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运动图象、追及和相遇问题一、运动图象1. 位移—时间（x t -）图象：物体运动的x t -图象表示物体的位移随时间变化的规律，与物体的运动轨迹无任何直接关系。
图1中三条直线对应的x t -关系式分别为0x x vt =+、x vt =、0'()x v t t =-，都是匀速直线运动的图象。
纵轴截距x 0表示0=t 时，a 在b 前方x 0处；横轴截距t 0表示c 比b 晚出发t 0时间；斜率表示运动速度的大小，易见＞；交点P 可反映t 时刻c 追及b 。
2. 速度—时间（t v -）图象： 物体运动的图象表示物体运动的速度随时间变化的规律，与物体的运动轨迹也无任何直接关系。
图2中、、、四条直线对应的关系式分别为=常数、=0+、=、=0－。
是匀速运动的速度图象，其余都是匀变速直线运动的速度图象，纵轴截距0表示、的初速度，横轴截距m t 表示匀减速直线运动的速度等于零时所需要的时间，斜率表示运动的加速度，斜率为负值（如）对应于匀减速直线运动。
图线下方覆盖的面积表示运动的位移。
两图线的交点P 可反映在时刻两个运动（和）有相同的速度。
3. x t -图象与t v -图象的比较：图3和下表是形状一致的图线在x t -图象与t v -图象中的比较。
x t -图象图象 ① 表示物体做匀速直线运动（斜率表示速度）。
① 表示物体做匀加速直线运动（斜率表示加速度）。
② 表示物体静止。
② 表示物体做匀速直线运动。
③ 表示物体静止。
③ 表示物体静止。
④ 表示物体向反方向做匀速直线运动；初位移为x 0。
④ 表示物体做匀减速直线运动；初速度为v 0。
⑤ 交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位移。
⑤ 交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度。
⑥ 0～t 1时间内物体的位移为x 1。
⑥ t 1时刻物体速度为v （图中阴影部分面积表示质点在0～t 1时间内的位移）。
4. 运用图象时需注意的问题（1）首先明确所给的图象是什么图象，即认清图中横、纵轴所表示的物理量及它们的函数关系。
高考复习复习——运动学图象追及相遇问题1．x－t图象与v－t图象的比较倾斜直线表示匀速直线运动；曲倾斜直线表示匀变速直线运动；曲2.三点说明(1)x－t图象与v－t图象都只能描述直线运动，且均不表示物体运动的轨迹；(2)分析图象要充分利用图象与其所对应的物理量的函数关系；(3)识图方法：一轴、二线、三斜率、四面积、五截距、六交点．例1(多选)(2018·全国卷Ⅲ·18)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图1所示．下列说法正确的是()图1A．在t1时刻两车速度相等B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等D ．在t 1到t 2时间内的某时刻，两车速度相等 答案 CD解析 x －t 图象的斜率表示速度，则可知t 1时刻乙车速度大于甲车速度，A 错误；由两图线的纵截距知，出发时甲在乙前面，t 1时刻图线相交表示两车相遇，可得0到t 1时间内乙车比甲车多走了一段距离，B 项错误；t 1和t 2时刻两图线都相交，表明两车在两个时刻均在同一位置，从t 1到t 2时间内，两车走过的路程相等，在t 1到t 2时间内，两图线有斜率相等的一个时刻，该时刻两车速度相等，C 、D 项正确．变式1 (2020·湖北鄂南高中、华师一附中等八校第一次联考)A 、B 两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置—时间图象如图2所示，其中A 是顶点过原点的抛物线的一部分，B 是过点(0,3)的一条直线，两图象相交于坐标为(3,9)的P 点，则下列说法不正．．确．的是( )图2A ．质点A 做初速度为零、加速度为2 m/s 2的匀加速直线运动B ．质点B 以2 m/s 的速度做匀速直线运动C ．