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浙江自动控制理论课第四章根轨迹法

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自动控制理论 第四章根轨迹分析法PPT课件

自动控制理论 第四章根轨迹分析法PPT课件

s3 不是根轨迹上的点。
根据相角方程得系 统的根轨迹为：
第一节 根轨迹的基本概念
作业习题： 4-2 4-3 4-7
返回
第四章 根轨迹分析法
第二节 绘制根轨迹的基本方法
根据根轨迹方程，无需对闭环特征方程式 求解，只需寻找所有满足相角方程的 s ，便可 得到闭环特征方程式根的轨迹。同时，可由幅
值方程来确定根轨迹所对应的Kr值。
闭s环s22 +特K2rs=征0+↑KKr 方1r=程s110 式 特征-2 方程-1的根0 σ
(1R)左(从s) 半根- 平轨s面(迹sK+r为2可) 稳C知(s定): 极点；右半平面为 不稳Kr定极s1点；虚s2轴 上为0临界0极点。-2
(2)有01<2呈Kr过<-11-阻1+时j 尼，状-系1-1-态j统。
根据根轨迹的基本特征和关键点，就能比较 方便地近似绘制出根轨迹曲线。
根轨迹基本特征为以下八条：
第二节 绘制根轨迹的基本方法
一、根轨迹的对称性和分布性 二、根轨迹的起点和终点 三、实轴上的根轨迹段 四、根轨迹的渐近线 五、根轨迹的分离点和会合点 六、根轨迹的出射角和入射角 七、根轨迹与虚轴的交点 八、开环极点与闭环极点的关系
p2
p1
-2
0σ
环传递函数的极点
第二节 绘制根轨迹的基本方法
2. 终点
根轨迹方程：
m
i
n=1((ss--pzji))=
-
1 Kr
m
j =1
Kr
i n=1((ss--pzji))=0
j =1
m
则 i =1(s-zi) =0 即 s=zi
8 8
m条根轨迹终止于开环传递函数的零点

自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法

自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法

2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2

根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版

根轨迹法(自动控制原理)ppt课件精选全文完整版
1 K (s z1 )( s z2 )....( s zm ) 0 (s p1 )( s p2 )....( s pn )
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
➢ 以K为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足以上方程， 相应地，称之为‘典型根轨迹方程’。
也可以写成
m
n
(s zl ) K (s pi ) 0
可见，根轨迹可以清晰地描绘闭环极点与开环增益K之间的 关系。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
2.根轨迹的基本条件
❖ 考察图示系统，其闭环传递函数为:
Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s)
闭环特征方程为：
1 G(s)H(s) 0
➢ 因为根轨迹上的每一点s都是闭环特征方程的根，所以根轨 迹上的每一点都应满足：
l 1
i 1
对应的幅值条件为：
相角条件为：
n
( s pi ) K i1
m
(s zl )
l 1
m
n
(s zl ) (s pi ) (2k 1)180
k 1,2,
l 1
i 1
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法
❖ 上述相角条件，即为绘制根轨迹图的依据。具体绘制方法 是：在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查 它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不 是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接 就得到根轨迹图。
显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离 点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止 于另一个开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环 零点之间也一定有分离点。
课程：自动控制原理
第4章 根轨迹法

自动控制原理根轨迹法

自动控制原理根轨迹法

21
二、根轨迹绘制的基本法则（4）
法则2
根轨迹的分支数和对称性 根轨迹的分支数与开环极点数n相等（n>m），或与开
环有限零点数m相等（n<m)。 根轨迹连续：根轨迹增益是连续变化导致特征根也连
续变化。 实轴对称：特征方程的系数为实数，特征根必为实数
或共轭复数。
22
二、根轨迹绘制的基本法则（5）
法则3
s(s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j1.5)
试绘制该系统概略根轨迹。
解：将开环零、极点画在后面图中。按如下典型步骤
1）确定实轴上的根轨迹。本例实轴上区域
和
为轨迹。
0，－1.5
2）确定－根2.轨5，迹－的渐 近线。本例n＝4，m＝3，故只有
一条 的渐近线。 180
36
K均* 有关。
15
一、 根轨迹法的基本概念（13）
4 -1- 4 根轨迹方程
1、系统闭环特征方程
由闭环传函可得系统闭环特征方程为：
(s)
G(s)
1 G(s)H(s)
1 G(s)H (s) 0
2 、根轨迹方程
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，下式称为
根轨迹方程
m
(s z j )
K * j1 n
i 1
j 1
n
n
n
(s si ) sn ( si )sn1 ... (si ) 0
i 1
i 1
i 1
式中，s i 为闭环特征根。
31
二、根轨迹绘制的基本法则（14）
当n m 2 时，特征方程第二项系数与K * 无关，无
论 K * 取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n

自动控制原理第四章根轨迹法

自动控制原理第四章根轨迹法

第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)

《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法

《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，

自动控制原理第4章根轨迹法精

上式称为根轨迹开环传递函数的标准形式。所以，绘制根轨迹图 时，首先要把开环传递函数改写成这种标准形式。
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，

