1正态分布
一、课堂目标
1．理解正态曲线的概念，掌握正态曲线的性质．
2．理解正态分布和标准正态分布的概念．
3．熟练掌握利用正态曲线的对称性和原则求随机变量在某一范围内的概率．
4．掌握正态分布的实际应用问题．
二、知识讲解
现实中，除了离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个
区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
1. 正态曲线
知识精讲
（1）正态曲线的概念
如下图，对应的函数解析式为：，（其中实数和
为参数）．
显然，对于任意的称，，它的图象在轴的上方．我们称为正态密度函数，称它的
图像为正态密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的性质
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
2②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在处达到峰值（最大值）；④曲线与轴之间的面积为；⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图所示；
⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越
“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示．
经典例题
1.关于正态曲线的性质：
①曲线关于直线对称，并且曲线在轴上方；
②曲线关于轴对称，且曲线的最高点的坐标是；
③曲线最高点的纵坐标是，且曲线无最低点；
④越大，曲线越“高瘦”；越小，曲线越“矮胖”．
3A.①②B.②③C.③④D.①③其中正确的是（ ）．
巩固练习
A.
B.
C.
D.2.如图是当取三个不同值，，时的三种正态曲线，那么，，的大小关系是（ ）．
2. 正态分布
知识精讲
（1）正态分布的概念若随机变量的概率分布密度函数为：，（其中实数和为参数），则称随机变量服从正态分布，记为．正态分布完全由参数和确定，其中参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．注意：
若，则．
若，如下图所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，而
为区域的面积．
高三数学学案2009-9-8 编者：张丽平 审核人：刘刚 班级 姓名 评价
没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现！ 1
§2.4正态分布
学习目标
1、正态分布的特点
2、正态分布曲线的应用
学习重点 正态分布的特点及正态分布曲线的意义。
学习难点 正态分布曲线的意义。
导学设计：
（一）知识链接：
1、什么是两点分步？
2、什么是超几何分布？
（二）新知探究
探究1：1、演示高尔顿板试验
2、统计各个球槽内落入小球的频数，绘制频率直方图（草图）
3、有频率直方图得到分布密度曲线(草图)
4、这条曲线对应的函数（或近似对应）是： 。
总体密度曲线b单位O频率/组距a
阅读课本70页
到71页
得出正态曲线的概念。
探究2：
1、观察左边的正态曲线得出()paXb
2、如果对于任何实数ab随机变量X满足
则X的分布是正态分布，记作 。
探究3：
1、为什么高尔顿实验的结果服从正态分布。
2、生活中有哪些随机变量服从或近似服从正态分布。
探究4：用函数的观点探究正态分布曲线的特点
(1) 与x轴的关系:
(2) 对称轴：
(3) 最值：
(4) 曲线与x轴之间的面积：
(5) 对曲线的影响：
(6) 对曲线有何影响，何为3原则:
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1 正态分布：
一、框架
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝222()1e2πxu，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数a，b (a
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ
②P(μ－2σ
③P(μ－3σ
二、方法诠释
第一方面：正态分布基本运算
例1：已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ
A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
解：由正态分布的概率公式知P(－3
P(－6
故P(3
2 第二方面：正态曲线的性质
例2.1:已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2≤ξ≤4)＝0.682 6，则P(ξ>4)＝( )
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
2．4 正态分布
1.了解正态分布的意义． 2.理解正态分布曲线的性质． 3.掌握利用曲线的性质解决一些简单问题．
[学生用书P36])
1．正态分布与正态曲线
(1)正态变量：表示随机现象的随机变量的概率分布一般近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．
(2)正态变量概率密度函数
正态变量概率密度曲线的函数表达式为
，x∈R .其中μ，σ是参数，且σ＞0，－∞＜μ＜＋∞.参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．
(3)正态分布的记法：期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作 ．
(4)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
(5)标准正态分布：数学期望为 ，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布．
2．正态曲线的性质
(1)曲线在x轴 ，并且关于直线 对称．
(2)曲线在 时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
(3)当μ一定时，曲线的形状由 确定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布 ；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布 ．
(4)当σ相同时，正态分布曲线的位置由 所决定．
设X是一个按正态分布的随机变量，则对任意的数a＞0及b，aX＋b仍是一个按正态分布的随机变量．
(5)3σ原则．
从理论上可以证明，正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内，取值的概率分别是 ， ， ．由于正态变量在(－∞，＋∞)内取值的概率是1，容易推出，它在区间(μ－2σ，μ＋2σ)之外取值的概率是4.6%，在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率是0.3%.于是正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．
1．判断(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( )
