含表面裂纹悬臂梁的非线性振动分析

非线性振动的数值模拟与分析近年来，随着科技的发展和社会的进步，非线性振动引起越来越多的重视。

非线性振动的研究不仅是科学研究的重要领域，也是工程应用的重要基础。

在这方面，数值模拟与分析技术在非线性振动研究中占据了重要地位。

非线性振动是指振动系统中的某些物理量呈现出非线性关系的振动现象。

与线性振动相比，非线性振动的动态学行为更为复杂，具有丰富的物理特性，例如倍频现象、畸变振动和混沌现象等。

传统的线性振动理论已经不能很好地描述这些现象，因此非线性振动的研究需要使用更为深入的非线性动力学理论。

数值模拟与分析技术是研究非线性振动的重要手段之一。

通过数值模拟与分析，可以模拟出复杂的非线性振动系统，描述其中的振动特征、相位差、光谱图等重要参数，并进一步分析其可能的动态行为。

目前，常用的数值模拟方法主要有两种：一种是通过有限元方法，建立相应的数值模型；另一种是采用解析方法，进行数值计算与分析。

不论是哪种方法，其本质都是基于数值解析与计算机算法，通过计算机技术实现对非线性振动的复杂模拟和分析。

然而，数值模拟与分析技术也存在着一些局限性。

对于某些复杂的非线性振动系统，由于其复杂性和多样性，数值模拟方法的精度和可靠性受到很大的影响。

此时，需要引入一些新的数学工具和算法，才能更好地解决这些问题。

例如，近年来，级数方法和哈尔莫尼振动法等新兴算法在非线性振动研究中得到广泛的应用。

这些新算法不仅可以提高计算精度，同时能够在解决非定常问题的同时，更好地描述非线性振动系统的动态响应。

在实际工程应用中，非线性振动的模拟和分析也有很多重要的应用场景。

例如，在飞机的结构设计中，需要进行非线性振动分析，以确定飞机结构的疲劳寿命和安全性；在电力系统中，需要进行非线性振动分析，以对系统进行稳定性分析和控制。

总之，非线性振动的研究是当前科学研究和工程应用中的一个重要领域。

通过数值模拟与分析技术，我们可以更好地模拟和分析非线性振动系统，从而理解它们的特征和动态响应，为相关应用领域提供更好的支持和服务。

不同长度的悬臂梁的结构非线性分析作者：窦春宇 2013级1班学号：2130082021当结构出现大应变、大位移、应力刚化及旋转软化等时，就是结构非线性问题中的几何非线性问题。

本分析报告，研究不同长度的悬臂梁的几何非线性问题。

1，建立计算模型：采用长度分别为L=500,1000,1500,2000,2500的悬臂梁，梁宽B=10、高H=20。

弹性模量E=2.0e5，泊松比0.32，计算过程采用逐级加载原则，每次加载分10次完成，每次5003，计算结果L=500线性分析TIME 1 FY 4 PRODFY 40.10000 500.000 15.62500.20000 1000.00 31.25000.30000 1500.00 46.87500.40000 2000.00 62.50000.50000 2500.00 78.12500.60000 3000.00 93.75000.70000 3500.00 109.3750.80000 4000.00 125.0000.90000 4500.00 140.6251.0000 5000.00 156.250L=500非线性分析TIME 1 FY 4 PRODFY 40.10000 500.001 15.61130.20000 1000.00 31.15270.30000 1500.00 46.51040.40000 2000.00 61.60060.50000 2500.00 76.34870.60000 3000.00 90.69100.70000 3500.00 104.5760.80000 4000.00 117.9640.90000 4499.99 130.8271.0000 4999.99 143.149限于篇幅L=1000、1500、2000的仅列出荷载5000时加载端的挠度L=1000线性分析TIME 1 FY 4 PRODFY 41.0000 5000.00 1250.00L=1000非线性分析TIME 1 FY 4 PRODFY 41.0000 4999.31 658.354L=1500线性分析TIME 1 FY 4 PRODFY 41.0000 5000.00 4218.75L=1500非线性分析TIME 1 FY 4 PRODFY 41.0000 5000.08 1189.95L=2000线性分析TIME 1 FY 4 PRODFY 41.0000 5000.00 10000.0L=2000非线性分析TIME 1 FY 4 PRODFY 41.0000 5000.22 1699.95L=2500线性分析TIME 1 FY 4 PRODFY 40.10000 500.000 1953.130.20000 1000.00 3906.250.30000 1500.00 5859.380.40000 2000.00 7812.500.50000 2500.00 9765.630.60000 3000.00 11718.80.70000 3500.00 13671.90.80000 4000.00 15625.00.90000 4500.00 17578.11.0000 5000.00 19531.3L=2500非线性分析TIME 1 FY 4 PRODFY 40.10000 499.987 1346.880.20000 999.954 1757.890.30000 1500.04 1924.010.40000 2000.01 2013.650.50000 2501.99 2070.940.60000 3001.43 2111.590.70000 3501.10 2142.420.80000 4000.81 2166.940.90000 4500.56 2187.091.0000 5000.35 2204.084，L=2500的线性分析非线性分析的图表L=2500时线性分析各阶段加载荷载与端部位移的关系L=2500时非线性分析各阶段加载荷载与端部位移的关系不同长度悬臂梁结构线性分析不同长度悬臂梁结构非线性分析4，结论悬臂梁线性分析与分线性分析有很大差别。

