知识点一、线面平行1、直线与平面平行的定义按照直线与平面的公共点的个数来划分空间直线与平面的位置关系，其中，当直线与平面没有公共点时，我们说直线与平面平行. 2、直线与平面平行的判定定理文字语言图形语言 符号语言 如果不在一个平面上的一条直线和平面上的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（线线平行⇒线面平行） a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭∥∥注：（1）用该定理判断直线a 和平面α平行时，必须同时具备三个条件： ①直线a 在平面α外；②直线b 在平面α内；③两直线a ，b 平行.（2）证明平行的方法：①平行的传递性；②中位线法；③平行四边形；④比例线段. 3、直线与平面平行的性质定理文字语言图形语言 符号语言 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．（线面平行⇒线线平行） a b a b a ααββ⎫⎪=⇒⎬⎪⊂⎭∩∥∥注：（1）线面平行的性质定理成立的条件有三个：①直线a 与平面α平行；②平面α，β相交于一条直线；③直线a 在平面β内. （2）定理的作用：①线面平行⇒线线平行；②画一条直线与已知直线平行．（3）定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想.第7讲 直线和平面的位置关系知识梳理模块一：线面平行~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~题型一、线面平行【例1】设a 、b 是平面M 外的两条直线，且a ∥M ，那么a ∥b 是b ∥M 的（ ）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．充要 D ．既非充分又非必要【难度】★【例2】如果直线//m 直线n ，且//m 平面α，那么n 与α的位置关系是______． 【难度】★【例3】设a ，b ，c 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列结论中正确的个数为（ ） ①若ab ，bc ，则a c ；②若a α，b α，则ab ；③若a β∥，a α⊂，b αβ=，则a b ；④若ab ，a α，则b α．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★题型二、线面平行的判定【例1】已知l ，m 是两条直线，α是平面，若要得到“l ∥α”，则需要在条件“m ⊂α，l ∥m ”中另外添加的一个条件是________． 【难度】★【例2】线段AB 、BC 、CD 不共面，M 、N 、P 分别为它们的中点，则直线BD 与平面MNP 的位置关系是______．【难度】★例题分析【例3】已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，求证：B 1C ∥平面A 1DC 1．【难度】★★【例4】如图，在正方体1AC 中，点E 为棱11A B 的中点，求证：1A C ∥平面1BEC ．【难度】★★【例5】如果四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点. 求证：MN ∥平面P AD .【难度】★★题型三、线面平行的性质【例1】已知直线a，b和平面α满足a//α，b⊂α，则b与a的位置关系为________．【难度】★【例2】如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.【难度】★★1、直线与平面垂直的定义定义一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α概念直线l叫做平面α的垂线（法线）它们唯一的公共点P叫做垂足图示画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直；注：定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”.2、直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．l al blaba b Pααα⊥⎫⎪⊥⎪⎪⇒⊥⊂⎬⎪⊂⎪=⎪⎭∩模块二：线面垂直~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~知识梳理注：判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直；3、直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言垂直于同一个平面的两条直线互相平行⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b注：（1）该性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．（2）定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据；4、推论及重要结论推论1、过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直； 推论2、过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直． 重要结论：（1）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线． （2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． （3）如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行．5、点到平面的距离（1）过平面α外任意给定的一点P ，有且只有一条直线与平面α垂直；从而把点P 与垂足A 之间的距离叫做点P 到平面α的距离；（2）利用线面平行和线面垂直的性质定理可以证明，如果一条直线l 平行于一个平面α，那么直线l 上任意两点到平面α的距离都相等，从而就可以把直线l 上一点P 到平面α的距离定义为直线l 到与它平行的平面α的距离.PABPQlBA题型一、线面垂直的判定【例1】给定空间中的直线l 及平面α，条件：“直线l 与平面α内无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．既非充分又非必要条件【难度】★【例2】一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的关系是 ． 