福州市2020届高中毕业班期末质量检测试卷(文科数学)

【试题解析】福建省福州市高三数学上学期期末质量检查试题文第1卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共1 2小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确的选项涂在答题卡的相应位置上．)1．复数i(1+i)(i为虚数单位)等于A．0 B．1+i C．1-i D．-1+i2．已知全集U={a，b，c，d，e}，M={a，c，d}，N={b，d，e}，则( M)∩N等于A．{b} B．{d} C．{b，e} D．{b，d，e}3．如图是某次大赛中，7位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为A．83 B．84 C．85 D．864．“x<2”是“x2-2x<0'”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件离心率为A．132-+B．152+C．352-D．129．已知函数f (x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则函数f (x)的一个单调递增区间是A．（75,1212p p-） B．（7,1212p p--）C．（3,36p p-） D．（1117,1212p p）第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共1 6分，将答案填在答题卡的相应位置上．)13．双曲线：22916x y-=1的渐近线方程为14．如图所示，程序框图的输出值s等于15．“无字证明”(proofs without words)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：16．已知集合M是满足下列条件的函数f (x)八戈)的全体：(1) f (x)既不是奇函数也不是偶函数；(2)函数f (x)有零点．那么在函数①f (x)=|x| + 1 ，②f (x) =2x一1 ，③f (x)=2,2,0,2,2,2,x xxx xì->ïï=íï+<ïî④ f (x) =x2一x一1 + ln x中，属于M的有 (写出所有符合的函数序号)三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)l7．(本小题满分l 2分)已知{a n }是等比数列，a 1=2，且a 1，a 3+1，a 4成等差数列． (I)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若b n =log 2 a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ． 18．(本小题满分12分)’19．(本小题满分1 2分)(I)每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元? (Ⅱ)每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大? 21．(本小题满分1 2分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (一1，1)，P 是动点，且三角形POA 的三边所在直线的斜率满足k OP +k OA =k PA ． (I)求点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且PQ OA l =u u u r u u u r，直线OP 与QA 交于点M ，试探究：点M 的横坐标是否为定值?并说明理由．22．(本小题满分1 4分)已知m ，t ∈R ，函数f (x ) =(x - t)3+m ． (I)当t =1时，(i)若f (1) =1，求函数f (x )的单调区间；(ii)若关于x 的不等式f (x )≥x 3—1在区间[1，2]上有解，求m 的取值范围； (Ⅱ)已知曲线y = f (x )在其图象上的两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2)))( x 1≠x 2)处的切线分别为l 1、l 2．若直线l 1与l 2平行，试探究点A 与点B 的关系，并证明你的结论．数学(文)试卷参考答案三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17．（本小题满分12分）18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）数组(,,)x y z 的所有情形为：（1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（1，2，2），（2，1，1），（2，1，2），（2，2，1），（2，2，2），共8种．答：一共有8种． ························· 5分 注：列出5、6、7种情形，得2分；列出所有情形，得4分；写出所有情形共8种，得1分．（Ⅱ）记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件i A （i =3，4，5，6）， ……6分 易知，事件3A 包含有1个基本事件，事件4A 包含有3个基本事件，事件5A 包含有3个基本事件，事件6A 包含有1个基本事件，所以，由余弦定理得，2222212cos 38238492b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴ 7b =， ···························· 5分 ∴ ABC ∆的周长为38718a b c ++=++=． ············· 6分 （Ⅱ）由正弦定理得，sin sin a bA B=， 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）每套丛书定价为100元时，销售量为150.11005-⨯=万套， 此时每套供货价格为1030325+=元，················· 3分 ∴ 书商所获得的总利润为5(10032)340⨯-=万元． ·········· 4分（Ⅱ）每套丛书售价定为x 元时，由150.10,0,x x ->⎧⎨>⎩得，0150x <<， ··· 5分依题意，单套丛书利润10100(30)30150.1150P x x x x =-+=----············· 7分∴100(150)120150P x x ⎡⎤=--++⎢⎥-⎣⎦，（说明：学生未求出最大值不扣分）． 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设点(,)P x y 为所求轨迹上的任意一点，则由OP OA PA k k k +=得1111y y x x -+=-+， ·························· 2分 整理得轨迹C 的方程为2y x =（0x ≠且1x ≠-），…4分（Ⅱ）（方法一）设22112200(,),(,),(,)P x x Q x x M x y ， 由PQ OA λ=u u u v u u u v可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，故2221211010x x x x --=---，即211x x +=-，…………………6分由O M P 、、三点共线可知，00(,)OM x y =u u u u r 与211(,)OP x x =u u u r共线，∴ 201100x x x y -=，由（Ⅰ）知10x ≠，故001y x x =， ·················· 8分由11x ≠-得012x =-，即点M 的横坐标为定值12-． ·········· 12分 （方法二）设221122(,),(,),P x x Q x x由PQ OA λ=u u u vu u u v可知直线//PQ OA ，则PQ OA k k =，22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(i)因为(1)1f =，所以1m =， ··············· 1分 则()332()1133f x x x x x =-+=-+， 而22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥恒成立，因为[1,2]x ∈时，[]2213333()0,624x x x -=--∈，所以m 的取值范围是[0,)+∞． ···················· 9分B 关于点(,)t m 对称． ·························· 10分对猜想证明如下：因为33223()()33f x x t m x tx t x t m =-+=-+-+ 所以222()3633()f x x tx t x t '=-+=-所以，1l ，2l 的斜率分别为2113()k x t =-，2223()k x t =-． 又直线1l 与2l 平行，所以12k k =，即2212()()x t x t -=-， 因为12x x ≠，所以，12()x t x t -=--， ······················ 12分。

