河西区2023-2024学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ .·如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·球体的表面积公式24πS R =，其中R 为球体的半径.·锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高.·球体的体积公式34π3V R =，其中R 为球体的半径.一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}33U x x =∈-<<Z ，{}2,1A =-，{}2,2B =-，则()U A B ⋃=ð（）A.{}2,1,2-B.{}2,0,2- C.{}2,1,0,2-- D.{}2,1,2--2.“2x x ”是“11x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（）A.322xx x x --+ B.2122xxx --+ C.cos 222x xx x -+ D.sin 222x xx -+4.随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温.某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：时间x12345交易量y （万套）0.50.81.01.21.5若y 与x 满足一元线性回归模型，且经验回归方程为ˆˆ0.24yx a =+，则下列说法错误的是（）A.根据表中数据可知，变量y 与x 正相关B.经验回归方程ˆˆ0.24yx a =+中ˆ0.28a =C.可以预测6x =时房屋交易量约为1.72（万套）D.5x =时，残差为0.02-5.已知数列{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a ++++= （）A.()1614n-- B.()1612n-- C.()32143n -- D.()32123n --6.已知2πa =，1e 2b⎛⎫= ⎪⎝⎭，log a b c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.b c a <<B.a b c <<C.c a b<< D.c b a<<7.已知函数()23sin cos (0)2f x x x x ωωωω=+>，若将函数()y f x =的图象平移后能与函数sin 2y x =的图象完全重合，则下列说法正确的是（）A.()f x 的最小正周期为π2B.将()y f x =的图象向右平移π6个单位长度后，得到的函数图象关于y 轴对称C.当()f x 取得最值时，()ππ12x k k =+∈Z D.当ππ,44x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()f x 的值域为1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦8.已知一圆锥内接于球，圆锥的表面积是其底面面积的3倍，则圆锥与球的体积之比是（）A.23B.932C.16D.29.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的焦距为，左､右焦点分别为1F ､2F ，过1F 的直线分别交双曲线左､右两支于A ､B 两点，点C 在x 轴上，23CB F A =，2BF 平分1F BC ∠，则双曲线C 的方程为（）A.2216y x -= B.22134x y -=C.22152x y -= D.22125x y -=第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题，共105分.二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10.i 是虚数单位，复数34i 12i+=-___________.11.()()52x y x y +-的展开式中，33x y 的系数是___________.12.已知抛物线24y x =上的点P 到抛物线的焦点F 的距离为6，则以线段PF 的中点为圆心，PF 为直径的圆被x 轴截得的弦长为___________.13.举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是23，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量X ，则X 的数学期望()E X =___________；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是___________.14.在ABC 中，D 是AC 边的中点，3AB =，60A ∠=︒，5BC CD ⋅=-，则AC =___________；设M 为平面上一点，且()21AM t AB t AC =+- ，其中t ∈R ，则MB MC ⋅的最小值为___________.15.已知函数()244,22,2x x x f x kx k x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，方程()0f x t -=有两个实数解，分别为1x 和2x ，当13t <<时，若存在t 使得124x x +=成立，则k 的取值范围是___________.三､解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()1cos sin a B A +=.（1）求角B 的大小；（2）设b =，2a c -=.（i ）求a 的值；（ii ）求()sin 2A B +的值.17.（本小题满分15分）已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，224AB PA AC ===，N 为AB 上一点且满足3AN NB =，M ，S 分别为PB ，BC 的中点.（1）求证：CM SN ⊥；（2）求直线SN 与平面CMN 所成角的大小；（3）求点P 到平面CMN 的距离.18.（本小题满分15分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n a =+，数列{}n b 为等比数列，且满足12n n n b b ++=，*n ∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求证：221n n n S S S ++<；（3）求()11tan tan nnn n n i aa ab +=⋅+⋅∑的值.19.（本小题满分15分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的上､下顶点为B ､C ，左焦点为F ，定点(P -，PF FC = .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点B 作斜率为k （0k <）的直线l 交椭圆E 于另一点D ，直线l 与x 轴交于点M （M 在B ，D 之间），直线PM 与y 轴交于点N ，若35DMN S = ，求k 的值.20.（本小题满分16分）已知函数()e 1xf x m =-（m ∈R ）()()ln ln e axg x x x=-+（a ∈R ，1a >）.（1）若()f x x，求m 的取值范围；（2）求证：()g x 存在唯一极大值点x ，且01,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭；（3）求证：()()22e e 14xa g x x-+>.河西区2023—2024学年度第二学期高三年级总复习质量调查（一）数学试题参考答案及评分标准一､选择题：每小题5分，满分45分1.C2.A3.C4.D5.C6.A7.D8.B9.A二､填空题：每小题5分，满分30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10.12i+11.1012.413.139；31314.4；31315.()(1-⋃三､解答题16.满分14分.（1）解：由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，()1cos sin a B A +=可化为()sin 1cos sin A B B A +=，sin 0,1cos A B B ≠∴+=，ππ1cos 2sin 1,sin 662B B B B ⎛⎫⎛⎫-=-=∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ0π,,663B B B <<∴-== .