数列、函数上下极限的性质及其应用文献综述

毕业论文文献综述数学与应用数学数列、函数上下极限的性质及其应用一、前言部分极限的概念是数学分析中最基本的概念之一,也是高等数学中的一个最重要的理论部分.极限思想在数学中起着非常重要的作用.数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果.” 极限思想 揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。

借助极限思想,人们可以从有限认识无限,从直线形认识曲线形从不变认识变,从量变认识质变,从近似认识精确.极限思想是社会实践的产物.极限的思想可以追溯到古代,在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽.但从现在的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数 学上,当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题.直到公元3世纪，我国魏晋时期的数学 家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”．由于他所采用的圆的半径为1,这样 圆的面积在数值上即等于圆周率,所说刘徽成功地创立了科学的求圆周率的方法.刘徽采用的具体做法是:在半径为一尺的圆内,作圆的内接正六边形,然后逐渐倍增边数,依次算出内接正6边形、正12边形、… 、直至562⨯(192)边形的面积。

他利用公式22n n r l s n ⋅=⋅(n l 为内接正n 边形的边长，2n s 为内接2n 边形的面积)来求正多边形的面积.他的极限思想是“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失”.第一个创造性地将极限思想应用到数学领域.这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础.刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用:古希腊人的穷竭 法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明．到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观运用极限思想思考问题 ，放弃 了归谬法的证明.如此,他在无意中将极限发展成为一个实用概念．从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。

目录数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要 (01)一、数列的上极限、下极限的定义 (01)1. 用“数列的聚点”来定义 (01)2. 用“数列的确界”来定义 (02)3. 数列上、下极限定义的等价性 (02)二、数列的上、下极限的性质及定理 (04)参考文献 (14)英文摘要 (15)数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数一、数列的上极限、下极限的定义关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列{}n x 的一个聚点.例1 数列{(1)}1n nn -+有聚点1-与1； 数列{sin}4n π有1,22--和1五个聚点； 数列1{}n只有一个聚点0；常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1.定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作lim n a →+∞=大;lim n n a x →∞=小.例2 lim (1)11nn n n →+∞-=+(),lim 111n n n →∞-=-+lim sin14n n π→+∞=,limsin 14n n π→∞=- 11lim lim 0n n n n→+∞→∞==2. 用“数列的确界”来定义定义3 任给数列{}n x ，定义lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥=;lim lim inf{}n k n k nn x x →∞≥→∞= （1）分别称为数列{}n x 的上极限和下极限.若定义1中的a 可允许是非正常点+∞或-∞，则：任一点列{}n x 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为()+∞-∞.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限()+∞-∞.例3 lim ((1)1)n n n →+∞-+=+∞,lim (1)n n n →+∞-=-∞,lim(1)n n n →∞-=-∞3. 数列上、下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==大；lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.证明：如果l i m s u p {}k n k nx →∞≥=+∞，由于s u p {}kk nx ≥关于n 单调递减，所以sup{}k k nx ≥=+∞，n N ∀>.于是，可取1n ∈（自然数）1..1n s t x >,又可取2,n ∈221,..2,,n n n s t x >>所以，得到数列{}n x 的子列{}()n k x k →+∞→+∞.这就证明了+∞为数列的聚点，且为最大聚点a 大.由此可得lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==+∞=大;如果limsup{}k n k nx →∞≥<+∞，则limsup{}k n k nx →∞≥=-∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.,n ∀∈,,i i n n i n ≥≥≥当时有sup{}i n k k nx x ≥≤，lim sup{}i n k i k na x x →∞≥=≤，limsup{}k n k na x →∞≥≤,所以，数列{}n x 的最大聚点满足lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥≤.另一方面， lim ,n n y x →+∞∀>易见，[)∞y,+中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，,N ∃∈当k N >时，有k x y <，从而，当n N >时，有sup{},k k nx y ≥≤由此可得limsup{}k n k nx y →∞≥≤.令()lim nn y x +→+∞→，推出limsup{}lim k n n n k nx x →∞→+∞≥≤.综合上述，有lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==.类似的可证明或应用上式于{}n x -可证得lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.如果lim inf{}k n k nx →-∞≥=-∞，由于inf{}k k nx ≥关于n 单调递减，所以inf{}k k nx ≥=-∞，对n N ∀>.于是，可取自然数1n 使得11-<n x ,又可取自然数2n 12n n >使得22-<n x ……所以，得到数列{}n x 的子列{k n x }-∞→.这就证明了∞-为数列的聚点，且为最小聚点小a .由此可得lim lim inf{}n k n k nn a x x →-∞≥→∞==小;如果lim inf{}k n k nx →-∞≥>-∞，则lim inf{}k n k nx →-∞≥=+∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.任意的n 是自然数,,i i n n i n ≥≥≥当时有k n x ≥inf{}k k nx ≥lim inf{}i n k i k na x x →∞≥=≥lim inf{}k n k na x →+∞≥≥所以，数列{}n x 的最小聚点满足lim n n x →∞≥lim inf{}k n k nx →+∞≥.另一方面，对任意的y ≥lim n n x →∞易见，（-],y ∞中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，存在N 是自然数当k N >时，有y x k >，从而，当n N >时，有inf{}k k nx ≥y ≥，由此可得lim inf{}k n k nx →+∞≥y ≥.令y →[lim n n x →∞]-，推出lim inf{}k n k nx →+∞≥≥lim n n x →∞.综合上述，有lim lim inf{}n k n k nn a x x →+∞≥→∞==小.下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.二、数列的上、下极限的性质及定理设有数列{}n x 与数列{}n y ，则数列的上、下极限有以下性质性质 1 lim lim n n n n x x →+∞→∞≥； （2）性质 2 lim lim lim n n n n n n x A x x A →+∞→+∞→∞=⇔==例 4 用上下极限理论证明：若{}n x 是有界发散数列，则存在{}n x 的两个子列收敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是lim lim n n n n x x →+∞→∞≠，于是存在{}n x 的两个子列{}{}''',k k n n x x ，使'l i m l i mk n n n n x x →+∞→+∞=，''lim lim k n n n n x x →+∞→∞=，即存在{}n x 的两个子列收敛于不同的极限.性质 3 （保不等式性质）设有界数列{}n x ，{}n y 满足：存在00N >,当0n N >时有n n x y ≤，则lim lim n n n n x y →+∞→+∞≤;lim lim n n n n x y →∞→∞≤;特别，若,αβ为常数，又存在00N >，当0n N >时有n a αβ≤≤，则lim lim n n n n a a αβ→+∞→∞≤≤≤性质 4 设0,0,(1,2,)n n x y n ≥≥=，则lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞⋅≤≤⋅ （3）lim lim lim lim lim n n n n n nn n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅（4）例5 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅(0)n x ≥证明：分三种情况讨论1、 若lim 0n n y →+∞>，则{}n y 中有无穷多项大于零，作新序列,0max{,0}00n n n n n y y y y y +>⎧==⎨≤⎩当时，当时则0n y +≥，且lim lim n n n n y y +→+∞→+∞=，对{}n x {}n y +应用（4）有lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y +++→+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅因{}n x 收敛，所以 lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，故上式表明 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅=⋅但 lim lim lim n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞==（）0n x ≥（因）所以 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=2、 若lim n n y →+∞=-∞，在限制条件下，lim 0n n x →+∞>，因此n 充分大时有0n x >，这时等式明显成立.3、 若lim 0n n y →+∞-∞<≤，可取充分大的正常数C>0,使得l i m ()0n n y C →+∞+>， 如此应用1、的结果， lim ()lim lim ()n n n n n n n x y C x y C →+∞→+∞→+∞+=⋅+再根据（3），此即 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x C x y x C →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+⋅=⋅+⋅从而 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅，证毕.性质 5 在不发生()±∞∞)+(情况下，有如下不等式成立：1、lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+2、lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+3、lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+≤+事实上，这里的等号可以不发生，如对{}{1,0,1,0,1,0,}n x =； {}{0,2,0,2,0,2,}n y =， 这时{}{1,2,1,2,1,2,}n n x y +=lim lim 0lim()1n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+=<+=lim ()2lim lim 3n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=<+=例6 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=+证：我们已有lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+注意{}n x 收敛，因此lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，所以上式即为 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+即成立.例7 证明：（1）lim lim lim()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞+≤+≤+（2）lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+证： 先证： lim ()lim n n n n x x →+∞→+∞-=-（1） 设lim n n x a →+∞=，则依上极限定义，0ε∀>，数列{}n x 中至多只有N 项大于a ε+，而有穷项小于a ε-，即对{}n x -，至多有N 项小于a ε--，而有穷项大于a ε-+，所以依下极限定义，有 lim()n n x a →∞-=-，即lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-.设 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，lim()n n n x y a b →∞+=+用反证法，设c a b <+，依下极限定义，0ε∀>，N ∃,当n N >时，有n n x y c ε+<+ 不妨设 1()2a b c ε=+-， 则当n N >时， n n x y c a b εε+<+<+- 又有 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，依下极限定义，则当1n N >时，2n x a ε<-，当2n N < 时2n y b ε<-，由此推出矛盾，故a b c +≤，即lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+，又令n n n d x y =+，则()n n n x d x =+-.于是lim lim()lim n n n n n n d y x →∞→∞→∞+-≤，由于 lim()lim n n n n y y →+∞→∞-=-，所以 lim lim()lim lim n n n n n n n n n d x y x y →+∞→∞→∞→∞≤+≤+（2） 以n y -及n x -分别代替题（1）中的n x 与n y ，有lim()lim()lim ()lim lim n n n n n n n n n n n y x x y y x →+∞→∞→∞→∞→∞-+-≤-+≤+-，由 lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-得 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞--≤-+≤--，即 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+，当{}:0,1,2,0,1,2,n x ；{}:2,3,1,2,3,n y 时，题（1）（2）中仅不等号成立.性质 6lim ()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;性质 7 若 lim 0n n x →∞>，则1lim lim1n n n nx x →+∞→∞⋅=; （7）例7 证：若0,(1,2,)n a n >=且1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=，则数列{}n a 收敛.证明：若lim 0n n a →∞=，则∃子列{}k n a ，lim 0k n k a →+∞=，于是有1limkk n a →+∞=+∞，这与1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=相矛盾，这样应当有lim 0n n a →+∞>，然后用上下极限等价定义来证明.性质8 当 n x a →，且0n x ≥，则下式右端有意义（不是0⋅∞型）时，有lim lim n n n n n x y a y →∞→∞=;lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=.证明：以第二式为例给出证明首先设 lim 0n n y b →+∞=>，其中b 为有限数或+∞.令 ,00,0.n n n n y y z y >⎧=⎨≤⎩当；当则lim lim n n n n z y b →+∞→+∞==;lim lim n n n n n n x z x y →+∞→+∞=.由0,0n n x z ≥≥得lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x z x z x z →+∞→+∞→+∞→+∞→∞≤≤⋅，即lim lim lim n n n n n n n a z x z a z →+∞→+∞→+∞≤≤⋅，也就是lim lim n n n n n x z a z →+∞→+∞=⋅，代回到n y 就得到lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=⋅.其次设 lim 0n n y b →+∞=≤ （b 为有限数）只要用1n y b +代替n y （其中10b b +>），就可得证. 最后 lim n n y →+∞=-∞，这时即n y →-∞，且0a ≠（否则出现0⋅∞型），显然n n x y →-∞.下面定理指出，对一切数列{}n x 的上、下极限必存在（包括±∞）. 定理 1（1）有界数列{}n x 至少有一个聚点,存在最大聚点与最小聚点,且这两个聚点都为实数,它们分别为上极限lim n n x →+∞与下极限lim n n x →∞;（2）如果数列{}n x 无上界,则lim n n x →+∞=+∞,此时+∞为数列{}n x 的最大聚点;如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=,此时lim n n x →+∞=-∞;② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最大聚点,它就是lim n n x →+∞;（3） 如果数列{}n x 无下界,则lim n n x →∞=-∞,此时-∞为数列{}n x 的最小聚点;如果数列{}n x 有下界a① 若[],,b a a b ∀>中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=+∞=,此时lim n n x →+∞=+∞;② 若[],,b a a b ∃>中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最小聚点,它就是lim n n x →∞.证明: (1) 因数列{}n x 有界,令{}[][]11|,,.n M M a b ∈⊂-=n x 将[]11,a b 两等分,则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]22,a b ,则[][]1122,,a b a b ⊃,且 ()221112b a b a M -=-=； 再将[]22,a b 两等分, 则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]33,a b ,则[][]2233,,a b a b ⊃,且()3322122M b a b a -=-=； 如此下去得到一个递降闭区间套:[][][]1122,,,k k a b a b a b ⊃⊃⊃⊃；10()2k k k Mb a k --=→→+∞， 且每个闭区间[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项.由闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈对0x 的任何开领域U，0,..s t ε∃> 000(;)(,)B x x x Uεεε=-+⊂，则N ∃∈，当k N >时，00[,](,)k k a b x x U εε⊂-+⊂，从而U 中含有数列{}n x 的无限多项，所以0x 为数列{}n x 的聚点.至于最大聚点的存在性，只需在上述证明过程中，当每次将区间[]11,k k a b --等分为两个区间时，若右边一个含数列的无限多项，将它取为[],k k a b ；若右边一个含数列的有限项，则取左边的子区间为[],k k a b .于是，所选[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项，同时在[],k k a b 的右边都至多含有数列的有限项，其中()1111111()022k k k k k b a b a b a ----=-==-→ ()k →+∞ 再根据闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈.下证0x 为数列{}n x 的最大聚点.（反证） 若不然，设另有数列{}n x 的聚点*00,x x >令*001()0,3x x δ=->则有 ***000(;)(,)B x x x δδδ=-+ 内都含有数列{}n x 的无限多项，但当k 充分大时，***000(;)(,)B x x x δδδ=-+完全落在[],k k a b 的右边，这与上述[],k k a b 的右边都至多含有数列{}n x 的有限项矛盾.类似可证最小聚点的存在性，或用{}n x -代替{}n x .（2） 如果数列{}n x 无上界,则{}n x 必有子列{}k n x ,..lim k n n s t x →+∞=+∞,因此,+∞ 为数列{}n x 的最大聚点,从而lim n n x →+∞=+∞.如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则根据极限为-∞的定义可知,lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=；② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,由(1)的结果, 数列{}[],n x a b 有最大聚点,显然它也是数列{}n x 的最大聚点,即为lim n n x →+∞； (3) 类似(2)可证明,或用{}n x -代替{}n x .定理 2 lim lim lim n n n n n n x a x x a →+∞→+∞→∞=⇔==.证明：()⇒ 设lim n n x a →+∞=，则对a 的任一邻域U ，N ∃∈，当n N >时，n x U ∈，从而a 为数列{}n x 的一个聚点.b a ∀≠， 则存在a 的开邻域a U ，b 的开邻域b U ，..ab s tU U φ= . 由于lim n n x a →+∞=，故N ∃∈，当n N >时，n a x U ∈，所以n b x U ∉，从而b U 中至多含有数列{}n x 的有限项（如12,,,N x x x ）因此，b 不为数列{}n x 的聚点.综上可知，a 为数列{}n x 的唯一聚点，所以lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.或者，因lim n n x a →+∞=，故{}n x 的任何子列{}k n x 也必有lim k n n x a →+∞=.因此，数列{}n x 有唯一的聚点，从而lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.()⇐ 设lim lim n n n n x x a →+∞→∞==，则数列{}n x 只有一个聚点a ，因此，对a 的任一开邻域U ，在U 外只含有数列{}n x 的有限多项1,,k n n x x （否则数列{}n x 在U 外还有异于a 的聚点，这与数列{}n x 只有一个聚点相矛盾）.于是，当{}1max ,,1k n N n n >=时，有n x U ∈，这就证明了lim n n x a →+∞=.定理 3 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 大为数列{}n x 的上极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε<+大;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε>-∀∈大；(3) ,a a ∀>大 数列{}n x 中大于a 的项至多有限个;,b a ∀<大 数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.证明：(1)(2)⇒:因a 大为数列{}n x 的聚点,故0,ε∀>在()a a a εεε=-+大大大；（，）内含有数列{}n x 的无限多项{}12|knx n n <<，则有,kn xa k ε>-∀∈大.又因a 大为数列{}n x 的最大聚点，故在a ε+大的右边至多只含有数列{}n x 的有限多项（否则必有数列{}n x 的聚点a ε≥+大，这与a 大为数列{}n x 的最大聚点相矛盾）.设此有限项的最大指标为N ，则当n N >时，有n x a ε<+大.(2)(3)⇒:,a a ∀>大令a a ε=-大，由（2）知，N ∃∈，当n N >时，有n x a ε<+大()a a a a =+-=大大.故数列{}n x 中大于a 的项至多有限个.b a ∀<大，令a b ε=-大，由（2）知，存在数列{}n x 的子列{}k n x ，,k n x a b ε>-=大k ∀∈，故数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.(3)(1)⇒:设U 为a 大的任一开邻域，则0,..(;).s t B a a a U εεεε∃>=-+⊂大大大（，）由于a a a ε=+>大大，根据（3），{}n x 中大于a a ε=-大有无限多项.因此a a ε-+大大（， ε）中含有数列{}n x 的无限项，从而U 中含有数列{}n x 的无限项，这就证明了a 大为数列{}n x 的一个聚点.另一方面，a a ∀>大，记1()2a a ε=-大.由（3）知，数列{}n x 中大于()a a ε+>大大的项至多有限个.故a 不为数列{}n x 的一个聚点，这就证明了a 大为数列{}n x 的最大聚点，即a 大为数列{}n x 的上极限.定理 4 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 小为数列{}n x 的下极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε>-小;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε<+∀∈小；(3) b a∀<小，数列{}n x中小于b的项至多有限个;a a∀>小，数列{}n x中小于a的项有无限多个.证明：类似定理3证明,或用{}n x-代替{}n x.从一些性质和定理的证明可以看出有些步骤用到数列上，下极限定义方面的证明过程.此外，关于不同对象的上、下极限的定义，本质上都起源于数列的上、下极限定义，比如，集合列的上，下限极等，在此就不做介绍了.参考文献:[1] 华东师范大学数学系编.数学分析（上册）.北京:高等教育出版社，2001[2] 复旦大学数学系陈传璋等编.数学分析（下册）.北京:高等教育出版，1979[3] 李成章,黄玉民编. 数学分析（上册）.科学出版社，1998[4] 程其蘘.实变函数与泛函分析基础[M] .2版.北京：高等教育出版社，2003[5] 朱成熹.近世实分析基础[M].天津:南开大学出版社，1993[6] 匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社，2002[7] 薛昌兴.实变函数与泛函分析:上[M].北京:高等教育出版社，1997[8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社，1993[9] 吴良森,毛羽辉著.数学分析学习指导书（上册）.北京:高等教育出版社，2004[10] 胡适耕,张显文著.数学分析原理与方法.北京:科学出版社，2008[11] 陈纪修,於崇华著.数学分析第二版（下册）.北京:高等教育出版社.2004The sequence about limit with gathers the row on lower limit collectionHao Li-jiao 200711150652007 grades of mathematics,science college mathematics and the applied mathematicsprofessions 1 classAbstract：Sequence on, under the limit concept is limit concept extending,because they collect in the divergence distinction law in the seriesof positive terms the vital role, also becomes the theory which in themathematical analysis has no alternative but to say to be partial.This article mainly discussed the sequence about limit with to gatherthe row on lower limit collection as well as their a series of natureKey words: Sequence；Limit；Accumulation points；Sequence of sets；Function。