【难度】★【例3】如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，11A C 与11B D 交于点E ，求证：11A C ⊥平面11BB D D . 【难度】★★【例4】如图，点P 是面ABCD 外一点，底面ABCD 是矩形.已知AB =3，2AD =，2PA =，22PD =，证明:AD ⊥平面PAB .【难度】★★例题分析【例5】如图，已知P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .【难度】★★【例6】如图所示，△ABC 和BCD △所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，120ABC DBC ∠=∠=︒，点E 、F 、G 分别为,,AC DC AD 的中点，求证：EF ⊥平面BCG .【难度】★★【例7】如图，AB 为⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）求证：AN ⊥平面PBM ；（2）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB .【难度】★★【例1】如图：已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝t ，若P A ⊥平面ABCD ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，t 的取值范围是 ． 【难度】★【例2】如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A1DC .求证：MN ∥AD 1. 【难度】★★【例3】如图，正方体1111A B C D ABCD －中，EF 与异面直线AC 、1A D 都垂直相交．求证：1//EF BD . 【难度】★★【例1】若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系是.【难度】★【例2】已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝2，S是△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，5SC=，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离.【难度】★★1. 定义：如图，一条直线P A和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足；过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，垂足为O，连接OA，直线OA叫做斜线l在平面α上的投影（也称射影），线段P A的投影是线段OA.平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．2. 规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面上，称它们所成的角是0°.3. 范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°（或0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦）.4. 线面角的求解步骤知识梳理模块三：线面所成的角~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~（1）作图：作出斜线与射影所成的角；（2）证明：论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）计算：常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）检验：检查求出的角度是否满足线面角的范围．知识点四、三垂线定理平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直.题型一、投影【例1】已知P是△ABC所在平面外一点，若P到△ABC三边距离相等，则点P在平面ABC 上的射影一定是△ABC的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【难度】★【例2】线段AB的长等于它在平面α上射影的2倍，则AB所在的直线和平面α所成的角为（）．A．120︒B．60︒C．45︒D．30︒【难度】★★题型二、线面角【例1】在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图所示，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为．【难度】★★例题分析【例2】在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，求直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为__________．【难度】★★【例3】已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，点,E F 分别是棱BC 和CD 的中点. 求1A E与平面1B FB 所成角的大小.【难度】★★【例4】如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2．（1）求直线1A B 和平面ABCD 所成角的大小；（2）求直线1BD 和平面ABCD 所成角的正切值．【难度】★★题型三、三垂线定理【例1】如图，在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，则其四个面中直角三角形的个数为 .【难度】★★【例2】已知△ABC 所在平面外一点P ，且P A ，PB ，PC 两两垂直，则点P 在平面ABC 内的射影应为△ABC 的 心．【难度】★★1. 已知不重合的直线a ，b 和平面α，下列命题正确的是（ ）A ．若aα，b α⊂，则a b B ．若a α，b α，则a b C ．若ab ，b α⊂，则a α D ．若a α⊥，b α⊥，则ab 【难度】★师生总结 巩固练习2. 如图所示，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线的交点为O ，M 为PB 的中点，给出五个结论：①OM ∥PD ；②OM ∥平面PCD ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA ；⑤OM ∥平面PBC .