人教B版数学高一版必修1学案集合之间的关系

数学人教B必修1第一章1.1.1 集合的概念1．了解集合的含义，会使用符号“∈”或“∉”表示元素与集合之间的关系．2．理解集合中元素的特性，重点理解其确定性与互异性．3．熟悉常用数集的符号，尤其要注意空集的含义及表示．1．集合的有关概念一般地，把一些能够____的____的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的____(或____)，常用英语大写字母A，B，C，…表示．构成集合的每个对象叫做这个集合的____(或____)，常用英语小写字母a，b，c，…表示．集合是现代数学中不加定义的基本概念，学习这个概念应注意以下两点：(1)集合是一个“整体”；(2)构成集合的对象必须是“确定”且“不同”的．【做一做1】下列各组对象不能构成集合的是()A．著名的中国数学家B．所有的负数C．清华大学招收的2011级新本科生D．2011年11月第十九届APEC(亚太经合组织)会议将在夏威夷檀香山举行，所有APEC 的成员国2．元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果____________，就说a属于A____a属于A不属于如果____________，就说a不属于A____a不属于A 元素与集合的联系与区别如下表：【做一做2】已知集合M只含有两个元素2 011a，2 013－a，且2 011∈M，求a的值．3．集合中元素的性质特征(1)______，(2)______，(3)______．在处理集合中有关元素的问题时，求得其中元素(或字母)的值以后，要充分考虑集合元素的互异性与分类讨论思想的应用，要进行代入检验，舍去不符合要求的值．【做一做3－1】若a，a，b，b，a2，b2构成集合M，则M中的元素最多有() A．6个B．5个C．4个D．3个【做一做3－2】方程x2－2x＋1＝0的解集中有__________个元素．4．集合的分类【做一做4】指出下列集合是有限集还是无限集．(1)满足2 011＜x＜2 013的整数构成的集合；(2)平面α内所有直线构成的集合．5．常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号________________ 【做一做5】下列关系表示正确的是()A．0∈N＋B．π∉R C．1∉Q D．0∈Z一、集合中元素的特性剖析：确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准．互异性：一个给定集合的元素中，任何两个元素都是不同的，因而在同一个集合中，不能重复出现同一个元素，这一点很容易被大家忽视，在解题中要切记这一性质．无序性：集合中的元素没有顺序，在表示集合时先写哪个元素都可以．二、特殊集合——空集剖析：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.空集是一个实实在在的集合，只不过此集合中无任何元素，故称之为空集．如“方程x2＋2＝0的实数根”组成的集合，因为没有适合该集合的元素，故它是空集．要谨防①0＝{0}，②{0}＝，③{}＝的错误，实际上，①0是集合{0}的一个元素，可记为0∈{0}；②表示空集，而{0}表示含一个元素0的集合；③{}表示含有一个元素的集合．三、教材中的“思考与讨论”1．你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由．剖析：不能构成集合．原因是对高个子同学高的程度没有确定的标准，所以无法判定哪些同学符合要求，因此不能构成集合．2．你能否确定，你所在班级中，最高的3位同学构成的集合？剖析：能构成集合．因为班里最高的3位同学是确定的(只要按身高从高到低取前三名即可)，将他们作为元素放在一起即构成所要求的集合．题型一集合中元素的确定性【例1】下列各组对象能构成集合吗？(1)你所在班级的男生；(2)参加2010年广州亚运会的高大运动员；(3)关于x 的方程ax 2＋1＝0的实数解；(4)从1988年到2012年举办奥运会的城市；(5)所有小的正数；(6)到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．分析：“高大”和“小”没有确定的标准，因此(2)(5)的对象不能构成集合，(3)中的方程可能有实数解，也可能没有实数解，当a 给定后，其方程解的情况就是确定的．反思：看一组对象能否构成一个集合，只要看这组对象是否是确定的，即任何一个对象，要么在这一组对象中，要么不在这组对象之中，而没有第三种情况出现．题型二 集合中元素的互异性【例2】由元素3，x ，x 2－2x 构成集合M ，则x 应满足的条件是__________．反思：互异性是集合中元素的重要性质，在解决集合中有关元素的问题时，一定要注意利用互异性进行验证．题型三 元素与集合的关系【例3】已知集合P 中有三个元素a －3,2a －1，a 2＋4，且－3∈P ，求实数a 的值． 分析：利用－3是集合P 中的元素，可列方程求a 的值，最后需验证集合中元素的互异性．反思：在根据元素与集合的关系解题时，一定要注意最后代入检验，看是否符合题意及元素的互异性等性质．1下列各组对象，能构成集合的是( )A ．平面直角坐标系内x 轴上方的y 轴附近的点B ．平面内两边之和小于第三边的三角形C ．新华书店中有意义的小说D ．π(π＝3.141…)的近似值的全体2由a 2,2－a ,4组成一个集合A ，且集合A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( )A ．1B ．－2C ．6D ．23集合A 是由点(2 011,2 012)和点(2 012,2 011)构成的，则A 中有__________个元素． 4设L (A ，B )表示直线AB 上所有点组成的集合，“P 是直线AB 上的一个点”这句话就可以简单地写成P __________L (A ，B )．5判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，12这些数组成的集合有5个元素； (2)方程(x －3)(x －2)2＝0的解组成的集合有3个元素．答案：基础知识·梳理1．确定 不同 集合 集 元素 成员【做一做1】A 因为选项B ，C ，D 中所给的对象都是确定的，从而可以构成集合；而选项A 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准来衡量一位数学家怎样才算著名，故不能构成集合．2．a 是集合A 的元素 a ∈A a 不是集合A 的元素 a ∉A【做一做2】解：∵2 011∈M ，∴2 011a ＝2 011或2 013－a ＝2 011.解得a ＝1或a ＝2.∴a 的值为1或2.3．(1)确定性 (2)互异性 (3)无序性【做一做3－1】C 由集合元素的互异性，知集合M 中的元素最多为a ，b ，a 2，b 2，且4个元素互不相等．【做一做3－2】14． 有限集 无限集【做一做4】解：(1)满足2 011＜x ＜2 013的整数仅有2 012一个，故此集合是有限集．(2)无限集．5．N N ＋或N * Z Q R【做一做5】D典型例题·领悟【例1】解：(1)(3)(4)(6)可以构成集合；(2)(5)不能构成集合．【例2】x ≠3且x ≠0且x ≠－1 由集合中元素的互异性可得出3，x ，x 2－2x 互不相等，由此可求出x 应满足的条件．即由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠3，x 2－2x ≠3，x 2－2x ≠x ，解得x ≠3且x ≠0且x ≠－1.【例3】解：∵－3∈P ，a 2＋4≥4，∴a －3＝－3或2a －1＝－3，解得a ＝0或a ＝－1.经检验a ＝0时，P 中三个元素为－3，－1,4，满足集合中元素的互异性；a ＝－1时，P 中三个元素为－4，－3,5，也满足集合中元素的互异性．综上，a 的值为0或－1.随堂练习·巩固1．B 选项A ，C ，D 中的对象不具有确定性，故不能构成集合；而选项B 为，故能构成集合．2．C 代入验证如下：当a ＝1时，a 2＝2－a ；当a ＝－2时，a 2＝2－a ＝4；当a ＝2时，a 2＝4，所以1，－2,2均不能满足集合A 中元素的互异性，而a ＝6时，a 2＝36,2－a ＝－4，故选C.3．2 因为点的坐标是有顺序性的，所以集合A 中有2个点，即A 中有2个元素．4．∈5．解：(1)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，而32与64相同，⎪⎪⎪⎪－12与12相同，故此集合是由3个元素组成的集合． (2)不正确．方程(x －3)(x －2)2＝0的解是x 1＝3，x 2＝x 3＝2，因此此集合只有3和2两个元素．。

1.2.1集合之间的关系教学目的：1、使学生掌握子集、真子集、空集、两个集合相等等概念，会写出一个集合的所有子集。

2、能过与不等式类比学习集合间的基本关系，掌握类比思想的应用。

教学重难点：重点是掌握集合间的关系，难点是子集与真子集的区别。

教学过程：一、复习提问1、元素与集合之间有什么关系？a与{a}有什么区别？2、集合的表示方法有几种？分别是什么？二、新课5<7 例1、A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}或7>5 特点：A有的元素，B都有，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素。

称为：集合A是集合B的子集。

记作：A⊆B，或B⊇A。

例2、A为高一(2)班女生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合。

特点：A有的元素，B都有，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素。

定义：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset)。

记作：A⊆B，或B⊇A。

用Venn图表示(右上图)。

5=5 例3、设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}a ≤b 特点：集合C 中的任何一个元素都是集合D 中的元素，集合D 中的任何一 且b ≥a 个元素都是集合C 中的元素，即C ⊆D ，或D ⊇C 。

则a=b 所以，C=D 。

定义：如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B)，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A)，此时 集合A 与集合B 的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作：A=B 定义：若集合A ⊆B ，但在在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 是集合B 的真子集B ，或B A记作：A 例1中，集合A 是集合B 的真子集。

例2呢？方程x 2+1=0没有实数根，所以方程x 2+1=0的实数根组成的集合中没有元素。

定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø，并规定：空集是任何集合的子 集。

1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系【目标要求】1．理解子集、真子集、两个集合相等概念。

