高中数学苏教版必修四学案：章末复习课2

一、平面向量的概念 1．向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量． 2．表示方法用有向线段来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示．3．模向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. 4．零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是任意的． 5．单位向量长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．与a 平行的单位向量e ＝±a |a |.6．平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行，平行向量又称为共线向量．7．相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量．[说明]向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．二、平面向量的线性运算1．向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2)法则：三角形法则；平行四边形法则．(3)运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．2．向量的减法(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)法则：三角形法则．[说明]要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”．3．实数与向量的积(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|＝|λ||a|.当λ＞0时，λa 的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.由此可见，总有λa与a平行．(2)运算律：λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.三、两个定理1．向量共线定理(1)如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.(2)向量平行的坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.2．平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．[说明]零向量不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，平面内任意两个不共线的向量都可以作基底，一旦选择了一组基底，则定向量沿基底的分解是唯一的．四、平面向量的数量积1．平面向量数量积的概念及意义(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a 与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积．[说明]b在a方向上的投影|b|cos θ是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.2．平面向量数量积的性质设a与b是非零向量，e是单位向量，〈a，e〉＝θ.(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.(2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2，或|a|＝a·a.(3)a⊥b⇔a·b＝0.(4)cos θ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.[说明](1)数量积的运算要注意a＝0时，a·b＝0，但a·b＝0时不一定能得到a＝0或b＝0，因为a⊥b时，也有a·b＝0.(2)若向量a、b、c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.[说明]数量积的运算不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．4．平面向量数量积的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a |＝x 21＋y 21；(3)cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22；(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.[说明] x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的条件，后者是它们垂直的条件．(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．AB ＋AC －BC ＋BA 化简后等于________． 解析：原式＝(AB ＋BA )＋(AC －BC ) ＝(AB －AB )＋(AC ＋CB )＝0＋AB ＝AB . 答案：AB2．已知向量a ＝(1,3x )，b ＝(－1,9)，若a 与b 共线，则实数x 的值为________． 解析：∵a 与b 共线，∴9＋3x ＝0，∴x ＝－3. 答案：－33．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________ 解析：(m ＋n )⊥(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1) ＝－(2λ＋6)＝0，所以λ＝－3. 答案：－34．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为________． 解析：AB ＝(3，－4)，所以|AB |＝5，这样同方向的单位向量是15AB ＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 答案：⎝⎛⎭⎫35，－45 5．如图，M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点，且MN ＝λ(AC －AB )成立，则λ＝________.解析：∵M ，N 分别是AB ，AC 的一个三等分点， ∴MN BC ＝13，即MN ＝13BC . 又MN ＝λ(AC －AB )＝λBC ， ∴λ＝13.答案：136．若|a |＝2，|b |＝6，a ·b ＝－3，则|a ＋b |等于________． 解析：∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4－6＋36＝34， ∴|a ＋b |＝34. 答案：347．已知向量OB ＝(2,0)，OC ＝(2,2)，CA ＝(－1，－3)，则OA 和OB 的夹角为________．解析：由题意，得OA ＝OC ＋CA ＝(1，－1)，则|OA |＝2，|OB |＝2，OA ·OB ＝2， ∴cos 〈OA ，OB 〉＝OA ·OB | OA ||OB |＝22.又0≤〈OA ，OB 〉≤π，∴〈OA ，OB 〉＝π4.答案：π48．在梯形ABCD 中，AB ＝2DC ，AC 与BD 相交于O 点．若AB ＝a ，AD ＝b ，则OC ＝________.解析：依题意得AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，OC AO ＝DC AB ＝12，OC ＝13AC ，又AC ＝AD ＋DC ＝b ＋12a ，因此OC ＝13b ＋16a .答案：13b ＋16a9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC ＝________.解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ·AC ＝AP ·2AO ＝2AP 2＋2AP ·PO ＝2×32＋0＝18.答案：1810．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则实数k 的值为________．解析：a·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2) ＝k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22 ＝k ＋(1－2k )cos 2π3－2＝2k －52.∴2k －52＝0，∴k ＝54.答案：5411．下列5个说法：①共线的单位向量是相等向量；②若a ，b ，c 满足a ＋b ＝c 时，则以|a |，|b |，|c |为边一定能构成三角形； ③对任意的向量，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |； ④(a ·b )c ＝a (b ·c )； ⑤(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 其中正确的是________．解析：共线也有可能反向，故①不正确；若|a |＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；由数量积的性质知④不正确；由向量加法的三角形法则知③正确；由数量积的性质知⑤正确．答案：③⑤12．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a ×b 是一个向量，它的模|a ×b |＝|a ||b |sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ×b |＝________.解析：cos θ＝a ·b |a ||b |＝－3－32×2＝－32，∴sin θ＝12.∴|a ×b |＝2×2×12＝2.答案：213．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为____________；DE ·DC 的最大值为________． 解析：法一：以AB ，AD 为基向量， 设AE ＝λAB (0≤λ≤1)，则DE ＝AE －AD ＝λAB －AD ，CB ＝－AD ，所以DE ·CB ＝(λAB －AD )·(－AD )＝－λAB ·AD ＋AD 2,＝－λ×0＋1＝1.又DC ＝AB ，所以DE ·DC ＝(λAB －AD )·AB ＝λAB 2－AD ·AB ,＝λ×1－0＝λ≤1，,即DE ·DC 的最大值为1. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，,令E 点坐标为(t ，0)(0≤t ≤1)可得DE ·CB ＝(t ，－1)·(0，－1)＝1，, DE ·DC ＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1，,∴DE ·CB ＝1，DE ·DC 最大值为1.14．(上海高考)已知正方形ABCD 的边长为1，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为a 1，a 2，a 3；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为c 1，c 2，c 3.若i ，j ，k ，l ∈{1,2,3}且i ≠j ，k ≠l ，则()a i ＋a j ·()c k ＋c l 的最小值是________． 解析：根据对称性，当向量()a i ＋a j 与()c k ＋c l 互为相反向量，且它们的模最大时，()a i ＋a j ·()c k ＋c l 最小．这时a i ＝AC ，a j ＝AD ，c k ＝CA ，c l ＝CB ，()a i ＋a j ·()c k ＋c l ＝－||a i ＋a j 2＝－5.答案：－5二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在四边形ABCD (A 、B 、C 、D 顺时针排列)中，AB ＝(6,1)，CD ＝(－2，－3)，若有BC ∥DA ，又有AC ⊥BD ，求BC 的坐标．解：设BC ＝(x ，y )，则AC ＝AB ＋BC ＝(6＋x,1＋y )，AD ＝AC ＋CD ＝(4＋x ，y －2)，DA ＝－AD ＝(－x －4,2－y )， BD ＝BC ＋CD ＝(x －2，y －3)．又BC ∥DA 及AC ⊥BD ， ∴x (2－y )－(－x －4)y ＝0，① (6＋x )(x －2)＋(1＋y )(y －3)＝0.②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴BC ＝(－6,3)或(2，－1)．16．(本小题满分14分)已知|OA |＝1，|OB |＝3，OA ·OB ＝0，点C 在∠AOB 的内部，且∠AOC ＝30°，若OC ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，求mn的值．解：∵OA ·OB ＝0，∴OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，又∵∠AOC ＝30°，且点C 在∠AOB 内部， ∴∠BOC ＝60°.∴OA ·OC ＝OA ·(m OA ＋n OB )＝m ＝|OA ||OC |·cos ∠AOC ＝32|OC |， OB ·OC ＝OB ·(m OA ＋n OB )＝3n ＝|OB ||OC |·cos ∠BOC ＝32|OC |. ∴m ＝3n ，即mn＝3.17．(本小题满分14分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且(a ＋2b )·(2a －b )＝0，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25， 即x 2＋y 2＝20.①∵c ∥a ，a ＝(1,2)，∴2x －y ＝0，即y ＝2x .②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0,2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.