2018届高考数学二轮专题复习培优训练 函数与方程及函数的应用

专题能力训练6 函数与方程及函数的应用能力突破训练1.f(x)=-+log2x的一个零点落在下列哪个区间()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.设函数f(x)的零点为x1,函数g(x)=4x+2x-2的零点为x2,若|x1-x2|>,则f(x)可以是()A.f(x)=2x-B.f(x)=-x2+x-C.f(x)=1-10xD.f(x)=ln(8x-2)4.(2017贵州贵阳模拟)已知M是函数f(x)=e-2|x-1|+2sin在区间[-3,5]上的所有零点之和,则M的值为()A.4B.6C.8D.105.(2017湖北武汉质检)已知函数f(x)是奇函数,且满足f(2-x)=f(x)(x∈R),当0<x≤1时,f(x)=ln x+2,则函数y=f(x)在区间(-2,4]上的零点个数是()A.7B.8C.9D.106.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=e x+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则f(a),f(1),f(b)的大小关系为.7.已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.8.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下:①若一次性购物不超过200元,则不给予优惠;②若一次性购物超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③若一次性购物超过500元,则500元按第②条给予优惠,剩余部分给予7折优惠.甲单独购买A商品实际付款100元,乙单独购买B商品实际付款450元,若丙一次性购买A,B 两件商品,则应付款元.9.已知函数f(x)=2x,g(x)=+2.(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.10.如图,一个长方体形状的物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数为;②其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,(1)写出y的表达式;(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少.思维提升训练11.如图,偶函数f(x)的图象如字母M,奇函数g(x)的图象如字母N,若方程f(g(x))=0,g(f(x))=0的实根个数分别为m,n,则m+n=()A.18B.16C.14D.1212.已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()A.2B.3C.4D.513.设函数f(x)=①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.14.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大.(注:年利润=年销售收入-年总成本)参考答案专题能力训练6函数与方程及函数的应用能力突破训练1.B解析由题意得f(x)单调递增,f(1)=-1<0,f(2)=>0,所以f(x)=-+log2x的零点落在区间(1,2)内.2.C解析依题意得g-2<0,g=1>0,则x2若f(x)=1-10x,则有x1=0,此时|x1-x2|>,因此选C.3.B解析设AD长为x cm,则CD长为(16-x)cm,又因为要将点P围在矩形ABCD内,所以a≤x≤12,则矩形ABCD的面积S=x(16-x).当0<a≤8时,当且仅当x=8时,S=64,当8<a<12时,S=a(16-a),即f(a)=画出分段函数图形可得其形状与B接近,故选B.4.C解析因为f(x)=e-2|x-1|+2sin=e-2|x-1|-2cosπx,所以f(x)=f(2-x).因为f(1)≠0,所以函数零点有偶数个,且两两关于直线x=1对称.当x∈[1,5]时,函数y=e-2(x-1)∈(0,1],且单调递减;函数y=2cosπx∈[-2,2],且在[1,5]上有两个周期,因此当x∈[1,5]时,函数y=e-2(x-1)与y=2cosπx有4个不同的交点;从而所有零点之和为4×2=8,故选C.5.C解析由函数f(x)是奇函数且满足f(2-x)=f(x)知,f(x)是周期为4的周期函数,且关于直线x=1+2k(k∈Z)成轴对称,关于点(2k,0)(k∈Z)成中心对称.当0<x≤1时,令f(x)=ln x+2=0,得x=,由此得y=f(x)在区间(-2,4]上的零点分别为-2+,-,0,,2-,2,2+,-+4,4,共9个零点.故选C.6.f(a)<f(1)<f(b)解析由题意,知f'(x)=e x+1>0恒成立,则函数f(x)在R上是单调递增的,因为f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1).由题意,知g'(x)=+1>0,则函数g(x)在区间(0,+∞)上是单调递增的.又g(1)=ln1+1-2=-1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,则函数g(x)的零点b∈(1,2).综上,可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)<f(1)<f(b).7.(-∞,0)∪(1,+∞)解析要使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)图象与直线y=b有两个不同的交点.当0≤a≤1时,由f(x)的图象(图略)知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y=b不可能有两个交点.当a<0时,由f(x)的图象(如图①)知,f(x)在(-∞,a]上递增,在(a,0)上递减,在[0,+∞)上递增,且a3<0,a2>0,所以,当0<b<a2时,f(x)图象与y=b有两个不同的交点.图①图②当a>1时,由f(x)的图象(如图②)知,f(x)在区间(-∞,a]上递增,在区间(a,+∞)上递增,但a3>a2,所以当a2<b≤a3时,f(x)图象与y=b有两个不同的交点.综上,实数a的取值范围是a<0或a>1.8.520解析设商品价格为x元,实际付款为y元,则y=整理,得y=∵0.9×200=180>100,∴A商品的价格为100元.∵0.9×500=450,∴B商品的价格为500元.当x=100+500=600时,y=100+0.7×600=520,即若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款520元.9.解(1)g(x)=+2=+2,因为|x|≥0,所以0<1,即2<g(x)≤3,故g(x)的值域是(2,3].(2)由f(x)-g(x)=0,得2x--2=0.当x≤0时,显然不满足方程,当x>0时,由2x--2=0整理,得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2,解得2x=1±因为2x>0,所以2x=1+,即x=log2(1+).10.解(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,故y=(3|v-c|+10)(v>0).(2)由(1)知,当0<v≤c时,y=(3c-3v+10)=-15;当c<v≤10时,y=(3v-3c+10)=+15.故y=①当0<c时,y是关于v的减函数.故当v=10时,y min=20-②当<c≤5时,在(0,c]内,y是关于v的减函数;在(c,10]内,y是关于v的增函数.故当v=c时,y min=思维提升训练11.A解析由题中图象知,f(x)=0有3个根0,a,b,且a∈(-2,-1),b∈(1,2);g(x)=0有3个根0,c,d,且c∈(-1,0),d∈(0,1).由f(g(x))=0,得g(x)=0或a,b,由图象可知g(x)所对每一个值都能有3个根,因而m=9;由g(f(x))=0,知f(x)=0或c,d,由图象可以看出f(x)=0时对应有3个根,f(x)=d时有4个,f(x)=c时只有2个,加在一起也是9个,即n=9,∴m+n=9+9=18,故选A.12.A解析因为f(x)=所以f(2-x)=f(2-x)=f(x)+f(2-x)=所以函数y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=其图象如图所示.显然函数图象与x轴有2个交点,故函数有2个零点.13.①-1[2,+∞)解析①当a=1时,f(x)=当x<1时,2x-1∈(-1,1);当x≥1时,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞).故f(x)的最小值为-1.②若函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴有一个交点,则a>0,并且当x=1时,f(1)=2-a>0,所以0<a<2.同时函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有一个交点,所以a<1.若函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴没有交点,则函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有两个不同的交点,当a≤0时,函数f(x)=2x-a的图象与x轴无交点,函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1上与x轴也无交点,不满足题意.当21-a≤0,即a≥2时,函数f(x)=4(x-a)·(x-2a)的图象与x轴的两个交点x1=a,x2=2a都满足题意.综上,a的取值范围为[2,+∞).14.解(1)当0<x≤10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x--10;当x>10时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x.故W=(2)①当0<x≤10时,由W'=8.1-=0,得x=9.当x∈(0,9)时,W'>0;当x∈(9,10]时,W'<0.所以当x=9时,W取得最大值,即W max=8.1×9-93-10=38.6.②当x>10时,W=98-98-2=38,当且仅当=2.7x,即x=时,W取得最大值38.综合①②知:当x=9时,W取得最大值38.6,故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获的年利润最大.15.解(1)因为赔付价格为s元吨,所以乙方的实际年利润为w=2000-sq(q≥0).因为w=2000-sq=-s,所以当q=时,w取得最大值.所以乙方取得最大利润的年产量q=t.(2)设甲方净收入为v元,则v=sq-0.002q2,将q=代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式:v=又v'=-,令v'=0得s=20.当s<20时,v'>0;当s>20时,v'<0.所以当s=20时,v取得最大值.因此甲方向乙方要求赔付价格s为20元吨时,获最大净收入.。