2．会求已知集合的子集、真子集。

3．能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号及图形（文氏图）准确地表示出来。

【巩固教材——稳扎马步】 1．设P ＝{x ︱x≤8}, a=61, 则下列关系中，正确的是( )A ．a ⊆P B. a ∉P C. {a}∈P D. {a}⊂P2．六个关系式：(1){a, b}= { b, a }; (2) {a, b} ⊆{ b, a }; (3) {}φφ=;(4) {}0=φ;(5) {}0⊂φ; (6){}00∈其中正确的个数为 ( )A. 6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个及3个以下3．下列四个命题：①Φ＝｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．下列各式中，正确的是 （ ） （A ）2}2{≤⊆x x （B ）{12<>x x x 且}（C ）{Z k k x x ∈±=,14}},12{Z k k x x ∈+=≠（D ）{Z k k x x ∈+=,13}={Z k k x x ∈-=,23} 【重难突破——重拳出击】5．集合｛1，2，3｝的子集共有 （ ）A ．7个B ．8个C ．6个D ．5个6．若A ⊂B ，A ⊂C ，B ＝｛0，1，2，3｝，C ＝｛0，2，4，8｝，则满足上述条件的集合A 的个数 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．集合{|1},{|},A x x B x x a =>=≥⊆且B A,则 （ ） A ．1a >B ．1a <C ．1a ≥D ．1a ≤8．设集合M=},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则 （ ）A ．M =NB ．M ≠⊂NC ．N M ⊃D ．M ⊆N9．集合*6|,3A x Z x N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭用列举法可以表示为 （ ） Ａ．{}1,2,4,9 Ｂ．{}1,2,4,5,6,9 Ｃ．{}2,4,5,6,7,9 Ｄ．{}1,2,4,5,6,7,8 10．设13M xx⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，那么①0M ⊆，②M ∅⊆，③{0}M Ø，④N M ⊆，⑤13M ⎧⎫⎨⎬⎩⎭Ø，其中正确的命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．集合{}5,4,3,2,1=M 的真子集个数是 （ ）A ．32B ．31C ．16D ．1512．设集合{}32|≤=x x M ，a x sin 11+=其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，则下列关系中正确的是 （ ）A ．a ≠⊂MB ．M a ∉C ．{}M a ∈D ．{}a ≠⊂M【巩固提高——登峰揽月】13．已知 {a}⊆A ⊆{a,b,c,d}，求所有满足条件的集合A.14．已知集合P= {x︱x2=1, x∈R }．集合Q＝{x︱ax=1 }，若Q⊆P ，求 a的值【课外拓展——超越自我】15．已知A⊆{1，2，3，4，5}，若a∈A，则6-a∈A 的非空集合A有多少个？写出这些集合来。

§1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系自主学习学习目标了解子集、真子集、空集的概念，掌握用V enn图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义．自学导引1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中________________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作________(或________)，读作“____________”(或“____________”)．2．如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且________________________，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作________．3．如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的__________，记作________(或________)．4．________是任何集合的子集，________是任何非空集合的真子集．对点讲练知识点一写出给定集合的子集例1 (1)写出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；(2)填写下表，并回答问题．原集合子集子集的个数∅{a}{a，b}{a，b，c}由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，a n}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？规律方法(1)分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．(2)集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集．变式迁移1 已知集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M.知识点二 集合基本关系的应用例2 (1)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围；(2)本题(1)中，若将“B ⊆A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．规律方法 (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．变式迁移2 已知A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，B ＝{x |mx ＝1}，若B A ，求实数m 所构成的集合M .知识点三 集合相等关系的应用例3 已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值．规律方法 集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．变式迁移3 含有三个实数的集合可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，也可表示为{a 2，a ＋b,0}，求a ，b .1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示，集合、集合间的关系用“⊆”、“＝”或“”等表示．2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合B ＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则此时{1}∈B ，而不能是{1}B .3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：(1)当A ⊆B 时，A ＝B 或A B .(2)判断两个集合间的关系：①先用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论．(3)解数集问题学会运用数轴表示集合．(4)集合与集合间的关系可用V enn 图直观表示.课时作业一、选择题1．下列命题①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A 时，则A ≠∅，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅3．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A4．若集合A ＝{x |x ＝n ，n ∈N }，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝n 2，n ∈Z ，则A 与B 的关系是( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝B D ．A ∈B5．在以下六个写法中：①{0}∈{0,1}；②∅{0}；③{0，－1,1}⊆{－1,0,1}；④0∈∅；⑤Z ＝{正整数}；⑥{(0,0)}＝{0}，其中错误写法的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题6．满足{0,1,2}A ⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A 的个数是________．7．设M ＝{x |x 2－1＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，则a 的取值集合为________．8．若{x |2x －a ＝0，a ∈N }⊆{x |－1<x <3}，则a 的所有取值组成的集合为________________．三、解答题9．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a 、b 的值．10．已知集合A ＝{x |－2k ＋3<x <k －2}，B ＝{x |－k <x <k }，若A B ，求实数k 的取值范围．【探究驿站】11．已知集合M＝{x|x＝m＋16，m∈Z}，N＝{x|x＝n2－13，n∈Z}，P＝{x|x＝p2＋16，p∈Z}，请探求集合M、N、P之间的关系．§1.2集合之间的关系与运算1．2.1集合之间的关系答案自学导引1．任意一个A⊆B B⊇A A包含于BB包含A2．集合B是集合A的子集(B⊆A)A＝B3．真子集A B B A4．空集空集对点讲练例1 解(1)不含任何元素的集合：∅；含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}；含有两个元素的集合：{0,1}，{0,2}，{1,2}；含有三个元素的集合：{0,1,2}．故集合{0,1,2}的所有子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．其中除去集合{0,1,2}，剩下的都是{0,1,2}的真子集．(2)原集合子集子集的个数∅∅ 1{a}∅，{a} 2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b} 4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8这样，含n个元素的集合{a1，a2，…，a n}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n －1，非空真子集的个数是2n－2.变式迁移1解由已知条件知所求M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．例2 解(1)∵B⊆A，①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1m ＋1≤42m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.(2)显然A ≠∅，又A ⊆B ，∴B ≠∅，如图所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1<m ＋12m －1<－3m ＋1>4，解得m ∈∅.变式迁移2 解 由x 2－5x ＋6＝0得x ＝2或x ＝3.∴A ＝{2,3}由B A 知B ＝∅或B ＝{2}或B ＝{3}若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{2}，则m ＝12；若B ＝{3}，则m ＝13. ∴M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，13. 例3 解 方法一 ∵A ＝B∴集合A 与集合B 中的元素相同∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x y ＝y 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 2y ＝2x ， 解得x ，y 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝14y ＝12验证得，当x ＝0，y ＝0时，A ＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．∴x ，y 的取值为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝14，y ＝12. 方法二 ∵A ＝B ，∴A 、B 中元素分别对应相同．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x ＋y 2，x ·y ＝2x ·y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y (y －1)＝0， ①xy (2y －1)＝0. ② ∵集合中元素互异，∴x 、y 不能同时为0.∴y ≠0.由②得x ＝0或y ＝12. 当x ＝0时，由①知y ＝1或y ＝0(舍去)；当y ＝12时，由①得x ＝14. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧ x ＝14，y ＝12.变式迁移3 解 由集合相等得：0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1，易知a ≠0， ∴b a＝0，即b ＝0，∴a 2＝1且a 2≠a ，∴a ＝－1. 综上所述：a ＝－1，b ＝0.课时作业1．B [仅④是正确的．]2．B [∵A ⊇B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3a ＋2≥5∴3≤a ≤4.]3．D [∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，∴A ＝{x |x ⊆B }＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，∴B ∈A .]4．A 5.B6．7解析 本题即求集合{3,4,5}的非空子集个数，共23－1＝7个．7．{－1,1,0}8．{0,1,2,3,4,5}9．解 ∵A ＝B 且1∈A ，∴1∈B .若a ＝1，则a 2＝1，这与元素互异性矛盾，∴a ≠1.若a 2＝1，则a ＝－1或a ＝1(舍)．∴A ＝{1，－1，b }，∴b ＝ab ＝－b ，即b ＝0.若ab ＝1，则a 2＝b ，得a 3＝1，即a ＝1(舍去)． 故a ＝－1，b ＝0即为所求．10．解 ∵A B ，①若A ＝∅，且B ≠∅，则k >0，且－2k ＋3≥k －2⇒0<k ≤53； ②若A ≠∅，且B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ k >0－2k ＋3<k －2－k ≤－2k ＋3k ≥k －2且－k ＝－2k ＋3与k ＝k －2不同时成立，解得53<k ≤3. 由①②可得实数k 的取值范围为{k |0<k ≤3}．11．解 M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝6m ＋16，m ∈Z }． N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －26，n ∈Z }． P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }． ∵3n －2＝3(n －1)＋1，n ∈Z ，∴3n －2,3p ＋1都是3的整数倍加1，从而N ＝P .而6m ＋1＝3×2m ＋1是3的偶数倍加1，∴M N ＝P .。