目录数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要 (01)一、数列的上极限、下极限的定义 (01)1. 用“数列的聚点”来定义 (01)2. 用“数列的确界”来定义 (02)3. 数列上、下极限定义的等价性 (02)二、数列的上、下极限的性质及定理 (04)参考文献 (14)英文摘要 (15)数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数一、数列的上极限、下极限的定义关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列{}n x 的一个聚点.例1 数列{(1)}1n nn -+有聚点1-与1； 数列{sin}4n π有1,22--和1五个聚点； 数列1{}n只有一个聚点0；常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1.定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作lim n a →+∞=大;lim n n a x →∞=小.例2 lim (1)11nn n n →+∞-=+(),lim 111n n n →∞-=-+lim sin14n n π→+∞=,limsin 14n n π→∞=- 11lim lim 0n n n n→+∞→∞==2. 用“数列的确界”来定义定义3 任给数列{}n x ，定义lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥=;lim lim inf{}n k n k nn x x →∞≥→∞= （1）分别称为数列{}n x 的上极限和下极限.若定义1中的a 可允许是非正常点+∞或-∞，则：任一点列{}n x 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为()+∞-∞.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限()+∞-∞.例3 lim ((1)1)n n n →+∞-+=+∞,lim (1)n n n →+∞-=-∞,lim(1)n n n →∞-=-∞3. 数列上、下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==大；lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.证明：如果l i m s u p {}k n k nx →∞≥=+∞，由于s u p {}kk nx ≥关于n 单调递减，所以sup{}k k nx ≥=+∞，n N ∀>.于是，可取1n ∈（自然数）1..1n s t x >,又可取2,n ∈221,..2,,n n n s t x >>所以，得到数列{}n x 的子列{}()n k x k →+∞→+∞.这就证明了+∞为数列的聚点，且为最大聚点a 大.由此可得lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==+∞=大;如果limsup{}k n k nx →∞≥<+∞，则limsup{}k n k nx →∞≥=-∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.,n ∀∈,,i i n n i n ≥≥≥当时有sup{}i n k k nx x ≥≤，lim sup{}i n k i k na x x →∞≥=≤，limsup{}k n k na x →∞≥≤,所以，数列{}n x 的最大聚点满足lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥≤.另一方面， lim ,n n y x →+∞∀>易见，[)∞y,+中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，,N ∃∈当k N >时，有k x y <，从而，当n N >时，有sup{},k k nx y ≥≤由此可得limsup{}k n k nx y →∞≥≤.令()lim nn y x +→+∞→，推出limsup{}lim k n n n k nx x →∞→+∞≥≤.综合上述，有lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==.类似的可证明或应用上式于{}n x -可证得lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.如果lim inf{}k n k nx →-∞≥=-∞，由于inf{}k k nx ≥关于n 单调递减，所以inf{}k k nx ≥=-∞，对n N ∀>.于是，可取自然数1n 使得11-<n x ,又可取自然数2n 12n n >使得22-<n x ……所以，得到数列{}n x 的子列{k n x }-∞→.这就证明了∞-为数列的聚点，且为最小聚点小a .由此可得lim lim inf{}n k n k nn a x x →-∞≥→∞==小;如果lim inf{}k n k nx →-∞≥>-∞，则lim inf{}k n k nx →-∞≥=+∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.任意的n 是自然数,,i i n n i n ≥≥≥当时有k n x ≥inf{}k k nx ≥lim inf{}i n k i k na x x →∞≥=≥lim inf{}k n k na x →+∞≥≥所以，数列{}n x 的最小聚点满足lim n n x →∞≥lim inf{}k n k nx →+∞≥.另一方面，对任意的y ≥lim n n x →∞易见，（-],y ∞中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，存在N 是自然数当k N >时，有y x k >，从而，当n N >时，有inf{}k k nx ≥y ≥，由此可得lim inf{}k n k nx →+∞≥y ≥.令y →[lim n n x →∞]-，推出lim inf{}k n k nx →+∞≥≥lim n n x →∞.综合上述，有lim lim inf{}n k n k nn a x x →+∞≥→∞==小.下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.二、数列的上、下极限的性质及定理设有数列{}n x 与数列{}n y ，则数列的上、下极限有以下性质性质 1 lim lim n n n n x x →+∞→∞≥； （2）性质 2 lim lim lim n n n n n n x A x x A →+∞→+∞→∞=⇔==例 4 用上下极限理论证明：若{}n x 是有界发散数列，则存在{}n x 的两个子列收敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是lim lim n n n n x x →+∞→∞≠，于是存在{}n x 的两个子列{}{}''',k k n n x x ，使'l i m l i mk n n n n x x →+∞→+∞=，''lim lim k n n n n x x →+∞→∞=，即存在{}n x 的两个子列收敛于不同的极限.性质 3 （保不等式性质）设有界数列{}n x ，{}n y 满足：存在00N >,当0n N >时有n n x y ≤，则lim lim n n n n x y →+∞→+∞≤;lim lim n n n n x y →∞→∞≤;特别，若,αβ为常数，又存在00N >，当0n N >时有n a αβ≤≤，则lim lim n n n n a a αβ→+∞→∞≤≤≤性质 4 设0,0,(1,2,)n n x y n ≥≥=，则lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞⋅≤≤⋅ （3）lim lim lim lim lim n n n n n nn n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅（4）例5 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅(0)n x ≥证明：分三种情况讨论1、 若lim 0n n y →+∞>，则{}n y 中有无穷多项大于零，作新序列,0max{,0}00n n n n n y y y y y +>⎧==⎨≤⎩当时，当时则0n y +≥，且lim lim n n n n y y +→+∞→+∞=，对{}n x {}n y +应用（4）有lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y +++→+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅因{}n x 收敛，所以 lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，故上式表明 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅=⋅但 lim lim lim n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞==（）0n x ≥（因）所以 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=2、 若lim n n y →+∞=-∞，在限制条件下，lim 0n n x →+∞>，因此n 充分大时有0n x >，这时等式明显成立.3、 若lim 0n n y →+∞-∞<≤，可取充分大的正常数C>0,使得l i m ()0n n y C →+∞+>， 如此应用1、的结果， lim ()lim lim ()n n n n n n n x y C x y C →+∞→+∞→+∞+=⋅+再根据（3），此即 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x C x y x C →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+⋅=⋅+⋅从而 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅，证毕.性质 5 在不发生()±∞∞)+(情况下，有如下不等式成立：1、lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+2、lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+3、lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+≤+事实上，这里的等号可以不发生，如对{}{1,0,1,0,1,0,}n x =； {}{0,2,0,2,0,2,}n y =， 这时{}{1,2,1,2,1,2,}n n x y +=lim lim 0lim()1n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+=<+=lim ()2lim lim 3n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=<+=例6 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=+证：我们已有lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+注意{}n x 收敛，因此lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，所以上式即为 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+即成立.例7 证明：（1）lim lim lim()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞+≤+≤+（2）lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+证： 先证： lim ()lim n n n n x x →+∞→+∞-=-（1） 设lim n n x a →+∞=，则依上极限定义，0ε∀>，数列{}n x 中至多只有N 项大于a ε+，而有穷项小于a ε-，即对{}n x -，至多有N 项小于a ε--，而有穷项大于a ε-+，所以依下极限定义，有 lim()n n x a →∞-=-，即lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-.设 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，lim()n n n x y a b →∞+=+用反证法，设c a b <+，依下极限定义，0ε∀>，N ∃,当n N >时，有n n x y c ε+<+ 不妨设 1()2a b c ε=+-， 则当n N >时， n n x y c a b εε+<+<+- 又有 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，依下极限定义，则当1n N >时，2n x a ε<-，当2n N < 时2n y b ε<-，由此推出矛盾，故a b c +≤，即lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+，又令n n n d x y =+，则()n n n x d x =+-.于是lim lim()lim n n n n n n d y x →∞→∞→∞+-≤，由于 lim()lim n n n n y y →+∞→∞-=-，所以 lim lim()lim lim n n n n n n n n n d x y x y →+∞→∞→∞→∞≤+≤+（2） 以n y -及n x -分别代替题（1）中的n x 与n y ，有lim()lim()lim ()lim lim n n n n n n n n n n n y x x y y x →+∞→∞→∞→∞→∞-+-≤-+≤+-，由 lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-得 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞--≤-+≤--，即 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+，当{}:0,1,2,0,1,2,n x ；{}:2,3,1,2,3,n y 时，题（1）（2）中仅不等号成立.性质 6lim ()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;性质 7 若 lim 0n n x →∞>，则1lim lim1n n n nx x →+∞→∞⋅=; （7）例7 证：若0,(1,2,)n a n >=且1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=，则数列{}n a 收敛.证明：若lim 0n n a →∞=，则∃子列{}k n a ，lim 0k n k a →+∞=，于是有1limkk n a →+∞=+∞，这与1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=相矛盾，这样应当有lim 0n n a →+∞>，然后用上下极限等价定义来证明.性质8 当 n x a →，且0n x ≥，则下式右端有意义（不是0⋅∞型）时，有lim lim n n n n n x y a y →∞→∞=;lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=.证明：以第二式为例给出证明首先设 lim 0n n y b →+∞=>，其中b 为有限数或+∞.令 ,00,0.n n n n y y z y >⎧=⎨≤⎩当；当则lim lim n n n n z y b →+∞→+∞==;lim lim n n n n n n x z x y →+∞→+∞=.由0,0n n x z ≥≥得lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x z x z x z →+∞→+∞→+∞→+∞→∞≤≤⋅，即lim lim lim n n n n n n n a z x z a z →+∞→+∞→+∞≤≤⋅，也就是lim lim n n n n n x z a z →+∞→+∞=⋅，代回到n y 就得到lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=⋅.其次设 lim 0n n y b →+∞=≤ （b 为有限数）只要用1n y b +代替n y （其中10b b +>），就可得证. 最后 lim n n y →+∞=-∞，这时即n y →-∞，且0a ≠（否则出现0⋅∞型），显然n n x y →-∞.下面定理指出，对一切数列{}n x 的上、下极限必存在（包括±∞）. 定理 1（1）有界数列{}n x 至少有一个聚点,存在最大聚点与最小聚点,且这两个聚点都为实数,它们分别为上极限lim n n x →+∞与下极限lim n n x →∞;（2）如果数列{}n x 无上界,则lim n n x →+∞=+∞,此时+∞为数列{}n x 的最大聚点;如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=,此时lim n n x →+∞=-∞;② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最大聚点,它就是lim n n x →+∞;（3） 如果数列{}n x 无下界,则lim n n x →∞=-∞,此时-∞为数列{}n x 的最小聚点;如果数列{}n x 有下界a① 若[],,b a a b ∀>中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=+∞=,此时lim n n x →+∞=+∞;② 若[],,b a a b ∃>中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最小聚点,它就是lim n n x →∞.证明: (1) 因数列{}n x 有界,令{}[][]11|,,.n M M a b ∈⊂-=n x 将[]11,a b 两等分,则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]22,a b ,则[][]1122,,a b a b ⊃,且 ()221112b a b a M -=-=； 再将[]22,a b 两等分, 则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]33,a b ,则[][]2233,,a b a b ⊃,且()3322122M b a b a -=-=； 如此下去得到一个递降闭区间套:[][][]1122,,,k k a b a b a b ⊃⊃⊃⊃；10()2k k k Mb a k --=→→+∞， 且每个闭区间[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项.由闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈对0x 的任何开领域U，0,..s t ε∃> 000(;)(,)B x x x Uεεε=-+⊂，则N ∃∈，当k N >时，00[,](,)k k a b x x U εε⊂-+⊂，从而U 中含有数列{}n x 的无限多项，所以0x 为数列{}n x 的聚点.至于最大聚点的存在性，只需在上述证明过程中，当每次将区间[]11,k k a b --等分为两个区间时，若右边一个含数列的无限多项，将它取为[],k k a b ；若右边一个含数列的有限项，则取左边的子区间为[],k k a b .于是，所选[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项，同时在[],k k a b 的右边都至多含有数列的有限项，其中()1111111()022k k k k k b a b a b a ----=-==-→ ()k →+∞ 再根据闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈.下证0x 为数列{}n x 的最大聚点.（反证） 若不然，设另有数列{}n x 的聚点*00,x x >令*001()0,3x x δ=->则有 ***000(;)(,)B x x x δδδ=-+ 内都含有数列{}n x 的无限多项，但当k 充分大时，***000(;)(,)B x x x δδδ=-+完全落在[],k k a b 的右边，这与上述[],k k a b 的右边都至多含有数列{}n x 的有限项矛盾.类似可证最小聚点的存在性，或用{}n x -代替{}n x .（2） 如果数列{}n x 无上界,则{}n x 必有子列{}k n x ,..lim k n n s t x →+∞=+∞,因此,+∞ 为数列{}n x 的最大聚点,从而lim n n x →+∞=+∞.如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则根据极限为-∞的定义可知,lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=；② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,由(1)的结果, 数列{}[],n x a b 有最大聚点,显然它也是数列{}n x 的最大聚点,即为lim n n x →+∞； (3) 类似(2)可证明,或用{}n x -代替{}n x .定理 2 lim lim lim n n n n n n x a x x a →+∞→+∞→∞=⇔==.证明：()⇒ 设lim n n x a →+∞=，则对a 的任一邻域U ，N ∃∈，当n N >时，n x U ∈，从而a 为数列{}n x 的一个聚点.b a ∀≠， 则存在a 的开邻域a U ，b 的开邻域b U ，..ab s tU U φ= . 由于lim n n x a →+∞=，故N ∃∈，当n N >时，n a x U ∈，所以n b x U ∉，从而b U 中至多含有数列{}n x 的有限项（如12,,,N x x x ）因此，b 不为数列{}n x 的聚点.综上可知，a 为数列{}n x 的唯一聚点，所以lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.或者，因lim n n x a →+∞=，故{}n x 的任何子列{}k n x 也必有lim k n n x a →+∞=.因此，数列{}n x 有唯一的聚点，从而lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.()⇐ 设lim lim n n n n x x a →+∞→∞==，则数列{}n x 只有一个聚点a ，因此，对a 的任一开邻域U ，在U 外只含有数列{}n x 的有限多项1,,k n n x x （否则数列{}n x 在U 外还有异于a 的聚点，这与数列{}n x 只有一个聚点相矛盾）.于是，当{}1max ,,1k n N n n >=时，有n x U ∈，这就证明了lim n n x a →+∞=.定理 3 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 大为数列{}n x 的上极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε<+大;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε>-∀∈大；(3) ,a a ∀>大 数列{}n x 中大于a 的项至多有限个;,b a ∀<大 数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.证明：(1)(2)⇒:因a 大为数列{}n x 的聚点,故0,ε∀>在()a a a εεε=-+大大大；（，）内含有数列{}n x 的无限多项{}12|knx n n <<，则有,kn xa k ε>-∀∈大.又因a 大为数列{}n x 的最大聚点，故在a ε+大的右边至多只含有数列{}n x 的有限多项（否则必有数列{}n x 的聚点a ε≥+大，这与a 大为数列{}n x 的最大聚点相矛盾）.设此有限项的最大指标为N ，则当n N >时，有n x a ε<+大.(2)(3)⇒:,a a ∀>大令a a ε=-大，由（2）知，N ∃∈，当n N >时，有n x a ε<+大()a a a a =+-=大大.故数列{}n x 中大于a 的项至多有限个.b a ∀<大，令a b ε=-大，由（2）知，存在数列{}n x 的子列{}k n x ，,k n x a b ε>-=大k ∀∈，故数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.(3)(1)⇒:设U 为a 大的任一开邻域，则0,..(;).s t B a a a U εεεε∃>=-+⊂大大大（，）由于a a a ε=+>大大，根据（3），{}n x 中大于a a ε=-大有无限多项.因此a a ε-+大大（， ε）中含有数列{}n x 的无限项，从而U 中含有数列{}n x 的无限项，这就证明了a 大为数列{}n x 的一个聚点.另一方面，a a ∀>大，记1()2a a ε=-大.由（3）知，数列{}n x 中大于()a a ε+>大大的项至多有限个.故a 不为数列{}n x 的一个聚点，这就证明了a 大为数列{}n x 的最大聚点，即a 大为数列{}n x 的上极限.定理 4 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 小为数列{}n x 的下极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε>-小;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε<+∀∈小；(3) b a∀<小，数列{}n x中小于b的项至多有限个;a a∀>小，数列{}n x中小于a的项有无限多个.证明：类似定理3证明,或用{}n x-代替{}n x.从一些性质和定理的证明可以看出有些步骤用到数列上，下极限定义方面的证明过程.此外，关于不同对象的上、下极限的定义，本质上都起源于数列的上、下极限定义，比如，集合列的上，下限极等，在此就不做介绍了.参考文献:[1] 华东师范大学数学系编.数学分析（上册）.北京:高等教育出版社，2001[2] 复旦大学数学系陈传璋等编.数学分析（下册）.北京:高等教育出版，1979[3] 李成章,黄玉民编. 数学分析（上册）.科学出版社，1998[4] 程其蘘.实变函数与泛函分析基础[M] .2版.北京：高等教育出版社，2003[5] 朱成熹.近世实分析基础[M].天津:南开大学出版社，1993[6] 匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社，2002[7] 薛昌兴.实变函数与泛函分析:上[M].北京:高等教育出版社，1997[8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社，1993[9] 吴良森,毛羽辉著.数学分析学习指导书（上册）.北京:高等教育出版社，2004[10] 胡适耕,张显文著.数学分析原理与方法.北京:科学出版社，2008[11] 陈纪修,於崇华著.数学分析第二版（下册）.北京:高等教育出版社.2004The sequence about limit with gathers the row on lower limit collectionHao Li-jiao 200711150652007 grades of mathematics,science college mathematics and the applied mathematicsprofessions 1 classAbstract：Sequence on, under the limit concept is limit concept extending,because they collect in the divergence distinction law in the seriesof positive terms the vital role, also becomes the theory which in themathematical analysis has no alternative but to say to be partial.This article mainly discussed the sequence about limit with to gatherthe row on lower limit collection as well as their a series of natureKey words: Sequence；Limit；Accumulation points；Sequence of sets；Function。

