空间直线和平面总结 知识结构图+例题

专题十二空间直线、平面的平行知识精讲一知识结构图二.学法指导1．空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．2．求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．3．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．4．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、基本事实4等．5.线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论．6.平面与平面平行的判定方法：(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.7.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：8.证明直线与直线平行的方法(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．(2)基本事实4.(3)线面平行的性质定理． (4)面面平行的性质定理． 9. 证明直线与平面平行的方法：(1)线面平行的判定定理．(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．三.知识点贯通知识点1 基本事实4、等角定理的应用1．基本事实4文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 2．等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 例题1.如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，M 1分别是棱AD 和A 1D 1的中点．(1)求证：四边形BB 1M 1M 为平行四边形； (2)求证：∠BMC ＝∠B 1M 1C 1.【解析】 (1)∵ABCD ­A 1B 1C 1D 1为正方体．∴AD ＝A 1D 1，且AD ∥A 1D 1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1.知识点二直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定例题2：如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.【解析】(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.知识点三直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定及性质例题3已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.【证明】如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.知识点四平面与平面平行的判定1．平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(2)符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α.(3)图形语言：如图所示．例题4．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、B、D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.【解析】(1)连接B1D1，∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD且MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊄平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.知识点五平面与平面平行的性质1．平面与平面平行的性质定理(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行．(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.(3)图形语言：如图所示．(4)作用：证明两直线平行．例题5 如图，已知平面α∥平面β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．【解析】 因为AC ∩BD ＝P ，所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ，因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BDBD . 所以BD ＝245.五 易错点分析易错一 等角定理的运用例题5.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝ . 【答案】135°【解析】由等角定理可知β＝135°. 误区警示利用等角定理求角的大小，应注意两角的边的方向之间的关系。