数学人教B 必修1第一章1.2.1 集合之间的关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．2．能使用维恩(Venn)图表达集合之间的关系，尤其要注意空集这一特殊集合的意义． 3．理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集．1．集合之间的关系定义性质 特殊规定(结论)子集一般地，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的____，记作____或____，读作“A ______B ”或“B ____A ”对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，则A ____C根据子集的定义，任意一个集合A 都是______的子集，即________．空集是____________的子集．也就是说，对任意集合A ，都有____(其中A 也可能是)真子集如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的______，记作____或____，读作“A ________B ”或“B ______A ”对于集合A ，B ，C ，如果A B ，B C ，则A ____C 空集是____________的真子集，也就是说，对任意一个非空集合A ，都有___________相等一般地，如果集合A 的______元素都是集合B 的元素，反过来，集合B 的______元素也都是集合A 的元素，那么我们就说集合A 等于集合B ，记作A ＝B如果A ⊆B ，又B ⊆A ，则____；反之，如果A ＝B ，则________ 对于元素较少的有限集，可以将集合中的元素全部列举出来，说明两个集合中的元素完全相同，从而得到两个集合相等．对于无限集，只需说明两个集合之间具有相互包含关系，就可以得到两个集合相等A ⊆B 包括AB 和A ＝B 两种情况．其中AB ，可形象地理解为B 中元素至少比A中元素多一个；而A ＝B ，可从A 的元素与B 的元素完全一样去理解．【做一做1－1】有下列关系：①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}．其中错误的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【做一做1－2】已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3，x 2,2}，若A ＝B ，则x 的值是( )A．1 B．－1C．±1 D．0【做一做1－3】集合{x∈Z|2 009≤x≤2 011}的真子集的个数为()A．3 B．6 C．7 D．82．维恩(Venn)图我们常用平面内一条____________来表示一个集合，用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系，这种图形通常叫做维恩(Venn)图．如果集合A是集合B的______，那么就把表示A的区域画在表示B的区域的内部(如图所示)．【做一做2】如图所示，对于集合A，B，C，D的关系，描述正确的是()A．B⊆C B．D⊆AC．A B D．A C3．集合关系与其特征性质之间的关系设A＝{x|p(x)}，B集合间的关系特征性质间的关系A⊆B ________A⊇B ________A＝B ________【做一做3】已知集合M＝{x|x＞2 011}，N＝{x|x≥a}，且x≥a⇒x＞2 011，则a满足的条件为__________．一、“∈”与“⊆”的区别与联系剖析：符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系，也就是个体与总体的关系，是指单个对象与对象的全体的从属关系；而符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系，也就是部分与总体的关系，是指由某些对象组成的部分与全部对象组成的全体之间的包含关系．从属关系(∈)一般只能用在元素与集合之间；包含关系(⊆，)只能用在集合与集合之间．在使用以上符号的时候先要弄清楚是元素与集合的关系还是集合与集合之间的关系．例如，表示元素与集合之间的关系有：1∈N，－1∉N,1∈{1},0∈{0}等，但不能写成0＝{0}或0⊆{0}；表示集合与集合之间的关系有：N⊆R，{1,2,3}⊆{1,2,3}，{1,2,3}{1,2,3,4}等；但需要引起注意的是{}与∈{}的写法都是正确的，前者是从两个集合间的关系来考虑的，后者则把看成集合{}中的元素来考虑．二、探索集合的子集个数问题剖析：由子集的定义可知：若集合A是集合B的子集，则有A⊆B，它包含以下两个方面：(1)A B；(2)A＝B．由以上知识，可以得到：若B＝{a}，则其子集可以是，{a}，即集合中若有1个元素，其子集个数为2；若B＝{a，b}，则其子集可以是，{a}，{b}，{a，b}，即集合中若有2个元素，其子集个数为4；若B＝{a，b，c}，则其子集可以是，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即集合中若有3个元素，其子集的个数为8；若B＝{a，b，c，d}，则其子集可以是，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}，即集合中若有4个元素，其子集的个数为16.综上所述，集合中的元素个数每增加1，其子集的个数变为原来的2倍，其对应关系为：元素个数子集数目12＝2122×21＝2232×22＝2342×23＝24由此可以猜测：若集合中有n个元素，则其子集的个数应为2n，其非空子集的个数为(2n －1)，其真子集的个数应为(2n－1)，其非空真子集的个数为(2n－2)．三、教材中的“思考与讨论”已知集合A的特征性质为p(x)，集合B的特征性质为q(x)．“如果p(x)，那么q(x)”是正确的命题，试问集合A和B的关系如何？并举例说明．剖析：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，“如果p(x)，那么q(x)”是正确的命题，则有p(x)⇒q(x)，即x∈A⇒x∈B，根据子集的定义有A⊆B．举例说明如下：A＝{x|x是6的约数}，B ＝{x|x是12的约数}，即集合A的特征性质p(x)是：x是6的约数；集合B的特征性质q(x)是：x是12的约数．而6的约数是1,2,3,6,12的约数是1,2,3,4,6,12，由此得知，“如果p(x)，那么q(x)”是真命题，则有“如果x是6的约数，那么x是12的约数”，即x∈A⇒x∈B，所以A⊆B．题型一子集、真子集的概念【例1】(2011·东北五校高一期末)有下列关系：①0∈{0}；②{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．其中正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4反思：注重元素与集合、集合与集合间关系的判断的本质要求，判断时要注意看清楚集合是数集还是点集，更要注意空集的特殊性．题型二两个集合相等及其应用【例2】已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，求a，b的值．分析：M＝N→列方程组→解方程组求a，b的值反思：由集合相等的概念不难得到，若两个有限集相等，则一定会具有以下性质：(1)两个集合的元素的个数相等；(2)两个集合的元素之和相等；(3)两个集合的元素之积相等．另外，在考虑两个集合相等时，还应注意到集合中元素的互异性．本题结果易出现含有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0这种情况的错误，导致该种错误的原因是忽视了集合中元素的互异性． 题型三 根据子集关系，确定参数的值【例3】设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠，B ⊆A ，求a ，b的值．分析：由B ≠，B ⊆A ，可见B 是A 的非空子集．而A 的非空子集有三个：{－1}，{1}，{－1,1}，所以B 要分三种情形讨论．反思：利用分类讨论的思想，考虑集合B 的所有可能的情况，这是处理集合与其子集之间关系的常用方法．另外，此题也可以利用根与系数的关系求解．此题容易发生的错误是：没有注意题中的已知条件而考虑B ＝的情形．题型四 集合关系与其特征性质之间的关系【例4】已知集合A ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈R }，B ＝{y |y ＝a 2－4a ＋5，a ∈R }，判断这两个集合之间的关系，并判断它们的特征性质之间的关系．分析：首先化简集合，可以得出集合之间的关系，从而得出其特征性质之间的关系． 反思：集合关系与其特征性质之间的关系是必修1中新增添的内容，我们不仅可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的特征性质之间的关系，还可以用集合特征性质之间的关系判断集合之间的关系，但要注意转化的等价性．题型五 易错辨析【例5】集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 满足的条件；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数． 错解：(1)由题意并结合数轴(如下图)，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.所以实数m 满足的条件是2≤m ≤3. (2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， 所以A 的非空真子集的个数为28－1＝255.反思：空集是一种特殊的集合，也是集合运算中最活跃的一个集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．当B ⊆A 时，B 可能为易被忽视，要注意这一“陷阱”，在条件不明确时，要注意分类讨论．1已知集合A ＝{x ∈N ＋|－2 011＜x ＜2 012}，B ＝{x ∈Z |0≤x ≤2 011}，则集合A ，B 之间的关系为( )A．A＝B B．A B C．B A D．A⊃B2已知集合A＝{a}，C＝{a，b，c}，若A⊆B且B⊆C，则集合B的个数是()A．1 B．2 C．3 D．43设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a满足的条件是()A．a≥2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤24已知集合A＝{2,9}，集合B＝{m2－m,9}，且A＝B，则实数m等于__________．5有下面5个命题：①空集没有子集；②任意集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，则A≠；⑤集合A⊆B，就是集合A中的元素都是集合B中的元素，集合B中的元素也都是集合A中的元素．其中不正确命题的序号有__________．6已知集合A中元素的特征性质p(x)：x2－2x－3＝0，集合B中元素的特征性质q(x)：ax－1＝0，a∈R.若q(x)⇒p(x)，试求a的值．答案：基础知识·梳理1．子集A⊆B B⊇A包含于包含⊆它本身A⊆A任意一个集合⊆A真子集A B B A真包含于真包含任意一个非空集合A每一个每一个A＝B A⊆B，且B⊆A【做一做1－1】A①正确；②错误，应为{1}{0,1,2}；③正确，也可以写成{0,1,2}＝{0,1,2}；④正确．故选A.【做一做1－2】C【做一做1－3】C∵{x∈Z|2 009≤x≤2 011}＝{2 009，2 010，2 011}，集合中有3个元素，∴真子集个数为23－1＝7.2．封闭曲线的内部真子集【做一做2】D3．p(x)⇒q(x)q(x)⇒p(x)p(x)⇔q(x)【做一做3】a＞2 011∵x≥a⇒x＞2 011，∴N⊆M.∴a＞2 011.典型例题·领悟【例1】B根据元素与集合的关系可知0∈{0}正确；由空集是任意非空集合的真子集可知{0}正确；③中集合{0,1}的元素是数，而集合{(0,1)}的元素是点，因此没有包含关系，故③错误；④中集合中的元素是点，而点的坐标有顺序性，因此{(a，b)}≠{(b，a)}，故④错误；综上，应选B.【例2】解：根据集合中元素的互异性和M＝N，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a .解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0不符合要求，舍去，所以a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.【例3】解：由B ⊆A ，知B 中的所有元素都属于集合A . 又B ≠，故集合B 有三种情形：B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1,1}．当B ＝{－1}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2a ＋b ＝0，(－2a )2－4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1；当B ＝{1}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋b ＝0，(－2a )2－4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1；当B ＝{－1,1}时，⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2a ＋b ＝0，1－2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.综上所述，a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.【例4】解：因为x ＝1＋a 2，a ∈R ，所以x ≥1. 因为y ＝a 2－4a ＋5＝(a －2)2＋1，a ∈R ，所以y ≥1， 故A ＝{x |x ≥1}，B ＝{y |y ≥1}，所以A ＝B . 故它们的特征性质之间的关系为： x ＝1＋a 2，a ∈R ⇔y ＝a 2－4a ＋5，a ∈R . 【例5】错因分析：(1)中忽略了B ＝时的情形；(2)中误认为是求A 的真子集或A 的非空子集的个数．正解：(1)①当B ＝时，⊆A ，符合题意，此时m ＋1＞2m －1，解得m ＜2.②当B ≠时，由题意结合数轴(如下图)，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m≤3.综合①②，可知m的取值范围是{m|m≤3}．(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.随堂练习·巩固1．B2．D∵A⊆B⊆C，∴B可能为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}．∴满足条件的集合B的个数是4.3．A结合数轴(如下图)，∵A⊆B，∴a≥2.4．－1或2∵A＝B，∴m2－m＝2，解得m＝－1或2.5．①②③⑤①错误，因为空集是任意一个集合的子集；②错误，因为空集只有一个子集；③错误，因为空集是任意一个非空集合的真子集，空集并不是它本身的真子集；④正确；⑤错误，因为其叙述不符合子集的定义，若A⊆B，则只需要集合A中的元素都是集合B中的元素．6．解：∵q(x)⇒p(x)，∴B⊆A.又A＝{－1,3}，∴结合方程ax－1＝0，a∈R的特点有B＝或{－1}或{3}．当B＝时，a＝0；当B＝{－1}时，1a＝－1，即a＝－1；当B＝{3}时，1a ＝3，即a＝13.综上可知，a的值为0或－1或13.。