悬臂梁各阶振动及抑制研究作者：朱宁来源：《中国科技博览》2018年第32期[摘要]悬臂梁的振动在工程上害处比较大，我们通过研究悬臂梁振动系统，采用压电陶瓷片的正逆压电效应，建立了一套悬臂梁振动控制系统。

通过有限元法和试验模态分析方法分别得到铝制悬臂梁的第一、二、三阶固有频率和振幅。

根据有限元模态分析和试验模态分析的结果，用反演的方法得到在每一阶固有频率下的振幅大小。

[关键词]悬臂梁；振动控制；有限元；振幅中图分类号：TS533 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2018）32-0288-011 基本原理悬臂梁的振动是有很多自由度和对应的固有频率的连续弹性振动，它的振动可以看作是由很多个主振型叠加而成。

通过悬臂梁是一端固定的特点，采用分离变量法，可求得悬臂梁的频率方程：我们采用矩形截面的悬臂梁作为实验对象。

当给梁施加可变的激扰力，当梁产生共振时，此时力的频率就是悬臂梁在这一阶的固有频率。

2 实验结果2.1 操作方法粘贴好压电陶瓷片的金属铝板，一端被夹持在精密台虎钳上，形成悬臂梁布置，放置于实验平台上，。

金属铝板本体接入负极，压电片外表面电极全部接入正极。

数字千分表由磁性表座固定，并将测量头与定位滑台接触，万用表一端接定位滑台，一端接金属铝板。

2.2 振动激发让信号发生器生成连续正弦变化的信号，将信号功率放大（加100V电压），交流电压加在2组bimorph压电陶瓷片上，根据压电材料的极化特性，通电后，相对的两个压电陶瓷片，正向伸长，负向缩短，从而使得悬臂梁产生弯曲振动。

示波器接在作传感器用的压电陶瓷片外表面引出的一极和金属铝板一极。

观察铝板振动时示波器的变化。

当外加信号的频率达到26.47Hz附近时，铝板产生共振，此时称为第一阶弯曲振动模态。

增加频率，当到达141Hz左右时，第二阶弯曲振动模态产生。

当到360Hz左右时，第三阶弯曲振动模态产生。

用有限元分析得出的金属板的各阶振动模态。

2.3 振动抑制器材固定好后，慢慢旋转定位滑台使其往下，在刚与金属铝板接触时停止，记下此刻数字千分表的数值1。

非对称夹持的裂纹悬臂梁振动响应分析马辉;张文胜;曾劲;武爽【摘要】以悬臂梁为研究对象.基于ANSYS软件建立了带有单边裂纹和非对称夹持的悬臂梁有限元模型,分析了悬臂梁在偏移边界与裂纹耦合作用下的振动响应,揭示了系统振动与悬臂梁边界偏移量和单边裂纹之间的对应关系.研究结果表明:在给定裂纹深度、位置以及偏移边界的前提下,当裂纹位于下方时,随着边界偏移量的增加,振动响应中的二倍频幅值出现先减小后增大的趋势,由于偏移边界会改变梁的刚度,其振动响应结果类似于单边上裂纹,当偏移边界处于特定点时,其导致的类上裂纹效果和下裂纹在结构上达到对称,此时系统二倍频消失,且偏移边界离此特定点越远,系统的非线性越强;当裂纹位于上方时,随着边界偏移量的增加,振动响应中的二倍频幅值出现不断增大的趋势,这也是由于偏移边界导致的类上裂纹效果和上裂纹处于同侧增强了系统非线性造成的.%In this paper,it mainly took a cantilever beam as a research object.The beam model with single-sided crack and asymmetric gripper was established by ANSYS software,and the boundary offset and crack-induced vibration responses were analyzed.The corresponding relationship between system vibration and the boundary offset of the cantilever beam and crack location were revealed.The results show that the double frequency amplitude of system vibration responses firstly decreases and then increases with the boundary offset when the crack is on the bottom of the beam,and the vibration effects are similar to single-sided up-crack because cantilever beam stiffness can be changed by the boundary offset.At the moment that the double-frequency component of the system disappears due to offset boundary,the up-crack and down-crack have reached to symmetry on the structure.The more distant the offset boundary is,the more intense system nonlinear becomes;double frequency amplitude of system vibration responses increases with boundary offset when the crack is on the top of the beam,it is also because the offset boundary-caused analogous up-crack and up-crack at the same side increase the system nonlinearity under the premise of the given depth,location of a crack and the offset boundary.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2017(036)012【总页数】6页(P37-42)【关键词】裂纹悬臂梁;非对称夹持;有限元;边界偏移量;振动响应【作者】马辉;张文胜;曾劲;武爽【作者单位】东北大学机械工程与自动化学院,沈阳 110819;西安交通大学机械结构强度与振动国家重点实验室,西安710049;东北大学机械工程与自动化学院,沈阳110819;东北大学机械工程与自动化学院,沈阳 110819;东北大学机械工程与自动化学院,沈阳 110819【正文语种】中文【中图分类】TH113工程实践中，为了分析方便，很多构件都通过简化为悬臂梁的形式来进行定性分析，如汽轮机和风机的叶片等[1]。