③ ∵|a |2＝5，|b |2＝54，代入③式，得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－525×52＝－1. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.18．(本小题满分16分)已知向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：a ·b ＝(3，－1)·⎝⎛⎭⎫12，32＝32－32＝0，∴a ⊥b . (2)假设存在非零实数k ，t 使x ⊥y ， 则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0. 又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)，故存在非零实数k ，t ，使x ⊥y 成立，其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．19．(本小题满分16分)已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)(0＜α＜π)． (1)若|OA ＋OC |＝7(O 为坐标原点)，求OB 与OC 的夹角； (2)若AC ⊥BC ，求tan α的值． 解：(1)∵OA ＋OC ＝(2＋cos α，sin α)， |OA ＋OC |＝7，∴(2＋cos α)2＋sin 2α＝7，∴cos α＝12.又α∈(0，π)，∴α＝π3，即∠AOC ＝π3，又易知∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝π2，∴OB 与OC 的夹角为π6.(2)AC ＝(cos α－2，sin α)，BC ＝(cos α，sin α－2)， 由AC ⊥BC ，知AC ·BC ＝0，可得cos α＋sin α＝12.① ∴(cos α＋sin α)2＝14，∴2sin αcos α＝－34，∵α∈(0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.又(cos α－sin α)2＝1－2sin α cos α＝74，cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－72.② 由①②得cos α＝1－74，sin α＝1＋74，从而tan α＝－4＋73.20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，且点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若AB ⊥a ，且|AB |＝5|OA |，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA ·OC . 解：(1)因为AB ＝(n －8，t )，且AB ⊥a ， 所以8－n ＋2t ＝0，即n ＝8＋2t . 又|AB |＝5|OA |，所以5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，解得t ＝±8. 所以OB ＝(24,8)或(－8，－8)．(2)因为AC ＝(k sin θ－8，t )，AC 与a 共线， 所以t ＝－2k sin θ＋16. 又t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k ⎝⎛⎭⎫sin θ－4k 2＋32k ， 当k >4时，1>4k>0，所以当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k ；由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，故OC ＝(4,8)， 所以OA ·OC ＝8×4＋8×0＝32.。

§2-3、4平面向量【课前预习】阅读教材P93-112完成下面填空1．平面向量的基本定理： 如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =（2）平面向量的坐标运算：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。

若),(),,(2211y x B y x A ，则=OB -OA =( x 2，y 2)- (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.（3）向量共线的两种判定方法：a ∥ｂ(0≠b )12210x y x y λ⇔=⇔-= a b 。

2．平面向量的数量积（1）平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a 与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫a 与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）。

并规定0与任何向量的数量积为0。

注意：两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.（3）两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是单位向量；1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ；2︒a ⊥b ⇔a ⋅b = 0；3︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别地a ⋅a = |a |2或||=a 4︒cos θ =||||⋅a b a b 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |。

（4）向量的数量积满足下列运算律已知向量a b c ，，与实数λ。

①a b ⋅＝___________（______律）②()a b λ⋅＝___________③()a+b c ⋅＝___________ （5）平面向量数量积的坐标表示已知非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅（6）平面内两点间的距离公式设a=(x,y),2a =___或a =___________。

2017-2018学年苏教版高中数学必修四学案目录1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2.1第1课时任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3第1课时诱导公式（一～四）1.2.3第2课时诱导公式（五～六）1.3.1三角函数的周期性1.3.2第1课时正弦函数、余弦函数的图象与性质1.3.2第2课时正切函数的图象与性质1.3.3第1课时函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换1.3.3第2课时函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质1.3.4三角函数的应用2.1向量的概念及表示2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3.1平面向量基本定理2.3.2第1课时平面向量的坐标表示及坐标运算2.3.2第2课时平面向量数量积的坐标运算2.4第1课时向量的数量积2.4第2课时向量平行的坐标表示2.5向量的应用3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2第1课时二倍角的三角函数3.2第2课时二倍角的三角函数的应用3.3几个三角恒等式疑难规律方法1疑难规律方法2疑难规律方法3章末复习课1章末复习课2章末复习课31.1.1任意角学习目标 1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．知识点一角的相关概念思考1用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？思考2将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？思考3如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？梳理(1)角的概念：一个角可以看成平面内____________绕着________O从一个位臵OA________到另一个位臵OB所成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的________和________．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类知识点二象限角、轴线角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的________(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，则称这个角为轴线角．知识点三终边相同的角思考1假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个________的和．类型一任意角概念的理解例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确命题的序号为________；(把正确命题的序号都写上)(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．反思与感悟 解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念．角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小． 跟踪训练1 写出下列说法所表示的角． (1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角．类型二 象限角的判定例2 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′. 引申探究确定αn (n ∈N *)的终边所在的象限．反思与感悟 判断象限角的步骤： (1)当0°≤α<360°时，直接写出结果．(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限．跟踪训练2 下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来． (1)60°；(2)－21°.类型三终边相同的角命题角度1求与已知角终边相同的角例3在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．反思与感悟求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．跟踪训练3写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．命题角度2求终边在给定直线上的角的集合例4写出终边在直线y＝－3x上的角的集合．反思与感悟求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．跟踪训练4写出终边在直线y＝33x上的角的集合．类型四区域角的表示例5如图所示．(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．反思与感悟解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．跟踪训练5如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．1．－1 120°角所在象限是________．2．与－457°角终边相同的角的集合是________．3．2 017°是第________象限角．4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．5．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同的角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角．(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．(4)k∈Z这一条件不能少．答案精析问题导学 知识点一思考1 角的构成要素有始边、顶点、终边． 思考2 有顺时针和逆时针两种旋转方向．思考3 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．梳理 (1)一条射线 端点 旋转 始边 终边 (2)逆时针 顺时针 知识点二思考 终边可能落在坐标轴上或四个象限内． 梳理 终边 知识点三思考1 它们的终边相同．－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角． 思考2 60°＋k ·360°(k ∈Z )． 梳理 周角 题型探究例1 (1)① (2)－120° 跟踪训练1 (1)－720° (2)900°例2 解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角． 引申探究解 一般地，要确定αn 所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次标上1,2,3,4，…，4n ，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，αn 的终边所落在的区域，如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出．跟踪训练2解(1)60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.(2)－21°角是第四象限角，所有与－21°角终边相同的角的集合S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.例3解与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.