其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★3. 已知点P 是△ABC 所在平面外一点，且P A ＝PB ＝PC ，则点P 在平面ABC 上的射影一定是△ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心【难度】★4. 若平面α∥平面β，a α⊂，下列说法正确的是_____.（填序号）①a 与β内任一直线平行；②a 与β内无数条直线平行；③a 与β内任一直线不垂直；④a 与β无公共点.【难度】★5. 在正方体1111ABCD A B C D −中，下列四个结论中错误的是（ ）A ．直线1BC 与直线AC 所成的角为60︒B ．直线1BC 与平面1AD C 所成的角为60︒C ．直线1B C 与直线1AD 所成的角为90︒D ．直线1B C 与直线AB 所成的角为90︒【难度】★6. 已知P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，则下列结论中不正确的是（ ）A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CD C ．PD ⊥BD D ．P A ⊥BD【难度】★7. 如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的直线有______条．【难度】★★8. M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN恒与平面ABD平行；②异面直线AC与MN恒垂直．以下判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①为假命题，②为假命题【难度】★★9. 等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30︒，则斜边上的中线CM 与α所成的角为________.【难度】★★10. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点，求证：DE∥平面AB1D1．【难度】★★11. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.【难度】★★12. 如图，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.（1）求证：PC⊥平面AEF；（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.【难度】★★13. 如图，P A⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且P A＝AD，E、F分别是线段P A、CD的中点．（1）求EF和平面P AB所成的角α；（2）求证：EF∥平面PBC．【难度】★★14. 如图，四边形ABCD 是矩形，2AD =，1DC =，AB ⊥平面BCE ，BE EC ⊥，1EC =．点F 为线段BE 的中点．（1）求证：CE ⊥平面ABE ；（2）求证：//DE 平面ACF .【难度】★★15. 如图所示，四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE ＝DA ＝2.（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求AE 与平面BDE 所成的角的大小．【难度】★★1. 如图，四边形EFGH 为四面体ABCD 的一个截面，若四边形EFGH 为平行四边形，AB ＝4，CD ＝6，则四边形EFGH 的周长的取值范围是 ．【难度】★★★2. 在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a （a ＞0），P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝1．若BC 上存在两个不同的点 Q 1、Q 2，使得PQ 1⊥DQ 1，PQ 2⊥DQ 2，则a 的取值范围是 ．【难度】★★★3. 如图，P A ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．（1）求证：MN ∥平面P AD ；（2）若PD 与平面ABCD 所成的角为α，当α为多少度时，MN ⊥平面PCD ?【难度】★★★能力提升【难度】★★★。
直线与平面的概念直线和平面是几何学中的基本概念，它们在数学和物理等领域具有重要的应用。
本文将介绍直线和平面的定义以及它们的性质，以便读者对它们有一个清晰的认识。
一、直线的概念直线是一种没有宽度和厚度的几何对象，它由无限个点组成。
直线上的任意两点可以确定一条唯一的直线段，而直线段可以延伸无限远。
直线也可以用方程来表示，例如在平面直角坐标系中，一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数且A和B不同时为零。
直线具有以下性质：1. 直线上的任意两点可以确定一条唯一的直线段；2. 直线上的任意三点是共线的；3. 直线是无界的，可以延伸无限远；4. 直线上的任意两个相邻点之间的距离是无限小的。
直线在几何学中有广泛的应用，例如在数学中的解析几何中，直线是研究最为基础和基本的对象之一。
此外，在物理学中，直线也常用来描述粒子在空间中的运动路径。
二、平面的概念平面是一个二维几何对象，它是由无限多个点在同一平面内延伸而成的。
平面可以看作是一个无限大的表面，它没有厚度和体积。
平面可以用方程来表示，例如在平面直角坐标系中，一般方程形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是实数且A、B和C不同时为零。
平面具有以下性质：1. 平面上的任意三点不共线；2. 平面上的任意两点之间可以确定一条直线；3. 平面是无限大的，在任何方向上都可以延伸；4. 平面上的任意一点到平面上的任意一点的距离是相等的。
平面是几何学中的重要工具，它可以用来描述许多几何形状，如圆、正方形等。
在物理学中，平面通常用来描述二维物体的运动，例如在力学中的刚体运动。
总结直线和平面是几何学中的基本概念，它们在数学和物理等领域具有广泛的应用。
直线是没有宽度和厚度的几何对象，它由无限个点组成，可以用方程来表示。
平面是一个二维几何对象，由无限多个点在同一平面内延伸而成，同样可以用方程来表示。
直线和平面具有各自的性质，它们在几何学和其他学科中起到重要的作用。
