高中数学第三章3.2.2 奇偶性 同步练习(人教A版必修一)

3.2.2　奇偶性课后篇巩固提升基础巩固1.下列函数是奇函数的是( )A.y=B.y=-3x 2x (x -1)x -1 C.y=-|x|D.y=πx 3-x 35,再确定f (-x )与f (x )的关系.选项A 中函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以排除A;选项B,C 中函数的定义域均是R ,且函数均是偶函数;选项D 中函数的定义域是R ,且f (-x )=-f (x ),则此函数是奇函数.2.已知函数g (x )=f (x )-x ,其中y=g (x )是偶函数,且f (2)=1,则f (-2)=( )A.-1B.1C.-3D.3g (x )=f (x )-x ,f (2)=1,∴g (2)=f (2)-2=1-2=-1.∵y=g (x )是偶函数,∴g (-2)=f (-2)+2=-1,∴f (-2)=-3.故选C .3.已知f (x )为偶函数,且当x ≥0时,f (x )≥2,则当x<0时,有( )A.f (x )≤2B.f (x )≥2C.f (x )≤-2D.f (x )∈Rf (x )的大致图象如图所示,由图易知当x<0时,有f (x )≥2.故选B.4.已知函数f (x )=x|x|-2x ,则下列结论正确的是( )A.f (x )是偶函数,递增区间是(0,+∞)B.f (x )是偶函数,递增区间是(-∞,1)C.f (x )是奇函数,递减区间是(-1,1)D.f (x )是奇函数,递增区间是(-∞,0)f (x )=x|x|-2x 可得,函数的定义域为R ,且f (-x )=-x|-x|-2(-x )=-x|x|+2x=-f (x ),故函数为奇函数,函数f (x )=x|x|-2x=如图所示,{x2-2x ,x ≥0,-x 2-2x ,x <0,所以函数的递减区间为(-1,1),故选C .5.已知f (x )是奇函数,当x>0时,f (x )=-x (1+x ),当x<0时,f (x )等于( )A.-x (1-x )B.x (1-x )C.-x (1+x ) D.x (1+x )x<0时,-x>0,则f (-x )=x (1-x ).又f (x )是R 上的奇函数,所以当x<0时,f (x )=-f (-x )=-x (1-x ).故选A .6.设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )A.f (x )+|g (x )|是偶函数B.f (x )-|g (x )|是奇函数C.|f (x )|+g(x )是偶函数D.|f (x )|-g (x )是奇函数f (x )是偶函数,可得f (-x )=f (x ),由g (x )是奇函数可得g (-x )=-g (x ),故|g (x )|为偶函数,∴f (x )+|g (x )|为偶函数.7.若函数f (x )=为奇函数,则a= .(x +1)(x +a )x f (x )是奇函数,∴f (-x )=-f (x ),即=-,显然x ≠0,整理得x 2-(a+1)(-x +1)(-x +a )-x (x +1)(x +a )x x+a=x 2+(a+1)x+a ,故a+1=0,解得a=-1.18.已知f (x )=x 5+ax 3+bx-8,且f (-2)=10,则f (2)= .h (x )=x 5+ax 3+bx ,易知h (x )为奇函数.因为f (x )=h (x )-8,h (x )=f (x )+8,所以h (-2)=f (-2)+8=18.h (2)=-h (-2)=-18,所以f (2)=h (2)-8=-18-8=-26.269.已知奇函数f (x )的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.(1)画出在区间[-5,0]上的图象.(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合.因为函数f (x )是奇函数,所以y=f (x )在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f (x )在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.(2)由图象知,使函数值f (x )<0的x 的取值集合为(-2,0)∪(2,5).10.已知f (x )为奇函数,且当x<0时,f (x )=x 2+3x+2.若当x ∈[1,3]时,f (x )的最大值为m ,最小值为n ,求m-n 的值.当x<0时,f (x )=x 2+3x+2,且f (x )是奇函数,∴当x>0时,-x<0,则f (-x )=x 2-3x+2.故当x>0时,f (x )=-f (-x )=3x-x 2-2.∴当x ∈时,f (x )是增函数;[1,32]当x ∈时,f (x )是减函数.因此当x ∈[1,3]时,f (x )max =f ,f (x )min =f (3)=-2.(32,3](32)=14∴m=,n=-2,从而m-n=.1494能力提升1.若函数f (x )=(m-1)x 2+(m-2)x+(m 2-7m+12)为偶函数,则m 的值是( )A.1B.2C.3D.4(-x )=(m-1)x 2-(m-2)x+(m 2-7m+12),f (x )=(m-1)x 2+(m-2)x+(m 2-7m+12),由f (-x )=f (x ),得m-2=0,即m=2.2.设f (x )是奇函数,对任意的实数x ,y ,有f (x+y )=f (x )+f (y ),当x>0时,f (x )<0,则f (x )在区间[a ,b ]上( )A.有最大值f (a )B.有最小值f (a )C.有最大值fD.有最小值f (a +b 2)(a +b 2)x 1<x 2,则x 2-x 1>0.∵当x>0时,f (x )<0,∴f (x 2-x 1)<0,即f (x 2)+f (-x 1)<0.∵f (x )是奇函数,∴f (x 2)-f (x 1)<0,∴f (x 2)<f (x 1),∴f (x )在R 上是减函数.∴f (x )在区间[a ,b ]上有最大值f (a ),最小值f (b ).故选A .3.已知定义在R 上的函数f (x )在(-∞,-2)上是减函数,若g (x )=f (x-2)是奇函数,且g (2)=0,则不等式xf (x )≤0的解集是( )A.(-∞,-4]∪[-2,+∞)B.[-4,-2]∪[0,+∞)C.(-∞,-2]∪[2,+∞)D.(-∞,-4]∪[0,+∞)(x )=f (x-2)的图象是将函数f (x )的图象向右平移2个单位得到的,又g (x )=f (x-2)的图象关于原点对称,所以函数f (x )的图象关于点(-2,0)对称,大致图象如图所示,且f (0)=g (2)=0,f (-4)=g (-2)=-g (2)=0,f (-2)=g (0)=0,结合函数的图象,由xf (x )≤0可知{x ≥0,f (x )≤0或{x <0,f (x )≥0.结合图象可知x ≥0或-2≤x<0或x ≤-4.故不等式xf (x )≤0的解集是(-∞,-4]∪[-2,+∞),故选A .4.已知f (x )=(k-2)x 2+(k-3)x+3是偶函数,则f (x )的递减区间为 .k=3,f (x )=x 2+3,其图象开口向上,所以f (x )的递减区间是(-∞,0].-∞,0]5.(一题多空题)已知函数f (x )为R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )=-x 2++t ,则t= ,f (-2)= .1x +1f (x )为R 上的奇函数,所以f (0)=0,即-02++t=0,解得t=-1.10+1所以f (x )=-x 2+-1.1x +1所以f (2)=-22+-1=-.12+1143又函数f (x )为R 上的奇函数,所以f (-2)=-f (2)=.1431　1436.定义在(-8,a )上的奇函数f (x )在区间[2,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为a ,最小值为-1,则2f (-6)+f (-3)= .,f (x )是定义在(-8,a )上的奇函数,则a=8.又由f (x )在区间[2,7]上是增函数,且在区间[3,6]上的最大值为a=8,最小值为-1,则f (6)=a=8,f (3)=-1.函数是奇函数,则f (-6)=-8,f (-3)=1.则2f (-6)+f (-3)=2×(-8)+1=-15.157.判断函数f (x )=的奇偶性.{x 2-2x +3,x >0,0,x =0,-x 2-2x-3,x <0(x )的定义域为R (关于原点对称).①当x=0时,-x=0,f (-x )=f (0)=0,f (x )=f (0)=0,∴f (-x )=-f (x );②当x>0时,-x<0,∴f (-x )=-(-x )2-2(-x )-3=-(x 2-2x+3)=-f (x );③当x<0时,-x>0,∴f (-x )=(-x )2-2(-x )+3=-(-x 2-2x-3)=-f (x ).由①②③可知,当x ∈R 时,都有f (-x )=-f (x ),∴f (x )为奇函数.8.已知f (x )为定义在R 上的偶函数,当x ≤-1时,f (x )=x+b ,且f (x )的图象经过点(-2,0),在y=f (x )的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.(1)试求出f (x )的解析式;(2)求出f (x )的值域.∵f (x )的图象经过点(-2,0),∴0=-2+b ,即b=2.∴当x ≤-1时,f (x )=x+2.∵f (x )为偶函数,∴当x ≥1时,f (x )=f (-x )=-x+2.当-1≤x ≤1时,依题意设f (x )=ax 2+2(a ≠0),则1=a ·(-1)2+2,∴a=-1.∴当-1≤x ≤1时,f (x )=-x 2+2.综上,f (x )={x +2,x ≤-1,-x 2+2,-1<x <1,-x +2,x ≥1.(2)当x ≤-1时,f (x )=x+2∈(-∞,1];当-1<x<1时,f (x )=-x 2+2∈(1,2];当x ≥1时,f (x )=-x+2∈(-∞,1].综上所述,f (x )∈(-∞,2].9.已知函数f (x )=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f .x +ab +x 2(12)=25(1)用定义证明:f (x )在(-1,1)上是增函数;(2)若实数m 满足f (m-1)+f (1-2m )<0,求m 的取值范围.f (x )=是定义在(-1,1)上的奇函数,∴f (0)=0,=0,a=0.x +ab +x 2a b ∵f ,∴b=1,∴f (x )=.(12)=25x 1+x 2∀x 1,x 2∈(-1,1),且-1<x 1<x 2<1,∴f (x 2)-f (x 1)=.x 21+x 22‒x 11+x 21=(x 2-x 1)(1-x 1x 2)(1+x 22)(1+x 21)∵x 1,x 2∈(-1,1),且x 2-x 1>0,1-x 1x 2>0,∴>0,(x 2-x 1)(1-x 1x 2)(1+x 22)(1+x 21)∴f (x 2)>f (x 1),∴f (x )在(-1,1)上单调递增.f (x )=是(-1,1)上的奇函数且单调递增,∵f (m-1)+f (1-2m )<0,x 1+x 2∴f (m-1)<f (2m-1).∴综上得0<m<1.{-1<m -1<1,-1<2m -1<1,m-1<2m -1,。

