高一数学必修二第二章 平面向量向量练习

第二章 平面(p íngmi àn)向量复习课〔二〕
一、教学过程
〔一〕习题讲解：?习案?P173面6题。

〔二〕典型例题
例1．圆C ：
及点A 〔1，1〕，M 是圆上任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且
，求点N 的轨迹方程。

练习：1. O 为坐标原点，
=〔2，1〕，=〔1，7〕，=〔5，1〕，=x OA ,y=· 〔x ，y ∈R 〕 求点P 〔x ，y 〕的轨迹方程；
2. 常数a>0，向量
，经过定点A 〔0，－a 〕以为方向向量的直线与经过定点B 〔0，a 〕以
为方向向量的直线相交于点P ，其中.求点P 的轨迹C 的方程；
,
, ，点P 是直线OM 上的一个动点，求当取最小值时，
的坐标及∠APB 的余弦值． 解 设
．∵ 点P 在直线OM 上， ∴ OP 与
一共线，而)1,2(=OM ，∴ x －2y=0即x=2y ， 有．∵
，
， ∴
= 5y2－20y+12 = 5(y －2)2－8．
从而，当且仅当y=2，x=4时，PB PA ⋅获得最小值－8，
此时，，．
于是(yúshì)，，，
∴
小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。

内容总结
（1）第二章平面向量复习课〔二〕
一、教学过程
〔一〕习题讲解：
（2）第二章平面向量复习课〔二〕
一、教学过程
〔一〕习题讲解：
（3）P173面6题
（4）2. 常数a>0，向量，经过定点A〔0，－a〕以为方向向量的直线与经过定点B〔0，a〕以为方向向量的直线相交于点P，其中.求点P的轨迹C 的方程。

6.1 平面向量的概念——2022-2023学年高一数学人教A 版2019必修第二册同步课时训练1.下列命题正确的是( )A.单位向量都相等B.任一向量与它的相反向量不相等C.平行向量不一定是共线向量D.模为0的向量与任意向量共线2.给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 3.下列说法正确的是( ).A.若向量a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C.若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行4.下列说法中错误的是( )A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线C.零向量的长度为0D.方向相反的两个非零向量必不相等5.给出下列三个命题：①若||0=a ，则0=a ；②若||||=a b ，则=a b 或=-a b ；③若//a b ，则||||=a b .其中正确的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个6.若向量a 与b 不相等, 则a 与b 一定( )A.不共线B.长度不相等C.不可能都是单位向量D.不可能都是零向量7.下列量不是向量的是( )A.力B.速度C.质量D.加速度8.（多选）下列说法中正确的是( )A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线C.零向量的长度为0D.方向相反的两个非零向量必不相等9. （多选）下列命题中正确的是( )A.单位向量都相等B.任一向量与它的相反向量不相等C.四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB DC=D.模为0是一个向量方向不确定的充要条件10. （多选）下列说法正确的是( )A.两条有公共终点的有向线段表示的向量是平行向量B.若任意两个非零向量相等，则表示它们的有向线段的起点与终点是一平行四边形的四个顶点C.若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.若,a b b，则=c==ca11.给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等，其中正确的是_______(填序号).12.把表示同一平面内所有模不小于1,不大于2的向量的有向线段的起点,移到同一点O,则这些有向线段的终点所构成的图形的面积等于________.13.如图6-1-2,,B C是线段AD的三等分点,分别以图中不同的点为起点和终点,可以写出___________个向量。

1 向量和差作图全攻略两个非零向量的和差作图，对同学们是一个难点，这里对其作图方法作出细致分析，以求尽快掌握.一、向量a 、b 共线例1 如图，已知共线向量a 、b ，求作a ＋b . (1)a 、b 同向；(2)a 、b 反向，且|a |＞|b |； (3)a 、b 反向，且|a |＜|b |.作法 在与a 平行的同一条直线上作出三个向量OA →＝a ，AB →＝b ，OB →＝a ＋b ，具体作法是：当a 与b 方向相同时，a ＋b 与a 、b 的方向相同，长度为|a |＋|b |；当a 与b 方向相反时，a ＋b 与a 、b 中长度长的向量方向相同，长度为||a |－|b ||.为了直观，将三个向量中绝对值最大的向量沿与a 垂直的方向稍加平移，然后分别标上a ，b ，a ＋b .作图如下：例2 如图，已知共线向量a 、b ，求作a －b . (1)a 、b 同向，且|a |＞|b |； (2)a 、b 同向，且|a |＜|b |； (3)a 、b 反向.作法 在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .事实上a －b 可看作是a ＋(－b )，按照这个理解和a ＋b 的作图方法不难作出a －b ，作图如下：二、向量a 、b 不共线如果向量不共线，可以应用三角形法则或平行四边形法则作图.例3 如图，已知向量a 、b . 求作：(1)a ＋b ；(2)a －b . 作法1 (应用三角形法则)(1)一般情况下，应在两已知向量所在的位置之外任取一点O .第一步：作OA →＝a ，方法是将一个三角板的直角边与a 重合，再将直尺一边与三角板的另一直角边重合，最后将三角板拿开，放到一直角边过点O ，一直角边与直尺的一边重合的位置，在此基础上取|OA →|＝|a |，并使OA →与a 同向.第二步：同第一步方法作出AB →＝b ，一定要保证方向相同且长度相等.(此处最易错的是把AB →作成与b 的方向相反.)第三步：作OB →，即连接OB ，在B 处打上箭头，OB →即为a ＋b . 