非线性振动第1章 多尺度复习课程

2
ε 2π ω 2 = ω02 − ∫ f (a cos ϕ , −ap0 sin ϕ ) cos ϕ dϕ πa 0
例1
mɺɺ + cx + kx + µx3 + γx5 = 0 x ɺ
1 ɺ (cx + kx + µx3 + γx5 ) = 0 m
ɺɺ + x
k ω = m
2 0
1 ɺ ɺ f ( x, x) = (cx + kx + µx3 + γx5 ) m
∫ε
0
[ 2 λ ( − a ω 0 sin ϕ ) + ω 2 a co s ϕ + ω 02 a co s ϕ − f ( a co s ϕ , − a ω 0 sin ϕ )] 2 d ϕ
2 2[2λ(−aω0 sin ϕ) + ω2a cosϕ − ω0 a cosϕ + ε f (a cosϕ, −aω0 sin ϕ)]
2π 2π
0
ψ 1 − sinψ = π 2 4 0
将解代入等价线性化方程
& & & x + λe x + ke x = F0 sin ωt
则得
F0 F0 = a= 2 3 2 ke − ω 2 ω0 + ε a − ω 2 4
幅频特性曲线
例3
用等价线性化法求如下非自治振动方程的定常解：
0
∫ caω0
0
1 − cos 2ϕ c dϕ = 2 2m
1 1 ω2 = [c(−aω0 sin ϕ) + ka cosϕ + µ(a cosϕ)3 + γ a(cosϕ)5 ]cosϕdϕ πa m ∫ 0 1 1 [ka cos2 ϕ + µa3 cos4 ϕ + γ a5 cos6 ϕ]dϕ = πa m ∫ 0 1 1 1 1 3 2 5 5 3 3 1 5 5 3 1 π = ⋅ 4 ⋅[ka ⋅ + µa ⋅ + γ a ⋅ ⋅ ] = (k + µa + γ a ) πa m 2 4 2 6 4 2 2 m 4 8

在最近一个时期，科技工作者对许多非线性振动问题进行 了深入研究，在定量研究或是定性研究方面都提出了一些新的 有效的方法。特别是对混沌运动现象的揭示及对其开展的研究 工作，被认为是当今重大发现和重要成就之一。
近20多年来计算机技术的迅速发展，许多非线性振动问题 可以借助数值计算与数值模拟方法予以解决，这就使得非线性 振动问题的解法向前推进了一大步。
1 非线性振动的利用； 2 非线性振动的控制； 3 非线性振动的机理 。
目前在工程技术部门中，对许多非线性振动机理的研究 还很不深入。例如，对于一些在复杂非线性因素影响下的强 非线性多自由度系统的精确求解、复杂时变过程的特性、复 杂系统失稳的机理、复杂自激振动的起因和发展过程，一些 重大机械设备产生重大事故和发生破坏的原因，亚谐分叉解 的形成，混沌运动的产生等等。
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非线性振动第1章
10
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8. 复杂非线性振动系统的自激振动；
9. 带有冲击的非线性振动系统的振动机理与振动特性；
10. 非线性系统的振动及其稳定性的控制；
11. 有关非线性振动的动态过程的机理及利用；
12. 与非线性振动有关的设备或结构破坏的机理及故障的诊断方法；
13. 在复杂因素影响下的非线性波的机理及其控制与利用；
14. 板壳及复杂结构在大变形情况下的非线性振动的研究；
非线性振动第1章

1 2 2 1 2
2
2

0
1 2 ( x, x)dx 2
2
2 2 2 [2 x x x f ( x , x )] d 0 0
f (a cos , a
0
2
2 [2 ( a0 sin ) 2 a cos 0 a cos 2 sin )] d 0
3 5 0 2 a 2 a 4 4 8
则原方程的等价线性方程为：
骣2 3 5 2 ç & & & x + cx + ç0 + a + a 4 ÷ x = F0 sin t ÷ ÷ ç 桫 4 8
强迫振动的稳态解为：
x t a cos t
1 kx x 3 x 5 ) 0 (cx m
x
k m
2 0
1 ) (cx kx x 3 x 5 ) f ( x, x m