第1课时 函数奇偶性的概念必备知识基础练知识点一函数奇偶性的判断 1.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝2－|x |；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝xx －1； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x >0，－2x ＋1，x <0.知识点二 奇偶函数的图象2.已知函数y ＝f (x )是偶函数，且图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )A ．4B ．2C ．1D ．03．函数f (x )＝4x3＋x 3的图象( ) A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称知识点三 利用函数的奇偶性求值4.若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________；5．若函数f (x )＝x ＋1x ＋a x为奇函数，则a ＝________. 6．已知f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx －8，且f (d )＝10，则f (－d )＝________.关键能力综合练一、选择题1．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝－|x |B ．y ＝2－xC ．y ＝1x3 D ．y ＝－x 2＋8 2．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称3．已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －2，若f (－3)＝10，则f (3)＝( )A ．－8B ．18C ．10D ．－14(1)求证：f (x )是奇函数；(2)若f (－3)＝a ，试用a 表示f (12)．3．2.2 奇偶性第1课时 函数奇偶性的概念必备知识基础练1．解析：(1)∵函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(2)∵函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又∵f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数．(4)f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝1－(－2x )＝1＋2x ＝f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝1＋(－2x )＝1－2x ＝f (x )．综上可知，对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数．2．解析：因为f (x )是偶函数，且图象与x 轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y 轴一定是对称的，故所有实根之和为0.选D.答案：D3．解析：∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－4x3－x 3＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图象关于原点对称．答案：C4．解析：∵函数f (x )在[a －1,2a ]上是偶函数，∴a －1＋2a ＝0，得a ＝13. 又f (－x )＝f (x )，即13x 2－bx ＋1＋b ＝13x 2＋bx ＋1＋b 对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，23均成立，∴b ＝0.答案：130 5．解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即－x ＋1－x ＋a －x ＝－x ＋1x ＋a x. 显然x ≠0，整理得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，故a ＋1＝0，得a ＝－1.答案：－16．解析：令g (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ，则g (x )为奇函数．f (d )＝g (d )－8＝10，∴g (d )＝18，f (－d )＝g (－d )－8＝－g (d )－8＝－26.答案：－26 关键能力综合练1．解析：A 、D 两项，函数均为偶函数，B 项中函数为非奇非偶，而C 项中函数为奇函数．答案：C2．解析：∵函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x ＋x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x－x 是奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称，故选C. 答案：C3．解析：由f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －2，得f (x )＋2＝x 5＋ax 3＋bx .令G (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＝f (x )＋2，∵G (－x )＝(－x )5＋a (－x )3＋b (－x )＝－(x 5＋ax 3＋bx )＝－G (x )，∴G (x )是奇函数．∴G (－3)＝－G (3)，即f (－3)＋2＝－f (3)－2，又f (－3)＝10，∴f (3)＝－f (－3)－4＝－10－4＝－14.答案：D4．解析：∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c (c ≠0)是偶函数，∴b ＝0，∴g (x )＝ax 3＋cx ，∴g (－x )＝－g (x )，∴g (x )是奇函数，故选A.答案：A5．解析：F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )．又x ∈(－a ，a )关于原点对称，∴F (x )是偶函数．答案：B6．解析：∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)＝2－2＝0，f (0)＝0＋1＝1.∴f [f (－2)]＝f (0)＝1.故选A.答案：A7．解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )且f (0)＝0，∴f (－2)＝－f (2)＝－5，∴f (－2)＋f (0)＝－5.答案：－58．解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，2－|x ＋2|≠0， 解得－2≤x ≤2且x ≠0，∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．∵f (x )＝4－x 22－|x ＋2|＝4－x 2－x ＝－4－x 2x，定义域关于原点对称， ∴f (－x )＝4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．答案：[－2,0)∪(0,2] 奇9．解析：在f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1中，令x ＝－1，得f (－1)－g (－1)＝1，又f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以f (1)＋g (1)＝1.答案：110．解析：(1)f (x )＝1x －1的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数．(2)f (x )＝－3x 2＋1的定义域是R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)f (x )＝1－x ·1＋x |x ＋2|－2的定义域是[－1,0)∪(0,1]， 所以f (x )的解析式可化简为f (x )＝1－x ·1＋xx ，满足f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(4)函数的定义域为R .当x >0时，－x <0，则f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1＝f (x )；当x ＝0时，f (－x )＝f (x )＝1；当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝f (x )．综上，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．学科素养升级练1．解析：A 正确；B 错误，仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性，需要满足“任意”；C 正确；D 错误，反例：f (x )＝0满足条件，该函数既是奇函数，又是偶函数．答案：AC2．解析：∵函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．对于选项A ，|f (－x )|－g (－x )＝|f (x )|＋g (x )≠±(|f (x )|－g (x ))，故其不具有奇偶性；对于选项B ，f (－x )－|g (－x )|＝f (x )－|g (x )|，故函数为偶函数；对于选项C ，|f (－x )|＋g (－x )＝|f (x )|－g (x )≠±(|f (x )|＋g (x ))，故其不具有奇偶性；对于选项D ，f (－x )＋|g (－x )|＝f (x )＋|g (x )|，故函数为偶函数．综上，选D.答案：D3．解析：(1)证明：由已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x 得f (0)＝f (x )＋f (－x )，令x ＝y ＝0得f (0)＝2f (0)，所以f (0)＝0.所以f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)因为f (x )为奇函数．所以f (－3)＝－f (3)＝a ，所以f (3)＝－a .又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.。