绝密★启用前福建省福州市普通高中2020届高三毕业班下学期第三次质量检测数学(文)试题(解析版)2020年5月（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答,答案无效．3. 考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{|8}U x x =∈N …,集合{1,3,7}A =,则U A =ðA ．{2,4,5,6}B ．{0,2,4,5,6}C ．{2,4,5,6,8}D ．{0,2,4,5,6,8}【命题意图】本小题以集合为载体,考查集合的运算等基础知识,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养,体现基础性．【答案】D ．【解析】解法一：因为{|8}={0,1,2,3,4,5,6,7,8},U x x =∈N …所以{0,2,4,5,6,8}U A =ð,故选D.解法二：因为0,0,0,U A U A ∉∈∴∈ð排除选项A,C ；同理,8,U A ∈ð排除选项B ；故选D.2. 已知纯虚数z 满足(1i)2i z a -=+,则实数a 等于A ．2B ．1C ．1-D ．2-【命题意图】本小题以复数为载体,考查复数的纯虚数概念及复数四则运算等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,考查数学运算核心素养,体现基础性．【答案】A ．【解析】解法一:设i(,z b b =∈R 且0),b ≠则(1i)i i 2i.b b b a -⋅=+=+,a ∈R Q 2,,b a b =⎧∴⎨=⎩2a ∴=,故选A. 故选A.解法二:2i (2i)(1i)22i 1i 222a a a a z +++-+===+-. z Q 为纯虚数,2020a a -=⎧∴⎨+≠⎩，， 2.a ∴= 故选A. 3. 曲线()1e x y x =-在1x =处的切线方程为A ．e e 0x y --=B ．e e 0x y +-=C ．e 10x y +-=D ．e 10x y --=【命题意图】本题以导数的几何意义为载体,考查曲线在某点处的切线等基础知识,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养,体现基础性．【答案】B ．【解析】当1x =时,0y =,由()1e x y x =-得,e x y x '=-,所以该切线的斜率为e -,该切线方程为()e 1y x =--,即e e 0x y +-=.故选B ．4. 执行如图所示的程序框图,则输出的m =A ．1B ． 2C ．3D ．4。

福建省福州市2020届高三上学期期末质量检测数学（文）试题一、单选题1．设复数()=2z i i -，则z =（ ）A B C ．3 D ．5【答案】B【解析】求得后再求模长即可. 【详解】()=221z i i i -=+,故z ==.故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与模长运算等.属于基础题型.2．已知集合{|0A x x =≤或}2x ≥，{}|12B x x =-≤≤，则（ ） A ．A B Ü B ．B A Ü C ．A B =∅I D ．A B R =U【答案】D【解析】根据集合间的关系逐个判断即可. 【详解】集合,A B 并无包含关系,故A,B 均错误.又{|10A B x x =-≤≤I ,或}2x =故C 错误.A B R =U 正确.故选：D. 【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系,属于基础题型.3．执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 分别为4,2，则输出的n =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】根据框图直接循环计算即可. 【详解】根据流程,输入4,2,1n =.6,4,2a b n ===,不满足a b ≤. 9,8,3a b n ===,不满足a b ≤.27,16,42a b n ===,满足a b ≤.输出4n =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了循环框图的应用,属于基础题型.4．某工厂有甲、乙两条流水线同时生产直径为50mm 的零件，各抽取10件进行测量，其结果如下图所示，则以下结论不正确的是（ ）A ．甲流水线生产的零件直径的极差为0.4mmB ．乙流水线生产的零件直径的中位数为50.0mmC ．乙流水线生产的零件直径比甲流水线生产的零件直径稳定D ．甲流水线生产的零件直径的平均值小于乙流水线生产的零件直径的平均值 【答案】D【解析】根据图表逐个选项判断即可. 【详解】对A,甲流水线生产的零件直径的极差为50.249.80.4-=.故A 正确.对B,易得除去3个50.1与3个49.9,剩下的均为50.0.故中位数为50.0mm 正确. 对C,由图表易得, 乙流水线生产的零件直径比甲流水线生产的零件直径稳定.故C 正确. 对D,计算可得甲乙流水线生产的零件直径平均值均为50.0mm .故D 错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据图表判断实际应用的问题.属于基础题型.5．设抛物线22y px =上的三个点()12323,,1,,,32A y B y C y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到该抛物线的焦点距离分别为123,,d d d ．若123,,d d d 的最大值为3，则p 的值为（ ）A ．32B ．2C ．3D ．143【答案】C【解析】根据抛物线的定义直接分析可得33,2C y ⎛⎫⎪⎝⎭到抛物线的焦点距离最大,再根据焦半径公式求解即可.【详解】根据抛物线的定义可得33,2C y ⎛⎫⎪⎝⎭到抛物线的焦点距离最大为3322p +=.故3p =.故选：C 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义性质,属于基础题型. 6．函数2e x y x =的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求导分析函数单调性,并根据函数的正负判断即可. 【详解】2'2(2)x x x y xe x e x x e =+=+,故2e x y x =在(),2-∞-上单调递增,()2,0-上单调递减,()0,∞+上单调递增.且当0x <时2e 0x y x =>. 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数图像的判断,属于中等题型.7．设,x y 满足约束条件330,30,2,x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】画出可行域再判断2z x y =+的最大值即可. 【详解】画出可行域,又22z x y y x z =+⇒=-+,易得在()2,1处取得最大值2215z =⨯+=.故选：D 【点睛】本题主要考查了线性规划的简单运用,属于基础题型.8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（米堆所成的几何体的三视图如图所示）.米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率3π≈，估算出堆放的米约有（ ）A ．20斛B ．21斛C ．22斛D ．23斛【答案】C【解析】根据圆锥的体积求解再换算单位即可. 【详解】由题得该米堆为四分之一的圆锥.故体积118320853292Vπ=⨯⨯⨯⨯≈立方尺.即3202001.62299÷=≈斛.故选：C【点睛】本题主要考查了圆锥体积的运算以及单位的换算等.属于中等题型.9．已知函数()()sinf x xωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x的单调递减区间为（）A．π4π11π4π,,43123k kk⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB．13π5ππ,π,1212k k k⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦ZC．π11π2π,2π,412k k k⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZD．13π3π5π3π,,124124k kk⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦Z【答案】A【解析】根据函数图像直接判断即可.