在前3 s 内，质点A 比B 向前多前进了9 mD ．在3 s 前某时刻质点A 、B 速度相等 答案 C解析 质点A 的运动方程为x ＝12at 2，则初速度为零，加速度a ＝2 m/s 2，故A 正确；B 直线的斜率表示速度，故质点B 做匀速直线运动，质点B 的速度为v ＝Δx Δt ＝9－33 m/s ＝2 m/s ，故B 正确；在前3 s 内，质点B 的位移为6 m ，质点A 的位移为9 m ，质点A 比B 向前多前进了3 m ，故C 错误；t ＝1 s 时刻，质点A 的速度为2 m/s ，质点B 以v ＝2 m/s 的速度做匀速直线运动，故D 正确．例2 (多选)(2018·全国卷Ⅱ·19)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图3中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t 2时刻并排行驶．下列说法正确的是( )。
专题2.6运动学图像和追及相遇问题【讲】一．讲素养目标1.理解x－t图像和v－t图像的物理意义，并会用v－t图像求位移。
2.建立运动情景，画好示意图，会分析追及相遇问题。
二．讲考点与题型【考点一】运动学图像问题1.v－t图像与x－t图像的比较2.利用v－t图像求位移v－t图线与时间轴所围的“面积”表示位移。
“面积”在时间轴上方表示位移为正，“面积”在时间轴下方表示位移为负；通过的位移为时间轴上、下“面积”绝对值之差。
通过的路程为时间轴上、下“面积”绝对值之和。
【例1】如图所示的位移(x)—时间(t)图像和速度(v)—时间(t)图像中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是()A.甲车做直线运动，乙车做曲线运动B.0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程C.0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远D.0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等【变式训练1】某一做直线运动的物体的v－t图像如图所示，根据图像求：(1)物体距出发点的最远距离；(2)前4 s内物体的位移大小；(3)前4 s内物体通过的路程。
【变式训练2】(多选)做直线运动的某物体的v－t图像如图所示。
由图像可知()A.前10 s物体的加速度为0.5 m/s2，后5 s物体的加速度为－1 m/s2B.15 s末物体回到出发点C.前15 s内物体的位移为37.5 mD.前10 s内物体的平均速度为2.5 m/s【变式训练3】.有四个物体A、B、C、D，物体A、B运动的x－t图像如图甲所示；物体C、D从同一地点沿同一方向运动的v－t图像如图乙所示。
根据图像做出的以下判断中正确的是()A.物体A和B均做匀变速直线运动B.在0～3 s的时间内，物体A、B的间距逐渐减小C.t＝3 s时，物体C、D的位移相同D.在0～3 s的时间内，物体C与D的间距逐渐增大【考点二】追及和相遇问题1.追及相遇问题两物体在同一直线上一前一后运动，速度不同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者碰撞的情况，这类问题称为追及相遇问题。
图像追及和相遇问题一、运动学图像【例题1】(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示．下列说法正确的是()A．在t1时刻两车速度相等B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等【演练1】如图所示是甲、乙两物体从同一点出发的位移—时间(x-t)图象，由图象可以看出在0～4 s这段时间内()A．甲、乙两物体始终同向运动B．4 s时甲、乙两物体之间的距离最大C．甲的平均速度大于乙的平均速度D．甲、乙两物体之间的最大距离为3 m【例题2】某物体沿直线运动，其v—t图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．