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正态分布知识点总结ppt

正态分布知识点总结ppt

正态分布知识点总结ppt一、概念1. 正态分布，又称高斯分布，是一种连续概率分布2. 具有单峰对称的特点3. 由于其形状近似于钟形，因此也被称为钟形曲线二、特征1. 均值μ：描述分布的中心位置2. 标准差σ：描述数据点相对于均值的离散程度3. 标准差越大，曲线扁平度越高4. 标准差越小，曲线陡峭度越高5. 正态分布的均值、众数和中位数都相等三、标准正态分布1. 当均值μ=0，标准差σ=1时的正态分布2. 应用范围更广，便于做概率计算3. 可通过Z变换，将任意正态分布转化为标准正态分布四、性质1. 概率密度函数：f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))2. 总体均值、中位数、众数相等3. 68-95-99.7法则：在正态分布下，大约68%的数据落在均值±1个标准差内，大约95%的数据落在均值±2个标准差内，大约99.7%的数据落在均值±3个标准差内五、应用1. 统计学：用于研究样本数据的分布规律2. 自然科学：许多自然现象的分布都符合正态分布，如身高、体重等3. 工程学：用于分析质量控制、可靠性分析等六、假设检验1. 基于正态分布的概率性质，可对样本数据进行假设检验2. 通过计算样本均值和标准差，判断总体参数是否满足要求七、实际案例1. 身高分布：研究人群的身高分布规律，制定人体工程学标准2. 质量控制：监控产品的质量符合正态分布，及时发现异常情况3. 信用评分：应用正态分布评估个人信用等级八、常见问题1. 如何判断一组数据是否符合正态分布？- 绘制直方图或概率图查看数据分布形状- 进行正态性检验，如Shapiro-Wilk检验、K-S检验等2. 如果数据不符合正态分布，影响有哪些？- 在统计分析中应当选择非参数检验方法- 在数据建模和预测中需要考虑非线性因素的影响九、总结正态分布是统计学中的基础概率分布，具有广泛的应用价值。

正态分布详解(很详细)PPT课件

正态分布详解(很详细)PPT课件

能不能根据密度函数的表达式， 得出正态分布的图形特点呢？
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
容易看到，f(x)≥0 即整个概率密度曲线都在x轴的上方;
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得
f (μ+c)=f (μ-c)
1
t2
e 2 dt
n np(1p)
将上述结论推广到一般的正态分布,
Y~N(,2)时，
P(Y | |)0.6826
P(Y | |2)0.9544
P(Y | |3)0.9974
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
[3,3]区间内.
这在统计学上称作“3 准则”
（三倍标准差原则）.
上一讲我们已经看到，当n很大，p接 近0或1时，二项分布近似泊松分布; 如果 n很大，而p不接近于0或1，那么可以证明， 二项分布近似于正态分布.
2
X的分布函数P(X≤x)是怎样的呢？
设X~ N(,2) , X的分布函数是
F(x) 1 xe(t2 2)2d,tx
2
正态分布由它的两个参数μ和σ唯 一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正 态分布。
下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布
三、标准正态分布
0,1的正态分布称为标准正态分布.
且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大
值:
f () 1
2
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
当x→ ∞时，f(x) → 0,
这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。

正态分布完整ppt课件

正态分布完整ppt课件
正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。

《正态分布》ppt课件

《正态分布》ppt课件
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目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。

《正态分布》教学课件(32张PPT)

《正态分布》教学课件(32张PPT)
x (,) 标准正态曲线 10
正态密度曲线的图像特征
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1
μ= 1
σ=0.5
若 固定
, 随 值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
正态密度曲线的图像特征
μ=0
均数相等、方差不等的正态分布图示
若 固定,
=0.5
大时, 曲线 矮而胖；
小时, 曲
在下列哪个区间内？（ A）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
120.68260.3413, P ( 6 x 7 ) P ( 5 x 7 ) P ( 5 x 6 )
0 . 4 7 7 2 0 . 3 4 1 3 0 . 1 3 5 9 .
5、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位， 得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ）
P(2X2)= 0.9544 .
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
27
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
解:因为X～N(5,1), 5,1.
又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称 ,P(5x7)1 2P(3x7)1 2P(521x521)
120.95440.4772, P(5x6)1 2P(4x6)
μ= -1
y σ=0.5