【详解】易得周期T满足37541212Tπππ⎛⎫=--=⎪⎝⎭,故43Tπ=.且图中最高点横坐标7171412412434x T ππππ=-=-⨯=.故一个单调区间为11,,442412T ππππ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 又函数周期为43T π=.故单调递减区间为π4π11π4π,,43123k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数图像的性质运用,在求解根据图像求三角函数单调性的问题上可以直接根据图像求解即可.属于中等题型.10．若2cos21sin2x x =+，则tan x =（ ） A ．1- B ．13C ．1-或13D ．1-或13或3 【答案】C【解析】根据二倍角公式化简求解即可. 【详解】由2cos21sin2x x =+可得()()2222cos sin sin cos x x x x -=+()()sin cos 2cos 2sin sin cos 0x x x x x x ⇒+---=()()sin cos cos 3sin 0x x x x ⇒+-=.故sin cos 0x x +=或cos 3sin 0x x -=. 即tan 1x =-或1tan 3x =. 故选：C 【点睛】本题主要考查了二倍角公式以及同角三角函数的公式等.属于中等题型. 11．已知函数()ln af x x x=+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可.【详解】设切点为()00,x y ,则()21'a f x x x =-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x ay x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a ax x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.12．已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b ＞＞）的左、右焦点分别为12,F F ，若E 上点A 满足122AF AF =，且12F AF ∠的取值范围为2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则E 的离心率的取值范围是（ ） A．B．⎤⎦C ．[]3,5D ．[]7,9【答案】B【解析】根据双曲线的定义以及122AF AF =可得12,AF AF ,再利用12AF F △中的余弦定理列式求范围即可. 【详解】由双曲线的定义有122AF AF a -=,又122AF AF =,故14AF a =,22AF a =. 故()()()()()222221224+225cos 2424a a c a c F AF a a a--∠==⨯⨯.又12F AF ∠的取值范围为2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 故121cos 1,2F AF ⎡⎤∠∈--⎢⎥⎣⎦.即22222515111794242a c e e a ---≤≤-⇒-≤≤-⇒≤≤.故e ⎤∈⎦.故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线的性质与余弦定理的运用，需要根据题意找到对应的余弦定理关系建立关于a ，b ，c 的不等式是关键，属于中等题型.二、填空题13．已知向量,a b r r满足1a b =r r ，a r 与b r 的夹角为30°，则⋅=r r a b ______． 【答案】32【解析】根据平面向量数量积公式求解即可. 【详解】易得31cos302a b ⋅=⨯︒=rr .故答案为：32【点睛】本题主要考查了平面向量数量积公式,属于基础题型.14．已知函数()21,0,2,0.x x f x x x ⎧+=⎨+≤⎩＞若()()10f a f +=，则a =______．【答案】5-【解析】先求(1)f ,再分情况对a 进行讨论再求解即可. 【详解】由题,1(1)213f =+=且()()10f a f +=,故()3f a =-.当0a >时213a +=-无解.当0a ≤时,235a a +=-⇒=-成立. 故答案为：5- 【点睛】本题主要考查了分段函数的运用,属于基础题型.15．在钝角ABC V 中，已知1AB AC ==，若ABC V BC 的长为______．【解析】利用面积公式可求得A ,再用余弦定理求解BC 即可. 【详解】由题意得,11sin sin 22A A =⨯⇒=又钝角ABC V ,当A 为锐角时,cos A ==则2717BC =+-=,即BC =.故A 为钝角.此时cos A ==故27110BC =++=.即BC =【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用,属于中等题型.16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，直线1AC ⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论：①截面形状可能为正三角形； ②截面形状可能为正方形； ③截面形状不可能是正五边形；④截面面积最大值为其中所有正确结论的编号是______． 【答案】①③④【解析】根据题意逐个选项判断即可. 【详解】对①,当α截此正方体所得截面为11B CD 时满足.故①正确.对②,由对称性得,截面形状不可能为正方形.故②错误. 对③,由对称性得截面形状不可能是正五边形,故③正确. 对④,当截面为正六边形时面积最大,为236233⨯⨯=.故④正确.故答案为：①③④ 【点睛】本题主要考查了平面与正方体相交的截面问题,需要一定的空间想象能力,属于中等题型.三、解答题17．垃圾分一分，城市美十分；垃圾分类，人人有责．某市为进一步推进生活垃圾分类工作，调动全民参与的积极性，举办了“垃圾分类游戏挑战赛”．据统计，在为期2个月的活动中，共有640万人次参与．为鼓励市民积极参与活动，市文明办随机抽取200名参与该活动的网友，以他们单次游戏得分作为样本进行分析，由此得到如下频数分布表：（1）根据数据，估计参与活动的网友单次游戏得分的平均值及标准差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（其中标准差的计算结果要求精确到0.01）（2）若要从单次游戏得分在[30,40)、[60,70)、[80,90]的三组参与者中，用分层抽样的方法选取7人进行电话回访，再从这7人中任选2人赠送话费，求此2人单次游戏得分不在同一组内的概率.103.6≈19.24.【答案】（1）平均值60；标准差13.60（2）23【解析】(1)直接根据平均值与标准差的公式求解即可.(2)根据分层抽样设所抽取的人进行编码,再利用枚举法求得所有的基本事件再求概率即可. 【详解】（1）参与该活动的网友单次游戏得分的平均值 ()1351045405560654075308520200x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 60=．标准差s =13.60=≈（2）用分层抽样抽取7人,其中得分在[30,40)的有1人,得分在[60,70)的有4人,得分在[80,90]的有2人,分别记为a ,1234,,,b b b b ,12,c c ,7人中任选2人,有{}1,a b 、{}2,a b 、{}3,a b 、{}4,a b 、{}1,a c 、{}2,a c 、{}12,b b 、{}13,b b 、{}14,b b 、{}11,b c 、{}12,b c 、{}23,b b 、{}24,b b 、{}21,b c 、{}22,b c 、{}34,b b 、{}31,b c 、{}32,b c 、{}41,b c 、{}42,b c 、{}12,c c ，共21种结果，其中2人得分在同一组的有7种,分别是{}12,b b 、{}13,b b 、{}14,b b 、{}23,b b 、{}24,b b 、{}34,b b 、{}12,c c ,故2人得分不在同一组内的概率721213P =-=. 【点睛】本题主要考查用样本估计总体、平均数、标准差、古典概型等基础知识,考查考生运用概率与统计知识解决实际问题的能力、数据处理能力,考查的核心素养主要有数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析．18．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n pn =+，且248,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设14n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2.n a n =（2）n T =1nn + 【解析】(1)利用通项公式与前n 项和的关系求解参数即可. (2)由(1)有2.n a n =故利用裂项相消的方法求n T 即可. 