第1s内和第6s内速度方向相反B．第1s内和第6s内的加速度方向相反C．第2s内的加速度为零D．第6s末物体回到原出发点【演练2】（多选）甲和乙两个物体在同一直线上运动, 它们的v－t图像分别如图中的a和b所示. 在t1时刻( )A. 它们的运动方向相同B. 它们的运动方向相反C. 甲的速度比乙的速度大D. 乙的速度比甲的速度大【例题3】（多选）如图为一物体做直线运动的v-t图象，根据图象做出的以下判断中，正确的是（）A.物体始终沿正方向运动B.物体先沿负方向运动，在t =2 s后开始沿正方向运动C.在t = 2 s时，物体距出发点最远D.在t = 2 s前物体位于出发点负方向上，在t = 2 s后位于出发点正方向上【演练3】一物体运动的速度随时间变化的关系如图所示，根据图象可知()A．4 s内物体在做曲线运动B．4 s内物体的速度一直在减小C．物体的加速度在2.5 s时方向改变D．4 s内物体速度的变化量的大小为8 m/s二、追及相遇【例题4】（多选）如图所示为在同一地点出发且沿同一直线上运动的甲、乙两物体的v-t图象，则由图象可知（）A.它们速度方向相同，加速度方向相反B.它们速度方向、加速度方向均相反C.在t1时刻它们相距最远D.在0~t2时间内它们的位移相同【演练4】a、b两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的速度图象如图所示，下列说法正确的是( )A.a、b加速时，物体a的加速度大于物体b的加速度B.20秒时，a、b两物体相距最远C.60秒时，物体a在物体b的前方D.40秒时，a、b两物体速度相等，相距200m【例题5】一车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距x0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上?如追不上，求人、车间的最小距离。
专题课2运动学图像和追及相遇问题题型一运动学图像的理解和应用x－t图像与v－t图像的比较x－t图像v－t图像①表示物体做匀速直线运动(斜率表示速度v)①表示物体做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)②表示物体静止②表示物体做匀速直线运动③表示物体向反方向做匀速直线运动，初始位置为x0③表示物体做匀减速直线运动，初速度为v0④交点的纵坐标表示三个物体相遇时的位置④交点的纵坐标表示三个运动物体某时刻有共同速度⑤t1时间内物体的位移为x1⑤t1时刻物体的速度为v1(图中阴影部分面积表示物体在0～t1时间内的位移)如图所示的是一个运动质点的x－t图像，则下列图中与之对应的v－t图像为()[解析]根据位移—时间图像可知，第1 s内质点做匀速运动，第2 s内质点静止，后3 s反向匀速运动。
[答案] B如图所示，在位移—时间图像和速度—时间图像中，给出四条图线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是()A．图线1表示物体做曲线运动B．x－t图像中t1时刻v1>v2C．v－t图像中0至t3时间内3和4的平均速度大小相等D．两图像中，t2、t4时刻分别表示2、4开始反向运动[解析]图线1是位移—时间图像，表示物体做变速直线运动，A错误；x －t图线上某点斜率的绝对值的大小表示速度的大小，B正确；v－t图像中0至t3时间内3和4位移不同，所以平均速度大小不相等，C错误；t2时刻2开始反向运动，t4时刻4加速度方向变化但运动方向不变，D错误。
[答案] B题型二追及相遇问题1．解题关键(1)一个条件：速度相等。
这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点。
(2)两个关系：时间关系和位移关系。
通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口。
2．常用方法(1)物理分析法抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系。