毕业论文题目上、下极限的性质与应用学生姓名王丹丹学号 **********所在学院数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学数教1101班指导教师洪洁 __ ____ _ 完成地点陕西理工学院 _ __2015年6月10日上、下极限的性质与应用王丹丹（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业数教1101班,陕西 汉中 723000）指导教师:洪洁[摘要]本文总结上、下极限的概念和上、下极限的保序性、保不等式性、以及在四则运算中的一些性质,举例阐明了上、下极限在数列敛散性、极限运算以及级数论中的作用,并且具体论述了上、下极限在实变函数以及测度论中的应用.[关键词]上极限; 下极限; 数列;收敛性1 引言极限思想是数学分析中重要思想,极限思想方法贯穿于数学分析课程的始终.上、下极限的概念[1]是极限概念的延伸,由于上、下极限的引入,对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路,例如,上、下极限在数列的敛散性的证明和数列运算问题上的作用;并且,上、下极限的引入能使极限问题的分析更加细致深入,对于正确地理解和认识数列、函数的上、下极限、更好地认清数列、函数尤其是非收敛数列、函数的内部结构形态有非常重要的作用;另外,上、下极限的概念在数列与级数论以及许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用,例如:实变函数论[2],概率论[3],测度论[4]等学科都从不同角度应用到了上、下极限的概念.所以对上、下极限有个清楚的认识是非常必要的.为了使大学生和即将考研的学生能够全面的认识与理解上、下极限以及它的相关应用,本文将从上、下极限的性质、应用两个方面作深入细致的探讨.2 上、下极限的概念2.1 数列的上、下极限的概念定义2.1.1[5] 若()a b 表示数列{}n x 的最大（小）聚点,则lim n n x a →∞=(lim )n n x b →∞=.定义2.1.2[6] 设{}n x 是有界数列,若()a b 表示数列的所有收敛子列的极限值中的最大（小）者,则lim n n x a →∞=(lim )n n x b →∞=.注 数列{}n x 的上极限lim n n x →∞的特征是（1）∃子列{}k n x 使得lim lim k n n n n x x →∞→∞=(1,2,3)k =.（2）对于{}n x 的任一收敛子列{}k n x 恒有lim lim k n n n n x x →∞→∞≤.同样,下极限lim n n x →∞的特征是（1）∃子列{}k n x 使得lim lim k n n n n x x →∞→∞=(1,2,3)k =.（2）对于{}n x 的任一收敛子列{}k n x 恒有lim lim k n n n n x x →∞→∞≥.（3）若{}k n x 是{}n x 的子列,则lim lim k n n n n x x →∞→∞≤ , lim lim k n n n n x x →∞→∞≥.利用这些,可以将上、下极限的问题,通过选子列的方法解决.定义2.1.3[7] limsup{}k n k n x a →∞≥=称为数列{}n x 的上极限,liminf{}k n k nx b →∞≥=称为数列{}n x 的下极限.注 由于定义2.1.2 设{}n x 是有界数列,下面讨论关于定义2.1.1-2.1.3数列{}n x 无界的情况: （1）数列{}n x 有下界而无上界按定义2.1.1,扩充聚点也可为-∞,+∞,显然,数列{}n x 的最大聚点为+∞,而最小聚点可能为有限数,可能为-∞.按定义2.1.2, -∞,+∞可为极限点,显然,数列{}n x 所有收敛子列的极限组成数集的上确界为+∞,而其下确界可能为有限数,可能为-∞.按定义2.1.3,显然lim n n x →∞=+∞,而inf{}n n kx >单调增加,但可能没有上界,故lim n n x →∞可能为有限数,可能为+∞.（2）数列{}n x 有上界而无下界,同上.（3）数列{}n x 既无上界又无下界,此时按定义2.1.1,定义2.1.2,定义2.1.3,都有lim n n x →∞=+∞,lim n n x →∞=-∞.据上,对无界数列情形,以上三种定义也等价. 定义2.1.4[8] ()1inf sup{}1,2,3k n k nx k ≥≥=称为数列{}n x 的上极限,1supinf{}k k nn x ≥≥称为数列{}n x 的下极限.定义2.1.5[9] 设a 是一个实数（1）若对0ε∀>,有无穷多个n 使得n x a ε>-,同时至多有有限个n 使得n x a ε>+,数a 称为数列{}n x 的上极限,记作lim n n x a →∞=.（2）若对0ε∀>,有无穷多个n 使得n x b ε<+,同时至多有有限个n 使得n x b ε<-,数b 称为数列{}n x 的下极限,记作lim n n x b →∞=.注1 由文献[6]可知定义2.1.1-2.1.5是等价的.注2 由于其优点各异（定义2.1.1、定义2.1.2容易想象,定义2.1.3、定义2.1.4便于运用,定义2.1.5介乎其间）,不同的教材侧重于不同的优点,自然就会出现不同形式的定义了.推论 当lim n n x a →∞=的充分必要条件是lim lim n n n n x x a →∞→∞==.注1 若{}n x 是无界数列,则它的上、下极限至少有一个不存在.当{}n x 没有上界时,我们可以认为它的上极限为+∞,记为lim n n x →∞=+∞;当{}n x 没有下界时,它的极限为-∞,记为lim n n x →∞=-∞.但当数列单方有界时,却不能导出上、下极限之一存在的结论. 2.2 函数的上、下极限定义2.2.1[10] 设()f x 在点x a =的某去心邻域内有定义,如果存在点列()n n x a x a →≠使lim ()()n n f x A A →∞=∈,则称x a →时,()f x 存在子极限A .或者说A 是当x a →时()f x 的一个子极限.与数列情形类似,可以证明子极限必有最大者M *与最小者M *,分别称作上极限与下极限记为lim ()x af x →以及lim ()x af x →.同样有lim ()x af x →存在且仅当lim ()lim ().x ax af x f x →→=2.3集合列的上、下极限定义2.3.1[11]设{}n A 是一个集合列,记lim limn k n n k nA A ∞→∞→∞==;lim limn k n n k nA A ∞→∞→∞==.它们分别称为集合列{}n A 的上极限与下极限.3 上、下极限的性质性质3.1[12]（保序性） lim lim .n n n n x x →∞→∞≤性质3.2[13]（控制性质） 若{}k n x 为{}n x 的子列,则有lim lim k n n n n x x →∞→∞≤lim lim .k n n n n x x →∞→∞≤≤性质3.3[5](保不等式性) 设数列{}n x 和{}n y 是两个有界数列且有0N >,使当n N >时,有n n x y ≤则lim lim n n n n x y →∞→∞≤,lim lim n n n n x y →∞→∞≤.注1 若0n n ∀≥有n x α≤(常数),则有lim n n x α→∞≤;若0n n ∀≥有n x β≥,则有lim n n x β→∞≥.注2 若,αβ为常数,又存在0N >,时有n x αβ≤≤则lim lim n n n n x x αβ→∞→∞≤≤≤.性质3.4[14]（符号性质） lim lim()n n n n x x →∞→∞=--,lim lim()n n n n x x →∞→∞=--.性质3.5[15]（符号性质）（1）若0c <,则lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=,lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=.（2）若0c >,则lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=,lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=.性质3.6 若{}n x 为有界递增数列,则lim lim .n n n n x x →∞→∞= 相比极限运算,上极限和下极限的优点在于不是每个数列都有极限,但每个有界数列却都有上极限和下极限.因此,在一些很难建立数列的收敛性的问题中,采用上极限和下极限作为极限运算的替代物往往是一种很有效的手段.但是另一方面,相比极限运算,上极限和下极限运算又存在一个缺点,就是它们不存在类似于极限的四则运算那样的公式.但仍然成立下列一系列相对较弱的结论. 性质3.7 (加减运算性质)若{}n x ,{}n y 为有界数列,则 lim()lim lim ,n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+ (3.1)lim()lim lim .n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≥+.(3.2)注1 不等式（3.1）和（3.2）中的严格不等号有可能成立.例如,取(1)n n a =-,1(1)n n b -=-,n N +∈,则有lim lim 1n n n n x y →∞→∞==-,lim lim 1n n n n x y →∞→∞==,lim()lim()0n n n n n n x y x y →∞→∞+=+=.推论 若{}n x 和{}n y 中有一个收敛,则有:lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+,lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≥+.性质3.8(加减运算性质) 若{}n x ,{}n y 为有界数列,则lim()lim lim lim()n n n n n n n n n n x y x y x y →∞→∞→∞→∞+≤+≤+.性质3.9(乘法运算性质) 若0n x ≥,()01,2n y n ≥=,则lim()lim lim ,n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞≤lim()lim lim n n n n x x x x y x y →∞→∞→∞≤.特别地,若{}n x 与{}n y 之一收敛时取等号.性质3.10（倒数运算性质） 若0(1,2)n x n >=lim 0n n x →∞>,则11limlim n nn n x x →∞→∞=.推论 若0n x >,1,2,3n =,且1lim lim1n n n nx x →∞→∞=则数列{}n x 收敛.4 上、下极限的应用4.1上、下极限在数列敛散性中的作用上面我们总结了上、下极限的概念以及它的相关性质,下面就利用上、下极限的概念和性质来解决数列的敛散性.例4.1.1若0(1,2,)n x n >=1limn n nx x +→∞≤. 分析 有界数列{}n x 的极限不存在,即有界数列{}n x 发散时,但有界数列{}n x 的上极限和下极限一定是存在的;又由定义2.1.5的推论可知当一个数列收敛时,它的极限值与上、下极限之间的关系.这个例子就是利用这个数列本身的结构及其与上、下极限的关系来证明它的敛散性.证 设1limn n nx x x +→∞=,当x =+∞时,结论必然成立. 当0x ≤<+∞时,由数列极限的定义可知,0ε∀>,0N ∃>当k N >时,有1n nx x x ε+<+, 任取n N >,令,1,,1k N N n =+-,将所得n N -个不等式相乘,由k N >可得:121121()n N N N n nN N n n x x x x x x x x x ε-++-+--⋅⋅<+, 即()n N nNx x x ε-<+, 则()n n x M x ε<+.其中()N N M x x ε-=+,于是有)x ε<+,由此得)x x εε≤+=+.由ε的任意性可知,所证结论成立.例4.1.2设{}n x 为有界数列,{}k n x (1,2,)k =是它的一个子列,1,1a a <≠- ,证明,如果()lim k k n k x ax A →∞+= ,则{}n x 收敛并求其极限.证 由上,下极限的性质3.7有()()lim lim k k k n k n k k A x ax x a →∞→∞=+=+lim lim k k n k k x a x →∞→∞≤+lim lim n n n n x a x →∞→∞≤+,()()lim lim k k k n k n k k A x ax x a →∞→∞=+=+lim lim k k n k k x a x →∞→∞≤+lim lim n n n n x a x →∞→∞≤+,于是lim lim lim lim n n n n n n n n x a x x a x →∞→∞→∞→∞+≥+ .由1a < 可得lim lim n n n n x x →∞→∞≥,从而{}n x 收敛,令 lim n n x c →∞=.则()()lim lim lim 1k k n n k n n n n A x ax x a x a c →∞→∞→∞=+=+=+ ,由于1a ≠- ,因此 lim 1n n A x a→∞=+ . 利用上、下极限讨论问题的方便之处在于,不需要在数列是否有极限的问题上花费太多的功夫,而可以直接利用给定条件来讨论上、下极限的关系,从而少绕了不少弯．下面就是一个例子,如果不使用上、下极限的工具,论证将会比较繁琐.例4.1.3 设非负数列{}n x 满足条件0(1,2,)m n m n x x x m +≤<+=,(1,2,)n = ,证明数列liminf{,1,2,}n n n x xn n n→∞== .证 对任意的1,2,n = 有1121102n n n x x x x x nx --≤≤+≤+≤≤,于是,10n x x n ≤≤,因此数列{}n xn是有界数列,从而上、下极限以及上、下界都是有限数.令 inf{,1,2,}n xn nβ==,则有lim nn x nβ→∞≥.取定正整数m ,对于任意的正整数n ,必有(,,)n pm q p q q m =+∈<,于是n m q a pa a ≤+,因此q n mx x px n pm q n≤++. 对于固定的,m n p →∞⇔→∞,取上极限便得limlim lim q n m m n n n x x px xn pm q n m→∞→∞→∞≤+=+.对于每一个m 都成立,因而liminf{,1,2,}inf{,1,2,}n m n n x x xm n n m nβ→∞≤====,从而有limlim n n n n x xn n→∞→∞≤.又根据limlim n n n n x xn n→∞→∞≥所以liminf{,1,2,}n n n x xn n n→∞==.上、下极限的概念与性质的引入,为很多问题的证明都开辟了一条简便的思路,尤其是对于柯西收敛原则的证明上表现最为突出.如果没有上、下极限的概念与性质,在证明柯西收敛原则的充分性时,就要分三步证明:（1）证明{}n x 有界;（2）证明{}n x 有收敛子列{}k n x 收敛到某个常数a ;（3）证明{}n x 也收敛到a .而利用上、下极限的概念的性质,在证明柯西收敛原则的充分性时就提供了很多方便之处.定理4.1.4 设{}n x 是有界数列.（1）lim n n x a →∞=的充分必要条件是对任何0ε>都存在N ,使当n N ≥ 时,就有n x a ε>- 且在{}n x 的一个子列{}k n x ,使得,1,2,k n x a k ε-<= ;(2)lim n x x a →∞= 的充分必要条件是对任何0ε>都存在N ,使当n N ≥ 时,就有n x a ε>+ 且存在{}n x 的一个子列{}k n x ,使得,1,2,k n x a k ε-<=.定理4.1.5 若{}n x 是有界数列且有lim n n x a →∞= 和lim n x x b →∞=,则有（1） 存在{}n x 的一个子序列收敛于 a ; （2） 存在{}n x 的一个子序列收敛于 b ;（3）存在{}n x 的任一收敛子列,若其极限为 c ,则有a c b ≤≤ .定理4.1.6（柯西收敛原则） 数列收敛的充分必要条件是它是一个柯西数列.证 必要性 设lim n x x a →∞= .于是对于任给的0ε> ,都有N ,使当n N > 时,就有2n x a ε-<.于是当,m N n N >> 时,就有m n m n x x x a x a ε-≤-+-< ,即{}n x 为柯西数列.充分性 设{}n x 是柯西数列.于是有N ,使当,m N n N >> 时,就有1m n x x -< .特别地,当1m N =+ 时,有()1111,,N n N x x x n N ++-<<+>可见,{}n x 有界.对于任给的0ε> ,存在N ' ,使当n N '> 时,就有1n N x x ε'+-< ,11,N n N x x x n N εε''++'-<<+> .在上式中分别取上,下极限,由定理4.1.4得到11lim lim N n n N x n x x x x εε''++→∞→∞-≤≤≤+ .因此有0lim lim 2n n n n x x ε→∞→∞≤-≤ .由0ε> 的任意性即得lim lim n n n n x x →∞→∞≤ .再由定理4.1.5即知{}n x 收敛.注1 柯西数列[10]:设{}n x 是一个数列,如果对于∀0ε>,都存在自然数N ,使当m N >,n N >时,就有m n x x ε-<,则称{}n x 为柯西数列或基本数列.注2 柯西收敛原则的证明为数列的敛散性的证明又提供了一条快速有效的思路,即要证明一个数列是收敛数列,只要证明它是柯西数列便可. 4.2上、下极限在极限运算中的作用例4.2.1已知lim n n x x →∞=,求证01lim1nn x x x x n →∞+++=+.分析 这个题被用作加深学生对极限概念的理解,常见学生犯以下错误:由于对任意0ε>,存在(1,2,)N N =,当k N >时,有k x x x εε-<<+,所以011N x x x n ++++()1n N x n ε-+-+011n x x x n +++<<+ 011N x x x n ++++()1n Nx n ε-+++(4.1) 令n →∞,得到01()lim ()1nn x x x x x n εε→∞+++-≤≤++.再由ε的任意性得到01lim 1n n x x x x n →∞+++≤+. 错误是预先认定了极限01lim 1nn x x x n →∞++++的存在.如果应用上、下极限,就可绕开极限是否存在这个问题.证 由（1）,令n →∞,得到0101()limlim ()11n nn n x x x x x x x x n n εε→∞→∞++++++-≤≤≤+++, 再由ε的任意性得到0101limlim 11n n n n x x x x x x x n n →∞→∞++++++==++. 于是推得01lim1nn x x x x n →∞+++=+.类似上述过程,不少书中直接写为:“令n →∞,（4.1）式的左右两边分别趋于x ε-和x ε+.”由于ε的任意性可得01lim1nn x x x x n →∞+++=+.不是每个数列都有极限,但每个有界数列却都有上极限和下极限.因此,在一些很难建立数列的收敛性的问题中,采用上极限和下极限作为极限运算的替代物往往是一种很有效的手段．下面就是一个利用上极限与下极限运算解决极限问题例子.例4.2.2 设1a >,x >1,1,2,31nn na x x n x ++==+ , (4.2)试证 lim n n x →∞=证 易得到01n x a <<+.因而lim n n x β→∞=与lim n n x α→∞=存在,而且0α≥.由此可得到0β>,令()1xf x x α+=+则()()2211()011x x aaf x x x +---'==<++.故()f x 单调递减.在(1)中取上限可得1a a βαααβββ+≥⇒+≥++, 所以有a a αβαβα+≥+⇒≥≥,故αβ=,因而lim n n x →∞存在,在(1)中取极限,可得出lim n n x →∞=注 如果0β≤,则有αβ=,因而{}n x 的极限存在且等于零,在(4.2)中令n →∞,便得到矛盾. 求解函数的上、下极限,有利于认清函数本身的结构. 例4.2.3 设1()sinf x x=,求0lim ()x f x →,0lim ()x f x →.解 据函数的有界性可知,任何子极限都介于-1和1之间. 选取数列1022n x n =→+则()1()n f x n →→∞.若选取10322n y n =→+则()1()n f y n →-→∞.因此可知0lim ()1x f x →=,0lim ()1x f x →=-.可以证明,任何介于[1,1]-之间的实数都是0x →时1()sin f x x=的子极限. 4.3 上、下极限在级数论中的作用上、下极限在级数理论中将会使一些结果更为完整.例如,利用上、下极限改进了达朗贝尔判别法[10]（比值判别法）,柯西判别法[10]（根值判别法）,使得它们的结论更加完整.而利用改进型的判别法,可以得到幂级数收敛半径的完整性结果.定理4.3.1 对于正项级数1nn u∞=∑,令ρ=那么（1）当1ρ<时,级数1nn u∞=∑收敛;（2）当1ρ>或无穷大时,级数1nn u∞=∑发散;（3）当1ρ=时,级数1nn u∞=∑可能收敛也可能发散.注 改进型的判别法就是针对达朗贝尔判别法（比值判别法）,柯西判别法（根值判别法）这两个判别法中的极限1limn n nu u ρ+→∞=与n ρ=不存在的情形给出的.幂级数收敛半径的结论如下 对于幂级数nn n a x∞=∑,如果1limn n na a ρ+→∞=或n ρ=, （4.3）则幂级数的收敛半径1,0;,0;0,.R ρρρρ⎧≠⎪⎪+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩如果（4.3）的极限不存在,利用上、下极限就可以得到完整的结论.定理4.3.2 对于幂级数nn n a x∞=∑,ρ=,则幂级数的收敛半径1,0;,0;0,.R ρρρρ⎧≠⎪⎪+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩注 定理4.3.2是对幂级数收敛半径的结论的进一步补充,得到幂级数收敛半径完整性的结果. 4.4 上、下极限在后续教程中的应用引入上、下极限的概念在一些后续课程中也有很大的作用.特别是在实变函数的教学中.如大家所知,关于Lebesgue 积分有三大收敛定理,其中Faton 引理的表述就要用到上、下极限的概念. 如果在教学中没有预先引进下极限的概念,理论在这里就将是无法处理的.定理4.4.1（Fatou 引理） 若{()}n f x 是可测集E 上非负可测函数列,则lim ()lim ()nm n x E En n f x d f x d →∞→∞≤⎰⎰.证 非负函数()inf{()}n j g x f x j n =≥显然有1()()n n g x g x +≤,1,2k =,而且lim ()lim ()n n n n g x f x →∞→∞=,x E ∈.由Levi 定理得lim ()lim ()nn E n n E f x dx g x dx →∞→∞=⎰⎰lim ()lim ()n n EEn n g x dx f x dx →∞→∞=≤⎰⎰.注1 Levi 定理[11]:设{()}k f x 是可测集E 上的非负可测函数列,满足12()()()k f x f x f x ≤≤≤≤,且有lim ()()k k f x f x →∞=,x E ∈,则lim()()k EEk f x dx f x dx →∞=⎰⎰.注2 由Faton 引理推导Lebesgue 控制收敛定理时,上、下极限的作用也是不可替代的,最后必须由不等式lim ()()lim ()n x m n m EEn n f x d f x d f x d →∞→∞≤≤⎰⎰⎰.推出 lim()()n m n m EEn f x d f x d →∞=⎰⎰．上、下极限的概念的引入在测度论中也有很重要的作用. 定理4.4.2[2]设集列{}i E 是单调增加的可测集列,1lim i k k i E E E ∞→∞===,则lim (lim )k k k k mE m E mE →∞→∞==.定理4.4.3[2] 设集列{}i E 是单调减少的可测集列,1lim i k k i E E E ∞→∞===,且1mE <+∞,则lim (lim )k k k k mE m E mE →∞→∞==.例4.4.4 设{}n E 是pR 中一列可测集,证明: （1）(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≤;（2）若存在0n ,使0()n n n m E ∞=<+∞,则(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≥.证 （1）因为1lim n k n n k nE E ∞∞→∞===.记n k k nA E ∞==,则12n A A A ⊂⊂⊂.由定理4.4.3得1(lim )()lim ()n k k n n n k nk nm E m E m E ∞∞∞→∞→∞=====.由于对任何(1,2,)N N =,()k n k nm E mE ∞=≤成立,所以(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≤.（2）因为1lim n k n n k nE E ∞∞→∞===,记n k k nB E ∞==,则12n B B B ⊃⊃⊃.又已知存在0n ,使00()()n k k n m B m E ∞==<+∞,由定理4.4.2得1(lim )()lim ()n k k n n n k nk nm E m E m E ∞∞∞→∞→∞=====.由于对任何(1,2,)N ,有()k n k nm E mE ∞=≥,所以(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≥.参考文献[1]隋廷芳.上、下极限的七个等价定义 [J].呼盟电大分校学报,1994:10. 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毕业论文题目上、下极限的性质与应用学生姓名王丹丹学号 **********所在学院数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学数教1101班指导教师洪洁 __ ____ _ 完成地点陕西理工学院 _ __2015年6月10日上、下极限的性质与应用王丹丹（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业数教1101班,陕西 汉中 723000）指导教师:洪洁[摘要]本文总结上、下极限的概念和上、下极限的保序性、保不等式性、以及在四则运算中的一些性质,举例阐明了上、下极限在数列敛散性、极限运算以及级数论中的作用,并且具体论述了上、下极限在实变函数以及测度论中的应用.[关键词]上极限; 下极限; 数列;收敛性1 引言极限思想是数学分析中重要思想,极限思想方法贯穿于数学分析课程的始终.上、下极限的概念[1]是极限概念的延伸,由于上、下极限的引入,对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路,例如,上、下极限在数列的敛散性的证明和数列运算问题上的作用;并且,上、下极限的引入能使极限问题的分析更加细致深入,对于正确地理解和认识数列、函数的上、下极限、更好地认清数列、函数尤其是非收敛数列、函数的内部结构形态有非常重要的作用;另外,上、下极限的概念在数列与级数论以及许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用,例如:实变函数论[2],概率论[3],测度论[4]等学科都从不同角度应用到了上、下极限的概念.所以对上、下极限有个清楚的认识是非常必要的.为了使大学生和即将考研的学生能够全面的认识与理解上、下极限以及它的相关应用,本文将从上、下极限的性质、应用两个方面作深入细致的探讨.2 上、下极限的概念2.1 数列的上、下极限的概念定义2.1.1[5] 若()a b 表示数列{}n x 的最大（小）聚点,则lim n n x a →∞=(lim )n n x b →∞=.定义2.1.2[6] 设{}n x 是有界数列,若()a b 表示数列的所有收敛子列的极限值中的最大（小）者,则lim n n x a →∞=(lim )n n x b →∞=.注 数列{}n x 的上极限lim n n x →∞的特征是（1）∃子列{}k n x 使得lim lim k n n n n x x →∞→∞=(1,2,3)k =.（2）对于{}n x 的任一收敛子列{}k n x 恒有lim lim k n n n n x x →∞→∞≤.同样,下极限lim n n x →∞的特征是（1）∃子列{}k n x 使得lim lim k n n n n x x →∞→∞=(1,2,3)k =.（2）对于{}n x 的任一收敛子列{}k n x 恒有lim lim k n n n n x x →∞→∞≥.（3）若{}k n x 是{}n x 的子列,则lim lim k n n n n x x →∞→∞≤ , lim lim k n n n n x x →∞→∞≥.利用这些,可以将上、下极限的问题,通过选子列的方法解决.定义2.1.3[7] limsup{}k n k n x a →∞≥=称为数列{}n x 的上极限,liminf{}k n k nx b →∞≥=称为数列{}n x 的下极限.注 由于定义2.1.2 设{}n x 是有界数列,下面讨论关于定义2.1.1-2.1.3数列{}n x 无界的情况: （1）数列{}n x 有下界而无上界按定义2.1.1,扩充聚点也可为-∞,+∞,显然,数列{}n x 的最大聚点为+∞,而最小聚点可能为有限数,可能为-∞.按定义2.1.2, -∞,+∞可为极限点,显然,数列{}n x 所有收敛子列的极限组成数集的上确界为+∞,而其下确界可能为有限数,可能为-∞.按定义2.1.3,显然lim n n x →∞=+∞,而inf{}n n kx >单调增加,但可能没有上界,故lim n n x →∞可能为有限数,可能为+∞.（2）数列{}n x 有上界而无下界,同上.（3）数列{}n x 既无上界又无下界,此时按定义2.1.1,定义2.1.2,定义2.1.3,都有lim n n x →∞=+∞,lim n n x →∞=-∞.据上,对无界数列情形,以上三种定义也等价. 定义2.1.4[8] ()1inf sup{}1,2,3k n k nx k ≥≥=称为数列{}n x 的上极限,1supinf{}k k nn x ≥≥称为数列{}n x 的下极限.定义2.1.5[9] 设a 是一个实数（1）若对0ε∀>,有无穷多个n 使得n x a ε>-,同时至多有有限个n 使得n x a ε>+,数a 称为数列{}n x 的上极限,记作lim n n x a →∞=.（2）若对0ε∀>,有无穷多个n 使得n x b ε<+,同时至多有有限个n 使得n x b ε<-,数b 称为数列{}n x 的下极限,记作lim n n x b →∞=.注1 由文献[6]可知定义2.1.1-2.1.5是等价的.注2 由于其优点各异（定义2.1.1、定义2.1.2容易想象,定义2.1.3、定义2.1.4便于运用,定义2.1.5介乎其间）,不同的教材侧重于不同的优点,自然就会出现不同形式的定义了.推论 当lim n n x a →∞=的充分必要条件是lim lim n n n n x x a →∞→∞==.注1 若{}n x 是无界数列,则它的上、下极限至少有一个不存在.当{}n x 没有上界时,我们可以认为它的上极限为+∞,记为lim n n x →∞=+∞;当{}n x 没有下界时,它的极限为-∞,记为lim n n x →∞=-∞.但当数列单方有界时,却不能导出上、下极限之一存在的结论. 2.2 函数的上、下极限定义2.2.1[10] 设()f x 在点x a =的某去心邻域内有定义,如果存在点列()n n x a x a →≠使lim ()()n n f x A A →∞=∈,则称x a →时,()f x 存在子极限A .或者说A 是当x a →时()f x 的一个子极限.与数列情形类似,可以证明子极限必有最大者M *与最小者M *,分别称作上极限与下极限记为lim ()x af x →以及lim ()x af x →.同样有lim ()x af x →存在且仅当lim ()lim ().x ax af x f x →→=2.3集合列的上、下极限定义2.3.1[11]设{}n A 是一个集合列,记lim limn k n n k nA A ∞→∞→∞==;lim limn k n n k nA A ∞→∞→∞==.它们分别称为集合列{}n A 的上极限与下极限.3 上、下极限的性质性质3.1[12]（保序性） lim lim .n n n n x x →∞→∞≤性质3.2[13]（控制性质） 若{}k n x 为{}n x 的子列,则有lim lim k n n n n x x →∞→∞≤lim lim .k n n n n x x →∞→∞≤≤性质3.3[5](保不等式性) 设数列{}n x 和{}n y 是两个有界数列且有0N >,使当n N >时,有n n x y ≤则lim lim n n n n x y →∞→∞≤,lim lim n n n n x y →∞→∞≤.注1 若0n n ∀≥有n x α≤(常数),则有lim n n x α→∞≤;若0n n ∀≥有n x β≥,则有lim n n x β→∞≥.注2 若,αβ为常数,又存在0N >,时有n x αβ≤≤则lim lim n n n n x x αβ→∞→∞≤≤≤.性质3.4[14]（符号性质） lim lim()n n n n x x →∞→∞=--,lim lim()n n n n x x →∞→∞=--.性质3.5[15]（符号性质）（1）若0c <,则lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=,lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=.（2）若0c >,则lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=,lim()lim n n n n cx c x →∞→∞=.性质3.6 若{}n x 为有界递增数列,则lim lim .n n n n x x →∞→∞= 相比极限运算,上极限和下极限的优点在于不是每个数列都有极限,但每个有界数列却都有上极限和下极限.因此,在一些很难建立数列的收敛性的问题中,采用上极限和下极限作为极限运算的替代物往往是一种很有效的手段.但是另一方面,相比极限运算,上极限和下极限运算又存在一个缺点,就是它们不存在类似于极限的四则运算那样的公式.但仍然成立下列一系列相对较弱的结论. 性质3.7 (加减运算性质)若{}n x ,{}n y 为有界数列,则 lim()lim lim ,n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+ (3.1)lim()lim lim .n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≥+.(3.2)注1 不等式（3.1）和（3.2）中的严格不等号有可能成立.例如,取(1)n n a =-,1(1)n n b -=-,n N +∈,则有lim lim 1n n n n x y →∞→∞==-,lim lim 1n n n n x y →∞→∞==,lim()lim()0n n n n n n x y x y →∞→∞+=+=.推论 若{}n x 和{}n y 中有一个收敛,则有:lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+,lim()lim lim n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≥+.性质3.8(加减运算性质) 若{}n x ,{}n y 为有界数列,则lim()lim lim lim()n n n n n n n n n n x y x y x y →∞→∞→∞→∞+≤+≤+.性质3.9(乘法运算性质) 若0n x ≥,()01,2n y n ≥=,则lim()lim lim ,n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞≤lim()lim lim n n n n x x x x y x y →∞→∞→∞≤.特别地,若{}n x 与{}n y 之一收敛时取等号.性质3.10（倒数运算性质） 若0(1,2)n x n >=lim 0n n x →∞>,则11limlim n nn n x x →∞→∞=.推论 若0n x >,1,2,3n =,且1lim lim1n n n nx x →∞→∞=则数列{}n x 收敛.4 上、下极限的应用4.1上、下极限在数列敛散性中的作用上面我们总结了上、下极限的概念以及它的相关性质,下面就利用上、下极限的概念和性质来解决数列的敛散性.例4.1.1若0(1,2,)n x n >=1limn n nx x +→∞≤. 分析 有界数列{}n x 的极限不存在,即有界数列{}n x 发散时,但有界数列{}n x 的上极限和下极限一定是存在的;又由定义2.1.5的推论可知当一个数列收敛时,它的极限值与上、下极限之间的关系.这个例子就是利用这个数列本身的结构及其与上、下极限的关系来证明它的敛散性.证 设1limn n nx x x +→∞=,当x =+∞时,结论必然成立. 当0x ≤<+∞时,由数列极限的定义可知,0ε∀>,0N ∃>当k N >时,有1n nx x x ε+<+, 任取n N >,令,1,,1k N N n =+-,将所得n N -个不等式相乘,由k N >可得:121121()n N N N n nN N n n x x x x x x x x x ε-++-+--⋅⋅<+, 即()n N nNx x x ε-<+, 则()n n x M x ε<+.其中()N N M x x ε-=+,于是有)x ε<+,由此得)x x εε≤+=+.由ε的任意性可知,所证结论成立.例4.1.2设{}n x 为有界数列,{}k n x (1,2,)k =是它的一个子列,1,1a a <≠- ,证明,如果()lim k k n k x ax A →∞+= ,则{}n x 收敛并求其极限.证 由上,下极限的性质3.7有()()lim lim k k k n k n k k A x ax x a →∞→∞=+=+lim lim k k n k k x a x →∞→∞≤+lim lim n n n n x a x →∞→∞≤+,()()lim lim k k k n k n k k A x ax x a →∞→∞=+=+lim lim k k n k k x a x →∞→∞≤+lim lim n n n n x a x →∞→∞≤+,于是lim lim lim lim n n n n n n n n x a x x a x →∞→∞→∞→∞+≥+ .由1a < 可得lim lim n n n n x x →∞→∞≥,从而{}n x 收敛,令 lim n n x c →∞=.则()()lim lim lim 1k k n n k n n n n A x ax x a x a c →∞→∞→∞=+=+=+ ,由于1a ≠- ,因此 lim 1n n A x a→∞=+ . 利用上、下极限讨论问题的方便之处在于,不需要在数列是否有极限的问题上花费太多的功夫,而可以直接利用给定条件来讨论上、下极限的关系,从而少绕了不少弯．下面就是一个例子,如果不使用上、下极限的工具,论证将会比较繁琐.例4.1.3 设非负数列{}n x 满足条件0(1,2,)m n m n x x x m +≤<+=,(1,2,)n = ,证明数列liminf{,1,2,}n n n x xn n n→∞== .证 对任意的1,2,n = 有1121102n n n x x x x x nx --≤≤+≤+≤≤,于是,10n x x n ≤≤,因此数列{}n xn是有界数列,从而上、下极限以及上、下界都是有限数.令 inf{,1,2,}n xn nβ==,则有lim nn x nβ→∞≥.取定正整数m ,对于任意的正整数n ,必有(,,)n pm q p q q m =+∈<,于是n m q a pa a ≤+,因此q n mx x px n pm q n≤++. 对于固定的,m n p →∞⇔→∞,取上极限便得limlim lim q n m m n n n x x px xn pm q n m→∞→∞→∞≤+=+.对于每一个m 都成立,因而liminf{,1,2,}inf{,1,2,}n m n n x x xm n n m nβ→∞≤====,从而有limlim n n n n x xn n→∞→∞≤.又根据limlim n n n n x xn n→∞→∞≥所以liminf{,1,2,}n n n x xn n n→∞==.上、下极限的概念与性质的引入,为很多问题的证明都开辟了一条简便的思路,尤其是对于柯西收敛原则的证明上表现最为突出.如果没有上、下极限的概念与性质,在证明柯西收敛原则的充分性时,就要分三步证明:（1）证明{}n x 有界;（2）证明{}n x 有收敛子列{}k n x 收敛到某个常数a ;（3）证明{}n x 也收敛到a .而利用上、下极限的概念的性质,在证明柯西收敛原则的充分性时就提供了很多方便之处.定理4.1.4 设{}n x 是有界数列.（1）lim n n x a →∞=的充分必要条件是对任何0ε>都存在N ,使当n N ≥ 时,就有n x a ε>- 且在{}n x 的一个子列{}k n x ,使得,1,2,k n x a k ε-<= ;(2)lim n x x a →∞= 的充分必要条件是对任何0ε>都存在N ,使当n N ≥ 时,就有n x a ε>+ 且存在{}n x 的一个子列{}k n x ,使得,1,2,k n x a k ε-<=.定理4.1.5 若{}n x 是有界数列且有lim n n x a →∞= 和lim n x x b →∞=,则有（1） 存在{}n x 的一个子序列收敛于 a ; （2） 存在{}n x 的一个子序列收敛于 b ;（3）存在{}n x 的任一收敛子列,若其极限为 c ,则有a c b ≤≤ .定理4.1.6（柯西收敛原则） 数列收敛的充分必要条件是它是一个柯西数列.证 必要性 设lim n x x a →∞= .于是对于任给的0ε> ,都有N ,使当n N > 时,就有2n x a ε-<.于是当,m N n N >> 时,就有m n m n x x x a x a ε-≤-+-< ,即{}n x 为柯西数列.充分性 设{}n x 是柯西数列.于是有N ,使当,m N n N >> 时,就有1m n x x -< .特别地,当1m N =+ 时,有()1111,,N n N x x x n N ++-<<+>可见,{}n x 有界.对于任给的0ε> ,存在N ' ,使当n N '> 时,就有1n N x x ε'+-< ,11,N n N x x x n N εε''++'-<<+> .在上式中分别取上,下极限,由定理4.1.4得到11lim lim N n n N x n x x x x εε''++→∞→∞-≤≤≤+ .因此有0lim lim 2n n n n x x ε→∞→∞≤-≤ .由0ε> 的任意性即得lim lim n n n n x x →∞→∞≤ .再由定理4.1.5即知{}n x 收敛.注1 柯西数列[10]:设{}n x 是一个数列,如果对于∀0ε>,都存在自然数N ,使当m N >,n N >时,就有m n x x ε-<,则称{}n x 为柯西数列或基本数列.注2 柯西收敛原则的证明为数列的敛散性的证明又提供了一条快速有效的思路,即要证明一个数列是收敛数列,只要证明它是柯西数列便可. 4.2上、下极限在极限运算中的作用例4.2.1已知lim n n x x →∞=,求证01lim1nn x x x x n →∞+++=+.分析 这个题被用作加深学生对极限概念的理解,常见学生犯以下错误:由于对任意0ε>,存在(1,2,)N N =,当k N >时,有k x x x εε-<<+,所以011N x x x n ++++()1n N x n ε-+-+011n x x x n +++<<+ 011N x x x n ++++()1n Nx n ε-+++(4.1) 令n →∞,得到01()lim ()1nn x x x x x n εε→∞+++-≤≤++.再由ε的任意性得到01lim 1n n x x x x n →∞+++≤+. 错误是预先认定了极限01lim 1nn x x x n →∞++++的存在.如果应用上、下极限,就可绕开极限是否存在这个问题.证 由（1）,令n →∞,得到0101()limlim ()11n nn n x x x x x x x x n n εε→∞→∞++++++-≤≤≤+++, 再由ε的任意性得到0101limlim 11n n n n x x x x x x x n n →∞→∞++++++==++. 于是推得01lim1nn x x x x n →∞+++=+.类似上述过程,不少书中直接写为:“令n →∞,（4.1）式的左右两边分别趋于x ε-和x ε+.”由于ε的任意性可得01lim1nn x x x x n →∞+++=+.不是每个数列都有极限,但每个有界数列却都有上极限和下极限.因此,在一些很难建立数列的收敛性的问题中,采用上极限和下极限作为极限运算的替代物往往是一种很有效的手段．下面就是一个利用上极限与下极限运算解决极限问题例子.例4.2.2 设1a >,x >1,1,2,31nn na x x n x ++==+ , (4.2)试证 lim n n x →∞=证 易得到01n x a <<+.因而lim n n x β→∞=与lim n n x α→∞=存在,而且0α≥.由此可得到0β>,令()1xf x x α+=+则()()2211()011x x aaf x x x +---'==<++.故()f x 单调递减.在(1)中取上限可得1a a βαααβββ+≥⇒+≥++, 所以有a a αβαβα+≥+⇒≥≥,故αβ=,因而lim n n x →∞存在,在(1)中取极限,可得出lim n n x →∞=注 如果0β≤,则有αβ=,因而{}n x 的极限存在且等于零,在(4.2)中令n →∞,便得到矛盾. 求解函数的上、下极限,有利于认清函数本身的结构. 例4.2.3 设1()sinf x x=,求0lim ()x f x →,0lim ()x f x →.解 据函数的有界性可知,任何子极限都介于-1和1之间. 选取数列1022n x n =→+则()1()n f x n →→∞.若选取10322n y n =→+则()1()n f y n →-→∞.因此可知0lim ()1x f x →=,0lim ()1x f x →=-.可以证明,任何介于[1,1]-之间的实数都是0x →时1()sin f x x=的子极限. 4.3 上、下极限在级数论中的作用上、下极限在级数理论中将会使一些结果更为完整.例如,利用上、下极限改进了达朗贝尔判别法[10]（比值判别法）,柯西判别法[10]（根值判别法）,使得它们的结论更加完整.而利用改进型的判别法,可以得到幂级数收敛半径的完整性结果.定理4.3.1 对于正项级数1nn u∞=∑,令ρ=那么（1）当1ρ<时,级数1nn u∞=∑收敛;（2）当1ρ>或无穷大时,级数1nn u∞=∑发散;（3）当1ρ=时,级数1nn u∞=∑可能收敛也可能发散.注 改进型的判别法就是针对达朗贝尔判别法（比值判别法）,柯西判别法（根值判别法）这两个判别法中的极限1limn n nu u ρ+→∞=与n ρ=不存在的情形给出的.幂级数收敛半径的结论如下 对于幂级数nn n a x∞=∑,如果1limn n na a ρ+→∞=或n ρ=, （4.3）则幂级数的收敛半径1,0;,0;0,.R ρρρρ⎧≠⎪⎪+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩如果（4.3）的极限不存在,利用上、下极限就可以得到完整的结论.定理4.3.2 对于幂级数nn n a x∞=∑,ρ=,则幂级数的收敛半径1,0;,0;0,.R ρρρρ⎧≠⎪⎪+∞=⎨⎪=+∞⎪⎩注 定理4.3.2是对幂级数收敛半径的结论的进一步补充,得到幂级数收敛半径完整性的结果. 4.4 上、下极限在后续教程中的应用引入上、下极限的概念在一些后续课程中也有很大的作用.特别是在实变函数的教学中.如大家所知,关于Lebesgue 积分有三大收敛定理,其中Faton 引理的表述就要用到上、下极限的概念. 如果在教学中没有预先引进下极限的概念,理论在这里就将是无法处理的.定理4.4.1（Fatou 引理） 若{()}n f x 是可测集E 上非负可测函数列,则lim ()lim ()nm n x E En n f x d f x d →∞→∞≤⎰⎰.证 非负函数()inf{()}n j g x f x j n =≥显然有1()()n n g x g x +≤,1,2k =,而且lim ()lim ()n n n n g x f x →∞→∞=,x E ∈.由Levi 定理得lim ()lim ()nn E n n E f x dx g x dx →∞→∞=⎰⎰lim ()lim ()n n EEn n g x dx f x dx →∞→∞=≤⎰⎰.注1 Levi 定理[11]:设{()}k f x 是可测集E 上的非负可测函数列,满足12()()()k f x f x f x ≤≤≤≤,且有lim ()()k k f x f x →∞=,x E ∈,则lim()()k EEk f x dx f x dx →∞=⎰⎰.注2 由Faton 引理推导Lebesgue 控制收敛定理时,上、下极限的作用也是不可替代的,最后必须由不等式lim ()()lim ()n x m n m EEn n f x d f x d f x d →∞→∞≤≤⎰⎰⎰.推出 lim()()n m n m EEn f x d f x d →∞=⎰⎰．上、下极限的概念的引入在测度论中也有很重要的作用. 定理4.4.2[2]设集列{}i E 是单调增加的可测集列,1lim i k k i E E E ∞→∞===,则lim (lim )k k k k mE m E mE →∞→∞==.定理4.4.3[2] 设集列{}i E 是单调减少的可测集列,1lim i k k i E E E ∞→∞===,且1mE <+∞,则lim (lim )k k k k mE m E mE →∞→∞==.例4.4.4 设{}n E 是pR 中一列可测集,证明: （1）(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≤;（2）若存在0n ,使0()n n n m E ∞=<+∞,则(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≥.证 （1）因为1lim n k n n k nE E ∞∞→∞===.记n k k nA E ∞==,则12n A A A ⊂⊂⊂.由定理4.4.3得1(lim )()lim ()n k k n n n k nk nm E m E m E ∞∞∞→∞→∞=====.由于对任何(1,2,)N N =,()k n k nm E mE ∞=≤成立,所以(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≤.（2）因为1lim n k n n k nE E ∞∞→∞===,记n k k nB E ∞==,则12n B B B ⊃⊃⊃.又已知存在0n ,使00()()n k k n m B m E ∞==<+∞,由定理4.4.2得1(lim )()lim ()n k k n n n k nk nm E m E m E ∞∞∞→∞→∞=====.由于对任何(1,2,)N ,有()k n k nm E mE ∞=≥,所以(lim )lim n n n n m E mE →∞→∞≥.参考文献[1]隋廷芳.上、下极限的七个等价定义 [J].呼盟电大分校学报,1994:10. [2]胡长松.实变函数[M].北京:科学出版社,2002.11:56-57.[3]Robert Ely.Nonstandard Student Conceptions About Infinitesimals[J].Journal For Research in Mathematics Education,2010,41;117-146.[4]Ryszard Engelking.General Topology[M].London:Warszarva,1977:27-47.[5]华东师范大学数学系编:数学分析（第三版）（上）[M].北京:高等教育出版社,2001:172-176. [6]杜其奎,陈金茹.数学分析精读讲义（上）[M].北京:科学出版社,2012:236-237. [7]崔尚斌.数学分析教程（上）[M].北京:科学出版社,2013:70-71.[8]毛羽辉,韩士安,吴畏.数学分析学习指导书（第四版）(上) [M]. 北京:高等教育出版社,2011.6:249-252. [9]马建国.数学分析（上）[M].北京:科学出版社,2011.5:53-55.[10]郭林,王学武,刘柏枫.数学分析（3）[M]. 北京:清华大学出版社,2012.4:13-15. [11]郭懋正.事变函数与泛函分析[M].北京:北京大学出版社,2005.2:117-118. [12]李成章,黄玉民.数学分析（第二版）（上）[M]. 北京:科学出版社,2007:40-41. [13]叶常青.数列上、下极限的新定义及其应用[J].漳州师院学报,1996:48-52. [14][美]G.克莱鲍尔.数学分析[M].上海:科学技术出版社,1983:50-52.[15]王振福,张建军.数列的上极限与下极限探析[J]. 包头:包头职业技术学院学报,2008.3（1）:12-14.The Nature Of the Superior and Inferior Limits and theApplicationWangDanDan（Grade110, Class1, Major Mathematics and applied mathematics, Mathematics Dept, Shaanxi Universityof Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi ）Tutor: Hong JieAbstract :This article introduced the concept of the superior and inferior limits and superior and inferior limits ofisotony, protecting the inequality and some properties in the arithmetic, an example is given to illustrate the role of thesuperior and inferior limits in the sequence convergence and divergence, equivalent and theory of series and discussed the superior and inferior limits in real functions of real variable and the application of the theory of seies.Key words:Superior Limit; Inferior Limit; Sequence; Convergence。