【详解】（1）当1n =时,111a S p ==+当2n ≥时,221[(1)(1)]21n n n a S S n pn n p n n p -=-=+--+-=-+, 经检验,1n =时也满足上式,所以21n a n p =-+． 因为248,,a a a 成等比数列,所以2284a a a =, 即()()()23157p p p ++=+,解得1p =． 所以2.n a n =（2）由（1）及题设得,14111(1)1n n nb a a n n n n +===-⋅++,所以12n n T b b b =++⋅⋅⋅+11111(1)()()2231n n =-+-+⋅⋅⋅+-+111n =-+ =1nn +． 【点睛】本小题考查数列的通项与前n 项和的关系、等比数列、裂项相消法求数列的和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归和转化思想等,考查的核心素养主要有逻辑推理、数学运算等． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点.（1）平面AEF 与平面PBC 是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． （2）若3AB =，F 为线段BC 的三等分点，求多面体PAEFCD 的体积． 【答案】（1）互相垂直，证明见解析（2）334或152. 【解析】(1)证明AE ⊥平面PBC 中的,BC PB 即可.(2)利用多面体PAEFCD 的体积为P ABCD E ABF V V ---,分F 为线段BC 的两个不同的三等分点进行求解即可. 【详解】解法一：（1）平面AEF 与平面PBC 互相垂直, 理由如下：因为PA ⊥底面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以PA BC ⊥．因为ABCD 为正方形,所以AB BC ⊥ 又PA AB A =I ,且,PA AB ⊂平面PAB , 所以BC ⊥平面PAB ．因为AE ⊂平面PAB ,所以AE BC ⊥因为PA AB =,E 为线段PB 的中点,所以AE PB ⊥, 又PB BC B ⋂=,且,PB BC ⊂平面PBC , 所以AE ⊥平面PBC ,因为AE ⊂平面AEF ,所以平面AEF ⊥平面PBC ．（2）因为PA ⊥底面ABCD ,E 为线段PB 的中点,所以点E 到底面ABCD 的距离为12PA =32,则133393P ABCD V -=⨯⨯⨯=,又F 为线段BC 的三等分点,当113BF BC ==时,1133313224E ABF V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,所以多面体PAEFCD 的体积为333944P ABCD E ABF V V ---=-=； 当223BF BC ==时,1133323222E ABF V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,所以多面体PAEFCD 的体积为315922P ABCD E ABF V V ---=-=． 综上,多面体PAEFCD 的体积为334或152. 解法二：（1）平面AEF 与平面PBC 互相垂直, 理由如下：因为PA ⊥底面ABCD ,PA ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥底面ABCD , 又平面PAB ⋂底面ABCD AB =,BC AB ⊥,BC ⊂平面ABCD , 所以BC ⊥平面PAB ．因为AE ⊂平面PAB ,所以AE BC ⊥因为PA AB =,E 为线段PB 的中点,所以AE PB ⊥, 又PB BC B ⋂=,且,PB BC ⊂平面PBC , 所以AE ⊥平面PBC , 因为AE ⊂平面AEF , 所以平面AEF ⊥平面PBC （2）同解法一． 【点睛】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等,考查的数学素养主要有逻辑推理、直观想象等．20．已知圆224:3O x y +=，椭圆2222:1x y C a b+=（0a b ＞＞）的短轴长等于圆O 倍，C的离心率为2． （1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于,A B 两点，且与圆O 相切，证明：OA OB ⊥．【答案】（1）22142x y +=（2）证明见解析【解析】(1)由题分别计算椭圆的基本量,,a b c 即可.(2)分直线斜率不存在与存在两种情况讨论,当直线l 斜率存在时,设其方程为,y kx m =+利用直线与圆相切求得223440m k --=,再联立椭圆方程设交点1122(,),(,),A x y B x y 再得出韦达定理证明OA OB ⋅=u u u r u u u r0即可.【详解】解法一：（1）依题意,圆O因为椭圆的短轴长等于圆O倍,所以2b==解得b=因为C的离心率为2,所以2ca=, ①又因为222a c b-=,所以222a c-=, ②联立①② ,解得24a=,所以C的方程为22142x y+=.（2）证明：①当直线l斜率不存在时, 直线l的方程为x=,或x=当x=时,A B,则4433OA OB⋅=-=u u u r u u u r,故OA OB⊥．同理可证,当x=,OA OB⊥．②当直线l斜率存在时,设其方程为1122,(,),(,),y kx m A x y B x y=+因为直线l与圆相切,=即223440m k--=,由22,142y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得,222(12)4240k x kmx m+++-=,所以()()()2222221681228420k m k m k m∆=-+-=-+＞,且12221224,1224,12kmx xkmx xk⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以1212()()OA OB x x kx m kx m ⋅=+++u u u r u u u r221212(1)()k x x km x x m =++++2222222(1)(24)4(12)12k m k m m k k +--++=+ 22234412k m k--=+ 0=,所以.OA OB ⊥ 综上,.OA OB ⊥ 解法二：（1）同解法一 （2）①当直线方程为3y =时, (A B ,则44033OA OB ⋅=-+=u u u r u u u r ,故.OA OB ⊥同理可证,当直线方程为y =时,.OA OB ⊥ ②当直线l 不与x 轴平行时,设其方程为1122,(,),(,),x ty m A x y B x y =+ 因为直线l 与圆相切,=,即223440.m t --= 由22,142x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得,222(2)240.t y tmy m +++-=所以()()()22222244248240t m t m t m ∆=-+-=-+＞,且12221222,24.2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩1212()()OA OB y y ty m ty m ⋅=+++u u u r u u u r221212(1)()t y y tm y y m =++++2222222(1)(4)2(2)2t m t m m t t +--++=+2223442m t t --=+ 0=,所以,OA OB ⊥． 综上,.OA OB ⊥ 【点睛】本小题考查圆与椭圆的标准方程及其几何性质、直线与圆的位置关系、直线椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化的思想、分类与整合思想等,考查的数学素养主要有逻辑推理、直观想象、数学运算等．21．已知函数()cos 1f x ax x =-在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-．（1）求a 的值；（2）证明：函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有2个零点．【答案】（1）2a =（2）证明见解析【解析】(1)求导后利用0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得导函数的正负与原函数的单调性,1-进行求解即可.(2)求导分析单调性后,根据零点存在定理求解()0,,42f f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的正负即可. 