1．2.1 集合之间的关系整体设计教学分析课本从学生熟悉的集合出发，引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念．在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如归纳等．值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与 的区别．三维目标1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．重点难点教学重点：理解集合间包含与相等的含义．教学难点：属于与包含之间的区别．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.实数有相等、大小关系，如5＝5,5＜7,5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生)欲知谁正确，让我们一起来观察、研探．思路 2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填空：(1)0____N；(2)2____QR.类比实数的大小关系，如5＜7,2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈；(2)；(3)∈)推进新课新知探究提出问题1观察下面几个例子：①A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；②设A为国兴中学高一3班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；③设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；④E＝{2，4，6}，F＝{6，4，2}.,你能发现两个集合间有什么共同特点吗？(2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同样是子集，有什么区别？(3)结合例子④，类比实数中的结论：“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，在集合中，你发现了什么结论？(4)按升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然.试想一下，根据从楼顶向下看的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.(6)已知A⊆B，试用Venn图表示集合A和B的关系．(7)与实数中的结论“若a≥b，且b≥c，则a≥c”相类比，在集合中，你能得出什么结论？活动：教师从以下方面引导学生：(1)观察两个集合间元素的特点．教师给出定义：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.规定：空集是任何一个集合的子集．(2)从它们含有的元素间的关系来考虑．规定：如果A⊆B，但存在x∈B，且x A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)．(3)实数中的“≤”类比集合中的⊆．(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内．教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面内一条封闭曲线的内部代表集合，这种图称为维恩(Venn)图．(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制．(6)分类讨论：当A⊆B时，A B或A＝B.(7)类比子集．讨论结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合C中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中．可以发现：对于任意两个集合A、B有下列关系：集合A中的元素都在集合B中，或集合B中的元素都在集合A中．(2)例子①中A⊆B，但有一个元素4∈B，且4A，而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同．(3)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合．(5)如图甲所示表示集合A，如图乙所示表示集合B.(6)如下图所示．(7)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若A B，B C，则A C.应用示例思路1例1写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．分析：如何一个不漏地写出集合{1,2,3}的所有子集呢？我们采用下面的步骤：(1)因为空集∅是所有集合的子集，所以首先写出∅；(2)写出所有由一个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；(3)写出所有由两个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；(4)写出所有由三个元素构成的子集：{1,2,3}．解：集合A的所有子集是：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．点评：本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想．通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏．思考：集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n＝0时，即空集的子集为∅，即子集的个数是1＝20；当n＝1时，即含有一个元素的集合如{a}的子集为∅，{a}，即子集的个数是2＝21；当n＝2时，即含有两个元素的集合如{a，b}的子集为∅，{a}，{b}，{a，b}，即子集的个数是4＝22……集合A中含有n个元素，那么集合A有2n个子集，由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n－1)个真子集.变式训练已知集合P＝{1,2}，那么满足Q⊆P的集合Q的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1解析：集合P＝{1,2}含有2个元素，其子集有22＝4个，又集合Q⊆P，所以集合Q有4个．答案：A例2说出下列每对集合之间的关系：(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5}；(2)P＝{x|x2＝1}，Q＝{x||x|＝1}；(3)C＝{x|x是奇数}，D＝{x|x是整数}．解：(1)B A；(2)P＝Q；(3)C D.点评：本题主要考查集合间的包含关系．其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么．判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合A、B中的元素，再分析集合A、B中的元素之间的关系，得：当集合A中的元素都属于集合B时，有A⊆B；当集合A中的元素都属于集合B，当集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有A B；当集合A 中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素也都属于集合A时，有A＝B；当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时，有A B，且B A，即集合A、B互不包含.变式训练某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A表示合格产品的集合，B表示重量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．已知集合A、B、C均不是空集．(1)则下列包含关系哪些成立？A⊆B，B⊆A，A⊆C，C⊆A.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系．活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式．当集合A中的元素都属于集合B时，则A⊆B成立，否则A⊆B不成立．用相同的方法判断其他包含关系是否成立．教师提示学生以下两点：(1)重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格．(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.解：(1)包含关系成立的有：A⊆B，A⊆C.(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示，如下图所示.例3判定下列集合A与B的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x＞3}，B＝{x|x＞5}；(3)A＝{x|x是矩形}，B＝{x|x是有一个角为直角的平行四边形}．解：(1)因为x是12的约数⇒x是36的约数，所以A⊆B；(2)因为x＞5⇒x＞3，所以B⊆A；(3)因为x是矩形⇔x是有一个角为直角的平行四边形，所以A＝B.点评：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则如果p(x) ⇔q(x)，则A＝B；反之，如果A＝B，则p(x) ⇔q(x).变式训练本节练习A 4思路2例1已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B A，则实数m＝________.活动：先让学生思考B⊆A的含义，根据B⊆A，知集合B中的元素都属于集合A，集合元素的互异性，列出方程某某数m的值．因为B⊆A，所以3∈A，m22的值分类讨论．解析：∵B⊆A，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1(舍去)或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1.答案：1点评：本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性．本题容易出现m2＝3，其原因是忽视了集合元素的互异性．避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证．讨论两集合之间关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解变式训练已知集合M＝{x|2－x＜0}，集合N＝{x|ax＝1}，若N M，某某数a的取值X围．分析：集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x＞2}≠∅，由于N M，则N＝或N≠∅，要对集合N是否为空集分类讨论．解：由题意得M＝{x|x＞2}≠∅，则N＝∅或N≠∅．当N＝∅时，关于x的方程ax＝1中无解，则有a＝0；当N≠∅时，关于x 的方程ax ＝1中有解，则a≠0，此时x ＝1a. 又∵N M ，∴1a ∈M.∴1a ＞2.∴0＜a ＜12. 综上所得，实数a 的取值X 围是a ＝0或0＜a ＜12， 即实数a 的取值X 围是{a|0≤a＜12}.例2 (1)分别写出下列集合的子集及其个数：∅，{a}，{a ，b}，{a ，b ，c}．(2)由(1)你发现集合M 中含有n 个元素，则集合M 有多少个子集？活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集．(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集；(2)由(1)总结当n ＝0，n ＝1，n ＝2，n ＝3时子集的个数规律，归纳猜想出结论．解：(1)∅的子集有：∅，即∅有1个子集；{a}的子集有：∅、{a}，即{a}有2个子集；{a ，b}的子集有：∅、{a}、{b}、{a ，b}，即{a ，b}有4个子集；{a ，b ，c}的子集有：∅、{a}、{b}、{c}、{a ，b}、{a ，c}、{b ，c}、{a ，b ，c}，即{a ，b ，c}有8个子集．(2)由(1)可得：当n ＝0时，有1＝20个子集；当n ＝1时，集合M 有2＝21个子集；当n ＝2时，集合M 有4＝22个子集；当n ＝3时，集合M 有8＝23个子集．因此，含有n 个元素的集合M 有2n 个子集．点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力．集合M 中含有n 个元素，则集合M 有2n 个子集，有2n －1个真子集，记住这个结论，可以提高解题速度．写一个变式训练已知集合A {2,3,7}，且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有… ( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：对集合A 所含元素的个数分类讨论．A ＝∅或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个．答案：D知能训练1．判断正误：(1)空集没有子集．( )(2)空集是任何一个集合的真子集．( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集．( )(4)若B ⊆A ，那么凡不属于集合A 的元素，则必不属于B.( )分析：关于判断题应确实把握好概念的实质．解：该题的4个命题，只有(4)是正确的，其余全错．对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集．对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集．对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则x A时也必有x B.2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集．分析：区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，则该题先找该集合元素，后找真子集．解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0,1,2，即A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}．真子集有∅、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2}，共7个．3．(1)下列命题正确的是( )A．无限集的真子集是有限集B．任何一个集合必定有两个子集C．自然数集是整数集的真子集D．{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中，错误的个数为( )①{1}∈{0,1,2}②{1，－3}＝{－3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2}④∅∈{0,1,2}⑤∅∈{0}A．5 B．2 C．3 D．4(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是( )A．a M B．a M C．{a}∈M D．{a}M解析：(1)该题要在四个选项中找到符合条件的选项，必须对概念把握准确，无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；由于∅只有一个子集，即它本身，排除B；由于1不是质数，排除D.(2)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合的关系．①应是{1}⊆{0,1,2}，④应是∅⊆{0,1,2}，⑤应是∅⊆{0}．故错误的有①④⑤.(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π.因3＜a＜4，故a是M的一个元素．{a}是{x|3＜x＜4}的子集，那么{a}M.答案：(1)C (2)C (3)D4．判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系．(1)A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}；(2)A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}．解：(1)因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B.(2)因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，又x＝4n＝2·2n，在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数．故集合A、B的元素都是偶数，但B中元素是由A中部分元素构成，则有B A.5．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}满足Q P，求a所取的一切值．解：因P ＝{x|x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}，当a ＝0时，Q ＝{x|ax ＋1＝0}＝∅，Q P 成立． 又当a≠0时，Q ＝{x|ax ＋1＝0}＝{－1a}， 要Q P 成立，则有－1a ＝2或－1a ＝－3，a ＝－12或a ＝13. 综上所述，a ＝0或a ＝－12或a ＝13. 点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论．本题易漏掉a ＝0，ax ＋1＝0无解，即Q 为空集的情况，而当Q ＝∅时，满足Q P.6．已知集合A ＝{x∈R |x 2－3x ＋4＝0}，B ＝{x∈R |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}，要使A P ⊆B ，求满足条件的集合P.解：由A ＝{x∈R |x 2－3x ＋4＝0}＝∅，B ＝{x∈R |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}＝{－1,1，－4}， 由A P ⊆B 知集合P 非空，且其元素全属于B ，即P 是B 的非空子集，则满足条件的集合P 为{1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}．点评：要解决该题，必须确定满足条件的集合P 的元素，而做到这点，必须明确A 、B ，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件．7．集合A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，(1)若B ⊆A ，某某数m 的取值X 围；(2)当x∈Z 时，求A 的非空真子集个数；(3)当x∈R 时，没有元素x 使x∈A 与x∈B 同时成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝∅满足B ⊆A.当m ＋1≤2m－1即m≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m≤3.综上所得实数m 的取值X 围为m≤3.(2)当x∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)∵x∈R ，且A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x 使x∈A 与x∈B 同时成立．则①若B ＝∅即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件；②若B≠∅，则要满足条件有：⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m－1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m－1，2m －1<－2，解之，得m ＞4.综上，有m ＜2或m ＞4.点评：此问题解决要注意：不应忽略∅；找A 中的元素；分类讨论思想的运用． 拓展提升问题：已知A ⊆B ，且A ⊆C ，B ＝{0,1,2,3,4}，C ＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？活动：学生思考A⊆B，且A⊆C所表达的含义．A⊆B说明集合A是集合B的子集，即集合A中元素属于集合B，同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B 和集合C的公共元素．思路1：写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合，得满足条件的集合A；思路2：分析题意，仅求满足条件的集合A的个数，转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数．解法一：因A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，由此，满足A⊆B，有：∅，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共25＝32(个)．又满足A⊆C的集合A有∅，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共24＝16(个)．其中同时满足A⊆B，A⊆C的有8个，即∅，{0}，{2}，{4}，{0,2}，{0,4}，{2,4}，{0,2,4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁．解法二：题目只求集合A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少．显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有23＝8(个)．点评：有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛．课堂小结本节课学习了：①子集、真子集、Venn图等概念；②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集；③清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明．作业课本本节练习B 2、3、4.设计感想本节教学设计注重引导学生通过归纳来获得新知，在实际教学中，要留给学生适当的思考时间，使学生自己通过归纳得到正确结论．丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式．备课资料[备选例题]例1下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A、B、C、D、E分别是哪种图形的集合？分析：结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定．解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A＝{四边形}；梯形不是平行四边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形，故B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}；正方形是菱形，故E ＝{正方形}，即A ＝{四边形}，B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}，D ＝{菱形}，E ＝{正方形}．例2 设集合A ＝{x||x|2－3|x|＋2＝0}，B ＝{x|(a －2)x ＝2}，则满足B A 的a 的值共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：由已知得A ＝{x||x|＝1或|x|＝2}＝{－2，－1,1,2}，集合B 是关于x 的方程(a －2)x ＝2的解集，∵B A ，∴B＝∅或B≠∅．当B ＝∅时，关于x 的方程(a －2)x ＝2无解，∴a－2＝0.∴a＝2.当B≠∅时，关于x 的方程(a －2)x ＝2的解为x ＝2a －2∈A， ∴2a －2＝－2或2a －2＝－1或2a －2＝1或2a －2＝2. 解得a ＝1或0或4或3，综上所得，a 的值共有5个．答案：D例3 集合A ＝{x|0≤x＜3且x∈N }的真子集．．．的个数是( ) A ．16 B ．8 C ．7 D ．4解析：A ＝{x|0≤x＜3且x∈N }＝{0,1,2}，则A 的真子集有23－1＝7个．答案：C例4 已知集合A ＝{x|1≤x≤3}，B ＝{x|(x －1)(x －a)＝0}，试判断集合B 是不是集合A 的子集？是否存在实数a 使A ＝B 成立？分析：先在数轴上表示集合A ，然后化简集合B ，由集合元素的互异性，可知此时应考虑a 的取值是否为1，要使集合B 成为集合A 的子集，集合B 的元素在数轴上的对应点必须在集合A 对应的线段上，从而确定字母a 的分类标准．解：当a ＝1时，B ＝{1}，所以B 是A 的子集；当1＜a≤3时，B 也是A 的子集；当a ＜1或a ＞3时，B 不是A 的子集．综上可知，当1≤a≤3时，B 是A 的子集．由于集合B 最多只有两个元素，而集合A 有无数个元素，故不存在实数a ，使B ＝A. 点评：分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过“各个击破”，再求整体解决(即先化整为零，再聚零为整)的策略思想．类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键．[思考](1)空集中没有元素，怎么还是集合？(2)符号“∈”和“⊆”有什么区别？剖析：(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解，并产生怀疑的想法．产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景，其突破方法是通过实例来体会．例如，根据集合元素的性质，方程的解能够组成集合，这个集合叫做方程的解集．对于1x＝0，x 2＋4＝0等方程来说，它们的解集中没有元素．也就是说确实存在没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集．这就是建立空集这个概念的背景．由此看出，空集的概念是一个规定．又例如，不等式|x|＜0的解集也是不含任何元素，就称不等式|x|＜0的解集是空集．(2)难点是经常把这两个符号混淆，其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用X 围，并加以对比．符号∈只能适用于元素与集合之间，其左边只能写元素，其右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z ，12Z ；符号⊆只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，表示集合与集合之间的关系，如{1}⊆{1,0}，∅⊆{x|x ＜0}．。