数列、函数上下极限的性质及其应用开题报告开题报告数列、函数上下极限的性质及其应用一、选题的背景、意义众所周知,极限理论是高等数学的基础,其地位的重要性毋庸多言.极限思想在数学中起着非常重要的作用.数学家拉夫纶捷夫曾说:“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果.”极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺,中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。

提到极限思想,就不得不提到由古希腊的著名哲学家芝诺提出的著名的阿基里斯悖论??一个困扰了数学界十几个世纪的问题。

无独有偶,我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言“一尺之锤,日取其半,万事不竭.”这更是从直观上体现了极限思想。

我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用.以上诸多内容可以上溯到2000多年前,都是极限思想萌芽阶段的一些表现,尽管在这一阶段人们没有明确提出极限这一概念,但大致在16、17世纪真正意义上的极限得以产生.从这一时期开始,极限与微积分开始形成密不可分的关系,并且最终成为微积分的直接基础。

尽管极限概念被明确提出,可是它仍然过于直观,与数学上追求严密的原则相抵触.到18世纪时,罗宾斯、达朗贝尔与罗伊里艾等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础,并且都对极限做出了定义.然而他们仍然没有摆脱对几何直观的依赖.直至19世纪,维尔斯特拉斯提出了极限的静态定义.在这一静态定义中,“无限”“接近”等字眼消失了,取而代之的是数字及其大小关系.它的“ε-N”定义远没有建立在运动和直观基础上的描述性定义易于理解.这也体现出了数学概念的抽象性,越抽象越远离原型,然而越能精确地反映原型的本质.而上、下极限的概念是极限概念的延伸,由于它们在正项级数收敛性的判别法的重要作用,成为数学分析中重要的理论部分.此外,由于上下极限的引入,使得极限多了一条判别定理,对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路,都有着重要的意义.正确地理解和认识数列、函数的上、下极限,有利于更好地认清数列、函数尤其是非收敛数列、函数的内部结构形态.上、下极限的概念在许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用。

文献综述数列、函数上下极限的性质及其应用一、前言部分极限的概念是数学分析中最基本的概念之一,也是高等数学中的一个最重要的理论部分.极限思想在数学中起着非常重要的作用.数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果.” 极限思想 揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。

借助极限思想,人们可以从有限认识无限,从直线形认识曲线形从不变认识变,从量变认识质变,从近似认识精确.极限思想是社会实践的产物.极限的思想可以追溯到古代,在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽.但从现在的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数 学上,当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题.直到公元3世纪，我国魏晋时期的数学 家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”．由于他所采用的圆的半径为1,这样 圆的面积在数值上即等于圆周率,所说刘徽成功地创立了科学的求圆周率的方法.刘徽采用的具体做法是:在半径为一尺的圆内,作圆的内接正六边形,然后逐渐倍增边数,依次算出内接正6边形、正12边形、… 、直至562⨯(192)边形的面积。

他利用公式22n n r l s n ⋅=⋅(n l 为内接正n 边形的边长，2n s 为内接2n 边形的面积)来求正多边形的面积.他的极限思想是“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失”.第一个创造性地将极限思想应用到数学领域.这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础.刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用:古希腊人的穷竭 法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明．到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观运用极限思想思考问题 ，放弃 了归谬法的证明.如此,他在无意中将极限发展成为一个实用概念．从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。

2012届本科毕业论文函数的上下极限及其应用学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学08班学生姓名：指导教师：答辩日期：2012年5月 3 日新疆师范大学教务目录引言 (1)1. 数列上下极限的基本概念 (1)2．函数上下极限的定义及等价述 (2)3．单侧上，下极限 (6)4.函数上，下极限的不等式 (6)总结 (6)5.函数得上下极限列题 (6)参考文献 (8)函数的上下极限及其应用摘要：数列的上、下极限和函数的上、下极限是数列极限和函数极限的进一步加深和推广，所以我们将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题.关键词：函数；数列；上极限；下极限引言数列的上、下极限对于研究数列的性质有重要作用，本文将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题..1数列上下极限的基本概念定义：数列{}n x 的上，下极限可用εδ-语言来描述如下：数lim n x μ=意指如下两条件成立：a ）ε∀> 0，n x 终<εμ+（即ε∀> 0，∃N> 0当n > N 时，恒有n x <εμ+） （此条等价于：∀c>μ，n x 终<c ）。

b ）ε∀> 0，n x 常>με-（即ε∀> 0，∀N> 0，∃n > N ，使得n x >με-） （此条等价于：∀c<μ，n x 常>c ）。

同样，lim n n x λ→∞=意指：a ')ε∀> 0，n x 终>λε- .b ') ε∀> 0, n x 常<λε+.另外，当且仅当{}n x 上无界时，规定lim n n x →∞=+∞；当且仅当lim n n x →∞=+∞时，规定lim n n x →∞=lim n n x →∞=+∞；当且仅当{}n x 下无界时，规定lim nn x →∞=-∞；当且仅当lim nn x →∞=-∞时，规定lim lim n n n n x x ∞→→∞==-∞.定理：1.任一有界数列，存在收敛的子数列（一下称之为致密性原理）.任何数列都有广义收敛子数列（广义收敛，意指及极限允许为无穷大）. 2.数列{}n x 的上极限的特征是：a ）∃子数列{k n x }使得lim lim knn k n x x →∞→∞=.b ）对于{}n x 的任一收敛子数列{k n x }，恒有lim lim k n n k n x x →∞→∞≤. 同样，下极限lim n x 特征是：a ')∃子数列{k n x }，使lim k n k x →∞lim n n x →∞=.b '）∀收敛子数列{k n x }，有lim k n k x →∞≥lim n n x →∞.3.如{k n x }是{}n x 的子数列，则lim k n k x →∞lim n n x →∞≤，lim k n k x →∞lim n n x →∞≥利用这些，我们可以将上，下极限的问题，通过选子数列的方法解决。

毕业论文开题报告数学与应用数学数列、函数上下极限的性质及其应用一、选题的背景、意义众所周知，极限理论是高等数学的基础，其地位的重要性毋庸多言.极限思想在数学中起着非常重要的作用.数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果.”极限思想的萌芽阶段以希腊的芝诺，中国古代的惠施、刘徽、祖冲之等为代表。

提到极限思想，就不得不提到由古希腊的著名哲学家芝诺提出的著名的阿基里斯悖论——一个困扰了数学界十几个世纪的问题。

无独有偶，我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭.”这更是从直观上体现了极限思想。

我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用.以上诸多内容可以上溯到2000多年前，都是极限思想萌芽阶段的一些表现，尽管在这一阶段人们没有明确提出极限这一概念，但大致在16、17世纪真正意义上的极限得以产生.从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。

尽管极限概念被明确提出，可是它仍然过于直观，与数学上追求严密的原则相抵触.到18世纪时，罗宾斯、达朗贝尔与罗伊里艾等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础，并且都对极限做出了定义.然而他们仍然没有摆脱对几何直观的依赖.直至19世纪，维尔斯特拉斯提出了极限的静态定义.在这一静态定义中，“无限”“接近”等字眼消失了，取而代之的是数字及其大小关系.它的“ε－N”定义远没有建立在运动和直观基础上的描述性定义易于理解.这也体现出了数学概念的抽象性，越抽象越远离原型，然而越能精确地反映原型的本质.而上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数收敛性的判别法的重要作用，成为数学分析中重要的理论部分.此外，由于上下极限的引入，使得极限多了一条判别定理，对于某些定理和题目的证明开通了一条全新的思路，都有着重要的意义.正确地理解和认识数列、函数的上、下极限，有利于更好地认清数列、函数尤其是非收敛数列、函数的内部结构形态.上、下极限的概念在许多后继数学课程和研究领域里都有重要的应用。