【详解】（1）()()/cos sin f x a x x x =-,因为0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以cos sin 0x x ＞≥,又10x ＞≥, 所以1cos sin x x x ⋅＞,即cos sin 0x x x ->．当0a >时,()/0f x >,所以()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增,所以()max 1166f x f a ππ⎛⎫==⋅-=⎪⎝⎭,解得2a =． 当0a <时,()/0fx <,所以()f x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减,所以()()max 01f x f ==-,不合题意． 当0a =,()1f x =-,不合题意． 综上,2a =.（2）设()cos sin g x x x x =-, 则()/2sin cos 002gx x x x x π⎛⎫=--<<<⎪⎝⎭, 所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,又()010,022g g ππ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭, 所以存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00g x = 当00x x <<时,()0g x >,即()()/20f x g x =>,所以()()00,f x x 在上单调递增；当02x x π<<时,()0g x <,即()()/20f x g x =<,所以()()00,f x x 在上单调递减又()010,10,10442f f f ππ⎛⎫⎛⎫=-<=->=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭与ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上各有一个零点, 综上,函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个零点. 【点睛】本小题主要考查导数及其应用、函数的零点、函数的最值与值域等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等,考查的数学素养主要有逻辑推理、直观想象、数学运算等22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为5,212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．（1）求C 的直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为(， l 与曲线C 的交点为,A B ，求11MA MB +的值． 【答案】（1）22(1)1x y -+=（2【解析】(1)根据极坐标与直角坐标的互化求解即可.(2)设,A B 所对应的参数分别为12,t t ,再联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程,利用参数的几何意义与韦达定理求解即可.【详解】（1）由2cos ρθ=,得22cos ρρθ=．将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得,222x y x +=, 所以C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=．（2）设,A B 所对应的参数分别为12,t t , 因为直线l的参数方程为5,(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 所以M 在l 上把l 的参数方程代入22(1)1x y -+=可得2180,t ++=所以241830∆=-⨯=>,所以1212180t t t t +=-=＞,故11MA MB +=12121212||||||||||||||||||||t t t t MA MB MA MB t t t t +++===⋅. 【点睛】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化,直线和圆的位置关系,以及直线的参数方程的参数的几何意义等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.23．已知函数1()212f x x x =-++的最小值为m ． （1）求m 的值； （2）若,,a b c 为正实数，且a b c m ++=，证明：22213a b c ++≥． 【答案】（1）1m =（2）证明见解析【解析】(1)分12x ≥与12x <两种情况去绝对值进行讨论即可. (2)利用基本不等式证明即可.【详解】（1）根据题意,函数113,,122()21312,,22x x f x x x x x ⎧-≥⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩所以()f x 为在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦单调递减,在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增, 所以min 1()1, 1.2f x f m ⎛⎫=== ⎪⎝⎭即 （2）由(1)知,1m =,所以1,a b c ++=又因为,,a b c 为正实数,222a b ab +≥,222b c bc +≥,222a c ac +≥,所以()()22222a b c ab bc ac ++++≥,即222a b c ab bc ac ++++≥,所以22221()222a b c a b c ab bc ca =++=+++++2223()a b c ++≤, 即22213a b c ++≥． 【点睛】本题考查含有绝对值的函数的最值,基本不等式的应用等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力.考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.。

2020年福州市高中毕业班质量检测数学（文科）试卷（完卷时间：120分钟 满分：150分）（在此卷上答题无效）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页． 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用亳米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数1z i =+，则z zi⋅=（ ） A ．0 B ．2 C ．2i D ．2i - 2．已知集合{}2|4M x x =≤，{|20}N x x =->，则M N ⋂=（ ）A ．{|22}x x -≤<B ．{|02}x x <<C ．{|22}x x -≤≤D ．{|2}x x ≤- 3．已知01m <<，设3a m =，3mb =，3logc m =，则（ ）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >> 4．下列函数中为奇函数的是（ ）A ．sin y x x =B ．xxy e e -=+ C ．1ln lny x x =- D ．ln ,0,ln(),0x x y x x >⎧=⎨--<⎩ 5．在ABC △中，2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则BDDC=（ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．2 6．2021年开始，我省将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生6门科目综合成绩均按比例缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确．．．．．的是（ ）A ．甲的物理成绩领先年级平均分最多B ．甲有2个科目的成绩低于年级平均分C ．甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、历史D ．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果7．如图来自古希腊数学家阿基米德所研究的几何图形．此图形由三个半圆构成，两个小半圆外切，又同时内切于大半圆，三个半圆弧围成曲边三角形（黑色部分），由于其形状很像皮匠用来切割皮料的刀子，又称此图形为“皮匠刀”图形．若2AC CB =，在整个图形中随机取一点，则此点取自曲边三角形（黑色部分）的概率为（ ）A ．29 B ．49 C ．12 D ．598．