专题限时集训(十五) 函数与方程[A 组 高考达标]一、选择题1．(2016·泰安一模)函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B.(1,2) C ．(2,3)D.(3,4)C [由于函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＋18＞0，故函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在区间(2,3)上有唯一的零点．]2．(2016·张掖一模)已知函数f (x )＝e x ＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝x －14x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．c ＜b ＜a B.a ＜b ＜c C ．c ＜a ＜bD.b ＜a ＜cB [由f (x )＝0得e x ＝－x ，由g (x )＝0得ln x ＝－x .由h (x )＝0得x ＝1，即c ＝1.在坐标系中，分别作出函数y ＝e x ，y ＝－x ，y ＝ln x 的图象， 由图象可知a ＜0,0＜b ＜1，所以a ＜b ＜c .]3．(2016·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x ＞0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1 B.2 C.3D.4C [g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎨⎧(1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg (1－x )|－1，1－x ＞0 ＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg (1－x )|－1，x ＜1， 当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x ＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.]4．(2016·山东实验中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1) B.(－∞，0) C ．(－1,0)D.[－1,0)D [当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D.]5．(2016·安庆二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x (1－x )2，x ≤1.若函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，2 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2D [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x (1－x )2，x ≤1，函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，即f (x )＝k 只有一个解，在平面直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，故选D.]二、填空题6．(2016·济南模拟)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(x －1)2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3,4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f (x )在[－3,4]上有10个不同的根． 由图可知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]7．(2016·西安模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．10 [问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.]8．(2016·南宁二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．【导学号：73552064】3 [依题意得⎩⎨⎧ c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝－2，令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎨⎧ x ＞0，－2＋x ＝0，或②⎩⎨⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2，因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.]三、解答题9．已知f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －6，x ≥12，－x －4，x ＜12.2分由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≥2；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12，－x －4≥0，解得x ≤－4.所以f (x )≥0的解集为{x |x ≥2或x ≤－4}. 6分(2)由f (x )＝0， 得|2x －1|＝－ax ＋5.作出y ＝|2x －1|和y ＝－ax ＋5的图象，10分观察可以知道，当－2＜a ＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y ＝f (x )有两个不同的零点．故a 的取值范围是(－2,2). 12分10．(名师押题)已知函数f n (x )＝x ln x －x 2n (n ∈N *，e ＝2.718 28…为自然对数的底数)．(1)求曲线y ＝f 1(x )在点(1，f 1(1))处的切线方程； (2)讨论函数f n (x )的零点个数． [解] (1)因为f 1(x )＝x ln x －x 2， 所以f 1′(x )＝ln x ＋1－2x ， 所以f 1′(1)＝1－2＝－1.又f 1(1)＝－1，所以曲线y ＝f 1(x )在点(1，f 1(1))处的切线方程为y ＋1＝－(x －1)，即y ＝－x . 4分(2)令f n (x )＝0，得x ln x －x 2n ＝0(n ∈N *，x ＞0)， 所以n ln x －x ＝0.令g (x )＝n ln x －x ，则函数f n (x )的零点与函数g (x )＝n ln x －x 的零点相同． 因为g ′(x )＝nx －1＝n －x x ，令g ′(x )＝0，得x ＝n ， 所以当x ＞n 时，g ′(x )＜0；当0＜x ＜n 时，g ′(x )＞0，所以函数g (x )在区间(0，n ]上单调递增，在区间[n ，＋∞)上单调递减． 所以函数g (x )在x ＝n 处有最大值，且g (n )＝n ln n －n . 8分①当n ＝1时，g (1)＝ln 1－1＝－1＜0，所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为0；②当n ＝2时，g (2)＝2ln 2－2＜2ln e －2＝0，所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为0；③当n ≥3时，g (n )＝n ln n －n ＝n (ln n －1)≥n (ln 3－1)＞n (ln e －1)＝0， 因为g (e 2n )＝n ln e 2n －e 2n ＜2n 2－4n ＝2n 2－(1＋3)n ＜2n 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋3n ＋n (n －1)2×9＜2n 2－[1＋3n ＋3n (n －1)]＝－n 2－1＜0，且g (1)＜0，所以由函数零点的存在性定理，可得函数g (x )＝n ln x －x 在区间(1，n )和(n ，＋∞)内都恰有一个零点．所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为2.综上所述，当n ＝1或n ＝2时，函数f n (x )的零点个数为0；当n ≥3且n ∈N *时，函数f n (x )的零点个数为2. 12分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．(2016·南昌二模)若函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －2m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．