错误!1．21集合之间的关系1集合与集合之间有什么关系？怎样表示集合间这些关系？2集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？3两集合相等是如何定义的？其性质又是什么？4集合关系与其特征性质之间的关系是什么？错误!1．子集与真子集定义符号语言图形语言Venn图子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集A⊆B或B⊇A真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集A B或B A[点睛]在子集的定义中，不能把集合A是集合B的子集理解成A是由B中部分元素所组成的集合，因为集合B的子集也包括它本身，而这个子集是由集合B的全体元素组成的，另外，空集也是集合B的子集，而这个集合中并不含有集合B中的元素．2．子集的性质1规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A2任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A预习课本P10～13，思考并完成以下问题3如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C4如果A B，B C，则A C3．集合的相等定义符号语言图形语言Venn图如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合BA＝B[点睛]1如果A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A2若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．4．集合关系与其特征性质之间的关系1一般地，设A＝{|}，若集合M有4个子集，则实数m＝A．1B．2C．3D．4解析：选B根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{∈Z|1≤≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝22．已知集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C，则满足条件的集合A的个数是________．解析：若集合A＝∅，满足A⊆B，A⊆C；若集合A≠∅，集合A可能是{a}，{b}，{a，b}．故集合A共4个．答案：4由集合间的关系求参数值或范围[典例]已知集合A＝{|－2≤≤5}，B＝{|m－6≤≤2m－1}，若A⊆B，求实数m的取值范围．[解]∵A⊆B，∴错误!解得错误!故3≤m≤4∴实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}．[一题多变]1．[变条件]本例中若将“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件不变，求m的取值范围．解：当B＝∅时，m－6>2m－1，即m－1}，所以0∈A，{0}⊆A，∅⊆A，D正确．3．已知集合A＝{|是平行四边形}，B＝{|是矩形}，C＝{|是正方形}，D＝{|是菱形}，则A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D解析：选B由已知是正方形，则必是矩形，所以C⊆B，故选B4．已知集合}，且A⊆B，则实数m满足的条件是________．解析：将数集A在数轴上表示出来，如图所示，要满足A⊆B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3答案：m≥39．已知集合A＝{|1≤≤2}，B＝{|1≤≤a，a≥1}．1若A B，求a的取值范围；2若B⊆A，求a的取值范围．解：1若A B，由图可知，a>22若B⊆A，由图可知，1≤a≤210．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B A，求a的值．解：∵B A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a1当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2经检验，满足题意．2当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不合题意．综上所述，a＝－1或a＝2为所求．层级二应试能力达标1．设集合A＝{，}，B＝{0，2}，若A＝B，则2＋等于A．0B．1C．2 D．－1解析：选C由A＝B，得＝0或＝0当＝0时，2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；当＝0时，＝2，则＝0或＝＝0不合适，故＝0，＝1，则2＋＝22．已知集合A＝{|2－3＋2＝0，∈R}，B＝{|03}，B＝{∈R|a≤≤2a－1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．解：∵B⊆A，∴B的可能情况有B≠∅和B＝∅两种．①当B≠∅时，∵B⊆A，∴错误!或错误!3；②当B＝∅时，由a>2a－1，得a3}．8．设集合A＝{|－1≤＋1≤6}，B＝{|m－1－2时，预习课本P15～17，思考并完成以下问题B＝{|m－1－1}，B＝{|－2－2} B．{|>－1}C．{|－2－2}．[答案]1A2A求集合并集的2种基本方法1定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；2数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．[活学活用]1．已知集合M＝{|－35}，则M∪N＝A．{|－3} B．{|－55}解析：选A将集合M和N在数轴上表示出来，如图所示，可知M∪N＝{|－3}．2．已知集合A＝{0,2,4}，B＝{0,1,2,3,5}，则A∪B＝________________解析：A∪B＝{0,2,4}∪{0,1,2,3,5}＝{0,1,2,3,4,5}．答案：{0,1,2,3,4,5}由集合的交集、并集求参数题点一：由交集、并集求参数的值1．已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．解：∵M∩N＝{3}，∴3∈M；∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4但当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意．∴a＝4题点二：由交集、并集的定义求参数的范围2．设集合A＝{|－12－1，∴0}，B＝{|－1≤≤2}，则A∪B＝A．{|≥－1}B．{|≤2}C．{|0－2C．a>－1 D．－1－16．江苏高考已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．解析：∵A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，∴A∪B中元素个数为5答案：57．若集合A＝{|－15}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．解析：由题意A∪B＝R，在数轴上表示出A，B，如图所示，错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!则错误!预习课本P18～19，思考并完成以下问题[解析]1因为U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，由补集的定义，可知∁U M＝{3,5,6}．2如图，在数轴上表示出集合M，可知∁U M＝{|0≤≤2}．[答案]1C2A求集合补集的2种方法1当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；2当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．[活学活用]1．设全集U＝R，集合A＝{|25}．答案：{|≤2或>5}2．设U＝{|－5≤－2}，T＝{|－4≤≤1}，则∁R S∪T等于A．{|－2－2}，所以∁R S＝{|≤－2}．而T＝{|－4≤≤1}，所以∁R S∪T＝{|≤－2}∪{|－4≤≤1}＝{|≤1}与补集相关的参数值的求解[典例]设集合A＝{|＋m≥0}，B＝{|－2－2，解得m1} B．{|≥1} C．{|12或a}，U＝R1求A∪B，∁U A∩B；2若A∩C≠∅，求a的取值范围．解：1A∪B＝{|2≤≤8}∪{|18}，∴∁U A∩B＝{|1<<2}．2∵A∩C≠∅，如图易知，只要a在8的左边即可，∴a<8，即a的取值范围为－∞，8．21．本小题满分12分已知集合A＝{|－6≤≤4}，集合B＝{|a－1≤≤2a＋3}．1当a＝0时，判断集合A与集合B的关系；2若B⊆A，求实数a的取值范围．解：1当a＝0时，B＝{|－1≤≤3}，∵A＝{|－6≤≤4}，∴B A2当B＝∅时，a－1＞2a＋3，解得a＜－4，此时B⊆A；当B≠∅时，由B⊆A，得错误!解得错误!∴－4≤a≤错误!综上，若B⊆A，a≤错误!，即实数a的取值范围为错误!22．本小题满分12分已知集合S是元素为正整数的非空集合，同时满足“若∈S，则错误!∈S”．1如果集合S是单元素集，求集合S；2集合S最多含有多少个元素？求出这个集合S解：1若∈S，则错误!∈S，如果集合S是单元素集，则＝错误!∴2＝16，∴＝±4而集合S中的元素为正整数，∴＝4，即S＝{4}．2设∈S，则错误!∈S∵集合S的元素为正整数，∴，错误!∈N＋，∴只可能取1,2,4,8,16 若1∈S，则16∈S；若2∈S，则8∈S∴集合S最多含有5个元素，这个集合S＝{1,2,4,8,16}．。