研究探讨Research304等截面裂缝梁自由振动分析的反问题王敏杨1刘文会1*朱志清2刘洋2（1.吉林建筑大学交通科学与工程学院，长春130118；2.吉林大学交通学院，长春130022）中图分类号：G322 文献标识码：B 文章编号1007-6344（2019）06-0304-01：摘要：本文对等截面裂缝梁的裂缝损伤识别技术进行了研究。

首先，将遗传算法与神经网络相结合，将频率作为输入参数进行损伤识别。

然后，基于动力特性识别基础数据，对等截面裂缝梁反问题的正确性进行了算例验证。

关键词：裂缝梁；等截面；遗传算法；损伤识别0 引言裂缝是结构最常见的损伤之一，裂缝的存在将极大地影响结构的性能和剩余寿命。

结构在使用过程中经常受到动荷载的作用。

因此，裂缝结构的动力特性引起了人们的广泛关注。

另一方面，裂缝的存在会引起结构物理参数的变化，从而引起结构动力特性的变化。

因此，基于动态特性的损伤识别具有很大的潜力。

在我国，简支梁为数众多，且应用广泛。

因此，研究含等截面裂缝梁进行自由振动分析的反问题具有重要意义。

Mao等人[1]为了研究不同边界条件下宽度呈连续指数变化、厚度不变的Euler-Bernoulli 梁的自由振动问题，采用了Adomian decomposition method（Adomian 分解方法，ADM）。

Duan 等人[2]为了探讨多步变截面梁的自由振动问题，利用了改进的离散奇异卷积（DSC）方法，在变截面梁各步之间采用跳跃条件；有限元法(FiniteElementMethod，FEM)在损伤梁的自由振动分析中得到了广泛的应用，而有限元法的关键问题是如何恰当地求出裂缝梁单元的刚度矩阵。

