第一章 Hamilton系统

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Hamilton系统周期解和次调和解的存在性与多重性本篇博士学位论文主要是应用变分法研究Hamilton系统周期解,次调和解和最小周期解的存在性与多重性.全文共有四章.第一章简述了问题研究的历史背景,发展现状以及本文的主要工作.第二章采用广义鞍点定理,对偶变分法以及环绕定理研究了p-Laplace系统和周期解的存在性与多重性.我们首先建立了
p>1时的嵌入不等式,然后分别在次p-次条件,凸性条件以及超p-次条件下获得了一些存在性准则.我们的结果推广并改进了已有文献中的一些结论.第三章利用环绕定理研究了二阶带线性部分Hamilton系统周期解和次调和解的存在性.首先在超二次条件下给出了周期解的一些存在性准则,随后针对A(t)≡A为常数矩阵的情形,使用Fourier级数和矩阵特征值之间的关系对泛函所定义的空间进行了合适的分解,进而利用广义山路引理,在两种不同的情形下,给出了次调和解的一些存在性准则.第四章首先研究了一阶Hamilton系统周期解的存在性与多重性.在线性部分半正定的情形下,改进了已有文献中的一些存在性结果并且当位势H偶时,利用喷泉定理证明了系统具有无穷多周期解.随后研究了一阶自治Hamilton系统最小周期解的多重性.我们指出了已有文献中有关结果的一个共
同错误,并且在此基础上给出了一个新的结果.。

哈密尔顿系统的辛几何算法哈密尔顿系统是一类具有特殊的物理意义的动力系统，其在物理学、力学、动力学和计算力学等领域有着广泛应用。

哈密尔顿系统通常具有一组关于位置和动量的相变量，其演化满足哈密尔顿方程。

由于哈密尔顿系统具有良好的保持量和结构稳定性，因此在数值模拟中的算法设计尤其重要。

辛几何算法是一类特殊的数值演化方法，其以保持哈密尔顿系统相变量守恒和辛结构稳定性为目标，常常用于哈密尔顿系统的数值积分。

辛几何算法最早由李约瑟于 1988 年提出，其不仅能够在数值计算中保持相变量的守恒，还能够在哈密尔顿系统的长期演化中保持辛结构稳定性。

辛几何算法主要由两个部分组成，即辛映射和辛算子。

辛映射指的是从一个相变量向下一个相变量的映射，它通常满足“保相量”和辛结构不变性的特点。

保相量指的是相变量在变化过程中的守恒，而辛结构不变性则指的是哈密尔顿系统在演化过程中的辛不变性。

而辛算子则是这个辛映射的数值逼近，常常采用辛波发方法、显式和隐式辛算法等方法。

在演化哈密尔顿系统时，辛几何算法通常采用显式辛算法进行数值模拟。

显式辛算法的主要思路是采用辛映射和辛算子的组合，来实现对哈密尔顿系统的数值模拟。

在模拟过程中，辛几何算法需要保证每一步的演化都是辛的，这样系统才能保持哈密尔顿量以及其他相变量不变。

因此，辛几何算法在数值模拟中的应用非常广泛。

然而，辛几何算法的实现却比较困难。

在数值模拟时，辛几何算法需要考虑一系列问题，如相变量的数值守恒、哈密尔顿量的捕获和重构、快速演化、长时间演化、难以计算的高维效应等等。

这些问题都需要采用一些特殊的技巧和策略来解决。

总的来说，辛几何算法是一种特殊的数值演化方法，其以保持哈密尔顿系统相变量守恒和辛结构稳定性为目标，在计算力学、物理学、动力学等领域有着广泛应用。

hamilton’s原理Hamilton's Principle（哈密尔顿原理）哈密尔顿原理是固体力学和流体力学中的一种经典原理，它是由物理学家威廉·哈密尔顿于1834年提出的。

