哈密顿系统中混沌的几何判据

混沌Hamilton系统的统计力学性质混沌系统是一类具有不确定性和高度敏感性的动力学系统，在长时间演化中表现出无序、混乱和随机的行为。

Hamilton系统是其中一种常见的动力学系统，它由哈密顿力学方程描述，具有能量守恒和相空间流体的特征。

本文将探讨混沌Hamilton系统的统计力学性质，包括熵增、吸引子、Liouville定理以及混沌系统的统计稳定性等方面。

1. 熵增在混沌系统中，熵增是描述系统演化的重要指标。

熵是描述系统无序程度的度量，可以通过系统的概率分布函数计算。

对于混沌系统，由于其非周期性和高度敏感性，系统的熵通常随时间增加。

混沌系统的熵增特性使得其在演化过程中趋向于无序，无法被简单的周期性或确定性模式所描述。

2. 吸引子吸引子是混沌系统中的重要概念，它描述了系统演化的稳定态。

对于一个混沌系统，其吸引子可以是一个有限维的奇异吸引子或一个无限维的奇异吸引子。

奇异吸引子通过吸引系统各个相空间轨迹使其局限于某一区域，从而使得系统在长时间演化中表现出有限范围内的稳定态。

混沌Hamilton系统的统计力学性质可以通过对吸引子的研究来揭示。

3. Liouville定理Liouville定理是描述Hamilton系统的守恒性质的重要定理。

根据Liouville定理，对于一个不可压缩的Hamilton系统，相空间中的体积在演化过程中保持不变。

这意味着在长时间演化中，系统的相空间轨迹虽然会发生复杂的变化，但相空间中的点密度保持恒定。

Liouville定理为混沌Hamilton系统的统计力学性质提供了重要的理论基础。

4. 统计稳定性混沌Hamilton系统的统计稳定性是指系统在经过足够长的演化后，其统计性质是否趋于稳定。

对于混沌系统而言，由于系统的高度敏感性和非周期性，统计分布函数通常不会呈现典型的正态分布或其他简单的分布形式。

然而，经过足够长的时间演化后，系统的统计分布函数往往会趋于稳定，并且可以用一些概率分布模型来描述。

基于Melnikov 方法的混沌阈值确定学院:通信工程学院 学生姓名:程远林 指导教师:李月教授中文摘要: 本文介绍了混沌理论及其研究历史。

混沌系统对噪声免疫，对小信号敏感的特性，这使得混沌系统在微弱信号检测领域具有很大的应有潜力。

混沌振子检测微弱信号具有传统检测方法无法比拟的优越性，取得了很大的成就。

如何准确的确定混沌系统的阈值成为混沌振子检测微弱信号的关键问题。

在众多的混沌系统中，本文主要研究的是Duffing 方程所描述的混沌系统。

本文应用相轨迹图法和功率谱熵的方法来确定混沌系统的阈值，并对两种方法的效率和实际效果进行了比较。

本文用这两种方法对非线性项含3x 和53x x +的Duffing 方程进行分析,并确定了在频率)200,5.0(∈ω上系统对应的的阈值。

实验表明，两种方法所得出的结果基本吻合。

从实验过程和最后的结果中,我们可以看出:功率谱熵的方法作为判别混沌系统运动状态的方法，具有较高的精度和效率。

关键词: 混沌系统 阈值 duffing 方程 功率谱熵Abstract: The paper introduces the research history and theory of chaos. The immunity to noiseand the sensibility to weak signal make the chaos system very useful in weak signal detecting. Comparing to traditional methods, the chaos system has its capacity in weak signal detection, and also has get great achievement. But h ow to determine the accuracy threshold of chaos system is the key problems of the use of chaos oscillator in weak signal detection. In many chaos systems, this paper mainly studied the chaos systems described by Duffing equation. In this paper, we use phase track and power spectral entropy to detect the threshold of the chaos system, and make a comparison between the two methods. We use the two methods to study the Duffing equation that the nonlinear term include 3x or53xx+, and get the threshold of the chaos systemwhen the frequency )200,5.0(∈ω. From the test, we get the conclusion that the results of two methods are coincident. From the process of the test and the final data, we learn that the power spectral entropy is e ffective and accurate in distinguishing the state of motion of the chaos system.Keyword: Chaos system Threshold Duffing equation Power Spectral Entropy1前言混沌是一种非线性的确定性行为，揭示了某些复杂系统中貌似不规则的、异常现象的本质,最早发现于气象模型中。