跟踪训练3解由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴31136≤k＜61136(k∈Z)，故取k＝4,5,6.当k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；当k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；当k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.例4解{α|α＝120°＋n·180°，n∈Z}跟踪训练4解终边在y＝33x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；终边在y＝33x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}．因此，终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．故终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}．例5解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．跟踪训练5解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}；②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集，即S＝{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z} ∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z} ＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．当堂训练1．第四象限2．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}3．三 4.－252°5．{β|β＝n·90°，n∈Z}1.1.2弧度制学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？思考2在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？思考3“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？梳理(1)角度制和弧度制(2)角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？梳理 (1)角度与弧度的互化(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝⎛⎭⎫180π°即可． 跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．类型二 用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 500°；(2)23π6；(3)－4.反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角．类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为________． (2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为________． 反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算． 跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．1．将5π12化为角度是________．2．时针经过一小时，转过了________rad.3．若θ＝－5，则角θ的终边在第______象限．4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是________．5．已知⊙O 的一条弧AE 的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是________．1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式． 易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．答案精析问题导学 知识点一思考1 周角的1360等于1度．思考2 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，用符号rad 表示． 思考3 “1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 梳理 (1)1360角度制 半径长 圆心角 1弧度 弧度 知识点二思考 利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝(180π)°进行弧度与角度的换算．梳理 (1)2π 360° π 180° 0.017 45 57.30° (2)45° 90° 135° 270° 0 π6 π3 2π35π6 知识点三思考 设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则：题型探究例1 解 (1)20°＝20π180＝π9. (2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.跟踪训练1 解 (1)5π8(2)－75°例2 解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角．(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角．(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角． 跟踪训练2 解 (1)16π9＋2×(－5)π (2)72° 432°例3 (1)π (2)4sin 1跟踪训练3 2 当堂训练1．75° 2.－π63.一4.1或45.－ 31.2.1任意角的三角函数第1课时任意角的三角函数学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号．知识点一任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？思考2对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？梳理 任意角的三角函数的定义知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？梳理 三角函数值的符号，如图所示．口诀：“一______，二________，三________，四______”．类型一 三角函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值．②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝b a 2＋b 2，cos α＝a a 2＋b 2，tan α＝ba .跟踪训练2 已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．类型二 三角函数值符号的判断例3 (1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第________象限． (2)确定下列各三角函数值的符号． ①sin 182°；②cos(－43°)；③tan 7π4.反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位臵确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．跟踪训练3 (1)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角． (2)判断下列各式的符号．①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝________. 2．已知角α的终边上有一点P (55，－255)，则sin α＋cos α＝________. 3．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α＝________.4．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是________．5．已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝x3，求sin α和tan α.1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数． 2．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3．终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等．答案精析问题导学 知识点一思考1 sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.思考2 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 思考3 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .梳理 y r y r x r x r y x y x知识点二思考 由三角函数定义，可以判断三角函数值的符号． 梳理 全正 正弦 正切 余弦 题型探究例1 解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9， 由三角函数定义得 cos θ＝x r ＝xx 2＋9 .又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)， 此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.跟踪训练1 解 ±1例2 解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ， r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r ＝－3k 10k ＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k＝10， ∴10sin α＋3cos α＝10×⎝⎛⎭⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角， sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.跟踪训练2 －32 －123例3 (1)四 (2)①－ ②＋ ③－ 跟踪训练3 (1)二 (2)①－ ②＋ 当堂训练1．－45 2.－55 3.－43 4.25．解 因为r ＝|OP |＝x 2＋(－2)2，所以由cos α＝x 3，得x x 2＋(－2)2＝x 3，解得x ＝±5.当x ＝5时，sin α＝－23，tan α＝－255；当x ＝－5时，sin α＝－23，tan α＝255.第2课时三角函数线学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．知识点一有向线段思考1比如你从学校走到家和你从家走到学校，效果一样吗？思考2如果你觉得效果不同，怎样直观的表示更好？梳理有向线段(1)有向线段：规定了________(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段．(2)有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线．(3)有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上______或______，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB.(4)单位圆：圆心在________，半径等于____________的圆．知识点二三角函数线思考1在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？思考2三角函数线的方向是如何规定的？思考3三角函数线的长度和方向各表示什么？梳理的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段有向线段________即为余弦线知识点三正弦、余弦、正切函数的定义域思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？梳理三角函数的定义域类型一 三角函数线例1 作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线．反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从点A (1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合．类型二 利用三角函数线比较大小 例2 利用三角函数线比较sin 2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位臵要“对号入座”．(2)比较三角函数线的长度．(3)确定有向线段的正负．跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小．类型三 利用三角函数线解不等式(组) 命题角度1 利用三角函数线解不等式(组)例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期． (2)注意区间是开区间还是闭区间．跟踪训练3 已知－12≤cos θ<32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 例4 求下列函数的定义域． (1)y ＝3tan x －3； (2)y ＝lg(sin x －22)＋1－2cos x .