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Hamilton系统数值计算的新方法
廖新浩;刘林
【期刊名称】《天文学进展》
【年(卷),期】1996(014)001
【摘要】系统地介绍了近年来对Ｈａｍｉｌｔｏｎ系统数值计算新建立的辛算法和线性对称多步法，并对它们在动力天文中的应用作了一简要回顾。
【总页数】9页(P3-11)
【作者】廖新浩;刘林
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】P13
【相关文献】
1.常微分方程数值计算的新方法一偏差分方法的理论与分析 [J], 孟波
2.Hamilton系统非线性问题的一种新方法 [J], 李广成;王东晓;陈雷明
3.一种常微分方程数值计算的新方法 [J], 孟波;孟纯青
4.一种构造可积Hamilton系统的新方法 [J], 高普云
5.基于Gauss全局径向基函数的近岸浅水变形波高数值计算新方法 [J], 李怡;吴林键;舒丹;陈嘉玉
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哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析一切真实的,耗散可忽略不计的物理过程都可以用哈密顿系统进行描述.哈密顿系统有两个最重要的性质,一个是辛结构,另一个就是能量守恒.正确计算哈密顿系统非常重要.近年来,能够保持哈密顿系统辛结构或能量的保结构方法已经得到了很大的发展.本文讨论哈密顿系统一些保结构算法的构造和分析,主要研究成果如下：I.近几年,人们构造了等离子物理中洛伦兹力系统的保结构格式,比如保体积格式和保辛格式.然而这些格式都不能保持系统能量.我们把洛伦兹力系统写为一个非典则的哈密顿系统,然后利用Boole离散线积分方法进行求解,得到洛伦兹力系统的一个新的格式.该方法可以保持系统哈密顿能量达到机器精度.II.我们研究如何利用二,三和四阶AVF方法求解哈密顿偏微分方程.对非线性薛定谔方程,空间用Fourier拟谱方法半离散,时间用三个AVF方法进行离散,得到该方程三个不同精度的AVF格式.我们用数值实验验证了这三个格式的精度和保能量守恒特性.III.基于根树和B-级数理论,我们给出了5阶树的带入规则的具体公式.利用新得到的带入规则,我们把二阶AVF方法提高到高阶精度,给出了一个新的AVF方法.我们证明了,新方法具有6阶精度,并且可以保持哈密顿系统能量.我们利用六阶AVF方法求解非线性哈密顿系统,并测试了其精度和能量守恒特性.IV.在哈密顿偏微分方程保结构算法框架下,我们研究了基于系统弱形式的空间离散方法.首先,空间用有限元法或谱元法对偏微分方程进行半离散,把得到的常微分方程组写成一个哈密顿系统.然后,我们用一个保结构方法对这个常微分哈密顿系统进行求解,得到一个全离散保结构格式.我们用这个方法对一维非线性薛定谔(NLS)方程进行求解,其中空间用Legendre谱元法,时间用AVF方法,得到一个新的保能量方法.同样对一维NLS方程,我们在空间用Galerkin有限元方法,时间用Crank-Nicolson格式离散,则得到一个同时保能量和质量的格式.对二维NLS方程,空间用Galerkin谱元法,时间用Crank-Nicolson格式离散,得到一个同时保能量和质量的格式.而对Klein-Gordon-Schrodinger方程空间用Galerkin方法,时间用辛Stomer-Verlet方法离散,得到一个显式辛格式.对自旋为1的Bose-Einstein凝聚态(BEC)中耦合Gross-Pitaevskii(GP)方程,空间用Galerkin方法,时间用隐中点辛格式离散,则得到一个新的同时保系统辛结构,质量和磁场强度的格式.对自旋轨道耦合的BEC中耦合GP方程离散,空间用Galerkin方法,时间用Crank-Nicolson格式,得到的新格式可以同时保能量和质量.我们做了数值实验验证理论结果.。
henon-heiles哈密顿方程辛算法迭代格式Henon-Heiles系统是一个描述三体问题的经典力学模型，由Michel Henon和Carl Heiles在1964年提出。
它是最简单的非线性动力学系统之一，可以用来研究系统的混沌行为。
该系统的哈密顿方程可以用辛算法进行数值求解。
下面将介绍Henon-Heiles哈密顿方程的辛算法迭代格式。