这一原理在分析力学和物理学研究中具有重要的地位和应用价值。

哈密尔顿原理描述了一个力学系统的运动轨迹可以通过最小化一个称为“作用量”的量来确定。

作用量是一个描述系统运动的物理量，它由系统的拉格朗日函数和时间间隔构成。

在哈密尔顿原理中，我们通过比较不同可能的运动路径的作用量来确定系统的真实运动轨迹。

哈密尔顿原理的核心思想是，对于一个力学系统，在给定初始和末态的情况下，真实的运动路径是使作用量取极值的路径。

具体来说，对于一个固定时间间隔的运动问题，哈密尔顿原理可以表述为：物理系统的真实运动轨迹是使作用量取极值的路径。

这个路径可以通过对系统的拉格朗日函数进行变分得到。

在哈密尔顿原理中，拉格朗日函数起着关键的作用。

拉格朗日函数是一个描述系统运动的函数，它由系统的动能和势能构成。

动能描述了系统的运动状态，势能描述了系统的相互作用。

通过对拉格朗日函数进行变分，我们可以得到系统的运动方程，进而确定系统的真实运动轨迹。

哈密尔顿原理的应用范围广泛，涉及力学、物理学和工程学等多个领域。

在力学中，哈密尔顿原理可以用来推导运动方程和确定系统的平衡态。

在物理学中，哈密尔顿原理可以用来研究量子力学和统计力学问题。

在工程学中，哈密尔顿原理可以用来分析和设计复杂的力学系统。

哈密尔顿原理的重要性不仅在于它提供了一种处理力学问题的方法，更在于它揭示了自然界的一种基本原理。

通过最小化作用量，哈密尔顿原理能够描述系统的真实运动轨迹，从而揭示了自然界中的运动规律和物理定律。

哈密尔顿原理是固体力学和流体力学中的一种经典原理，它描述了一个力学系统的运动轨迹可以通过最小化作用量来确定。

哈密尔顿原理在物理学和工程学中具有广泛的应用价值，它不仅为力学问题的求解提供了一种方法，更揭示了自然界中的运动规律和物理定律。

hamilton原理《Hamilton原理》是一个既简单又重要的定理，它对某些类型的物理系统有着重要的意义。

它由英国物理学家William Rowan Hamilton在1834年提出，是牛顿力学系统中一个重要的定理。

它通过一种叫做“动量和能量”的统一张量来描述动力学系统中的总体结构。

Hamilton原理是一个精确的理论，它提供了一种解决问题的方法，而不是一种抽象的描述。

Hamilton原理是一种描述系统动力学的假设，指出物体在坐标系中的行为是满足某种动量守恒定律的。

一般来说，这种定律表明：在某一时刻，物体的动量（动量矢量）总是保持不变，自由系统中的力与动量总是成正比。

动量定律表明，物体在坐标系中运动时，它们的全部运动只能由力和动量所决定，并且不应该有任何其它力量的发挥作用。

Hamilton原理还提供了一种从物理系统的能量到力的理解的桥梁。

通过它，我们可以用物理系统的能量来解释系统中的力，而不用去考虑力的来源。

它使我们能够简单地从能量对物体行为和动力学系统的性质做出准确的推断。

Hamilton原理在物理学和数学领域都有着广泛的应用，它已经成为一种重要的定理。

它可以用来描述物理系统的绝对性质，以及描述它们的运动规律。

Hamilton原理进一步定义了力学原理中的概念，如动量和能量。

它还被用来解释许多物理现象，如电磁场、轨道动力学、量子力学等。

Hamilton原理的最重要的作用是它可以用来描述物体在一维力学系统中的行为，同时也可以用来模拟复杂的多体系统。

比如，它可以用来描述空气动力学中飞机滑翔时的运动，以及电磁学中电磁场的性质和电磁波传播的特性。

它还可以用来模拟弹性力学系统中的结构性与弹性的运动，以及量子力学中的原子的行为。

Hamilton原理的重要性无可置疑，它是物理学、力学和数学研究中的一个重要的定理。

它被广泛应用于许多物理实验中，并且作为连续力学系统研究的基础理论。

它可以提供准确的预测，从而为人类技术的发展提供可靠的基础。

混沌Hamilton系统的统计力学模拟混沌系统是指一类具有极其敏感的初始条件的动力学系统，其行为看似无序、不可预测，但实际上具有确定性。

Hamilton系统是经典力学中描述具有保守性质的系统的一种理论框架。

在混沌Hamilton系统的研究中，统计力学模拟成为了一种重要的工具，可以用来描述系统的平均行为、稳定性和相空间的统计分布等。

1. 引言混沌理论的提出和发展，为我们认识自然界中的复杂系统提供了一种新的途径。

混沌Hamilton系统作为混沌理论的重要研究对象，被广泛应用于天体力学、固体物理学、流体力学等领域。

在研究混沌Hamilton系统时，我们通常需要通过统计力学模拟来获取系统的相关信息。

2. 混沌Hamilton系统的基本方程混沌Hamilton系统通常由Hamilton函数和Hamilton方程组来描述。

Hamilton函数是系统的总能量函数，而Hamilton方程组则给出了系统中各个自由度的演化规律。

对于一个N维的混沌Hamilton系统，其Hamilton函数可以表示为：H(p, q) = Σ(p_i^2 / 2m_i) + V(q_1, q_2, ..., q_N)其中，p和q分别代表系统中的广义动量和广义坐标，m_i代表第i个质点的质量，V(q_1, q_2, ..., q_N)为系统的势能函数。

