与边AD ，BC 相切于点F ，G . (1)求证：AF ＝BG ；(2)过点E 作EH ⊥AB 于点H ，试探索线段 EH 与线段AB 的数量关系，并说明理由．10．如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，点I 是△ABC 的内心，延长AI 交圆O 于点D ，连结BD 、DC ． (1)求证：BD =DC =DI ；(2)若圆O 的半径为10cm ，∠BAC ＝120°，求△BDC 的面积．34cbaS ++2cb a ab++2cb a -+。

切线长定理
一、教学目标：
知识目标：1．理解切线长的概念。

2．掌握切线长定理及其应用。

能力目标：培养学生识图能力和逻辑思维能力。

情感目标：激发学生学习兴趣，培养探索精神和创新能力。

德育目标：渗透事物之间相互转化的思想，培养学生良好的学习习惯
和严谨的思维品质。

二、教学重点：切线长定理的应用。

教学难点：切线长定理的灵活应用。

突破关键：切线长定理的理解。

教学方法：观察、探究、讨论、概括等多种方法。

三、教学过程：
2.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，若∠APB=60°，PA=6cm，那么⊙O
是 .
探究加深：
芜湖经济技术开发区
九年级数学公开课
课题：§24.2.2直线和圆的位置关系（第三课时）
切线长定理
授课：张晓明
时间：2012年10月31日
班级：芜湖市第33中学
（安师大附中城北分校）
九（3）班。