0＜m ＜13 B.0＜m ≤13 C.13＜m ＜1D.13＜m ≤1B [当－1＜x ＜0时，0＜x ＋1＜1， 所以f (x ＋1)＝x ＋1，从而f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－1(－1＜x ＜0)，x (0≤x ≤1)，f (x )－mx －2m ＝0⇔f (x )＝m (x ＋2)，由图象可知0＜m ≤k AB ＝13.]2．(2016·临沂模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：①对任意x ，都有f (x ＋3)＝f (x )成立；②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32时f (x )＝32－⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2x ，则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数是( )A ．4 B.5 C ．6D.7B [∵f (x ＋3)＝f (x )成立，∴奇函数f (x )是周期等于3的周期函数． 当0≤x ≤32时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ＜34，3－2x ，34≤x ≤32.则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数就是函数f (x )与函数y ＝1|x |的交点的个数，如图所示．故选B.]3．(2016·临汾模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )【导学号：73552065】A ．(－∞，0) B.[0,1) C ．(－∞，1)D.[0，＋∞)C [函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 有两个交点，则方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根时，a ＜1，故选C.]4．(2016·衡阳模拟)函数f (x )的定义域为[－1,1]，图象如图15-1(1)所示，函数g (x )的定义域为[－2,2]，图象如图15-1(2)所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )(1) (2)图15-1A ．14 B.12 C.10D.8A [由题图(1)可知，若f (g (x ))＝0， 由g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1，由题图(2)知，g (x )＝－1时，x ＝－1或x ＝1；g (x )＝0时，x 的值有3个；g (x )＝1时，x ＝2或x ＝－2，故m ＝7. 若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－1.5或f (x )＝1.5或f (x )＝0，由题图(1)知，f (x )＝1.5与f (x )＝－1.5时，x 的值各有2个； f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1或x ＝0，故n ＝7. 故m ＋n ＝14.故选A.] 二、填空题5．(2016·中原名校联考)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13(x ＋1)，x ∈[0，2)，1－|x －4|， x ∈[2，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为________．1－3a [函数f (x )和y ＝a 的图象如图所示，由图可知，f (x )的图象与直线y ＝a 有5个交点，所以函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．从小到大依次设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5， 则x 1＋x 2＝－8，x 4＋x 5＝8.当－2≤x ＜0时，0＜－x ≤2，所以f (－x )＝log 13(－x ＋1)＝－log 3(1－x )， 即f (x )＝log 3(1－x )，－2≤x ＜0，由f (x )＝log 3(1－x )＝a ，解得x ＝1－3a ，即x 3＝1－3a ，所以函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝1－3a .]6．(2016·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎨⎧g (x )，f (x )≤g (x )，f (x )，f (x )＞g (x )，则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________． 5 [由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.]三、解答题7．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若方程f (x )＝g (x )有且仅有一解，求实数a 的取值范围．[解] (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x＋1)－kx ，所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12. 4分(2)由已知f (x )＝g (x )，有且仅有一解，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －43a )有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根. 8分 ①当a ＝1时，则t ＝－34不合题意； ②当a ≠1时，Δ＝0，解得a ＝34或－3. 若a ＝34，则t ＝－2，不合题意； 若a ＝－3，则t ＝12；③若方程有一个正根与一个负根，即－1a －1＜0，解得a ＞1.综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞). 12分8．已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x＞0)．(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.【导学号：73552066】[解](1)∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)．因而只需m≥2e，g(x)＝m有实根. 4分(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x＋e2x(x＞0)和f(x)的图象如图．8分∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，∴m的取值范围是m＞－e2＋2e＋1. 12分。

专题能力训练21 函数与方程思想(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若关于x的方程ax+=3的正实数解有且仅有一个,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)B.(-∞,0]∪{2}C.[0,+∞)D.[0,+∞)∪{-2}2.在正项等比数列{a n}中,a n+1<a n,a2·a8=6,a4+a6=5,则=()A B C D3.函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为()A.4B.5C.6D.74.若函数y=f(x)的值域是,则函数F(x)=f(x)-的值域是()A BC D5.(2017浙江嘉兴一模)已知函数f(x)=3sin(3x+φ),x∈[0,π],则y=f(x)的图象与直线y=2的交点个数最多有()A.2个B.3个C.4个D.5个6.已知实数a,b,c满足a2+2b2+3c2=1,则a+2b的最大值是()A B.2 C D.37.已知偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且当x∈[0,1]时,f(x)=x2,则关于x的方程f(x)=10-|x|在上根的个数是()A.4B.6C.8D.108.已知函数f(x)=则方程f=1的实根个数为()A.8B.7C.6D.5二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.对于满足0≤p≤4的实数p,使x2+px>4x+p-3恒成立的x的取值范围是.10.已知x,y,且有2sin x=sin y,tan x=tan y,则cos x=.11.已知向量a,b及实数t满足|a+t b|=3.若a·b=2,则t的最大值是.12.已知数列{a n}的通项公式为a n=25-n,数列{b n}的通项公式为b n=n+k,设c n=若在数列{c n}中,c5≤c n对任意n∈N*恒成立,则实数k的取值范围是.13.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且tan B=,则tan B等于.14.(2017浙江金华十校4月模拟)已知实数x,y,z满足则xyz的最小值为.三、解答题(本大题共1小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分30分)过离心率为的椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C 交于不同的两点A,B,设|FA|=λ|FB|,T(2,0).(1)求椭圆C的方程;(2)若1≤λ≤2,求△ABT中AB边上中线长的取值范围.