3. 统计力学模拟方法（此处可以详细介绍几种常用的统计力学模拟方法，如Monte Carlo 模拟、分子动力学模拟等）4. 混沌Hamilton系统的统计力学模拟在进行混沌Hamilton系统的统计力学模拟时，我们通常利用数值方法来求解Hamilton方程组。

通过选取适当的初始条件和参数，可以模拟系统的演化过程，并研究系统的平均行为和统计性质。

5. 统计物理量的计算在混沌Hamilton系统的统计力学模拟中，我们通常关注的是系统的平均物理量。

通过对模拟过程中的轨迹进行时间平均或者相空间平均，可以计算出系统的平均动能、平均势能、平均总能量等物理量。

1 引言Hamilton动力系统理论有着悠久而丰富的历史，它本身是Lagrange力学的升华与推广，从数学角度看又是一门内容精深的相空间几何学，如辛几何、辛拓扑等都源于此.近几十年来，随着纯数学理论的不断发展与计算机的普遍应用，Hamilton动力系统理论又成为当今非线性科学中极其活跃而富有魅力的研究领域.由于这类系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学、等离子物理、航天科学以及生物工程中的很多模型都以Hamilton系统的形式出现，因此该领域的研究多年来长盛不衰.本文利用Hamilton原理推导出了Hamilton系统的正则方程.最后利用Hamilton正则方程给出一个具体物理实例的数学模型并对其进行动态模拟仿真.2 预备知识2.1 状态空间的基本概念1）状态任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，系统在0t 时刻的状态是0t 时刻的一种信息量，它与此后的输入一起惟一地确定系统在0t t ≥时的行为.2）状态变量状态变量是一个完全表征系统时间域行为的的最小内部变量组. 3）状态向量设系统有n 个状态变量，用()()()12,,,n x t x t x t 表示，而且把这些状态变量看做向量()x t 的分量，则向量()x t 称为状态向量，记为()()()()12,,,Tn x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦.4）状态空间以状态变量()()()12,,,n x t x t x t 为轴的n 维实向量空间称为状态空间.5）状态方程描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内部状态的变换过程，其一般形式为：()()(),,x t f x t u t t =⎡⎤⎣⎦其中，t 是时间变量，()u t 是输入变量.6）输出方程描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换，是一个变化过程.输出方程的一般形式为：()()(),,y t g x t u t t =⎡⎤⎣⎦.7）状态空间表达式状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，也称动态方程，它表征一个系统完整的动态过程，其一般形式为：()()()()()(),,,,x t f x t u t t y t g x t u t t ⎧=⎡⎤⎪⎣⎦⎨=⎡⎤⎪⎣⎦⎩ 通常，对于线性定常系统，状态方程为x Ax Buy Cx Du=+⎧⎨=+⎩ 其中，()12,,Tn x x x x =表示n 维状态向量，()n n ij n nA a R ⨯⨯=∈表示系统内部状态的系数矩阵，称为系统矩阵n n A ⨯，()n r ij n rB b R ⨯⨯=∈表示输入对状态作用的矩阵，称为输入（或控制）矩阵n r B ⨯，()m n ij m nC c R ⨯⨯=∈表示输出对状态关系的矩阵，称为输出矩阵m n C ⨯，()m r ij m rD d R ⨯⨯=∈表示输入直接对输出作用的矩阵，称为直接转移矩阵m r D ⨯，也称前馈系数矩阵.A 由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而B 则主要体现了系统输入的施加情况，通常情况下0D = .2.2线性定常连续系统的能控性定义2.1 设(),,n p n n x Ax Bu x R u R A R ⨯=+∈∈∈，若存在一分段连续控制向量()u t ，能在0,f t t ⎡⎤⎣⎦内，将系统从任意的初态()0x t 转移至任意终态()f x t ，则系统完全能控.定理2.1 系统完全能控的充要条件：rankSc n =其中，1,,,n Sc B AB A B -⎡⎤=⎣⎦，称为能控矩阵.2.3线性状态反馈控制律线性状态反馈控制律为u V Kx =-式中，V 是参考输入，p n K R ⨯∈称为状态反馈增益矩阵.系统动态方程变为：()()()()K K x Ax B V Kx A BK x BV A BVy Cx D V Kx C DK x DV C DV=+-=-+=+⎧⎪⎨=+-=-+=+⎪⎩ 式中，K A A BK =-，K C C DK =-，当0D =时，状态反馈系统闭环传递函数()K W s 为()()1K W s C sI A BV B -=--⎡⎤⎣⎦式中，A BV -为闭环系统的系统矩阵.以上我们简要介绍了控制系统的有关问题，现在针对单输入定常线性系统，设计其某种形式的线性定常控制律，使得闭环系统具有指定的希望的一组极点，即极点配置.2.4 极点配置考虑下述单输入线性定常系统⎩⎨⎧=+=Cx y bu Ax x （2.4.1）其中A 为n n ⨯常阵，b 和C 分别为1⨯n 和n ⨯1常阵.选取线性定常反馈控制律kx u -=，使得（2.4.1）在该控制律下的闭环系统具有指定的极点集.问题SPA[状态反馈极点配置问题] 给定矩阵n n R A ⨯∈，1⨯∈n R b 及一组共轭封闭复数i s ， i=1，2，…，n （不必互异），求取矩阵n r R K ⨯∈ 使得()i i s bK A =-λ n i ,,2,1 = 对问题SPA 先考虑其解的存在性有：定义2.2 如果对于任何给定的一组共轭封闭复数i s ，n i ,,2,1 =,前述问题SPA 均有解，则称线性定常系统（2.4.1）可用状态反馈任意配置极点.