1 2a0 1
2
x 2 x x 0
2

0
f (a cos , a0 sin )sin d
根据线性振动理论振幅和相位角分别为：
a F0 2 3 5 2 2 4 2 0 a a c 4 8
2 1/ 2
arctan
c 02 a 2 a4 2
3 4 5 8
2 3 5 & & & x + 0 x + (cx + x + x ) = F0 sin t
等效线性化方程
& & & x + e x + ke x = F0 sin t

而线性常微分方程的数学理论已十分完善，因此将非 线性系统以线性系统代替是工程中常用的有效方法， 但仅限于一定的范围。 ➢ 至于什么属于线性振动问题，在未说明该系统预期工 作范围之前没有明确答复。因为系统中某些部件响应 与其激励之间的关系可能会依赖与其工作范围
非线性振动概述
➢ 当非线性因素较强时，用线性理论得出的结果 不仅误差过大，而且无法对自激振动、参数振 动、多频响应、超谐和亚谐共振、跳跃现象等 实际现象作出解释。
A
几何非线性
➢几何非线性—例2
单摆振动方程 gsin 0
l 这是一个非线性方程，对于小偏角，sin
可以得到足够精确的线性方程 g 0
l
可得单摆的固有振动周期为 T 2 l 与摆角无关，具有等时性
g
但是对于较大的偏角，必须考虑动非线性的影响。如果偏角并不 十分大，可以对sinθ展开成泰勒级数只取前两项，
非线性振动概述
➢几何方法—研究非线性振动的定性分析方法
❖ 传统的几何方法是利用相平面内的相轨迹作为对运动 过程的直观描述。
❖ 在常微分方程定性理论的基础上，根据相轨迹的几何 性质判断微分方程解的性质。利用相平面内的奇点和 极限环作为平衡状态和孤立周期运动的几何表述。
❖ 因此，关于奇点的类型和稳定性的研究，关于极限环 的存在性和稳定性的研究，以及稳定性随参数变化的 研究，是传统几何方法讨论的主要内容。
➢ 在工程问题中，稳态运动往往对应于机械系统的正常 工作状态。这种工作状态必须是稳定的，因为只有稳 定的运动才是可实现的运动。
非线性振动的定性分析方法
➢ 相平面法是最直观的定性分析方法，它只适用于单 自由度系统
➢ 相平面法利用相轨迹描绘系统的运动性态。相轨迹 的奇点和极限环分别对应于系统的平衡状态和周期 运动。

1 0 0 x 1 x 1 c o s k ( t t 0 ) x 2 s in k ( t t 0 ) k x k x 0 s in k ( t t ) x 0 c o s k ( t t ) 1 0 2 0 2
通解为:
式中 x , x 2 0是初扰动,由此得:
1 2 n
严格的稳定性概念由 A .M 李雅普诺夫给出: 定义1 如果任取 0 ( H , 无论如何小),对于任意给定的初时 刻 t 0 0 ,存在 ( t , ) 0 ,( 由 t 0 和 确定),任取初扰动 x 0,只要满 足 x ,对于一切 t t 0 有 X ( t ) 那么系统(1)的平衡就是稳定的.
故单摆运动在其平衡位置是稳定的. 另外，根据，定理2，不是渐近稳定的 定理3 (巴尓巴欣---克拉索夫斯基,1952)如果存在正定函数 ,它由(1)构成 的全导数是常负的,并且在全导数为零的集合 ,除原点外,不包含(1)的整 条轨线在内,则(1)的无扰动运动是渐近稳定的. 例如,证明对于有阻尼的下垂摆,平衡是渐近稳定的. 证明:扰动运动的微分方程是:
T 1 2
1 2 k 2 A 1 2
1
2
1 2

求得 a 1 1
1 2
k
2
0
,
A
1 4
(k )
2 2
根据定理1,只要 A
0 ,即 k
时,函数 V ( x1 , x 2 )是正定的.
n
对于扰动运动微分方程 x X ( x ) x R , (1) 以下假设函数V ( x ) 是单值连续的.V (0 ) 0 ,对x具有连续偏导数 (i=1,2…n)