1.3.2 奇偶性1．已知y ＝f(x)，x ∈(－a ，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数2．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)＜f(1)，则下列不等式中一定成立的是( )A ．f(－1)＜f(－3)B ．f(2)＜f(3)C ．f(－3)＜f(5)D ．f(0)＞f(1)3．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．其中正确的命题个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．已知f(x)、g(x)都是定义域内的非奇非偶函数，而f(x)·g(x)是偶函数，写出满足条件的一组函数为：f(x)＝__________，g(x)＝__________.课堂巩固1．函数f(x)＝1x－x 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称2．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x －3，则f(－2)等于( )A ．1 B.14 C ．－1 D ．－1143．设f(x)是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x 1＜0且x 1＋x 2＞0，则( )A ．f(－x 1)＞f(－x 2)B ．f(－x 1)＝f(－x 2)C ．f(－x 1)＜f(－x 2)D ．f(－x 1)与f(－x 2)大小不确定4．已知f(x)＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f(x)在(2,5)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．有增有减D ．增减性不确定5．已知f(x)＝ax 7－bx ＋2且f(－5)＝17，则f(5)＝________.6．若f(x)是偶函数，当x ∈[0，＋∞)时，f(x)＝x －1，则f(x －1)＜0的解集是__________．7．若函数f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.8．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2x 2＋2x x ＋1； (2)f(x)＝a(x ∈R )；(3)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(1－x)，x ≥0，x 2(1＋x)，x<0.9．已知函数f(x)＝x 2－2|x|.(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)判断函数f(x)在(－1,0)上的单调性并加以证明．1．f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则a ＝f(－2)，b ＝f(π2)，c ＝f(32)的大小关系是……( )A ．b<a<cB ．a<c<bC ．b<c<aD ．c<a<b2．函数f(x)＝1－x 2|x ＋2|－2是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数3.若奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则{x|x·f(x)＜0}等于( )A ．{x|x ＞3，或－3＜x ＜0}B ．{x|0＜x ＜3，或x ＜－3}C ．{x|x ＞3，或x ＜－3}D ．{x|0＜x ＜3，或－3＜x ＜0}4．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．25．若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意x 1，x 2∈R 有f(x 1＋x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( )A ．f(x)为奇函数B ．f(x)为偶函数C ．f(x)＋1为奇函数D ．f(x)＋1为偶函数6．在R 上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则函数f(x)( )A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数7．已知定义域为R 的函数f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，且函数y ＝f(x ＋8)为偶函数，则( )A ．f(6)>f(7)B ．f(6)>f(9)C ．f(7)>f(9)D ．f(7)>f(10)8．已知f(x)＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a]，则a ＝________，b ＝________.9．已知函数f(x)具有如下两个性质：①对任意的x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)都有f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1>0；②图象关于点(1,0)成中心对称图形．写出函数f(x)的一个解析表达式为______________________________________．10．如果奇函数f(x)在区间[2,7]上是增函数，且最大值为10，最小值为6，那么f(x)在[－7，－2]上是增函数还是减函数？求函数f(x)在[－7，－2]上的最大值和最小值．11．已知函数f(x)＝11＋x 2. (1)判断f(x)的奇偶性．(2)确定f(x)在(－∞，0)上是增函数还是减函数？在区间(0，＋∞)上呢？请证明你的结论．答案与解析1．3.2 奇偶性课前预习1．B F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又x ∈(－a ，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．2．D ∵f(－3)＝f(3)，∴f(3)＜f(1)．∴函数f(x)在x ∈[0,5]上是减函数．3．A 函数y ＝1x 2是偶函数，但不与y 轴相交，故①错； 函数y ＝1x是奇函数，但不过原点，故②错； 函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．4．x －1 x ＋1(答案不唯一)课堂巩固1．C ∵x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x ，都有f(－x)＝－1x＋x ＝－f(x)，∴该函数f(x)＝1x－x 是奇函数，其图象关于坐标原点对称． 2．C ∵f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－(22－3)＝－1.3．A f(x)是R 上的偶函数，∴f(－x 1)＝f(x 1)．又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，x 2＞－x 1＞0，∴f(－x 2)＝f(x 2)＜f(－x 1)．4．B ∵f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，∴m ＝0.∴f(x)＝－x 2＋3.∴在(2,5)上为减函数．5．－13 整体思想：f(－5)＝a(－5)7－b(－5)＋2＝17⇒(a·57－5b)＝－15，∴f(5)＝a·57－b·5＋2＝－15＋2＝－13.6．{x|0＜x ＜2} 偶函数的图象关于y 轴对称，可先作出f(x)的图象，利用数形结合的方法求解．画图可知f(x)＜0的解集为{x|－1＜x ＜1}，∴f(x －1)＜0的解集为{x|0＜x ＜2}．7．－2x 2＋4 f(x)＝bx 2＋(2a ＋ab)x ＋2a 2.∵f(x)是偶函数，∴2a ＋ab ＝0，解得a ＝0或b ＝－2.当a ＝0时，f(x)＝bx 2，这与f(x)∈(－∞，4]相矛盾，故a ≠0.当b ＝－2时，f(x)＝－2x 2＋2a 2∈(－∞，4]，得2a 2＝4，此时f(x)＝－2x 2＋4.8．解：(1)函数的定义域为{x|x ≠－1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数的定义域为R ，当a ＝0时，f(x)既是奇函数又是偶函数；当a ≠0时，f(－x)＝a ＝f(x)，即f(x)是偶函数．(3)函数的定义域为R ，当x ＞0时，－x ＜0，此时f(－x)＝(－x)2[1＋(－x)]＝x 2(1－x)＝f(x)；当x ＜0时，－x ＞0，此时f(－x)＝(－x)2[1－(－x)]＝x 2(1＋x)＝f(x)；当x ＝0时，－x ＝0，此时f(－x)＝0，f(x)＝0，即f(－x)＝f(x)．综上，f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．9.解：(1)是偶函数．定义域是R ，∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x 2－2|x|＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．(2)f(x)是单调递增函数．证明：当x ∈(－1,0)时，f(x)＝x 2＋2x ，设－1<x 1<x 2<0，则x 1－x 2<0，且x 1＋x 2>－2，即x 1＋x 2＋2>0.∵f(x 1)－f(x 2)＝(x 21－x 22)＋2(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)<0，∴f(x 1)<f(x 2)．∴函数f(x)在(－1,0)上是单调递增函数．课后检测1．B ∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)．