(2)图像法：将两者的v－t图像在同一坐标系中画出，然后利用图像求解。
(3)数学极值法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ＜0，说明追不上或不能相遇。
(多选)(2022·甘肃天水高一期中)甲、乙两车从同一地点沿同一方向出发，甲、乙两车的速度图像如图所示，由图可知()A．甲车的加速度大于乙车的加速度B．t1时刻甲、乙两车的速度相等C．t1时刻甲、乙两车相遇D．0～t1时刻，甲车的平均速度大于乙车的平均速度[解析]甲车图线的斜率小于乙车图线的斜率，则甲车的加速度小于乙车的加速度，故A错误；由题图可知，t1时刻两车速度相等，故B正确；图线与时间轴围成的面积表示位移，则t1时刻甲的位移大于乙的位移，它们从同一地点出发，则甲在乙的前方，没有相遇，故C错误；由题图可知，0～t1时刻，甲车的位移大于乙车，时间相同，故甲车的平均速度大于乙车的平均速度，故D正确。
[答案]BD(2022·江苏常州期中)某轿车在行驶过程中，试图借用逆向车道超越客车的示意图如图所示，当两车相距L＝4 m时，客车正以v1＝6 m/s的速度匀速行驶，轿车正以v2＝10 m/s的速度借道超车。
客车长L1＝10 m，轿车长L2＝4 m，不考虑变道过程中车速的变化和位移的侧向变化。
(1)若轿车开始加速并在3 s内成功超越客车L3＝12 m后，才能驶回正常行驶车道，设轿车的加速度大小为a，写出轿车位移与客车位移的表达式，求解轿车加速度的大小；(2)若轿车放弃超车并立即驶回正常行驶车道，则至少要以多大的加速度做匀减速运动，才能避免与客车追尾。
[解析](1)设轿车的加速度大小为a，经过t1＝3 s，客车和轿车位移分别为x1、x2，由运动学公式，对客车有x1＝v1t1＝18 m对轿车有x2＝v2t1＋12at 21＝30＋4.5a根据题意有x2＝x1＋L1＋L＋L2＋L3解得a＝4 m/s2。
(2)设轿车减速的加速度大小为a′，经过时间t2，轿车、客车达到共同速度，则v2－a′t2＝v1客车和轿车位移分别为x1′、x2′满足x2′＝v2t2－12a′t 2 2x1′＝v1t2则有x2′＝x1′＋L解得a′＝2 m/s2即轿车至少以2 m/s2加速度匀减速运动，才能避免与客车相撞。
[答案](1)见解析(2)2 m/s21．(运动学图像问题)(2022·浙江省衢州中学期中)某物体运动的v－t图像如图所示，图中有Δt＝Δt′，则下列说法正确的是()A．该物体的速度越来越大B．该物体正在做曲线运动C．该物体做的是匀加速直线运动D．该物体的加速度越来越大解析：选A。
v－t图像的纵坐标表示速度，由图像可知，该物体的速度越来越大，A正确；v－t图像只能反应物体做直线运动的速度随时间变化的规律，不能表示曲线运动，B错误；v－t图像的斜率表示加速度，由图像可知，曲线的斜率越来越小，所以加速度越来越小，物体做的不是匀加速直线运动，C、D错误。
2．(运动学图像问题)甲、乙两人在同一条直线上运动，他们运动的位移—时间图像如图所示，下列关于图像的分析正确的是()A．0～2 s内，甲、乙两人同向而行B．0～2 s内，甲的速度比乙的速度大C．0～5 s内，甲走的路程比乙走的路程多D．0～5 s内，甲的位移比乙的位移大解析：选D。
位移—时间图像的斜率表示速度，斜率的正负表示速度的方向，所以0～2 s内甲斜率为负，即速度沿负方向，乙的斜率为正，即速度沿正方向，所以两人运动方向相反，故A错误；斜率绝对值越大，速度越大，可知0～2 s内甲的速度比乙的速度小，故B错误；在前5 s内，乙正向运动60 m，静止2 s 时间后又负向运动30 m，即乙走的总路程为90 m，甲走的路程为60 m，故甲走的路程比乙走的路程少，故C错误；在前5 s内，甲的位移大小为x甲＝60 m－0＝60 m，乙的位移大小为x乙＝30 m－0＝30 m，D正确。
3．(追及相遇问题)(2022·甘肃天水高一期中)甲、乙两车同时、同地向同一个方向做直线运动，它们在0～4 s内运动的v－t图像如图所示，由图像可知()A．在第2 s末，两车处于同一位置B．在第2 s末，两车的速度相同C．在0～4 s内，甲的加速度和乙的加速度的大小相等D．在0～4 s内，甲、乙两车相遇两次解析：选B。