第03讲空间直线、平面的平行(精讲）-1第03讲空间直线、平面的平行（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定角度2：直线与平面平行的性质题型二：平面与平面平行的判定与性质角度1：平面与平面平行的判定角度2：平面与平面平行的性质题型三：平行关系的综合应用第四部分：高考真题感悟知识点一：直线与平面平行1、直线与平面平行的定义直线l 与平面α没有公共点，则称直线l 与平面α平行.2、直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号表述：a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭3、直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：a αP ，a β⊂，b αβ= ⇒a b知识点二：平面与平面平行1、平面与平面平行的定义两个平面没有公共点2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.符号表述：,////,//a b a b P a b ββαβαα⊂⊂⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⎭3、平面与平面平行的性质定理3.1性质定理两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.符号语言////a a bb αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭3.2性质两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面符号语言：,a a αβαβ⊂⇒∥∥（2022·全国·高一课时练习）1．判断正误．（1）若平面//α平面β，l ⊂平面β，m ⊂平面α，则lm ．()（2）夹在两平行平面之间的平行线段相等．()（2022·全国·高一课时练习）2．已知长方体ABCD A B C D -'''',平面α 平面ABCD EF =,平面α 平面A B C D E F ''''''=,则EF 与E F ''的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定（2022·全国·高一课时练习）3．在正方体1111F EFG E G H H -中，下列四对平面彼此平行的一对是A ．平面11E FG 与平面1EGH B ．平面1FHG 与平面11F H G C ．平面11F H H 与平面1FHE D ．平面11E HG 与平面1EH G （2022·全国·高一课时练习）4．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是（）A ．一定平行B ．一定相交C ．平行或相交D ．以上判断都不对（2022·全国·高一课时练习）5．直线a ∥平面α，平面α内有n 条直线交于一点，那么这n 条直线中与直线a 平行的直线（）A ．至少有一条B ．至多有一条C ．有且只有一条D ．不存在（2022·全国·高二课时练习）6．若平面//α平面β，直线a α⊂，则a 与β的位置关系是____________．题型一：直线与平面平行的判定与性质角度1：直线与平面平行的判定典型例题例题1．（2022·四川绵阳·高二期末（理））7．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，2AC =，BC =，4AB =，12AA =，点D 是AB 的中点(1)求证：1//AC 平面1CDB ；(2)求直线1AC 与直线1CB 所成角的余弦值．例题2．（2022·四川凉山·高一期末（文））8．已知直三棱柱ABC A B C '''-中，AA C C ''为正方形，P ，O 分别为AC '，BC 的中点．(1)证明：PO ∥平面ABB A ''；(2)若ABC 是边长为2正三角形，求四面体B AOC '-的体积．题型归类练（2022·四川成都·高一期末（理））9．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面PAB ，点,E F 分别在线段,CB AP 上，且CE EB =，=AF FP ．求证：//EF 平面PCD .（2022·重庆市第七中学校高一期末）10．如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，E 为线段11B C 的中点，F 为正方形11ACC A 对角线的交点．(1)求证：EF ∥面1B AC ；(2)求三棱锥111C B A C -的体积．（2022·河北石家庄·高一期末）11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ==90ACB ∠=︒．12AA =，D 为AB 的中点．(1)求证：1AC ∥平面1B CD ；(2)求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值．（2022·四川南充·高二期末（文））12．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，PD 的中点，且2PA AD ==．(1)求证：AF ∥平面PEC ；(2)求三棱锥C PEF -的体积．角度2：直线与平面平行的性质典型例题例题1．（2022·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）13．如图，四边形ABCD 为长方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，4=AD ，点E 、F 分别为AD 、PC 的中点．设平面PDC 平面PBE l =．(1)证明：//DF 平面PBE ；(2)证明：//DF l ；(3)求三棱锥P BDE -的体积．例题2．（2022·吉林·双辽市第一中学高三期末（文））14．如图，三棱锥-P ABC 中，AC ，BC ，PC 两两垂直，AC BC =，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，ABC 的面积为8，四棱锥P ABFE -的体积为4.（1）若平面PEF 平面=PAB l ，求证：//EF l ；（2）求三棱锥-P ABC 的表面积.题型归类练（2022·重庆巴蜀中学高二期末）15．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面是直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠= ，AC和BD 相交于点N ，面PAC ⊥面ABCD ，22BC AD ==，1CD =，2PA PC ==．在线段PD 上确定一点M ，使得//PB 面ACM ，求此时PM MD 的值.（2022·安徽池州·高一期末）16．在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，BC ⊥平面VAB ，VA VB ⊥，设平面VAB 与平面VCD 的公共直线为l .写出图中与l 平行的直线，并证明。