又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，2<32<π2，∴f(2)<f(32)<f(π2)，即a<c<b. 2．A 要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2≥0，|x ＋2|≠2，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠0，x ≠－4. 解得x ∈[－1,0)∪(0,1]．此时f(x)＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x . 由f(－x)＝1－x 2－x＝－f(x)，知该函数是奇函数． 3．D 依题意，得x ∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f(x)＜0；x ∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f(x)＞0.由x·f(x)＜0，知x 与f(x)异号，从而找到满足条件的不等式的解集．4．B 因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，所以f(6)＝f(2)＝－f(0)＝0.5．C 令x 1＝x 2＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋1，解得f(0)＝－1.令x 2＝－x 1＝x ，得f(0)＝f(－x)＋f(x)＋1，即f(－x)＋1＝－f(x)－1，所以函数f(x)＋1为奇函数．6．B 由f(x)＝f(2－x)可知f(x)图象关于x ＝1对称，又因为f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称，可得到f(x)为周期函数且最小正周期为2，结合f(x)在区间[1,2]上是减函数，可得如下f(x)草图．7．D 因为函数y ＝f(x ＋8)为偶函数，所以其图象关于y 轴对称，把它向右平移8个单位即可得到y ＝f(x)的图象，即y ＝f(x)的图象关于直线x ＝8对称．因为f(x)在区间(8，＋∞)上为减函数，所以它在(－∞，8)上单调递增．于是f(7)>f(6)＝f(10)．8.130 偶函数定义域关于原点对称， ∴a －1＋2a ＝0.∴a ＝13. ∴f(x)＝13x 2＋bx ＋1＋b. 又∵f(x)是偶函数，∴b ＝0.9．y ＝x －1，y ＝(x －1)3，y ＝(x －1)5，…，y ＝(x －1)n (n 为正奇数)①对任意的x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)都有f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1>0，则函数在R 上为增函数，而函数y ＝x 3在R 上为增函数；②图象关于(1,0)点成中心对称图形，则函数y ＝x 3向右平移一个单位，即函数y ＝(x －1)3的图象关于(1,0)点成中心对称图形．另外，函数y ＝x －1，y ＝(x －1)3，y ＝(x －1)5，…，y ＝(x －1)n (n 为正奇数)都是符合题意的函数．10．解：f(x)在[－7，－2]上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[－7，－2]，且x1＜x2，则2≤－x2＜－x1≤7.因为f(x)在区间[2,7]上是增函数，所以f(－x2)＜f(－x1)．又因为f(x)是奇函数，所以f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，即－f(x2)＜－f(x1)，f(x1)＜f(x2)．所以函数f(x)在[－7，－2]上是增函数．于是其最大值为f(－2)＝－f(2)＝－6，最小值为f(－7)＝－f(7)＝－10.点评：奇函数的图象关于原点对称，它们在关于原点对称的单调区间上具有相同的单调性；偶函数的图象关于y轴对称，它们在关于原点对称的区间上的单调性恰好相反．11．解：(1)因为f(x)的定义域为R，又f(－x)＝11＋(－x)2＝11＋x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(2)f(x)在(－∞，0)上是增函数，由于f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数．证明：取x1<x2<0，f(x1)－f(x2)＝1x21＋1－1x22＋1＝x22－x21(x21＋1)(x22＋1)＝(x2－x1)(x2＋x1)(x21＋1)(x22＋1).因为x1<x2<0，所以x2－x1>0，x1＋x2<0，且x21＋1>0，x22＋1>0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以f(x)在(－∞，0)上为增函数．同理，f(x)在(0，＋∞)上为减函数．点评：利用函数奇偶性的定义判断奇偶性的步骤：第一步：确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；第二步：确定f(－x)与f(x)的关系；第三步：根据定义，作出相应的结论：若f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数．若第一步中求出的函数定义域不关于原点对称，则不需进行第二步和第三步的判断，而直接得出结论函数既不是奇函数，也不是偶函数．。

2021年高中数学必修第一册3.2.2《奇偶性》同步课件（含答案）1、人教2021A版必修第一册第三章函数概念与性质n一、引入观看以下图片，你有何感受?nn生活中的对称n新课在平面直角坐标系中，利用描点法作出函数和的图象并观看这两个函数图象，总结出它们的共同特征。

xyo12345-1123-1-2-3x…-3-2-10123…f(x)=x2……9410149x…-3-2 -10123…f(x)=|x|……-101210-1xyo12345-1123-1-2-3图象关于y 轴对称f(-1)f(1)f(-2)f(2)f(-3)f(3)===-xx(x.f(x))(-x,f(-x))f(-x)f(x )???=任意一点n一般2、地,假如对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.偶函数偶函数的图象关于y轴对称.偶函数的定义域关于原点对称.Oa-ab-b思索:定义中“任意一个x,都有f(-x)=f(x)成立”说明了什么？f(-x)与f(x)都有意义，说明-x、x必需同时属于定义域，n牛刀小试推断以下函数是否为偶函数。

是不是n观看函数和的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发觉这两个函数有什么共同特征吗？图象关于原点对称nx-x观看函数和的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你能发觉这两个函数有什么共同特征吗？x-3-2-13、0123f(x)-3-2-10123图象关于原点对称n奇函数的定义：奇函数要满足：①、定义域关于原点对称奇函数图象特征：奇函数的图象关于原点对称，反之，一个函数的图象关于原点对称，那么它是奇函数．一般地，假如对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．②n例1：推断以下函数的奇偶性：解：〔1〕函数f(x)=x4的定义域是R.因为对于任意的x∈R，都有f(-x)=(x)4=x4=f(x),所以函数f(x)=x4是偶函数。

3.2.2奇偶性基础过关练题组一函数奇偶性的概念及其图象特征1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于()A.-1B.1C.0D.22.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是()A.(a,-f(a))B.(-a,-f(a))C.(-a,-f(-a))D.(a,f(-a))3.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()4.(2020北京通州高一上期末)能说明“若f(x)是奇函数,则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)=.5.(1)如图①,给出奇函数y=f(x)的部分图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值;(2)如图②,给出偶函数y=f(x)的部分图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.题组二函数奇偶性的判定6.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)()A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数7.(2019四川雅安中学高一上第一次月考)下列函数中是偶函数,且在区间(0,1)上为增函数的是( ) A.y=|x| B .y=3-x C.y=1xD.y=-x 2+4 8.若函数f(x)={1,x >0,-1,x <0,则f(x)( )A.是偶函数B.是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数 9.判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=√x 2-1+√1-x 2;(2)f(x)=2x 2+2x x+1;(3)f(x)={x(1-x)(x <0),x(1+x)(x >0).题组三 函数奇偶性的综合运用10.已知函数f(x)=mx 2+nx+2m+n 是偶函数,其定义域为[m+1,-2n+2],则( )A.m=0,n=0B.m=-3,n=0C.m=1,n=0D.m=3,n=011.(2020广西柳州二中高一上月考)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ∈(-∞,0)时,f(x)=2x 3+x 2,则f(2)=( ) A.20 B.12 C.-20 D.-1212.(2020广东珠海高一上期末学业质量检测,)已知函数f(x)为R 上的奇函数,且在(-∞,0)上是增函数, f(5)=0,则xf(x)>0的解集是 .13.已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x 2+ax,且f(3)=6,则a 的值为 .14.(2020广东湛江一中高一上期中)已知f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x 3+x 2+1,则f(1)+g(1)= . 