由题图看出，在前2 s内乙比甲运动得快，在第2 s末两车相距最远，故A错误；在第2 s末，两车的速度相同，均为10 m/s，故B正确；在0～4 s内，甲、乙图线的斜率不同，故加速度大小不相等，故C错误；因v－t 图线下面的面积表示物体的位移，可知0～4 s内，在第4 s末两车位移相等，故两车相遇1次，故D错误。
(限时：35分钟)[基础对点练]题组1运动学图像问题1．(2022·云南红河一中月考)甲、乙两物体从同一点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间(x－t)图像如图所示，由图像可以得出在0～4 s内()A．2 s末甲、乙两物体相距4 mB．4 s时甲、乙两物体间的距离最大C．甲、乙两物体始终同向运动D．甲、乙两物体间的最大距离为3 m解析：选D。
由题图可知，2 s末甲的位移为4 m，乙的位移为1 m，则2 s 末甲、乙两物体相距3 m，故A错误；由题图可看出，4 s时甲、乙两物体均在x＝2 m处，则它们之间的距离为0，故B错误；根据位移—时间图像的斜率表示速度，由题图可得出在2～6 s内甲向负方向运动，乙向正方向运动，故C错误；由题图可知，2 s时甲、乙两物体间的距离最大，为3 m，故D正确。
2．(多选)(2022·山西运城期中)在平直公路上行驶的A车和B车，其位置—时间图像分别为图中直线a和曲线b，其中b曲线为抛物线的一部分，t＝3 s时，直线a和曲线b刚好相切，下列说法正确的是()A．t＝3 s时，两车具有相同的速度B．在运动过程中，A、B两车始终没相撞C．在0～3 s时间内，A车的平均速度比B车的大D．A车做匀速运动且速度为83m/s，B车做匀加速运动解析：选AB。
由x－t图像切线斜率表示速度可知t＝3 s时，两车具有相同的速度，故A正确；由题图可知在运动过程中，B的位置坐标始终小于等于A 的位置坐标，即A、B两车始终没相撞，故B正确；A做匀速直线运动，速度大小为v A ＝8－23 m/s ＝2 m/s ，由题意结合题图可知，B 做匀减速直线运动，在0～3 s 时间内，B 的平均速度为v B ＝83 m/s ，可得v A <v B ，故C 、D 错误。
3．(2022·河南中牟期中)雨雪天气时路面湿滑，汽车在紧急刹车时的刹车距离会明显增加。
如图所示的是驾驶员驾驶同一辆汽车在干燥、湿滑两种平直路面紧急刹车时的v －t 图像，驾驶员的反应时间为1 s 。
下列说法正确的是( )A ．从t ＝0到停下，汽车在干燥路面的平均速度小于在湿滑路面的平均速度B ．从t ＝1 s 到停下，汽车在干燥路面的平均速度等于在湿滑路面的平均速度C ．从t ＝0到停下，汽车在干燥路面行驶的距离比在湿滑路面行驶的距离少15 mD ．从t ＝1 s 到停下，汽车在干燥路面的加速度大小是在湿滑路面的加速度大小的43倍解析：选B 。
根据v －t 图线与时间轴所围的面积表示位移，知从t ＝0到停下，汽车在干燥路面通过的位移为x 1＝1＋32×20 m ＝40 m ，平均速度为v －1＝x 1t 1＝403 m/s ≈13.3 m/s ，汽车在湿滑路面的位移为x 2＝1＋42×20 m ＝50 m ，平均速度为v －2＝x 2t 2＝504 m/s ＝12.5 m/s ，则知从t ＝0到停下，汽车在干燥路面的平均速度大于在湿滑路面的平均速度。
因Δx ＝x 2－x 1＝10 m 知从t ＝0到停下，汽车在干燥路面的行驶距离比在湿滑路面的行驶距离少10 m ，故A 、C 错误；从t ＝1 s到停下，汽车均做匀减速直线运动，根据平均速度公式v －＝v 0＋v 2知汽车在干燥路面的平均速度为v －＝20＋02 m/s ＝10 m/s ，在湿滑路面的平均速度为v －′＝20＋02m/s ＝10 m/s ，可知汽车在干燥路面的平均速度等于在湿滑路面的平均速度，故B 正确；根据v －t 图像的斜率大小表示加速度大小，知汽车在干燥路面的加速度大小为a 1＝202 m/s 2＝10 m/s 2，在湿滑路面的加速度大小为a 2＝203 m/s 2，则a 1a 2＝1.5，即汽车在干燥路面的加速度是在湿滑路面的加速度的1.5倍，故D 错误。