1、2、1 集合之间的关系1。

子集一般地,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A、读作“A包含于B"，或“B包含A".理解子集的定义要注意以下七点：（1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,即由任意x∈A，能推出x∈B、例如:｛1，2,3｝⊆N，N⊆R，{x｜x为山东人}⊆｛x｜x为中国人｝等.(2）当集合A中存在着不是集合B的元素，我们就说A不是B的子集,记作“A B”(或B A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”）。

例如:A＝｛1,2，3}不是B＝｛2，3,4，5，6｝的子集,因为集合A中的元素1不是集合B中的元素。

(3)任意一个集合是它本身的子集.因为对于任意一个集合A,它的任意一个元素都属于集合A本身，记作A⊆A、例如:{1，5}⊆｛1,5｝等。

(4)空集是任意一个集合的子集，即对于任意一个集合A，都有∅⊆A、(5）在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素"所组成的集合.因为若A ＝∅，则A中不含任何元素;若A＝B,则A中含有B中的所有元素。

但在这两种情况下集合A都是集合B的子集.(6)包含关系具有传递性：对于集合A，B,C，若A⊆B，B⊆C,则A⊆C、（7)写集合的所有子集时，注意按一定顺序写出,避免遗漏和重复.【例1】已知集合M＝｛0，1},集合N＝{0,2，1－m｝，若M⊆N,则实数m＝__________、解析:∵M⊆N，M＝{0，1｝，∴1∈N、∴1－m＝1,即m＝0、答案:0点技巧有限集合子集的确定技巧（1）确定所求的集合；（2）合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合自身，看它们是否能取到。

2。

真子集如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B 的真子集，记作A B或B A，读作“A真包含于B”,或“B真包含A”.例如:{1｝{1,2,3｝.关于真子集注意以下四点：（1）空集是任何非空集合的真子集。

集合间的基本关系【学习目标】1．理解子集、真子集概念以及集合相等并且能够区分集合间的包含关系与元素与集合的属于关系。

2．掌握用数学符号语言以及V图语言表示集合间的基本关系。

【重点难点】重点：集合间基本关系。

难点：类比实数间的关系研究集合间的关系。

【知识梳理】【学习过程】一、子集1．情境与问题：如果一个班级中，所有同学组成的集合记为S，而所有女同学组成的集合记为F你觉得集合S和F之间有怎样的关系？你能从集合元素的角度分析它们的关系吗？结论：2．探究新知问题：大家来仔细观察下面的例子，你能发现集合间的关系吗？（1）A={1，3}，B={1，3，5，6}；3．深化认知一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作：A ⊆B （或B ⊇A ），读作“A 包含于B ”或者“B 包含A ”。

4．请同学们想一想∈与⊆表达的含义相同吗？请举例说明5．尝试与发现（1）根据子集的定义判断，如果A={1，2，3}，那么A ⊆A 吗？ （2）你认为可以规定空集必是任意一个集合的子集吗？为什么？ 根据（1）（2）问题回答并想一想你能得到怎样的结论。

（1） （2） 二、真子集1．情境与问题前面的情境与问题中的两个集合满足F S ⊆，但是，只要班级中有男同学，那么S 中就有元素不属于F ，那S 和F 是什么关系呢？2．深化认知一般地，如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属A ，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作⊂≠A B (或⊃≠B A )，读作“A 真包含于B ”(或“B 真包含A ”)如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图根据子集和真子集的定义可知：（1）对于集合A ，B ，C ，如果⊆A B ，⊆B C ，则A 与C 是什么关系？ （2）对于集合A ，B ，C ，如果⊂≠A B ，⊂≠B C ，则A 与C 是什么关系？你能用维恩图来理解这些性质吗？ 图示为：【小试牛刀】1．写出集合A={6，7，8}的所有子集和真子集2．已知区间2(]=-∞A ，和()=-∞B a ，，且B A ⊆，求实数a 的取值范围 三、集合的相等和子集的关系1．情境与问题：已知{|(1)(2)0},T {1,2}S x x x =++==--，这两个集合的元素有什么关系？S T ⊆吗？T S ⊆吗？你能由此总结出集合相等与子集的关系吗？2．深化认知一般地，由集合相等以及子集的定义可知： （1）如果A B ⊆且B A ⊆，则A B =； （2）如果A B =，则A B ⊆且B A ⊆． 3．写出下列每对集合之间的关系： （1）{1,2,3,4,5},B {1,3,5}A == （2）2{|1},D {|||1}C x x x x ==== （3）(,3),(1,2]E F =-∞=-（4）{|}G x x =是对角线相等且互相平分的四边形，{|}H x x =是有一个内角是直角的平行四边形 解：（1）（2）（3）（4）【自主探究】你能找出“元素个数”与“子集个数”之间的规律吗？如果一个集合中有n个元素，你能用n表示这个集合子集的个数吗？【反思小结】回顾本节课，你有什么收获？【课后巩固】作业：教材P14练习B答案：一、子集结论：集合F中的每一个元素都是集合S中的元素。

