秋 金版学案 数学必修5(人教A版)练习：单元评估验收(一)第一章解三角形
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单元评估验收(一) (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在△ABC中，a＝k，b＝3k(k>0)，A＝45°，则满足条件的三角形有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
解析：由正弦定理得asin A＝bsin B，
所以sin B＝bsin Aa＝62>1，即sin B>1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形． 答案：A 2．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，B＝45°，则角A＝( ) A．30°或150° B．60°或120° C．60° D．30°
解析：由正弦定理asin A＝bsin B得，sin A＝absin B＝22sin 45°＝12，又因为b＞a，故A＝30°. 答案：D 3．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ) A．90° B．120° C．135° D．150° 解析：设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cos θ，
解得cos θ＝12，所以θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°. 答案：B 4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B＝( )
A．±53 B.23 C．－53 D.53 解析：因为asin A＝bsin B， 所以15sin 30°＝20sin B， 解得sin B＝23. 因为b>a，所以B>A，故B有两解， 所以cos B＝±53. 答案：A 5．在△ABC中，已知cos Acos B＞sin Asin B，则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：由cos Acos B＞sin Asin B，得 cos A·cos B－sin Asin B＝cos (A＋B)＞0， 所以A＋B＜90°，所以C＞90°，C为钝角． 答案：C 6．如图所示，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为( )
A.12小时 B．1小时 C.32小时 D．2小时 解析：在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时． 答案：B 7．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( ) A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C.－12，0 D.12，＋∞ 解析：由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m＞0)， 因为a＋b ＞c，a＋c＞b，即m（2k＋1）＞2mk，3mk＞m（k＋1）， 所以k＞12. 答案：D 8．△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( ) A.922 B.924 C.928 D．92 解析：设另一条边为x，则x2＝22＋32－2×2×3×13， 所以x2＝9，所以x＝3. 设cos θ＝13，则sin θ＝223. 所以2R＝3sin θ＝3223＝924.
答案：B 9．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若
A＝π3，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于( ) A.32 B.34 C.36 D.38 解析：由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，故tan B＝2sin A＝2sin π3＝3，又B∈(0，π)，所以B＝π3，又A＝B＝π3，则△ABC是正三
角形，所以S△ABC＝12bcsin A＝12×1×1×32＝34. 答案：B 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A2＝c－b2c，则△ABC的形状为( ) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：由已知可得1－cos A2＝12－b2c， 即cos A＝bc，b＝ccos A. 法一 由余弦定理得 cos A＝b2＋c2－a22bc， 则b＝c·b2＋c2－a22bc， 所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形． 法二 由正弦定理，得sin B＝sin Ccos A. 在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)， 从而有sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A， 即sin Acos C＝0. 在△ABC中，sin A≠0，
所以cos C＝0.由此得C＝π2， 故△ABC为直角三角形． 答案：B 11．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A处时测得公路北侧一铁塔底部C在西偏北30°的方向上，行驶200 m后到达B处，测得此铁塔底部C在西偏北75°的方向上，塔顶D的仰角为30°，则此铁塔的高度为( ) ruize
A.10063 m B．506 m C．1003 m D．1002 m 解析：设此铁塔高h(m)，则BC＝3h，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∠BCA＝45°，AB＝200.
根据正弦定理得3hsin 30°＝200sin 45°，解得h＝10063(m)． 答案：A 12．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( ) A.21 B.106 C.69 D.154
解析：设BC＝a，则BM＝MC＝a2. 在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AM·cos∠AMB， 即72＝14a2＋42－2×a2×4×cos∠AMB，① 在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC， 即62＝42＋14a2＋2×4×a2×cos∠AMB，② ①＋②得72＋62＝42＋42＋12a2，所以a＝106. 答案：B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cos C＝________． 解析：由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，
得c2＝a2＋b2－23ab. 根据余弦定理，得 cos C＝a2＋b2－c22ab
＝a2＋b2－a2－b2＋23ab2ab ＝13， 所以cos C＝13. 答案：13 14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝________． 解析：由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，
则a＝5b3，c＝2a－b＝7b3，
cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12， 又0＜C＜π，因此角C＝2π3. 答案：2π3 15．在△ABC中，A满足3sin A＋cos A＝1，AB＝2，BC＝23，则△ABC的面积为________． 解析：由3sin A＋cos A＝1，sin2 A＋cos2 A＝1， 得sin A＝32，cos A＝－12. 所以A＝120°， 由正弦定理得2sin C＝23sin A， 所以sin C＝12. 因为AB所以C＝30°，所以B＝30°，
所以S＝12AB×BC×sin B＝12×2×23×sin 30°＝3. 答案：3 16．太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km. 解析：如图所示，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1 km.
由正弦定理得BCsin∠CAB＝ABsin∠ACB， 所以BC＝1sin 60°·sin 15°＝6－223 (km)． 设C到直线AB的距离为d， 则d＝BC·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)．
答案：36 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acos B＝3，bsin A＝4. (1)求边长a； (2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l.
解：(1)由题意得：acos Bbsin A＝34， 由正弦定理得：ab＝sin Asin B， 所以cos Bsin B＝34， cos2B＝916sin2B＝916(1－cos2B)， 即cos2B＝925， 由题意知：a2cos2B＝9， 所以a2＝25，得a＝5或a＝－5(舍去)． 所以a＝5.
(2)因为S＝12bcsin A＝2c， 所以，由S＝10得c＝5，