两类哈密顿系统周期解和同宿解的存在性哈密顿系统,起初作为经典力学导出的规范形式之一,由英国数学家哈密顿于19世纪提出.该系统在物理学,生物学等领域都有广泛的应用.人们利用这项工具,取得了巨大的成就;19世纪末,变分法诞生,尤其在20世纪70年代临界点理论建立后,许多学者开始在数学上研究该系统解的存在性.近年来数学家们关于哈密顿系统周期解和同宿解的研究,取得了丰硕成果.本文就是利用变分法和临界点理论等工具,证明了两类哈密顿系统周期解和同宿解的存在性.本文主要分为以下两章：第一章利用局部环绕定理,证明下列哈密顿系统：在更一般条件下,周期解的存在性.第二章利用推广的环绕定理,证明哈密顿系统：(HS) z= JHz(t,z),在更弱的超线性条件下,无穷多同宿解的存在性.。

哈密尔顿系统的辛几何算法哈密尔顿系统是一类具有特殊的物理意义的动力系统，其在物理学、力学、动力学和计算力学等领域有着广泛应用。

哈密尔顿系统通常具有一组关于位置和动量的相变量，其演化满足哈密尔顿方程。

由于哈密尔顿系统具有良好的保持量和结构稳定性，因此在数值模拟中的算法设计尤其重要。

辛几何算法是一类特殊的数值演化方法，其以保持哈密尔顿系统相变量守恒和辛结构稳定性为目标，常常用于哈密尔顿系统的数值积分。

辛几何算法最早由李约瑟于 1988 年提出，其不仅能够在数值计算中保持相变量的守恒，还能够在哈密尔顿系统的长期演化中保持辛结构稳定性。

辛几何算法主要由两个部分组成，即辛映射和辛算子。

辛映射指的是从一个相变量向下一个相变量的映射，它通常满足“保相量”和辛结构不变性的特点。

保相量指的是相变量在变化过程中的守恒，而辛结构不变性则指的是哈密尔顿系统在演化过程中的辛不变性。

而辛算子则是这个辛映射的数值逼近，常常采用辛波发方法、显式和隐式辛算法等方法。

在演化哈密尔顿系统时，辛几何算法通常采用显式辛算法进行数值模拟。

显式辛算法的主要思路是采用辛映射和辛算子的组合，来实现对哈密尔顿系统的数值模拟。

在模拟过程中，辛几何算法需要保证每一步的演化都是辛的，这样系统才能保持哈密尔顿量以及其他相变量不变。

因此，辛几何算法在数值模拟中的应用非常广泛。

然而，辛几何算法的实现却比较困难。

在数值模拟时，辛几何算法需要考虑一系列问题，如相变量的数值守恒、哈密尔顿量的捕获和重构、快速演化、长时间演化、难以计算的高维效应等等。

这些问题都需要采用一些特殊的技巧和策略来解决。

总的来说，辛几何算法是一种特殊的数值演化方法，其以保持哈密尔顿系统相变量守恒和辛结构稳定性为目标，在计算力学、物理学、动力学等领域有着广泛应用。

混沌Hamilton系统的统计力学模拟混沌Hamilton系统是物理学中一个重要的研究领域，它描述了一类混沌运动的系统。

在统计力学中，对于这类系统的模拟研究具有重要的理论和实际意义。

本文将介绍关于混沌Hamilton系统的统计力学模拟方法，并分析其应用。

一、混沌Hamilton系统的基本概念混沌Hamilton系统是由Hamilton函数描述的系统，其特点是非线性、敏感依赖于初始条件、具有混沌行为。

其运动方程可以写为Hamilton方程：\[\frac{{dq_i}}{{dt}} = \frac{{\partial H}}{{\partial p_i}}，\frac{{dp_i}}{{dt}} = -\frac{{\partial H}}{{\partial q_i}}\]其中，\(q_i\)和\(p_i\)分别是广义坐标和广义动量，\(H\)是Hamilton 函数。