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的—条渐近线与圆22(4x y +-=交于A ，B 两点，若||2AB =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B C ．2 D ．49．已知()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，且24f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．ω有最小值1 B ．ω有最大值1 C ．ω有最小值3 D ．ω有最大值3 10．我国古代名著《九章算术》中，将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体称之为阳马．已知阳马P ABCD -的顶点都在球O 的表面上，平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AB ⊥平面ABCD ，1AB AD AP ===，则球O 的半径为（ ）A ．12BC ．1 D11．已知两条抛物线2:2C y x =，2:2E y px =（0p >且1p ≠），M 为C 上一点（异于原点O ），直线OM 与E 的另一个交点为N ．若过M 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且ABN △的面积是ABO △面积的3倍．则p =（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2 12．已知α，β是函数1()sin cos 3f x x x =+-在[0,2)π上的两个零点，则cos()αβ-=（ ） A ．1- B ．89- C．2-D ．0 第Ⅱ卷注意事项：用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．已知2()ln f x x x =-，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程为_________．14．设x ，y 满足约束条件220,240,2,x y x y x +-⎧⎪-+≥⎨⎪⎩…„，则3z x y =-的最小值为__________．15．已知三棱锥P ABC -的各棱长均为2，M ，N 分别为BC ，P A 的中点，则异面直线MN 与PC 所成角的大小为__________．16．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC △的面积2228a b c S +-=，D 为线段BC 上一点．若ABD △为等边三角形，则tan DAC ∠的值为___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 为递减的等差数列，1a ，6a 为方程29140x x -+=的两根．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ︒∠=，45ABC ︒∠=，12AB AA ==，P 为1CC 的中点．（1）证明：1AB ⊥平面1PA B ；（2）设E 为BC 的中点，线段1AB 上是否存在一点Q ，使得QE ∥平面11A ACC ？若存在，求四棱锥11Q AA C C -的体积；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1F ，2F 是C 的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且2ABF △的周长为 （1）求C 的方程；（2）若223F A F B ⋅=u u u u r u u u u r，求l 的方程．20．（本小题满分12分）下图是某校某班44名同学的某次考试的物理成绩y 和数学成绩x 的散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A ，B ．经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计量的值：4214641ii x==∑，4213108i i y ==∑，421350350i i i x y ==∑，()422113814.5i i x x=-=∑，()42215250i i y y=-=∑，其中i x ，i y 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,,42i =L ．y 与x 的相关系数0.82r =．（1）若不剔除A 、B 两名考生的数据，用44数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r ，试判断0r 与r 的大小关系，并说明理由；（2）求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B 考生参加了这次物理考试（已知B 考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到个位）．附：回归方程ˆˆˆya bx =+中()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 21．（本小题满分12分）已知函数()(sin cos )e xf x x x x =+-，()f x '为()f x 的导函数． （1）设()()()g x f x f x '=-，求()g x 的单调区间；（2）若0x …，证明：()1f x x -…． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1,x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程；（2）若1C 与曲线2:2sin C ρθ=交于A ，B 两点，求||||OA OB ⋅的值． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1||2|f x x x a =-+-． （1）当3a =时，解不等式()2f x …；（2）若不等式|1|()3x f x -+<的解集非空，求实数a 的取值范围．2020年福州市高中毕业班质量检测 数学（文科）参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．D 2．A 3．A 4．D 5．B 6．C 7．B 8．C 9．A 10．B 11．C 12．B 11．3ABNABO S S =△△，得||3||MN MO =，故3N M My y y -=（*），设直线OM 的方程为y kx =（0k ≠），分别代入22y x =和22y px =，得2M y k =，2N py k=，代入（*）式得|1|3p -=，解得2p =-（舍去）或4p =，所以4p =．12．解法一：依题意，()()0f f αβ==，故1sin cos 3αα+=，由221sin cos ,3sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得29sin 3sin αα-40-=，29cos 3cos 40αα--=且sin cos αα≠，所以sin α，cos α是方程29340x x --=（*）的两个异根．同理可证，sin β，cos β为方程（*）的两个异根．可以得到sin sin αβ≠，理由如下：假设sin sin αβ=，则cos cos αβ=，又,[0,2)αβπ∈，则αβ=，这与已知相悖，故sin sin αβ≠．从而sin α，sin β为方程（*）的两个异根，故4sin sin 9αβ=-．同理可求4cos cos 9αβ=-，所以cos()αβ-=cos cos αα8sin sin 9αβ+=-．解法二：令()0f x =，得1sin cos 3x x +=．令()sin cos g x x x =+，即()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则α，β即为()g x 与直线13y =在[0,2)π上交点的横坐标，由图象可知，524αβπ+=，故52πβα=-，又143πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos()αβ-=5cos 2cos 2324ππααπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos 24πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2812sin 49πα⎛⎫=-++=- ⎪⎝⎭．解法三：依题意，不妨设02βαπ<<…，则点(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ为直线103x y +-=与单位圆的两个交点，如图所示．取AB 中点为H ，则OH AB ⊥，记AOH θ∠=．