求证：两条相交直线确定一个平面.思路点拨：公理2用于确定一个平面.证明：如图：已知直线，在上任取与A不重合的一点B，在a上任取与A不重合的一点C，则A、B、C三点不共线，由公理2，A、B、C三点确定一个平面，设为；∵B、A点在直线上，且B、A点在上，由公理1，；同理；∴两条相交直线a、确定一个平面.总结升华：证明点线共面的主要依据：1．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内；2．经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.举一反三：【变式1】已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【答案】如图证明：因为a∥b，由公理2的推论，存在平面，使得，.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.假设，则，在平面内过点C作，因为，则，这与矛盾，故直线.综上述，a、b、c、d四线共面.【变式2】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，求证：直线AB、BC、CA共面.思路点拨：先依据公理2，由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1,证三条直线在平面内.注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证.常根据三条公理，进行“共面”问题的证明.证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面，因为，，所以.同理，.所以AB，BC，CA三直线共面.【变式3】在正方体中，（1）与是否在同一平面内？（2）点B，，D是否在同一平面内？（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线.解：（1）在正方体中，∵，∴由公理2的推论可知，与可确定平面，∴与在同一平面内.（2）∵点B，，D不共线，由公理“过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面”可知，点B，，D可确定平面，∴点B，，D在同一平面内.（3）∵，，∴点O平面，平面，又平面，平面，∴平面平面，同理平面平面.类型二：三点共线问题2．已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD（四条线段首尾相接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形）各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和HG交于点P，如图所示，求证：点B、D、P在同一条直线上．思路点拨：由题设，我们很容易知道B，D在平面ABD和平面CBD交线上，现只需再证明P也在两平面交线上即可．证明：如上图，∵直线EF∩直线HG=P，∴P∈直线EF，而EF平面ABD，∴P∈平面ABD．同理，P∈平面CBD，即点P是平面ABD和平面CBD的公共点．显然，点B、D也是平面ABD和平面CBD的公共点，由公理3知，点B、D、P都在平面ABD和平面CBD的交线上，即点B、D、P在同一条直线上．总结升华：证明三点共线通常采用如下方法：1．首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在交线上．2．选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上．举一反三：【变式1】已知△ABC在平面外，AB∩=P，AC∩=R，BC∩=Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．思路点拨：应用公理3，选择恰当的平面，只要证明点都是某两个平面的公共点，即可推出三点在两个平面的交线上．证明：∵AB∩=P，∴P∈AB，P∈平面．又AB平面ABC，∴P∈平面ABC．∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上．同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上．∴P、Q、R三点共线．总结升华：证明多点共线问题，找出相关的平面与平面的交线，由公理3，说明这些点都在这两个平面的交线上即可．【变式2】如图所示，在正方体中，E、F分别为CC1和AA1上的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．思路点拨：可根据公理3，如果两个平面有一个公共点，它们就有过这点的一条交线，也只有这一条交线；这条直线的位置还需借助于另一个条件来确定．解析：在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈DA．又∵FD1平面BED1F，AD平面ABCD，∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD．又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，∴连接PB，PB即为平面BED1F，与平面ABCD的交线．总结升华：公理3是两个平面相交的性质，它说明两个平面相交，交线是一条直线．要注意理解两个平面不存在只有一个公共点的情形，如果有一个公共点，那么必定有无数多个公共点，且这些点恰好组成一条直线。