15.(2019天津南开高一上期末)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,当x ≥0时, f(x)=x 2-2x.(1)求函数f(x)的解析式,并画出函数f(x)的图象;(2)根据图象写出f(x)的单调区间和值域.能力提升练题组一函数奇偶性的概念及其图象特征1.()已知y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有4个交点,则方程f(x)=0的所有实数根之和是()A.4B.2C.1D.02.(多选)()若f(x)为R上的奇函数,则下列四个说法正确的是()A.f(x)+f(-x)=0B.f(x)-f(-x)=2f(x)C.f(x)·f(-x)<0D.f(x)=-1f(-x)3.()f(x)是定义在R上的奇函数,其在[0,+∞)上的图象如图所示.(1)画出f(x)的图象;(2)解不等式xf(x)>0.题组二函数奇偶性的判定4.(2020黑龙江哈三中高一上第一次阶段性验收,)下列函数是偶函数的是()A.f(x)=x3-1x B.f(x)=√1-x2|x-2|-2C.f(x)=(x-1)√1+x1-xD.f(x)=|2x+5|+|2x-5|5.()已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)不恒等于零,则F(x)为()A.奇函数B.偶函数C.奇函数或偶函数D.非奇非偶函数6.()已知f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x,y都成立,则函数f(x)是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数,也是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数7.(多选)()设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.|f(x)|g(x)是奇函数B.f(x)|g(x)|是奇函数C.f(x)+|g(x)|是偶函数D.|f(x)|+g(x)是偶函数题组三函数奇偶性的综合运用8.(2020河北承德一中高一上月考,)若偶函数f(x)在(-∞,-1]上单调递增,则()A.f(-32)<f(-1)<f(2)B.f(-1)<f(-32)<f(2)C.f(2)<f(-1)<f(-32)D.f(2)<f(-32)<f(-1)9.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围是()A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,2]D.[1,3]10.(2020河南郑州高一上期末,)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)恒成立,且f(1)=1,则f(3)+f(4)+f(5)的值为(深度解析)A.-1B.1C.2D.011.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数,且f(x)+g(x)=x2-1x+1-2,则f(2)=()A.-23B.73C.-3D.11312.(2019四川成都高一上期末调研,)已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时, f(x)={-x,0≤x ≤1,-1,1<x <2,x -3,x ≥2.若对任意的x ∈R,不等式f(x)>f(x-√2a)恒成立,则实数a 的取值范围是 . 13.(2019天津河西高一上期末,)(1)若奇函数f(x)是定义在R 上的增函数,求不等式f(2x-1)+f(3)<0的解集;(2)若f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,求不等式f(2x-1)-f(-3)<0的解集.14.(2020安徽师大附中高一上月考,)已知函数f(x)=ax+b1+x 2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f (12)=25.(1)求函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解关于实数t 的不等式f(t-1)+f(t)<0.15.(2020山东菏泽高一上期末联考,)已知函数f(x)=x 2+2a-3x是奇函数.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)在(0,√p)上单调递增,试求p的最大值.16.()设函数f(x)=x2-2|x-a|+3,x∈R.(1)王鹏同学认为,无论a取何值,f(x)都不可能是奇函数.你同意他的观点吗?请说明你的理由;(2)若f(x)是偶函数,求a的值;(3)在(2)的情况下,画出y=f(x)的图象并指出其单调递增区间.深度解析答案全解全析基础过关练1.A因为该奇函数的定义域为{-1,2,a,b},且奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b中一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1,故选A.2.B∵f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a),∴点(-a,-f(a))在函数y=f(x)的图象上.3.B选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.(答案不唯一)4.答案1x,答案不唯一.解析举出x=0不在定义域内的奇函数即可,如f(x)=1x5.解析(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象,如图①所示,易知f(3)=-2.(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象,如图②所示,易知f(1)>f(3).6.B∵x∈(-a,a),其定义域关于原点对称,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)是偶函数.7.A选项A中,函数y=|x|为偶函数,且在区间(0,1)上为增函数,故A符合题意;选项B中,函数y=3-x为非奇非偶函数,且在区间(0,1)上为减函数,故B不符合题意;选项C中,函数y=1为奇函数,且在区间(0,1)上为减x函数,故C不符合题意;选项D中,函数y=-x2+4为偶函数,在区间(0,1)上为减函数,故D不符合题意.8.B作出函数f(x)的图象,如图所示,可以看出该图象关于原点对称,故f(x)为奇函数.9.解析(1)依题意得x2-1≥0,且1-x2≥0,即x=±1,因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0.∵f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)是非奇非偶函数.(3)易得函数f(x)的定义域是D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.10.B由f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数,得n=0.又函数的定义域为[m+1,-2n+2],所以m+1=2n-2,则m=-3.11.B由题意得f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.12.答案(-∞,-5)∪(5,+∞)解析∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.∵f(x)在(-∞,0)上是增函数,f(5)=0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(-5)=0.可大致用图象表示:∵xf(x)>0等价于x与f(x)同号,且均不为0,∴结合图象知解集是(-∞,-5)∪(5,+∞).13.答案5解析因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a×(-3)=-6,解得a=5.14.答案1解析由题意可得f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.15.解析(1)∵x≥0时,f(x)=x2-2x,∴当x<0时,-x>0,∴f(-x)=x2+2x,∴f(-x)=f(x)=x 2+2x. 故函数f(x)的解析式为 f(x)={x 2-2x,x ≥0,x 2+2x,x <0,函数f(x)的图象如图所示.(2)由(1)中函数的图象可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,0],[1,+∞);单调递减区间为(-∞,-1],[0,1].函数f(x)的值域为[-1,+∞).能力提升练1.D 因为y=f(x)是偶函数,所以y=f(x)的图象关于y 轴对称,所以f(x)=0的所有实数根之和为0.2.AB ∵f(x)在R 上为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故A 正确; f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故B 正确;当x=0时,f(x)·f(-x)=0,故C 不正确;当x=0时,f(x)f(-x)的分母为0,无意义,故D 不正确.3.解析 (1)根据奇函数的图象关于原点对称,可得f(x)的图象如图所示.(2)xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号,且均不为0.结合图象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).4.D 在选项A 中,f(x)=x 3-1x(x ≠0), f(-x)=-x 3+1x,f(-x)=-f(x),是奇函数;在选项B 中,f(x)=√1-x 2|x -2|-2=√1-x 2-x(-1≤x ≤1,x ≠0),f(-x)=√1-x 2x, f(-x)=-f(x),是奇函数;在选项C 中,f(x)=(x-1)·√1+x 1-x(-1≤x<1),是非奇非偶函数;在选项D中,f(x)=|2x+5|+|2x-5|(x ∈R), f(-x)=|-2x+5|+|-2x-5|=|2x+5|+|2x-5|, f(x)=f(-x),是偶函数,故选D.5.B 依题意得F(x)的定义域为R,且F(-x)=(-x 3+2x)f(-x)=(x 3-2x)f(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,故选B. 6.A 令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0), 所以f(0)=0.