参考答案专题能力训练21函数与方程思想1.B2.D解析由题意可知a4·a6=6,且a4+a6=5,解得a4=3,a6=2,所以.3.B解析因为f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2,而sin x∈[-1,1],所以当sin x=1时,f(x)取最大值5,故选B.4.A5.C解析令f(x)=3sin(3x+φ)=2,得sin(3x+φ)=∈(-1,1),又x∈[0,π],∴3x∈[0,3π],∴3x+φ∈[φ,3π+φ];根据正弦函数的图象与性质,可得该方程在正弦函数一个半周期上最多有4个解,即函数y=f(x)的图象与直线y=2的交点最多有4个.故选C.6.A7.B解析由题意,可得f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,所以,在同一坐标系内,画出函数f(x),y=10-|x|=的图象,观察它们在区间的交点个数,就是方程f(x)=10-|x|在上根的个数,结合函数图象的对称性,在y轴两侧各有3个交点,故选B.8.C解析令f(x)=1得x=3或x=1或x=或x=-1,∵f=1,∴x+-2=3或x+-2=1或x+-2=或x+-2=-1.令g(x)=x+-2,则当x>0时,g(x)≥2-2=0,当x<0时,g(x)≤-2-2=-4,作出g(x)的函数图象如图所示:∴方程x+-2=3,x+-2=1,x+-2=均有两解,方程x+-2=-1无解.∴方程f=1有6解.故选C.9.(-∞,-1)∪(3,+∞)解析x2+px>4x+p-3对于0≤p≤4恒成立可以变形为x2-4x+3+p(x-1)>0对于0≤p≤4恒成立,所以一次函数f(p)=(x-1)p+x2-4x+3在区间[0,4]上的最小值大于0,即所以x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).10. 解析由-cot2y=1,得=1,化为4cos2x=1,因为x∈,所以cos x=.11. 解析a·b=2⇒ab cos θ=2(θ为a,b的夹角),|a+t b|=3⇒9=a2+t2b2+4t,∴9=a2++4t≥4t≥8t,∴t≤,等号成立当且仅当|cos θ|=1.12.[-5,-3]解析数列c n是取a n和b n中的最大值,据题意c5是数列{c n}的最小项,由于函数y=25-n是减函数,函数y=n+k是增函数,所以b5≤a5≤b6或a5≤b5≤a4,即5+k≤25-5≤6+k 或25-5≤5+k≤25-4,解得-5≤k≤-4或-4≤k≤-3,所以-5≤k≤-3.13.2- 解析由余弦定理得a2+c2-b2=2ac cos B,再由,得ac cos B=,∴tan B==2-.14.9-32解析由xy+2z=1,可得z=.∴5=x2+y2+≥2|xy|+,当xy≥0时,x2y2+6xy-19≤0;当xy<0时,x2y2-10xy-19≤0.由x2y2+6xy-19≤0,解得0≤xy≤-3+2.由x2y2-10xy-19≤0,解得5-2≤xy<0.∴xyz=xy·=-,可得当xy=5-2时,xyz取得最小值为9-32.15.解 (1)∵e=,c=1,∴a=,b=1,∴椭圆C的方程为+y2=1.(2)①当直线的斜率为0时,显然不成立.②设直线l:x=my+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立x2+2y2-2=0得(m2+2)y2+2my-1=0,所以y1+y2=,y1y2=.由|FA|=λ|FB|,得y1=-λy2.因为-λ+,所以-λ++2=.所以0≤m2≤.所以AB边上的中线长为|==.。

函数模型及其应用专题[基础达标](30分钟50分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=a log3(x+1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到() A.200只B.300只C.400只D.500只A【解析】∵y=a log3(x+1)，∴100=a log3(2+1)，解得a=100，∴y=100log3(x+1)，∴当x=8时，y=100log3(8+1)，解得y=200.2走得比较慢；然后他们索性停下来将问题彻底解决；最后他快速地回到了家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是()D【解析】由于开始离家距离最远，所以选项A，B排除；C项中开始速度快后期速度比较平缓，不符合题意，而D最符合题意，故D项正确.3.国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p+2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%，则该公司的年收入是() A.560万元B.420万元C.350万元D.320万元D【解析】设该公司的年收入为x万元，缴税额为y万元，则由题意，得y=x×p%(x≤280)，280×p%+(x-280)×(p+2)%(x>280)，依题意，有280×p%+(x-280)×(p+2)%x=(p+0.25)%，解得x=320.4400元.若每批生产x件，则平均仓储时间为x4天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品() A.20件B.30件C.40件D.50件C【解析】设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y，则y=x4·x+400x=x4+400x≥20，当且仅当x4=400x，即x=40时，等号成立，故每批应生产产品40件.5.某旅社有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日房租增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，要使每天客房的租金总收入最高，旅社应将房间租金提高到() A.30元B.40元C.50元D.60元B【解析】设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300-10x，由x>0，且300-10x>0，得0<x<30.设客房租金总收入y元，则有y=(20+2x)(300-10x)=-20(x-10)2+8000(0<x<30).由二次函数性质可知当x=10时，y max=8000，所以当每间客房日租金提高到20+10×2=40元时，客房租金总收入最高，为每天8000元.二、填空题(每小题5分，共15分)6.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为.(1+p)(1+q)-1【解析】设年平均增长率为x，年总产量为a，则a(1+p)(1+q)=a(1+x)2，解得x=-1.73.2万元买了一台机器，假设这台机器从启用的第一天开始连续使用，第n天的维修保养费为n+4910(n∈N*)元，若第n天这台机器的日平均费用最小，则n=.800【解析】从使用起到第n天，第n天的维修保养费为n+4910(n∈N*)元，日平均费用为f(n)=1n ·1+4910+2+4910+…+n+4910+32000，整理得f(n)=n20+32000n+99 20≥2n20·32000n+9920=80+9920，当且仅当n20=32000n，即n=800时，等号成立.8由桶1向桶2倒水，开始时，桶1中有a L 水，桶2中无水，t分钟后，桶1中剩余水为y1 L，满足函数关系式y1=a e-nt(a，n均为常数)，假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样多，则再过分钟，桶1中的水只有a8L.10【解析】由题意可得a e-5n=a2，解得n=15ln 2，令a e-1t ln2=a8，解得t=15，从而再经过10分钟，桶1中的水只有a8L.三、解答题(共10分)9.(10分)时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y=mx-2+4(x-6)2，其中2<x<6，m为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.(保留1位小数)【解析】(1)因为当x=4时，y=21，代入关系式y=mx-2+4(x-6)2，得m2+16=21，解得m=10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y=10x-2+4(x-6)2，所以每日销售套题所获得的利润为f(x)=(x-2)10x-2+4(x-6)2=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6)，从而f'(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).令f'(x)=0，解得x=103，且在2，103内，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；在103，6内，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，所以x=103是函数f(x)在(2，6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x=103≈3.3时，函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.[高考冲关](20分钟40分)1.(5分)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况B【解析】设该股民购进股票的资金为a，则交易结束后，所剩资金为a(1+10%)n·(1-10%)n=a·0.99n<a.2.(5分“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D【解析】由图象可知甲的燃油效率最高，故以相同的速度行驶时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程最多，从而三车行驶相同里程时，甲车消耗汽油最少，B 项错误；乙车的燃油效率最高值超过5 km/L，因此消耗1升汽油，乙车行驶距离超过5千米；C选项，甲以80 km/h的速度行驶1小时，消耗汽油8升左右，因此错误.当最高限速80 km/h，丙车燃油效率较高，即用丙车比乙车更省油.3.