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2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、 新知探究（一） 等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数 组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时 叫做 和 的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二） 等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列 是等差数列, 公差为 .若 >0,则是 递增数列；若 <0,则 是递减数列；若 =0,则 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式 得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列 中, 若 ,则 一定成立吗?特别地, ,则 成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。
第2课时等差数列的性质学习目标 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题.知识点一等差数列的性质思考还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？答案利用1＋100＝2＋99＝….在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….梳理在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.m＋n＝2p，则a n＋a m＝2a p.知识点二由等差数列衍生的新数列思考若{a n}是公差为d的等差数列，那么{a n＋a n＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？答案∵(a n＋1＋a n＋3)－(a n＋a n＋2)＝(a n＋1－a n)＋(a n＋3－a n＋2)＝d＋d＝2d.∴{a n＋a n＋2}是公差为2d的等差数列.梳理若{a n}，{b n}分别是公差为d，d′的等差数列，则有1.已知等差数列任意两项求公差的实质是已知直线上任意两点求斜率.(√)2.等差数列{a n }中，若l ，m ，n ，p ，q ，r ∈N *，且l ＋m ＋n ＝p ＋q ＋r ，则a l ＋a m ＋a n ＝a p ＋a q ＋a r .(√)3.等差数列{a n }中，若m ＋n 为偶数，且m ，n ∈N *，则a m ＋a n2＝2m n a +.(√)类型一 等差数列推广通项公式的应用例1 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式. 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题解 因为a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2. 又因为a n ＝a 2＋(n －2)d ，所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1. 反思与感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.跟踪训练1 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( )A.0B.3C.8D.11考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 B解析 ∵{b n }为等差数列，设其公差为d ， 则d ＝b 10－b 310－3＝12－(－2)7＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8.∴a 8＝(a 8－a 7)＋(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝b 7＋b 6＋…＋b 1＋a 1＝(b 7＋b 1)＋(b 6＋b 2)＋(b 5＋b 3)＋b 4＋a 1 ＝7b 4＋a 1＝7×0＋3＝3.类型二 等差数列与一次函数的关系例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？ 考点 等差数列的判定 题点 判断数列是否为等差数列解 取数列{a n }中任意相邻两项a n 和a n －1(n >1)， 求差得a n －a n －1＝(pn ＋q )－[p (n －1)＋q ] ＝pn ＋q －(pn －p ＋q )＝p .它是一个与n 无关的常数，所以{a n }是等差数列. 由于a n ＝pn ＋q ＝q ＋p ＋(n －1)p ， 所以首项a 1＝p ＋q ，公差d ＝p .反思与感悟 根据等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，可知{a n }为等差数列⇔a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)，此结论可用来判断{a n }是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质. 跟踪训练2 若数列{a n }满足a 1＝15,3a n ＋1＝3a n －2(n ∈N *)，则使a k ·a k ＋1<0的k 值为________. 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 23解析 由3a n ＋1＝3a n －2，得a n ＋1－a n ＝－23，又a 1＝15，∴{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－23 ＝－23n ＋473.令a n ＝0，解得n ＝472＝23.5，∵d ＝－23，数列{a n }是递减数列，∴a 23>0，a 24<0，∴k ＝23. 类型三 等差数列性质的应用例3 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式. 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题解 方法一 因为a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15， 所以a 4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2.若d＝2，a n＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若d＝－2，a n＝a4＋(n－4)d＝13－2n.方法二设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5，①由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，即(5－2d)(5＋2d)＝9，②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，即a n＝－1＋2(n－1)＝2n－3或a n＝11－2(n－1)＝－2n＋13.引申探究1.在例3中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{a n}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有a m＋a n＋a p＝a q＋a r＋a s?