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空间点、直线、平面之间的位置关系一、基础知识1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎨⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个 平面内(2)异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2. (3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(4)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外，记作l⊄α.(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．二、常用结论1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．3．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．考点一平面的基本性质及应用B1C1D1中，E，F分[典例]如图所示，在正方体ABCD-A别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．[证明](1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF＜CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈DA，∴CE，D1F，DA三线共点．[变透练清]1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析：选D A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．2.(变结论)若本例中平面BB1D1D与A1C交于点M，求证：B，M，D1共线．证明：连接BD1(图略)，因为BD1与A1C均为正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线，故BD1与A1C相交，则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1共线，因为BD1⊂平面BB1D1D，故A1C与平面BB1D1D的交点为O，与M重合，故B，M，D1共线．考点二空间两直线的位置关系[典例](1)(优质试题·郑州模拟)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a ⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是() A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面(2)G，N，M，H分别是下图中正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是________．(填序号)[解析](1)如图，取平面ABCD为α，平面ABFE为β.若直线CH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，BE，此时CD，BE异面，即b，c异面，排除A；若直线GH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，EF，此时CD，EF平行，即b，c平行，排除B；若直线BH为a，则a在α，β内的射影分别为BD，BE，此时BD，BE相交，即b，c 相交，排除C.综上所述选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．[答案](1)D(2)②④[题组训练]1．下列结论中正确的是()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③解析：选B①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②显然正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.2.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确结论的序号为________．解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④[课时跟踪检测]1．(优质试题·衡阳模拟)若直线l与平面α相交，则()A．平面α内存在直线与l异面B．平面α内存在唯一一条直线与l平行C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直D．平面α内的直线与l都相交解析：选A当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析：选A由BC綊AD，AD綊A1D1，知BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，故A1B与EF相交．3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选B.4.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个解析：选D设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．5．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么()A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外解析：选A如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH 相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P 必在直线AC上．6.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．答案：57．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面P AD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD 的交线是________．解析：由题易知EF ∥BC ，BC ∥AD ，所以EF ∥AD ，故EF ∥平面P AD ，因为EF ∥AD ，所以E ，F ，A ，D 四点共面，所以AD 为平面AEF 与平面ABCD 的交线． 答案：平行 AD8.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，有以下四个结论．①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上； ④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．其中正确结论的序号为________．解析：如图所示．连接EH ，FG ，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH ＝12BD ，FG ＝23BD ，故EH ≠FG ，所以EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交，设交点为M .因为点M 在EF 上， 故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上，所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．答案：④9.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点．(1)AM 和CN 是否共面？说明理由；。
2．1．3—2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
【课题】：空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
【教学目标】：
1、知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系；
（2）了解空间中平面与平面的位置关系；
（3）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
（1）引导学生通过观察与类比，加深对这些位置关系的理解、掌握；
（2）引导学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。
【教学重点】：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
【教学难点】：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
【教学突破点】：以长方体等熟悉的几何体为载体,加强培养学生的逻辑推理能力.
【教法、学法设计】：与前面的处理方法一致，通过动手操作以及以长方体为载体，认识直线与平面，平面与平面的位置关系，并引导学生观察教室，形成直观感知，并正确进行归纳抽象，让学生体验获得知识的过程，抓住知识的本质特征。
【课前准备】：课件
【教学过程设计】：。
精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号_
D所成的角，
2
=
3
D
C
P
A
B
解析：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC 连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角 又∵∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，
∴PD=
BC 27, PA=6BC ∴AD=BC 2
31 ∴31
217
cos ==∠AD
PD
PDA ∴AD 与平面PBC 所成角的余弦值为31
217
巩固练习： 1
选择题
（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ）
（A ）（0º,90º） （B ）[0º,90º]
（C ）[0º,180º]
（D ）[0º,180º)
（2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论
中，可能成立的个数是 （ ）
（A ）1个
（B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
（3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ）
（A ）0条或1条 （B ）0条或无数条
（C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条
答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题
（1）设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 .