正态分布 课件

正态分布 课件

；
• 特别地有：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6862 ；
• P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544 ；
• P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 .
[答案] B
[解析] 仔细对照正态分布密度函数：f(x)＝ 21πσe－
(x－μ)2
2σ2 (x∈R)，注意指数 σ 和系数的分母上的 σ 要一致，以及
正态分布
• 1．当样本容量无限增大时，它的频率分 布直方图 无限接近于 一条总体密度曲 线，在总体所在系统相对稳定的情况下， 总体密度曲线就是或近似地是以下函数的 图象：
• 其中μ和σ(σ>0)为参数．我们称φμ，σ(x)的图 象为 正态分布密度曲线，简称 正态曲线 ．
• (4)曲线与x轴之间的面积为 1 ；
• (5) 当 σ 一 定 时 ， 曲 线 随 μ 的 变 化而沿 x 轴 平移；
• (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定：σ越小，
曲线越“
瘦高”，表示总体的分布越
集中 ；σ越大，曲线越“
矮胖 ”，表示
总体的分布越 分散 ．
• 4．若X～N(μ，σ2)，则对任何实数a>0，概
率P(μ－a<X≤μ＋a)＝
称 性 得 P(3<X≤4) ＝ P(6<X≤7) ， 所 以
P(6<X≤7)＝
＝0.1359.
• [点评] 解此类题首先由题意求出μ及σ的
值，然后根据三个特殊区间上的概率值及
正态曲线的特点(如对称性，与x轴围成的 面积是1等)进行求解．
• [例5] 某年级的一次信息技术测验成绩近 似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于 60分为不及格，求：

正态分布ppt精品课件

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6、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率 等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 , 7、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X 0) = 0.5 P(2 X 2) = 0.9544 . 8、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
如果随机变量的总体密度曲线为：
f ( x)
1 e 2 ( x )2 2 2
（x R),
标准差σ越小，曲 线越“瘦高”，表 示总体分布越集中.
标准差σ越大， 曲线越“矮胖”， 表示总体分布越 分散.


2


若 ~ N (, ), E , D 总体平均数
六、正态曲线动态演示 正态总体的函数表示式
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
x (,)
y μ=0 σ=1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
（1）当x = μ 时,函数值为最大. 1 (0, ] （2）f ( x) 的值域为 2 (3) f ( x) 的图象关于
4.频率分布的条形图
5
805
0.112
2
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
591
6
994
0.138
7
1218
0.169
8
989
0.137
9
813
0.113
10
602
0.084
11
381
0.053
12
197
0.027
203 407
0.028 0.057 0.082
频率
①每一个小矩形的 高就是对应的频率 ②适用范围 离散型总体

正态分布ppt精品课件

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结果解释
根据检验结果，解释两组数据 是否存在显著差异，并结合实
际背景进行讨论。
06
正态分布在生活中的应用举例
质量控制领域应用举例
01
产品规格设定
在制造业中，正态分布用于设定产品规格。通过对产品特性进行统计分
析，可以确定产品特性的均值和标准差，进而设定合理的上下规格限。
02 03
过程能力分析
正态分布也用于评估生产过程的能力。通过计算过程能力指数（如Cp 和Cpk），可以了解生产过程是否稳定，并确定是否需要采取改进措施 。
多元方差分析（MANOVA）与多元回归分析（ Multiple Regression Analysis）：当涉及多个自 变量或多个因变量时，可以使用多元方差分析或 多元回归分析来探究它们之间的关系。
回归分析（Regression Analysis）：用于探究自 变量与因变量之间的线性或非线性关系，通过拟 合回归方程来预测因变量的取值。
概率密度函数性质 f(x)≥0，对于所有x∈R。
02
正态分布在统计学中应用
描述性统计量计算
均值（Mean）：表示数据的“中心 ”或“平均”水平，计算方法是所有 数值之和除以数值个数。
偏度（Skewness）：描述数据分布 形态的偏斜程度，正偏态表示数据向 右偏，负偏态表示数据向左偏。
标准差（Standard Deviation）：衡 量数据分布的离散程度，即数据偏离 均值的程度，计算方法是方差的平方 根。
实例分析：两组数据是否存在显著差异
数据描述
给出两组数据的描述性统计量， 如均值、标准差等。
假设检验步骤
按照上述假设检验步骤，对两组 数据进行假设检验。
结果解释
根据检验结果，判断两组数据是 否存在显著差异，并给出相应的