目录数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要 (01)一、数列的上极限、下极限的定义 (01)1. 用“数列的聚点”来定义 (01)2. 用“数列的确界”来定义 (02)3. 数列上、下极限定义的等价性 (02)二、数列的上、下极限的性质及定理 (04)参考文献 (14)英文摘要 (15)数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数一、数列的上极限、下极限的定义关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列{}n x 的一个聚点.例1 数列{(1)}1n nn -+有聚点1-与1； 数列{sin}4n π有1,22--和1五个聚点； 数列1{}n只有一个聚点0；常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1.定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作lim n a →+∞=大;lim n n a x →∞=小.例2 lim (1)11nn n n →+∞-=+(),lim 111n n n →∞-=-+lim sin14n n π→+∞=,limsin 14n n π→∞=- 11lim lim 0n n n n→+∞→∞==2. 用“数列的确界”来定义定义3 任给数列{}n x ，定义lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥=;lim lim inf{}n k n k nn x x →∞≥→∞= （1）分别称为数列{}n x 的上极限和下极限.若定义1中的a 可允许是非正常点+∞或-∞，则：任一点列{}n x 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为()+∞-∞.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限()+∞-∞.例3 lim ((1)1)n n n →+∞-+=+∞,lim (1)n n n →+∞-=-∞,lim(1)n n n →∞-=-∞3. 数列上、下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==大；lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.证明：如果l i m s u p {}k n k nx →∞≥=+∞，由于s u p {}kk nx ≥关于n 单调递减，所以sup{}k k nx ≥=+∞，n N ∀>.于是，可取1n ∈（自然数）1..1n s t x >,又可取2,n ∈221,..2,,n n n s t x >>所以，得到数列{}n x 的子列{}()n k x k →+∞→+∞.这就证明了+∞为数列的聚点，且为最大聚点a 大.由此可得lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==+∞=大;如果limsup{}k n k nx →∞≥<+∞，则limsup{}k n k nx →∞≥=-∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.,n ∀∈,,i i n n i n ≥≥≥当时有sup{}i n k k nx x ≥≤，lim sup{}i n k i k na x x →∞≥=≤，limsup{}k n k na x →∞≥≤,所以，数列{}n x 的最大聚点满足lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥≤.另一方面， lim ,n n y x →+∞∀>易见，[)∞y,+中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，,N ∃∈当k N >时，有k x y <，从而，当n N >时，有sup{},k k nx y ≥≤由此可得limsup{}k n k nx y →∞≥≤.令()lim nn y x +→+∞→，推出limsup{}lim k n n n k nx x →∞→+∞≥≤.综合上述，有lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==.类似的可证明或应用上式于{}n x -可证得lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.如果lim inf{}k n k nx →-∞≥=-∞，由于inf{}k k nx ≥关于n 单调递减，所以inf{}k k nx ≥=-∞，对n N ∀>.于是，可取自然数1n 使得11-<n x ,又可取自然数2n 12n n >使得22-<n x ……所以，得到数列{}n x 的子列{k n x }-∞→.这就证明了∞-为数列的聚点，且为最小聚点小a .由此可得lim lim inf{}n k n k nn a x x →-∞≥→∞==小;如果lim inf{}k n k nx →-∞≥>-∞，则lim inf{}k n k nx →-∞≥=+∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.任意的n 是自然数,,i i n n i n ≥≥≥当时有k n x ≥inf{}k k nx ≥lim inf{}i n k i k na x x →∞≥=≥lim inf{}k n k na x →+∞≥≥所以，数列{}n x 的最小聚点满足lim n n x →∞≥lim inf{}k n k nx →+∞≥.另一方面，对任意的y ≥lim n n x →∞易见，（-],y ∞中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，存在N 是自然数当k N >时，有y x k >，从而，当n N >时，有inf{}k k nx ≥y ≥，由此可得lim inf{}k n k nx →+∞≥y ≥.令y →[lim n n x →∞]-，推出lim inf{}k n k nx →+∞≥≥lim n n x →∞.综合上述，有lim lim inf{}n k n k nn a x x →+∞≥→∞==小.下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.二、数列的上、下极限的性质及定理设有数列{}n x 与数列{}n y ，则数列的上、下极限有以下性质性质 1 lim lim n n n n x x →+∞→∞≥； （2）性质 2 lim lim lim n n n n n n x A x x A →+∞→+∞→∞=⇔==例 4 用上下极限理论证明：若{}n x 是有界发散数列，则存在{}n x 的两个子列收敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是lim lim n n n n x x →+∞→∞≠，于是存在{}n x 的两个子列{}{}''',k k n n x x ，使'l i m l i mk n n n n x x →+∞→+∞=，''lim lim k n n n n x x →+∞→∞=，即存在{}n x 的两个子列收敛于不同的极限.性质 3 （保不等式性质）设有界数列{}n x ，{}n y 满足：存在00N >,当0n N >时有n n x y ≤，则lim lim n n n n x y →+∞→+∞≤;lim lim n n n n x y →∞→∞≤;特别，若,αβ为常数，又存在00N >，当0n N >时有n a αβ≤≤，则lim lim n n n n a a αβ→+∞→∞≤≤≤性质 4 设0,0,(1,2,)n n x y n ≥≥=，则lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞⋅≤≤⋅ （3）lim lim lim lim lim n n n n n nn n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅（4）例5 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅(0)n x ≥证明：分三种情况讨论1、 若lim 0n n y →+∞>，则{}n y 中有无穷多项大于零，作新序列,0max{,0}00n n n n n y y y y y +>⎧==⎨≤⎩当时，当时则0n y +≥，且lim lim n n n n y y +→+∞→+∞=，对{}n x {}n y +应用（4）有lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y +++→+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅因{}n x 收敛，所以 lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，故上式表明 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅=⋅但 lim lim lim n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞==（）0n x ≥（因）所以 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=2、 若lim n n y →+∞=-∞，在限制条件下，lim 0n n x →+∞>，因此n 充分大时有0n x >，这时等式明显成立.3、 若lim 0n n y →+∞-∞<≤，可取充分大的正常数C>0,使得l i m ()0n n y C →+∞+>， 如此应用1、的结果， lim ()lim lim ()n n n n n n n x y C x y C →+∞→+∞→+∞+=⋅+再根据（3），此即 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x C x y x C →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+⋅=⋅+⋅从而 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅，证毕.性质 5 在不发生()±∞∞)+(情况下，有如下不等式成立：1、lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+2、lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+3、lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+≤+事实上，这里的等号可以不发生，如对{}{1,0,1,0,1,0,}n x =； {}{0,2,0,2,0,2,}n y =， 这时{}{1,2,1,2,1,2,}n n x y +=lim lim 0lim()1n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+=<+=lim ()2lim lim 3n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=<+=例6 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=+证：我们已有lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+注意{}n x 收敛，因此lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，所以上式即为 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+即成立.例7 证明：（1）lim lim lim()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞+≤+≤+（2）lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+证： 先证： lim ()lim n n n n x x →+∞→+∞-=-（1） 设lim n n x a →+∞=，则依上极限定义，0ε∀>，数列{}n x 中至多只有N 项大于a ε+，而有穷项小于a ε-，即对{}n x -，至多有N 项小于a ε--，而有穷项大于a ε-+，所以依下极限定义，有 lim()n n x a →∞-=-，即lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-.设 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，lim()n n n x y a b →∞+=+用反证法，设c a b <+，依下极限定义，0ε∀>，N ∃,当n N >时，有n n x y c ε+<+ 不妨设 1()2a b c ε=+-， 则当n N >时， n n x y c a b εε+<+<+- 又有 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，依下极限定义，则当1n N >时，2n x a ε<-，当2n N < 时2n y b ε<-，由此推出矛盾，故a b c +≤，即lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+，又令n n n d x y =+，则()n n n x d x =+-.于是lim lim()lim n n n n n n d y x →∞→∞→∞+-≤，由于 lim()lim n n n n y y →+∞→∞-=-，所以 lim lim()lim lim n n n n n n n n n d x y x y →+∞→∞→∞→∞≤+≤+（2） 以n y -及n x -分别代替题（1）中的n x 与n y ，有lim()lim()lim ()lim lim n n n n n n n n n n n y x x y y x →+∞→∞→∞→∞→∞-+-≤-+≤+-，由 lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-得 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞--≤-+≤--，即 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+，当{}:0,1,2,0,1,2,n x ；{}:2,3,1,2,3,n y 时，题（1）（2）中仅不等号成立.性质 6lim ()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;性质 7 若 lim 0n n x →∞>，则1lim lim1n n n nx x →+∞→∞⋅=; （7）例7 证：若0,(1,2,)n a n >=且1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=，则数列{}n a 收敛.证明：若lim 0n n a →∞=，则∃子列{}k n a ，lim 0k n k a →+∞=，于是有1limkk n a →+∞=+∞，这与1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=相矛盾，这样应当有lim 0n n a →+∞>，然后用上下极限等价定义来证明.性质8 当 n x a →，且0n x ≥，则下式右端有意义（不是0⋅∞型）时，有lim lim n n n n n x y a y →∞→∞=;lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=.证明：以第二式为例给出证明首先设 lim 0n n y b →+∞=>，其中b 为有限数或+∞.令 ,00,0.n n n n y y z y >⎧=⎨≤⎩当；当则lim lim n n n n z y b →+∞→+∞==;lim lim n n n n n n x z x y →+∞→+∞=.由0,0n n x z ≥≥得lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x z x z x z →+∞→+∞→+∞→+∞→∞≤≤⋅，即lim lim lim n n n n n n n a z x z a z →+∞→+∞→+∞≤≤⋅，也就是lim lim n n n n n x z a z →+∞→+∞=⋅，代回到n y 就得到lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=⋅.其次设 lim 0n n y b →+∞=≤ （b 为有限数）只要用1n y b +代替n y （其中10b b +>），就可得证. 最后 lim n n y →+∞=-∞，这时即n y →-∞，且0a ≠（否则出现0⋅∞型），显然n n x y →-∞.下面定理指出，对一切数列{}n x 的上、下极限必存在（包括±∞）. 定理 1（1）有界数列{}n x 至少有一个聚点,存在最大聚点与最小聚点,且这两个聚点都为实数,它们分别为上极限lim n n x →+∞与下极限lim n n x →∞;（2）如果数列{}n x 无上界,则lim n n x →+∞=+∞,此时+∞为数列{}n x 的最大聚点;如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=,此时lim n n x →+∞=-∞;② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最大聚点,它就是lim n n x →+∞;（3） 如果数列{}n x 无下界,则lim n n x →∞=-∞,此时-∞为数列{}n x 的最小聚点;如果数列{}n x 有下界a① 若[],,b a a b ∀>中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=+∞=,此时lim n n x →+∞=+∞;② 若[],,b a a b ∃>中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最小聚点,它就是lim n n x →∞.证明: (1) 因数列{}n x 有界,令{}[][]11|,,.n M M a b ∈⊂-=n x 将[]11,a b 两等分,则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]22,a b ,则[][]1122,,a b a b ⊃,且 ()221112b a b a M -=-=； 再将[]22,a b 两等分, 则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]33,a b ,则[][]2233,,a b a b ⊃,且()3322122M b a b a -=-=； 如此下去得到一个递降闭区间套:[][][]1122,,,k k a b a b a b ⊃⊃⊃⊃；10()2k k k Mb a k --=→→+∞， 且每个闭区间[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项.由闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈对0x 的任何开领域U，0,..s t ε∃> 000(;)(,)B x x x Uεεε=-+⊂，则N ∃∈，当k N >时，00[,](,)k k a b x x U εε⊂-+⊂，从而U 中含有数列{}n x 的无限多项，所以0x 为数列{}n x 的聚点.至于最大聚点的存在性，只需在上述证明过程中，当每次将区间[]11,k k a b --等分为两个区间时，若右边一个含数列的无限多项，将它取为[],k k a b ；若右边一个含数列的有限项，则取左边的子区间为[],k k a b .于是，所选[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项，同时在[],k k a b 的右边都至多含有数列的有限项，其中()1111111()022k k k k k b a b a b a ----=-==-→ ()k →+∞ 再根据闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈.下证0x 为数列{}n x 的最大聚点.（反证） 若不然，设另有数列{}n x 的聚点*00,x x >令*001()0,3x x δ=->则有 ***000(;)(,)B x x x δδδ=-+ 内都含有数列{}n x 的无限多项，但当k 充分大时，***000(;)(,)B x x x δδδ=-+完全落在[],k k a b 的右边，这与上述[],k k a b 的右边都至多含有数列{}n x 的有限项矛盾.类似可证最小聚点的存在性，或用{}n x -代替{}n x .（2） 如果数列{}n x 无上界,则{}n x 必有子列{}k n x ,..lim k n n s t x →+∞=+∞,因此,+∞ 为数列{}n x 的最大聚点,从而lim n n x →+∞=+∞.如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则根据极限为-∞的定义可知,lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=；② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,由(1)的结果, 数列{}[],n x a b 有最大聚点,显然它也是数列{}n x 的最大聚点,即为lim n n x →+∞； (3) 类似(2)可证明,或用{}n x -代替{}n x .定理 2 lim lim lim n n n n n n x a x x a →+∞→+∞→∞=⇔==.证明：()⇒ 设lim n n x a →+∞=，则对a 的任一邻域U ，N ∃∈，当n N >时，n x U ∈，从而a 为数列{}n x 的一个聚点.b a ∀≠， 则存在a 的开邻域a U ，b 的开邻域b U ，..ab s tU U φ= . 由于lim n n x a →+∞=，故N ∃∈，当n N >时，n a x U ∈，所以n b x U ∉，从而b U 中至多含有数列{}n x 的有限项（如12,,,N x x x ）因此，b 不为数列{}n x 的聚点.综上可知，a 为数列{}n x 的唯一聚点，所以lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.或者，因lim n n x a →+∞=，故{}n x 的任何子列{}k n x 也必有lim k n n x a →+∞=.因此，数列{}n x 有唯一的聚点，从而lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.()⇐ 设lim lim n n n n x x a →+∞→∞==，则数列{}n x 只有一个聚点a ，因此，对a 的任一开邻域U ，在U 外只含有数列{}n x 的有限多项1,,k n n x x （否则数列{}n x 在U 外还有异于a 的聚点，这与数列{}n x 只有一个聚点相矛盾）.于是，当{}1max ,,1k n N n n >=时，有n x U ∈，这就证明了lim n n x a →+∞=.定理 3 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 大为数列{}n x 的上极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε<+大;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε>-∀∈大；(3) ,a a ∀>大 数列{}n x 中大于a 的项至多有限个;,b a ∀<大 数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.证明：(1)(2)⇒:因a 大为数列{}n x 的聚点,故0,ε∀>在()a a a εεε=-+大大大；（，）内含有数列{}n x 的无限多项{}12|knx n n <<，则有,kn xa k ε>-∀∈大.又因a 大为数列{}n x 的最大聚点，故在a ε+大的右边至多只含有数列{}n x 的有限多项（否则必有数列{}n x 的聚点a ε≥+大，这与a 大为数列{}n x 的最大聚点相矛盾）.设此有限项的最大指标为N ，则当n N >时，有n x a ε<+大.(2)(3)⇒:,a a ∀>大令a a ε=-大，由（2）知，N ∃∈，当n N >时，有n x a ε<+大()a a a a =+-=大大.故数列{}n x 中大于a 的项至多有限个.b a ∀<大，令a b ε=-大，由（2）知，存在数列{}n x 的子列{}k n x ，,k n x a b ε>-=大k ∀∈，故数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.(3)(1)⇒:设U 为a 大的任一开邻域，则0,..(;).s t B a a a U εεεε∃>=-+⊂大大大（，）由于a a a ε=+>大大，根据（3），{}n x 中大于a a ε=-大有无限多项.因此a a ε-+大大（， ε）中含有数列{}n x 的无限项，从而U 中含有数列{}n x 的无限项，这就证明了a 大为数列{}n x 的一个聚点.另一方面，a a ∀>大，记1()2a a ε=-大.由（3）知，数列{}n x 中大于()a a ε+>大大的项至多有限个.故a 不为数列{}n x 的一个聚点，这就证明了a 大为数列{}n x 的最大聚点，即a 大为数列{}n x 的上极限.定理 4 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 小为数列{}n x 的下极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε>-小;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε<+∀∈小；(3) b a∀<小，数列{}n x中小于b的项至多有限个;a a∀>小，数列{}n x中小于a的项有无限多个.证明：类似定理3证明,或用{}n x-代替{}n x.从一些性质和定理的证明可以看出有些步骤用到数列上，下极限定义方面的证明过程.此外，关于不同对象的上、下极限的定义，本质上都起源于数列的上、下极限定义，比如，集合列的上，下限极等，在此就不做介绍了.参考文献:[1] 华东师范大学数学系编.数学分析（上册）.北京:高等教育出版社，2001[2] 复旦大学数学系陈传璋等编.数学分析（下册）.北京:高等教育出版，1979[3] 李成章,黄玉民编. 数学分析（上册）.科学出版社，1998[4] 程其蘘.实变函数与泛函分析基础[M] .2版.北京：高等教育出版社，2003[5] 朱成熹.近世实分析基础[M].天津:南开大学出版社，1993[6] 匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社，2002[7] 薛昌兴.实变函数与泛函分析:上[M].北京:高等教育出版社，1997[8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社，1993[9] 吴良森,毛羽辉著.数学分析学习指导书（上册）.北京:高等教育出版社，2004[10] 胡适耕,张显文著.数学分析原理与方法.北京:科学出版社，2008[11] 陈纪修,於崇华著.数学分析第二版（下册）.北京:高等教育出版社.2004The sequence about limit with gathers the row on lower limit collectionHao Li-jiao 200711150652007 grades of mathematics,science college mathematics and the applied mathematicsprofessions 1 classAbstract：Sequence on, under the limit concept is limit concept extending,because they collect in the divergence distinction law in the seriesof positive terms the vital role, also becomes the theory which in themathematical analysis has no alternative but to say to be partial.This article mainly discussed the sequence about limit with to gatherthe row on lower limit collection as well as their a series of natureKey words: Sequence；Limit；Accumulation points；Sequence of sets；Function。