解设公差为d，则a m＝a1＋(m－1)d，a n＝a1＋(n－1)d，a p＝a1＋(p－1)d，a q＝a1＋(q－1)d，a r＝a1＋(r－1)d，a s＝a1＋(s－1)d，∴a m＋a n＋a p＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，a q ＋a r ＋a s ＝3a 1＋(q ＋r ＋s －3)d ， ∵m ＋n ＋p ＝q ＋r ＋s ， ∴a m ＋a n ＋a p ＝a q ＋a r ＋a s .2.在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案 20解析 ∵a 3＋a 8＝10，∴a 3＋a 3＋a 8＋a 8＝20. ∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7， ∴a 3＋a 3＋a 8＋a 8＝a 5＋a 5＋a 5＋a 7， 即3a 5＋a 7＝2(a 3＋a 8)＝20.反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列{a n }的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.跟踪训练3 在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，求a 3＋a 6＋a 9的值. 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题解 方法一 ∵(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7)＝3d ， (a 3＋a 6＋a 9)－(a 2＋a 5＋a 8)＝3d ，∴a 1＋a 4＋a 7，a 2＋a 5＋a 8，a 3＋a 6＋a 9成等差数列. ∴a 3＋a 6＋a 9＝2(a 2＋a 5＋a 8)－(a 1＋a 4＋a 7) ＝2×33－39＝27.方法二 ∵a 1＋a 4＋a 7＝a 1＋(a 1＋3d )＋(a 1＋6d ) ＝3a 1＋9d ＝39， ∴a 1＋3d ＝13，①∵a 2＋a 5＋a 8＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＋(a 1＋7d ) ＝3a 1＋12d ＝33. ∴a 1＋4d ＝11，②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，a 1＝19.∴a 3＋a 6＋a 9＝(a 1＋2d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋8d ) ＝3a 1＋15d ＝3×19＋15×(－2)＝27.1.在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( ) A.3 B.－6 C.4 D.－3考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 B解析 由等差数列的性质得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ， 所以d ＝－20－105＝－6.2.在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( ) A.32 B.－32 C.35 D.－35 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项 答案 C解析 由a 8－a 4＝(8－4)d ＝4d ＝14－2＝12，得d ＝3， 所以a 15＝a 8＋(15－8)d ＝14＋7×3＝35.3.等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A.3 B.－3 C.32D.－32考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 A解析 由数列的性质，得a 4＋a 5＝a 2＋a 7， 所以a 2＝15－12＝3. 4.下列说法中正确的是( )A.若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列B.若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列C.若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列D.若a ，b ，c 成等差数列，则2a ,2b ,2c 成等差数列考点 等差数列的判定 题点 判断数列是否为等差数列 答案 C5.在等差数列－5，－312，－2，－12，…中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为( ) A.a n ＝34n －234B.a n ＝－5－32(n －1)C.a n ＝－5－34(n －1)D.a n ＝54n 2－3n考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 A1.在等差数列{a n }中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.2.在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a 1，d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.一、选择题1.已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( ) A.12 B.8 C.6 D.4 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 B解析 由等差数列的性质，得 a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10) ＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.2.设公差为－2的等差数列{a n }，如果a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99等于( ) A.－182 B.－78 C.－148 D.－82 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 D解析 a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d ) ＝(a 1＋a 4＋…＋a 97)＋2d ×33 ＝50＋2×(－2)×33 ＝－82.3.下面是关于公差是d (d ＞0)的等差数列{a n }的四个命题： p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列. 其中的真命题为( ) A.p 1，p 2 B.p 3，p 4 C.p 2，p 3D.p 1，p 4考点 等差数列的性质 题点 两个等差数列的性质问题 答案 D解析 对于p 1：a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ＞0， ∴a n －a n －1＝d ＞0，则p 1正确； 对于p 2：na n ＝na 1＋n (n －1)d ，∴na n －(n －1)a n －1＝a 1＋2(n －1)d 与0的大小关系和a 1的取值情况有关. 故数列{na n }不一定递增，则p 2不正确； 对于p 3：a n n ＝a 1n ＋n －1n d ，∴a n n －a n －1n －1＝－a 1＋dn (n －1)，当d －a 1＞0，即d ＞a 1时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列，但d ＞a 1不一定成立，则p 3不正确； 对于p 4：设b n ＝a n ＋3nd ， 则b n ＋1－b n ＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d ＞0.高中数学 高考数学∴数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4正确. 