高2021届高2018级高三数学复习资料§7.4空间几何体及其表面积、体积1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形含义由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到两个几何体,一个仍然是棱锥,另一个我们称之为棱台侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等,垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 3概念方法微思考1.如何求旋转体的表面积？提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面积之和.2.如何求不规则几何体的体积？提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形,将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( × ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( × ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.( √ )(4)圆柱的一个底面积为S ,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS .( × )题组二 教材改编2.已知圆锥的表面积等于12π cm 2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.32 cm【参考答案】 B【试题解析】 S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π, ∴r 2＝4,∴r ＝2.3.在如图所示的几何体中,是棱柱的为________.(填写所有正确的序号)【参考答案】 ③⑤ 题组三 易错自纠4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.12π B.323π C.8π D.4π【参考答案】 A【试题解析】 由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线为23即为球的直径,所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π,故选A.5.如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.【参考答案】 1∶47【试题解析】 设长方体的相邻三条棱长分别为a ,b ,c ,它截出棱锥的体积V 1＝13×12×12a ×12b ×12c ＝148abc ,剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc ,所以V 1∶V 2＝1∶47.6.Rt △ABC 的三个顶点都在球O 的球面上,AB ＝AC ＝2,若球心O 到平面ABC 的距离为1,则球O 的半径为________,球O 的表面积为________. 【参考答案】 3 12π【试题解析】 Rt △ABC 中,斜边BC ＝22,∴△ABC 所在截面圆半径r ＝2,又O 到平面ABC的距离为1,可得球O的半径R＝r2＋1＝3,故球O的表面积为12π.空间几何体的结构特征1.(多选)以下命题,不正确的有()A.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D.一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台【参考答案】ABD【试题解析】由圆锥、圆台、圆柱的定义可知A,B错误,C正确.对于命题D,只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,D不正确.2.给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.其中不正确的命题为________.(填序号)【参考答案】①②③【试题解析】对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故①错；对于②,对等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图),故②错；对于③,若底面不是矩形,则③错；对于④,可知侧棱垂直于底面,故④正确.综上,命题①②③不正确.思维升华空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法：紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,根据定义进行判定.(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析.空间几何体的表面积与体积命题点1 空间几何体的表面积例1 (2018·全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( ) A.122π B.12π C.82π D.10π【参考答案】 B【试题解析】 设圆柱的轴截面的边长为x , 则由x 2＝8,得x ＝22,∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B. 命题点2 求简单几何体的体积例2 (1)如图,正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D 为BC 的中点,则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A.3B.32C.1D.32【参考答案】 C 【试题解析】 如题图, 因为△ABC 是正三角形, 且D 为BC 中点,则AD ⊥BC .