目录数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要 (01)一、数列的上极限、下极限的定义 (01)1. 用“数列的聚点”来定义 (01)2. 用“数列的确界”来定义 (02)3. 数列上、下极限定义的等价性 (02)二、数列的上、下极限的性质及定理 (04)参考文献 (14)英文摘要 (15)数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数一、数列的上极限、下极限的定义关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列{}n x 的一个聚点.例1 数列{(1)}1n nn -+有聚点1-与1； 数列{sin}4n π有1,22--和1五个聚点； 数列1{}n只有一个聚点0；常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1.定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作lim n a →+∞=大;lim n n a x →∞=小.例2 lim (1)11nn n n →+∞-=+(),lim 111n n n →∞-=-+lim sin14n n π→+∞=,limsin 14n n π→∞=- 11lim lim 0n n n n→+∞→∞==2. 用“数列的确界”来定义定义3 任给数列{}n x ，定义lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥=;lim lim inf{}n k n k nn x x →∞≥→∞= （1）分别称为数列{}n x 的上极限和下极限.若定义1中的a 可允许是非正常点+∞或-∞，则：任一点列{}n x 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为()+∞-∞.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限()+∞-∞.例3 lim ((1)1)n n n →+∞-+=+∞,lim (1)n n n →+∞-=-∞,lim(1)n n n →∞-=-∞3. 数列上、下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==大；lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.证明：如果l i m s u p {}k n k nx →∞≥=+∞，由于s u p {}kk nx ≥关于n 单调递减，所以sup{}k k nx ≥=+∞，n N ∀>.于是，可取1n ∈（自然数）1..1n s t x >,又可取2,n ∈221,..2,,n n n s t x >>所以，得到数列{}n x 的子列{}()n k x k →+∞→+∞.这就证明了+∞为数列的聚点，且为最大聚点a 大.由此可得lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==+∞=大;如果limsup{}k n k nx →∞≥<+∞，则limsup{}k n k nx →∞≥=-∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.,n ∀∈,,i i n n i n ≥≥≥当时有sup{}i n k k nx x ≥≤，lim sup{}i n k i k na x x →∞≥=≤，limsup{}k n k na x →∞≥≤,所以，数列{}n x 的最大聚点满足lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥≤.另一方面， lim ,n n y x →+∞∀>易见，[)∞y,+中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，,N ∃∈当k N >时，有k x y <，从而，当n N >时，有sup{},k k nx y ≥≤由此可得limsup{}k n k nx y →∞≥≤.令()lim nn y x +→+∞→，推出limsup{}lim k n n n k nx x →∞→+∞≥≤.综合上述，有lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==.类似的可证明或应用上式于{}n x -可证得lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.如果lim inf{}k n k nx →-∞≥=-∞，由于inf{}k k nx ≥关于n 单调递减，所以inf{}k k nx ≥=-∞，对n N ∀>.于是，可取自然数1n 使得11-<n x ,又可取自然数2n 12n n >使得22-<n x ……所以，得到数列{}n x 的子列{k n x }-∞→.这就证明了∞-为数列的聚点，且为最小聚点小a .由此可得lim lim inf{}n k n k nn a x x →-∞≥→∞==小;如果lim inf{}k n k nx →-∞≥>-∞，则lim inf{}k n k nx →-∞≥=+∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.任意的n 是自然数,,i i n n i n ≥≥≥当时有k n x ≥inf{}k k nx ≥lim inf{}i n k i k na x x →∞≥=≥lim inf{}k n k na x →+∞≥≥所以，数列{}n x 的最小聚点满足lim n n x →∞≥lim inf{}k n k nx →+∞≥.另一方面，对任意的y ≥lim n n x →∞易见，（-],y ∞中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，存在N 是自然数当k N >时，有y x k >，从而，当n N >时，有inf{}k k nx ≥y ≥，由此可得lim inf{}k n k nx →+∞≥y ≥.令y →[lim n n x →∞]-，推出lim inf{}k n k nx →+∞≥≥lim n n x →∞.综合上述，有lim lim inf{}n k n k nn a x x →+∞≥→∞==小.下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.二、数列的上、下极限的性质及定理设有数列{}n x 与数列{}n y ，则数列的上、下极限有以下性质性质 1 lim lim n n n n x x →+∞→∞≥； （2）性质 2 lim lim lim n n n n n n x A x x A →+∞→+∞→∞=⇔==例 4 用上下极限理论证明：若{}n x 是有界发散数列，则存在{}n x 的两个子列收敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是lim lim n n n n x x →+∞→∞≠，于是存在{}n x 的两个子列{}{}''',k k n n x x ，使'l i m l i mk n n n n x x →+∞→+∞=，''lim lim k n n n n x x →+∞→∞=，即存在{}n x 的两个子列收敛于不同的极限.性质 3 （保不等式性质）设有界数列{}n x ，{}n y 满足：存在00N >,当0n N >时有n n x y ≤，则lim lim n n n n x y →+∞→+∞≤;lim lim n n n n x y →∞→∞≤;特别，若,αβ为常数，又存在00N >，当0n N >时有n a αβ≤≤，则lim lim n n n n a a αβ→+∞→∞≤≤≤性质 4 设0,0,(1,2,)n n x y n ≥≥=，则lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞⋅≤≤⋅ （3）lim lim lim lim lim n n n n n nn n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅（4）例5 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅(0)n x ≥证明：分三种情况讨论1、 若lim 0n n y →+∞>，则{}n y 中有无穷多项大于零，作新序列,0max{,0}00n n n n n y y y y y +>⎧==⎨≤⎩当时，当时则0n y +≥，且lim lim n n n n y y +→+∞→+∞=，对{}n x {}n y +应用（4）有lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y +++→+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅因{}n x 收敛，所以 lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，故上式表明 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅=⋅但 lim lim lim n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞==（）0n x ≥（因）所以 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=2、 若lim n n y →+∞=-∞，在限制条件下，lim 0n n x →+∞>，因此n 充分大时有0n x >，这时等式明显成立.3、 若lim 0n n y →+∞-∞<≤，可取充分大的正常数C>0,使得l i m ()0n n y C →+∞+>， 如此应用1、的结果， lim ()lim lim ()n n n n n n n x y C x y C →+∞→+∞→+∞+=⋅+再根据（3），此即 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x C x y x C →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+⋅=⋅+⋅从而 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅，证毕.性质 5 在不发生()±∞∞)+(情况下，有如下不等式成立：1、lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+2、lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+3、lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+≤+事实上，这里的等号可以不发生，如对{}{1,0,1,0,1,0,}n x =； {}{0,2,0,2,0,2,}n y =， 这时{}{1,2,1,2,1,2,}n n x y +=lim lim 0lim()1n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+=<+=lim ()2lim lim 3n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=<+=例6 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=+证：我们已有lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+注意{}n x 收敛，因此lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，所以上式即为 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+即成立.例7 证明：（1）lim lim lim()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞+≤+≤+（2）lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+证： 先证： lim ()lim n n n n x x →+∞→+∞-=-（1） 设lim n n x a →+∞=，则依上极限定义，0ε∀>，数列{}n x 中至多只有N 项大于a ε+，而有穷项小于a ε-，即对{}n x -，至多有N 项小于a ε--，而有穷项大于a ε-+，所以依下极限定义，有 lim()n n x a →∞-=-，即lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-.设 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，lim()n n n x y a b →∞+=+用反证法，设c a b <+，依下极限定义，0ε∀>，N ∃,当n N >时，有n n x y c ε+<+ 不妨设 1()2a b c ε=+-， 则当n N >时， n n x y c a b εε+<+<+- 又有 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，依下极限定义，则当1n N >时，2n x a ε<-，当2n N < 时2n y b ε<-，由此推出矛盾，故a b c +≤，即lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+，又令n n n d x y =+，则()n n n x d x =+-.于是lim lim()lim n n n n n n d y x →∞→∞→∞+-≤，由于 lim()lim n n n n y y →+∞→∞-=-，所以 lim lim()lim lim n n n n n n n n n d x y x y →+∞→∞→∞→∞≤+≤+（2） 以n y -及n x -分别代替题（1）中的n x 与n y ，有lim()lim()lim ()lim lim n n n n n n n n n n n y x x y y x →+∞→∞→∞→∞→∞-+-≤-+≤+-，由 lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-得 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞--≤-+≤--，即 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+，当{}:0,1,2,0,1,2,n x ；{}:2,3,1,2,3,n y 时，题（1）（2）中仅不等号成立.性质 6lim ()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;性质 7 若 lim 0n n x →∞>，则1lim lim1n n n nx x →+∞→∞⋅=; （7）例7 证：若0,(1,2,)n a n >=且1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=，则数列{}n a 收敛.证明：若lim 0n n a →∞=，则∃子列{}k n a ，lim 0k n k a →+∞=，于是有1limkk n a →+∞=+∞，这与1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=相矛盾，这样应当有lim 0n n a →+∞>，然后用上下极限等价定义来证明.性质8 当 n x a →，且0n x ≥，则下式右端有意义（不是0⋅∞型）时，有lim lim n n n n n x y a y →∞→∞=;lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=.证明：以第二式为例给出证明首先设 lim 0n n y b →+∞=>，其中b 为有限数或+∞.令 ,00,0.n n n n y y z y >⎧=⎨≤⎩当；当则lim lim n n n n z y b →+∞→+∞==;lim lim n n n n n n x z x y →+∞→+∞=.由0,0n n x z ≥≥得lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x z x z x z →+∞→+∞→+∞→+∞→∞≤≤⋅，即lim lim lim n n n n n n n a z x z a z →+∞→+∞→+∞≤≤⋅，也就是lim lim n n n n n x z a z →+∞→+∞=⋅，代回到n y 就得到lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=⋅.其次设 lim 0n n y b →+∞=≤ （b 为有限数）只要用1n y b +代替n y （其中10b b +>），就可得证. 最后 lim n n y →+∞=-∞，这时即n y →-∞，且0a ≠（否则出现0⋅∞型），显然n n x y →-∞.下面定理指出，对一切数列{}n x 的上、下极限必存在（包括±∞）. 定理 1（1）有界数列{}n x 至少有一个聚点,存在最大聚点与最小聚点,且这两个聚点都为实数,它们分别为上极限lim n n x →+∞与下极限lim n n x →∞;（2）如果数列{}n x 无上界,则lim n n x →+∞=+∞,此时+∞为数列{}n x 的最大聚点;如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=,此时lim n n x →+∞=-∞;② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最大聚点,它就是lim n n x →+∞;（3） 如果数列{}n x 无下界,则lim n n x →∞=-∞,此时-∞为数列{}n x 的最小聚点;如果数列{}n x 有下界a① 若[],,b a a b ∀>中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=+∞=,此时lim n n x →+∞=+∞;② 若[],,b a a b ∃>中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最小聚点,它就是lim n n x →∞.证明: (1) 因数列{}n x 有界,令{}[][]11|,,.n M M a b ∈⊂-=n x 将[]11,a b 两等分,则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]22,a b ,则[][]1122,,a b a b ⊃,且 ()221112b a b a M -=-=； 再将[]22,a b 两等分, 则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]33,a b ,则[][]2233,,a b a b ⊃,且()3322122M b a b a -=-=； 如此下去得到一个递降闭区间套:[][][]1122,,,k k a b a b a b ⊃⊃⊃⊃；10()2k k k Mb a k --=→→+∞， 且每个闭区间[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项.由闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈对0x 的任何开领域U，0,..s t ε∃> 000(;)(,)B x x x Uεεε=-+⊂，则N ∃∈，当k N >时，00[,](,)k k a b x x U εε⊂-+⊂，从而U 中含有数列{}n x 的无限多项，所以0x 为数列{}n x 的聚点.至于最大聚点的存在性，只需在上述证明过程中，当每次将区间[]11,k k a b --等分为两个区间时，若右边一个含数列的无限多项，将它取为[],k k a b ；若右边一个含数列的有限项，则取左边的子区间为[],k k a b .于是，所选[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项，同时在[],k k a b 的右边都至多含有数列的有限项，其中()1111111()022k k k k k b a b a b a ----=-==-→ ()k →+∞ 再根据闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈.下证0x 为数列{}n x 的最大聚点.（反证） 若不然，设另有数列{}n x 的聚点*00,x x >令*001()0,3x x δ=->则有 ***000(;)(,)B x x x δδδ=-+ 内都含有数列{}n x 的无限多项，但当k 充分大时，***000(;)(,)B x x x δδδ=-+完全落在[],k k a b 的右边，这与上述[],k k a b 的右边都至多含有数列{}n x 的有限项矛盾.类似可证最小聚点的存在性，或用{}n x -代替{}n x .（2） 如果数列{}n x 无上界,则{}n x 必有子列{}k n x ,..lim k n n s t x →+∞=+∞,因此,+∞ 为数列{}n x 的最大聚点,从而lim n n x →+∞=+∞.如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则根据极限为-∞的定义可知,lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=；② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,由(1)的结果, 数列{}[],n x a b 有最大聚点,显然它也是数列{}n x 的最大聚点,即为lim n n x →+∞； (3) 类似(2)可证明,或用{}n x -代替{}n x .定理 2 lim lim lim n n n n n n x a x x a →+∞→+∞→∞=⇔==.证明：()⇒ 设lim n n x a →+∞=，则对a 的任一邻域U ，N ∃∈，当n N >时，n x U ∈，从而a 为数列{}n x 的一个聚点.b a ∀≠， 则存在a 的开邻域a U ，b 的开邻域b U ，..ab s tU U φ= . 由于lim n n x a →+∞=，故N ∃∈，当n N >时，n a x U ∈，所以n b x U ∉，从而b U 中至多含有数列{}n x 的有限项（如12,,,N x x x ）因此，b 不为数列{}n x 的聚点.综上可知，a 为数列{}n x 的唯一聚点，所以lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.或者，因lim n n x a →+∞=，故{}n x 的任何子列{}k n x 也必有lim k n n x a →+∞=.因此，数列{}n x 有唯一的聚点，从而lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.()⇐ 设lim lim n n n n x x a →+∞→∞==，则数列{}n x 只有一个聚点a ，因此，对a 的任一开邻域U ，在U 外只含有数列{}n x 的有限多项1,,k n n x x （否则数列{}n x 在U 外还有异于a 的聚点，这与数列{}n x 只有一个聚点相矛盾）.于是，当{}1max ,,1k n N n n >=时，有n x U ∈，这就证明了lim n n x a →+∞=.定理 3 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 大为数列{}n x 的上极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε<+大;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε>-∀∈大；(3) ,a a ∀>大 数列{}n x 中大于a 的项至多有限个;,b a ∀<大 数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.证明：(1)(2)⇒:因a 大为数列{}n x 的聚点,故0,ε∀>在()a a a εεε=-+大大大；（，）内含有数列{}n x 的无限多项{}12|knx n n <<，则有,kn xa k ε>-∀∈大.又因a 大为数列{}n x 的最大聚点，故在a ε+大的右边至多只含有数列{}n x 的有限多项（否则必有数列{}n x 的聚点a ε≥+大，这与a 大为数列{}n x 的最大聚点相矛盾）.设此有限项的最大指标为N ，则当n N >时，有n x a ε<+大.(2)(3)⇒:,a a ∀>大令a a ε=-大，由（2）知，N ∃∈，当n N >时，有n x a ε<+大()a a a a =+-=大大.故数列{}n x 中大于a 的项至多有限个.b a ∀<大，令a b ε=-大，由（2）知，存在数列{}n x 的子列{}k n x ，,k n x a b ε>-=大k ∀∈，故数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.(3)(1)⇒:设U 为a 大的任一开邻域，则0,..(;).s t B a a a U εεεε∃>=-+⊂大大大（，）由于a a a ε=+>大大，根据（3），{}n x 中大于a a ε=-大有无限多项.因此a a ε-+大大（， ε）中含有数列{}n x 的无限项，从而U 中含有数列{}n x 的无限项，这就证明了a 大为数列{}n x 的一个聚点.另一方面，a a ∀>大，记1()2a a ε=-大.由（3）知，数列{}n x 中大于()a a ε+>大大的项至多有限个.故a 不为数列{}n x 的一个聚点，这就证明了a 大为数列{}n x 的最大聚点，即a 大为数列{}n x 的上极限.定理 4 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 小为数列{}n x 的下极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε>-小;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε<+∀∈小；(3) b a∀<小，数列{}n x中小于b的项至多有限个;a a∀>小，数列{}n x中小于a的项有无限多个.证明：类似定理3证明,或用{}n x-代替{}n x.从一些性质和定理的证明可以看出有些步骤用到数列上，下极限定义方面的证明过程.此外，关于不同对象的上、下极限的定义，本质上都起源于数列的上、下极限定义，比如，集合列的上，下限极等，在此就不做介绍了.参考文献:[1] 华东师范大学数学系编.数学分析（上册）.北京:高等教育出版社，2001[2] 复旦大学数学系陈传璋等编.数学分析（下册）.北京:高等教育出版，1979[3] 李成章,黄玉民编. 数学分析（上册）.科学出版社，1998[4] 程其蘘.实变函数与泛函分析基础[M] .2版.北京：高等教育出版社，2003[5] 朱成熹.近世实分析基础[M].天津:南开大学出版社，1993[6] 匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社，2002[7] 薛昌兴.实变函数与泛函分析:上[M].北京:高等教育出版社，1997[8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社，1993[9] 吴良森,毛羽辉著.数学分析学习指导书（上册）.北京:高等教育出版社，2004[10] 胡适耕,张显文著.数学分析原理与方法.北京:科学出版社，2008[11] 陈纪修,於崇华著.数学分析第二版（下册）.北京:高等教育出版社.2004The sequence about limit with gathers the row on lower limit collectionHao Li-jiao 200711150652007 grades of mathematics,science college mathematics and the applied mathematicsprofessions 1 classAbstract：Sequence on, under the limit concept is limit concept extending,because they collect in the divergence distinction law in the seriesof positive terms the vital role, also becomes the theory which in themathematical analysis has no alternative but to say to be partial.This article mainly discussed the sequence about limit with to gatherthe row on lower limit collection as well as their a series of natureKey words: Sequence；Limit；Accumulation points；Sequence of sets；Function。

2010年 11月 Journal of Science of Teachers′College and University Nov. 2010文章编号：1007-9831（2010）06-0035-04函数上、下极限与数列上、下极限关系的探讨张金（宿迁高等师范学校 数学系，江苏 宿迁 223800）摘要：将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题.关键词：函数；数列；上极限；下极限中图分类号：O171 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2010.06.0131 引言及预备知识数列的上、下极限对于研究数列的性质有重要作用，本文将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题.引理1[1]233 有界数列{}n x 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.定义1[1]233 有界数列{}n x 的最大聚点a 与最小聚点a 分别称为数列{}n x 的上极限与下极限，分别记作为 n n a ∞→=lim ，n n x a ∞→=lim . 引理2[1]233 任何有界数列{}n x 必存在上极限n n x a ∞→=lim 和下极限n n x a ∞→=lim . 可以利用δε−语言来描述数列的上、下极限．引理3[2]52 设{}n x 有界数列，则a x n n =∞→lim 的充要条件是下列２个条件同时成立： （1）对于任给0>ε，存在0>N ，当N n >时，有ε+<a x n ；（2）对于任给0>ε，0>N ，存在N n >，使得ε−>a x n ．引理4[2]52 设{}n x 有界数列，则a x n n =∞→lim 的充要条件是下列２个条件同时成立：（1）对于任给0>ε，存在0>N ，当N n >时，有ε−>a x n ；（2）对于任给0>ε，0>N ，存在N n >，使得ε+<a x n .对于无界数列的上、下极限也可类似的去加以定义或描述，这一点本文不再赘述.2 函数的上、下极限的定义与性质为建立函数的上、下极限的定义，先引入2个定义．定义2[2]65 点0x 称为集合E 的聚点，当且仅当存在数列{}n x ，E x n ∈且0x x n ≠（" ,2 ,1=n ），使得0lim x x n n =∞→. 可见，点0x 即为数列{}n x 的聚点，定义2也可视为数列的聚点定义的推广所得.定义3[2]65设点0x 为集合E 的一个聚点，函数)(x f 在集合E 上有定义. 数A 称为)(x f 在0x 处的子极限，当且仅当存在数列{}n x ，E x n ∈且0x x n ≠（" ,2 ,1=n ），使得0lim x x n n =∞→，且有A x f n n =∞→)(lim .收稿日期：2010-05-20作者简介：张金（1978-），男，江苏宿迁人，讲师，硕士，从事微积分研究．E-mail：dajun_008@至此，由定义1~３可将数列的上、下极限的定义推广给出函数的上、下极限的定义．定义4 设函数)(x f 在集合E 上有定义，点0x 为集合E 的一个聚点，若数A 为)(x f 在0x 处所有子极限的最大者时，则称A 为)(x f 在0x 处的上极限，记作)(lim 0x f A x x →=；类似地，若数A 为)(x f 在0x 处所有子极限的最小者时，则称A 为)(x f 在0x 处的下极限，记作)(lim 0x f A x x →=．即==→)(lim 0x f A x x {}处的子极限在为0)(max x x f A A ；{}处的子极限在为0)(min )(lim 0x x f A A x f A x x ==→.相应地，可将引理2～4推广得到关于函数的上、下极限一些性质．定理1（存在性） 若函数)(x f 在0x 附近有界，则)(x f 在0x 处一定存在上极限与下极限.证明 由引理1、定义3~4可知定理1成立． 证毕． 定理2（上极限的δε−定义） 设函数)(x f 在集合E 上有定义，点0x 为集合E 的一个聚点，若函数 )(x f 在0x 附近有界，则x f x x =→)(lim 0的充要条件是下列2个条件同时成立： （1）对于任给0>ε，存在0>δ，当δ<−<∈00 ,x x E x 时，有ε+<A x f )(；（2）对于任给0>ε，0>δ，存在δ<−<∈00 ,x x E x ，使得ε−>A x f )(．证明 必要性．采用反证法证明条件（1）成立. 假设存在00>ε，对于任给n n /1=δ，存在Ex n ∈（" ,2 ,1=n ），虽然δ<−<00x x n ，但0)(ε+≥A x f n . 利用有界性及致密性原理[1]，{})(n x f 有收敛子列{})(k n x f 满足：0)(lim A x f k n k =∞→，00ε+≥A A （0A 为一常数），这与A 为最大子极限矛盾. 于是条件（1）成立.由于x f x x =→)(lim 0，所以存在数列{}n x ，E x n ∈且0x x n ≠（" ,2 ,1=n ），使得0lim x x n n =∞→，A x f n n =∞→)(lim ，故对于任给0>ε，0>δ，存在0>N ，当N n >时，有δ<−<00x x n ，ε<−A x f n )(. 从而对于任给0>ε，0>δ，存在δ<−<∈00 ,x x E x ，使得ε−>A x f )(. 此即条件（2）成立.充分性．由条件及定理1)(lim 0x f x x →存在，下证A x f x x =→)(0. 由条件（１）可知，对于任给0>ε，存在0>δ，当δ<−<∈00 ,x x E x 时，有ε+<A x f )(. 设A 为)(x f 在0x 处的任一子极限，由定义3可知，存在数列{}n x ，E x n ∈且0x x n ≠（" ,2 ,1=n ），使得0lim x x n n =∞→，A x f n n =∞→)(lim . 于是，当n 充分大时，可得δ<−<00x x n ，且成立ε+<A x f n )(，从而当∞→n 时，ε+≤A A ．由ε任意小性可知，A A ≤.又由条件（２）可知，对于任给0>ε，n n /1=δ，存在E x n ∈，δ<−<00x x n （" ,2 ,1=n ），使得ε−>A x f n )(．利用有界性及致密性原理，{})(n x f 有收敛子列{})(k n x f 满足：0)(lim A x f kn k =∞→，ε−≥A A 0（0A 为一常数，此时也是)(x f 在0x 处的一子极限），故由确界原理可知，A 为)(x f 在0x 处的所有子极限构成的集合的上确界. 又由必要性证明过程可知，A 也为)(x f 在0x 处的一子极限，于是由定义4可知，x f x x =→)(lim 0. 证毕．定理3（下极限的δε−定义） 设函数)(x f 在集合E 上有定义，点0x 为集合E 的一个聚点，若函数 )(x f 在0x 附近有界，则A x f x x =→)(lim 0的充要条件是下列2个条件同时成立：（1）对于任给0>ε，存在0>δ，当δ<−<∈00 ,x x E x 时，有ε−<A x f )(；（2）对于任给0>ε，0>δ，存在δ<−<∈00 ,x x E x ，使得ε+>A x f )(．定理3的证明与定理1类似，这里省略其证明．由定义4及定理2~3可得到下面的推论．推论 （1）对)(x f 在0x 处的任一子极限A ，恒有A x f A x f A x x x x =≤≤=→→)(lim )(lim 00；（2）若x f x x =→)(lim 0，A x f x x =→)(lim 0，则对于任给0>ε，存在0>δ，当δ<−<∈00 ,x x E x 时，有 εε+<<−A x f A )(；第6期 张金：函数上、下极限与数列上、下极限关系的探讨 37（3）A x f x x =→)(lim 0的充要条件是A x f x f x x x x ==→→)(lim )(lim 00. 3 主要结果及应用函数的上、下极限与数列的上、下极限有完全平行的理论，二者有着密切的内在联系. 关于函数的上、下极限的问题，一般可以仿照数列的上、下极限的方法加以处理. 归结原则（也称海涅（Heine）定理）给出了函数极限与相应数列极限之间的关系，其意义在于把函数极限问题归结为数列极限问题来处理. 受此启发，下面给出本文的主要结论.定理４ 设函数)(x f 在集合E 上有定义，点0x 为集合E 的一个聚点，若函数)(x f 在0x 附近有界，则（1）{}00lim ), ,2 ,1( ,)(lim max )(lim 0x x n x x E x x f x f A n n n n n n x x ==≠∈==∞→∞→→且"； （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧==≠∈==∞→∞→→00lim ), ,2 ,1( ,)(lim min )(lim 0x x n x x E x x f x f A n n n n n n x x 且". 证明 只证（1）成立，类似可证（2）. 记{}处的子极限在为0)(x x f A A M =，=Q {}00lim ), ,2 ,1( ,)(lim x x n x x E x x f n n n n n n ==≠∈∞→∞→且". 对于任意M A ∈，由定义3可知，存在数列{}n x ，E x n ∈且0x x n ≠（" ,2 ,1=n ），使得0lim x x n n =∞→，A x f n n =∞→)(lim . 又)(lim )(lim n n n n x f x f A ∞→∞→==，从而Q A ∈，故Q M ⊆. 另一方面，任取Q 中一元素，记为)(lim 0n x x x f A →=′，由定义1可知，)(lim 0n x x x f A →=′为有界数列{})(n x f 的最大聚点，于是存在收敛子列{})(k n x f ，使得A x f k n n ′=∞→)(lim ，由定义3可知，)(lim 0n x x x f A →=′为)(x f 在0x 处的一个子极限，从而M x f A n x x ∈=′→)(lim 0，故M Q ⊆. 所以Q M =. 进一步有==→)(lim 0x f A x x {}处的子极限在为0)(max x x f A A {}00lim ), ,2 ,1(,)(lim max x x n x x E x x f n n n n n n ==≠∈=∞→∞→且". 证毕． 定理４描述了函数的上、下极限与相应数列的上、下极限之间的关系，其意义在于把关于函数上、下极限的问题，转化为相应数列上、下极限的问题，通过数列上、下极限的相应结果去求解.例1 设函数)(x f ，)(x g 在集合E 上有定义，点0x 为E 的一个聚点，函数)(x f ，)(x g 在0x 附近均有界，则)(lim )(lim ))()((lim )(lim )(lim 00000x g x f x g x f x g x f x x x x x x x x x x →→→→→+≤+≤+.证明 对所有数列{}E x x n n ∈ ,（0x x n ≠）（" ,2 ,1=n ）且 0lim x x n n =∞→，由数列上、下极限的定义及有关性[2]56可知，)(lim )(lim ))()((lim )(lim )(lim n n n n n n n n n n n x g x f x g x f x g x f ∞→∞→∞→∞→∞→+≤+≤+. 注意到≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞→)(lim min n n x f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞←)(lim max n n x f ，由定理4可知，≤+≤+→→→))()((lim )(lim )(lim 000x g x f x g x f x x x x x x )(lim )(lim 00x g x f x x x x →→+成立. 例2 设函数)(x f 在集合E 上有定义，点0x 为E 的一个聚点，函数)(x f 在0x 附近有界，且0)(>x f ，则有11)(lim ))((lim 00−→−→⎟⎠⎞⎜⎝⎛=x f x f x x x x . 证明 对所有数列{}E x x n n ∈ ,（0x x n ≠）（" ,2 ,1=n ）且0lim x x n n =∞→，由于0)(>x f ，所以0)(>n x f [3]，进一步可证得11)(lim ))((lim −∞→−∞→⎟⎠⎞⎜⎝⎛=n n n n x f x f ，即1)(lim ))((lim 1=∞→−∞→n n n n x f x f . 由数列上、下极限有关性质及定理4可知，1)(lim ))((lim 1001≤≤→−→x f x f x x x x ，即1)(lim ))((lim 001=→−→x f x f x x x x . 参考文献：[1] 华东师范大学数学系．数学分析（上册）[M]．2版．北京：高等教育出版社，1991：232-234．[2] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京：高等教育出版社，1993：52-67．[3] 许万银，齐小忠．数列上、下极限问题的若干讨论[J]．陇东学院学报：自然科学版，2003，13（1）：16-19.38 高 师 理 科 学 刊 第30卷On the relationship between the upper limit and lower limit of functions and seriesZHANG Jin（Department of Mathematics，Suqian Higher Normal School，Suqian 223800，China）Abstract：Popularized the definition and natures of upper and lower limits of the series，gave the definition and natures of upper and lower limits of the function，discussed and demonstrated the relationship between them，and thus resolve some of issues related the upper and lower limits.Key words：function；series；upper limit；lower limit独立学院高等数学教学中渗透人文精神素养黄祖达，樊启毅，张月莲1 在高等数学教学中渗透哲学知识在高等数学课堂教学渗透哲学知识中，最主要的是要渗透辩证法．如极限体现了有限与无限、近似与精确的辩证关系；定积分蕴涵了对立统一思想：直与曲的统一、近似与精确的统一、有限与无限的统一、显变与质变的统一、肯定与否定的统一、离散与连续的统一、特殊与一般的统一等；概率论表现了事物的必然性和偶然性的内在关系等．高等数学中许多计算方法之灵巧、证明方法之神奇，往往是利用了变换与转化手段，它是辩证思维在数学中的具体表现．此外，在高等数学教学中，应适时地阐述演绎与归纳、分析和综合、宏观与微观、逻辑思维与直觉思维等辩证范畴，以启发学生的哲学素养．2 在高等数学教学中渗透文学知识就数学与文学而言，确有相通或相似的地方．例如：罗索悖论与语义学悖论、数学语言与文学语言、数学修养与文学修养、逻辑思维与形象思维、数学中的比兴与文学中的比兴、数学抽象与文学抽象等方面都值得探讨、研究．教师在课堂教学中，要随教学相关内容与文学情景有机结合．如讲极限概念时，可引诗句“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”来形象地说明；在讲直线与圆的位置关系时，可引佳句“大漠孤烟直，黄河落日圆”以增添诗情画意的享受；在讲到一个定理、公式经历了很多人的努力才解决时，可用诗句“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”予以佐证等．索绪尔说过，语言学好比是一个几何系统，它可以归结为一些特定的定理．的确，语言学上的一些文法、语法的约定类似于数学上的公理、公设，它不需要证明，只要建立一套推导规则就可以了．如今已有的数理语言学、计算语言学、代数语言学、计算风格学等学科，是数学应用于语言的例子．冯志伟在专著《数学与语言》中从语言符号的随机性、冗余性、离散性、递归性、层次性、非单元性、模糊性等7个方面论证了数学与语言学的关系，用以说明数学已经深入到了语言研究的各个领域．3 在高等数学教学中渗透美学知识庞加莱指出：数学美的内涵可概括为协调性、统一性、简单性、对称性和奇异性．其核心内容是：数学模式结构的和谐性、简洁性与数学工具能有好而宽广的应用场合（便于操作）．对从事数学教育的教师而言，数学美学的学识修养，将有助于激发学生学习的兴趣，培养学生的审美情趣，甚至帮助发展学生天生就有的“先定和谐”的心智本能[4]．如公式,1,πe,统一在一个式子中，使人感到惊奇．在统一美的驱使下，麦克斯韦建+，把数学中5个重要的常数0i,iπexp(=1)立起了令人赏心悦目的麦克斯韦方程组，把电和磁统一了起来，具有完全优美的对称形式．此外，反射对称、旋转对称、平移对称、滑动反射对称、对称群等数学概念，都是对称思想在数学中的具体体现．4 在高等数学教学中渗透数学史知识在高等数学教学中，通过适当的追溯数学史，可使学生领略数学知识的来龙去脉，了解数学家的艰辛历程及顽强拼搏、百折不挠的崇高精神，也有助于培养学生高度的爱国主义精神和强烈的现实使命感．如讲极限时，介绍我国古代刘徽、祖冲之等数学家的杰出贡献，使学生涌起强烈的民族自豪感．还可在授课的适当时机，介绍我国近现代数学家华罗庚、吴文俊、陈省身、邱成桐、杨乐、张广厚等名人的事迹，激发学生的学习兴趣、热情，以激起他们建设祖国、为国争光的责任感． 参考文献：[1] 葛照强，王讲书．论大学数学教育中的人文精神[J]．大学数学，2005（4）：20-23．[2] 方延明．数学文化[M]．北京：清华大学出版社，2007．[3] 呼青英，张宏伟．定积分概念中蕴涵的对立统一思想[J]．大学数学，2008（5）：203-206．[4] 黄祖达，樊启毅．漫谈数学与中国文学[J]．大学数学，2009（1）：205-206.[5] 徐利治．数学美学与文学[J]．数学教育学报，2001（2）：5-7．[6] 张玉峰，盂爱玲．数学教育的本质[J]．数学教育学报，2006，15（3）：24-25．（作者单位：湖南文理学院 芙蓉学院，湖南 常德 415000）。