空间直线平面的垂直知识点一、知识概述《空间直线平面的垂直知识点》①基本定义：- 直线与平面垂直呢，就是说一条直线和一个平面里头的任意一条直线都垂直。

就好比一根直直的旗杆，它和地面上任何一条过它底部的直线都垂直，这时候就说这根旗杆（直线）和地面（平面）是垂直的。

- 两个平面垂直就是说两个平面相交所成的二面角是直二面角，简单讲这两个平面就像两面墙，它们相交的时候拐的那个角是个直角，那这两个平面就是垂直的关系。

②重要程度：- 在立体几何当中这个非常重要啊。

很多建筑设计、机械结构设计里头都会用到这个知识来确保结构稳定啊。

就拿埃菲尔铁塔来说吧，它的很多钢梁和塔柱之间的关系就要满足空间直线平面垂直关系，这样才能立得住稳稳当当的。

这部分知识是我们理解立体空间结构关系的关键。

③前置知识：- 首先要对平面几何里的直线垂直有清楚的概念，知道直角是什么样的。

另外呢，对于空间基本的点线面关系也要有一定的认识，好比说点在面上啊，线在面内这些基础概念。

④应用价值：- 在实际建筑工程当中确定墙体是否垂直啦，像盖房子的时候工人师傅要保证柱子垂直于地面。

在制作一些复杂的工艺品时，要保证某些部件之间的垂直关系，比如说木质的榫卯结构，如果部件之间不垂直装配就不稳。

在航空航天工程里计算飞行器部件之间的合适角度时，也可能会涉及到这种垂直关系。

二、知识体系①知识图谱：- 这部分知识在立体几何当中位于线面关系、面面关系这些核心板块之中。

就像是身体里的重要关节一样，是理解立体空间结构的重要一环。

它和其他线面关系，比如平行关系是并列对比学习的，构成我们对空间结构关系完整的认识体系。

②关联知识：- 它和空间角的知识联系紧密啊。

比如说直线与平面垂直，那条直线和平面内的直线所成的角就是直角了。

还有就是和向量知识也能挂上钩，通过向量法也能判定直线和平面垂直之类的关系。

③重难点分析：- 掌握难度在于空间想象能力要求比较高。

关键点就是要理解垂直的定义，能够准确判断哪些情况下是真正的垂直。

空间点、直线、平面之间的位置关系题型归纳知识的精讲一、平面的基本性质平面的基本性质如表8-4所示. 表8-4 名称 图形文字语言符号语言公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 A l B l l A B ααα∈⎫⎪∈⎪⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭公理2过不在同一直线上的三点有且只有一个平面 A ,B ,C 不共线⇒A ,B ,C α∈且α是唯一确定的 公理2的推论推论1经过一条直线和该直线外一点有且只有一个平面 若点A α∉,则经过点A 和直线a 有且仅有一个平面α推论2两条相交直线确定一个平面 a b P =⇒有且只有一个平面α，使,a b αα⊂⊂推论3两条平行直线确定一个平面 a ∥b ⇒有且只有一个平面α，使,a b αα⊂⊂ 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 若,P αβ∈则,a αβ=且P a ∈二、空间直线与直线的位置关系 1.位置关系如表8-5所示. 表8-5 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面图形符号 a b P =a ∥b,,a A b A b αα=⊂∉公共点个数 1特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一个平面内3.定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等（同向）或互补（反向）. 三、空间中的直线与平面的位置关系（见表8-6） 位置关系 包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号 l α⊂l P α=l ∥α公共点个数无数个 1四、空间中的平面与平面的位置关系（见表8-7） 表8-7 位置关系 平行相交（但不垂直）垂直图形符号 α∥βl αβ= αβ⊥，l αβ=公共点个数无数个公共点且都在唯一的一条直线上无数个公共点且都在唯一的一条直线上注：垂直是相交（成90o）的特殊情形，异面直线经平移后相交成90o也叫垂直.题型归纳及思路提示题型1证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点” 思路提示要证明“点共面”、“线共面”可先由部分直线活点确定一个平面，再证其余直线或点也在该平面内（即纳入法）；证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线，证明 “线共点”问题是证明三条或三条以上直线交于一点，思路是：先证明两条直线交于一点，再证明交点在第三条直线上.例8.19如图8-73所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，090,BAD FAB ∠=∠=11,.22BCAD BE AF 求证：C ,D ,F ,E 四点共面.分析 证明四点共面，利用平面的确定公理，即两条相交直线确定一个平面，本题可证明DC ,FE 相交与一点.解析 如图8-74所示，延长DC 交AB 的延长线与点G ，由1,2BCAD 得1,2GB GC BC GA GD AD ===延长FE 交AB 的延长线于G ＇，同理可得''1,''2G E G B BE G F G A AF ===故','G B GBG A GA =即G ＇与G 重合，因此，直线CD和EF 相交与点G ，即C ,D ,F ,E 四点共面.变式1 如图8-75所示，已知ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体,点F 在CC 1上，且AE =FC 1,求证E ,B ,F ,D 1四点共面.