又因为BB 1⊥平面ABC ,AD ⊂平面ABC ,故BB 1⊥AD ,且BB 1∩BC ＝B ,BB 1,BC ⊂平面BCC 1B 1, 所以AD ⊥平面BCC 1B 1,所以AD 是三棱锥A －B 1DC 1的高. 所以11A B DC V 三棱锥－＝1311B DC S ·AD ＝13×3×3＝1.(2)母线长为1的圆锥,其侧面展开图的面积为π2,则该圆锥的体积为________.【参考答案】324π 【试题解析】 设圆锥底面圆的半径为r ,高为h ,圆锥的侧面积S ＝πrl ＝π2,解得r ＝12,从圆锥的轴截面图中可得h ＝32,所以圆锥的体积 V ＝13πr 2h ＝13π×14×32＝324π. 思维升华 空间几何体表面积、体积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解.跟踪训练1 如图,直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2,D 为棱B 1C 1上任意一点,则三棱锥D －A 1BC 的体积是______.【参考答案】233【试题解析】 111D A BC B A BC V V －－＝ ＝11A B BC V －＝13×1B BC S ×3＝233. 与球有关的切、接问题例3 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB ＝3,AC ＝4,AB ⊥AC ,AA 1＝12,则球O 的半径为( ) A.3172 B.210 C.132 D.310【参考答案】 C【试题解析】 如图所示,由球心作平面ABC 的垂线,则垂足为BC 的中点M . 又AM ＝12BC ＝52,OM ＝12AA 1＝6,所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝⎛⎭⎫522＋62＝132. 本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是32的正四棱锥”,则其外接球的半径是多少？解 依题意,得该正四棱锥底面对角线的长为32×2＝6,高为(32)2－⎝⎛⎭⎫12×62＝3,因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心,其外接球的半径为3.此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 正四面体棱长为a ,则正四面体表面积为S 1＝4×34·a 2＝3a 2,其内切球半径r 为正四面体高的14,即r ＝14·63a ＝612a ,因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26,则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π.思维升华 “切”“接”问题的处理规律 (1)“切”的处理首先要找准切点,通过作过球心的截面来解决. (2)“接”的处理抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.跟踪训练2 (2018·全国Ⅲ)设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为93,则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( ) A.12 3 B.18 3 C.24 3 D.54 3 【参考答案】 B【试题解析】 由等边△ABC 的面积为93,可得34AB 2＝93, 所以AB ＝6,所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3. 设球的半径为R ,球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ,则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2. 所以三棱锥D －ABC 高的最大值为2＋4＝6,所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.1.将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括( ) A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱 C.两个圆柱、一个圆台 D.一个圆柱、两个圆锥【参考答案】 D【试题解析】 从较短的底边的端点向另一底边作垂线,两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形,一个矩形,所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱,两个圆锥所组成的几何体,如图.2.(2020·徐州模拟)用长为8,宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱,则圆柱的轴截面的面积为( )A.32B.32πC.16πD.8π【参考答案】 B【试题解析】 若8为底面周长,则圆柱的高为4,此时圆柱的底面直径为8π,其轴截面的面积为32π；若4为底面周长,则圆柱的高为8,此时圆柱的底面直径为4π,其轴截面的面积为32π. 3.(2019·辽宁部分重点中学协作体模拟)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水,将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时,指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( ) A.圆面 B.矩形面C.梯形面D.椭圆面或部分椭圆面【参考答案】 C【试题解析】 将圆柱桶竖放,水面为圆面；将圆柱桶斜放,水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置,水面为矩形面,所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面,故选C.4.