作图如下：(2)第一步：在平面上a ，b 位置之外任取一点O ； 第二步：依照前面方法过O 作OA →＝a ，OB →＝b ； 第三步：连接AB ，在A 处加上箭头，向量BA →即为a －b . 作图如下：点评 向量加法作图的特点是“首尾相接，首尾连”；向量减法作图的特点是“共起点，连终点，箭头指被减”. 作法2 (应用平行四边形法则)在平面上任取一点A ，以点A 为起点作AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作▱ABCD ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .作图如下：点评 向量的平行四边形法则和三角法则在本质上是一样的，但在解决某些问题时平行四边形法则有一定的优越性，因此两种法则都应熟练掌握.向量和差作图，要注意的是保证所作向量与目标向量“方向相同，长度相等”，最忌讳的是“作法不一”，比如作法中要求的是作AB →＝b ，可实际上作的是AB →＝－b .只要作图的过程与作法的每一步相对应，一定能作出正确的图形.2 向量线性运算的应用平面向量的线性运算包括加法、减法以及数乘运算，在解题中具有广泛的应用.在对向量实施线性运算时，要准确利用对应的运算法则、运算律，注意向量的大小和方向两个方面. 一、化简例1 化简下列各式： (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →)； (2)124[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )]. 解 (1)(2AB →－CD →)－(AC →－2BD →)＝2AB →－CD →－AC →＋2BD →＝2AB →＋DC →＋CA →＋2BD → ＝2(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝2AD →＋DA →＝AD →. (2)124[3(2a ＋8b )－6(4a －2b )] ＝124(6a ＋24b －24a ＋12b )＝124(－18a ＋36b ) ＝－34a ＋32b .点评 向量的基本运算主要有两个途径：一是基于“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则进行化简；二是基于“数”，满足“首尾相接且相加”或“起点相同且相减”的两个向量进行化简，解题时要注意观察是否有这两种形式出现，同时注意向量加法法则、减法法则的逆向应用.数乘运算，可类比实数积的运算方法进行，将向量a ，b ，c 等看成一般字母符号，其中向量数乘之间的和差运算，相当于合并同类项或提取公因式，这里的“同类项”与“公因式”指的是向量. 二、求参数例2 如图，已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 如图，因为MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，即AM →＝MB →＋MC →， 延长AM ，交BC 于D 点，所以D 是BC 边的中点，所以AM →＝2MD →， 所以AD →＝32AM →，所以AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，所以m ＝3. ★答案★ 3点评 求解含参数的向量线性运算问题，只需把参数当作已知条件，根据向量的加法、减法及数乘运算将问题中所涉及的向量用两个不共线的向量表示，列出向量方程，对比系数求参数的值. 三、表示向量例3 如图所示，在△ABC 中，AD →＝23AB →，DE ∥BC 交AC 于E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用向量a ，b 表示AE →、BC →、DE →、DN →、AM →.解 因为DE ∥BC ，AD →＝23AB →，所以AE →＝23AC →＝23b ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，由△ADE ∽△ABC ，得DE →＝23BC →＝23(b －a )，又M 是△ABC 底边BC 的中点，DE ∥BC ， 所以DN →＝12DE →＝13(b －a )，AM →＝AB →＋BM →＝a ＋12BC →＝a ＋12(b －a )＝12(a ＋b ).点评 用已知向量表示另外一些向量，应尽量将所求向量转化到平行四边形或三角形中，利用向量共线条件和平面几何知识的一些定理、性质，如三角形中位线性质，相似三角形对应边成比例等，再利用向量加法、减法法则，即可用已知向量表示所求向量.3 平面向量的基本定理应用三技巧技巧一 构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e 1，e 2为基底，且a ＝x 1e 1＋y 1e 2＝x 2e 1＋y 2e 2，则用⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2y 1＝y 2来求解.例1 在△OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使|OM →|∶|OA →|＝1∶3，|ON →|∶|OB →|＝1∶4，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OP →. 解 ∵B ，P ，M 共线，∴存在常数s ，使BP →＝sPM →， 则OP →＝11＋s OB →＋s 1＋s OM →.即OP →＝11＋s OB →＋s 3(1＋s )OA →＝s 3(1＋s )a ＋11＋sb .①同理，存在常数t ，使AP →＝tPN →， 则OP →＝11＋t a ＋t 4(1＋t )b .②∵a ，b 不共线，∴⎩⎨⎧11＋t ＝s3(1＋s )11＋s ＝t4(1＋t )，解之得⎩⎨⎧s ＝92t ＝83，∴OP →＝311a ＋211b .点评 这里选取OA →，OB →作为基底，构造OP →在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解.技巧二 构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e 1，e 2为基底，a ＝x 1e 1＋y 1e 2，b ＝x 2e 1＋y 2e 2，且a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0”来求解.