二、混沌Hamilton系统的统计力学模拟方法1. 初始条件的确定混沌系统对于初始条件非常敏感，微小的变化会导致系统演化出完全不同的轨迹。

统计力学模拟中，我们可以选择不同的初始条件进行模拟，以获得系统的平均特性。

2. 模拟方法的选择在混沌Hamilton系统的统计力学模拟中，常用的方法有蒙特卡洛方法和分子动力学模拟方法。

蒙特卡洛方法通过随机抽样的方式对系统的状态进行模拟，并计算相应的物理量。

这种方法适用于系统状态的随机演化，如涨落现象等。

然而，由于混沌系统的确定性特点，蒙特卡洛方法在模拟混沌Hamilton系统时并不是首选方法。

分子动力学模拟方法是一种基于牛顿力学的模拟方法，通过求解Hamilton方程获得系统的演化轨迹。

这种方法适用于确定性系统的模拟，对混沌Hamilton系统的模拟较为准确。

3. 物理量的计算在混沌Hamilton系统的统计力学模拟中，我们通常关注系统的平均特性，如能量、温度、熵等。

这些物理量可以通过模拟得到的轨迹计算得出。

哈密顿圈正十二面体引言在数学中，哈密顿圈是指一个图中所有顶点都恰好被访问一次的闭合路径。

正十二面体是一种具有12个面、20个顶点和30条边的多面体。

本文将探讨哈密顿圈与正十二面体的关系以及相关性质。

哈密顿圈的定义哈密顿圈是指一个图中经过每个顶点一次且仅一次的闭合路径。

在正十二面体的图论表示中，每个面可以看作图中的一个顶点，每个边可以看作连接两个顶点的路径。

因此，我们可以将正十二面体看作一个图，它具有12个顶点和30条边。

如果正十二面体的图中存在一个哈密顿圈，那么我们可以通过沿着这个圈对正十二面体进行遍历，从而访问到每个顶点一次且仅一次。

正十二面体的结构正十二面体是一个具有特殊几何性质的多面体。

它具有以下特点： 1. 12个面：每个面都是一个正五边形。

2. 20个顶点：每个顶点都与恰好5个其他顶点相连。

3. 30条边：每条边都连接两个不同的顶点。

正十二面体中的哈密顿圈在正十二面体的图中存在哈密顿圈。

探索哈密顿圈的存在性为了证明正十二面体中存在哈密顿圈，我们可以通过构建一个哈密顿路径的方法来推导。

首先，我们可以确保从一个顶点出发，沿着边的路径，每次都进入一个新的面。

由于正十二面体的每个面都是一个正五边形，因此在沿着边的路径上，每次都会访问到一个新的顶点。

重复这个过程，直到返回原始的顶点，就得到了一个哈密顿圈。

正十二面体中的哈密顿圈的性质正十二面体中的哈密顿圈具有以下性质： 1. 包含12个顶点：由于哈密顿圈是一个闭合路径，它必须经过每个顶点一次且仅一次。

2. 包含30条边：由于哈密顿圈是沿着边的路径，每次都会经过一条边。

3. 包含60条路径段：沿着哈密顿圈，可以将整个路径划分为60个连续的路径段，每个路径段都是由两个相邻顶点之间的边构成的。

正十二面体的应用正十二面体作为一种特殊的多面体，在科学和艺术领域有着广泛的应用。

科学应用正十二面体在化学和生物领域中具有重要的应用。

例如，一些分子的晶体结构就可以被表示为正十二面体。

Dicke 模型中的混沌摘 要 Dicke 哈密顿函数是一种量子光学模型。

描述了N 个二能级原子与一个单模玻色子场的相互作用。

本文从Dicke 哈密顿函数的量子表达式出发，将其回推到经典表达式。

通过改变耦合参量λ的数值，绘制Poincaré截面。

结果表明，当λ值小于临界值时，Poincaré截面保持规律的周期性的轨迹。

当趋于临界值时，伴有混乱轨迹的出现。

继续增加λ的值，将破坏周期性轨迹，使得整个相空间因为λ值比临界值稍大而变得混乱无序。

同时，本文简单介绍了系统的量子混沌。

关键词 混沌 Dicke 哈密顿 Dicke 模型 经典混沌 量子混沌0 引言第一个发现混沌的是法国数学家、物理学家H.Poincaré (1854-1912)。