课程自动控制理论 课件第四章根轨迹


从系统的根轨迹图，可以获得下述信息: １.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统对 所有的Ｋ值都是稳定的。 ２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所 以是I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。
３．暂态性能
（１） 当０<Ｋ< ０.25时， 闭环特征根为实根，系统是过 阻尼状态，阶跃响应为非周期 过程。
G (S)H (S) ?
m
? K 1
(s ? z j )
j?1
n
? (s ? pi)
i?1
z j －开环零点．
注意这个形式和求 稳态误差的式子不 同，需变换成这种 形式．
pi －开环极点．
此时，幅值条件和相角条件可写成
m
? K 1
s ? zj
j? 1 n
?1
（＊）
? s ? pi
i?1
m
n
? ? ? (s ? z j ) ? ? ( s ? pi ) ? ? (2q ? 1)180 ? q ? 0 ,1, 2 , … （＊＊）
当 K1 ? ? ，必有Ｓ＝ z j ，即终点是开环零点。
但在控制系统中，总有n>m，所以根轨迹从n个开环极点处
起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将趋于
无穷远处。
举例如题，G(S) ?
K S( S ? 1)
，起点：０，－１，无零点，n=２，
m=0，n－m=2，有两条根轨迹→ ∞
三．根轨§迹４的－分２支绘制数根轨迹的基本规则
根轨迹由若干分支构成，分支数与开环极点数相同。
四．实轴上的根轨迹
在实轴上存在根轨迹的 条件是，其右边开环零点和 开环极点数目之和为奇数。
设系统开环零、极点分布如 图所示。为在实轴上确定属

自动控制原理4 根轨迹法的基本概念


K*
K* 8.16
1.1
pi 71.6
例子4-5 P150
解:1) m=1,n=3,
z1=-20,p1=0,p2=p3=-12, 2）实轴上0--12 ,-12--20 必为根轨迹。 3）渐近线。n-m=2 故有2条渐近线.
G(s) K * (s 20) s(s2 24s 144)
m
n
pi ( pl zi ) ( pl pi )
izl zi )
j 1
jl
p2 1800 56.50 190 590 (108.50 900 370 )
790
z2 1800 1530 1990 1210 63.50 1170 900
（2）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。 （需专门研究）
j1
（3）
m
K*
(s z j )
m
(zj)
K limsνG(s) H(s) limsν
（4）根轨迹法 s0
s0
sν
j1 nν
(s
pi )
K*
j1 nν
( pi )
根轨迹图
闭环极点
闭环传递函数
性i 1能指标
i 1
3.根轨迹方程
4-2 根轨迹绘制的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点。 法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性。 法则3 根轨迹的渐近线 法则4 实轴上的根轨迹 法则5 根轨迹的分离点和分离角 法则6 根轨迹的起始角与终止角 法则7 根轨迹与虚轴的交点 法则8 根之和
法则一、根轨迹的对称性、分支数和分布性
1．根轨迹连续且对称于实轴。 2. 根轨迹的分支数与开环有限零点数m与有 限个极点数n中的最大者相等。

自动控制原理简明教程 第四章 根轨迹法 习题答案


方程求得。
k* 2 3 3
2
1
2 3 2 2 3 1
解得： k* 3(3 3)
1 3
特征根s=0处对应的 k * 值也利用模值方程求得：
k* 3 2 2 1
1
k*
4 3
满足稳定性时，k* 4 要使系统的三个根均为负
实根，则：
3
k* 4 3
0 k* 3(3 3) 1 3
0 k*
另一个闭环极点为 S3 ，则
(S S3 )(S 1)2 S (S 3)2 4
则解得：
(S S3 )(S 1)2 S (S 1)2 4(S 1)2 (S 4)(S 1)2
则 (S S3) S 4 S3 4 （另外一个闭环极点） 临界阻尼时的闭环传递函数为
(S)
(S
4(S 1) 4)(S 1)2
(2
j) (2 3
j)
4 3
渐近线与实轴正方向夹角
a
(2k 1)
nm
,
3
分离点： 1 1 1 0
d d 2 j d 2 j
整理得：3d 2 8d 5 0
解得：d1,2
8 6
2
d1 1 d2 1.67
分离角
l
180 l
180 2
900
把 S j 代入特征方程：
1
k*
n
m
a
i 1
Pi Zi
i 1
nm
(3) (3) 3
2
渐近线与实轴正方向夹角：
a
(2k 1)
nm
, ,
33
分离点： 1 1 1 0
d d 3 d 3
解得：d 1, a S (S 3)2 (1) 4 4
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自动控制理论
图4-6
2018/11/12 第四章 根轨迹法 10
自动控制理论
第二节 绘制根轨迹的基本规则
开环传递函数有如下两种表示：
G s H s 或 G s H s
K i s 1
m
T s 1
l 1 l
i 1 n
,n m
4-12