下述定理给出了线性定常系统（2.4.1）利用状态反馈任意配置极点的条件. 定理2.2 定常线性系统（2.4.1）可用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统（2.4.1）完全能控问题 对单输入系统，给定能控矩阵对[]b A 和一组期望的闭环特征值{}**2*1,,,n λλλ ，要确定n ⨯1的反馈增益矩阵k ，使成立()*i i BK A λλ=-，n i ,,2,1 =. 对于上述问题，我们有下述算法：算法2.1 [单输入系统的极点配置设计] 第一步：计算A 的特征多项式，即()0111det a s a s a s A sI n n n ++++=---第二步：计算由{}**2*1,,,n λλλ 所决定的多项式，即()()*0*11*1**1*)(a a s a s s s s a n n n n ++++=--=-- λλ第三步：计算[]*11*11*0-----=n n a a a a a a K第四步：计算变换阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---11][1111n n n a a a b Ab b A P 第五步：求1-=p Q第六步：所求的增益阵Q K K = .2.5 分析力学中相关的知识1） 广义坐标能够完全确定质点系位形的独立参变量，用符号 ,,21q q 表示.广义坐标是彼此独立的.其选择有一定的随意性，只需根据质点系的特点，选择那些能够惟一地确定该系统位形的参变量即可.2）广义速率在质点系中引入广义坐标之后，质点系的运动可以用广义坐标随时间的变化规律来描述，即广义速率：()k dtdq q,,2,1 ==ααα3）广义坐标变分假设在给定的运动初始条件下，某质点系的运动微分方程组的解已经求得，它的广义坐标运动方程为()t q q αα=，广义速率dtdq qαα= 于是广义坐标的全微分为 dt qdq αα = ()k ,,2,1 =α同样，广义坐标也有它的可能运动方程()t q q **αα= ()k ,,2,1 =α 比较统一瞬时广义坐标的真实运动和与其相邻的可能运动，并限定二者的差值为无限小量，即αααδq q q -=* ()k ,,2,1 =ααδq 就称为广义坐标变分.4）质点系的自由度该系统独立坐标变分的数目.对完整系统它的自由度等于它的广义坐标的数目. 5）广义动量质点系的动能T 对广义速率αq的偏导数，即 ααqTp ∂∂=其中动能T 是广义坐标αq 和广义速率αq的函数. 6) 勒让德变换勒让德变换是把以n x x x ,,21为变量的函数()n x x x f ,,,21 变换成以n y y y ,,,21 为新变量的函数()n 21y …，y ,y ~f 的一种特殊变换，f ~称为f 的勒让德变换.设有一个二次可微的函数()n x x x f ,,,21 ，且在雅可比行列式不为零，即0221212212≠∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂nnn x f x x f x x f x f的区域内存在以下变量变换ss x fy ∂∂=()n s ,,2,1 = 定义f 的勒让德变换为()∑=-=ns s s f y x f 1n 21y …，y ,y ~于是有s sx y f=∂∂~下面给出对部分变量进行变换的情况s s x F y ∂∂=， ss y Fx ∂∂=~对保留变量有rr x Fx F ~~~∂∂-=∂∂. 定理2.3 哈密顿原理从动力学普遍方程出发可推导出哈密顿原理的一般形式，即()010=+⎰dt t t W T δδ其中T δ是系统动能的变分，W δ是作用于系统的所有主动力的虚功.当作用在系统上主动力为有势时，V W δδ-=.引入哈密顿作用量⎰=tt Ldt I 10其中L 为拉格朗日函数，是系统动能与势能之差，即V T L -=.于是，对完整系统哈密顿原理可以写成常见的变分形式⎰==t t Ldt I 10δδ.3 哈密顿系统的动力学表述——哈密顿正则方程3.1 保守系统的情形拉格朗日方程是用一组关于k 个广义坐标j q 的二阶常微分方程组来描述系统的运动.方程的建立完全依赖于以()t qq j j ,, 为变量的拉格朗日函数L ，即),,,,,,,(2121t q q qq q q L L k k =.哈密顿以广义动量j p 取代广义速度j q ，以),,(t p q j j 为变量，称为哈密顿变量或正则变量.以哈密顿函数H 代替拉格朗日函数L ，用k 2个关于广义坐标j q 和广义动量j p 为变量对称整齐的一阶常微分方程组，即称为哈密顿正则方程或正则方程，以此来描述系统的运动.因本文是针对线性系统而言，故这里只给出单自由度系统的哈密顿正则方程，下面用哈密顿原理导出单自由度系统的哈密顿正则方程.首先，利用勒让德变换把以()t qq ,, 为变量的拉格朗日函数L 变换成以),,(t p q 为新变量的哈密顿函数H .显然，新变量p 代替旧变量q参与变换，而同时保留变量q 及t . 根据对原变量进行部分替换的勒让德变换，可得哈密顿函数L qp H -= 因此，拉格朗日函数H qp L -= 代入哈密顿原理，即 ()01010=-=⎰⎰dt t t H qp t t Ldt δδ 对上式进行变分运算，得0)(1=∂∂-∂∂-+⎰dt t t q qH p p H p q q p δδδδ (3.1.1) 将上式第一项改写成如下形式，即()()q pq p dtd q dt dp qp kj j j δδδδ -==∑=1代入式(3.1.1)，有0])()[(1001=∂∂+-∂∂-+⎰dt t t q qH p p p H q t t qp δδδ (3.1.2)因为系统在始末位置是确定的，则有0)(0=t q δ， 0)(1=t q δ (3.1.3) 于是有0])()[(10=∂∂+-∂∂-⎰dt t t q qH p p p H q δδ . (3.1.4) 根据广义动量的定义qLp ∂∂=，由部分勒让德变换可得 pHq∂∂= (3.1.5) 因此式(3.1.2)成为0])([10=∂∂+-⎰dt t t q q Hp δ对于完整系统，由于q δ可以任意取值，因此欲使上式成立，必有qHp∂∂-= (3.1.6) 联立式(3.1.5)和式(3.1.6)，即关于变量),,(t p q 的哈密顿正则方程⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂-=∂∂=q H pp H q. 3.2非保守系统的情形系统除有势力以外还存在非有势力作用的情形.