(5分)电信局为了满足客户不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如图所示(其中MN∥CD).则方案A，B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式为f(x)=，g(x)=.20(0≤x≤100)3 10x-10(x>100)50(0≤x≤500)310x-100(x>500)【解析】由图可知，两种优惠方案所对应的函数解析式为f(x)=20(0≤x≤100)，310x-10(x>100)，g(x)=50(0≤x≤500)，310x-100(x>500).4.(12分)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线，当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y=log a(t-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳.(1)试求p=f(t)的函数关系式.(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.【解析】(1)当t∈(0，14]时，设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0)，将(14，81)代入得c=-14，即p=f(t)=-14(t-12)2+82；当t∈[14，40]时，将(14，81)代入y=log a(t-5)+83，得a=13，即p=f(t)=lo g13(t-5)+83.所以p=f(t)=-14(t-12)2+82(0<x≤14)，log1(t-5)+83(14<x≤40).(2)当t∈(0，14]时，由-14(t-12)2+82≥80，解得12-22≤t≤12+22，所以t∈[12-22，14]；当t∈(14，40]时，由lo g1(t-5)+83≥80，解得5<t≤32，所以t∈(14，32].综上可得t∈[12-22，32]，即老师在t∈[12-22，32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳.5.(13分气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x>0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)=1260x+1；若x大于或等于180，则销售量为零；当20≤x≤180时，q(x)=a-b x(a，b为实常数).(1)求函数q(x)的表达式；(2)当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值.【解析】(1)当20≤x≤180时，由a-b·20=126020+1，a-b·180=0，解得a=90，b=35.故q(x)=1260x+1(0<x≤20)，90-35·x(20<x≤180)，0(x>180).(2)设总利润f(x)=x·q(x)，由(1)得f(x)=126000xx+1(0<x≤20)，9000x-3005·x x(20<x≤180)，0(x>180).当0<x≤20时，f(x)=126000xx+1=126000-126000x+1，f(x)在(0，20]上单调递增，所以当x=20时，f(x)有最大值120000.当20<x≤180时，f(x)=9000x-3005·x x，f'(x)=9000-4505·x，令f'(x)=0，得x=80.当20<x<80时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当80<x≤180时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以当x=80时，f(x)有最大值240000.当x>180时，f(x)=0.综上，当x为80元时，总利润取得最大值240000元.。

专题限时集训(十五) 函数与方程(对应学生用书第147页) [建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)C [由于函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＋18＞0，故函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在区间(2,3)上有唯一的零点．] 2．已知函数f (x )＝e x＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝x －14x的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜cB [由f (x )＝0得e x＝－x ，由g (x )＝0得ln x ＝－x .由h (x )＝0得x＝1，即c＝1.在坐标系中，分别作出函数y ＝e x，y ＝－x ，y ＝ln x 的图象， 由图象可知a ＜0,0＜b ＜1，所以a ＜b ＜c .]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x ＞0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4C [g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋－x －1，1－x ≤0，－x－1，1－x ＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，－x －1，x ＜1，当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x ＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.]4．(2017·浙江五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1,0)D ．[－1,0)D [当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x＋a ＝0有一个根即可，即e x＝－a .当x ≤0时，e x∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D.] 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x －x 2，x ≤1.若函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，2B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2 D [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x －x 2，x ≤1，函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，即f (x )＝k 只有一个解，在平面直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，故选D.]二、填空题6．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3,4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f (x )在[－3,4]上有10个不同的根．由图可知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.] 7．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．10 [问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x的零点个数为________．3 [依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－2，令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2＋x ＝0，或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2，因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.] 三、解答题9．已知f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －6，x ≥12，－x －4，x ＜12. 2分由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≥2；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12，－x －4≥0，解得x ≤－4.所以f (x )≥0的解集为{x |x ≥2或x ≤－4}. 6分(2)由f (x )＝0， 得|2x －1|＝－ax ＋5.作出y ＝|2x －1|和y ＝－ax ＋5的图象， 10分观察可以知道，当－2＜a ＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y ＝f (x )有两个不同的零点．故a 的取值范围是(－2,2).15分10．