结构损伤识别在保证安全、实施救援、避免紧急行动等方面发挥了重要作用。

在反问题的研究中，采用遗传算法、人工神经网络、基于分形维数等方法对结构中的裂缝进行识别。

Jeyasehar和Sumangala[3]提出了一种基于人工神经网络的预应力混凝土梁损伤评估方法。

悬臂式蜂窝夹层板的非线性动力学建模及分析岐晓辉;张君华;张伟【摘要】Honeycomb sandwich structures have been widely used in many engineering fields because of their excellent mechanical properties. The formulas for the cantilever honeycomb sandwich plate are derived, and the nonlinear vibrations of the plate are given in this paper. In order to obtain the equivalent elastic parameters of the hexagonal core layer in the honeycomb sandwich plate, the equivalent elastic parameters that more closer to the finite element solutions for the cores are selected. Based on the Reddy's third-order shear deformation theory, the nonlinear partial differential equations of motion are derived for the composite laminated cantilever plate subjected to in-plane and transverse excitations by using the Hamilton's principle. The Galerkin method is then used to transform the nonlinear partial differential equations of motion to a two-degree-of-freedom nonlinear system ordinary differential equation of motion. The numerical method is also utilized to examine the nonlinear dynamic respon ses of the cantilever honeycomb sandwich plate. The results show that in-plane and transverse excitations have an important influence on nonlinear dynamic characteristics, and periodic, multi-periodic, quasi-periodic motions and chaotic motions all occur for the system with the change of forcing loads.%蜂窝夹层结构因其良好的力学特性,在众多工程领域具有非常广泛的应用.本文建立了悬臂边界条件下,蜂窝夹层板的动力学模型并研究其非线性动力学行为.选取文献中更加接近实体有限元解的等效弹性参数公式对蜂窝芯层进行等效简化,得到六角形蜂窝芯的等效弹性参数.基于Reddy高阶剪切变形理论,应用Hamilton原理建立悬臂式蜂窝夹层板在受到面内激励和横向激励联合作用下的偏微分运动方程.然后利用Galerkin方法得到两自由度非自治常微分形式运动方程.在此基础上,通过对悬臂式蜂窝夹层板进行数值模拟分析系统的非线性动力学.结果表明面内激励和横向激励对系统的动力学特性有着重要影响,在不同激励作用下系统会出现周期运动、概周期运动以及混沌运动等复杂的非线性动力学响应.【期刊名称】《动力学与控制学报》【年(卷),期】2017(015)006【总页数】8页(P481-488)【关键词】蜂窝夹层板;悬臂;非线性动力学;周期;混沌【作者】岐晓辉;张君华;张伟【作者单位】北京信息科技大学机电工程学院,北京100124;北京信息科技大学机电工程学院,北京100124;北京工业大学机电学院,北京100124【正文语种】中文引言蜂窝夹层结构具有重量轻、高比刚度和高比强度以及良好的结构稳定性和能量吸收性等优越的性能,因而广泛应用于现代工业制造的各个方面.在航空航天工业中,蜂窝夹层结构大量用于飞机的机翼、雷达罩、机舱、尾翼、升降舵和储物箱等部位.蜂窝芯夹层板由较薄的上下蒙皮和较厚中间芯层组成.它的芯层是由金属材料、纸质材料或者其它材料制成的六边形孔格,蒙皮在芯层的上下两面胶结或焊接.蜂窝夹层板的结构如图1所示.图1 蜂窝夹板结构示意图Fig. 1 Structure of honeycomb sandwich plate蜂窝芯层等效是蜂窝夹层结构相关研究的前提和基础.1969年,Allen[1]针对蜂窝芯层等效提出了一种忽略芯层面内刚度和弯曲刚度的假设,认为芯层仅能抵抗横向剪切力,极大地简化了受力分析,这种假设在早期的工程中应用非常广泛.1982年,Gibson[2]等对采用欧拉伯努利梁理论,利用材料力学公式推导出等壁厚正六角形蜂窝芯层的二维等效弹性参数公式.1999年,富明慧[3]等考虑蜂窝壁版的伸缩变形对面内刚度的影响,提出了一种考虑蜂窝芯层面内刚度的简化方案,克服了Gibson公式的缺陷.2001年,Kim[4]等开发了一个非均匀支撑的柱状结构的常规三维各向异性模型,通过该模型来研究二维六角形、三维六角形和菱形蜂窝材料柱状结构的力学特性.2008年,祝涛[5]等考虑面内载荷对蜂窝芯层等效弹性模量的影响,拟合了非线性等效弹性参数.同年,孙德强[6]等将铝制蜂窝孔壁视为纤细梁,在考虑弯曲和伸缩变形的基础上利用Timoshenko梁理论处理蜂窝孔壁的剪切变形,推导出了与有限元结果更加接近的双壁厚一般六角形蜂窝芯层的面内等效弹性参数公式.2011年,陈玳珩[7]等提出了蜂窝芯层和蒙皮在位移连续性条件下的等效弹性模量的理论分析的新的计算方法,并与有限元数值分析相比较验证其准确性.2012年,陈梦成[8]等提出了以蜂窝芯正六角形胞元壁板弯曲和扭转为基础的蜂窝夹层板的计算方法.2015年,富明慧[9]等基于Timoshenko梁理论,利用文献[6]的计算方法,推导出了一般六角形等壁厚蜂窝芯的面内等效弹性参数公式.2013年,Motley[10]等研究了全部和部分浸没的悬臂复合板的边界条件对自由振动响应的影响以及这些影响是如何根据材料属性而变化的.同年,Hao[11]等研究了热环境下受到横向和静态面内预加激励的功能梯度悬臂圆柱壳的非线性动力学行为.同年,杜长城[12]等采用Galerkin法和平均法研究了四边简支条件下仅受到横向简谐激励作用的功能梯度薄壁板的非线性动力学响应.同年,Wang[13]等研究了热环境下置于弹性地基上的具有功能梯度表层的复合板的非线性动力学响应.2014年,Zhang[14]等研究了同时受到横向激励和面内激励作用的简支边界条件下,空间构架点阵夹芯层合板的非线性动力学响应.同年,Zhang [15]等研究了横向气动载荷和参数激励联合作用下复合材料悬臂外伸矩形板在伸出过程中的非线性动力学问题.2015年,Ta[16]等利用改进板理论分析了置于弹性基地上的功能梯度板的动力学响应.2016年,Azarboni[17]等研究了非理想矩形板在六种边界条件下激励频率对非线性动态脉冲屈曲的影响.同年,Parandvar[18]等使用有限元方法研究了受到热和谐波负载下功能梯度扁壳的非线性动力学响应.综上所述,国内外很多学者对不同边界条件下蜂窝夹层板的非线性动力学特性进行了大量研究,但对于复杂载荷作用下悬臂式蜂窝夹层板的非线性动力学响应的研究相对较少.