在哈密顿原理的一般形式()010=+⎰dt t t W T δδ (3.2.1)中，系统的主动力的虚功W δ可写成如下形式：q Q V W δδδ'+-=其中，V δ-和q Q δ'分别表示有势力和非有势力的虚功.将上式代入式(3.2.1)，得dt t t q Q L dt t t q Q V T )()(1010⎰⎰'+='+-δδδδδ将H qp L -= 代入上式，并进行变分运算，得 0)(1='+∂∂-∂∂-+⎰dt t t q Q q qH p p H p q q p δδδδδ 利用式(3.1.2)和式(3.1.3)有0])()[(10='-∂∂+-∂∂-⎰dt t t q Q qH p p p H q δδ 采用与前面同样的作法，即可得到存在非有势力作用时的哈密顿正则方程pHq∂∂= Q qHp'+∂∂-= (3.2.2) 式中Q '为系统的非有势力对应于q 的广义力.4 利用哈密顿正则方程建立具体物理系统的数学模型—水平弹簧质量振动系统图 4.1 弹簧质量振动系统4.1水平弹簧质量系统的问题描述假设系统满足条件： 1) 振动无阻尼.2) 系统只能在水平方向即x 方向运动. 3) 外力()t u ，以x 的同方向为正. 要求：1) 建立弹簧质量系统的运动微分方程. 2) 求出反馈增益阵. 3) 弹簧质量系统仿真模拟. 4) 作任何有意义的讨论.4.2水平弹簧质量问题的分析解：令()t u 为输入量，y 为输出量，取弹簧等于原长0l 时，质量位置o 为x 坐标轴的原点，取y x =1为广义坐标.如势能零点取在弹簧原长位置，则系统的势能2121kx V =，因此系统的拉格朗日函数u x121212121ux kx x m V T L +-=-= . 求得广义动量1x m xLp x =∂∂=因此mp xx=1 . 计算哈密顿函数H ，并把它写成广义动量和广义坐标的函数12121212111212)2121(ux kx m p ux kx x m x p L x p H x x x -+=+--=-=求得H 后，按式(3.2.2)写出系统的正则方程mp p Hxx x =∂∂=1 u kx xHpx +-=∂∂-=1 由上二式消去x p ，得到系统运动微分方程u kx xm =+11 . 4.3 建立弹簧质量系统的数学模型令x p x =2 则有u x x u x x k x xm⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001001010002121121 输出方程为1x y =则弹簧质量系统的状态空间表达式⎩⎨⎧=+=Cx y bu Ax x其中 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=o k m A 10⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10b []01=C .5 系统闭环状态反馈控制器设计5.1系统状态反馈控制根据线性系统状态反馈控制律，设状态反馈下受控系统的输入为Kx u -= （21⨯∈R K 为反馈增益矩阵，[]21k k K =），将上式代入弹簧质量振动系统的状态空间表达式，得到弹簧质量状态反馈闭环系统的状态空间表达式⎩⎨⎧=-=Cxy x bK A x)( 其中⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---=-2110k kk m bk A .6 求解状态反馈增益阵由定理2.1 []⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==0110m Ab b s c 显然系统完全能控，故满足闭环极点可任意配置条件.取1=m ；1=k给定一组期望的闭环特征值j +-=1*1λ， j --=1*2λ1）现计算系统的特征多项式()111det det 2+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-s s s A sI 再由指定闭环极点可得希望的闭环特征多项式为()()()()2211221**++=++-+=-=∏=s s j s j s s s a i i λ 于是可求得**0011[][12]k a a a a =--=再来计算变换阵[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001100110011011a b Ab P 并求出其逆⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-10011PQ 从而所要确定的反馈增益阵k 即为10[12][12]01k kQ ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦. 2）调用Matlab 函数算出的反馈增益阵见[附录1]7 动态系统的simulink 仿真7.1创建Simulink 系统模型首先根据弹簧质量状态反馈闭环系统的状态空间表达式，选择合适的Simulink 系统模块，然后建立此系统的Simulink 模型.系统的Simulink 模型图见[附录3].7.2动态系统的Simulink 仿真在MATLAB 中，系统状态空间用(),,,A B C D 矩阵组表示，当输入(),,,A B C D 矩阵组后，用函数(),,,ss A B C D 直接可以得到状态空间模型。