例2 如图，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 、b 表示OM →；(2)已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE →＝pOA →，OF →＝qOB →，求证：17p ＋37q ＝1.(1)解 设OM →＝m a ＋n b ，则 AM →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝－a ＋12b .∵点A 、M 、D 共线，∴AM →与AD →共线， ∴12(m －1)－(－1)×n ＝0，∴m ＋2n ＝1.①而CM →＝OM →－OC →＝(m －14)a ＋n b ，CB →＝－14a ＋b .∵C 、M 、B 共线，∴CM →与CB →共线， ∴－14n －(m －14)＝0.∴4m ＋n ＝1.②联立①②可得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .(2)证明 EM →＝(17－p )a ＋37b ，EF →＝－p a ＋q b ，∵EF →与EM →共线， ∴(17－p )q －37×(－p )＝0. ∴17q －pq ＝－37p ，即17p ＋37q＝1. 点评 这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解.技巧三 将题目中的已知条件转化成λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式(e 1，e 2不共线)，根据λ1＝λ2＝0来求解.例3 如图，已知P 是△ABC 内一点，且满足条件AP →＋2BP →＋3CP →＝0，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令CP →＝p ，试用向量p 表示CQ →.解 ∵AP →＝AQ →＋QP →，BP →＝BQ →＋QP →， ∴(AQ →＋QP →)＋2(BQ →＋QP →)＋3CP →＝0，∴AQ →＋3QP →＋2BQ →＋3CP →＝0，又∵A ，B ，Q 三点共线，C ，P ，Q 三点共线， ∴AQ →＝λBQ →，CP →＝μQP →， ∴λBQ →＋3QP →＋2BQ →＋3μQP →＝0， ∴(λ＋2)BQ →＋(3＋3μ)QP →＝0.而BQ →，QP →为不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2＝0，3＋3μ＝0.∴λ＝－2，μ＝－1.∴CP →＝－QP →＝PQ →. 故CQ →＝CP →＋PQ →＝2CP →＝2p .点评 这里选取BQ →，QP →两个不共线的向量作为基底，运用化归与转化思想，最终变成λ1e 1＋λ2e 2＝0的形式来求解.4 直线的方向向量和法向量的应用直线的方向向量和法向量是处理直线问题的有力工具.由于直线和平面向量的学习分散在必修2和必修4先后进行，学习中对它们的认识还不到位，重视程度还不够，下面对直线的方向向量和法向量的灵活应用结合例子加以剖析. 一、直线的方向向量 1.定义设P 1，P 2是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上的不同两点，那么向量P 1P 2→以及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1P 2→的坐标为(x 2－x 1，y 2－y 1)；特别当直线l 与x 轴不垂直时，即x 2－x 1≠0，直线的斜率k 存在时，那么(1，k )是它的一个方向向量；当直线l 与x 轴平行时，方向向量可为(1，0)；而无论斜率存在与否，其方向向量均可表示为(－B ，A ). 2.应用 (1)求直线方程例1 已知三角形三顶点坐标分别为A (2，－3)，B (－7，9)，C (18，9)，求AB 边上的中线、高线方程以及∠C 的内角平分线方程. 解 ①求中线方程由于CB →＝(－25，0)，CA →＝(－16，－12)，那么AB 边上的中线CD 的方向向量为CB →＋CA →＝(－41，－12)，也就是⎝⎛⎭⎫1，1241，因而直线CD 的斜率为1241， 那么直线CD 的方程为y －9＝1241(x －18)，整理得12x －41y ＋153＝0. ②求高线方程 由于k AB ＝9＋3－7－2＝－43，因而AB 的方向向量为⎝⎛⎭⎫1，－43， 而AB 边上的高CE ⊥AB ， 则直线CE 的方向向量为⎝⎛⎭⎫1，34， 那么高线CE 的方程为y －9＝34(x －18)，整理得3x －4y －18＝0. ③求∠C 的内角平分线方程 CB →|CB →|＝(－1，0)，CA →|CA →|＝⎝⎛⎭⎫－45，－35， 则∠C 的内角平分线的方向向量为 CB →|CB →|＋CA →|CA →|＝⎝⎛⎭⎫－95，－35，也就是⎝⎛⎭⎫1，13， 因而内角平分线CF 的方程为y －9＝13(x －18)，整理得x －3y ＋9＝0.点评 一般地，经过点(x 0，y 0)，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程是A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0；与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程是B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0. (2)求直线夹角例2 已知l 1：x ＋3y －15＝0与l 2：y －3mx ＋6＝0的夹角为π4，求m 的值.解 直线l 1的方向向量为v 1＝(－3，1)， 直线l 2的方向向量为v 2＝(1，3m )， ∵l 1与l 2的夹角为π4，∴|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1||v 2|＝|3m －3|9＋1·1＋9m 2＝22， 化简得18m 2＋9m －2＝0.解得m ＝－23或m ＝16.