棱长为a 的正四面体的表面积是( ) A.36a 2 B.312a 2 C.34a 2 D.3a 2 【参考答案】 D【试题解析】 棱长为a 的正四面体的四个面都是正三角形,正四面体的表面积是4×34a 2＝3a 2.5.(2019·江西重点中学联考)《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典著,其中记载有求“囷盖”的术：置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出圆锥的底面周长l 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ＝136l 2h ,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3,那么,近似公式V ≈25942l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取( )A.227B.258C.15750D.355113 【参考答案】 C【试题解析】 V ＝13πr 2h ＝13π×⎝⎛⎭⎫l 2π2h ＝112πl 2h ,由112π≈25942,得π≈15750,故选C. 6.用一个平面去截正方体,则截面不可能是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.正方形 D.正六边形【参考答案】 A【试题解析】 用一个平面去截正方体,则截面的情况为：①截面为三角形时,可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时,可以是梯形(等腰梯形)、平行四边形、菱形、矩形,但不可能是直角梯形； ③截面为五边形时,不可能是正五边形； ④截面为六边形时,可以是正六边形.7.(多选)将正三棱锥P －ABC 置于水平反射镜面上,得一“倒影三棱锥”P －ABC －Q ,如图.下列关于该“倒影三棱锥”的说法中,正确的有( )A.PQ ⊥平面ABCB.若P ,A ,B ,C 在同一球面上,则Q 也在该球面上C.若该“倒影三棱锥”存在外接球,则AB ＝2P AD.若AB ＝62P A ,则PQ 的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心 【参考答案】 AD【试题解析】由“倒影三棱锥”的几何特征可知PQ⊥平面ABC,A正确；当P,A,B,C在同一球面上时,若△ABC的外接圆不是球的最大圆,则点Q不在该球面上,B错误；若该“倒影三棱锥”存在外接球,则三棱锥P－ABC的外接球的半径与等边三角形ABC外接圆的半径相等,设其为R,则AB＝3R,P A＝2R,则AB＝62P A,C错误；由C的推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为△ABC的中心,即PQ的中点,D正确,故选AD.8.(多选)如图,正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝1,则当E,F移动时,下列结论正确的是()A.AE∥平面C1BDB.四面体ACEF的体积不为定值C.三棱锥A－BEF的体积为定值D.四面体ACDF的体积为定值【参考答案】ACD【试题解析】对于A,如图1,AB1∥DC1,易证AB1∥平面C1BD,同理AD1∥平面C1BD,且AB1∩AD1＝A,AB1,AD1⊂平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面C1BD,又AE⊂平面AB1D1,所以AE∥平面C1BD,A正确.对于B,如图2,S△AEF＝12×1×(32)2－⎝⎛⎭⎫3222＝364,点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值,所以V A－CEF＝V C－AEF＝13×364×d＝64d为定值,所以B错误；对于C,如图3,S△BEF＝12×1×3＝32,点A到平面BEF的距离为A到平面BB1D1D的距离d′为定值,所以V A－BEF＝13×32×d′＝12d′为定值,C正确；对于D,如图4,四面体ACDF的体积为V A－CDF＝V F－ACD＝13×12×3×3×3＝92为定值,D正确.9.给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体.其中正确命题的序号是________.【参考答案】②③④【试题解析】①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等；②正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；③正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面；④正确,如图,正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC,四个面都是直角三角形.10.(2020·武汉模拟)已知四面体ABCD中,AB＝AD＝BC＝DC＝BD＝5,AC＝8,则四面体ABCD 的体积为________.【参考答案】1011 3【试题解析】取BD中点O,AC中点E,连结AO,CO,OE,∵四面体ABCD中,AB＝AD＝BC＝DC＝BD＝5,AC＝8,∴AO ⊥BD ,CO ⊥BD ,AO ＝CO ＝25－254＝532,∴OE ⊥AC . 又AO ∩CO ＝O ,∴BD ⊥平面AOC ,∴S △AOC ＝12×8×754－16＝211, V A －BCD ＝2V B －AOC ＝2×13×52×211＝10113. 11.若圆锥的表面积是15π,侧面展开图的圆心角是60°,求圆锥的体积.解 设圆锥的底面半径为r ,母线为l ,则2πr ＝13πl ,得l ＝6r . 又S 圆锥＝πr 2＋πr ·6r ＝7πr 2＝15π,得r ＝157, 则圆锥的高h ＝l 2－r 2＝36r 2－r 2＝35·r＝35·157＝53, 所以圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13π×157×53＝2537π. 12.