(2017·浙江省名校新高考研究联盟高三第三次联考)设函数f (x )＝－x 2＋ax ＋ln x (a ∈R )． (1)若a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 有两个零点，求实数a 的取值范围(其中e 是自然对数的底数). [解] (1)定义域x ∈(0，＋∞)， 当a ＝1时，f (x )＝－x 2＋x ＋ln x ，3分令f ′(x )＝－2x ＋1＋1x ＝－2x 2＋x ＋1x＞0，即2x 2－x －1＜0，即0＜x ＜1. ∴f (x )的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞).7分(2)f (x )＝－x 2＋ax ＋ln x ＝0，即a ＝x －ln x x，令g (x )＝x －ln x x ，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，9分g ′(x )＝1－1x·x －ln x x 2＝x 2＋ln x －1x2＞0，即x ＞1， ∴g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1，单调递增区间为(1，e]， ∴g (x )min ＝g (1)＝1，13分又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e ＋1e ，g (e)＝e －1e ， 因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 有两个零点，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，e －1e .15分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．若函数f (x )满足f (x )＋1＝1fx ＋，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －2m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．0＜m ＜13B ．0＜m ≤13C.13＜m ＜1D.13＜m ≤1 B [当－1＜x ＜0时，0＜x ＋1＜1， 所以f (x ＋1)＝x ＋1， 从而f (x )＝1fx ＋－1＝1x ＋1－1， 于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－－1＜x ＜，xx ，f (x )－mx －2m ＝0⇔f (x )＝m (x ＋2)，由图象可知0＜m ≤k AB ＝13.]2．(2017·诸暨期末考试)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋4)＝16，当x ∈(0,4]时，f (x )＝x 2－2x，则函数f (x )在[－4,2 016]上的零点个数是( ) A ．504 B ．505 C ．1 008D ．1 009B [∵f (x )＋f (x ＋4)＝16，∴f (x ＋4)＋f (x ＋8)＝16，∴f (x )＝f (x ＋8)，∴函数f (x )是R 上周期为8的函数．又f (2)＝f (4)＝0,2 020＝8×252＋4，f (2)＝f (10)＝f (18)＝…＝f (8×251＋2)，f (－4)＝f (4)＝f (8×251＋4)，故函数f (x )在[－4,2 016]上的零点个数是251＋1＋251＋2＝505，故选B.]3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－x ，f x ＋x ＜，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．[0,1) C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)C [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－x ，f x ＋x ＜的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 有两个交点，则方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根时，a ＜1，故选C.]4．(2017·宁波镇海中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >0，－3|x ＋a |＋a ，x <0的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－178，－2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－178，－2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，1716 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1716 D [由题意知当x <0时函数f (x )的图象关于原点的对称图象与当x >0的图象必有三个公共点．当a <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >0，3x ＋4a ，x <0，此时当x <0时，函数f (x )的图象关于原点的对称图象与当x >0时的图象只有一个公共点，不满足条件；当a >0时，作出当x <0时，函数f (x )关于原点对称的函数为g (x )＝3|x －a |－a ，如图所示．设与直线y ＝3x 平行且与函数y ＝x 2－2(x >0)相切的直线的切点坐标为(x 0，y 0)，则由y ′＝2x 得2x 0＝3，即x 0＝32，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，14，切线方程为y －14＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，即y ＝3x －174，则由图象可知要使g (x )＝3|x －a |－a 与函数y ＝x 2－2(x >0)的图象有三个公共点，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2>－a ，3a －174<－a ，a >0，解得1<a <1716，故选D.]二、填空题5．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ＋，x ∈[0，，1－|x －4|， x ∈[2，＋，则关于x的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为________． 1－3a[函数f (x )和y ＝a 的图象如图所示，由图可知，f (x )的图象与直线y ＝a 有5个交点，所以函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．从小到大依次设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5， 则x 1＋x 2＝－8，x 4＋x 5＝8.当－2≤x ＜0时，0＜－x ≤2，所以f (－x )＝log 13(－x ＋1)＝－log 3(1－x )，即f (x )＝log 3(1－x )，－2≤x ＜0，由f (x )＝log 3(1－x )＝a ，解得x ＝1－3a ，即x 3＝1－3a，所以函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝1－3a.]6．已知函数y ＝|x 2－1|的图象与函数y ＝kx 2－(k ＋2)x ＋2的图象恰有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围为________.k ≥4或k ≤0或k ＝1 [由题意知|x 2－1|＝kx 2－(k ＋2)x ＋2＝(kx －2)(x －1)有两个不同的根，所以x ＝1是其中的一个根，当x ＝－1时，k ＝－2，符合题意；当|x |>1时，x ＋1＝kx －2，即(k －1)x ＝3，当|x |<1时，－x －1＝kx －2，即(k ＋1)x ＝1，此时当k ＝1时，两解为x ＝12，x ＝1符合题意，当k ＝－1时，两解为x ＝－32，x ＝1符合题意，当k ≠±1时，只需(k －1)x ＝3在|x |>1上有解，(k ＋1)x ＝1在|x |<1上无解或(k －1)x ＝3在|x |>1上无解，(k ＋1)x ＝1在|x |<1上有解，即⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －1>1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －1≤1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ＋1<1，解得k ≥4或－1<k ≤0或－2<k <－1或k <－2，综上所述，k ≥4或k ≤0或k ＝1.]三、解答题7．已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若方程f (x )＝g (x )有且仅有一解，求实数a 的取值范围．[解] (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x＋1)＋kx ＝ log 4(4－x＋1)－kx ，所以log 44x＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.4分(2)由已知f (x )＝g (x )，有且仅有一解，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x－43a )有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x－43a 有且只有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根.8分①当a ＝1时，则t ＝－34不合题意；②当a ≠1时，Δ＝0，解得a ＝34或－3.若a ＝34，则t ＝－2，不合题意；若a ＝－3，则t ＝12；③若方程有一个正根与一个负根，即－1a －1＜0，解得a ＞1. 综上所述，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞). 15分 8．已知f (x )＝x 2－a |x －b |，其中a >0，b >0. (1)若a ＝b ＝1，求f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )恰有三个不同的零点，且这些零点之和为－2，求a ，b 的值；(3)若函数f (x )在[－2,2]上有四个不同零点x 1，x 2，x 3，x 4，求|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|的最大值．