反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集． 跟踪训练4 求函数f (x )＝2sin x －1的定义域．1．函数y ＝cos x －32的定义域为________． 2．如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线分别是____________．3．设a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a 、b 、c 的大小关系是________．(按由小到大顺序排列)4．函数y＝2cos x－1的定义域为________．5．利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角α的区域，并写出角α的集合：(1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12.1．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．2．三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更容易了．答案精析问题导学 知识点一 思考1 不一样．思考2 用有向线段AB 和BA 表示较好． 梳理 (1)方向 (3)正号 负号 (4)原点 单位长度 知识点二思考1 sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .思考2 方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之，为负值． 思考3 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． 梳理 MP OM AT 知识点三思考 由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y 轴上时，任取一点P ，其横坐标x 都为0，此时yx 无意义，故tan α无意义．题型探究例1 解 如图所示，sin ⎝⎛⎭⎫－5π8＝MP ， cos ⎝⎛⎭⎫－5π8＝OM ， tan ⎝⎛⎭⎫－5π8＝AT . 跟踪训练1 解 已知角α的正弦值，可知MP ＝12，则P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点⎝⎛⎭⎫0，12，过该点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因而角α的取值集合为{α|α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z }．例2 解 如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan4π5＝AT ′.显然|MP |>|M ′P ′|，符号皆正， ∴sin2π3>sin 4π5； |OM |<|OM ′|，符号皆负， ∴cos 2π3>cos 4π5；|AT |>|AT ′|，符号皆负， ∴tan 2π3<tan 4π5.跟踪训练2 sin 1 155°>sin(－1 654°)． 例3 解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连结OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．故满足要求的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连结OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围． 故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z }． 跟踪训练3 {θ|2k π－23π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋23π，k ∈Z }例4 解 (1)为使y ＝3tan x －3有意义， 则3tan x －3≥0，所以tan x ≥33， 所以角x 终边所在区域如图所示，所以k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z ，所以原函数的定义域是{x |k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z }．(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴{x |2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z }．跟踪训练4 {x |π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z }当堂训练1．{x |2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z }2．MP 、AT 3.b <a <c 4.⎣⎡⎦⎤－π3＋2k π，π3＋2k π ，k ∈Z 5．解 (1){α|2k π－3π4＜α＜2k π＋3π4，k ∈Z }．(2){α|k π－π2<α≤k π＋π6，k ∈Z }．(3)|sin α|≤12，即－12≤sin α≤12，{α|k π－π6≤α≤k π＋π6，k ∈Z }．1.2.3三角函数的诱导公式第1课时诱导公式(一～四)学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α)．知识点一诱导公式一思考终边相同角的三角函数值之间有什么关系？梳理诱导公式一sin(α＋2kπ)＝sin αcos(α＋2kπ)＝cos αtan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z知识点二诱导公式二思考如图，角－α的终边与单位圆的交点P1(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？梳理诱导公式二sin(－α)＝－sin αcos(－α)＝cos αtan(－α)＝－tan α知识点三诱导公式三思考如图，角π－α的终边与单位圆的交点P2(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？梳理诱导公式三sin(π－α)＝sin αcos(π－α)＝－cos αtan(π－α)＝－tan α知识点四诱导公式四思考如图，角π＋α的终边与单位圆的交点P3(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？梳理诱导公式四sin(π＋α)＝－sin αcos(π＋α)＝－cos αtan(π＋α)＝tan α公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，－α，π－α，π＋α的三角函数与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π－α，π＋α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．类型一 利用诱导公式求值 命题角度1 给角求值问题 例1 求下列各三角函数式的值． (1)cos 210°；(2)sin 11π4； (3)sin(－43π6)；(4)cos(－1 920°)．反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤： (1)“负化正”：用公式一或三来转化．(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． (3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值．(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－31π6； (3)tan(－945°)．命题角度2 给值求角问题例2 已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ＝________.反思与感悟 对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．跟踪训练2 已知sin(π－α)＝－2sin(π＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.。

一、三角函数1．任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：(1)y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin_α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos_α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx (x ≠0)． 2．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .3．诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．4．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域RR{x | x ∈R 且x ≠k π＋π2，}k ∈Z值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0(k∈Z)，无对称轴奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性最小正周期：2π最小正周期：2π最小正周期：π单调性在⎣⎢⎡－π2＋⎦⎥⎤2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是单调增函数；在⎣⎢⎡π2＋2kπ，⎦⎥⎤3π2＋2kπ(k∈Z)上是单调减函数在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上是单调增函数；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上是单调减函数在开区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是单调增函数最值在x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，y max＝1；在x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，y min＝－1在x＝2kπ(k∈Z)时，y max＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，y min＝－1无最值二、平面向量1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)三角形法则平行四边形法则减法减法法则a－b＝(x1－x2，y1－y2)(1)平面向量基本定理①定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.②基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (2)向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 3．向量的平行与垂直a ，b 为非零向量，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b|a||b |＝ 5．向量的投影向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a·b|b |. 6．向量的运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ，a·b ＝b·a .(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，a－b－c＝a－(b＋c)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(4)重要公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．升幂公式1＋cos 2α＝2cos2α. 1－cos 2α＝2sin2α. 4．降幂公式cos2x＝1＋cos 2x2，sin2x＝1－cos 2x2.5．和差角正切公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．6．辅助角公式y＝a sin x＋b cos x其中φ为辅助角，tan φ＝ba)(或a sin x＋b cos x＝a2＋b2cos(x－φ)，tan φ＝a b)．1．终边与始边重合的角是零角．(×)[提示] 终边与始边重合的角是360°的整数倍．2．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关．(×) [提示] 与圆的半径长短无关．3．角α是三角形的内角，则必有sin α＞0，cos α≥0.(×) [提示] 当α是钝角时cos α＜0.4．同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．(√) 5．对任意角α，sin αcos α＝tan α都成立．(×) [提示] 只有cos α≠0时才成立． 6．诱导公式中的角α一定是锐角．(×)[提示] 只要角α使代数式有意义即可，不一定是锐角． 7．在△ABC 中，sin(A ＋B )＝sin C ．(√)8．函数y ＝sin x 的图象向右平移π2个单位得到函数y ＝cos x 的图象．(×) [提示] 应为向左平移π2个单位．9．函数y ＝cos x 的图象关于x 轴对称．(×)[提示] 关于y 轴对称，所有对称轴可表示为x ＝k π(k ∈Z )． 10．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π2＝sin π4，则π2是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．