毕业论文文献综述数学与应用数学数列、函数上下极限的性质及其应用一、前言部分极限的概念是数学分析中最基本的概念之一,也是高等数学中的一个最重要的理论部分.极限思想在数学中起着非常重要的作用.数学家拉夫纶捷夫曾说：“数学极限法的创造是对那些不能够用算术、代数和初等几何的简单方法来求解的问题进行了许多世纪的顽强探索的结果.” 极限思想 揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。

借助极限思想,人们可以从有限认识无限,从直线形认识曲线形从不变认识变,从量变认识质变,从近似认识精确.极限思想是社会实践的产物.极限的思想可以追溯到古代,在我国春秋战国时期虽已有极限思想的萌芽.但从现在的史料来看,这种思想主要局限于哲学领域,还没有应用到数 学上,当然更谈不上应用极限方法来解决数学问题.直到公元3世纪，我国魏晋时期的数学 家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”．由于他所采用的圆的半径为1,这样 圆的面积在数值上即等于圆周率,所说刘徽成功地创立了科学的求圆周率的方法.刘徽采用的具体做法是:在半径为一尺的圆内,作圆的内接正六边形,然后逐渐倍增边数,依次算出内接正6边形、正12边形、… 、直至562⨯(192)边形的面积。

他利用公式22n n r l s n ⋅=⋅(n l 为内接正n 边形的边长，2n s 为内接2n 边形的面积)来求正多边形的面积.他的极限思想是“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失”.第一个创造性地将极限思想应用到数学领域.这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础.刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用:古希腊人的穷竭 法也蕴含了极限思想,但由于希腊人“对无限的恐惧”,他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明．到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观运用极限思想思考问题 ，放弃 了归谬法的证明.如此,他在无意中将极限发展成为一个实用概念．从这一时期开始，极限与微积分开始形成密不可分的关系，并且最终成为微积分的直接基础。

目录数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要 (01)一、数列的上极限、下极限的定义 (01)1. 用“数列的聚点”来定义 (01)2. 用“数列的确界”来定义 (02)3. 数列上、下极限定义的等价性 (02)二、数列的上、下极限的性质及定理 (04)参考文献 (14)英文摘要 (15)数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数一、数列的上极限、下极限的定义关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列{}n x 的一个聚点.例1 数列{(1)}1n nn -+有聚点1-与1； 数列{sin}4n π有1,22--和1五个聚点； 数列1{}n只有一个聚点0；常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1.定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作lim n a →+∞=大;lim n n a x →∞=小.例2 lim (1)11nn n n →+∞-=+(),lim 111n n n →∞-=-+lim sin14n n π→+∞=,limsin 14n n π→∞=- 11lim lim 0n n n n→+∞→∞==2. 用“数列的确界”来定义定义3 任给数列{}n x ，定义lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥=;lim lim inf{}n k n k nn x x →∞≥→∞= （1）分别称为数列{}n x 的上极限和下极限.若定义1中的a 可允许是非正常点+∞或-∞，则：任一点列{}n x 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为()+∞-∞.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限()+∞-∞.例3 lim ((1)1)n n n →+∞-+=+∞,lim (1)n n n →+∞-=-∞,lim(1)n n n →∞-=-∞3. 数列上、下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==大；lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.证明：如果l i m s u p {}k n k nx →∞≥=+∞，由于s u p {}kk nx ≥关于n 单调递减，所以sup{}k k nx ≥=+∞，n N ∀>.于是，可取1n ∈（自然数）1..1n s t x >,又可取2,n ∈221,..2,,n n n s t x >>所以，得到数列{}n x 的子列{}()n k x k →+∞→+∞.这就证明了+∞为数列的聚点，且为最大聚点a 大.由此可得lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==+∞=大;如果limsup{}k n k nx →∞≥<+∞，则limsup{}k n k nx →∞≥=-∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.,n ∀∈,,i i n n i n ≥≥≥当时有sup{}i n k k nx x ≥≤，lim sup{}i n k i k na x x →∞≥=≤，limsup{}k n k na x →∞≥≤,所以，数列{}n x 的最大聚点满足lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥≤.另一方面， lim ,n n y x →+∞∀>易见，[)∞y,+中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，,N ∃∈当k N >时，有k x y <，从而，当n N >时，有sup{},k k nx y ≥≤由此可得limsup{}k n k nx y →∞≥≤.令()lim nn y x +→+∞→，推出limsup{}lim k n n n k nx x →∞→+∞≥≤.综合上述，有lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==.类似的可证明或应用上式于{}n x -可证得lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.如果lim inf{}k n k nx →-∞≥=-∞，由于inf{}k k nx ≥关于n 单调递减，所以inf{}k k nx ≥=-∞，对n N ∀>.于是，可取自然数1n 使得11-<n x ,又可取自然数2n 12n n >使得22-<n x ……所以，得到数列{}n x 的子列{k n x }-∞→.这就证明了∞-为数列的聚点，且为最小聚点小a .由此可得lim lim inf{}n k n k nn a x x →-∞≥→∞==小;如果lim inf{}k n k nx →-∞≥>-∞，则lim inf{}k n k nx →-∞≥=+∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.任意的n 是自然数,,i i n n i n ≥≥≥当时有k n x ≥inf{}k k nx ≥lim inf{}i n k i k na x x →∞≥=≥lim inf{}k n k na x →+∞≥≥所以，数列{}n x 的最小聚点满足lim n n x →∞≥lim inf{}k n k nx →+∞≥.另一方面，对任意的y ≥lim n n x →∞易见，（-],y ∞中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，存在N 是自然数当k N >时，有y x k >，从而，当n N >时，有inf{}k k nx ≥y ≥，由此可得lim inf{}k n k nx →+∞≥y ≥.令y →[lim n n x →∞]-，推出lim inf{}k n k nx →+∞≥≥lim n n x →∞.综合上述，有lim lim inf{}n k n k nn a x x →+∞≥→∞==小.下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.二、数列的上、下极限的性质及定理设有数列{}n x 与数列{}n y ，则数列的上、下极限有以下性质性质 1 lim lim n n n n x x →+∞→∞≥； （2）性质 2 lim lim lim n n n n n n x A x x A →+∞→+∞→∞=⇔==例 4 用上下极限理论证明：若{}n x 是有界发散数列，则存在{}n x 的两个子列收敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是lim lim n n n n x x →+∞→∞≠，于是存在{}n x 的两个子列{}{}''',k k n n x x ，使'l i m l i mk n n n n x x →+∞→+∞=，''lim lim k n n n n x x →+∞→∞=，即存在{}n x 的两个子列收敛于不同的极限.性质 3 （保不等式性质）设有界数列{}n x ，{}n y 满足：存在00N >,当0n N >时有n n x y ≤，则lim lim n n n n x y →+∞→+∞≤;lim lim n n n n x y →∞→∞≤;特别，若,αβ为常数，又存在00N >，当0n N >时有n a αβ≤≤，则lim lim n n n n a a αβ→+∞→∞≤≤≤性质 4 设0,0,(1,2,)n n x y n ≥≥=，则lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞⋅≤≤⋅ （3）lim lim lim lim lim n n n n n nn n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅（4）例5 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅(0)n x ≥证明：分三种情况讨论1、 若lim 0n n y →+∞>，则{}n y 中有无穷多项大于零，作新序列,0max{,0}00n n n n n y y y y y +>⎧==⎨≤⎩当时，当时则0n y +≥，且lim lim n n n n y y +→+∞→+∞=，对{}n x {}n y +应用（4）有lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y +++→+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅因{}n x 收敛，所以 lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，故上式表明 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅=⋅但 lim lim lim n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞==（）0n x ≥（因）所以 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=2、 若lim n n y →+∞=-∞，在限制条件下，lim 0n n x →+∞>，因此n 充分大时有0n x >，这时等式明显成立.3、 若lim 0n n y →+∞-∞<≤，可取充分大的正常数C>0,使得l i m ()0n n y C →+∞+>， 如此应用1、的结果， lim ()lim lim ()n n n n n n n x y C x y C →+∞→+∞→+∞+=⋅+再根据（3），此即 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x C x y x C →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+⋅=⋅+⋅从而 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅，证毕.性质 5 在不发生()±∞∞)+(情况下，有如下不等式成立：1、lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+2、lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+3、lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+≤+事实上，这里的等号可以不发生，如对{}{1,0,1,0,1,0,}n x =； {}{0,2,0,2,0,2,}n y =， 这时{}{1,2,1,2,1,2,}n n x y +=lim lim 0lim()1n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+=<+=lim ()2lim lim 3n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=<+=例6 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=+证：我们已有lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+注意{}n x 收敛，因此lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，所以上式即为 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+即成立.例7 证明：（1）lim lim lim()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞+≤+≤+（2）lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+证： 先证： lim ()lim n n n n x x →+∞→+∞-=-（1） 设lim n n x a →+∞=，则依上极限定义，0ε∀>，数列{}n x 中至多只有N 项大于a ε+，而有穷项小于a ε-，即对{}n x -，至多有N 项小于a ε--，而有穷项大于a ε-+，所以依下极限定义，有 lim()n n x a →∞-=-，即lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-.设 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，lim()n n n x y a b →∞+=+用反证法，设c a b <+，依下极限定义，0ε∀>，N ∃,当n N >时，有n n x y c ε+<+ 不妨设 1()2a b c ε=+-， 则当n N >时， n n x y c a b εε+<+<+- 又有 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，依下极限定义，则当1n N >时，2n x a ε<-，当2n N < 时2n y b ε<-，由此推出矛盾，故a b c +≤，即lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+，又令n n n d x y =+，则()n n n x d x =+-.于是lim lim()lim n n n n n n d y x →∞→∞→∞+-≤，由于 lim()lim n n n n y y →+∞→∞-=-，所以 lim lim()lim lim n n n n n n n n n d x y x y →+∞→∞→∞→∞≤+≤+（2） 以n y -及n x -分别代替题（1）中的n x 与n y ，有lim()lim()lim ()lim lim n n n n n n n n n n n y x x y y x →+∞→∞→∞→∞→∞-+-≤-+≤+-，由 lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-得 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞--≤-+≤--，即 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+，当{}:0,1,2,0,1,2,n x ；{}:2,3,1,2,3,n y 时，题（1）（2）中仅不等号成立.性质 6lim ()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;性质 7 若 lim 0n n x →∞>，则1lim lim1n n n nx x →+∞→∞⋅=; （7）例7 证：若0,(1,2,)n a n >=且1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=，则数列{}n a 收敛.证明：若lim 0n n a →∞=，则∃子列{}k n a ，lim 0k n k a →+∞=，于是有1limkk n a →+∞=+∞，这与1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=相矛盾，这样应当有lim 0n n a →+∞>，然后用上下极限等价定义来证明.性质8 当 n x a →，且0n x ≥，则下式右端有意义（不是0⋅∞型）时，有lim lim n n n n n x y a y →∞→∞=;lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=.证明：以第二式为例给出证明首先设 lim 0n n y b →+∞=>，其中b 为有限数或+∞.令 ,00,0.n n n n y y z y >⎧=⎨≤⎩当；当则lim lim n n n n z y b →+∞→+∞==;lim lim n n n n n n x z x y →+∞→+∞=.由0,0n n x z ≥≥得lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x z x z x z →+∞→+∞→+∞→+∞→∞≤≤⋅，即lim lim lim n n n n n n n a z x z a z →+∞→+∞→+∞≤≤⋅，也就是lim lim n n n n n x z a z →+∞→+∞=⋅，代回到n y 就得到lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=⋅.其次设 lim 0n n y b →+∞=≤ （b 为有限数）只要用1n y b +代替n y （其中10b b +>），就可得证. 最后 lim n n y →+∞=-∞，这时即n y →-∞，且0a ≠（否则出现0⋅∞型），显然n n x y →-∞.下面定理指出，对一切数列{}n x 的上、下极限必存在（包括±∞）. 定理 1（1）有界数列{}n x 至少有一个聚点,存在最大聚点与最小聚点,且这两个聚点都为实数,它们分别为上极限lim n n x →+∞与下极限lim n n x →∞;（2）如果数列{}n x 无上界,则lim n n x →+∞=+∞,此时+∞为数列{}n x 的最大聚点;如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=,此时lim n n x →+∞=-∞;② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最大聚点,它就是lim n n x →+∞;（3） 如果数列{}n x 无下界,则lim n n x →∞=-∞,此时-∞为数列{}n x 的最小聚点;如果数列{}n x 有下界a① 若[],,b a a b ∀>中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=+∞=,此时lim n n x →+∞=+∞;② 若[],,b a a b ∃>中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最小聚点,它就是lim n n x →∞.证明: (1) 因数列{}n x 有界,令{}[][]11|,,.n M M a b ∈⊂-=n x 将[]11,a b 两等分,则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]22,a b ,则[][]1122,,a b a b ⊃,且 ()221112b a b a M -=-=； 再将[]22,a b 两等分, 则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]33,a b ,则[][]2233,,a b a b ⊃,且()3322122M b a b a -=-=； 如此下去得到一个递降闭区间套:[][][]1122,,,k k a b a b a b ⊃⊃⊃⊃；10()2k k k Mb a k --=→→+∞， 且每个闭区间[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项.由闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈对0x 的任何开领域U，0,..s t ε∃> 000(;)(,)B x x x Uεεε=-+⊂，则N ∃∈，当k N >时，00[,](,)k k a b x x U εε⊂-+⊂，从而U 中含有数列{}n x 的无限多项，所以0x 为数列{}n x 的聚点.至于最大聚点的存在性，只需在上述证明过程中，当每次将区间[]11,k k a b --等分为两个区间时，若右边一个含数列的无限多项，将它取为[],k k a b ；若右边一个含数列的有限项，则取左边的子区间为[],k k a b .于是，所选[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项，同时在[],k k a b 的右边都至多含有数列的有限项，其中()1111111()022k k k k k b a b a b a ----=-==-→ ()k →+∞ 再根据闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈.下证0x 为数列{}n x 的最大聚点.（反证） 若不然，设另有数列{}n x 的聚点*00,x x >令*001()0,3x x δ=->则有 ***000(;)(,)B x x x δδδ=-+ 内都含有数列{}n x 的无限多项，但当k 充分大时，***000(;)(,)B x x x δδδ=-+完全落在[],k k a b 的右边，这与上述[],k k a b 的右边都至多含有数列{}n x 的有限项矛盾.类似可证最小聚点的存在性，或用{}n x -代替{}n x .（2） 如果数列{}n x 无上界,则{}n x 必有子列{}k n x ,..lim k n n s t x →+∞=+∞,因此,+∞ 为数列{}n x 的最大聚点,从而lim n n x →+∞=+∞.如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则根据极限为-∞的定义可知,lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=；② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,由(1)的结果, 数列{}[],n x a b 有最大聚点,显然它也是数列{}n x 的最大聚点,即为lim n n x →+∞； (3) 类似(2)可证明,或用{}n x -代替{}n x .定理 2 lim lim lim n n n n n n x a x x a →+∞→+∞→∞=⇔==.证明：()⇒ 设lim n n x a →+∞=，则对a 的任一邻域U ，N ∃∈，当n N >时，n x U ∈，从而a 为数列{}n x 的一个聚点.b a ∀≠， 则存在a 的开邻域a U ，b 的开邻域b U ，..ab s tU U φ= . 由于lim n n x a →+∞=，故N ∃∈，当n N >时，n a x U ∈，所以n b x U ∉，从而b U 中至多含有数列{}n x 的有限项（如12,,,N x x x ）因此，b 不为数列{}n x 的聚点.综上可知，a 为数列{}n x 的唯一聚点，所以lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.或者，因lim n n x a →+∞=，故{}n x 的任何子列{}k n x 也必有lim k n n x a →+∞=.因此，数列{}n x 有唯一的聚点，从而lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.()⇐ 设lim lim n n n n x x a →+∞→∞==，则数列{}n x 只有一个聚点a ，因此，对a 的任一开邻域U ，在U 外只含有数列{}n x 的有限多项1,,k n n x x （否则数列{}n x 在U 外还有异于a 的聚点，这与数列{}n x 只有一个聚点相矛盾）.于是，当{}1max ,,1k n N n n >=时，有n x U ∈，这就证明了lim n n x a →+∞=.定理 3 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 大为数列{}n x 的上极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε<+大;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε>-∀∈大；(3) ,a a ∀>大 数列{}n x 中大于a 的项至多有限个;,b a ∀<大 数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.证明：(1)(2)⇒:因a 大为数列{}n x 的聚点,故0,ε∀>在()a a a εεε=-+大大大；（，）内含有数列{}n x 的无限多项{}12|knx n n <<，则有,kn xa k ε>-∀∈大.又因a 大为数列{}n x 的最大聚点，故在a ε+大的右边至多只含有数列{}n x 的有限多项（否则必有数列{}n x 的聚点a ε≥+大，这与a 大为数列{}n x 的最大聚点相矛盾）.设此有限项的最大指标为N ，则当n N >时，有n x a ε<+大.(2)(3)⇒:,a a ∀>大令a a ε=-大，由（2）知，N ∃∈，当n N >时，有n x a ε<+大()a a a a =+-=大大.故数列{}n x 中大于a 的项至多有限个.b a ∀<大，令a b ε=-大，由（2）知，存在数列{}n x 的子列{}k n x ，,k n x a b ε>-=大k ∀∈，故数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.(3)(1)⇒:设U 为a 大的任一开邻域，则0,..(;).s t B a a a U εεεε∃>=-+⊂大大大（，）由于a a a ε=+>大大，根据（3），{}n x 中大于a a ε=-大有无限多项.因此a a ε-+大大（， ε）中含有数列{}n x 的无限项，从而U 中含有数列{}n x 的无限项，这就证明了a 大为数列{}n x 的一个聚点.另一方面，a a ∀>大，记1()2a a ε=-大.由（3）知，数列{}n x 中大于()a a ε+>大大的项至多有限个.故a 不为数列{}n x 的一个聚点，这就证明了a 大为数列{}n x 的最大聚点，即a 大为数列{}n x 的上极限.定理 4 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 小为数列{}n x 的下极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε>-小;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε<+∀∈小；(3) b a∀<小，数列{}n x中小于b的项至多有限个;a a∀>小，数列{}n x中小于a的项有无限多个.证明：类似定理3证明,或用{}n x-代替{}n x.从一些性质和定理的证明可以看出有些步骤用到数列上，下极限定义方面的证明过程.此外，关于不同对象的上、下极限的定义，本质上都起源于数列的上、下极限定义，比如，集合列的上，下限极等，在此就不做介绍了.参考文献:[1] 华东师范大学数学系编.数学分析（上册）.北京:高等教育出版社，2001[2] 复旦大学数学系陈传璋等编.数学分析（下册）.北京:高等教育出版，1979[3] 李成章,黄玉民编. 数学分析（上册）.科学出版社，1998[4] 程其蘘.实变函数与泛函分析基础[M] .2版.北京：高等教育出版社，2003[5] 朱成熹.近世实分析基础[M].天津:南开大学出版社，1993[6] 匡继昌.实分析与泛函分析[M].北京:高等教育出版社，2002[7] 薛昌兴.实变函数与泛函分析:上[M].北京:高等教育出版社，1997[8] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社，1993[9] 吴良森,毛羽辉著.数学分析学习指导书（上册）.北京:高等教育出版社，2004[10] 胡适耕,张显文著.数学分析原理与方法.北京:科学出版社，2008[11] 陈纪修,於崇华著.数学分析第二版（下册）.北京:高等教育出版社.2004The sequence about limit with gathers the row on lower limit collectionHao Li-jiao 200711150652007 grades of mathematics,science college mathematics and the applied mathematicsprofessions 1 classAbstract：Sequence on, under the limit concept is limit concept extending,because they collect in the divergence distinction law in the seriesof positive terms the vital role, also becomes the theory which in themathematical analysis has no alternative but to say to be partial.This article mainly discussed the sequence about limit with to gatherthe row on lower limit collection as well as their a series of natureKey words: Sequence；Limit；Accumulation points；Sequence of sets；Function。