点评 一般地，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，其方向向量为v 1＝(1，k 1)，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，其方向向量为v 2＝(1，k 2)，当1＋k 1k 2＝0时，两直线的夹角为90°；当1＋k 1k 2≠0时，设夹角为θ，则cos θ＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2|＝|1＋k 1k 2|1＋k 21·1＋k 22；若设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，其方向向量为(－B 1，A 1)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，其方向向量为(－B 2，A 2)，那么cos θ＝|A 1A 2＋B 1B 2|A 21＋B 21·A 22＋B 22.二、直线的法向量 1.定义直线Ax ＋By ＋C ＝0的法向量：如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量.因此若直线的方向向量为v ，则n ·v ＝0，从而对于直线Ax ＋By ＋C ＝0而言，其方向向量为v ＝(B ，－A )，则由于n ·v ＝0，于是可取n ＝(A ，B ). 2.应用(1)判断直线的位置关系例3 已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0与直线l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0. (1)若l 1⊥l 2，求实数a 的值； (2)若l 1∥l 2，求实数a 的值.解 直线l 1，l 2的法向量分别为n 1＝(a ，－1)，n 2＝(2a －1，a )，(1)若l 1⊥l 2，则n 1·n 2＝a (2a －1)＋(－1)×a ＝0，解得a ＝0或a ＝1.∴a ＝0或1时，l 1⊥l 2. (2)若l 1∥l 2，则n 1∥n 2，∴a 2－(2a －1)×(－1)＝0.解得a ＝－1±2，且a 2a －1＝－1a ≠2.∴a ＝－1±2时，l 1∥l 2.点评 一般地，设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，它们的法向量分别为n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)，当n 1⊥n 2，即A 1A 2＋B 1B 2＝0时，l 1⊥l 2，反之亦然；当n 1∥n 2，即A 1B 2－A 2B 1＝0时，l 1∥l 2或l 1与l 2重合. (2)求点到直线的距离例4 已知点M (x 0，y 0)为直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点. 求证：点M (x 0，y 0)到直线l 的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.证明 设P (x 1，y 1)是直线Ax ＋By ＋C ＝0上任一点，n 是直线l 的一个法向量，不妨取n ＝(A ，B ).则M (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 等于向量PM →在n 方向上投影的长度，如图所示.d ＝|PM →|·|cos 〈PM →，n 〉| ＝|PM →·n ||n |＝|(x 0－x 1，y 0－y 1)·(A ，B )|A 2＋B 2＝|A (x 0－x 1)＋B (y 0－y 1)|A 2＋B 2＝|Ax 0＋By 0－(Ax 1＋By 1)|A 2＋B 2.∵点P (x 1，y 1)在直线l 上，∴Ax 1＋By 1＋C ＝0，∴Ax 1＋By 1＝－C ， ∴d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.点评 同理应用直线的法向量可以证明平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与直线l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A 2＋B 2≠0且C 1≠C 2)的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.证明过程如下：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别为直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，直线l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0上任意两点，取直线l 1，l 2的一个法向量n ＝(A ，B )，则P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)在向量n 上的投影的长度，就是两平行线l 1、l 2的距离. d ＝|P 1P 2→||cos 〈P 1P 2→，n 〉|＝|P 1P 2，→·n ||n |＝|(x 2－x 1，y 2－y 1)·(A ，B )|A 2＋B 2＝|A (x 2－x 1)＋B (y 2－y 1)|A 2＋B 2＝|(Ax 2＋By 2)－(Ax 1＋By 1)|A 2＋B 2＝|C 2－C 1|A 2＋B 2.5 向量法证明三点共线平面向量既具有数量特征，又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力.下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 典例 已知OB →＝λOA →＋μOC →，其中λ＋μ＝1.求证：A 、B 、C 三点共线. 思路 通过向量共线(如AB →＝kAC →)得三点共线.证明 如图，由λ＋μ＝1得λ＝1－μ，则OB →＝λOA →＋μOC →＝(1－μ)OA →＋μOC →.∴OB →－OA →＝μ(OC →－OA →)，∴AB →＝μAC →， ∴A 、B 、C 三点共线.思考 1.此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O 具有灵活性；2.反之也成立(证明略)：若A 、B 、C 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满足OB →＝λOA →＋μOC →，且λ＋μ＝1.揭示了三点共线的又一个性质；3.