(×)[提示] 若T 是一个函数的周期，对任意的x 必有f (x ＋T )＝f (x )成立．如sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2≠sin π3，故π2不是y ＝sin x 的周期． 11．函数y ＝sin x ，x ∈(－π，π]是奇函数．(×)[提示] 函数若具备奇偶性首先要满足定义域关于原点对称． 12．正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．(×)[提示] 正弦函数、余弦函数有单调区间，但在定义域内单调性不一致，不是单调函数．13．正切函数的定义域和值域都是R .(×)[提示] 正切函数的值域是R ，定义域为{x |x ≠π2＋k π(k ∈Z )}．14．把函数y ＝cos x 图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y ＝cos 3x 的图象．(×)[提示] 应得到y ＝cos 13x 的图象．15．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的最大值为A .(×) [提示] 最大值应为|A |.16．向量AB →与向量BA →是相等向量．(×)[提示] AB →与BA →大小相等，方向相反，是相反向量． 17．任意两个向量的和仍然是一个向量．(√) 18．两个相等向量之差等于0.(√) 19．实数λ与向量a 的积还是向量．(√) 20．若m a ＝m b ，则a ＝b .(×) [提示] m ＝0时，a ＝b 不成立． 21．任意两个向量都可以作为基底．(×) [提示] 不共线的两个向量才可以作为基底．22．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√) 23．已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.(√) 24．两个向量的数量积仍然是向量．(×) [提示] 两个向量的数量积是数．25．|AB →|的计算公式与A ，B 两点间的距离公式是一致的．(√) 26．若△ABC 为直角三角形，则有AB →·BC →＝0.(×) [提示] 只有∠B ＝90°时，AB →·BC →＝0成立．27．对任意α，β∈R ，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．(√) 28．存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．(√) 29．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4能用公式tan(α＋β)展开．(×)[提示] 展开式中有tan π2，此式无意义． 30．若α是第一象限角，则tan α2＝1－cos α1＋cos α.(√)1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A .34AB →－14AC →B .14AB →－34AC → C .34AB →＋14AC →D .14AB →＋34AC →A [法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A .法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →， 故选A .]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 B [a ·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2－(－1)＝3， 故选B .]3．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．[★答案★] －44．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α， 所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925， 因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43， 所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211. 5．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值． [解] (1)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得sin α＝－45.所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.(2)由角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45，得cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213. 由cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.。

3.5复习课(全章复习)自学评价本章内容是概率论的初步知识，它主要包括：随机事件的概率；等可能性事件的概率，包括古典概型和几何概型；互斥事件有一个发生的概率．本章的重点是等可能性事件的概率；互斥事件有一个发生的概率．难点是概率问题处理的思想与方法.1、下列事件中，属于随机事件的是 ( D )A ． 掷一枚硬币一次，出现两个正面；B 、同性电荷互相排斥；C 、当a 为实数时，|a|<0；D 、2009年10月1日天津下雨2、从一堆产品（其中正品和次品都多于2个）中任取2个，其中：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1 件次品；④至少有1件次品和全是正品；上述事件中，是互斥事件的是（ A ）A ①④B ②③C ①②③D ①②③④3、袋中装有大小相同且分别写有1、2、3、4、5五个号码的小球各一个，现从中有放回地任取三球，三个号码全不相同的概率为（ C ）A 、53B 、51C 、2512D 、1253 【精典范例】（1）计算表中各个击中靶心的频率；（2）这个射手击中靶心的概率是多少？（3）这个射手射击2000次估计击中靶心的次数为多少？【解】 (1)0,4,0.4,0.48,0.45,0.45,0.45 (2) 0.45 (3)300例2 袋中装有大小均匀分别写有1,2,3,4,5五个号码的小球各一个,现从中有放回地任取三个球,求下列事件的概率:(1)所取的三个球号码完全不同;(2)所取的三个球号码中不含4和5.【解】从五个不同的小球中,有放回地取出三个球,每一个基本事件可视为通过有顺序的三步完成:①先取1个球,记下号码再放回,有5种情况;②再从5球中任取一个球,记下号码再放回,仍然有5种情况;③再从5个球中任取1个球,记下号码再放回,还是有5种情况.因此从5个球中有放回地取3个球,共有基本事件n 5×5×5=125个,(1)记三球号码不同为事件A,这三球的选取仍然为有顺序的三次,第一次取球有5种情况,第二,三次依次有4,3种情况,∴事件A含有基本事件的个数m =5×4×3=60个,∴6012();12525m P A n ===(2)记三球号码不含4和5为事件B,这时三球的选取还是为有顺序的三次,由于这时前面选的球后面仍然可以选,因此三次选取的方法种数都是3,∴B 中所含基本事件的个数为m =3×3×3=27个,∴27()125m P B n == 例3 一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率.【解】在1000个小正方体中，一面涂有色彩的有286⨯个，两面涂有色彩的有812⨯个，三面涂有色彩的有8个，∴⑴一面涂有色彩的概率为13840.3841000P ==； ⑵两面涂有色彩的概率为2960.0961000P ==； ⑶有三面涂有色彩的概率280.0081000P ==. 答：⑴一面图有色彩的概率0.384；⑵两面涂有色彩的概率为0.096；⑶有三面涂有色彩的概率0.008.例4 9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；（Ⅲ）求有坑需要补种的概率．（精确到01.0）【解】(1)0.875 (2)0.041 (3)0.330例5 一个盒中装有8只球，其中4红.3黑.1白，现从中取出2只球（无放回）， 求：（1）全是红球或全是黑球的概率； （2）至少有一个红球的概率。

1章三角函数[学习目标】1•理解任意角的三角函数的概念2掌握同角三角函数基本关系及诱导公式3能画出y= sin x, y= cos x, y= tan x 的图象4理解三角函数y= sin x, y= cos x, y= tan x 的性质.5. 了解函数y= Asin( »+妨的实际意义，掌握函数y= Asin(3x+$)图象的变换.n知识梳理----------------------------i .任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么：(1) y叫做a的________ ，记作 ______ ，即_____________ ；(2) x叫做a的________ ，记作 ______ ，即_____________ ；(3) ^叫做a的_________ ，记作 ______ ，即_____________ .x2.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：_____________________ .⑵商数关系：tan a= COM ("工k n+ 2, « Z [3 .诱导公式n六组诱导公式可以统一概括为“k ±a(k € Z)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把a视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.题型探究---------------------------类型一三角函数的概念例1已知角B的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4, y)是角B终边上一点，且sin 0=-兮，贝V y= ____________________ .反思与感悟(1)已知角a的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.②在a的终边上任选一点P(X, y), P到原点的距离为r(r > 0).则sin a= :, cos a=:.已知a 的终边求a 的三角函数值时，用这几个公式更方便.⑵当角a的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 跟踪训练1 已知角a的终边经过点P(3,4t)，且sin(2k n+a = -；(k€ Z)，则t = ________________________ .类型二同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用例2 已知关于x的方程2x2—(寸3 + 1)x + m= 0的两根为sin 0, cos 0, (0,2 n .求: cos2字-0sin 扌+ 0(1)---------------------------- p ----cos 牙-0p cos(—— 0 1+ ta n( n 0)⑵m的值；(3)方程的两根及此时0的值.反思与感悟(1)牢记两个基本关系式sin2a+ cos2a= 1及tan a并能应用两个关系式进cos a行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：已知sin a±3OS a 的值，可求cos a sin a注意应用(cos a±sin1 ±2sin a cos an(2)诱导公式可概括为k》土a k € Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限.2sin(n—a)cos(2 n—a)tan(— n+a) si n(— n+ a tan— a+ 3 n跟踪训练 2 已知f( a)=(1) 化简f( a ；(2) 若f( a= 士且玄a n，求cos a—Sin a的值；8 4 2⑶若a=—4，求f( a的值.类型三三角函数的图象与性质例3将函数y= f(x)的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的然后向上平移1个单位长度，得到函数y= . 3sin x的图象.(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间；(2)若函数y= g(x)与y= f(x)的图象关于直线x= 2对称，求当x€ [0,1]时，函数y= g(x)的最小值和最大值.3X+ $看作一个整体来解决. 反思与感悟研究y= Asin@x+妨的单调性、最值问题，把跟踪训练3函数f(x) = 3sin 2x+才的部分图象如图所示.(1)写出f(x)的最小正周期及图中x o, y o的值；⑵求f(x)在区间—n —上的最大值和最小值.类型四三角函数的最值和值域命题角度 1 可化为y = Asin(®x+ $汁k型例4求函数y=—2si n(x + y + 3, x€ [0 , n的最大值和最小值.反思与感悟利用y= Asin( 3汁妨+ k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.跟踪训练4已知函数y= asin(2x+石)+ b在x€［0 ,㊁］上的值域为［—5,1］，求a, b的值. 命题角度2 可化为sin x或cos x的二次函数型例5已知|x|w才，求函数f(x) = cos2x+ sin x的最小值.反思与感悟在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.跟踪训练5已知函数f(x)=—sin2x —asin x+ b+ 1的最大值为0,最小值为—4,若实数a>0, 求a, b的值.类型五数形结合思想在三角函数中的应用例6已知方程sin(x+于=譽在［0, n上有两个解，求实数m的取值范围.3 2反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究 y =Asin( 3X +$)(A >0, 3>0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想. 