（2）（i ）解：由余弦定理，得222cos 2a c b B ac+-=，由π,23b B ac ==-=，得22()22cos a c ac b ac B -+-=，24ac ∴=，解得6,4a c ==.（ii ）解：由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，解得cos ,sin 1414A A =∴==，23313sin22sin cos ,cos22cos 11414A A A A A ∴===-=-，()πππsin 2sin 2sin2cos cos2sin 33314A B A A A ⎛⎫∴+=+=-⎪⎝⎭.17.满分15分.（1）证明：以A 为原点，,,AB AC AP 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()()()0,0,0,4,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,1,2,1,0,1,0,0A B C P M S N ()()2,2,1,1,1,0CM SN =-=--，因为()()()2121100CM SN ⋅=⨯-+-⨯-+⨯=，所以CM SN ⊥.（2）解：设平面CMN 的法向量(),,n x y z =，()1,2,0CN =-，n CM n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y z x y -+=⎧⎨-=⎩，取1y =，得()2,1,2n =-，设直线SN 与平面CMN 所成角为θ，则32sin cos ,232n SN n SN n SN θ⋅===⨯⋅，所以π4θ=，所以直线SN 与平面CMN 所成角的大小为π4.（3）解：设点P 到平面CMN 的距离为(),1,0,2d PN =-，所以2PN nd n⋅== ，所以点P 到平面CMN 的距离为2.18.满分15分.（1）解：由1n n S a =+，得()241n n S a =+①，则()21141n n S a ++=+②，②-①得22111422n n n n n a a a a a +++=-+-，整理得()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++-=+，10,2n n n a a a +>∴-= ，数列{}n a 为等差数列，公差2d =，当1n =时，11a =+，解得11a =，{}n a ∴的通项公式21n a n =-.设等比数列{}n b 的公比为q ，由题意，12232,4b b b b +=+=，23122b b q b b +∴==+，由121122b b b b +=+=，解得123b =，{}n b ∴的通项公式23nn b =.（2）证明：由（1）知2n S n =，()()2224221(2)(1)24110n n n S S S n n n n n ++∴-=+-+=++-<，不等式得证.（3）解：设()11tan tan nn nn i A aa +==⋅∑，()()()()1tan 21tan 21tan tan tan 21tan 211tan2n n n n a a n n ++--⋅=-⋅+=()()tan 21tan 21tan3tan1tan5tan3111tan2tan2tan2n n n A ⎛⎫+----⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()tan 21tan1tan2n n+-=-设()1nn nn i B ab ==⋅∑，则()()1231123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-+-⋅ ，()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯+⋅+-+- ，两式相减，得()3451122222212n n n T n ++-=+++++-- ，()12326n n T n +∴=-+，11212233n n n B T n +⎛⎫∴==-+ ⎪⎝⎭()111tan(21)tan12tan tan 12 2.tan 23nn n n n n n n i n a a a b A B n n ++=+-⎛⎫∴⋅+⋅=+=-+-+ ⎪⎝⎭∑.19.满分15分.（1）解：由题意，PF FC =，则F 为P C ､的中点，01,12P F x x c +==-∴=，0,2P CF C y y y y b +==∴==，2224a b c ∴=+=，椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（2）解：设直线l的方程为y kx =，与椭圆E的方程联立，22143y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222439120k y k +-+-=，222633343,4334D B D B y y y y k k-+==∴=++ ，直䌸l 与x 相交于点M，令0,M y x =∴=-所以直绖PM的徐率为P MP My y x x k-==-，直绕PM的方程为)2y x -=+，令0x =，N y ∴=，由()11sin 213sin 2N DMN NBM B PD D P MD MN DMN y yS y y S y y MB MP BMP ∠∠⋅⋅-⋅⋅===-⋅⋅⋅3335D NN IMN MMI D y yy y S S ⋅⋅⎛⎫⎛⎫∴=⨯-=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，35N D y y ∴⋅=-，即223345k -=-+)2222331345345kkk k +-+⇒=-⇒=-++，2290k ++=，解得k =或2k =-，所以k的值为或2-.20.满分16分.（1）解：由()e 1xf x m x =-≥，可得1ex x m +≥恒成立，令()1e x x F x +=，则()0,0exxF x x -==∴='，当(),0x ∞∈-时，()0F x '>，则()F x 在(),0∞-上单调递增，当()0,x ∞∈+时，()0F x '<，则()F x 在()0,∞+上单调递减，所以()max ()01F x F ==，所以1m ≥，故m 的取值范围是[)1,∞+.（2）证明：由()()ln ln e ax g x x x=-+，则()()21ln ax xg x x'--=，再令()()1ln h x ax x =--，因为()110h x x=--<'在()0,∞+上恒成立，所以()h x 在()0,∞+上单调递减，因为当1a >时，()1110,1ln 0h h a a a ⎛⎫=->=-<⎪⎝⎭，于是存在01,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()0001ln 0h x ax x =--=，即()00ln 1ax x =-，①并且当()00,x x ∈时，()0g x '>，则()g x 在()00,x 上单调递增，当()0,x x ∞∈+时，()0g x '<，则()g x 在()0,x ∞+上单调递减，于是()g x 存在唯一极大值点0x ，且01,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（3）证明：由（1）知，当1m =时，()e 1x f x x =-≥，又21a >，所以()22e1x a a x -≥，于是当0x >时，()2222e e e 1e 44x a a x a x x -+≥+≥，由（2）并结合①得：()()00max 0000000ln 11()ln e ln e ln e 1ax x g x g x x x x x x x -==-+=-+=-+-，易知()0001ln e 1t x x x =-+-在01,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以max 1()ln e 1g x t a a a ⎛⎫<=++-⎪⎝⎭，设()()e ln e 1G a a a a =-++-，其中1a >，因为()1e 10G a a=-->'在1a >时恒成立，所以()G a 在1a >时单调递增，于是()()10G a G >=，从而有e ln e 1a a a >++-，所以原不等式()()22e e 14x a g x x -+>成立.。