又因为f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故选A. 7.BD A 中,令h(x)=|f(x)|g(x),则h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|·g(x)=h(x),∴A 中函数是偶函数,A 错误;B 中,令h(x)=f(x)|g(x)|,则h(-x)=f(-x)·|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h(x),∴B 中函数是奇函数,B 正确;C 中,由f(x)是奇函数,可得f(-x)=-f(x),由g(x)是偶函数,可得g(-x)=g(x),由f(-x)+|g(-x)|=-f(x)+|g(x)|知C 错误;D 中,由|f(-x)|+g(-x)=|-f(x)|+g(x)=|f(x)|+g(x),知D 正确.故选BD.8.D 由f(x)是偶函数且在(-∞,-1]上单调递增,得f(x)在[1,+∞)上单调递减, f (-32)=f (32),f(-1)=f(1),又因为2>32>1,所以f(2)<f (32)<f(1),即f(2)<f (-32)<f(-1),故选D. 9.C 因为f(x)为奇函数,且f(1)=-1,所以f(-1)=1, 所以-1≤f(x-1)≤1等价于f(1)≤f(x-1)≤f(-1).由函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,可得-1≤x-1≤1,解得0≤x ≤2. 故选C.10.D ∵f(x)是R 上的奇函数, f(1)=1, ∴f(-1)=-f(1)=-1, f(0)=0.依题意得f(3)=f(-1+4)=-f(1)=-1,f(4)=f(0+4)=f(0)=0,f(5)=f(1+4)=f(1)=1. 因此, f(3)+f(4)+f(5)=-1+0+1=0,故选D.陷阱提示 在有关奇函数f(x)的求值问题中,要注意当f(x)在x=0处有意义时, f(0)=0这个特殊情况,否则可能会出现已知条件不足,导致问题解决不了的情况. 11.A ∵f(x)+g(x)=x 2-1x+1-2①,∴f(-x)+g(-x)=(-x)2-1-x+1-2=x 2-1-x+1-2,又∵函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数, ∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), ∴f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=x 2-1-x+1-2②, 联立①②消去g(x),得f(x)=-12x+2+1-2x+2,∴f(2)=-12×2+2+1-2×2+2=-23.故选A.12.答案 (3√2,+∞)解析 由已知条件画出函数f(x)的图象(图中实线部分),若对任意的x ∈R,不等式 f(x)>f(x-√2a)恒成立,则函数f(x)的图象始终在函数f(x-√2a)的图象的上方.当a<0时,将函数f(x)的图象向左平移,不能满足题意,故a>0,将函数f(x)图象向右平移时的临界情况是当D 点与B 点重合,且临界情况不满足题意,由图可知,向右平移的√2a 个单位长度应大于6,即√2a>6,解得a>3√2,故答案为(3√2,+∞).13.解析 (1)由题知f(x)为奇函数,且在R 上是增函数,则f(2x-1)+f(3)<0⇒f(2x-1)<-f(3)⇒f(2x-1)<f(-3)⇒2x-1<-3,解得x<-1,即不等式的解集为(-∞,-1).(2)由题知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数, 则f(2x-1)-f(-3)<0⇒f(2x-1)<f(3)⇒f(|2x-1|)<f(3)⇒|2x-1|<3,解得-1<x<2, 即不等式的解集为(-1,2). 14.解析 (1)因为函数f(x)=ax+b 1+x 2是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,得b=0. 又知f (12)=25,所以12a 1+14=25,解得a=1,所以f(x)=x1+x 2.(2)证明:∀x 1,x 2∈(-1,1),且x 1<x 2,则f(x 2)-f(x 1)=x 21+x 22-x 11+x 12=(x 2-x 1)(1-x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22),由于-1<x 1<x 2<1,所以-1<x 1x 2<1,即1-x 1x 2>0, 所以(x 2-x 1)(1-x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)>0,即f(x 2)-f(x 1)>0,所以f(x)在(-1,1)上是增函数.(3)因为f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x),所以f(t-1)+f(t)<0等价于f(t-1)<-f(t)=f(-t),即f(t-1)<f(-t), 又由(2)知f(x)在(-1,1)上是增函数,所以{-1<t -1<1,-1<-t <1,t -1<-t,解得0<t<12,即原不等式的解集为{t |0<t <12}.15.解析 (1)因为函数f(x)=x 2+2a -3x是奇函数,所以f(x)=-f(-x),即x 2+2a -3x=-x 2+2a+3x,化简得a=0, 所以f(x)=x 2+2-3x.(2)f(x)=x 2+2-3x =-13(x 2+2x)=-13·(x +2x ),任取x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,则Δf(x)Δx=f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1=-13(x 2+2x 2)-[-13(x 1+2x 1)]x 2-x 1=-13(x 2-x 1+2x 2-2x 1)x 2-x 1=-13·(x 2-x 1)(1-2x 1x 2)x 2-x 1=-13·x 1x 2-2x 1x 2.因为x 1,x 2∈(0,+∞),所以x 1x 2>0. 当x 1,x 2∈(0,√2]时,x 1x 2-2<0,从而Δf(x)Δx>0;当x 1,x 2∈[√2,+∞)时,x 1x 2-2>0,从而Δf(x)Δx<0.因此f(x)在(0,√2]上是增函数, f(x)在[√2,+∞)上是减函数.由题知f(x)在(0,√p]上单调递增,所以√p的最大值为√2,即p的最大值为2.16.解析(1)我同意王鹏同学的观点.理由如下:假设f(x)是奇函数,则由f(a)=a2+3,f(-a)=a2-4|a|+3,可得f(a)+f(-a)=0,即a2-2|a|+3=0,显然a2-2|a|+3=0无解,∴f(x)不可能是奇函数.(2)若f(x)为偶函数,则有f(a)=f(-a),即a2+3=a2-4|a|+3,解得a=0.经验证,此时f(x)=x2-2|x|+3是偶函数.(3)由(2)知f(x)=x2-2|x|+3,其图象如图所示,由图可得,其单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞).解题模板利用奇偶性确定函数解析式中参数的值时,选择题、填空题中可用特殊值法简化运算;解答题中要结合定义写出完整的解题过程,若用特殊值法得到参数的值仍需要进一步证明.。

第三章 3.2 3.2.2A 组·素养自测一、选择题1．下列说法正确的是( B ) A ．偶函数的图象一定与y 轴相交B ．奇函数y ＝f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0C ．奇函数y ＝f (x )的图象一定过原点D ．图象过原点的奇函数必是单调函数[解析] A 项中若定义域不含0，则图象与y 轴不相交，C 项中定义域不含0，则图象不过原点，D 项中奇函数不一定单调，故选B ．2．(2022·河北邢台八中高一检测)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( A ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．2[解析] f (－1)＝－f (1)＝－2.故选A ．3．若y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，则下面坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )的图象上的是( C )A ．(a ，－f (a ))B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a ))D ．(a ，f (－a ))[解析] ∵y ＝f (x )是奇函数， ∴f (－a )＝－f (a )，∴(－a ，－f (a ))在y ＝f (x )图象上．4．下列函数中既是奇函数又是偶函数的是( A ) A ．f (x )＝x 2－1－1－x 2B ．f (x )＝1－x ＋1＋xC ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0[解析] 选项A 中定义域为{－1，1}，函数解析式为y ＝0，所以函数既是奇函数又是偶函数，选项B 为偶函数，选项C 为偶函数，选项D 为非奇非偶函数，故选A ．5．如果奇函数f (x )在区间[－7，－3]上单调递减且最大值为5，那么f (x )在区间[3，7]上( C )A ．单调递增且最小值为－5B ．单调递增且最大值为－5C ．单调递减且最小值为－5D ．单调递减且最大值为－5 [解析] ∵f (x )为奇函数，∴f (x )在[3，7]上的单调性与在[－7，－3]上一致，且f (7)＝－5为最小值．故选C ． 6．若奇函数f (x )在x ≥0时的解析式为f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，f (x )＝( C ) A ．x 2＋x B ．x 2－x C ．－x 2－xD ．－x 2＋x[解析] 设x <0时，则－x >0， 所以f (－x )＝(－x )2－(－x )＝x 2＋x ， 因为f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x . 故选C ． 二、填空题7．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的单调递增区间是__(－∞，0]__.