Henon-Heiles系统的哈密顿方程可以写成以下形式：\[ \begin{align*}\dot{q}_1 &= \frac{\partial H}{\partial p_1} = p_1 \\\dot{p}_1 &= -\frac{\partial H}{\partial q_1} = q_1 +2q_1q_2 \\\dot{q}_2 &= \frac{\partial H}{\partial p_2} = p_2 \\\dot{p}_2 &= -\frac{\partial H}{\partial q_2} = q_2 + q_1^2- q_2^2\end{align*} \]其中，\(q_1,q_2\)是位置变量，\(p_1,p_2\)是动量变量，\(H\)是系统的哈密顿函数。
我们需要使用辛算法对这个系统进行数值求解。
辛算法是一种保持辛结构的显式数值算法。
它可以保证系统的总能量在数值计算中保持不变，从而避免了能量的数值耗散和数值爆炸问题。
辛算法的基本思想是将时间离散化成小步长，通过迭代的方式更新位置和动量变量。
下面介绍Henon-Heiles系统的辛算法迭代格式。
1.初始化初始条件：给定初始位置\(q_1^{(0)},q_2^{(0)}\)和初始动量\(p_1^{(0)},p_2^{(0)}\)，以及步长\(h\)和迭代次数\(N\)。
2.迭代更新位置变量和动量变量：\[ \begin{align*}q_1^{(n+1)} &= q_1^{(n)} + h \cdot p_1^{(n)} \\q_2^{(n+1)} &= q_2^{(n)} + h \cdot p_2^{(n)} \\p_1^{(n+1)} &= p_1^{(n)} - h \cdot (q_1^{(n)} +2q_1^{(n)}q_2^{(n)}) \\p_2^{(n+1)} &= p_2^{(n)} - h \cdot (q_2^{(n)} + q_1^{(n)^2}- q_2^{(n)^2}) \\\end{align*}\]3.重复步骤2，直到进行了\(N\)次迭代。
《Lotka-Volterra系统的辛几何算法》篇一一、引言Lotka-Volterra系统，又称为捕食者-猎物模型，是一种广泛用于描述生物种群动态关系的数学模型。
在生物学、生态学以及物理等多个领域有着广泛应用。
而辛几何算法是一种适用于大规模系统求解的数值方法，其特点在于能够保持系统的辛结构，从而在长时间模拟中保持较高的精度。
本文将探讨Lotka-Volterra系统的辛几何算法应用及其特点。
二、Lotka-Volterra系统Lotka-Volterra系统是一个描述两个物种（捕食者和猎物）之间相互作用的数学模型。
该模型通常以一组非线性微分方程的形式表示，可以用于研究物种间的竞争、共生等关系。
这个系统是动态的，并且在特定条件下可以表现出周期性、混沌等复杂行为。
三、辛几何算法概述辛几何算法是一种基于辛几何结构的数值算法。
它能够有效地解决大规模非线性系统的求解问题，并保持系统的辛结构，从而在长时间模拟中保持较高的精度。
这种算法特别适用于描述物理系统中的哈密顿动力学和辛几何结构。
四、Lotka-Volterra系统的辛几何算法应用针对Lotka-Volterra系统，我们可以采用辛几何算法进行求解。
首先，将Lotka-Volterra系统的微分方程转化为哈密顿形式，然后利用辛几何算法进行求解。
通过这种方法，我们可以在长时间模拟中保持高精度，并观察到系统动态行为的变化。
在应用辛几何算法求解Lotka-Volterra系统时，需要注意以下几点：1. 模型的建立：将Lotka-Volterra系统的微分方程转化为哈密顿形式是关键步骤。
这需要我们对系统有深入的理解，并选择合适的变量和参数。
2. 算法的选择：根据问题的特点和需求，选择合适的辛几何算法进行求解。
这包括选择适当的迭代方法和步长等参数。
3. 模拟的精度和效率：在求解过程中，要平衡模拟的精度和效率。
既要保证足够的精度以观察到系统的动态行为，又要避免过度计算导致的效率损失。
卫星轨道计算的辛几何算法应用
徐明毅
【期刊名称】《中国新技术新产品》
【年(卷),期】2009(000)024
【摘要】本文将哈密顿力学的辛几何算法应用于地球卫星轨道的轨道计算,并同传统的数值积分法进行了详细比较,计算结果证实了辛几何算法能够保持系统能量守恒,能够避免传统数值算法所引入的人为耗散性.