特别地，λ＝μ＝12时，OB →＝12(OA →＋OC →)，点B 为AC →的中点，揭示了△OAC 中线OB 的一个向量公式，应用广泛. 应用举例例1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD .利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线.思路分析 选择点B ，只须证明BN →＝λBM →＋μBC →，且λ＋μ＝1.证明 由已知BD →＝BA →＋BC →，又点N 在BD 上，且BN ＝13BD ，得BN →＝13BD →＝13(BA →＋BC →)＝13BA→＋13BC →. 又点M 是AB 的中点，∴BM →＝12BA →，即BA →＝2BM →.∴BN →＝23BM →＋13BC →.而23＋13＝1.∴M 、N 、C 三点共线. 点评 证明过程比证明MN →＝mMC →简洁.例2 如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与AB 相交于E ，求证：BE ＝14BA .思路分析 可以借助向量知识，只需证明：BE →＝14BA →，而BA →＝BO →＋BC →，又O 、D 、E 三点共线，存在唯一实数对λ、μ，且λ＋μ＝1，使BE →＝λBO →＋μBD →，从而得到BE →与BA →的关系.证明 由已知条件，BA →＝BO →＋BC →，又B 、E 、A 三点共线，可设BE →＝kBA →，则 BE →＝kBO →＋kBC →，①又O 、E 、D 三点共线，则存在唯一实数对λ、μ， 使BE →＝λBO →＋μBD →，且λ＋μ＝1. 又BD →＝13BC →，∴BE →＝λBO →＋13μBC →，②根据①②得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k ＝13μ，λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，λ＝14，μ＝34.∴BE →＝14BA →，∴BE ＝14BA .点评 借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质解决问题，巧妙、简洁.6 平面向量中的三角形“四心”问题在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，还培养了考生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如下介绍： 1.重心三角形三条中线的交点叫重心，它到三角形顶点距离与该点到对边中心距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G 是△ABC 所在平面内的一点，则当点G 是△ABC 的重心时，有GA →＋GB →＋GC →＝0或PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)(其中P 为平面任意一点).反之，若GA →＋GB →＋GC →＝0，则点G 是△ABC 的重心.在向量的坐标表示中，若G ，A ，B ，C 分别是三角形的重心和三个顶点，且坐标分别为G (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则有x ＝x 1＋x 2＋x 33，y ＝y 1＋y 2＋y 33.例 已知△ABC 内一点O 满足关系OA →＋2OB →＋3OC →＝0，试求S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB 的值. 解 如图，延长OB 至B 1，使BB 1＝OB ，延长OC 至C 1，使CC 1＝2OC ，连接AB 1，AC 1，B 1C 1.则OB 1→＝2OB →，OC 1→＝3OC →. 由条件，得OA →＋OB 1→＋OC 1→＝0， ∴点O 是△AB 1C 1的重心.从而S △B 1OC 1＝S △C 1OA ＝S △AOB 1＝13S ，其中S 表示△AB 1C 1的面积.∴S △COA ＝19S ，S △AOB ＝16S ，S △BOC ＝12S △B 1OC ＝12×13S △B 1OC 1＝118S .于是S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝118∶19∶16＝1∶2∶3. 点评 本题条件OA →＋2OB →＋3OC →＝0与三角形的重心性质GA →＋GB →＋GC →＝0十分类似，因此我们通过添加辅助线，构造一个三角形，使点O 成为辅助三角形的重心，而三角形的重心与顶点的连线将三角形的面积三等分，从而可求三部分的面积比.引申推广 已知△ABC 内一点O 满足关系λ1OA →＋λ2OB →＋λ3OC →＝0，则S △BOC ∶S △COA ∶S △AOB ＝λ1∶λ2∶λ3. 2.垂心三角形三条高线的交点叫垂心，它与顶点的连线垂直于对边.在向量表达形式中，若H 是△ABC 的垂心，则HA →·HB →＝HB →·HC →＝HC →·HA →或HA →2＋BC →2＝HB →2＋CA →2＝HC →2＋AB →2.反之，若HA →·HB →＝HB →·HC →＝HC →·HA →，则H 是△ABC 的垂心. 3.内心三角形三条内角平分线的交点叫内心.内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等.在向量表达形式中，若点I 是△ABC 的内心，则有|BC →|·IA →＋|CA →|·IB →＋|AB →|·IC →＝0.反之，若|BC →|·IA →＋|CA →|·IB →＋|AB →|·IC →＝0，则点I 是△ABC 的内心.4.外心三角形三条边的中垂线的交点叫外心.外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等.在向量表达形式中，若点O 是△ABC 的外心，则(OA →＋OB →)·BA →＝(OB →＋OC →)·CB →＝(OC →＋OA →)·AC →＝0或|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.反之，若|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，则点O 是△ABC 的外心.。