mindlin板动力学问题的hamilton体系及其辛解法Mindlin板动力学问题的Hamilton体系及其辛解法一、简介Mindlin板动力学问题是由Richard Mindlin在1943年提出的，它是一个复杂的动力学问题，是一种多物理量耦合的动力学系统，主要涉及到板的弯曲和剪切，以及应力、应变和位移。

Mindlin板动力学问题中，Hamilton体系是一种可以描述Mindlin板动力学问题的数学模型，它通过求解相关的动力学方程将板的应力，应变和位移联系起来，从而帮助我们更好的理解板的动力学行为。

二、Mindlin板动力学问题的Hamilton体系1、定义 Mindlin板动力学问题的Hamilton体系是一种用于描述Mindlin板动力学问题的数学模型，它由一系列相关的动力学方程组组成。

其中，包括有：板上每一点的位移方程、板上每一点的力对位移的响应方程、板上每一点的应力和应变之间的关系方程以及板上每一点的力和力矩之间的关系方程等。

2、位移方程位移方程是描述板动力学问题的基本方程，它表示板上每一点的位移u，在时间t上的变化状态，即∂u/∂t=v，其中v是板上每一点的速度，由于板的位移受到板的自重和外界力的影响，因此可以得到：∂v/∂t=-g-f (1)其中，g表示板的自重，f表示外界力。