另外,多数文献在蜂窝芯层等效时采用了文献[2]给出的Gibson公式,本文采用了更加接近有限元实体单元的等效弹性参数公式对蜂窝芯层进行等效简化,以悬臂式矩形蜂窝夹层板为研究对象,考虑面内激励和横向外激励的联合作用以及阻尼等对系统的影响,基于Reddy高阶剪切变形理论,应用Hamilton原理建立悬臂蜂窝板的动力学控制方程.利用Galerkin方法得到该系统的常微分形式的非线性动力学方程,根据工程实际背景选取不同的参数,直接对所得系统进行数值模拟和对比分析.1 蜂窝夹层板的力学模型以飞机的机翼振动为实际工程背景,考虑悬臂边界条件下矩形蜂窝芯夹层板,模型如图2所示,矩形蜂窝夹层板的ob边被固定,其余三边自由,x方向边长为a,y方向边长为b,板总厚为H,平面直角坐标系xOy位于蜂窝夹层板的中性面内,z轴竖直向下并垂直于xOy面.假设蜂窝板受到横向的简谐外激励为F=F0cosΩt以及面内简谐激励为P=P0+P1cosΩ1t,并且考虑横向阻尼γ的影响.蜂窝夹层板的上下蒙皮厚度均为hf,正六角形的蜂窝芯层厚度为hc.图2 悬臂式蜂窝夹层板模型示意图Fig. 2 Model of cantilever honeycomb sandwich plate由于蜂窝夹层板的蒙皮很薄并且与蜂窝芯层紧密粘结,为了计算方便,我们忽略蒙皮厚度,将蜂窝芯层进行等效简化.一般六角形蜂窝芯层的结构单元结构如图3所示.其中d为蜂窝单元壁板的厚度,h、l分别为蜂窝单元的直壁板和斜壁板长度.图3 一般六角形蜂窝芯层结构单元Fig. 3 Unit cell of general hexagonal core layer文献[6,9]推导出的更加接近实体有限元解的等壁厚一般六角形蜂窝芯层的面内等效弹性参数公式为如下形式：(1a)(1b)(1c)(1d)其中E1、E2分别为蜂窝芯层在x、y方向上的弹性模量;v12、v21分别为蜂窝芯层在x、y方向上的泊松比;Es为蜂窝芯基体材料的弹性模量,vs为蜂窝芯基体材料本身的泊松比.由于这组公式同时考虑剪切、拉伸和弯曲的影响,并且与实体有限元模型更加接近,因此本文选择公式(1)作为六角形蜂窝夹层板的等效弹性参数公式.2 臂蜂窝夹层板的动力学方程根据Reddy的三阶剪切变形理论,蜂窝夹层板的位移场可以写为如下形式[19] :u(x,y,z,t)=u0(x,y,t)+zφx(x,y,t)-(2a)v(x,y,z,t)=v0(x,y,t)+zφy(x,y,t)-(2b)w(x,y,z,t)=w0(x,y,t)(2c)其中u0、v0、w0为板中性面在x、y、z方向的位移,φx、φy分别为中性面的法线对于x、y轴的转角,h为板的厚度.非线性应变位移关系如下:(3)将(3)式代入(2)式可以得到位移形式的应变表达式为如下(4)式:(4)上式中:(5)根据Hamilton原理建立蜂窝夹层板的非线性动力学方程为如下形式:(6a)(6b)(6c)(6d)(6e)其中应力的合力与应变的关系表示为如下形式: (7a)(7b)(7c)(7d)(7e)上式中:(Aij,Bij,Dij,Eij,Fij,Hij)=(Aij,Dij,Fij)=悬臂式蜂窝夹层板的边界条件为：x=0:w=v=u=φx=φy=0(8a)(8b)(8c)(8d)Nxx|x=0,ady=(p0+p1cosΩ2t)dy(8e)其中等效剪力可以表达为:取横向位移w的模态函数为如下形式:w0=w1(t)X1(x)Y1(y)+w2(t)X2(x)Y1(y)(9)其中:Xi(x)=sinλix-sinhλix+αi(coshλix-cosλix)Yj(y)=sinμjy+sinhμjy-βj(coshμjy+cosμjy)cosλiacoshλia+1=0, cosμjbcoshμjb-1=0悬臂式蜂窝夹层板的主要振动形式为横向振动,因此很多文献在研究悬臂边界条件下板的振动时仅考虑它的横向位移,本文为了更加准确地描述蜂窝夹层板的非线性振动,综合考虑面内振动和横向振动,引入其他方向的模态函数为如下形式：(10a)(10b)(10d)(10d)设横向激励的表达式为如下形式:F0(t)=F1(t)X1(x)Y1(y)+F2(t)X2(x)Y1(y)(11)根据Galerkin法,将所有模态函数式(9)、(10)以及(11)式分别代入相应的偏微分方程(6a)～(6e),然后在等式的两边乘以相应的模态函数部分并在整个板内积分,并忽略u,v,φx,φy方向的惯性项,可以得到悬臂边界条件下蜂窝夹层板的两自由度非线性动力学常微分方程为如下形式:-a7γ-a5w1-a6w2-a9(P0+P1cosΩ1t)w1-a1-a2w2-a3w1-a4=a8F1cosΩt(12a)-b7γ-b5w1-b6w2-b9(P0+P1cosΩ1t)w2-b1-b2w2-b3w1-b4=b8F2cosΩt(12b)3 数值模拟本节利用Runge-Kutta方法直接对悬臂式蜂窝夹层板的两自由度非线性动力学方程(12)进行数值模拟,分析激励和阻尼对系统非线性振动的影响.铝合金矩形蜂窝夹层板的长a=5m,宽b=2m,蜂窝芯层厚度hc=0.01m,材料基体的泊松比vs=0.33,芯层基体密度和弹性模量分别为ρs=2.66×103kg/m3和Es=72×109Pa,正六角形芯层壁板厚度和边长分别为d=0.0008m和l=0.01m.横向激励和面内激励的频率为Ω=Ω1=100Hz,阻尼为γ=150N·s/m,经计算得方程(12)中各系数取如下值：a1=6.99×109, a2=-3.36×1010, a3=4.88×1010, a4=-1.50×1010, a5=-120.09, a6=-3161.98, a7=-0.41, a8=-0.41, a9=0.93, b1=1.87×108, b2=1.14×1010, b3=-2.23×1010, b4=1.09×1010, b5=731.85, b6=-4948.91, b7=-0.41, b8=-0.41, b9=0.93.当横向激励为F1=27Pa和F2=15Pa,面内激励为P0=11Pa和P1=8Pa,系统出现周期运动如图4所示.当横向激励为F1=25Pa和F2=10Pa,面内激励为P0=25Pa和P1=12Pa,系统出现3倍周期运动如图5所示.保持横向激励为F1=25Pa和F2=10Pa,减小面内激励为P0=11Pa和P1=8Pa,系统出现概周期运动如图6所示.在保持面内激励为P0=11.2Pa和P1=4.2Pa的同时,减小横向激励为F1=-4.9Pa和F2=1.5Pa时,系统出现混沌运动如图7所示.图4 周期运动Fig. 4 Periodic motion of the cantilever honeycomb sandwich plate图5 3倍周期运动Fig. 5 Three-periodic motion of the cantilever honeycomb sandwich plate图6 概周期运动Fig. 6 Quasi-periodic motion of the cantilever honeycomb sandwich plate图7 混沌运动Fig. 7 Chaotic motion of the cantilever honeycomb sandwich plate4 结论本文以悬臂边界条件下的矩形蜂窝夹层板作为研究对象,基于Reddy高阶剪切变形理论,运用Hamilton原理和Galerkin方法得到受到面内激励和横向激励联合作用下振动系统的常微分形式的运动方程.通过对悬臂式蜂窝夹层板的非线性振动进行数值模拟,分析在不同激励作用下系统展现出的非线性动力学行为.在确定悬臂式蜂窝夹层板的材料属性和几何形状等初始参数的情况下,通过数值分析方法得到系统的二维相图、波形图和三维相图.数值模拟表明,随着外激励和面内激励的变化,系统会出现周期运动、多倍周期运动、概周期运动和混沌等多种运动形式.由此可见,激励是影响系统非线性动力学行为的重要因素之一,改变外激励的幅值可以对悬臂式蜂窝夹层板的非线性动力学行为产生较大影响.本文所得结果将对于飞机机翼的减振设计提供一定的指导.