跟踪训练6 设函数f(x)= Asin( 3x+ ©)(A , w, $是常数，A > 0, w >0).若f(x)在区间年，刁 n 2 n n 上是单调函数，且 峪)=f(yo =—呢)，则f(x)的最小正周期为 _____________ .1 .若一个角 a 的终边上有一点 P(— 4 , a)，且sin a C OS a=-43，贝y a 的值为175 .已知函数f(x)=— sinx + sin x + a ，若1 < f(x )w —对一切x € R 恒成立，求实数 a 的取值范 围.厂规律与方法■ -----------------------------------三角函数的性质是本章复习的重点，在复习时，要充分利用数形结合思想把图象与性质结合 起来，即利当堂训练 2 .已知 f( a )=sin n — a -^OlZ n — a cos — n — a tan a 31 n 则f(— 3 )的值为 3.函数y = |sin x|+ sin|x|的值域为 __________ f n n t 4.函数f(x) = 2sin(wx+妨w>0,— K2的部分图象如图所示，则 w , $的值分别是用图象的直观性得到函数的性质，或由单位圆中三角函数线表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也能利用函数的性质来描述函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练运用数形结合的思想方法.答案精析知识梳理亠亠 y 1. ⑴正弦 sin a sin a= y (2)余弦 cos a cos a= x (3)正切 tan a tan a= x (X M 0)2 2 2. (1)sin a+ cos a= 14. [- 1,1] [ — 1,1] R 奇函数偶函数奇函数 2 n 2 n n 扌+ 2k n题型探究例1 — 89跟踪训练1—三 例2解由根与系数的关系，得V 3+1 sin 0+ cos 0= —2 —,msin 0cos 0= ^.=sin 0+ cos 0= sin 0— cos 0sin 0— cos 02V 3+1(2)由 sin 0+ cos 0= —2— 两边平方可得 m =(3) 由m =〒可解方程2X 2— ( .3+ 1)x +〒=0,(1)原式= 2 sin 0 cos 0+ = + : sin 0— cos 0 1 — tan 0 sin 0— cos 0 1 — sin 0 cos 0 sin 2 0 cos 0 1 + 2sin 0cos 0=4 + 2、31 + 2X+于，•••张(o,2 n, J n •- 0= 6或3 跟踪训练2 sin a cos a tan a sin a cos a —sin a — tan a 1 ⑵由 f( a= Sin a cos a=；可知， 8 2 2 2 (cos a — sin a = cos a — 2sin a c os a+ sin a 1 3 =1 — 2sin a cos a= 1 — 2即 cos a — sin <, • •• cos a — sin a=—弩 2 - (3) •- a=— 44n =— 6 x 2n+ 4,=cos [— 6X 2 n+ 訂sin 6X 2 n+=cos ； si 门亍=于 x ：22= 2例3解(1)函数y = .3 sin x 的图象向下平移1个单位长度得y = . 3sin x — 1，再将得到的3倍，得到y =乜sin ^c — 1图象上的点的横坐标伸长为原来的的图象，然后向右平移1个单位 n 3长度，得到y = 3sin (n x —n — 1的图象，•函数y = f(x)的最小正周期为T = 红 6•由2k n —詐才33 n 2 3 sin 0=1, __3 sin 0= 2，I cos 0= 2cos 0= 1. 解(i )f ( a= X 8 = 4. n n 又"4< a <2，二 cos o<sin a, 7t47 n ~ = cos47 n T sin 7t得两根3x —n2k n+ n，k€ 乙得6k—x w 6k+k€ Z,「.函数y= f(x)的单调增区间是[6k—丁,56k+ 2], k€ 乙(2) •••函数y= g(x)与y= f(x)的图象关于直线x= 2对称,•••当x€ [0,1]时，y= g(x)的最值即为x€ [3,4]时，y = f(x)的最值.•••当x€ [3,4]时，承―扌€ [#, n,,n n 3(§x —3)€ [0，玄],1• f(x)€ [—1, 2].1•••当x€ [0,1]时，y= g(x)的最小值是一1，最大值为*跟踪训练3解(1)f(x)的最小正周期为n x0= 76^, y0= 3.(2)因为x € —2，一12 "，所以2x + 6€—"6，0 I 于是，当2x + 6= 0,即x= —12时，f(x) 取得最大值0 ；当2x+n=—n，即x=—n时f(x)取得最小值—3.例 4 解•/ x€ [0 , n]当sin(x+ 6)= 1, 即x= n时，y取得最小值1.n 1当sin(x+ 6)= —2，即x= n时，y取得最大值4.•函数y=—2sin(x+》+ 3, x€ [0 , n]的最大值为4,最小值为1.跟踪训练4解•/ x€ [0, J ,- n r n 7 n 1•- 2x+ 6 €【6, 6 n , si n(2x + 6) € [ —2，1].a + b= 1,•••当a> 0 时，[a = 4, 解得b =- 3;、一-1 + b= 1，当a v 0时，a + b=- 5,a =- 4, 解得b =- 1.••• a, b的取值分别是4，—3或—4,—1.例 5 解y= f(x) = cos2x+ sin x =- sin2x+ sin x+ 1.n令t = sin x, •/ |x|< -,• - -2 < sin x w £则y=-t2+1+ 1 = - (t-2)2+ 4(-~22<t<"22),•••当t=- 22,即x=-n时，f(x)有最小值，且最小值为一(-2-1)2+5跟踪训练5解令t = sin x，则2( a \ a 2g(t) = - t —at+ b+ 1= -t+ 2 + 4 + b+ 1,a且t € [- 1,1] •根据对称轴t o=- a与区间[-1,1]的位置关系进行分类讨论.①当一号w- 1,即卩a>2时，y max = g —1 = a+ b= 0,I y min = g 1= 一a+ b= 一4,[a = 2, 解得b =- 2.②当一1< -2<0 ,即0<a<2 时，1- *2 2y max = g ―2 = 4 + b + 1= 0，y min = g 1= —a + b= —4,a = 2, a=—6,解得(舍)或(舍),b =—2 b=—10综上所述，a= 2, b=—2._ n n rm例6 解函数y= sin(x+ 3), x€ [0, n的图象如图所示，方程sin(x+ 3) = "2■在[0 , n上有两个解等价于函数y1= sin(x+3), y2 = m在同—平面直角坐标系中的图象在[0, n]有两个不同的交点，所以普w m< 1,即V3w m v 2.跟踪训练6 n当堂训练1 4.3或—^3r2• —2 3.[0,2]n4. 2,—35.[3,4]。

1.直线的倾斜角和斜率(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.倾斜角α的取值范围：____________.(2)直线的斜率①定义：________________.②过两点的直线的斜率公式：______________.(3)斜率的求法①依据倾斜角.②依据直线方程.③依据两点的坐标.2.直线方程的几种形式的转化3.两条直线的平行与垂直l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1.9.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则两圆：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d> r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|10.求圆的方程时常用的四个几何性质11.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式AB＝|xA－xB|＝1＋k2[xA＋xB2－4xAxB]).注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.12.空间中两点的距离公式一般地，空间中任意两点P1(x1，y1，z1)，点P2(x2，y2，z2)间的距离为P1P2＝________________________.类型一待定系数法的应用命题角度1 求直线方程例1 直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程.。

第二章平面向量本章复习整体设计知识网络教学分析向量的重要性可与函数相比，函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算，并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量．数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系；向量又有加减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法．向量方法宜于把几何从思辩数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．将一个实际问题转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比．而一维情形下向量的共线条件，到二维情形下的平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比．向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，数形结合地解决数学和物理的有关问题．同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段．充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的，平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态的演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平．三维目标1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识．提高分析问题、解决问题的能力．2．通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化．培养学生的数学应用意识．深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．3．通过一题多解的活动，培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．重点难点教学重点：向量的运算，向量平行、垂直的条件，平面向量的坐标表示及其运算、数量积的理解运用．教学难点：向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题．对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接导入)前面一段，我们一起探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力．这一节，我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，强化向量的综合应用．思路2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下，它是怎样具有代数、几何双重身份的？向量是怎样进行代数运算的？又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习．推进新课知识巩固向量的概念、运算及其综合应用．活动：本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识，而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向量的表示法有：几何表示法为AB →，a (手写时为a →)，坐标表示法为a ＝x i ＋y j ＝(x ，y)．有哪些特殊的向量：a ＝0 ⇔|a |＝0.向量a 0为单位向量⇔|a 0|＝1.相等的向量：大小相等，方向相同．a ＝b ⇔ (x 1，y 1)＝(x 2，y 2) ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2，y 1＝y 2等等．指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳，引导学生把向量的运算类比数的运算．向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱，教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容：本章的重要定理及公式：(1)平面向量基本定理：e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)两个向量平行的条件：a∥b(b≠0)⇔存在惟一的实数λ使得a＝λb；若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(b可以为0)．(3)两个向量垂直的条件当a、b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0 ⇔x1x2＋y1y2＝0.讨论结果：①～③略．应用示例例1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，(1)k a＋b与a－3b垂直？(2)k a＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？活动：向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系，是高考考查的重要内容之一．