K 0 s zi
, k 0,1, 2,
G s H s 1 根的幅值条件 arg G s H s 2k 1 , k 0,1, 2, 根的相角条件
2018/11/12 第四章 根轨迹法 5
假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：
s p K s z 0
l 1 l 0 i 1 i
n
m
0 变化时，方程中任一根由始点连续地向终点变化的轨迹称 当k0由 为根轨迹的一条分支；
i 1
m
s p
l 1 l
n
,n m
4-13

其中，K为系统的开环增益；K0为系统的根轨迹增益它们之间的 关系为：
2018/11/12 第四章 根轨迹法 11
自动控制理论
K
K 0 zi
i 1
m
p
l 1
n
,n m
4-14
l
绘制根轨迹的基本规则 规则1：根轨迹的对称性 由于系统特征方程式的系数均为实数，因而特征根或为实数， 或为共轭复数，根轨迹必然对称于S平面的实轴。 规则2：根轨迹的分支数及其起点和终点 闭环特征方程：
图4-2
2018/11/12 第四章 根轨迹法 3
可见，根轨迹图全面地描述了参数K对闭环特征根 分布的影响。 定义：当系统中某一参数(一般以增益为变化参数) 发生变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线称 系统的根轨迹。 它是一种用图解方式表示特征方程的根于系统某一 参数的全部数值关系的方法。 一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以是 系统的任意参量。以系统根轨迹增益K为可变参量绘制 的根轨迹称为常规根轨迹。以其它参数为变量绘制的根 轨迹称为参量根轨迹。
2018/11/12
第四幅值条件与相角条件
特征方程：
1 Gs H s 0 Gs H s 1
上式改写为：
或
图4-3
j arg G s H s
G s H s e
于是得：
1e
j 2 k 1
K s z1 s z2 s zm G s H s ,n m s p1 s p2 s pn
令s zi pi e ji , i 1, 2, m s pl re e je , l 1, 2, n
解： 1）用相角条件绘制根轨迹
K G s s 1
arg s arg s 1 2k 1 , k 0,1, 2,
2）用幅值条件确定增益K
K s s 1
例如s1,2 0.5, K 0.5 0.5 0.25
2018/11/12 第四章 根轨迹法 9
2k 1 , k 0,1, 2,
第四章 根轨迹法 7
2018/11/12
自动控制理论
结论：
幅值条件与K有关，相角条件与K无关 满足相角条件的点必然满足幅值条件。
反之，满足幅值条件点未必能满足相角条件。
幅值条件：
4 1 s3 K 令s j 代入上式,得
2018/11/12
第四章
根轨迹法
6
自动控制理论
则上式改写为：
G s H s K
于是得：
r
l 1 i 1 n l
m
i
e
j
i e
图4-4
G s H s K
r
l 1 i 1 n l
m
i

i 1 i l 1
m
n
l
2018/11/12 第四章 根轨迹法 1
s2 s K 0
表4-1
K s1 s2 0 0 -1 0.25 -0.5 -0.5 0.5 -05+j0.5 -0.5-j0.5
根与K的关系
1 -0.5+j0.87 -0.5-j0.87 … … … ∞ 0.5+j∞ -0.5-j∞
对于不同的K值,系统有下列 三种不同的工作状态 1) 0≤K＜¼ ， s1、 s1为两相异的实数根（过阻尼状态） 2) K=¼ ， s1 = s2 =-0.5，（临界阻尼） 3) ¼ ＜K＜∞， s1 、s2为一对共轭复根（欠阻尼）
第一节 根轨迹的基本概念
对图4-1所示二阶系统，系统开环传递函数为：
R(s)
-
K s ( s 1)
C(s)
G( s) H ( s)
K s ( s 1)
系统闭环特征方程式为：
图4-1，二阶系统
闭环系统的特征根： 1 1 s1,2 1 4K 2 2 我们的任务是求当参变量K从0向变化时，系统闭环特征 根在复平面上的变化轨迹，表4-1列出了当参变量K从0向变 化时，特征根s1 和s2相应的变化关系
3 2 4 K
2
2
图4-5
系统的等增益轨迹是一簇同心圆，对于某一个确定的K值，对应圆
周上有无穷多个S值都满足方程，其中只有同时满足相角条件的S值 才是方程的根。 根轨迹就是S平面上满足相角条件点的集合。
2018/11/12 第四章 根轨迹法 8
自动控制理论
绘制根轨迹步骤 1）先找出S平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线； 2）用幅值条件确定相应点对应的K值。 例4-1 求图4-1所示系统的根轨迹
2018/11/12
第四章
根轨迹法
2
自动控制理论
如要求系统在阶跃信号的作用 下，超调量为4%，求一对希望 的闭环极点。由式（3-26）求得 ξ=0.707，由于 arctan0.707=45°
在图4-2上过坐标原点作与负实
轴夹角为45°的射线，它与根轨 迹的交点S= -05±j0.5，这就是
所求的希望闭环极点。