则22αβπθ-=-，所以，cos()cos(22)αβπθ-=-cos2θ==22cos 1θ-．另一方面，6OH ==，1OA =，故cos 6θ=，从而28cos()2169αβ⎛⎫-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭．二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．13．y x = 14．7- 15．45︒16．8-+16．由题设、三角形面积公式及余弦定理得12cos sin 28ab C ab C =，所以tan C =sin 1cos 2C C =，所以()tan tan 60DAC C ︒∠=-=8==-+三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本题主要考查等差数列、等比数列、一元二次方程等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．满分12分．【解答】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1a ，6a 为方程29140x x -+=的两根，且数列{}n a 为递减的等差数列，所以1672a a =⎧⎨=⎩， 2分所以612716161a a d --===---， 4分 所以1(1)7(1)8n a a n d n n =+-=--=-，即数列{}n a 的通项公式为8n a n =-． 6分（2）由（1）得8n a n =-，所以82nn b n =--， 7分所以数列{}n b 的前n 项和()2[76(8)]222nn S n =+++--+++L L 8分(78)222212n n n +--⨯=-- 11分2115222n n n +-=+-． 12分18．本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、空间几何体的体积等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养．满分12分． 【解答】解法一：（1）证明：在ABC △中，∵90ACB ︒∠=，45ABC ︒∠=，2AB =， 1分∴AC BC ==又直三梭柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，则11A ABB 为正方形，设1A B 交1AB 于点O ，则O 为1AB 的中点，且11A B AB ⊥． 2分 连接P A ，1PB ，PO ，∵侧棱1CC ⊥底面ABC ，P 为1CC 的中点，则PA ==1B P ===故1PA PB =． 3分∴1PO AB ⊥， 4分 ∵1PO A B O ⋂=，且PO ，1A B ⊂平面1PA B ，∴1AB ⊥平面1PA B ． 6分（2）当Q 为1AB 中点，即点Q 与点O 重合时，QE ∥平面11A ACC ． 7分 理出如下：连接1A C ，∵E 为BC 的中点，∴则1QE AC ∥，∵QE ∉平面11AAC C ，1AC ⊂半面11AAC C ， ∴QE ∥平面11AAC C ． 9分 此时，Q 到平面11A ACC 的距离等于B 到平面11A ACC 的距离的一半， 10分 又1111123B A C C ABC A B C V V --=2142323=⨯=， 11分 ∴11111223Q AA C C B AA C C V V --==． 12分 解法二：（1）证明：在ABC △中，∵90ACB ︒∠=，45ABC ︒∠=，2AB =，∴AC BC ==1分又直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，则11A ABB 为正方形，设1A B 交1AB 于点O ，则O 为1AB 的中点，且11A B AB ⊥． 2分 连接1B C 交BP 于F 点，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，∵AC ⊂平面ABC ，∴1AC BB ⊥．又AC BC ⊥，1BC BB B ⋂=，BC ，1BB ⊂平面11BB C C ， ∴AC ⊥平面11BB C C ，∵BP ⊂平面11BB C C ，∴AC BP ⊥， 3分 在矩形11BB C C 中，P 为1CC 的中点，则PB ==1B C ===由11CC BB ∥得1CPF BB F △∽△，∴1112PF CF PC FB FB BB ===，∴PF =，CF =，∴222PF CF PC +=，故1B C PB ⊥， 又AC BP ⊥，1AC B C C ⋂=，AC ，1B C ⊂平面1AB C ，∴BP ⊥平面1AB C ，∵1AB ⊂平面1AB C ，∴1AB BP ⊥． 4分 又11A B AB ⊥，1A B BP B ⋂=，1A B ，BP ⊂平面1PA B ，∴1A B ⊥平面1PA B ． 6分 （2）当Q 为1AB 中点，即点Q 与点O 重合时，QE ∥平面11A ACC ． 7分 理由如下：取AB 中点M ，连接QM ，ME ，又CE BE =，∴ME AC ∥，∵ME ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ，∴ME ∥平面11A ACC ． 8分 同理可得QM ∥平面11A ACC ．又∵ME QM M ⋂=，ME ，QM ⊂平面QME ， ∴平面QME ∥平面11A ACC ， 又∵QE ⊂平面QME ，∴QE ∥平面11A ACC ． 9分此时，Q 到平面11A ACC 的距离等于E 到平面11A ACC 的距离， 10分 在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， ∵BC ⊂平面ABC ，∴1CC BC ⊥，又AC BC ⊥，1AC CC C ⋂=，AC ，1CC ⊂平面11AAC C ，∴BC ⊥平面11AAC C ，∴EC 为四棱锥11Q AA C C -的高，EC =． 11分∴1111Q AA C C E AA C C V V --==11112(23323AA C C S EC ⋅=⨯⨯=． 12分 解法三：（1）证明：在ABC △中， ∵90ACB ︒∠=，45ABC ︒∠=，2AB =，∴AC BC ==1分设1A B 交1AB 于点O ，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，11A ABB 为正方形，∴O 为1AB 中点，且11A B AB ⊥． 2分 连接P A ，1PB ，PO ，∵侧棱1CC ⊥底面ABC ，P 为1CC 的中点，则PA ==1B P ===故1PA PB =． 3分 ∴1PO AB ⊥， 4分 同理可得1PO A B ⊥．又11A B AB O ⋂=，1A B ，1AB ⊂平面11ABB A ，PO ⊥平面11ABB A ． ∵PO ⊂平面1PA B ，∴平面1PA B ⊥平面11ABB A ． 5分 ∵平面1PA B ⋂平面111ABB A A B =，1AB ⊂平面11ABB A ，∴1AB ⊥平面1PA B ． 6分 （2）同解法一． 12分19．本题主要考查椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养．满分12分．【解答】解法一：（1）依题意，a =a = 2分将点⎛⎝⎭代入椭圆方程得，221112a b+=，所以21b =， 4分 所以C 的方程为2212x y +=． 5分 （2）由（1）知1F ，2F 的坐标分别为(1,0)-，(1,0)． 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1x ty =-，代入2212x y +=得，()222210t y ty +--=． 6分 所以()222442880t t t ∆=++=+>，12222t y y t +=+，12212y y t=-+． 7分 因为()()211111,2,F A x y ty y =-=-u u u u r ，()()222221,2,F B x y ty y =-=-u u u u r，所以()()22121222F A F B ty ty y y ⋅=--+u u u u r u u u u r8分()()21212124t y y t y y =+-++222214422t t t t+=--+++ 9分 225142t t --=++， 因为223F A F B ⋅=u u u u r u u u u r，所以225112t t--=-+，即22512t t +=+， 10分解得12t =±， 11分 综上，直线l 的方程为220x y -+=或220x y ++=． 12分 解法二：（1）同解法一． 5分 （2）由（1）知1F ，2F 的坐标分别为(1,0)-，(1,0)． 设()11,A x y ，()22,B x y ，①当AB x ⊥轴时，A ，B的坐标为1,⎛- ⎝⎭，⎛- ⎝⎭，则2272,32F A F B ⎛⎛⋅=-⋅-=≠ ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r ，不满足题意． 