【总页数】3页(P17-19)
【作者】徐明毅
【作者单位】武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室,湖北,武汉,430072【正文语种】中文
【相关文献】
1.基于延拓法的卫星初轨算法--应用于单个观测物体确定低轨卫星初始轨道
2.辛几何算法在计算非磁化等离子体中波传播轨迹时的应用
3.EM算法在卫星轨道计算中的应用
4.辛几何理论和辛差分格式算法在目标散射场计算中的应用
5.星载GPS数据及高精度轨道模型在极轨卫星轨道计算中的应用
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哈密顿摄动分解体系的四阶力梯度辛算法描述哈密顿系统的混沌运动需要依赖于可靠的数值方法和混沌识别方法。
本文主要工作在于数值方法的开发与利用。
我们在Chin等提出的四阶力梯度辛算法基础上构造了两类显式四阶力梯度辛算法；进一步将这些力梯度辛算法推广应用到由Wisdom和Holman对太阳系N 体问题所给出的哈密顿函数摄动分解情形；最后利用推广形式力梯度辛算法研究行星磁气圈内的带电粒子的混沌运动。
分别简述如下。
首先,对于分解为二次动能T和势能V两部分的哈密顿系统,在势能V对应的Lie算子中加入力梯度算子通过对称组合我们构造了一组显式四阶力梯度辛算法,其中包括Chin等提出的力梯度辛算法。
这些算法能够推广用来求解Jacobi 坐标下所分解成的Kepler部分H0和摄动部分H1的N体引力哈密顿系统。
数值结果表明,在T+V型哈密顿分解下,每个梯度算法的精度大大优越于Forest-Ruth的非力梯度四阶辛方法；但是对于H0+H1型分解情形,就平经度和相对位置精度而言每个梯度算法与Forest-Ruth的四阶辛方法几乎等效。
同时,无论是在T+V型分解还是在H0+H1型分解中,这些梯度算法在数值性能上没有明显差异。
应当着重指出的是后种分解与前种分解相比每个梯度算法能大大提高数值精度。
由于这种推广具有快速和高精度的优点,所以值得推荐用来模拟N体问题的各种轨道运动。
其次,利用新提出的四阶力梯度辛算法并结合H0+H1型摄动分解情形我们数值研究了行星磁气圈内的带电粒子的混沌运动。
该物理模型可以简化为一个摄动二体哈密顿问题。
带电粒子在赤道平面上的几种相图形状取决于电荷质量比和z方向角动量这两个动力学参数,当然离开赤道平面的运动除这两个动力学参数外还受能量的影响。
发现当增大能量或电荷质量比的绝对值时混沌强度增加,但对于较大的角动量,混沌变弱。
对于带电粒子随动力学参数的变化而引起的动力学跃迁所得到的数值结果也给出了定性解释。
辛数学及其工程应用
辛数学是一门研究辛结构与辛几何的数学学科，主要研究辛结构及其变换、黎
曼几何、调和分析等。
辛结构具有较好的保持性质，在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
辛数学在工程学中的应用主要包括以下几个方面：
1. 力学系统的模型构建：辛数学提供了优良的模型构建工具，特别是针对力学
系统，可以比较方便地将其建模成为辛结构。
2. 计算流体力学：辛数学在计算流体力学中具有很高的应用价值，能有效地处
理非线性流体方程的数值解问题。
3. 消声器设计：辛数学的结构保持性质可以用于优化消声器设计，提升消声器
的性能。
4. 机器人学：辛数学在机器人学的姿态控制、轨迹规划等方面应用广泛，可以
提高机器人的运动性能和精度。
5. 量子力学：辛数学也在量子力学中有应用，可以用于量子系统的模拟和求解。
总之，辛数学作为一门重要的数学学科，在工程学中具有广泛的应用和推广前景。
哈密顿原理的应用什么是哈密顿原理？哈密顿原理是经典力学中的一种基本原理，用于描述自然界中物体在运动过程中所遵循的原理。
哈密顿原理可以简单地表述为：物体在运动过程中，其真实路径是使作用量（或称为作用积分）取得极值的路径。