面。所有相轨线都将呈现在柱
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期 周期与摆角无关？
T0 2 / 0 2 l g ? T ?
T0为零摆角极限下的周期 看看实验结果：
T/T0
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论：
1. 周期随摆角增加 而增加 2. 随摆角增加波形 趋于矩形
d 2 g sin 0 2 dt l
d 2 2 0 sin 0 2 dt
(1) (2) (3)
非线性方程, 式中角频率：
0 g / l
线性化处理
d 2 2 0 sin 0 2 dt
x x x sin x x 3! 5! 7!
g l
t
看作 t )，可得
(16)
1 2 E 1 cos H 2 mgl
由此解得
常量
2H 1 cos
(17)
3 任意角度无阻尼单摆的相图与势能曲线
单摆完整相图
0 ]附近相轨线为近似椭圆形的闭合道； 1.坐标原点[ 0， 2.平衡点[ 0 ]为单摆倒置点(鞍点),附近相轨线双曲线; 0 ]或相反的连线为分界线. 0 ]到[ 3.从[
相图
引入代换 0t t 得： d 2 0 2 dt 一次积分后：
1 d 1 2 E 2 dt 2
2
(6)
式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 d dt , 看作为两 个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为 2 E ，振动过 程是一个代表点沿圆周转动。

t 0 x 2 V (t, x1, x2, x3) 2 x 2
这里，a( x ) x 2 ,b( x ) 2 x 2 。
注意： 设 V(t, x) 是具有无穷小上界的正定函数，
即 a( x ) V (t, x) b( x )
则 V(t, x) 的变化范围如图（手绘图）。
e t x1
取正定函数
V
x12

e
t
x
2 2
[注：V x12 x22 x，2 V (t,0) 0]
求得：V. et x22 (2a(t) 1)
。 根据定理（1），如果对一切 t
t0
，有a(t)
1 2
，则无扰运动是稳定的
定义4 如果存在K类函数b(r) ，使得函数V (t, x)在区域 t 0, x h, (h H)内， 满足：V (t, x) b( x )，则函数 V (t, x)具有无穷小上界。
(1) V (t, x) a( x ), V (t,0) 0 （正定的）
(2)
.
V (t, x)

0,
(常负的)
则非驻定系统（1）的无扰运动是稳定的。
例
求单自由度系统，q..
a(t)
.
q
e
t
q

0
无扰运动 q 0的稳定条件
解：化成标准形式

.
x1

x2

.
x2

a(t ) x 2
解析方法： 摄动法（小参数法） 渐进法（KBM法） 谐波法 多重尺度法
（3）数值解法
摄动法（小参数法）
L-P方法的基本概念由天文学家A. Lindstedt于1883年提出，

2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期数学表达式
对方程
d 2 2 sin 0 0 2 dt
双曲点
乘以 d / dt 后积分 其中 E 2 2 cos 0 0
d 2 E 20 cos dt
2
积分 d [2(cos cos )1 / 2 0 0
势能曲线
• 基本方程 若取 0 1后积分得
d 2 2 sin 0 0 dt2
2
1 d cos E 2 dt 左边第一项是单摆动能 K， 左边第二项是势能 V 右边积分常数E是单摆总能
势能曲线是余弦函数
V ( ) cos
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
2 dt 2
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期
周期与摆角无关？ 看看实验结果：
T/T0
双曲点
T0 2 / 0 2 l g ? T
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
dt
0t
d [2(cos cos0 )]1/ 2
设t = 0时， 0 ，周期为 T，在 t T / 4时应有 0 ，故有：
0T / 4
0
0
2 sin 2 0 / 2 sin得：
1 2 2 0 1 3 2 4 0 T T0 1 sin sin 2 2 4 2 2
0 0
该式是振幅为P，角频率为 0 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频 率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。

a T [( 2 1 3 a2 )cos 1 a2cos3]cosdt 0
0
4
4
T x x x3 cosdt 0
T a2 a a3cos2 cos cosdt 0
a T [( 2 1 3 a2 )cos 1 a2cos3]cosdt 0
R(ai )
N
aiw&&i
f