10-10 正态分布(共41张PPT)

10-10 正态分布(共41张PPT)

课前自助餐
授人以渔
自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 · 高三数学（理）
2
思考题 2 1 ( ) 设 X～N2 1 ( ,
)， 试 求 ：
①P(－1<X≤3)；②P3 ( < X≤5)；③P(X≥5)．
【 解 析 】 ∵X～N2 1 ( , 2)，∴μ＝1，σ＝2. ①P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2) ＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝6 0 8 . 6 2 . ②P3 ( < X≤5)＝P(－3<X≤－1)， 1 ∴P3 ( < X≤5)＝ [P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3 ] ) 2 1 ＝ [P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2 ] ) 2 1 ＝ [P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)] 2 1 ＝ ×9 0 5 ( 4 . －6 0 8 . 6 2 ) ＝1 0 3 . 9 5 . 2
3．2 ( 0 1 ·
湖北)已 知 随 机 变 量
ξ 服从正态分布 N(2，σ2)，且 ) B．4 0 . D．2 0 .
P(ξ< 4 ) ＝8 0 . ，则 P0 ( < ξ< 2 ) ＝( A．6 0 . C．3 0 .
答案 C
解析 由 P(ξ< 4 ) ＝8 0 . ， 得 P(ξ> 4 ) ＝P(ξ< 0 ) ＝2 0 . ， 故 P0 ( < ξ< 2 ) ＝3 0 . 故选 C.
2 ( ) P(－4＜X≤4)＝P(0－4＜X≤0＋4) ＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6. 1 【答案】 1 ( ) φμ，σ(x)＝ e ，x∈(－∞，＋∞) 4 2π

正态分布PPT优秀课件2

正态分布PPT优秀课件2

1
2

e
2
x(,)
μ=0
σ=1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
3.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
P(aXb)ab,(x)dx
则称为X 为正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分 布记作X~ N（ μ，σ2）.其图象称为正态曲线.如果随机变量X服从 正态分布，则记作 X~ N（ μ，σ2）
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
若X是一个随机变量，对任给区间 Y
(a,b]，P（a<X £ b)恰好是正态密度
曲线下方和x轴(a, b]上方所围成的图
形的面积，我们就称Ｘ服从参数m
和s ２的正态分布。
简 记 为 ： Ｘ : Ｎ (m ， s２ )
X
ab
4、正态曲线的性质
μ= -1
y σ=0.5
(x)
y
(x)2