哈密顿原理的数学表述从数学角度上看，哈密顿原理可以通过积分方程来表述。
假设一个运动系统的Lagrange函数为L(q, \dot{q}, t)，其中 q 为广义坐标，\dot{q} 为广义速度，t 为时间。
那么，根据哈密顿原理，系统的状态将会沿着满足以下方程的路径运动：\delta \int L(q, \dot{q}, t) dt = 0这个方程是一个变分问题，通过对方程求驻点来得到系统的真实路径。
其中，\delta 表示变分（即微小变化）。
哈密顿原理的应用哈密顿原理在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
下面列举几个典型的应用：1.经典力学：哈密顿原理是经典力学中最基本的原理之一。
它可以用来推导出Lagrange方程和Hamilton方程，从而描述物体在运动过程中所遵循的规律。
通过哈密顿原理，我们可以得到物体在势能场中的运动方程，并进一步研究力的作用和能量的变化规律。
2.量子力学：哈密顿原理在量子力学中也有重要的应用。
量子力学中的体系可以使用波函数描述，而波函数的演化过程可以通过哈密顿算符来描述。
哈密顿原理可以用来推导量子力学中的薛定谔方程，从而描述量子体系的演化规律。
3.优化问题：哈密顿原理的变分问题求解方法可以应用于优化问题中。
通过建立适当的Lagrange函数，并使用哈密顿原理进行求解，我们可以得到优化问题的最优解。
这在工程学、经济学等应用中都有重要的作用。
4.控制理论：哈密顿原理在控制理论中有着广泛的应用。
控制理论研究的是如何通过给定系统的模型和特定的控制策略来使系统达到预期的状态。
哈密顿原理可以提供一种优雅的数学框架，用于描述控制系统的演化过程，并求解最优控制问题。
总结哈密顿原理是一种基本的物理原理，在经典力学、量子力学、优化问题和控制理论等领域得到了广泛的应用。
哈密顿力学的应用哈密顿力学是经典力学中的重要分支，它以数学方式描述了物体力学性质的演化规律。
哈密顿力学的应用领域广泛，涉及天体力学、量子力学、统计力学等多个领域。
本文将从三个方面介绍哈密顿力学在物理学中的应用。
一、天体力学中的哈密顿力学天体力学研究天体运动和动力学过程，是天文学中的关键分支。
哈密顿力学在天体力学中的应用尤为重要。
它通过引入广义坐标和广义动量，可以将物体的运动状态用哈密顿函数来描述。
通过求解哈密顿量的哈密顿方程，可以得到天体的轨道和动力学性质。
这种方法在研究天体运动中起到了重要的作用。
例如，通过求解三体问题的哈密顿方程，可以预测行星的运动轨迹和周期。
此外，哈密顿力学还可以研究恒星运动、星际物质分布等问题。
通过应用哈密顿力学理论，天体物理学家们能够更好地了解宇宙的运行机制和演化历史。
二、量子力学中的哈密顿力学量子力学是描述微观领域物理现象的理论。
哈密顿力学在量子力学中的应用则是为了描述量子系统的动力学过程。
它通过引入量子力学中的波函数和算符，将物体的运动状态用哈密顿算符来描述。
通过求解哈密顿方程，可以得到量子系统的能级。
这种方法为研究原子、分子、固体等微观领域的物理现象提供了重要的手段。
在量子力学中，哈密顿力学的应用尤为广泛。
例如，通过量子哈密顿力学可以解释原子和分子的能量结构、电子的跃迁行为等。
不仅如此，哈密顿力学还可以用来研究量子力学中的量子涨落、量子相干等现象。
这些研究对于实验物理学和量子信息领域有着重要的意义。
三、统计力学中的哈密顿力学统计力学是描述大系统的物理性质的理论。
它研究宏观物体的统计行为，从而揭示微观粒子的动力学模型。
哈密顿力学在统计力学中的应用主要是通过玻尔兹曼方程或Fokker-Planck方程来描述粒子数密度的演化。
通过求解这些方程，可以得到宏观系统的分布函数和演化规律。
统计力学中的哈密顿力学应用广泛。
例如，在热力学中，哈密顿力学可以用来推导理想气体的状态方程和热力学定律。