[解] (1)f (x )＝x 2－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x ≥1，x 2＋x －1，x <1，2分由函数f (x )的图象知单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12.(2)原函数有三个零点等价于x 2＝a |x －b |有三个不等实根． 分析函数y ＝x 2，y ＝a |x －b |.由⎩⎪⎨⎪⎧x <b ，y ＝x 2，y＝－a x －b得x 2＋ax －ab ＝0，∴Δ>0，∴x 1＋x 2＝－a . 8分由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥b ，y ＝x 2，y ＝a x －b得x 2－ax ＋ab ＝0，∴Δ＝0，∴b ＝a 4，x 3＝a2. ∵x 1＋x 2＋x 3＝－2，∴a ＝4，b ＝1. 9分(3)不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，原命题等价于x 2－ax ＋ab ＝0有两根x 3，x 4，满足x 3，x 4∈(0,2]，则x 3＋x 4＝a ， x 2＋ax －ab ＝0有两根x 1，x 2，满足x 1，x 2∈[－2,2]，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝－ab ，得x 2－x 1＝a 2＋4ab ，∴|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＝－x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝a ＋a 2＋4ab ，(*)11分由图象得⎩⎪⎨⎪⎧0<a2<2， ①a 2－4ab >0， ②4－2a ＋ab ≥0， ③4－2a －ab ≥0， ④12分由③④可得2a －4≤ab ≤4－2a ，解得a ≤2， 代入(*)得a ＋a 2＋4ab ≤a ＋a 2＋－8a ＝a ＋|a －4|＝4. 14分当ab ＝4－2a 时取等号，取a ＝74，b ＝27即可满足所有要求．∴|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|的最大值为4. 15分。

专题二 第二讲A 组1．(文)函数f (x )＝－1x＋log 2x 的一个零点落在区间导学号 52134204( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[解析] ∵f (1)·f (2)<0，∴选B ．(理)在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为导学号 52134205( D )A ．(1.4,2)B ．(1.1,4)C ．(1，32)D ．(32，2)[解析] 令f (x )＝x 3－2x －1，则f (1)＝－2<0，f (2)＝3>0，f (32)＝－58<0，∴选D ．2．(2017·山东莱芜模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为导学号 52134206( D )A ．12，0 B ．－2,0 C ．12D ．0[解析] 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0．3．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝(12)x－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为导学号 52134207( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 作出g (x )＝(12)x与h (x )＝cos x 的图象，可以看出其在[0,2π]上的交点个数为3．故选C ．4．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有导学号 52134208( A )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个[解析] 在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )和y ＝|lg x |的图象，如图．又lg 10＝1，由图象知选A ．5．(2015·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是导学号 52134209( D )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 [解析] 对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误．对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误．对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －2，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点的个数为导学号 52134210( A )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 当x <0时，f (2－x )＝x 2，此时函数f (x )－g (x )＝－1－|x |＋x 2的小于零的零点为x ＝－1＋52；当0≤x ≤2时，f (2－x )＝2－|2－x |＝x ，函数f (x )－g (x )＝2－|x |＋x－3＝－1无零点；当x >2时，f (2－x )＝2－|2－x |＝4－x ，函数f (x )－g (x )＝(x －2)2＋4－x －3＝x 2－5x ＋5大于2的零点有一个．因此函数y ＝f (x )－g (x )共有零点2个．7．已知函数f (x )＝(15)x－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<x 1<x 0，则f (x 1)__>__.0(填“>”、“<”、“≥”、“≤”).导学号 52134211[解析] 解法一：∵f (x )＝(15)x－log 3x 在(0，＋∞)上为减函数，且0<x 1<x 0，∴f (x 1)>f (x 0)．解法二：如图知，f (x 1)>f (x 0)．8．(文)函数f (x )对一切实数x 都满足f (12＋x )＝f (12－x )，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为__32__.导学号 52134212[解析] 函数图象关于直线x ＝12对称，方程f (x )＝0有三个实根时，一定有一个是12，另外两个关于直线x ＝12对称，其和为1，故方程f (x )＝0的三个实根之和为32．(理)(2015·四川卷，13)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是__24__.小时.导学号 52134213[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b＝48，∴e 22k ＝48192＝14，e 11k＝12，∴x ＝33时，y ＝e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝18×192＝24．9．(2017·湖南浏阳一中段考)已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }.导学号 52134214(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f xx－4ln x 的零点个数． [解析] (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0． ∵a >0，f (x )＝a [(x －1)2－4]≥－4， 又f (1)＝－4a ， ∴f (x )min ＝－4a ＝－4， ∴a ＝1．故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3．(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x >0)，g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝x －x －x2．∴x ，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：当0<x ≤3时，g (x )≤g (1)＝－4<0，g (x )在(3，＋∞)上单调递增， g (3)＝－4ln 3<0，取x ＝e 5>3， g (e 5)＝e 5－3e5－20－2>25－1－22＝9>0．故函数g (x )只有1个零点，且零点x 0∈(3，e 5)．B 组1．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间导学号 52134215( C )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 [解析] 令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 13，f (1)＝12－1＝－12<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313>0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313<0， ∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12内有零点． 2．