∵AO OE ⊥ ∴2tan 2AO AEO OE ∠=
= ∴2
arctan 2
AEO ∠= 即二面角A BC D --的大小为2
arctan
2
（3）取AC 的中点E ，连接,EF OF ，则//,//EF AB OE CD ∴OE 与EF 所成的锐角或直角即为异面直线AB 和CD 所成角 易求得45OEF ∠=
即异面直线AB 和CD 所成角为45
例5、设P 是△ABC 所在平面M 外一点，当P 分别满足下列条件时，判断点P 在M 内的射影的位置．
（1）P 到三角形各边的距离相等．
（2）P 到三角形各顶点的距离相等．
（3）PA 、PB 、PC 两两垂直．
解析：设P 在平面M 内的射影是O ．
（1）O 是△ABC 的内心；
（2）O 是△ABC 的外心；
（3）O 是△ABC 的垂心．
例6、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：
（1）A1C⊥平面C1DB于G；
（2）垂足G为正△C1DB的中心；
（3）A1G＝2GC．
解析：（1）连AC，对平面ABCD来说，A1A是垂线，A1C是斜线，AC是A1C在平面ABCD上的射影，因为AC⊥DB（正方形的性质），所以A1C⊥DB．
同理可证A1C⊥BC1．
因为A1C⊥平面C1DB（直线与平面垂直的判定理）
（2）因为A1B＝A1C1＝A1D，所以BG＝GC1＝DG，故G是正△C1DB的外心，正三角形四心合一，所以G是正△C1DB的中心．
（3）在正方体的对角面A1ACC1内，由平面几何可知△A1GC1∽△OGC，且A1C1∶OC＝A1G∶GC，所以A1G∶GC＝2∶1，因此A1G＝2GC．
变式练习：
已知：Rt△ABC在平面α内，PC⊥平面α于C，D为斜边AB的中点，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：
（1）P，D两点间的距离；
（2）P点到斜边AB的距离．
解析：（1）
（2）作PE⊥AB于E，连CE则CE⊥AB．（三垂线定理的逆定理）PE就是P点到AB边的距离．
可用等积式CE·AB＝AC·CB，即斜边上的高与斜边的乘积等于两直角边的乘积．
因CE·AB是Rt△ABC面积的二倍，而AC·CB也是Rt△ABC面积的二倍，所以它们相等；也可用△BCE∽△ABC，对应边成比例推出这个等积式．
注：在求直角三角形斜边上的高时会利用上述的等积式来求斜边上的高．
【课堂小练】
1、过正方形ABCD 的顶点A 作线段A A ′⊥平面ABCD ，若A A ′=AB ，则平面A ′A B 与平面A ′CD 所成的角度是
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
2、在直二面角α- l-β中,直线m ⊂α,直线n ⊂β,且m 、n 均不与l 垂直,则
A. m 与n 不可能垂直,但可能平行
B. m 与n 可能垂直,但不可能平行
C. m 与n 可能垂直,也可能平行
D. m 与n 不可能垂直,也不可能平行
3、设有不同的直线a 、b 和不同的平面α、β、γ,给出下列三个命题:
(1)若//a α,//b α,则//a b .(2)若//a α, //αβ ,则//a β. (3)若αγ⊥, βγ⊥ ,则 //αβ。
其中正确的个数是 A .0 B.1 C.2 D.3
4、一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α、β，则α+β的范围为：
Ａ.0＜α＋β＜π/2 B.α＋β＞π/2 C .0≤α＋β≤π/2 D.0＜α＋β≤π/2
5、若三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心，则
A.各格侧棱长相等
B.各侧棱与底面成等角
C.各侧面与底面线等角 D .每组相对棱互相垂直
6、二面角α- l-β的大小为θ，直线a ⊂α，直线b ⊂β，设a 与b 所成的角为φ，则下面关系中正确的一个是
A. φ＜θ
B. φ＞θ
C. φ=θ D .以上三种关系均有可能
7、如图,等腰直角△ABC ,沿其斜边AB 边上的高CD 对折,使△ACD 与△BCD 所在的平面垂直,此时∠ACB 等于
A.45° B .60° C.90° D.120°
E F C 1
B 1A 1D 1
D A
B C
解析：(1)tg ∠AFE =EF AE =2(2)异面直线AD 与BC 所成的角的余弦值为1030
7、如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，过顶点B 、D 、C 1作截面，则二面角B -DC 1-C 的余弦值是多少?
解析：c os θ＝33
8、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、A 1D 1的中点，求：
（1）D 1B 1与面AC 所成角的余弦值；
（2）EF 与面A 1C 1所成的角； （3）EF 与面AC 所成的角．。