正态分布 课件

正态分布 课件

(2)如图所示是一个正态曲线,其解析式为f(x)=
1
e
(
x)2
， 22
试根据该图象写出其正态分布参数μ,
σ22的 值.
【解题指南】(1)正态曲线沿着横轴方向水平移动只改 变对称轴位置,曲线的形状没有改变,所得的曲线依然是 正态曲线. (2)给出了一个正态曲线,就给出了该曲线的对称轴和最 大值,从而就能求出总体随机变量的均值、方差.
矮胖
分散
3.正态分布及正态变量在三个特殊区间内取值的概率: (1)正态分布: ①如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X ≤b)=_________,则称随机变量X服从正态分布.
②记为:ab X～, Nx(_d_x____).
μ,σ2
(2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率:
130分及以上的人数为54×0.15865≈9(人).
【方法总结】 1.生活中常见的正态分布 (1)在生产中,各种产品的质量指标一般都服从正态分 布. (2)在测量中,测量结果、测量的随机误差都服从正态 分布.
(3)在生物学中,同一群体的某种特征都服从正态分布. (4)在气象中,某地每年某月份的平均气温、平均湿度、 降雨量等都服从正态分布.
类型一 正态分布的概念与性质 【典例1】(1)把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动 2个单位,得到一条新的曲线C2,下列说法中不正确的 是( ) A.曲线C2仍然是正态曲线 B.曲线C1和曲线C2的最高点的纵坐标相等
C.以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为 概率密度曲线的总体的均值大2 D.以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为 概率密度曲线的总体的方差大2
正态分布
主题 正态分布 1.由函数φμ,σ(x)= 1 e（x22）2,x∈(-∞,+∞)的解析式,