变式2 如图8-76所示，在六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，上下底面均为正方形，1DD ⊥平面A 1B 1C 1D 1，1DD ⊥平面ABCD .求证：A 1C 1与AC 共面，B 1D 1与BD 共面.例8.20 如图8-77所示，空间四边形ABCD 中，E ,F ,G 分别在AB ,BC ,CD 上，且满足AE ：EB =CF ：FB =2：1，CG ：GD =3：1，过E ,F ,G 的平面交AD 于H ，连接EH ,HG .(1)求AH ：HD ;(2)求证：EH ,FG ,BD 三线共点.解析 （1）因为2AE CFEB FB==，所以EF ∥AC ,又EF ⊄平面ACD ，所以EF ∥平面ACD ，而EF ⊂平面EFGH ，且平面EFGH 平面ACD =GH ,所以EF ∥GH ,而EF ∥AC ,所以AC ∥GH ,所以3AH CGHD GD==，即AH ：HD =3：1. （2）证明：因为EF ∥GH ，且11,34EF GH AC AC ==，所以EF ≠GH ,所以四边形EFGH 为梯形.令EH FG P =，则,,P EH P FG ∈∈，而EH ⊂平面ABD ，FG ⊂平面BCD ，平面ABD 平面BCD =BD ，所以,P BD ∈，故EH ,FG ,BD 三线共点.评注 所谓“线共点”问题就是证明三条或三条以上直线交于一点，证明三线共点的思路为：先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题.变式1 如图8-78所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F 分别是AB ,AA 1的中点.求证：（1）E ,C , D 1,F 四点共面；（2）CE ,D 1F ,DA 三线共点.BF C GHAED图8-77变式2如图8-79所示，点E ,F ,C ,H 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ,BC ,CC 1,C 1D 1的中点，证明：EF ,HG ,DC 三线共点.题型2 截面问题 思路提示截面问题是平面基本性质的具体应用，先由确定平面的条件确定平面，然后做出该截面，并确定该截面的形状.例8.21如图8-80所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ,P ,Q 的平面截该正方体所得截面记为S ,则下列命题正确的是 .（写出所以正确命题的编号）. ①当102CQ <<时，S 为四边形； ②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时，S 与C 1D 1的交点R 满足113C R =；④当314CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S 的面积为62.分析 本题重点考查了截面问题，对于截面问题要利用平面的确定公理作为理论背景，尤其是两条平行直线确定一个平面.解析 对于①②,因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，当12CQ =时，22PQ =，这时过,,A P Q 的截面与正方体表面交与点1D ，且PQ 1AD ，截面S ，如图8-81（a ）所示，15,2AP D Q ==截面S 为等腰梯形，当102CQ <<时，过,,A P Q 三点的截面与正方体表面的交点在棱1DD 上，截面S 为四边形，如图8-81（b ）所示，故①②正确；③如图8-81（c ）所示，当34CQ =时，111,3C R C Q CT QC ==又CT =1，得113C R =；④如图8-81（d ）所示，当45CQ =时，过点,,A P Q 的平面截正方体所得的截面为五边形APQRS ；⑤如图8-81（e ）所示当1CQ =时，则过点,,A P Q 的截面为,,,S A P Q ，其截面为菱形，对角线2,3,SP AQ ==所以S 的面积为1623.22⨯⨯=综上，正确的命题序号是①②③⑤.变式1 如图8-82所示，M 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题：①过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都平行. 其中真命题是（ ）.A .②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③变式2 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 与F ，得四边形1BFD E ，给出下列结论：①四边形1BFD E 有可能是梯形； ②四边形1BFD E 有可能是菱形；③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形1BFD E 有可能垂直与平面11BB D D ； ⑤四边形1BFD E 面积的最小值为62. 其中正确的是（ ）A .①②③④B . ②③④⑤C . ①③④⑤D . ①②④⑤ 题型3 异面直线的判定 思路提示判定空间两条直线是异面直线的方法如下：（1）直接法：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过B 点的直线是异面直线. （2）间接法：平面两条不可能共面（平行，相交）从而得到两线异面.例8.22 一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）. A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交解析 假设a 与b 是异面直线，而c ∥a,则c 显然与b 不平行（否则c ∥b ，则有a ∥b ，矛盾），因此c 与b 可能相交或异面，故选B .评注 判定和证明两条直线是异面直线，常用反证法和定义法.