3、力对位移的响应方程力对位移的响应方程描述的是板上每一点的力对位移的反作用，即力f对位移u的响应，从而使位移随时间发生变化。

对于Mindlin板，由于板的弯曲和剪切都会对位移产生影响，因此可以得到：f=Kuu+Kuv (2)其中，Kuu表示板的弯曲，Kuv表示板的剪切，Kuu和Kuv分别是板的弯曲和剪切系数。

4、应力和应变之间的关系方程应力和应变之间的关系方程描述的是板上每一点的应力σ和应变ε之间的关系，即σ=Eε，其中E是板的杨氏模量。

5、力和力矩之间的关系方程力和力矩之间的关系方程描述的是板上每一点的力f和力矩τ之间的关系，即τ=Gf，其中G是板的刚度矩阵。

一个广义Hamilton系统的混沌特性及电路实现仓诗建;吴爱国;王忠林;薛薇【摘要】以广义Hamilton系统为基础,通过增加耗散量和外部输入,形成广义耗散Hamilton系统.通过配置广义耗散Hamilton系统的结构矩阵和外部输入,提出一个简单三维单平衡点系统来说明此类系统存在混沌行为.借助相图、庞加莱截面、Lyapunov指数谱、分形图和功率谱等数值分析方法说明当外部输入逐步增强时该系统存在周期轨道和混沌运动.与一般已知的三维混沌系统相比,该系统的特点为:耗散性与系统的状态变量相关;处于混沌状态时的系统的Lyapunov维数接近3. 最后设计了该系统的实验电路,示波器观测到的实验结果进一步验证了该系统确实存在混沌行为.%A kind of generalized Hamiltonian systems with dissipative structure and external input is proposed.By configuring its structure matrix and external input, a simpler three-dimensional dynamical system with only one fixed point is designed to illustrate the existence of eful tools, including phase portrait, Poincaré section, Lyapunov exponents, bifurcation diagram and power spectrum, are used for detecting chaotic behavior of the proposed system with the enhancement of DCpared with the known three-dimensional chaotic systems, the proposed system has the following two characteristics: Its dissipativity is related to system state variables and its Lyapunov dimension is closer to 3.Finally, a circuit implementation of the new system is presented and the results recorded on an analogue oscilloscope further verify the existence of chaotic behavior.【期刊名称】《复杂系统与复杂性科学》【年(卷),期】2017(014)001【总页数】8页(P103-110)【关键词】广义耗散Hamilton系统;混沌;Lyapunov维;电路实现【作者】仓诗建;吴爱国;王忠林;薛薇【作者单位】天津科技大学产品设计系,天津 300457;天津大学电气工程与自动化学院, 天津 300071;天津大学电气工程与自动化学院, 天津 300071;滨州学院物理与电子科学系, 山东滨州 256604;天津科技大学电子信息与自动化学院,天津300457【正文语种】中文【中图分类】O193Hamilton系统是非线性科学领域一个非常重要的研究主题，广泛存在于物理科学、生命科学和工程技术领域，特别是经典力学、天体力学、航天科学及生物工程中的许多模型都以Hamilton系统形式出现[1-2]，因而具有深刻的物理背景。

时变Hamilton系统理论及控制时变Hamilton系统是指具有时变特性的Hamilton系统，它在物理学、数学和控制理论等领域具有重要的研究意义。

本文将介绍时变Hamilton系统的基本理论以及其在控制领域的应用。

一、时变Hamilton系统的基本概念时变Hamilton系统是指系统的Hamilton函数（或称为能量函数）具有随时间变化的特性。

在数学上，时变Hamilton系统可以用Hamilton动力学方程表示为：$$\frac{{d\mathbf{q}}}{{dt}} = \frac{{\partial H}}{{\partial\mathbf{p}}}$$$$\frac{{d\mathbf{p}}}{{dt}} = -\frac{{\partial H}}{{\partial\mathbf{q}}} + \mathbf{u}$$其中，$\mathbf{q}$表示广义坐标，$\mathbf{p}$表示广义动量，$H$为Hamilton函数，$\mathbf{u}$为外部控制输入。