正态分布ppt课件

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解析 正态曲线左右平移,只会改变对称轴，即x=μ
变化,其他特征都不变.
ppt精选版
6
3.设随机变量X服从正态分布N(2,9),
若P(X>c+1)=P(X<c-1),则c等于
A.1
B.2
C.3
D.4
(B )
解析 ∵μ=2，由正态分布的定义知其函数图象 关于x=2对称,于是 c1c12,∴c=2.
2
ppt精选版
2 2
)
(σ2>0)的密度函数图象如
图所示,则有
(A )
A.μ1<μ2,σ1<σ2
B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2
D.μ1>μ2,σ1>σ2
解析 由正态分布N(μ,σ2)性质知,x=μ为正态密
度函数图象的对称轴,故μ1<μ2.又σ越小，图象越
高瘦,故σ1<σ2.
ppt精选版
25
3.某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成
②曲线是单峰的,它关于直线__x_=_μ___对称；
③曲线在__x_=_μ__处达到峰值
1; 2π
④曲线与x轴之间的面积为_1_；
⑤当σ一定时,曲线随着_μ__的变化而沿x轴平移,
如图甲所示；
ppt精选版
2
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ_越__小_，曲线 越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ_越__大__,曲线
7
4.已知ξ~N(0,σ2)且P(-2≤ξ≤0)=0.4,则P(ξ>2)
的值为
(A )
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
解析 根据正态曲线的对称性,
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优选
11
解析：由正态曲线的特点易知：μ1＞μ2，σ1＜σ2，曲线 C1，C2 分别与 x 轴所夹面积相等．
答案：D
优选
12
类型二 正态分布下的概率计算 【例 2】 在某项测量中，测量结果服从正态分布 N(1,4)，求 正态总体 X 在(－1,1)内取值的概率．
解析： 由题意得 μ＝1，σ＝2， 所以 P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 6. 又因为正态曲线关于 x＝1 对称， 所以 P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝12P(－1＜X＜3)＝0.341 3.
③曲线在 x＝μ 处达到峰值
1； 2πσ
④曲线与 x 轴之间的面积为 1；
⑤当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化而
沿 x 轴平移；
⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越小，曲线越“瘦高”，
表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分
布越分散．
优选
3
对正态曲线特征的认识
对正态分布的理解
1．正态分布是自然界最常见的一种分布，例如：测量的误差；
人的身高、体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：直径、长
度、宽度、高度……都近似地服从正态分布．
2．正态分布定义中的式子实际是指随机变量 X 的取值区间在
(a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值．也就是
指随机变量 X 的取值区间在(a，b]上时的概率等于正态曲线与直线
x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积．
3．从正态曲线可以看出，对于固定的 μ 和 σ 而言，随机变量
在(μ－σ，μ＋σ)上取值的概率随着 σ 的减小而增大．这说明 σ 越小，
X 取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率越大，即 X 集中在 μ 周围的概
率越大．正态分布的 3σ 原则是进行质量控制的依据，要会应用给
优选
13
[点评] 1．本题利用正态分布曲线的图象和性质以特殊概率的值进行转 化求值．
2．解决正态分布曲线的概率计算问题，首先应理解曲线的对称 性，再者要熟练记住正态变量的取值在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ， μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布 确定所给区间属于上述区间的哪一个．
优选
1
知识点一 正态曲线
1.正态曲线的概念
若 φμ，σ(x)＝
1
e
(
x )2 2 2
，x∈(－∞，＋∞)，其中实数
μ
和
σ(σ
2πσ
＞0)为参数，我们称 φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态 曲线．
优选
2
2．正态曲线的性质
①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称；
φμ，
σ(x)中便可求出相应的解析式．
优选
10
变式训练 1
如图，曲线 C1：f(x)＝
1 2πσ1e
(
x1 212
)2
(x∈R)，曲
线 C2：φ(x)＝
1
e
(
x2
2
2 2
)2
(x∈R)，则(
2πσ2
)
A．μ1＜μ2 B．曲线 C1 与 x 轴相交 C．σ1＞σ2 D．曲线 C1、C2 分别与 x 轴所夹的面积相等
优选
4
知识点二 正态分布
如果对于任何实数 a，b(a＜b)，随机变量 X 满足 P(a＜X≤b) ＝bφμ，σ(x)dx，则称随机变量 X 服从正态分布．
a
正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此正态分布常记作 N(μ， σ2)．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X～N(μ，σ2)．
优选
5
1
( x20)2
π·e 4
，
x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是 μ＝20，
方差是 σ2＝( 2)2＝2.
优选
9
[点评]
1．本题直接根据正态分布曲线的性质解决 μ，σ.
2．正态曲线的图象及性质特点，其具Fra bibliotek两大明显特征：
(1)对称轴方程 x＝μ；
(2)最值σ
1 这两点把握好了，参数 2π
μ，σ
便确定了，代入
优选
14
变式训练 2 设 X～N(1,22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)． (2)P(3＜X≤5)．
优选
15
解析：因为 N～N(1,22)，所以 μ＝1，σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2) ＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)因为 P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以 P(3＜X≤5) ＝12[P(－3＜X≤5)－P(1＜X≤3)] ＝12[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)] ＝12[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
优选
7
类型一 正态曲线的图象的应用 【例 1】 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正 态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方 差．
优选
8
解析：
从正态曲线可知，该正态曲线关于直线 x＝20 对称，最大值为
2
1 ，所以 π
μ＝20，
1＝ 2πσ 2
1π，∴σ＝
2.
于是
φμ，σ(x)＝2
定三个区间的概率解决实际问题优.选
6
知识点三 3σ 原则 1.若 X～N(μ，σ2)，则对于任何实数 a＞0，P(μ－a＜X≤μ＋ a)＝μ＋aφμ，σ(x)dx.
μ－a
2．正态分布在三个特殊区间内取值的概率． P(μ－α＜X≤μ＋σ)＝0.682 6； P(μ－2α＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4； P(μ－3α＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.
优选
16
类型三 正态分布的应用 【例 3】 据调查统计，某市高二学生中男生的身高 X(单位： cm)服从正态分布 N(174,9)．若该市共有高二男生 3 000 人，试估 计该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数．
优选
17
解析：因为身高 X～N(174,9)， 所以 μ＝174，σ＝3， 所以 μ－2σ＝174－2×3＝168， μ＋2σ＝174＋2×3＝180， 所以身高在(168,180]范围内的概率为 0.954 4. 又因为 μ＝174. 所以身高在 (168,174]和 (174,180]范围内的概率相等，均为 0.477 2， 故该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数是 3 000×0.477 2≈1 432(人)．
特征
认识
特征 1
函数的值域为正实数集的子集，且以 x 轴为 渐近线
特征 2 曲线是对称的，关于直线 x＝μ 对称
特征 3 函数在 x＝μ 处取最大值
特征 4 随机变量在(－∞，＋∞)内取值的概率为 1
特征 5
当标准差一定时，μ 情况
变化时曲线的位置变化
特征 6
均值一定时，σ 散程度
变化时总体分布的集中、离