第一轮复习数列数列基本性质的应用

2021

第三节 等比数列及其前n项和

［最新考纲］ ［考情分析］ ［核心素养]

1.理解等比数列的概念。

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

3.了解等比数列与指数函数的关系。 等比数列的基本运算,等比数列的判断与证明,等比数列的性质与应用仍是2021年高考考查的热点，三种题型都有可能出现，分值为5~12分. 1.数学运算

2.逻辑推理

‖知识梳理‖

1．等比数列的有关概念

(1)定义

①文字语言：从错误!第2项起，每一项与它的前一项的错误!比都等于错误!同一个常数．

②符号语言：错误!错误!＝q（n∈N*，q为非零常数)．

（2）等比中项：如果a，G,b成等比数列，那么错误!G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝6ab． 2021

2．等比数列的有关公式

(1）通项公式：an＝错误!a1qn－1．

（2)前n项和公式

3．等比数列的性质

（1）通项公式的推广:an＝am·qn－m（m，n∈N＊）．

（2）对任意的正整数m,n，p，q，若m＋n＝p＋q，则错误!am·an＝错误!ap·aq．

特别地，若m＋n＝2p,则am·an＝a2p.

(3）若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm,S3m－S2m仍成等比数列，即（S2m－Sm)2＝13Sm（S3m－S2m）（m∈N＊，公比q≠1）．

(4）数列｛an｝是等比数列，则数列｛pan}(p≠0，p是常数)也是错误!等比数列．

(5)在等比数列{an｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k,an＋2k，an＋3k，…为等比数列,公比为错误!qk．

►常用结论

1．若｛an｝，｛bn}（项数相同)是等比数列，则{λan｝（λ≠0),错误!，{a2，n}，{an·bn｝,错误!仍是等比数列．

2．一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比2021

是原公比的k次幂．

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张喜林制

[选取日期]

2015年高考一轮复习热点难点精讲精析：

5.2数列综合应用

一、数列求和

（一）分组转化求和

※相关链接※

1、数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之；

2、常见类型及方法

(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；

(2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解；

(3)an＝bn±cn或nnnbnacn为奇数，为偶数

数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和.

注：应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值。

※例题解析※

【例】(1)已知数列: ,(),(),,(),,n11111111111224242则其前n项和Sn=__________.

(2)已知nn25n1na2n为奇数为偶数

①求数列{an}的前10项和S10;

②求数列{an}的前2k项和S2k.

【方法诠释】(1)先求数列的通项公式，再根据通项公式分组求和.

(2)把奇数项和偶数项分开求和. 2 / 13

解析：(1)∵(),nnn1n11111112a121242212

().nn2n1n11111112S2n12n2n21222212

答案: n112n22

(2)①S10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25)

().55646212192212

②由题意知,数列{an}的前2k项中,k个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k个偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列.

∴S2k=［6+16+„+(10k-4)］+(2+22+„+2k)

().k2k1k610k42125kk22212［］

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年 级 高三 学 科 数学 版 本 人教实验B版（文）

内容标题 数列求和的几种方法、数列的实际应用问题（文）

编稿老师 葛爱菊

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

数列求和的几种方法、数列的实际应用问题

二. 教学难点：

数列的实际应用问题

三. 课标要求：

1. 探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法；

2. 能在具体的问题情境中，发现数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题．

四. 命题走向：

数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考查考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目．

有关命题趋势：

1. 数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点；

2. 数列推理题将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考查学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；

3. 数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等；

4. 有关数列的应用问题也一直备受关注．

【教学过程】

一、基本知识回顾

1. 数列求通项与和

（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝11sssnn 12nn．

（2）求通项常用方法

①作新数列法．作等差数列与等比数列．

②累差叠加法．最基本的形式是：an＝（an－an－1）＋（an－1＋an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1．

③归纳、猜想法．

（3）数列前n项和

①重要公式：等差和等比数列的求和公式

1＋2＋…＋n＝21n（n＋1）；

1 数列的复习

【知识整理】：

一 、等差数列

1.等差数列的通项公式：①an＝a1＋____×d

②（推广公式）an＝am＋______×d

注意：数列na是等差数列的充要条件是此数列的通项公式为qpnan，其中p,q为常数，特别地，数列na是公差不为0的等差数列的充要条件是此数列的通项公式为qpnan，其中p,q为常数，且0p.

2、等差中项

如果bAa，，成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.

注意：①b是a、c的等差中项的充要条件是a，b，c成等差数列；②若a，b，c成等差数列，那么cbbabcabcabcab；；；22都是等价的；③若数列na是等差数列，则Nnnaaaannnn,211，整理得211nnnaaa.

3、等差数列的性质

na是等差数列，d为公差.

（1）1123121,knknnnnaaaaaaaaaa即

（2）若m, n, p, q∈N*，若m＋n＝p＋q，则_________________

若m, n, p∈N*，若m＋n＝2p，则__________________

（3）mnaaddmnaamnmn （m, n, ∈N*，且m≠ n）.

（4）序号成等差数列的项又组成一个等差数列，即,,,2mkmkkaaa仍成等差数列，公差为Nmkmd,.

（5）若nnba，都是等差数列，则数列2121,,,,,(bkcbababakacannnnnnn，，，，均为常数)也是等差数列.

（6）连续三个或三个以上k项和依次组成一个等差数列，即)2(,,,232NkkSSSSSkkkkk且成等差数列，公差为dk2.

（7）①当项数为奇数12n项时，其中有1n个奇数项，n个偶数项. 2 1-naSS偶奇；112nanSS偶奇；