6分 ②当AB 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，代入2212x y +=得：()2222124220k x k x k +++-=． 所以()()()22222441222880kk k k ∆=-+-=+>，2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+， 7分 因为()2111,F A x y =-u u u u r ，()2221,F B x y =-u u u u r，所以()()22121211F A F B x x y y ⋅=--+=u u u u r u u u u r()1212121x x x x y y -+++． 8分因为()()121211y y k x k x =++=()212121kx x x x +++，所以()()()()22221212111F A F B k x x k x x ⋅=+++-+u u u u r u u u u r()()2222222241111212k k k k k k ⎛⎫--=+++- ⎪++⎝⎭9分 227112k k-=+． 依题意得：2271312k k -=+， 10分解得24k =，即2k =±． 11分 综上，直线l 的方程为220x y -+=或220x y ++=． 12分 20．本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数据分析、数学运算等数学核心素养．满分12分．【解答】（1）0r r <． 2分 理由如下：由图可知，y 与x 成正相关关系， 3分 ①异常点A ，B 会降低变量间的线性相关程度； 4分 ②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小； ③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数史大； ④42个数据点更贴近其回归直线l ； ⑤44个数据点与其回归直线更离散．（以上理由写出任一个或其它言之有理均可得分）（2）由题中数据可得：4211110.542i i x x ===∑，42117442i i y y ===∑， 5分 ()()42421142iii ii i x x y y x y x y ==--=-=∑∑35035042110.5746916-⨯⨯= 7分所以()()()1216916ˆ0.50113814.5niii ni i x x y y bx x==--==≈-∑∑， 8分ˆˆ740.501110.518.64ay bx =-=-⨯≈， 10分 所以ˆ0.5018.64yx =+， 11分 将125x =代入，得ˆ0.5012518.6462.518.6481y=⨯+=+≈， 所以估计B 同学的物理成绩约为81分． 12分 21．本题主要考查函数与导数及其应用等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．满分12分．【解答】解法一：（1）依题意得，()(1cos sin )(sin cos )x x f x x x e x x x e '=++++- 1分(12sin )x x x e =++． 2分所以()()()(1sin cos )xg x f x f x x x e '=-=++，()(12cos )xg x x e '=+． 3分 令()0g x '>，得1cos 2x >-，解得222233k x k ππππ-+<<+，k ∈Z 令()0g x '<，得1cos 2x <-，解得242233k x k ππππ+<<+，k ∈Z ． 4分 所以()g x 的单调增区间为222,233k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；单调减区间为242,233k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，其中k ∈Z ． 5分（2）要证()1f x x -…，只需证：()10f x x +-…． 设()()1h x f x x =+-，0x …，则()()1(12sin )e 1xh x f x x x ''=-=++-． 6分 记()()(12sin )e 1xt x h x x x '==++-，则()(22sin 2cos )e xt x x x x '=+++． 7分当[0,]x π∈时，sin 0x …，又22cos 0x +…，e 0x >，所以()0t x '…； 8分 当(,)x π∈+∞时，x π>，2sin 2x -…，所以2sin 20x x π+>->，又22cos 0x +…，e 0x>，所以()0t x '…． 9分 综上，当0x …时，()0t x '…恒成立， 所以()t x 在[0,)+∞上递增．所以，()(0)0t x t =…，即()0h x '…， 10分 所以，()h x 在[0,)+∞上递增，则()(0)0h x h =…，证毕． 12分 解法二：（1）同解法一． 5分（2）要证()1f x x -…，只需证()10f x x +-…： 设()()1h x f x x =+-，0x …，则()()1(12sin )e 1xh x f x x x ''=-=++-． 6分[0,]x π∈时，11x +…，sin 0x …，12sin 1x x ++…， 8分(,)x π∈+∞时，11x π+>+，2sin 2x -…，故12sin 121x x π++>+->． 9分综上，当0x …时，12sin 1x x ++>，所以，当0x …时，()e 10xh x '->…． 10分 所以，()h x 在[0,)+∞上递增，则()(0)0h x h =…，证毕． 12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．本题主要考查曲线的参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化，圆的参数方程和圆的极坐标方程等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养．满分10分．【解答】解法一：（1）因为曲线1C的参数方程为1x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），所以1C 的普通方程为22(1)5x y -+=， 2分 即22240x y x +--=， 3分 化为极坐标方程为22cos 40ρρθ--=． 5分 （2）由（1）知，1C 的极坐标方程为22cos 40ρρθ--=， 设()11,A ρθ，()22,B ρθ，联立22sin ,2cos 40ρθρρθ=⎧⎨--=⎩，消去ρ得：2sin sin cos 10θθθ--=， 6分所以2sin cos cos0θθθ--=，解得cos 0θ=或sin cos θθ=-， 7分 由题意可设[0,]θπ∈，所以2πθ=或34πθ=， 8分 所以12sin22πρ==，232sin4πρ== 9分所以||||OA OB ⋅= 10分 解法二：（1）同解法一． 5分（2）由（1）可知1C 的普通方程为22(1)5x y -+=．①2C 的极坐标方程化为直角坐标方程为222x y y +=．② 6分联立方程①②，并解得0x =或1x =-， 8分 即(0,2)A ，(1,1)B -， 9分所以||||OA OB ⋅= 10分 解法三：（1）同解法一． 5分 （2）由（1）知，1C 的极坐标方程为22cos 40ρρθ--=，设()11,A ρθ，()22,B ρθ，且10ρ…，20ρ…， 联立22sin 2cos 40ρθρρθ=⎧⎨--=⎩，，消去θ得：42680ρρ-+=， 8分 所以12ρ=，2ρ=，（或由韦达定理得22128ρρ=） 9分所以12||||OA OB ρρ⋅== 10分23．本题主要考查绝对值不等式和解不等式等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养．满分10分．【解答】（1）当3a =时，()|1||23|f x x x =-+-．当1x <时，1232x x --+≤，解得213x ≤<； 1分 当312x ≤≤时，1232x x --+≤，解得312x ≤≤； 2分 当32x >时，1232x x -+-≤，解得322x <≤． 3分 综上，()2f x ≤的解集为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 5分（2）不等式|1|()3x f x -+<的解集非空，等价于|22||2|3x x a -+-<有解． 6分 因为|22||2||222||2|x x a x x a a -+---+=-…，当且仅当(22)(2)0x x a --≤时取等号， 8分 所以|2|3a -<， 9分 解得15a -<<．所以实数a 的取值范围为(1,5)-． 10分。