N
ai
wi


0
i1
i1

近似解的变分
N
x wi t ai i 1
为使偏差最小，取这个残值与近似解的变分的乘积，在 一周期内积分（也即使偏差在一个周期内平均分布）为零：
T
0 R(ai ) xdt 0
N
i 1
T 0
N i1
aiw&&i
f

N i 1
ai wi
wi aidt

0
由于 ai 任意，则：
T 0
N i1
aiw&&i
f

N i 1
ai wi
widt

0
i=0,1,2...
a 解此代数方程组，求出N个待定系数 i ,代回原方程即得近似解
x&&= - a12 cos - 9a32 cos 3
x3 = (a1 cos + a3 cos)3 = a13 cos3 + a33 cos3 3 + 3a12a3 cos2 cos 3 + 3a1a32 cos cos2 3

将范德玻耳方程写为
d 2x dt 2
02x
e (x 2
1) dx dt
仿照单摆方程的解，设范德玻耳方程的解为：
x A cos t
两次微分
dx A sint
dt
d 2x dt 2
A 2 cos t
一起代入方程得： (02 2 )A cost
eA 1 A 2 1sin t+ 1 eA 3 sin 3 t
dx dt
A sint
就有：
e (x 2 -1) dx
e
1
A
2
1
dx
dt 4
dt
就可将范德玻耳方程化为线性化方程：
d 2x dt 2
02x
e (x 2
1) dx dt
d 2x dt 2
e(1 A2 4
1) dx dt
02x
0
其解为 x(t) A e t cost
02
2
1/ 2
在分界线内的轨线是闭合回线 单摆作周期振动。分界线以外
单摆能量E 超过势能曲线的极
大值，轨道就不再闭合，单摆 作向左或向右方向的旋转运动
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
柱面上的单摆相轨线
相图横坐标θ是以2为周期的， 摆角 是同一个倒立位置，
把相图上G点与G‘点重迭一起 时，就把相平面卷缩成一个柱 面。所有相轨线都将呈现在柱 面上。因此，平面上的相轨线 是柱面上的相轨线的展开图。
非线性振动初步
第一节 无阻尼单摆的自由振荡 第二节 阻尼振子 第三节 相图方法 第四节 受迫振荡
第一节 无阻尼单摆的自由振荡
1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线

（完整word版）⼯程⾮线性振动学习总结,推荐⽂档东北⼤学《⾮线性振动》学习总结第⼀章⾮线性振动的定性分析⽅法1.1 稳定性理论的基本概念特定的运动成为系统的未受⼲扰的运动，简称为稳态运动，⽽受扰运动则是偏离稳态运动的系统的运动。

李雅普诺夫关于稳定性的定义有：稳定的、渐进稳定、不稳定李雅普诺夫直接⽅法的理论基础由三个定理组成：（1）若能够早可谓征订函数V(x)，使得沿扰动⽅程解曲线计算的全导数V为半负定或等于零，则系统的未扰运动稳定。

（2）若能构造可微正定函数V(x)，使得沿扰动⽅程解曲线计算的全导数V为负定，则系统的未扰运动渐进稳定。

（3）若能构造可微正定、半正定函数V(x)，使得沿扰动⽅程解曲线计算的全导数V为正定，则系统的未扰运动不稳定。

定理：若保守系统的势能在平衡状态处有孤⽴极⼩值，则平衡状态稳定。

对于复杂的⾮线性系统，可以以近似的线性系统代替可以根据⼀次近似⽅程的稳定性，判断原⽅程的稳定性：（1）若⼀次⽅程的所有本征实部均为负，则原⽅程的零解渐进稳定（2）若⼀次近似⽅程⾄少有⼀本征实部为正，则原⽅程的零解不稳定（3）若⼀次近似⽅程存在零实部的本征值，其余根的实部为负，则不能判断原⽅程的零解的稳定性1.2相平⾯、相轨迹和奇点与系统的运动状态⼀⼀对应的像平⾯上的点称为系统的相点，相点的移动轨迹称为相轨迹。