在解决本题时，教师首先引导学生思考回顾，如何用数量积及有关的定理解决有关长度，角度，垂直的问题；共线的向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础，那么怎样应用向量共线这个条件呢？让学生通过例题仔细体会，进一步熟练、提高．解：(1)k a ＋b ＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当(k a ＋b )·(a －3b )＝0时，这两个向量垂直． 由(k －3)×10＋(2k ＋2)×(－4)＝0，解得k ＝19， 即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．(2)当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在惟一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.这是一个以k 、λ为未知数的二元一次方程组．解这个方程组得k ＝－13，λ＝－13，即当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b .因为λ＝－13<0，所以－13a ＋b 与a －3b 反向．点评：向量共线的条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择．在本例中，也可以根据向量平行条件的坐标形式，从(k －3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，先解出k ＝－13，然后再求λ.例2如图1，已知在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c .若a·b ＝b·c ＝c·a .求证：△ABC 为正三角形．图1活动：引导学生回顾，向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，因此有了几何运算；另一方面又具有一套优良的代数运算性质，因此又有了代数运算．对于这两种运算，前者难度大，灵活多变，对学生来说是个难点，后者学生感到熟悉，易于掌握，但应让学生明了，这两种方法都要掌握好，近几年高考题的解答都是以两种解法给出．本题给出的是三角形，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的几何运算问题来解决，请同学们在探究中要注意仔细体会，领悟其实质．教学中，教师要放手大胆地让学生自己去探究，鼓励学生从不同的角度去观察、去发现．真正做到一题多用，一题多变，串联知识、串联方法，使学生在探究过程中掌握了知识，提高了思维能力和复习效率．证法一：由题意得a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b )． 又∵b·c ＝c·a ，∴c·(a －b )＝0. ∴－a 2＋b 2＝0.∴|a|2＝|b |2，即|a|＝|b |. 同理可得|c|＝|b |，∴|a|＝|b|＝|c |. ∴△ABC 为正三角形．证法二：由题意得a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝－b －c ，b ＝－a －c. ∴a 2＝b 2＋c 2＋2b·c ，b 2＝a 2＋c 2＋2a·c . 而b·c ＝c·a (已知)，∴a 2－b 2＝b 2－a 2. ∴a 2＝b 2.∴|a|2＝|b|2.∴|a|＝|b |. 同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c |. ∴△ABC 为正三角形．证法三：如图2，以AB 、BC 为邻边作平行四边形ABCD ，则AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →，图2∴BD →＝a －c .又∵a·b ＝b·c ，∴b·(a －c )＝0. ∴b ·BD →＝0.∴b ⊥BD →.∴平行四边形ABCD 为菱形，∴AB＝BC.同理可得BC ＝AC ， ∴△ABC 为正三角形．证法四：取BC →的中点E ，连结AE ，则 AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )，∴AE →·a ＝12(c －b )·a ＝0.∴AE →⊥a .∴AB＝AC.同理可得BC ＝AC ，∴△ABC 为正三角形．点评：本题给出了四种证法，教师要善于引导学生进行一题多解，这是一种很有效的办法．数学教学中，一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段．通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在教材安排的例题中，有相当一部分题目存在一题多解的情况．教师要引导学生善于挖掘.例3已知a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y＝－k a ＋t b 且x ⊥y .试求k ＋t2t的最小值．活动：本例是一道平面向量综合应用的经典例题，具有一定的综合性，但难度不大，可以先让学生自己探究，独立地去完成．对找不到思路的学生，教师要引导学生注意挖掘题目中的隐含条件，然后根据垂直的条件列出方程，得出k 与t 之间的关系，再利用二次函数的知识来求最值．根据垂直的条件和坐标运算列方程是解决本例的关键．解：由已知，得|a |＝32＋－2＝2，|b |＝122＋322＝1.∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .∵x ⊥y ，∴x·y ＝0，即[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.化简，得k ＝t 3－3t 4，∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74，即t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74.点评：本题主要训练学生综合运用所学向量知识解决问题的能力，训练学生利用转化的思想以及建立函数模型的建模能力. 变式训练1.如图3，M 是△ABC 内一点，且满足条件AM →＋2BM →＋3CM →＝0，延长CM 交AB 于N ，令CM →＝a ，试用a 表示CN →.图3解：∵AM →＝AN →＋NM →，BM →＝BN →＋NM →， ∴由AM →＋2BM →＋3CM →＝0，得 (AN →＋NM →)＋2(BN →＋NM →)＋3CM →＝0. ∴AN →＋3NM →＋2BN →＋3CM →＝0.又∵A、N 、B 三点共线，C 、M 、N 三点共线， 由平行向量基本定理，设AN →＝λBN →，CM →＝μNM →， ∴λBN →＋3NM →＋2BN →＋3μNM →＝0. ∴(λ＋2)BN →＋(3＋3μ)NM →＝0.由于BN →和NM →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－1.∴CM →＝－NM →＝MN →.∴CN →＝CM →＋MN →＝2CM →＝2a .2．将函数y ＝2x 2进行平移，使得到的图形与抛物线y ＝－2x 2＋4x ＋2的两个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式．解法一：设平移向量a ＝(h ，k)，则将y ＝2x 2按a 平移之后得到的图象的解析式为y ＝2(x －h)2＋k.设M(m ，n)和M′(－m ，－n)是y ＝－2x 2＋4x ＋2与y ＝2(x －h)2＋k 的两个交点，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2m 2＋4m ＋2，－n ＝－－2＋－＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－4.∴点(1,4)和点(－1，－4)在函数y ＝2(x －h)2＋k 的图象上．∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋k ＝4－1－2＋k ＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧h ＝－1，k ＝－4.故所求解析式为y ＝2(x ＋1)2－4，即y ＝2x 2＋4x －2.解法二：将y ＝2x 2按向量a ＝(h ，k)平移，设P(x ，y)为y ＝2x 2上任一点，按a 平移之后的对应点为P′(x′，y′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋h ，y′＝y ＋k ，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′－h ，y ＝y′－k.∴y－k ＝2(x －h)2是平移之后的函数图象解析式．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2＋k ，y ＝－2x 2＋4x ＋2消去y ，得4x 2－4(h ＋1)x ＋2h 2＋k －2＝0.又∵两交点关于原点对称， ∴x 1＋x 2＝0，即＋4＝0，h ＝－1.又y 1＋y 2＝0，∴2x 21－4hx 1＋2h 2＋k ＋2x 22－4hx 2＋2h 2＋k ＝0.∴2(x 21＋x 22)＋4(x 1＋x 2)＝－4－2k.∴2(x 1＋x 2)2＋4(x 1＋x 2)－4x 1x 2＝－4－2k.∵x 1x 2＝2h 2＋k －24，x 1＋x 2＝0， ∴－4×2h 2＋k －24＝－4－2k. ∴k＝－4.∴y＝2(x ＋1)2－4，即y ＝2x 2＋4x －2. 知能训练课本复习题1～6.课堂小结1．先由学生回顾本节都复习了哪些向量知识，用了哪些方法，在原来的基础上你有哪些提高．对本章的知识网络结构了然于胸了吗？2．教师点拨，通过本节复习，要求大家在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练运用重要定理、公式解决一些综合问题，加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．作业1．课本复习题7、8、9、10.2．每人搜集一道向量应用的题目或向量创新题．设计感想1．本节复习课的设计容量较大，要求应用多媒体课件．教师在引导学生探究的过程中，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．2．本设计教案中一题多解应用较多．因为在数学知识的学习中，作为扮演教学活动的组织者、引导者和合作者角色的教师，在组织学生学习各数学知识点的同时，如果能善于引导学生沟通各知识点之间的联系，不仅能达到激发学生的发散性思维和多角度的解题思路的目的，而且更重要的是通过注重多种方法间的联系与沟通，学生能深切感受到各种解题方法之间是有联系的，是相通的，而不是孤立的、割裂的，从而体会数学的统一美和简洁美，进一步增强对数学学习的兴趣，这样的美在一题多解中是随处可见的．备课资料一、备用习题1．下列四个等式中正确的是( )A.AB →＋BA →＝0B.AB →＝OA →－OB →C ．a·b －b·a ＝0D ．(AB →＋MB →)＋BC →＋OM →＋CO →＝AB →2．若直线y ＝2x 按向量a 平移得到直线y ＝2x ＋6，那么a ( )A ．只能是(－3,0)B ．只能是(0,6)C ．只能是(－3,0)或(0,6)D ．有无数个3．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(－3,1)，a 与b 的夹角为θ，则tan θ等于( ) A.13 B ．－13C ．－3D ．34．已知三个点M(－1,0)，N(5,6)，P(3,4)在一条直线上，P 分MN →的比为λ，则λ的值为( )A.13B.12C ．2D ．35．以A(2,7)，B(－4,2)，C(－1，－3)为顶点的三角形，其内角为钝角的是( )A ．∠A B．∠BC ．∠C D．不存在6．平面上有三个点C(2,2)、M(1,3)、N(7，k)，若∠MCN＝90°，那么k 的值为…( )A ．6B ．7C ．8D ．97．有下列五个命题：①若a ≠0，且a·b ＝0，则b ＝0；②若a ≠0，且a·b ＝b·c ，则a ＝c ；③若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b ；④(a·b )c ＝a (b·c )；⑤若|a·b|＝|a||b|，则a ∥b .其中正确命题的序号是________．(请把你认为正确的命题的序号全部填上)8．已知P(1，cosx)，Q(cosx,1)，x∈[－π4，3π4]． (1)若用f(x)表示向量OP →与OQ →的夹角θ的余弦，求f(x)；(2)若t ＝cosx ，将f(x)表示成t 的函数φ(t)，并求φ(t)的定义域．参考答案：1．D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.B 7.⑤8．解：(1)∵OP →＝(1，cosx)，OQ →＝(cosx,1)，OP →与OQ →的夹角为θ，∴f(x)＝cos θ＝OP →·OQ →|OP →||OQ →|＝1×cosx＋cosx×11＋cos 2x ·cos 2x ＋1＝2cosx 1＋cos 2x . (2)∵t＝cosx ，∴φ(t)＝f(x)＝2t 1＋t2. ∵x∈[－π4，3π4]，观察余弦曲线y ＝cosx 在[－π4，3π4]上的图象可知，t ＝cosx∈[－22，1]， ∴函数φ(t)的定义域为[－22，1]． 二、关于一题多解培养学生思维的灵活性是数学教学工作者的一个重要教学环节，它主要表现在使学生能根据事物的变化，运用已有的经验灵活地进行思维，及时地改变原定的方案，不局限于过时或不妥的假设之中．因为客观世界时时处处在发展变化，所以它要求学生用变化、发展的眼光去认识、解决问题．数学教学中，一题多解的训练，是培养学生思维灵活的一种良好手段，通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在本节安排的例题中，多数采用了一题多解模式．通过一题多解的教学，不仅能使学生掌握新知识，还能起到复习巩固旧知识的作用，使学生对所学的方法有了更进一步的明确，同时能活跃课堂气氛，使学生对数学学习产生浓厚的兴趣，也培养了学生的一种钻研精神，使学生在思考问题上具有灵活性、多变性，避免了学生在公式、定理的应用中钻死胡同的现象．