集合之间的关系一、三维目标（一）知识与技能1、理解集合间“包含”与“相等”的含义；2、能识别给定集合的子集；3、了解空集的含义；4、能使用Venn图表达集合的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.（二）过程与方法1、类比实数间的关系，联想集合间的关系；2、分别能用自然语言、符号语言、图形语言描述子集的概念.（三）情感、态度与价值观1、培养数学来源于生活，又为生活服务的思维方式；2、个体与集体之间，小集体构成大社会的依存关系；3、发展学生抽象，归纳事物的能力，培养学生辩证的观点.二、教学重点子集、真子集的概念.三、教学难点1、元素与子集，属于与包含间的区别；2、空集是任何非空集合的真子集的理解.四、教学方法讨论与讲练相结合五、教学过程Ⅰ、【引一引★温故知新】我们知道，实数有相等关系，大小关系如：5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数间的关系，集合与集合之间有没有类似的关系呢？若有，怎样表示呢？这就是我们今天要学习的内容.（板书：§1.1.2 集合间的基本关系）Ⅱ、【说一说★本节新知】师：请同学们在预习的基础上再看课本P6-7页，然后试着谈谈自己对本节内容的认识.生：子集、相等、真子集、空集、性质.师：很好！下面我们找学生依次来回答这些内容.生：1、子集自然语言：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作：A⊆B（或B⊇A）读作：“A含于B”（或“B包含A”）符号语言：任意x∈A，有x∈B，则A⊆B温馨提醒：（1）A中元素的任意性；（2）判定集合与集合之间的包含关系，转化为判定元素与集合的关系.图形语言：Venn 图表示集合的包含关系.华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，说明了直观在数学中的重要作用，为了形象的表示集合，英国数学家维恩（Venn ）用平面上一段封闭的曲线的内部代表集合，后人为了纪念他，便将这种图称之为Venn 图，上述集合A 与集合B 的包含关系，可以用图表示为： AB生：2、集合相等 如果集合A 是集合B 的子集（即A ⊆B ），且集合B 是集合A 的子集（即B ⊆A ），此时集合A 与集合B 中的元素是一样的，我们称集合A 与集合B 相等，记作A=B.师：与实数中的结论“若a ≥b ，且b ≥a ，则a=b ”相类比，你有什么体会？ 生：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则A=B.师：很好，这也是集合相等的符号语言.生：3、真子集如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊂≠（或B ⊃≠A ）读作：“A 真含于B ”（或B 真包含A ）生：4、空集不含任何元素的集合叫做空集，记作：∅规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A空集是任何非空集合的真子集，即 ∅⊂≠B （B 为非空集合）师：你能举出几个空集的例子吗？生：A={}2|10x R x ∈+= {}x N|x 10∈+< {边长为3，5，9的三角形} 师：很好.生：5、子集的有关性质（1）任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A（2）对于集合A 、B 、C ，如果A ⊆B 且B ⊆C ，那么A ⊆C师：你还能得出哪些结论？生1：对于集合A 、B 、C ，如果A ⊂≠B ，且B ⊂≠C 那么A ⊂≠C生2：对于集合A 、B 、C ，如果A ⊆B ，且B ⊂≠C 那么A ⊂≠C生3：对于集合A 、B 、C ，如果A ⊂≠B ，且B ⊆C 那么A ⊂≠C生4：对于集合A 、B 、C ，如果A=B ， 且B=C ，那么A=C师：这就是我们今天学习的主要内容，Ⅲ、【议一议★深化概念】请大家讨论下面四个问题。

《集合之间的关系》学案一．学习目标：１.理解掌握集合间的基本关系--包含，真包含关系，并能用韦恩图表示２.区别元素与集合，集合和集合间的关系３.了解空集的含义．二．知识点拨１.集合Ａ是集合Ｂ的子集的本质是集合Ａ的任何一个元素都是：集合Ｂ的元素．２.若,,C B B A ⊆⊆则C A ⊆.3.正确理解0与{}0，{}φφ与的关系 例：下列关系式中正确的个数是 （ ）(1).0{0，1} (2).{}φφ=. (3).{}φ {}1,0 (4). {}φφ∈ 5. {}φ⊆0. 6.Φ{Φ}.4.含n 个元素的集合A 的子集个数为--------------，真子集个数为--------------，非空真子集个数为--------------。

三．基本题型（一）．集合间的关系例1：下列命题：（1）空集无子集；（2）任何集合至少有两个子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若ΦA 则φ≠A 。

其中正确的有A ．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个练习:在以下六个选择中, (1). Φ{0} (2).{}{}1,1,01,0,1-=-. (3).{}∈0 {}1,0 (4).φ∈0 5. {}{}0)0,0(=. 6. {{}{})2,1(),(12===x y y x .错误命题的个数是( )A ．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个（二）. 集合子集个数例2：若集合A={}3,2,1,则满足A B ⊆的空集集合B 的个数是( ) A ．6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个练习:1.已知集合{}3,2,1⊆A ,且A 中至少有两个元素,满足条件的集合A 共有( ) A ．3个 B. 4个 C. 5个 D. 8个2. .已知集合M 满足{}{}5,4,3,2,12,1⊆⊆M 写出集合M. （三）. 有集合间子集,真子集的关系求参数的范围例3．设集合A={}R x x x x ∈=+,042,B={}R x a x a x x ∈=-+++,01)1(222若A B ⊆ .求实数a 的取值范围练习1. 已知集合A={}12,3,1--m B={}2,3m ，若A B ⊆.则实数m=__________2. 设集合A={}52≤≤-x x ,B={}121-≤≤+a x a x 若A B ⊆.求实数a 的取值范围3.已知M={}b a ,,2 N={}2,2,2b a ，且M=N ，求实数b a ,的值四．课堂检测1.满足{}M a ⊆Φ{a,b,c,d}的集合M 共有 （ ）A ．6个 B. 7个 C. 8个 D. 15个2.设A={}21<<x x ,B={}a x x <若A B,则实数a 的取值范围 （） A ．2≥a B. 1≤a C. 1≥a D. 2≤a3. 已知M={}x y R y =∈ N={}2m X R x =∈，则下列关系中正确的是（ ） A ．M N B. N M = C.N M ≠ D. N M4. 已知集合A={}1,0 B={}A x x ∈,则A 与B 的关系正确的是 （ ）A ．B A ⊆ B. A B C.B A D. B A ∈5.已知非空集合{}332<<-=x a x A ，{}121+<<-=a x x B（1）若A B ⊆.求实数a 的取值范围（2）若A=B ，求a 的值。