若E ,F 是三棱柱ABC －A 1B 1C 1侧棱BB 1和CC 1上的点,且B 1E ＝CF ,三棱柱的体积为m ,求四棱锥A －BEFC 的体积.解 如图所示,连结AB 1,AC 1.因为B 1E ＝CF ,所以梯形BEFC 的面积等于梯形B 1EFC 1的面积.又四棱锥A －BEFC 的高与四棱锥A －B 1EFC 1的高相等,所以V A －BEFC ＝11A B EFC V －＝1211A BB C C V －. 又111A A B C V －＝13111A B C S ·AA 1,111ABC A B C V －＝111A B C S ·AA 1＝m ,所以111A A B C V －＝m 3, 所以11A BB C C V －＝111ABC A B C V －－111A A B C V －＝2m 3,所以V A －BEFC ＝12×2m 3＝m 3, 即四棱锥A －BEFC 的体积是m 3.13.(多选)如图,直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AA 1＝2,AB ＝BC ＝1,∠ABC ＝90°,外接球的球心为O ,点E 是侧棱BB 1上的一个动点.下列判断中正确的是( )A.直线AC 与直线C 1E 是异面直线B.A 1E 一定不垂直AC 1C.三棱锥E －AA 1O 的体积为定值D.AE ＋EC 1的最小值为2 2【参考答案】 ACD【试题解析】 如图,∵直线AC 经过平面BCC 1B 1内的点C ,而直线C 1E 在平面BCC 1B 1内且不过点C ,∴直线AC 与直线C 1E 是异面直线,故A 正确；假设BB 1上存在点E ,使A 1E ⊥AB 1,连结AB 1,交A 1E 于点F ,又B 1C 1⊥A 1E ,AB 1∩B 1C ＝B 1,AB 1,B 1C ⊂平面AB 1C 1,又AC 1⊂平面AB 1C 1,∴A 1E ⊥AC 1.由题意知AB 1＝5,A 1F ＝255,B 1F ＝55,AF ＝455,∵BB 1∥AA 1,∴△B 1FE ∽△AF A 1,则B 1E AA 1＝AF B 1F, ∴B 1E ＝12,即BB 1上存在点E ,且B 1E ＝12时,A 1E ⊥AC 1； 由题意知,直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球的球心为O ,则O 是AC 1 与A 1C 的交点, 则△AA 1O 的面积为定值,由BB 1∥平面AA 1C 1C ,∴E 到平面AA 1O 的距离为定值,∴三棱锥E －AA 1O 的体积为定值,故C 正确；将直三棱柱侧面展开可知,AE ＋EC 1的最小值为侧面展开图中AC 1的长度,AC 1＝22,即AE ＋EC 1的最小值为22,故D 正确. 故选ACD.14.如图,一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处.若该小虫爬行的最短路程为4 2 m,则圆锥底面圆的半径等于________ m.【参考答案】 1【试题解析】 把圆锥侧面沿过点P 的母线展开成如图所示的扇形,由题意OP ＝4 m,PP ′＝4 2 m,则cos ∠POP ′＝42＋42－(42)22×4×4＝0,且∠POP ′是三角形的内角, 所以∠POP ′＝π2. 设底面圆的半径为r m,则2πr ＝π2×4,所以r ＝1.15.(2019·唐山质检)已知过球面上A ,B ,C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB ＝18,BC ＝24,AC ＝30,求球的表面积和体积.解 因为AB ∶BC ∶AC ＝18∶24∶30＝3∶4∶5,所以△ABC 是直角三角形,∠B ＝90°.又球心O 在截面△ABC 上的投影O ′为截面圆的圆心,也即是Rt △ABC 的外接圆的圆心,所以斜边AC 为截面圆O ′的直径(如图所示),设O ′C ＝r ,OC ＝R ,则球半径为R ,截面圆半径为r ,在Rt △O ′CO 中,由题设知sin ∠O ′CO ＝OO ′OC ＝12, 所以∠O ′CO ＝30°,所以r R ＝cos 30°＝32, 即R ＝23r ,(*) 又2r ＝AC ＝30⇒r ＝15,代入(*)得R ＝10 3.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×(103)2＝1 200π.球的体积为V ＝43πR 3 ＝43π×(103)3＝4 0003π. 16.如图,△ABC 内接于圆O ,AB 是圆O 的直径,四边形DCBE 为平行四边形,DC ⊥平面ABC ,AB ＝4,EB ＝2 3.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)设AC ＝x ,V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积,求函数V (x )的解析式及最大值.(1)证明 ∵四边形DCBE 为平行四边形,∴CD ∥BE ,BC ∥DE .∵DC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,∴DC ⊥BC .∵AB 是圆O 的直径,∴BC ⊥AC ,又DC ∩AC ＝C ,DC ,AC ⊂平面ADC ,∴BC ⊥平面ADC .∵DE ∥BC ,∴DE ⊥平面ADC .(2)解 ∵DC ⊥平面ABC ,DC ∥BE ,∴BE ⊥平面ABC .在Rt △ABE 中,AB ＝4,EB ＝2 3.在Rt △ABC 中,∵AC ＝x ,∴BC ＝16－x 2(0<x <4),∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12x ·16－x 2, ∴V (x )＝V 三棱锥E －ABC＝33x ·16－x 2＝33x 2(16－x 2)(0<x <4). ∵x 2(16－x 2)≤⎝⎛⎭⎫x 2＋16－x 222＝64,当且仅当x 2＝16－x 2,即x ＝22时取等号,∴当x ＝22时,体积有最大值833.。