[解析] 函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m －1)x ＋2是偶函数，则函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以m －1＝0，即m ＝1，所以f (x )＝－x 2＋2，所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0]．8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (－2)＋f (0)＝__－5__.[解析] 由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(22＋1)＝－5，f (0)＝0，∴f (－2)＋f (0)＝－5.9．若f (x )为偶函数，则f (2＋1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－2＝__0__.[解析] 因为f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－2＝f [－(1＋2)]＝f (1＋2)，故f (2＋1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－2＝0.三、解答题10．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．[解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2－x －2又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .11．已知f (x )为奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1，3]时，f (x )的最大值为m ，最小值为n ，求m －n 的值．[解析] ∵当x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2， 且f (x )是奇函数，∴当x >0时，－x <0， 则f (－x )＝x 2－3x ＋2.故当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝3x －x 2－2.∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，f (x )是增函数； 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32，3时，f (x )是减函数．因此当x ∈[1，3]时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝14，f (x )min ＝f (3)＝－2.∴m ＝14，n ＝－2，从而m －n ＝94.B 组·素养提升一、选择题1．若函数f (x )＝ax 2＋(2b －a )x ＋b －a 是定义在[2－2a ，a ]上的偶函数，则a －b ＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ∵二次函数为偶函数，∴对称轴为y 轴，且区间[2－2a ，a ]关于原点对称，∵⎩⎪⎨⎪⎧2－2a ＋a ＝02b －a ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，∴a －b ＝1，故选A ．2．(2021·全国高考乙卷理科)设函数f (x )＝1－x1＋x，则下列函数中为奇函数的是( B )A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1[解析] 由题意可得f (x )＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x， 对于A ，f (x －1)－1＝2x－2不是奇函数；对于B ，f (x －1)＋1＝2x是奇函数；对于C ，f (x ＋1)－1＝2x ＋2－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，f (x ＋1)＋1＝2x ＋2，定义域不关于原点对称，不是奇函数． 故选B ．3．(多选题)(2021·山东枣庄高一联考)关于函数f (x )＝x x －1，下列结论正确的是( AC )A ．f (x )的图象过原点B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减D ．f (x )是定义域上的增函数 [解析] 函数f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1，f (0)＝0，A 对；图象关于(1，1)点对称，B 错；f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，整个定义域上不是减函数，故C 对，D 错．4．(多选题)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( BD )A ．|f (x )·g (x )|是奇函数B ．f (x )|g (x )|是奇函数C ．f (x )＋|g (x )|是偶函数D ．|f (x )|＋g (x )是偶函数[解析] A 中，令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴A 中函数是偶函数，A 错误；B 中，令h (x )＝f (x )·|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )·|g (－x )|＝－f (x )·|g (x )|＝－h (x )，∴B 中函数是奇函数，B 正确；C 中，由f (x )是奇函数，可得f (－x )＝－f (x )，由g (x )是偶函数可得g (－x )＝g (x )，由f (－x )＋|g (－x )|＝－f (x )＋|g (x )|知C 错误；D 中，由|f (－x )|＋g (x )＝|－f (x )|＋g (x )＝|f (x )|＋g (x )，知D 正确，故选BD ．二、填空题5．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝__3__. [解析] ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)． 又f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (1)＝f (3)．∴f (－1)＝3.6．已知f (x )＝(k －2)x 2＋(k －3)x ＋3是偶函数，则f (x )的递减区间为__(－∞，0]__.[解析] 由偶函数的定义知k ＝3，所以f (x )＝x 2＋3，其图象开口向上，所以f (x )的递减区间是(－∞，0]．7．已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在R 上是减函数，若f (a －1)＋f (1)>0，则实数a 的取值范围是__(－∞，0)__.[解析] ∵f (a －1)＋f (1)>0，∴f (a －1)>－f (1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)． ∴f (a －1)>f (－1)．又f (x )在R 上是减函数，∴a －1<－1，即a <0. 三、解答题8．判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x1－x ，x <0，x1＋x ，x >0的奇偶性．[解析] 本题是求分段函数的奇偶性，则只需分段讨论即可．∵函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，并且当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝(－x )[1－(－x )]＝－x (1＋x )＝－f (x )(x >0)；当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝－x (1－x )＝－f (x )(x <0)．综上可得，f (x )为奇函数．9．已知偶函数f (x )的定义域是{x |x ≠0}，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0，f (2)＝1.(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)解不等式f (2x －1)<2. [解析] (1)证明：设x 2>x 1>0， 则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1) ＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. ∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)∵f (2)＝1， ∴f (4)＝f (2)＋f (2)＝2.∵f (x )是偶函数，∴不等式f (2x －1)<2可化为f (|2x －1|)<f (4)． 又∵函数在(0，＋∞)上是增函数， ∴|2x －1|<4，且2x －1≠0， 解得－32<x <52，且x ≠12，∴不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <52，且x ≠12.。