时变Hamilton系统的动力学行为具有随时间变化的特点，因此其稳定性与控制方法需要进行深入研究。

二、时变Hamilton系统的稳定性分析时变Hamilton系统的稳定性分析是研究时变系统在一定条件下是否能保持平衡或者渐近稳定的过程。

对于时变Hamilton系统，可以利用Lyapunov稳定性理论进行分析。

具体来说，可以定义一个时变的Lyapunov函数$V(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)$，满足以下条件：1. $V(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) > 0$，$\forall (\mathbf{q},\mathbf{p}) \neq (\mathbf{q}_0, \mathbf{p}_0)$；2. $\frac{dV}{dt} < 0$，$\forall (\mathbf{q}, \mathbf{p}) \neq(\mathbf{q}_0, \mathbf{p}_0)$。

时滞及饱和Hamilton系统的分析与综合的开题报告一、选题背景及研究意义随着控制理论和应用的快速发展，Hamilton系统作为一种具有广泛应用前景的力学系统，在控制理论研究领域也得到了越来越广泛的应用。

受实际问题的影响，许多实际系统往往存在着时滞和饱和等非线性因素，这些因素会给控制系统的稳定性和性能分析带来诸多挑战。

因此，基于时滞和饱和的Hamilton系统的分析及综合问题一直是国内外控制理论研究的热点之一。

对于解决该类问题，不仅可以为实际系统的控制提供理论基础，还能够为相关领域的深入研究提供新的思路和方法。

二、研究内容和方法本文将主要研究时滞和饱和Hamilton系统的分析与综合问题。

具体研究内容包括以下方面：1. 时滞Hamilton系统的稳定性问题：讨论时滞Hamilton系统的充分稳定性条件，研究系统存在时延时的Lyapunov函数方法、LMI方法等。

主要方法包括：数学分析和控制理论。

2. 饱和Hamilton系统的稳定性问题：探讨饱和Hamilton系统的稳定性问题，研究系统在饱和时的Lyapunov函数方法、LMI方法、小增益定理等。

主要方法包括：数学分析、仿真模拟以及验证实验等。

3. 针对时滞和饱和的Hamilton系统的H∞控制问题：研究如何设计性能优良的控制器以保证系统的稳定性、鲁棒性和性能要求，在保证控制器饱和状况下，通过设计H∞控制器来实现控制器参数的优化。

主要方法包括：频域分析、数学建模和仿真计算等。

三、预期成果通过对时滞和饱和Hamilton系统的分析与综合问题进行深入探讨，本文的预期成果如下：1. 提出了一种有效的控制策略，能够提高系统的稳定性和性能。

2. 针对时滞和饱和Hamilton系统的H∞控制问题，提出了一种新的优化控制器设计方法，使得系统具有更好的鲁棒性和性能要求。

3. 验证了所提出的控制策略和方法的有效性和可行性，为后续的实际应用提供了理论依据和技术支持。

hamilton 原理Hamilton原理，也称作Hamilton-Jacobi原理，是经典力学中非常重要的一个原理。

它描述了物理系统的运动方式，可以用于解决很多经典力学问题，如质点、刚体等的运动问题。

Hamilton原理的基本思想是：在一个物理系统中，某个物理量的变化率是由其他物理量的变化率导致的。

这个物理量可以是能量、动量、角动量等。

在Hamilton原理中，物理系统的运动被描述为一条曲线，叫做Hamilton特征函数。

这个曲线的斜率告诉我们物理系统的速度。

如果我们知道Hamilton特征函数，就可以通过求导来计算物理系统的速度和位置。

Hamilton特征函数的形式取决于物理系统的特性，例如质量、力等。

Hamilton原理还有一个重要的应用，即Hamilton-Jacobi方程。

这个方程描述了物理系统在一定条件下的运动方式。

通过求解这个方程，我们可以得到物理系统的Hamilton特征函数和运动方式。

这个方法在解决复杂的力学问题时非常有用，尤其是在量子力学和相对论中。

除了在经典力学中应用广泛，Hamilton原理还可以用于描述其他自然现象。

例如，在光学中，Hamilton原理被用于描述光线的传播方式。

在电动力学中，Hamilton原理被用于描述电磁波的传播方式。

因此，Hamilton原理不仅有助于我们理解物理学中的运动方式，还可以用于解决其他自然现象的问题。

Hamilton原理是经典力学中非常重要的一个原理，它可以用于描述物理系统的运动方式，解决很多经典力学问题。

同时，它也可以应用于其他自然现象的描述和解决。

掌握Hamilton原理的应用，对于理解物理学中的各种现象和问题都有很大的帮助。