参考文献1Allen H G, Neal B G. Analysis and design of structural sandwich panels. Pergamon Press, 19692Gibson L J, Ashby M F, et al. The mechanics of two-dimension cellular materials. Proceedings of the Royal Society A, 1982,382(1782):25～423富明慧,尹久仁. 蜂窝芯层的等效弹性参数. 力学学报, 1999,31(1):113～118 (Fu M H, Yin J R. Equivalent elastic parameters of honeycomb core. Acta Mechanica Sinica, 1999,31(1):113～118 (in Chinese))4Kim H S, Al-Hassani S T S. A morphological elastic model of general hexagonal columnar structures. International Journal of Mechanical Sciences, 2001,43(4):1027～10605祝涛,王德禹. 蜂窝芯层非线性等效弹性参数. 上海航天, 2008,25(4):15～21 (Zhu T, Wang D Y. Nonlinear equivalent elastic parameters of honeycomb core. Aerospace Shanghai, 2008,25(4):15～21 ( in Chinese))6孙德强,张卫红,孙玉瑾. 蜂窝铝芯的弹性模量和材料效率分析. 力学与实践, 2008,30(1):35～40 (Sun D Q, Zhang W H, Sun Y J. Elastic moduli andmaterial efficiency of aluminum honeycomb cores. Mechanics in Engineering, 2008,30(1):35～40 ( in Chinese))7陈玳珩,杨璐. 蜂窝板复合材料的等价弹性模量. 力学学报, 2011,43(3):514～521 (Chen D H, Yang L. Analysis of equivalent elastic modulus of a honeycomb sandwich. Acta Mechanica Sinica, 2011,43(3):514～521 ( in Chinese))8陈梦成,平学成,陈玳珩. 正六角形蜂窝夹芯层弯曲刚度理论分析. 固体力学学报, 2012,33(1):26～31 (Chen M C, Ping X C, Chen D H. A theorectical study on the bending rigidity of honeycomb core consisting of right hexagonal cells. Acta Mechanica Solida Sinica, 2012,33(1):26～31 (in Chinese))9富明慧,徐欧腾,陈誉. 蜂窝芯层等效参数研究综述. 材料导报, 2015,29(3):127～134 (Fu M H, Xu O T, Chen Y. An overview of equivalent parameters of honeycomb cores. Materials Review, 2015,29(3):127～134 (in Chinese))10 Motley M R, Kramer M R, Young Y L. Free surface and solid boundary effects on the free vibration of cantilevered composite plates. Composite Structures, 2013,96(4):365～37511 Hao Y X, Zhang W, Yang J. Nonlinear dynamics of cantilever FGM cylindrical shell under 1:2 internal resonance relations. Mechanics of Advanced Materials and Structures, 2013,20(10):819～83312 杜长城,李映辉. 功能梯度简支矩形板的非线性动力响应. 固体力学学报, 2013,34(4):361～366 (Du C C, Li Y H. Nonlinear dynamic response of simply-supported functionally graded rectangular plates. Acta Mechanica Solida Sinica, 2013,34(4):361～366 (in Chinese))13 Wang Z X, Shen H S. Nonlinear dynamic response of sandwich plates with FGM face sheets resting on elastic foundations in thermalenvironments. Ocean Engineering, 2013,57(2):99～11014 Zhang W, Chen J E, Cao D X, et al. Nonlinear dynamic responses of a truss core sandwich plate. Composite Structures, 2014,108(1):367～38615 Zhang W, Lu S F, Yang X D. Analysis on nonlinear dynamics of a deploying composite laminated cantilever plate. Nonlinear Dynamics, 2014,76(1):69～9316 Ta H D, Noh H C. Analytical solution for the dynamic response of functionally graded rectangular plates resting on elastic foundation using a refined plate theory. Applied Mathematical Modelling, 2015,39(20):6243～625717 Azarboni H R, Darvizeh M, Darvizeh A, et al. Effect of forcing frequency on nonlinear dynamic pulse buckling of imperfect rectangular plates with different boundary conditions. Thin-Walled Structures, 2016,107:57～65 18 Parandvar H, Farid M. Nonlinear dynamic response of functionally graded shallow shells under harmonic excitation in thermal environment using finite element method. Composite Structures, 2016,149:351～36119 Reddy J N. Mechanics of laminated composite plates and shells: theory and analysis. CRC Press, 2004Recived 08 October 2016,revised 03 November 2016.*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(11472057)and the Beijing Municipal Education Commission Foundation(KM201711232002).。