像平⾯内能使⽅程右边分⼦分母同时为零的特殊点称为相轨迹的奇点。

保守系统的相轨迹有以下特点：（1）相轨迹曲线相对横坐标对称；（2）势能曲线z=V(x)与横坐标轴的平⾏线z=E交点的横坐标C1，C2，C3，处，相轨迹与横坐标轴相交；（3）横坐标轴上与势能曲线的驻点相对应的点S1，S2，S3，为奇点，因为他们满⾜⼏点的定义；（4）在势能取极⼩值处，设E>V（S1），则在x= S1的某个⼩领域内都有E⼤于等于V（x）。

这种类型的奇点是稳定的，称为中⼼。

（5）在势能取极⼤值的点x= S2处，设E⼩于V(S2)则在区间（C1，C2），内没有对应的相轨迹，这种类型的奇点是不稳定的，称为鞍点。

x ' (t ) A0e
t
cos( t )
2 0 2
2 2 2
A
F

e i
( 2 2 )2 4 2 2
1．线性单摆的受迫振动
小摆角驱动单摆的通解
A F e i

x " (t ) Ae
i t
x " (t )
F

e i e i( t )
代入、 以后特解为：
x " (t ) F ( 2 2 )2 4 2 2 cos( t x(t ) x' x" A0e t cos( t ) F ( 2 2 )2 4 2 2 cos( t tg1 2 ) 2 2
A
2. 杜芬方程的受迫振动
杜芬方程解
2. 方程解(续)
F cos 0 2 1 F 1 A2 sin 0 16 A ( + ) F cos 0 2 F e sin 0 A( + )
A
A
e 1

1 2 A 16
等效自 振频率
考虑近共振：
2
e
A F cos 2 2 (e )A F sin
sin2 cos2 1
A= F [(e2 2 )2 + ()2 ]
共振 频率
将分母根号下对频率求导并令其等于零： df (v ) d [( 2 2 )2 42 2 ] 0 (2 2 ) 22 d d
r 2 2 2
共振频率r小于系统自振频率，

第一章非线性振动初步一、教学目标1、理解无阻尼单摆的相图；2、能分析出阻尼单摆的相图；3、了解杜芬方程、范德玻耳方程；4、掌握线性单摆的受迫振动；5、了解杜芬方程的受迫振动。

6、了解庞加莱映射。

二、教学重点1、阻尼单摆的相图2、杜芬方程三、教学难点杜芬方程、范德玻耳方程四、教学方法讲授并适当运用课件辅助教学五、教学建议在学习本章之前应复习《力学》中有关谐振子、单摆、共振的内容。

六、教学过程一、无阻尼单摆的自由振荡1、小角度无阻尼单摆 椭圆点单摆，一个由摆线l 联着的重量为mg 的摆锤所组成的力学系统，是力学教科书中通常都要进行讨论的一个简单的动力学模型。

其实我们将会看到，它具有非常复杂的动力学行为，是一个复杂系统。

我们研究一个理想的单摆，即忽略摆线l 质量，认为整个系统的质量都集中在摆锤上，是一个具有集中参数的数学摆，如图1-1所示。

因为如果把摆线与摆锤的质量一起计算，单摆就是一个具有分布参数的摆，与此相应的数学模型是偏微分方程，处理起来很复杂。

理想单摆的数学表达是常微分方程，研究起来就要容易得多了。

图1-1 数学摆首先忽略一切阻尼，例如忽略摆锤在运动中受到的空气阻力、摆线与悬挂点之间的摩擦力等等。

由牛顿第二运动定律，摆锤质量为m 的单摆的运动方程为：ml d dt mg 22θθ=-sin (1-1-1)式中θ为摆角，g 为重力加速度。

将等式右边项移到到左边，并以ml 相除后有：0sin 22=+θθl g dt d设 l g /0=ω，它是以单位时间的弧度为单位的角频率0ω，则式(1-1-1)可写为：0sin 2022=+θωθdt d (1-1-2)由于正弦函数是非线性的，因此这是一个二阶非线性微分方程。

用级数展开正弦函数：+-+-=!7!5!3sin 753x x x x x (1-1-3)如果x 很小，则可以忽略三次以上的高次项，即x x ≈sin 。

这就是说当单摆的摆角很小时，式(1-1-2)变为线性微分方程：02022=+θωθdt d (1-1-4)方程(1-1-4)的解可以通过如下的代换解获得：t e λθ=式中为常数。