1903年提出庞加莱猜想，指出在三体问题中，在一定范围内，其解是随机的[1]。

三体引力相互作用有着惊人的复杂行为，确定性动力学方程有许多解有很强的不可预计性。

到了上个世纪70年代，混沌学的研究在数学、物理、生物、气象、医学等多个学科领域同时展开，形成了世界性的研究热潮。

在以后的几十年中，人们研究了大量量子系统的混沌现象，并给出了量子混沌的特征描述。

进入20世纪90年代，对混沌的研究不仅推动了其他学科的发展，而且其他学科的发展又促进了对混沌的深入研究。

进入21世纪，混沌与其他学科的相互交错、渗透、促进，使得混沌在生物学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学、气象学等多个领域中得到了广泛的应用[2]。

近十几年来人们发现很多量子系统中存在量子混沌现象，并且研究了量子混沌与相变、纠缠、隧穿等物理现象之间的关系，得到很多有意义的结果。

本文着手于Dicke 模型，通过数值计算的方法来绘制Poincaré截面，研究系统随参量λ的变化趋势。

1 混沌介绍1.1 混沌研究简史现代科学意义上的混沌的发现，可以追溯到19世纪末20世纪初[1]。

混沌研究的第一个重大突破就是KAM 定理，KAM 定理给出了太阳系稳定性的合理解释，并使人们重新看待统计力学中一系列基本假设和观点。

本科毕业论文（设计）题目混沌的数值计算与分析学生姓名专业名称指导教师2012 年5月9 日目录一、论文（设计）正文引言 (1)1 混沌介绍 (1)1.1混沌的定义 (1)1.2混沌的基本特征 (2)1.3混沌的数学特征 (3)1.3.1关联维数 (3)1.3.2L YAPUNOV指数 (4)2 混沌的计算与分析 (5)2.1混沌的模型：L OGISTIC映射 (5)2.2混沌的定义特征分析 (8)2.2.1混沌的定义分析 (8)2.2.2混沌最基本特征：对初值的敏感性 (10)2.2.3混沌映射的基本特征之一：分岔 (11)2.3L ORENZ系统族 (13)2.3.1L ORENZ方程组 (13)2.3.2L ORENZ系统的简单分析 (15)3 混沌本质及前景 (18)参考文献： (21)谢辞 (22)二、附录1.论文（设计）任务书 (23)2.论文（设计）结题报告 (245)3.论文（设计）成绩评定及答辩评议表 (27)4.论文（设计）答辩过程记录（附页） (29)混沌的数值计算与分析摘要：本文首先对混沌的定义和特点及判别方式做了基本的介绍，然后用数值计算与分析的方法利用MATLAB软件以Logistic映射为例对混沌的定义和特征做了编程绘图详细分析。

介绍了两个判别系统进入混沌的定量指标如Lyapunov指数等。

再以Lorenz系统为例通过数值计算分析其性质特征。

用软件绘图直观展示混沌吸引子的特征。

最后对混沌的定义加以总结，强调数值计算与分析在混沌研究中的重要性，并展望混沌研究的发展前景。

关键词：Logistic映射；Lorenz系统；奇怪吸引子；MATLAB；INumerical calculation and analysis of the chaosAbstract:This paper the definition and characteristics of chaos and the way to do the basic criterion introduced, and then the numerical calculation and analysis method of use of MATLAB software to Logistic mapping as example to the definition and characteristics of chaos made a detailed analysis of the programming drawing. Introduces two discriminant system into the chaos of the quantitative indicators such as Lyapunov index, etc. And Lorenz system for example through numerical analysis and characteristics. With the software drawing intuitive show the characteristics of chaotic attractor. At last the definition of chaos summarized, emphasize the calculation and analysis of the importance of study in chaos, the prospect of the development of the research prospect of chaos.Key words: Logistic mapping; Lorenz system; Strange attractor; MATLAB;II目录引言 (1)1 混沌介绍 (1)1.1混沌的定义 (1)1.2混沌的基本特征 (2)1.3混沌的数学特征 (3)1.3.1关联维数 (3)1.3.2L YAPUNOV指数 (4)2 混沌的计算与分析 (5)2.1混沌的模型：L OGISTIC映射 (5)2.2混沌的定义特征分析 (8)2.2.1混沌的定义分析 (8)2.2.2混沌最基本特征：对初值的敏感性 (10)2.2.3混沌映射的基本特征之一：分岔 (11)2.3L ORENZ系统族 (13)2.3.1L ORENZ方程组 (13)2.3.2L ORENZ系统的简单分析 (15)3 混沌本质及前景 (18)参考文献 (21)谢辞 (22)11引言混沌，被誉为相对论和量子力学之后的本世纪最重要的科学发现之一。