变式1 已知空间三条直线,,l m n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（ ）A. m 与n 异面B. m 与n 相交C. m 与n 平行D. m 与n 异面、相交、平行均有可能 变式2 已知,a b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则,a b 在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确的结论的编号是 （写出所有正确的编号）.变式3 若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则（ ）A. α内的所有直线与l 异面B. α内不存在与l 平行的直线C. α内存在唯一的直线与l 平行D. α内的直线与l 都相交例8.23如图8-83所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一个平面内，M 和N 分别AB 和DF 为的中点，用反证法证明：直线ME 与BN 是异面直线.解析 假设直线ME 与BN 共面，连接,,AN NE EB ,则AB ⊂平面MBEN ,且平面MBEN 与平面交于，由已知，两正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面，故AB ⊄平面DCEF ，又AB ∥CD ，所以AB ∥平面DCEF ，又平面MBEN 平面DCEF EN =，所以AB ∥EN ，又AB ∥CD ∥EF ，所以EF ∥EN ，这与EF EN E =矛盾，故假设不成立，所以直线ME 与BN 不共面，直线ME 与BN 是异面直线.变式1在正方体ABCD A B C D ''''-中，棱,BB C D '''的中点分别是,F H ，如图8-84所示，判断点,,,A D F H '是否共面？并说明理由.最有效训练题1.下列命题正确的是（ ）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.下列四个命题：①若直线,a b 是异面直线，,b c 是异面直线，则,a c 是异面直线；②若直线,a b 相交，,b c 相交，则,a c 相交；③若a ∥b ，则,a b 与c 所成的角相等；④若,a b b c ⊥⊥，则a ∥c ，其中真命题的个数是（ ）A.4B. 3C. 2D. 13.设直线m 与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ） A. 在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B. 过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C. 与直线m 垂直的直线不可能与平面α平行 D. 与直线m 平行的平面不可能与平面α垂直4.平行六面体1111ABCD A B C D -中,既与AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为（ ） A.3 B. 4 C. 5 D. 65.如图8-85所示，M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出下列四个命题： ①过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都平行；其中真命题是（ ）A.②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③6．如图8-86所示，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ） A. AC BD ⊥ B. AC ∥截面PQMNC. AC BD =D.异面直线PM 与BD 所成的角为45图8-867．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与直线1,,AB AD AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作 条8．如图8-87所示，是正方体的表面展开图，,,,E F G H 分别是棱的中点，EF 与GH 在原正方体中的位置关系为9．下列命题中不正确的是 ①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行； ④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面；10．在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于有这4个顶点构成的四面体的以下判断中，所有正确的结论是 （写出所有正确结论的编号） ①能构成每个面都是等边三角形的四面体； ②能构成每个面都是直角三角形的四面体；③能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体；11．如图8-88所示，空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，,G H 分别在,BC CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==（1）求证：,,,E F G H 四点共圆；（2）设EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线12．如图8-89所示，正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11A B ，11B C 的中点，问： （1）AM 和CN 是否为异面直线？说明理由； （2）1D B 和1CC 是否为异面直线？说明理由；。