目录数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘要 (01)一、数列的上极限、下极限的定义 (01)1. 用“数列的聚点”来定义 (01)2. 用“数列的确界”来定义 (02)3. 数列上、下极限定义的等价性 (02)二、数列的上、下极限的性质及定理 (04)参考文献 (14)英文摘要 (15)数列上下极限的不同定义方式及相关性质摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数一、数列的上极限、下极限的定义关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列{}n x 的一个聚点.例1 数列{(1)}1n nn -+有聚点1-与1； 数列{sin}4n π有1,22--和1五个聚点； 数列1{}n只有一个聚点0；常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1.定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作lim n a →+∞=大;lim n n a x →∞=小.例2 lim (1)11nn n n →+∞-=+(),lim 111n n n →∞-=-+lim sin14n n π→+∞=,limsin 14n n π→∞=- 11lim lim 0n n n n→+∞→∞==2. 用“数列的确界”来定义定义3 任给数列{}n x ，定义lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥=;lim lim inf{}n k n k nn x x →∞≥→∞= （1）分别称为数列{}n x 的上极限和下极限.若定义1中的a 可允许是非正常点+∞或-∞，则：任一点列{}n x 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.不难证明：正上（下）界点列的最大（小）聚点为()+∞-∞.于是，无上（下）界点列有非正常上（下）极限()+∞-∞.例3 lim ((1)1)n n n →+∞-+=+∞,lim (1)n n n →+∞-=-∞,lim(1)n n n →∞-=-∞3. 数列上、下极限定义的等价性下面我们来证明一下数列上、下极限定义的等价性，即lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==大；lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.证明：如果l i m s u p {}k n k nx →∞≥=+∞，由于s u p {}kk nx ≥关于n 单调递减，所以sup{}k k nx ≥=+∞，n N ∀>.于是，可取1n ∈（自然数）1..1n s t x >,又可取2,n ∈221,..2,,n n n s t x >>所以，得到数列{}n x 的子列{}()n k x k →+∞→+∞.这就证明了+∞为数列的聚点，且为最大聚点a 大.由此可得lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==+∞=大;如果limsup{}k n k nx →∞≥<+∞，则limsup{}k n k nx →∞≥=-∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.,n ∀∈,,i i n n i n ≥≥≥当时有sup{}i n k k nx x ≥≤，lim sup{}i n k i k na x x →∞≥=≤，limsup{}k n k na x →∞≥≤,所以，数列{}n x 的最大聚点满足lim limsup{}n k n n k nx x →+∞→∞≥≤.另一方面， lim ,n n y x →+∞∀>易见，[)∞y,+中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，,N ∃∈当k N >时，有k x y <，从而，当n N >时，有sup{},k k nx y ≥≤由此可得limsup{}k n k nx y →∞≥≤.令()lim nn y x +→+∞→，推出limsup{}lim k n n n k nx x →∞→+∞≥≤.综合上述，有lim limsup{}n k n n k na x x →+∞→∞≥==.类似的可证明或应用上式于{}n x -可证得lim liminf{}n k n k nn a x x →∞≥→∞==小.如果lim inf{}k n k nx →-∞≥=-∞，由于inf{}k k nx ≥关于n 单调递减，所以inf{}k k nx ≥=-∞，对n N ∀>.于是，可取自然数1n 使得11-<n x ,又可取自然数2n 12n n >使得22-<n x ……所以，得到数列{}n x 的子列{k n x }-∞→.这就证明了∞-为数列的聚点，且为最小聚点小a .由此可得lim lim inf{}n k n k nn a x x →-∞≥→∞==小;如果lim inf{}k n k nx →-∞≥>-∞，则lim inf{}k n k nx →-∞≥=+∞或实数.设a 数列{}n x 的任一聚点，则必有{}n x 的子列，()i n x a i →→+∞.任意的n 是自然数,,i i n n i n ≥≥≥当时有k n x ≥inf{}k k nx ≥lim inf{}i n k i k na x x →∞≥=≥lim inf{}k n k na x →+∞≥≥所以，数列{}n x 的最小聚点满足lim n n x →∞≥lim inf{}k n k nx →+∞≥.另一方面，对任意的y ≥lim n n x →∞易见，（-],y ∞中最多含有数列{}n x 中的有限多项.因此，存在N 是自然数当k N >时，有y x k >，从而，当n N >时，有inf{}k k nx ≥y ≥，由此可得lim inf{}k n k nx →+∞≥y ≥.令y →[lim n n x →∞]-，推出lim inf{}k n k nx →+∞≥≥lim n n x →∞.综合上述，有lim lim inf{}n k n k nn a x x →+∞≥→∞==小.下面进一步给出和数列上，下极限定义有关的性质及定理.二、数列的上、下极限的性质及定理设有数列{}n x 与数列{}n y ，则数列的上、下极限有以下性质性质 1 lim lim n n n n x x →+∞→∞≥； （2）性质 2 lim lim lim n n n n n n x A x x A →+∞→+∞→∞=⇔==例 4 用上下极限理论证明：若{}n x 是有界发散数列，则存在{}n x 的两个子列收敛于两个不同的极限.证明：因为数列发散的充要条件是lim lim n n n n x x →+∞→∞≠，于是存在{}n x 的两个子列{}{}''',k k n n x x ，使'l i m l i mk n n n n x x →+∞→+∞=，''lim lim k n n n n x x →+∞→∞=，即存在{}n x 的两个子列收敛于不同的极限.性质 3 （保不等式性质）设有界数列{}n x ，{}n y 满足：存在00N >,当0n N >时有n n x y ≤，则lim lim n n n n x y →+∞→+∞≤;lim lim n n n n x y →∞→∞≤;特别，若,αβ为常数，又存在00N >，当0n N >时有n a αβ≤≤，则lim lim n n n n a a αβ→+∞→∞≤≤≤性质 4 设0,0,(1,2,)n n x y n ≥≥=，则lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞⋅≤≤⋅ （3）lim lim lim lim lim n n n n n nn n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅（4）例5 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅(0)n x ≥证明：分三种情况讨论1、 若lim 0n n y →+∞>，则{}n y 中有无穷多项大于零，作新序列,0max{,0}00n n n n n y y y y y +>⎧==⎨≤⎩当时，当时则0n y +≥，且lim lim n n n n y y +→+∞→+∞=，对{}n x {}n y +应用（4）有lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y +++→+∞→+∞→+∞→+∞→∞⋅≤≤⋅因{}n x 收敛，所以 lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，故上式表明 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞=⋅=⋅但 lim lim lim n n n n n n n n n x y x y x y ++→+∞→+∞→+∞==（）0n x ≥（因）所以 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=2、 若lim n n y →+∞=-∞，在限制条件下，lim 0n n x →+∞>，因此n 充分大时有0n x >，这时等式明显成立.3、 若lim 0n n y →+∞-∞<≤，可取充分大的正常数C>0,使得l i m ()0n n y C →+∞+>， 如此应用1、的结果， lim ()lim lim ()n n n n n n n x y C x y C →+∞→+∞→+∞+=⋅+再根据（3），此即 lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x y x C x y x C →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+⋅=⋅+⋅从而 lim lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞=⋅，证毕.性质 5 在不发生()±∞∞)+(情况下，有如下不等式成立：1、lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+2、lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+3、lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+≤+事实上，这里的等号可以不发生，如对{}{1,0,1,0,1,0,}n x =； {}{0,2,0,2,0,2,}n y =， 这时{}{1,2,1,2,1,2,}n n x y +=lim lim 0lim()1n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+=<+=lim ()2lim lim 3n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=<+=例6 证明：若{}n x 收敛，则对任意n y (1,2,)n =，有lim ()lim lim n n n n n n n x y x y →+∞→+∞→+∞+=+证：我们已有lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+注意{}n x 收敛，因此lim lim lim n n n n n n x x x →+∞→+∞→∞==，所以上式即为 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+即成立.例7 证明：（1）lim lim lim()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→∞→∞→∞→∞+≤+≤+（2）lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+证： 先证： lim ()lim n n n n x x →+∞→+∞-=-（1） 设lim n n x a →+∞=，则依上极限定义，0ε∀>，数列{}n x 中至多只有N 项大于a ε+，而有穷项小于a ε-，即对{}n x -，至多有N 项小于a ε--，而有穷项大于a ε-+，所以依下极限定义，有 lim()n n x a →∞-=-，即lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-.设 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，lim()n n n x y a b →∞+=+用反证法，设c a b <+，依下极限定义，0ε∀>，N ∃,当n N >时，有n n x y c ε+<+ 不妨设 1()2a b c ε=+-， 则当n N >时， n n x y c a b εε+<+<+- 又有 lim n n x a →∞=，lim n n y b →∞=，依下极限定义，则当1n N >时，2n x a ε<-，当2n N < 时2n y b ε<-，由此推出矛盾，故a b c +≤，即lim lim lim()n n n n n n n x y x y →∞→∞→∞+≤+，又令n n n d x y =+，则()n n n x d x =+-.于是lim lim()lim n n n n n n d y x →∞→∞→∞+-≤，由于 lim()lim n n n n y y →+∞→∞-=-，所以 lim lim()lim lim n n n n n n n n n d x y x y →+∞→∞→∞→∞≤+≤+（2） 以n y -及n x -分别代替题（1）中的n x 与n y ，有lim()lim()lim ()lim lim n n n n n n n n n n n y x x y y x →+∞→∞→∞→∞→∞-+-≤-+≤+-，由 lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-得 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞--≤-+≤--，即 lim lim lim ()lim lim n n n n n n n n n n n x y x y x y →+∞→+∞→+∞→+∞→∞+≤+≤+，当{}:0,1,2,0,1,2,n x ；{}:2,3,1,2,3,n y 时，题（1）（2）中仅不等号成立.性质 6lim ()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;lim()lim n n n n x x →+∞→∞-=-;性质 7 若 lim 0n n x →∞>，则1lim lim1n n n nx x →+∞→∞⋅=; （7）例7 证：若0,(1,2,)n a n >=且1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=，则数列{}n a 收敛.证明：若lim 0n n a →∞=，则∃子列{}k n a ，lim 0k n k a →+∞=，于是有1limkk n a →+∞=+∞，这与1lim lim1n n n na a →+∞→+∞⋅=相矛盾，这样应当有lim 0n n a →+∞>，然后用上下极限等价定义来证明.性质8 当 n x a →，且0n x ≥，则下式右端有意义（不是0⋅∞型）时，有lim lim n n n n n x y a y →∞→∞=;lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=.证明：以第二式为例给出证明首先设 lim 0n n y b →+∞=>，其中b 为有限数或+∞.令 ,00,0.n n n n y y z y >⎧=⎨≤⎩当；当则lim lim n n n n z y b →+∞→+∞==;lim lim n n n n n n x z x y →+∞→+∞=.由0,0n n x z ≥≥得lim lim lim lim lim n n n n n n n n n n n x z x z x z →+∞→+∞→+∞→+∞→∞≤≤⋅，即lim lim lim n n n n n n n a z x z a z →+∞→+∞→+∞≤≤⋅，也就是lim lim n n n n n x z a z →+∞→+∞=⋅，代回到n y 就得到lim lim n n n n n x y a y →+∞→+∞=⋅.其次设 lim 0n n y b →+∞=≤ （b 为有限数）只要用1n y b +代替n y （其中10b b +>），就可得证. 最后 lim n n y →+∞=-∞，这时即n y →-∞，且0a ≠（否则出现0⋅∞型），显然n n x y →-∞.下面定理指出，对一切数列{}n x 的上、下极限必存在（包括±∞）. 定理 1（1）有界数列{}n x 至少有一个聚点,存在最大聚点与最小聚点,且这两个聚点都为实数,它们分别为上极限lim n n x →+∞与下极限lim n n x →∞;（2）如果数列{}n x 无上界,则lim n n x →+∞=+∞,此时+∞为数列{}n x 的最大聚点;如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=,此时lim n n x →+∞=-∞;② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最大聚点,它就是lim n n x →+∞;（3） 如果数列{}n x 无下界,则lim n n x →∞=-∞,此时-∞为数列{}n x 的最小聚点;如果数列{}n x 有下界a① 若[],,b a a b ∀>中含有数列{}n x 的有限项,则lim lim n n n n x x →+∞→∞=+∞=,此时lim n n x →+∞=+∞;② 若[],,b a a b ∃>中含有数列{}n x 的无限项,则数列{}n x 以实数为最小聚点,它就是lim n n x →∞.证明: (1) 因数列{}n x 有界,令{}[][]11|,,.n M M a b ∈⊂-=n x 将[]11,a b 两等分,则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]22,a b ,则[][]1122,,a b a b ⊃,且 ()221112b a b a M -=-=； 再将[]22,a b 两等分, 则必有一等分含数列{}n x 的无限多项,记此区间为[]33,a b ,则[][]2233,,a b a b ⊃,且()3322122M b a b a -=-=； 如此下去得到一个递降闭区间套:[][][]1122,,,k k a b a b a b ⊃⊃⊃⊃；10()2k k k Mb a k --=→→+∞， 且每个闭区间[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项.由闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈对0x 的任何开领域U，0,..s t ε∃> 000(;)(,)B x x x Uεεε=-+⊂，则N ∃∈，当k N >时，00[,](,)k k a b x x U εε⊂-+⊂，从而U 中含有数列{}n x 的无限多项，所以0x 为数列{}n x 的聚点.至于最大聚点的存在性，只需在上述证明过程中，当每次将区间[]11,k k a b --等分为两个区间时，若右边一个含数列的无限多项，将它取为[],k k a b ；若右边一个含数列的有限项，则取左边的子区间为[],k k a b .于是，所选[],k k a b 都含有数列{}n x 的无限多项，同时在[],k k a b 的右边都至多含有数列的有限项，其中()1111111()022k k k k k b a b a b a ----=-==-→ ()k →+∞ 再根据闭区间套定理知，[]01|,k k k x a b ∞=∃∈.下证0x 为数列{}n x 的最大聚点.（反证） 若不然，设另有数列{}n x 的聚点*00,x x >令*001()0,3x x δ=->则有 ***000(;)(,)B x x x δδδ=-+ 内都含有数列{}n x 的无限多项，但当k 充分大时，***000(;)(,)B x x x δδδ=-+完全落在[],k k a b 的右边，这与上述[],k k a b 的右边都至多含有数列{}n x 的有限项矛盾.类似可证最小聚点的存在性，或用{}n x -代替{}n x .（2） 如果数列{}n x 无上界,则{}n x 必有子列{}k n x ,..lim k n n s t x →+∞=+∞,因此,+∞ 为数列{}n x 的最大聚点,从而lim n n x →+∞=+∞.如果数列{}n x 有上界b① 若[],,a b a b ∀<中含有数列{}n x 的有限项,则根据极限为-∞的定义可知,lim lim n n n n x x →+∞→∞=-∞=；② 若[],,a b a b ∃<中含有数列{}n x 的无限项,由(1)的结果, 数列{}[],n x a b 有最大聚点,显然它也是数列{}n x 的最大聚点,即为lim n n x →+∞； (3) 类似(2)可证明,或用{}n x -代替{}n x .定理 2 lim lim lim n n n n n n x a x x a →+∞→+∞→∞=⇔==.证明：()⇒ 设lim n n x a →+∞=，则对a 的任一邻域U ，N ∃∈，当n N >时，n x U ∈，从而a 为数列{}n x 的一个聚点.b a ∀≠， 则存在a 的开邻域a U ，b 的开邻域b U ，..ab s tU U φ= . 由于lim n n x a →+∞=，故N ∃∈，当n N >时，n a x U ∈，所以n b x U ∉，从而b U 中至多含有数列{}n x 的有限项（如12,,,N x x x ）因此，b 不为数列{}n x 的聚点.综上可知，a 为数列{}n x 的唯一聚点，所以lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.或者，因lim n n x a →+∞=，故{}n x 的任何子列{}k n x 也必有lim k n n x a →+∞=.因此，数列{}n x 有唯一的聚点，从而lim lim n n n n x a x →+∞→∞==.()⇐ 设lim lim n n n n x x a →+∞→∞==，则数列{}n x 只有一个聚点a ，因此，对a 的任一开邻域U ，在U 外只含有数列{}n x 的有限多项1,,k n n x x （否则数列{}n x 在U 外还有异于a 的聚点，这与数列{}n x 只有一个聚点相矛盾）.于是，当{}1max ,,1k n N n n >=时，有n x U ∈，这就证明了lim n n x a →+∞=.定理 3 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 大为数列{}n x 的上极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε<+大;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε>-∀∈大；(3) ,a a ∀>大 数列{}n x 中大于a 的项至多有限个;,b a ∀<大 数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.证明：(1)(2)⇒:因a 大为数列{}n x 的聚点,故0,ε∀>在()a a a εεε=-+大大大；（，）内含有数列{}n x 的无限多项{}12|knx n n <<，则有,kn xa k ε>-∀∈大.又因a 大为数列{}n x 的最大聚点，故在a ε+大的右边至多只含有数列{}n x 的有限多项（否则必有数列{}n x 的聚点a ε≥+大，这与a 大为数列{}n x 的最大聚点相矛盾）.设此有限项的最大指标为N ，则当n N >时，有n x a ε<+大.(2)(3)⇒:,a a ∀>大令a a ε=-大，由（2）知，N ∃∈，当n N >时，有n x a ε<+大()a a a a =+-=大大.故数列{}n x 中大于a 的项至多有限个.b a ∀<大，令a b ε=-大，由（2）知，存在数列{}n x 的子列{}k n x ，,k n x a b ε>-=大k ∀∈，故数列{}n x 中大于b 的项有无限多个.(3)(1)⇒:设U 为a 大的任一开邻域，则0,..(;).s t B a a a U εεεε∃>=-+⊂大大大（，）由于a a a ε=+>大大，根据（3），{}n x 中大于a a ε=-大有无限多项.因此a a ε-+大大（， ε）中含有数列{}n x 的无限项，从而U 中含有数列{}n x 的无限项，这就证明了a 大为数列{}n x 的一个聚点.另一方面，a a ∀>大，记1()2a a ε=-大.由（3）知，数列{}n x 中大于()a a ε+>大大的项至多有限个.故a 不为数列{}n x 的一个聚点，这就证明了a 大为数列{}n x 的最大聚点，即a 大为数列{}n x 的上极限.定理 4 设{}n x 为有界数列，则下列结论等价：(1) a 小为数列{}n x 的下极限；(2) 0,,..N s t ε∀>∃∈当n N >时,有n x a ε>-小;且存在子列{}k n x ,..s t,k n x a k ε<+∀∈小；(3) b a∀<小，数列{}n x中小于b的项至多有限个;a a∀>小，数列{}n x中小于a的项有无限多个.证明：类似定理3证明,或用{}n x-代替{}n x.从一些性质和定理的证明可以看出有些步骤用到数列上，下极限定义方面的证明过程.此外，关于不同对象的上、下极限的定义，本质上都起源于数列的上、下极限定义，比如，集合列的上，下限极等，在此就不做介绍了.参考文献:[1] 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their a series of natureKey words: Sequence；Limit；Accumulation points；Sequence of sets；Function。