(2017·北京昌平三模)已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是导学号 52134216( B )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[解析] 函数f (x )的导数为f ′(x )＝1x ，所以g (x )＝f (x )－f ′(x )＝ln x －1x.因为g (1)＝ln 1－1＝－1<0，g (2)＝ln 2－12>0，所以函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B ．3．利民工厂某产品的年产量在150t 至250t 之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (t)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4000，则每吨的成本最低时的年产量为导学号 52134217( B )A ．240B ．200C ．180D ．160[解析] 依题意得每吨的成本是y x ＝x 10＋4000x －30，则yx ≥2x10·4000x－30＝10，当且仅当x 10＝4000x，即x ＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200t ，选B ．4．(2017·郑州质量预测)设函数f (x )＝e x ＋2x －4，g (x )＝ln x ＋2x 2－5，若实数a ，b 分别是f (x )，g (x )的零点，则导学号 52134218( A )A ．G (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0[解析] 依题意，f (0)＝－3<0，f (1)＝e －2>0，且函数f (x )是增函数，因此函数f (x )的零点在区间(0,1)内，即0<a <1．G (1)＝－3<0，g (2)＝ln 2＋3>0，函数g (x )的零点在区间(1,2)内，即1<b <2，于是有f (b )>f (1)>0.又函数g (x )在(0,1)内是增函数，因此有g (a )<g (1)<0.所以g (a )<0<f (b )．故选A ．5．(2017·湖北宜昌模拟)某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为导学号 52134219( C )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00[解析] 当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ，把(4,320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x ． 当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b ．把(4,320)，(20,0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2＋b ＝320，20k 2＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400，∴y ＝400－20x ．∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20，由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，80x ≥240，或⎩⎪⎨⎪⎧4<x ≤20，400－20x ≥240.解得3≤x ≤4或4<x ≤8， ∴3≤x ≤8．故第二次服药最迟应在当日下午4：00． 故选C ．6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x， x ≤013x 3－4x ＋a ， x >0在其定义域上只有一个零点，则实数a 的取值范围是导学号 52134220( A )A ．a >163B ．a ≥163C ．a <163D ．a ≤163[解析] 当x ≤0时，函数y ＝－x 与函数y ＝3x的图象有一个交点， 所以函数y ＝f (x )有一个零点；而函数f (x )在其定义域上只有一个零点， 所以当x >0时，f (x )没有零点． 当x >0时，f ′(x )＝x 2－4，令f ′(x )＝0得x ＝2，所以f (x )在(0,2)上递减，在(2，＋∞)上递增，因此f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝a －163>0，解得a >163.故选A ．7．(2017·济宁模拟)已知定义域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈(0，32)时，f (x )＝sin πx ，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是__7__.导学号 52134221[解析] 易知在(－32，32)内，有f (－1)＝0，f (0)＝0，f (1)＝0，即f (x )在一个周期内有3个零点，又区间[0,6]包含f (x )的2个周期，而两端点都是f (x )的零点，故f (x )在[0,6]内有7个零点．8．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则[x 0]＝__2__.导学号 52134222[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且易判断函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e>0，知x 0∈(2，e)，所以[x 0]＝2．9．(2017·山东菏泽期中)已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元，设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10.8－130x 2x ，108x －1 0003x2x导学号 52134223(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)[解析] (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x ． ∴W ＝⎩⎪⎨⎪⎧8.1x －x 330－x ，98－1 0003x－2.7x x(2)①当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，可知当x ∈(0,9)时，W ′>0， 当x ∈(9,10]时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取极大值，即最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6．②当x >10时，W ＝98－(1 0003x ＋2.7x )≤98－2 1 0003x·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，故当x ＝1009时，W 取最大值38(当1 000x 取整数时，W 一定小于38)．综合①②知，当x ＝9时，W 取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．。

第一部分专题二第二讲组．(文)函数()＝－＋的一个零点落在区间)( )．() ．()．() ．()[解析]∵()·()<，∴选．(理)在用二分法求方程－－＝的一个近似解时，现在已经将一根锁定在区间()内，则下一步可断定该根所在的区间为)( )．() ．()．(，) ．(，)[解析]令()＝－－，则()＝－<，()＝>，()＝－<，∴选．．(·山东莱芜模拟)已知函数()＝(\\(－，≤，＋，>，))则函数()的零点为)( )．，．－．．[解析]当≤时，由()＝－＝，解得＝；当>时，由()＝＋＝，解得＝，又因为>，所以此时方程无解．综上，函数()的零点只有．．(·郑州质检)已知函数()＝()－，则()在[π]上的零点个数为)( )．．．．[解析]作出()＝()与()＝的图象，可以看出其在[π]上的交点个数为．故选．．已知函数＝()的周期为，当∈[－]时，()＝，那么函数＝()的图象与函数＝的图象的交点共有)( )．个．个．个．个[解析]在同一平面直角坐标系中分别作出＝()和＝的图象，如图．又＝，由图象知选．．(·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是)( )．消耗升汽油，乙车最多可行驶千米．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多．甲车以千米小时的速度行驶小时，消耗升汽油．某城市机动车最高限速千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油[解析]对于选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于时的燃油效率大于，故乙车消耗升汽油的行驶路程可大于千米，所以错误．对于选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于选项，甲车以的速度行驶时的燃油效率为，故行驶小时的路程为千米，消耗汽油，所以错误．对于选项，当最高限速为且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以正确．．已知函数()＝(\\(－，≤，,(－(，>，))函数()＝－(－)，则函数＝()－()的零点的个数为)( )．．．．[解析]当<时，(－)＝，此时函数()－()＝－－＋的小于零的零点为＝－；当≤≤时，(－)＝－－＝，函数()－()＝－＋－＝－无零点；当>时，(－)＝－－＝－，函数()－()＝(－)＋－－＝－＋大于的零点有一个．因此函数＝()－()共有零点个．．已知函数()＝()－，若是函数＝()的零点，且<<，则()>(填“>”、“<”、“≥”、“≤”))[解析]解法一：∵()＝()－在(，＋∞)上为减函数，且<<，∴()>()．解法二：如图知，()>()．。