实验等截面悬臂梁模态测试实验1. 熟悉模态分析原理；2. 掌握悬臂梁的测试过程。

实验原理1•模态分析根本原理理论上，连续弹性体梁有无限多个自由度， 因此需要无限多个连续模型 才能描述，但是在实际操作中可以将连续弹性体梁分为 n 个集中质量来研究。

简化之后的模型中有n 个集中质量，一般就有n 个自由度，系统的运动方程 是n 个二阶互相耦合〔联立〕的常微分方程。

这就是说梁可以用一种“模态 模型〞来描述其动态响应。

模态分析的实质，是一种坐标转换。

其目的在于把原在物理坐标系统中 描述的响应向量，放到所谓“模态坐标系统〞中来描述。

这一坐标系统的每 一个基向量恰是振动系统的一个特征向量。

也就是说在这个坐标下，振动方 程是一组互无耦合的方程，分别描述振动系统的各阶振动形式，每个坐标均 可单独求解，得到系统的某阶结构参数。

屡次锤击各点，通过仪器记录传感器与力锤的信号，计算得到第1个激 励点与定响应点〔例如点2〕之间的传递函数H i co ，从而得到频率响应函数 pir 2-■ ■m r jc r k r频响函数的任一行包含所有模态参数，而该行的 r 阶模态的频响函数 的 比值，即为r 阶模态的振型。

2•鼓励方法为进行模态分析，首先要测得激振力及相应的响应信号， 进行传递函数 分析。

传递函数分析实质上就是机械导纳，i 和j 两点之间的传递函数表示在 j 点作用单位力时，在实验目的矩阵中的一行H il H i2N ri NH iN 1=7 Y r '「异―r H il吕rH i2rH iN■：2r•ri 点所引起的响应。