空间几何中的直线和平面知识点总结直线和平面是空间几何中最基本的几何元素，它们在解决几何问题和应用数学中起到了重要的作用。

本文将对直线和平面的相关知识点进行总结，以便读者更好地理解和应用。

1. 直线的定义和性质直线是由无数个点组成的，它没有长度、宽度和厚度，可以看作是无限延伸的。

直线可以用两点确定，也可以通过斜率和截距的方式表示。

直线具有以下性质：- 直线上的任意两点可以确定一条直线。

- 直线上的任意一点与直线上的任意一点之间的距离是固定的。

- 直线上的相邻两点之间的线段是直线的一部分。

2. 平面的定义和性质平面是由无数个点组成的，它没有厚度，可以看作是无限延伸的。

平面可以用三个不共线的点确定，也可以通过法向量和过点的方式表示。

平面具有以下性质：- 平面上的任意三点不共线，可以确定一个平面。

- 平面上的任意一点与平面上的任意一点之间的距离是固定的。

- 平面上的任意两点之间的线段都在平面内。

3. 直线与平面的关系平面可以与直线相交、平行或重合：- 如果直线与平面相交于一点，则该点同时在直线和平面上。

- 如果直线与平面平行，则直线与平面没有公共点。

- 如果直线在平面上，则直线上所有的点都在平面上。

4. 平行线和垂直线直线之间的关系可以分为平行和垂直：- 如果两条直线在平面上没有公共点，它们互为平行线。

- 如果两条直线的斜率是互为倒数的关系，它们互为垂直线。

- 如果两条直线的斜率相同，但它们不重合，则可以判断它们既不平行也不垂直。

5. 平面之间的关系平面之间的关系可以分为平行和垂直：- 如果两个平面没有公共点，它们互为平行平面。

- 如果两个平面的法向量互为垂直关系，它们互为垂直平面。

6. 直线和平面的交点直线与平面相交于一点，可以使用解方程或者向量的方法求出交点的坐标。

如果直线与平面平行或重合，它们没有交点。

7. 斜线和斜面如果直线不在平面上，即使两者存在交点，也不构成斜线和斜面的关系。

斜线和斜面的定义如下：- 斜线：直线在空间中的投影线与平面的交点为一点。

直线、平面垂直的判定与性质【考纲说明】1、能够认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理。

2、能够运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

【知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质 1、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P 叫做垂足。

（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

即,//a b a b αα⊥⊥⇒.由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。

2、直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角。

一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是00的角。

3、二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

如果记棱为l ，那么两个面分别为αβ、的二面角记作l αβ--.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。