1.2 集合之间的关系与运算自主整理1.集合之间的关系(1)如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作A⊆B或B⊇A;若集合P中存在元素不是集合Q的元素,那么P不包含于Q,或Q不包含P,记作P Q. (2)若集合A是集合B的子集,且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记作A B.(3)Venn图(维恩图):在平面内用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合,用这种图形可以形象地表示集合之间的关系,如图1-2-1:图1-2-1(4)简单性质:①A⊆A,也就是说任何集合是它本身的子集.②空集是任意集合的子集,也就是说,对任意集合A,都有∅⊆A;空集是任意非空集合的真子集.③若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;若A B,B C,则A C.④集合相等:构成两个集合的元素完全一样.若A⊆B且B⊆A,则A=B;反之,若A=B,则A⊆B 且B⊆A.(5)集合关系与其特征性质之间的关系:一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.如果A⊆B,则x∈A⇒x∈B;反之,如果p(x)⇒q(x),A一定是B的子集.如果A=B,则p(x)⇔q(x);反之,如果p(x)⇔q(x),则A=B.2.交集与并集(1)一般地,对于给定的两个集合A、B,由属于A又属于B的所有元素构成的集合,叫做集合A、B的交集,记作A∩B,即交集A∩B={x|x∈A且x∈B}.(2)一般地,对于给定的两个集合A、B,由两个集合的所有元素构成的集合,称为集合A与B的并集.记作A∪B,即并集A∪B={x|x∈A或x∈B}.(3)简单性质:①A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪∅=∅∪A=A,A∪B=B∪A;③A∩B⊆A∪B;④A⊆B⇔A∩B=A,A⊆B⇔A∪B=B.3.全集与补集(1)如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常记作U.(2)如果给定集合A是全集U的一个子集,由U中不属于A的所有元素构成的集合,叫做A在U中的补集,即若U是一个集合,A⊆U,则A={x|x∈U且x∉A},全集通常用矩形区域表示,如图1-2-2.图1-2-2(3)简单性质:①(A)=A;②A∩A=∅;③A∪A=U.高手笔记1.对于给定的问题,首先要做的是判断到底是元素与集合的关系还是集合与集合之间的关系,然后再应用相应的符号.“∈”与“⊆”这两个符号无论在意义上还是在书写上都很相近,要仔细识别和书写.判断集合与集合间的关系关键是要弄清集合中的元素是什么.2.注意子集符号的应用.A⊆B是指A B或A=B.若A B,可形象理解为B中元素至少比A 中元素多一个.A=B可从A的元素与B的元素完全一样去理解.3.一个含有n个元素的集合,共有2n个子集.再结合空集、真子集的知识,可以进一步得出:共有2n-1个非空子集,2n-1个真子集,2n-2个非空真子集.4.在学习中应了解子集、全集、补集的概念实质上即是生活中的“部分”“全体”“剩余”等概念在数学中的抽象与反映.5.“集合用图很方便,子交并补很明显”,将满足条件的集合用Venn图或数轴一一表示出来,从而求集合的交集、并集、补集.这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法,要注意灵活运用.名师解惑1.如何正确理解集合的交、并、补运算？剖析:(1)集合间交、补、并运算的结果仍然是一个集合.就如同两个数进行加减等运算后结果仍然是一个数一样.(2)交集:要从x∈A∩B,则x∈A且x∈B来理解,要理解这里的“且”.①A∩B是一个新集合的表达式,是由A与B的所有的公共元素组成的;②当A与B没有公共元素时,不能说它们没有交集,而是交集为∅,同时结合集合的一些特征去理解.(3)并集:x∈A∪B,则x∈A或x∈B,这里的“或”是指x∈A,x∈B,x同时属于A与B这三种情况.(4)补集是在相对于有全集的情况下才有的,所以谈到补集,一定要首先给出全集.2.处理集合运算问题时应注意什么？剖析:(1)处理集合运算问题时,要注意化简集合的表达式.如果集合中含有字母,要注意对字母分类讨论.(2)在解决有关集合运算题目时,一要把握概念中的关键词,如“所有”“且”“或”等;二要把握它们各自的实质;三要借助数轴,应用数形结合的思想.(3)Venn 图在集合中起到数形结合的作用,由图可以把一些不明确的数量关系直观地表现出来,起到化繁为简,化抽象为直观的作用. (4)在学习子、交、并、补集的概念时,应注意对“任何一个”“都”“所有”“或”“且”等词的理解,“交集”是指两个集合中所有公共元素所组成的集合,忽略了“交集”概念中的“所有”两个字就会错误地认为“若A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B={2}”.“并集”概念中的“或”与生活用语中的“或”含义不同,生活用语中的“或”一般是或此或彼,必具其一,不兼有,“并集”概念中的“或”是可兼有的,但不必须兼有. 讲练互动【例题1】设集合A={-1,1},集合B={x|x 2-2ax+b=0},若B≠∅,B ⊆A,求a 、b 的值.分析:由B≠∅,B ⊆A,可见B 是A 的子集.而A 的子集有三个:{-1}、{1}、{-1,1}.所以B 要分三种情形讨论.解：由B ⊆A,知B 中的所有元素都属于集合A.又B≠∅,故集合B 有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}. 当B={-1}时,B={x|x 2+2x+1=0},故a=-1,b=1; 当B={1}时,B={x|x 2-2x+1=0},故a=b=1; 当B={-1,1}时,B={x|x 2-1=0},故a=0,b=-1. 综上所述,a 、b 的值为⎩⎨⎧==1b -1,a 或⎩⎨⎧==1b 1,a 或⎩⎨⎧==-1.b 0,a绿色通道利用分类讨论的思想,考虑到集合B 的所有可能的情况,这是处理集合与其子集之间关系的常用方法.另外,此题也可以利用韦达定理结合根的判别式求解.此题容易发生的错误是:没有注意题中的已知条件,又多加上B=∅的情形,从而画蛇添足!变式训练1.已知A={x|x 2+4x=0,x ∈R },B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0,a ∈R ,x ∈R },若B ⊆A,求实数a 的取值范围.分析:含参数的二元一次方程的解集可能是空集、单个元素集或含有两个元素的集合,需要对此进行讨论.对于条件B ⊆A 不能忽略了B=∅这种情况.解：由已知得A={0,-4}.由于集合B 是一元二次方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0的实数解的集合,该方程对应的解有两个、一个或者无解,因此集合B 有如下几种可能: (1)A=B,即B={0,-4}.∵0和-4是方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0的两根, 由韦达定理有⎩⎨⎧==+0.1-a -4,1)2(a -2解得a=1.(2)B A,此时又可以分两种情况: ①当B≠∅,即B={0}或B={-4}时, Δ=4(a+1)2-4(a 2-1)=0,解得a=-1.代入方程得x=0,因此B={0}满足条件.②当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a 2-1)<0,解得a<-1. 综上,所求实数a 的取值范围是a≤-1或a=1.【例题2】已知集合A={x|x<-1或x>2},集合B={x|4x+p<0}.当B ⊆A 时,求实数p 的取值范围. 分析:由B ⊆A,可知B 是A 的子集,利用数轴图示的方法,先把A 表示出来,然后再画出A 的子集即可求出B. 解：集合A 、B 都是以不等式的形式给出的数集,欲求满足B ⊆A 的实数p,可先将“定集合A”在数轴上表示,然后再根据集合B 中不等式的方向,确定p 与集合A 中端点-1或2的关系. ∵B={x|4x+p<0}={x|x<4p-},将集合A 在数轴上表示出来(如图1-2-3).图1-2-3∵B ⊆A,∴4p-≤-1,即p≥4. 绿色通道若给出两个与不等式有关的数集之间的包含关系求参数范围时,常借助于数轴表示数集,以帮助解题,将各个集合在数轴上画出来,从而直观、清晰地反映它们之间的关系.运用分类讨论、等价转化、数形结合思想常使集合问题简捷化. 变式训练2.(2007广东惠州高三第一次调研考试,文1)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B 等于( )A.{x|0≤x≤2}B.{x|1≤x≤2}C.{x|0≤x≤4}D.{x|1≤x≤4} 解析：在同一条数轴上表示出集合A 、B,如图所示.由图得A∩B={x|0≤x≤2}.答案：A3.A={-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m -1},B ⊆A,求m 的值.分析:解与不等式有关的集合问题通常可以借助数轴,本题需要对集合B 进行讨论. 解：①当B=∅时,∅⊆A,符合题意,此时m+1>2m-1,解得m<2. ②B≠∅,由题意画出数轴如图所示:则⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+.51221,121m m m m 解之,得2≤m≤3.综合①②,得m 的取值范围是m≤3.【例题3】设A 、B 、I 均为非空集合,且满足A ⊆B ⊆I,则下列各式中错误的是( ) A.(A)∪B=I B.(A)∪(B)=I C.A∩(B)=∅ D.(A)∩(B)= B 解析：思路一:根据题意画出维恩图如图1--2-4,借助于图形的直观性,对照选项A 、B 、C 、D 即可选出错误选项.图1--2-4思路二:根据题意A⊆B⊆I构造集合A、B、I,不妨设A={1},B={1,2},I={1,2,3},利用特殊值代入法可选出错误选项.思路三:根据集合的反演律选出错误选项.即(A∪B)=(A)∩(B);(A∩B)=(A)∪(B).对A选项,(A)∪B=(A∩(B))=I;对B选项,(A)∪(B)=(A∩B)=A;对C选项,A∩(B)=(A∪B)=∅;对D选项,(A)∩(B)=(A∪B)= B.答案：B绿色通道对于有关集合运算的问题,如果题目给出的集合是无限数集,可以结合数轴来帮助解决;如果给出的集合是有限集合,可以借助Venn图帮助解决问题.另外,通过此题的求解我们还可以得到如下结论:(A)∩(B)=(A∪B),(A)∪(B)=(A∩B).变式训练4.(2007吉林高三期末统考,文1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(A)∩(B)等于( )A.{1,6}B.{4,5}C.{2,3,4,5,7}D.{1,2,3,6,7}解析：思路一:观察或用Venn图得(A)∩(B)={1,3,6}∩{1,2,6,7}={1,6};思路二:观察或用Venn图得A∪B={2,3,4,5,7},则(A)∩(B)=(A∪B)={1,6}.答案：A5.已知集合U={x|1<x≤7},A={x|2≤x<5},B={x|3≤x<7}.求:(1)(A)∩(B);(2)(A∪B);(3)(A)∪B);(4)(A∩B).分析:首先把题目给出的集合(数集)在数轴上正确表示出来,在正确识别题目给出的集合符号后就可以得出结果.解：在数轴上分别表示出集合U、A、B,求出A∩B={x|3≤x<5},A∪B={x|2≤x<7},A={x|1<x<2或5≤x≤7},B={x|1<x<3或x=7},于是得 (1)(A)∩(B)={x|1<x<2或x=7};(2)(A ∪B)={x|1<x<2或x=7}; (3)(A)∪(B)={x|1<x<3或5≤x≤7};(4)(A∩B)={x|1<x<3或5≤x≤7}.【例题4】设a 、b 是两个实数,集合A={(x,y)|y=ax+b,x ∈Z },B={(x,y)|y=3x 2+15,x ∈Z },C= {(x,y)|x 2+y 2≤144},讨论是否存在实数a 和b 使得A∩B≠∅,(a,b)∈C 同时成立. 分析:把A∩B≠∅转化为方程组有解的问题.解：由A∩B≠∅,知方程组⎩⎨⎧+=+=153x y b,ax y 2有解, 即方程3x 2-ax+15-b=0有解. ∴Δ=a 2-4×3×(15-b)=a 2+12b-180≥0. ① 由(a,b)∈C,得144≥a 2+b 2. ② 由①②,得180-12b≤a 2≤144-b 2. ③ 由③,得(b-6)2≤0⇒b=6.把b=6代入③,得108≤a 2≤108, ∴a 2=108,即a=±63.把a=±63,b=6代入方程3x 2-ax+15-b=0, 解得x=±3,这与x ∈Z 矛盾.故不存在实数a 、b 满足条件. 黑色陷阱本题容易出现求到不等式②后由于该二元二次不等式组难以求解,半途而废,不了了之. 或者求出a=±63,b=6后下结论:存在实数a 、b 满足条件.后一种错误忽略了集合A 、B 中x ∈Z 的条件,造成结论的错误.事实上,本题解法较多但由于题中所含字母较多,若不善于梳理,就容易造成思路混乱. 变式训练6.已知A={x|-m 2≤x<4},B={x|2<x<-4m+1},若A ∪B={x|-1≤x<5},求m 的值.分析:由于集合A 、B 都是无限数集,A ∪B 可以借助于数轴的直观性进行分析,因为A ∪B 有元素-1,故只能-m 2=-1,同时-4m+1=5.如图:解：由已知作出数轴如图,根据题意,可知⎩⎨⎧=+= 5.14m --1,m -2解得m=-1. 教材链接1.［思考与讨论］两个非空集合的交集能等于空集吗?举例说明.答:能,当A 与B 无公共元素时,如A={1,2},B={3,4},显然有A∩B=∅. 2.［思考与讨论］如何用集合的语言表示平面内的两条直线的平行与重合?答:设两条直线分别为l 1,l 2,则当l 1∩l 2=时,我们就说这两条直线平行,当l 1∩l 2=l 1=l 2时,我们就说这两条直线重合.。