所以教师在教学过程中，要重视一题多解的教学，特别是在备课中要根据教学内容、学生情况适当地进行教材处理和钻研，要对知识进行横向和纵向联系，这样课堂效果才能做到丰富多彩．一题多解也是灵活应用所学知识、培养发散思维的有效途径和方法．充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识间的纵、横方向的内在联系，掌握各部分知识之间的相互转化，所以教师在教学过程中要多挖掘一些行之有效的一题多解的例题和习题，使学生的思维应变能力能得到充分的锻炼和提高．使未来多出现具有高思维层次的国际型人才．第2课时导入新课思路1.(直接导入)请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章向量的基本概念、运算性质及重要定理、公式，这一节我们将通过例题分析，继续探讨向量的有关应用，重点是复习向量的一些独特方法和应用．思路2.(投影导入)投影展示上节布置的、同学们搜集到的一道向量应用题或创新题，教师选出最有代表性的、最典型的题目引导学生进行探讨，由此展开新课．推进新课新知探究向量的坐标运算及其综合应用．通过幻灯出示题目让学生思考讨论：设向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由题意得e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos60°＝1，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7.∵向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，∴2t 2＋15t ＋7<0，即－7<t<－12. 活动：引导学生回忆向量的数量积概念，点拨学生结合钝角考虑：向量的数量积是一个数．当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0.零向量与任何向量的数量积等于0.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直．教师引导学生探究讨论：对于两个非零向量a 、b ，若a 与b 的夹角θ为钝角，则a·b <0，反之，却不一定成立．因为当a·b ＝|a||b |cos θ<0时，a 与b 的夹角也可能为π，因此，a 与b 的夹角为钝角 a·b <0且a ≠λb (λ<0)，所以，正确的解答应在上述t 的范围中去掉夹角为π的情形，即设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ<0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ＝λ，7＝λt ，其中λ<0，解得t ＝－142.故所求实数t 的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)． 比较是最好的老师，反例更能澄清概念的本质，使我们深刻理解概念的内涵和外延，教师应引导学生多做这方面的探讨．如由a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，尽管由ab ＝0 ⇒a ＝0或b ＝0.又如|a·b|≤|a||b |，尽管|ab|＝|a||b|.再如(a·b )c ≠a (b·c )，尽管(ab)c ＝a(bc)．因此，学习向量的数量积应与代数中实数间的乘积严加区分，切勿混淆．应用示例1已知向量a 是以点A(3，－1)为起点，且与向量b ＝(－3,4)垂直的单位向量，求a 的终点坐标．活动：关于向量的坐标与表示此有向线段的点的坐标，概念虽小学生却极易混淆．教师引导学生回忆思考：一个向量的坐标与表示此向量的有向线段的点的坐标是什么关系？对此题来说，若要利用两向量垂直的条件，则需设a 的终点坐标，然后表示a 的坐标，再根据两向量垂直的条件建立方程．解：设a 的终点坐标为(m ，n)，则a ＝(m －3，n ＋1)，由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ －－＋＋＝0，－2＋＋2＝1， ①②由①得n ＝14(3m －13)，代入②得25m 2－150m ＋209＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m 1＝195，n 1＝－25或⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＝115，n 2＝－85.∴a 的终点坐标是(195，－25)或(115，－85)． 点评：通过训练要使学生明了，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆．向量的概念较多，且容易混淆，在复习中教师要引导学生理清主线，分清、理解各概念的本质属性.变式训练1．已知点A(－3，－4)、B(5，－12)，(1)若OC →＝OA →＋OB →，OD →＝OA →－OB →，求OC →及OD →的坐标；(2)求OA →·OB →.解：(1)OC →＝(2，－16)，OD →＝(－8,8)．(2)OA →·OB →＝33.2.如图4所示，AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y)，CD →＝(－2，－3)．图4(1)若BC →∥DA →，求x 与y 间的关系式；(2)若又有AC →⊥BD →，求x 、y 的值及四边形ABCD 的面积.解：(1)∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，DA →＝－AD →＝(－x －4，2－y)，又BC →∥DA →且BC →＝(x ，y)，∴x(2－y)－y(－x －4)＝0，即x ＋2y ＝0.①(2)由于AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)，BD →＝BC →＋CD →＝(x －2，y －3)，又AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.②联立①②化简，得y 2－2y －3＝0，∴y＝3或y ＝－1.故当y ＝3时，x ＝－6，此时AC →＝(0,4)，BD →＝(－8,0)，∴S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16； 当y ＝－1时，x ＝2，此时AC →＝(8,0)，BD →＝(0，－4)，∴S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16. 点评：引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体.例2设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且a 、b 满足|k a ＋b |＝3|a －k b |(k 为正实数)．(1)求证：(a ＋b )⊥(a －b )；(2)把a 与b 的数量积表示为关于k 的函数f(k)，求f(k)；(3)求函数f(k)的最小值及取得最小值时a 与b 的夹角．活动：本题是一道向量应用的经典例题，难度不大但综合性较强，体现平面向量与函数、三角函数的交汇，是近几年高考的热点问题．解决这类问题必须熟知平面向量的概念、运算性质、定理、公式等基础知识．教师可以充分让学生自己去探究解决．对有困难的学生教师引导其回忆相关的知识，并适时地点拨学生注意条件地转化及解答的规范．(1)证明：|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |＝cos 2β＋sin 2β＝1，∵(a ＋b )·(a －b )＝|a|2－|b|2＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )．(2)解：由|k a ＋b |＝3|a －k b |，得(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，化简，得a·b ＝k 2＋14k ，故f(k)＝k 2＋14k(k>0)． (3)解：由y ＝k 2＋14k(y>0)，得k 2－4yk ＋1＝0. ∵k>0，方程有解，∴Δ＝16y 2－4≥0，解得y≥12，即k ＝1时，f(k)取最小值为12. 这时，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝12，又0≤θ≤π，∴a 与b 的夹角为π3. 点评：解决本题，我们首先要根据题意画出图形，借助对图形的观察，实现实际问题向数学问题的转化．转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的策略和方法．以向量为工具，通过转化，可以为函数中的许多问题提供新颖、简捷的解法，请同学们注意体会．例3有两根柱子相距20 m ，分别位于电车的两侧，在两柱之间连结一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8 N ，则这条成水平的绳子的中点下降0.2 m ，求此时绳子所受的张力．活动：教师应引导学生回忆向量的应用举例的处理方法：向量起源于物理，是从物理学中抽象出来的数学概念．物理学中的许多问题，如位移、速度、加速度等都可以利用向量来解决．用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即根据题目的条件建立数学模型，再转化为数学中的向量运算来完成．本题仍可由学生自己去探究，点拨学生先画出受力分析图，认真分析题意，创建数学模型，对感到困难的学生教师给予指导，帮助其复习相关的知识，逐步提高分析问题及解决问题的能力．解：如图5所示，设重力作用点为C ，绳子AC 、BC 所承受的力分别记CE →、CF →，重力记为CG →.图5由C 为绳子的中点知|CE →|＝|CF →|.由CE →＋CF →＝CG →，知四边形CFGE 为菱形． 又∵cos∠FCG＝cos∠DCB＝0.2102＋2≈0.02，∴|CE →|＝|CF →|＝12|CG →|cos∠FCG ≈8.90.02＝445， 即绳子所受的张力为445 N.点评：本题是向量知识在物理中的应用，培养了学生动手操作绘图能力、分析问题及解决问题的能力．对学生来说这是一个难点，突破这个难点的关键是教师引导学生把物理问题转化为数学问题．知能训练课本复习题11、12、13.课堂小结1．先由学生回顾本节都复习了哪些主要内容，用到了哪些数学思想方法．向量在函数、三角函数中的重要作用，两向量的数量积的应用，向量平行与垂直条件在解题中的重要作用，向量的几何运算在解决平面几何问题和物理问题中的重要作用．2．教师点睛，要注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来，同时注意向量与其他学科的联系．作业如图6，已知AC 、BD 是梯形ABCD 的对角线，E、F 分别为BD 、AC 的中点，求证：EF∥BC.图6证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，∵AD∥BC，∴BC →＝λAD →＝λb ，则BD →＝AD →－AB →＝b －a .∵E 为BD 中点，BE →＝12BD →＝12(b －a )，F 为AC 中点， BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋12CA → ＝BC →＋12(BA →－BC →) ＝12(BA →＋BC →)＝12(BC →－AB →) ＝12(λb －a )， ∴EF →＝BF →－BE →＝12(λb －a )－12(b －a )＝(12λ－12)b . ∵b ＝1λBC →， ∴EF →＝[(12λ－12)×1λ]BC →. ∴EF →∥BC →，即EF∥BC.点评：证明线段平行，也就是证明向量共线．证明向量a 、b 共线，即是想办法证明a ＝λb (b ≠0)，进而想办法找到λ.设计感想1．本教案的设计思想是：以向量的两种运算思路为主线，以向量的代数、几何双重特点的应用为平台，将向量体现的思想方法贯穿其中，巩固加强本章向量知识．2．平面向量是中学数学的重要内容，它与函数、三角函数等多个知识点相联，因此它与其他知识点的交汇也就成了近几年来高考命题的热点．尤其是向量体现的思想方法，几乎包括了中学的全部．如：数形结合思想，例3中函数与方程思想，解决物理问题的转化与化归思想，对向量共线与否中的分类讨论思想．因此我们应给予足够的重视，充分利用向量解题的优化特点，并注意掌握解平面向量题常用的数学思想方法，以提高学生综合应用能力，也适应高考对平面向量的考查要求．备课资料一、备用习题1．已知向量a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，若向量a ＋k b 与a －b 垂直，则k 的值为……( )A.233 B ．7 C ．－113 D ．－2332．已知向量AB →＝(1,2)，OB →＝(0,1)，则下列各点中在直线AB 上的是( )A ．(0,3)B ．(1,1)C ．(2,4)D ．(2,5)3．向量a 的模为10，它与x 轴的夹角为150°，则它在x 轴上的投影为( )A ．－5 3B ．5C ．－5D ．5 34．若|a |＝2，|b |＝5，|a ＋b |＝4，则|a －b |为( ) A.13 B ．13 C.42 D ．425．已知a ＝(2,1)，与a 平行且长度为25的向量b 是( )A ．(4,2)B ．(－4，－2)C ．(2,1)或(－2，－1)D ．(4,2)或(－4，－2)6．已知向量i ，j ，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，与2i ＋j 垂直的向量是( )A ．2i －jB ．i －2jC ．2i ＋jD ．i ＋2j7．已知O 为原点，点A ，B 的坐标分别为(a,0)，(0，a)，a 是正的常数，点P 在线段AB 上，且AP →＝tAB →(0≤t≤1)，则OA →·OP →的最大值是( )A ．aB ．2aC ．a 2D ．3a8．向量a ＝(n,2)与b ＝(4，n)共线，则n ＝________.9．已知a ＝(2,1)，b ＝(1,2)，要使|a ＋t b |最小，那么实数t 的值是________．10．已知|a |＝1，|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，x ＝2a －b ，y ＝3b －a ，求x 与y 的夹角．参考答案：1．A 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.C8．±2 2 9.－45。