综上，正确的命题为p 1，p 4.4.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A.4B.6C.8D.10 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 C解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16， ∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.5.若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.1或2 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用 答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.6.在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A.45 B.75 C.180 D.300 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝(a 3＋a 7)＋(a 4＋a 6)＋a 5＝5a 5＝450，∴a 5＝90. ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.7.已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B.±3 C.－33D.－ 3 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 D高中数学 高考数学解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π， ∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan8π3＝tan 2π3＝－ 3. 8.若方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n |等于( )A.1B.34C.12D.38考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 C解析 设方程的四个根a 1，a 2，a 3，a 4依次成等差数列，则a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝2， 再设此等差数列的公差为d ，则2a 1＋3d ＝2， ∵a 1＝14，∴d ＝12，∴a 2＝14＋12＝34，a 3＝14＋1＝54，a 4＝14＋32＝74，∴|m －n |＝|a 1a 4－a 2a 3|＝⎪⎪⎪⎪14×74－34×54＝12 二、填空题9.设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________. 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 答案 105解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1a 2a 3＝(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝5(25－d 2)＝80， 又d 为正数，∴d ＝3.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3(5＋30)＝105.10.若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________. 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列对称设项问题 答案 －21解析 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝59，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴这三个数的积为－21.11.在等差数列{a n }中，已知a m ＝n ，a n ＝m ，则a m ＋n 的值为________.考点 等差数列基本量的计算问题题点 等差数列公差有关问题答案 0解析 方法一 设等差数列的公差为d ，则d ＝a m －a n m －n ＝n －m m －n＝－1， 从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0. 方法二 设等差数列的通项公式为a n ＝an ＋b (a ，b 为常数)，则⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝am ＋b ＝n ，a n ＝an ＋b ＝m ，得a ＝－1，b ＝m ＋n . 所以a m ＋n ＝a (m ＋n )＋b ＝0.三、解答题12.已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＋a 5＝18，a 2＋a 4＋a 6＝24.(1)求a 20的值；(2)若b n ＝32a n －412，试判断数列{b n }从哪一项开始大于0. 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题解 (1)因为a 1＋a 3＋a 5＝18，a 2＋a 4＋a 6＝24，所以a 3＝6，a 4＝8，则公差d ＝2，所以a 20＝a 3＋17d ＝40.(2)由(1)得a n ＝a 3＋(n －3)d ＝6＋(n －3)×2＝2n ，所以b n ＝32×2n －412＝3n －412.由b n >0，即3n －412>0，得n >416，所以数列{b n }从第7项开始大于0. 13.看看我们生活中的挂历：横看、竖看、斜看，都是天然的等差数列.随意框选9个数，如图，可以发现12等于周围8个数之和的八分之一.请用所学数学知识对此给出简要的说明.考点 等差数列的应用题题点 等差数列的应用题解 由题意，在等差数列中，若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .因为12＝4＋202＝5＋192＝6＋182＝11＋132， 所以12＝(4＋20)＋(5＋19)＋(6＋18)＋(11＋13)8. 四、探究与拓展14.若等差数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3，则{a n }的通项公式为__________________. 考点 等差数列的通项公式题点 求通项公式答案 a n ＝2n －52解析 由题意得a n ＋1＋a n ＝4n －3，①a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1，②②－①，得a n ＋2－a n ＝4.∵{a n }是等差数列，设公差为d ，∴d ＝2.∵a 1＋a 2＝1，∴a 1＋a 1＋d ＝1，∴a 1＝－12. ∴a n ＝2n －52. 15.正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n .(1)数列{a n }是否为等差数列？说明理由；(2)求a n .考点 等差数列的判定题点 证明数列是等差数列解 (1)数列{a n }是等差数列.∵a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n ，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋1＋a n ，∴(a n ＋1＋a n )·(a n ＋1－a n )＝a n ＋1＋a n ，∴a n＋1－a n＝1，∴{a n}是等差数列，公差为1.(2)由(1)知{a n}是等差数列，且d＝1，∴a n＝a1＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×1＝n，∴a n＝n2.。