3.2.2 第2课时 奇偶性的应用 基 础 练巩固新知 夯实基础1．已知奇函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (x )<f (1)的x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(0,1)D ．[－1,1)2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的表达式是( )A ．y ＝x (x －2)B ．y ＝x (|x |＋2)C ．y ＝|x |(x －2)D ．y ＝x (|x |－2)3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ，x ≥0，g x ，x <0，且f (x )为偶函数，则g (－2)等于( )A ．6B ．－6C ．2D ．－24．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值() A ．10 B ．－10 C ．9 D ．155．定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上是增函数，且f (x ＋2)＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立，则( )A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＞f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3)6．若函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的单调递减区间是________．7．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是________．8．已知函数f (x )(x ∈R )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－2x －1，求函数f (x )的解析式．9．已知函数f (x )＝ax ＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174.(1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上的单调性并证明．能 力 练综合应用 核心素养10．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．311．f (x )是定义在R 上的奇函数且单调递减，若f (2－a )＋f (4－a )<0，则a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a <3C ．a >1D ．a >312. 设f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x 1<0且x 1＋x 2>0，则( )A ．f (－x 1)>f (－x 2)B ．f (－x 1)＝f (－x 2)C ．f (－x 1)<f (－x 2)D ．f (－x 1)与f (－x 2)的大小不确定13．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜＜0的解集为( ) A ．(－1,0)∈(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∈(0,1)C ．(－∞，－1)∈(1，＋∞)D ．(－1,0)∈(0,1)14．已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________.15．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．16．设f (x )在R 上是偶函数，在(－∞，0)上递减，若f (a 2－2a ＋3)>f (a 2＋a ＋1)，求实数a 的取值范围．17．定义在R 上的函数f (x )，满足对∈x 1，x 2∈R ，有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，试求实数x 的取值范围．【参考答案】1. A 解析 由于f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f (x )在R 上单调递增，f (x )<f (1)等价于x <1.2. D 解析由x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，f (x )是定义在R 上的奇函数得，当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x )＝x (－x －2)．∈f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －2)，x ≥0，x (－x －2)，x <0，即f (x )＝x (|x |－2)． 3. A 解析 g (－2)＝f (－2)＝f (2)＝22＋2＝6.4. C 解析 由于f (x )在[3,6]上为增函数，f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，f (x )为奇函数，故f (－3)＝－f (3)＝1，∈f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.5. A 解析 f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (3)＝f (1)，由于f (x )在(－∞，2)上是增函数，所以f (－1)＜f (1)＝f (3)．6.[0，＋∞) 解析 利用函数f (x )是偶函数,得k －1＝0，k ＝1,所以f (x )＝－x 2＋3，其单调递减区间为[0，＋∞)．7. ⎝⎛⎭⎫13，23 解析 由于f (x )是偶函数，因此f (x )＝f (|x |)，∈f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13，再根据f (x )在[0，＋∞)上的单调性，得|2x －1|<13，解得13<x <23. 8.解 当x <0时，－x >0，∈f (－x )＝(－x )2＋2x －1.∈f (x )是奇函数，∈f (－x )＝－f (x )，∈f (x )＝－x 2－2x ＋1，∈f (x )(x ∈R )是奇函数，∈f (0)＝0.∈所求函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x －1，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x ＋1，x <0.9.解 (1)∈f (x )为奇函数，∈f (－x )＝－f (x )，∈－ax －b x ＋c ＝－ax －b x －c ，∈c ＝0，∈f (x )＝ax ＋b x. 又∈f (1)＝52，f (2)＝174，∈⎩⎨⎧ a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∈a ＝2，b ＝12.综上，a ＝2，b ＝12，c ＝0. (2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x.函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数． 证明如下：任取0<x 1<x 2<12，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－12x 1x 2＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2. ∈0<x 1<x 2<12，∈x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0.∈f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∈f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数． 10. C 解析 ∈f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∈f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1.∈f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∈f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∈f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.∈f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.11. B 解析 ∈f (x )在R 上为奇函数，∈f (2－a )＋f (4－a )<0转化为f (2－a )<－f (4－a )＝f (a －4)．又f (x )在R 上单调递减，∈2－a >a －4，得a <3.12. A 解析 ∈x 1<0，x 1＋x 2>0，∈x 2>－x 1>0，又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∈f (x 2)<f (－x 1)，∈f (x )是偶函数，∈f (－x 2)＝f (x 2)<f (－x 1)．13. C 解析 ∈f (x )为奇函数，f x －f －x x ＜0，即f x x＜0，∈f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0， ∈当x ＞1时，f (x )＜0.∈奇函数图象关于原点对称，∈在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x ＜－1时，f (x )＞0. 综上使f x x＜0的解集为(－∞，－1)∈(1，＋∞)． 14. 3 解析 因为g (x )＝f (x )＋2，g (1)＝1，所以1＝f (1)＋2，所以f (1)＝－1，又因为f (x )是奇函数，所以f (－1)＝1，则g (－1)＝f (－1)＋2＝3.15. (－2,2) 解析 由题意知f (－2)＝f (2)＝0，当x ∈(－2,0)时，f (x )<f (－2)＝0，由对称性知，x ∈[0,2)时，f (x )为增函数，f (x )<f (2)＝0，故x ∈(－2,2)时，f (x )<0.16.解 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋34>0， 且f (a 2－2a ＋3)>f (a 2＋a ＋1)，所以a 2－2a ＋3>a 2＋a ＋1，解得a <23.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，23. 17. 解 (1)令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝0，令x 1＝x ，x 2＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)因为f (4)＝1，所以f (8)＝f (4)＋f (4)＝2，所以原不等式化为f (x －1)<f (8)．又因为f (x )在[0，＋∞)上是增函数，f (0)＝0且f (x )是奇函数，所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，因此x －1<8，所以x <9，所以实数x 的取值范围是(－∞，9)．。