高一数学必修二《平面向量》单元综合测试卷(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)【答案】 A2．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C ．53D ．32【答案】 A3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2 【答案】 D4．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【答案】 B5．已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】 C6．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】 D7．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( )A ．0B ．2C ．5D ．25【答案】 C8.已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43b 【答案】 B9．设非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】 B10．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE →·AB →＝1，则AE →·AC →的值为( )A ．3B ．2C ．32D ．33【答案】 B11．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)【答案】 B12．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.【答案】 －614．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【答案】 －315．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．【答案】 －516．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．因为0°<θ<120°，所以－12<cos θ<1，所以13<|c|<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)．(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示； (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．【解】 (1)m ＝8时，OC →＝(8,3)，设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎨⎧ 2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝－3，λ2＝143，∴OC →＝－3OA →＋143OB →. (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，则有AB →与AC →不共线，又AB →＝OB →－OA →＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(m,3)－(2，－1)＝(m －2,4)，则有1×4－(m －2)×1≠0，∴m ≠6.19．(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB →＝4i －2j ，AC →＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四边形ABCD 的面积．【解】 因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0，所以AB →⊥AD →.又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j ＝AB →＋AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形，又AB →⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形，所以S 四边形ABCD ＝|AB →|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.20．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ； (2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角． 【解】 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.∵|a |＝5，|b |＝52，∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝180°.21．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.22．(本小题满分12分)已知⊙O 的直径为10，AB 是⊙O 的一条直径，长为20的线段MN 的中点P 在⊙O 上运动(异于A ，B 两点)．(1)求证：AM →·BN →与点P 在⊙O 上的位置无关；(2)当MN →与AB →的夹角θ取何值时，AM →·BN →有最大值？【解】 (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，P 为圆上一点，∴AP ⊥BP ，∴AP →⊥BP →，即AP →·BP →＝0.∵P 为MN 的中点，且|MN →|＝20，∴MP →＝PN →，|MP →|＝|PN →|＝10，∴AM →·BN →＝(AP →＋PM →)·(BP →＋PN →)＝(AP →－PN →)·(BP →＋PN →)＝AP →·BP →＋AP →·PN →－PN →·BP →－PN →·PN →＝PN →·(AP →－BP →)－100＝12MN →·AB →－100，∴AM →·BN →仅与MN →，AB →的夹角有关，而与点P 在⊙O 上的位置无关．(2)由(1)得，AM →·BN →＝12MN →·AB →－100＝100cos θ－100. ∵0≤θ≤π，∴当θ＝0时，AM →·BN →取得最大值0.。