要得到i 和j 点之间的传递导纳，只要在j点加一个频率为3的正弦的力信号激振，而在i点测量其引起的响应，就可得到计算传递函数曲线上的一个点。

如果3是连续变化的，分别测得其相应的响应，就可以得到传递函数曲线。

根据模态分析的原理，我们要测得传递函数矩阵中的任一行或任一列，由此可采用不同的测试方法。

间隙约束悬臂梁的振动特性分析间隙约束悬臂梁的振动特性分析文章标题：间隙约束悬臂梁的振动特性分析摘要：采用实验分析的方法，研究间歇约束悬臂梁振动系统在简谐激励下系统稳态响应的动力学行为。

研究结构参数对运动状态分布和运动特征的影响。

对采集到的实验数据进行分析，利用投影相图将其运动形态直观的表达出来，便于观察分析。

关键词：悬臂梁，间歇约束，运动特性1、引言间隙对工程结构的动态行为影响十分复杂。

一方面因间隙碰撞而产生的强烈振动，往往成为许多工程结构失效的元凶，也给传统结构振动分析及其分析结论的实际运用都造成很大困难；另一方面恰当的间隙结构设计能获得十分优良的减振效果，产生了有十分重要应用的冲击消振器。

含间隙的振动系统一般为多参数高维系统，由于碰撞冲击等因素作用造成的非线性和奇异性，使系统的动态行为变得十分复杂，迫切需要人们对其动力学本质有深入的了解。

本文主要采用实验分析的方法进行研究，重点是研究在简谐位移激励下的系统可能存在的响应状态及其转变的规律，探求消减振动的存在条件。

探索运动状态分布和运动特征随结构参数变化的一般规律，为间隙减振结构参数的设计与优化提供依据。

图1实验装置简图2、实验装置2.1、悬臂梁参数：悬臂梁尺寸：900×75×10(mm)理论固有频率：10.1，63.3，177.2，347.3，574.0，857.5，1197Hz2.2、间隙调整装置参数：调整范围：0~2(mm)调整方式：斜面调节和螺旋调节总质量：35(kg)2.3、振动台参数：振动台型号：D300-2频率范围：5~4500(Hz)激振力范围：0~1960(N)运动部质量：35(kg)2.4、测量系统参数加速度传感器：YD-12BA电荷放大器：YE5861数据采集卡：研华PCI17103、实验过程测量时将加速度传感器分别固定在悬臂梁的悬伸端，中点和根部，以测量此三处的加速度相应，波形图可以直接在示波器上进行观察。

应用力学中的非线性振动分析研究随着工程技术的发展，各种机械结构的振动问题变得日益重要。

在机械工程、建筑工程、电力工程等领域，振动问题都是一个不可回避的问题。

我们通过研究、分析和解决振动问题，能够改善机器和建筑的使用寿命，保证机器的精度，同时还能为生产和施工提供更加安全的环境。

因此，研究应用力学中的非线性振动分析具有非常重大的意义。

非线性振动分析是应用力学领域中的重要课题之一，涉及广泛的专业知识，如微分方程、非线性动力学、材料力学等。

在非线性振动中，振动系统将表现出与广义线性系统不同的行为。

例如，系统可能表现出多个共振现象、非线性扰动的对称性破缺、吸引子等非线性特征。

由于这些特点，非线性振动分析的方法和技术也有着很大的不同。

在应用力学中，非线性振动分析的应用非常广泛，例如机械系统中的摆线传动、液压系统中的自激振动、建筑结构中的地震响应等等。

下面我们就来分别了解一下这些领域中的非线性振动分析。

首先，我们来看看机械系统中的摆线传动。

传统的摆线传动中，模块加工精度要求较高，针对摆线传动锁死的研究也比较多，但是对于摆线传动的非线性振动研究却很少。

在非线性情况下，摆线传动的齿轮间隙变化、变形和接触问题都会对系统振动产生显著影响。

因此，非线性振动分析的研究在改善摆线传动的精度、减少噪音和提高传动效率等方面具有非常重要的意义。

其次，我们来看一看液压系统中的自激振动。

液压系统中可能会出现压力和流量的不稳定性，这种不稳定性会形成一种自激振动，这种振动会导致液压系统的工作效率下降、损伤系统和产生噪音等问题。

这时需要进行非线性振动分析，通过研究系统的动态特性，调整液压系统的参数和性能，从而减小系统的自激振动并提高工作效率。

最后，我们来看一看建筑结构中的地震响应问题。

在地震等自然灾害中，建筑结构的振动对人们的生命和财产安全都非常重要。

因此，对于建筑结构的地震响应问题进行非线性振动分析也非常关键。

在地震中，建筑结构可能会发生弹塑性变形，这时系统的动力学性质就会发生变化。