其作用是衡量二面角的大小；范围：000180θ<<.二、平面与平面垂直的判定与性质1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作l l βαβα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭.3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作l m m m lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭I .【经典例题】【例1】（2012浙江文）设l 是直线,a,β是两个不同的平面 （ ） A ．若l ∥a,l ∥β,则a∥β B ．若l ∥a,l ⊥β,则a⊥β C ．若a⊥β,l ⊥a,则l ⊥β D ．若a⊥β,l ∥a,则l ⊥β 【答案】B【解析】利用排除法可得选项B 是正确的,∵l ∥a,l ⊥β,则a⊥β.如选项A:l ∥a,l ∥β时,a⊥β或a∥β;选项C:若a⊥β,l ⊥a,l ∥β或l β⊂;选项D:若若a⊥β,l ⊥a,l ∥β或l ⊥β.【例2】（2012四川文）下列命题正确的是 （ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D 错;故选项C 正确.【例3】（2012山东）已知直线m 、n 及平面α，其中m∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①④C ．①②④D ．②④ 【答案】C【解析】如图1，当直线m 或直线n 在平面α内时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m 、n 到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m 、n 所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.【例4】（2012四川理）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是____________.【答案】90o【解析】方法一:连接D 1M,易得DN⊥A 1D 1,DN⊥D 1M,所以,DN⊥平面A 1MD 1,又A 1M ⊂平面A 1MD 1,所以,DN⊥A 1D 1,故夹角为90o方法二:以D 为原点,分别以DA,DC,DD 1为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2)故,），（），（2,121,2,01-== N MB 1A 1C 1D 1BD C所以,cos<|MA ||DN |111MA DN MA DN •=〉〈，=0,故DN⊥D 1M,所以夹角为90o【例5】（2012大纲理）三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAA CAA ∠=∠=︒,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____________. 【答案】66【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB =+=+-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r,则22221111||()222cos603AB AB AA AB AB AA AA =+=+⋅+=+︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r而1111()()AB BC AB AA AC AA AB ⋅=+⋅+-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【例6】（2011·福建）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________． 【答案】【解析】∵EF∥面AB 1C ，∴EF∥AC .又E 是AD 的中点，∴F 是DC 的中点． ∴EF ＝AC ＝.【例7】（2012年山东文）如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形,,CB CD EC BD =⊥. （1）求证:BE DE =;（2）若∠120BCD =︒,M 为线段AE 的中点, 求证:DM ∥平面BEC .【解析】（1）设BD 中点为O ,连接OC ,OE ,则由BC CD =知CO BD ⊥,又已知CE BD ⊥,所以BD ⊥平面OCE .所以BD OE ⊥,即OE 是BD 的垂直平分线,所以BE DE =.（2）取AB 中点N ,连接,MN DN ,∵M 是AE 的中点,∴MN ∥BE , ∵△ABD 是等边三角形,∴DN AB ⊥.由∠BCD =120°知,∠CBD =30°, 所以∠ABC =60°+30°=90°,即BC AB ⊥,所以ND ∥BC ,所以平面MND ∥平面BEC ,又DM ⊂平面MND ,故DM ∥平面BEC . 另证:延长BC AD ,相交于点F ,连接EF.因为CB=CD,090=∠ABC . 因为△ABD 为正三角形,所以0090,60=∠=∠ABC BAD ,则030=∠AFB ,所以AF AB 21=,又AD AB =, 所以D 是线段AF 的中点,连接DM,又由点M 是线段AE 的中点知EF DM //,而⊄DM 平面BEC ,⊂EF 平面BEC ,故DM ∥平面BEC .【例8】（2011天津）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点． （1）证明：PB∥平面ACM ； （2）证明：AD ⊥平面PAC ；（3）求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值． 【解析】（1）证明：连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB∥MO .因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM ，所以PB∥平面ACM .（2）证明：因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC ，又PO ⊥平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC . （3）取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN∥PO ，且MN ＝PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角，在Rt△DAO 中，AD ＝1，AO ＝，所以DO ＝，从而AN ＝DO ＝.在Rt△ANM 中，tan∠MAN ＝＝＝，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为.【例9】（2012湖南文）如图，在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD. （1）证明:BD⊥PC;（2）若AD=4,BC=2,直线PD 与平面PAC 所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD 的体积. 【解析】（1）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线,所以BD ⊥平面PAC, 而PC ⊂平面PAC,所以BD PC ⊥.（2）设AC 和BD 相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD ⊥平面PAC, 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角,从而DPO ∠30=o . 由BD ⊥平面PAC,PO ⊂平面PAC,知BD PO ⊥. 在Rt POD V 中,由DPO ∠30=o ,得PD=2OD.因为四边形ABCD 为等腰梯形,AC BD ⊥,所以,AOD BOC V V 均为等腰直角三角形, 从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 在等腰三角形AOD 中,2,22,2OD AD == 所以22242, 4.PD OD PA PD AD ===-=故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【例10】（2012新课标理）如图,直三棱柱111ABC A B C -中,112AC BC AA ==,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1 （1）证明:BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小.【解析】（1）在Rt DAC ∆中,AD AC =得:45ADC ︒∠=同理:1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得:111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥ 取11A B 的中点O ,过点O 作OH BD ⊥于点H ,连接11,C O C H1111111AC B C C O A B =⇒⊥,面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥得:点H 与点D 重合且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角设AC a =,则12C O =,111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒【课堂练习】．（2012浙江理）已知矩形ABCD ,AB =1,BC将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中（ ）A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置,使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置,三直线“AC 与BD ”,“AB 与CD ”,“AD 与BC ”均不垂直 ．（2012四川理）下列命题正确的是 （ ）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3．（2011重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( )A ．只有1个B ．恰有3个C ．恰有4个D ．有无穷多个4．（2012上海）已知空间三条直线l ，m ，n 若l 与m 异面,且l 与n 异面,则 （ ） A ．m 与n 异面. B ．m 与n 相交. C ．m 与n 平行. D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能. 5．（2011烟台）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n∥β，m ⊥n ，α•AB•β则α∥β；④若m ⊥α，n∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2011潍坊）已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m∥n ，m ?α，n ?β，则α∥βC ．若m∥n ，m∥α，则n∥αD ．若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β7.（2010全国卷文）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（）A ．30°B．45°C．60°D．90°8.（2010全国卷）正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC1D 所成角的余弦值为（）AB．23D 9.（2010全国Ⅱ卷理）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A ．1B ．2D ．310.（2010全国Ⅰ卷）已知在半径为2的球面上有A ．B ．C ．D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为（）ABC．11.（2010江西理）过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱AB ，AD ，1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12.（2012大纲）已知正方形1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为1BB ,1CC 的中点,那么异面直线AE 与1D F 所成角的余弦值为____.13.（2010上海文）已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是.14.（2010四川卷）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是.15.（江西卷文）长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，2BC =，则A ，B 两点间的球面距离为16.（2010湖南理）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点。