10概率统计复习讲义

1 概率论与数理统计总复习讲义 第一讲 随机事件 一 随机事件，事件间的关系及运算 1.样本空间和随机事件 样本点，样本空间，随机事件，必然事件，不可能事件,基本事件. 2.事件关系和运算 ⑴事件的关系 ⑵事件的运算

⑶运算律:交换律,结合律,分配律；对偶律: BABA,BABA；差事件的运算律 例题 P5之例3、4；P6之4、5 二 概率的定义和性质 1.公理化定义(P8) 2.概率的性质(P8.五个)

⑴)(1)(APAP； ⑵)()()()(ABPBPAPBAP；

(3）)()()()(BAPABPAPBAP 例题 P9之例2、3；P10之2、4 三 古典概型和几何概型

1．nkPAPkziz1})({)(=中样本点总数中包含的样本点数A

2．)()()(AAP 例题 P11之例1-4，P13之例6-8；P17之4、6、8 四 常用的计算概率的公式

1．条件概率 )()()|(APABPABP

2.乘法公式 )()()()()(BAPBPABPAPABP 3.全概率公式和贝叶斯公式(P20) 例题 P17之例1-2，3-5，6—9；P23之3、4、5、6； 五 事件的独立性

1.定义及定理:A和B相互独立 )()(BPABP或)()()(BPAPABP 例题 P26之例3、4；P29之1、2； 2.贝努利试验 在n重贝努利试验中，事件kA{A恰好发生k次})0(nk的 2

概率为：knnknkppCAP)1()( 例题 P28之例7、8；P29之4、7；

第二讲 随机变量及其概率分布 一 随机变量及离散型随机变量 1.随机变量 2.分布律

3.常用的离散型分布 ⑴10分布:ppX110~

⑵二项分布:knkknppCkXP)1()(),,2,1,0(nk (3)泊松分布:),2,1,0(!)(kekkXPk 例题 P32之例1-7；P37之3、6、7； 二 分布函数

1.分布函数 )()(xXPxF)(x 2.分布函数的性质(P38.四个) ⑴0)(limxFx；1)(limxFx；(常用来确定分布函数中的未知参数)

⑵)()()(aFbFbXaP(常用来求概率) 例题 P38之例1、2；P38之1、2； 三 连续型随机变量

1.密度函数 xdttfxF)()( 2.密度函数的性质(P42.四个) ⑴1)(dxxf；（常用来确定密度函数中的参数）

⑵badxxfbXaP)()(；（计算概率的重要公式） ⑶对Rx，有0)(cXP(换言之,概率为0的事件不一定是不可能事件).

X 1x 2x … ix …

P 1p 2p … ip … 3

3.常用连续型分布 ⑴均匀分布:otherbxaabxf,0,1)(

⑵指数分布:otherxexfx,00,)( ⑶正态分布:)0,(21)(222)(都是常数，xexf 标准正态分布)1,0(N:2221)(xexf 标准化 例题 P43之例1-5；P48之1、5、7、8； 四 随机变量函数的分布 1.离散情形 设X的分布律为

则)(XgY的分布律为

例题 P50之例1； 2.连续情形

（一）分布函数法：设X的密度函数为)(xfX,若求)(XgY的密度函数,先求Y

的分布函数,再通过对其求导,得到Y的密度函数。 ⑴求Y的分布函数：

))(()()(yXgPyYPyFYdxxfyxgX)()(

⑵求Y的密度函数：)()(yFyfYY （二）公式法： 设随机变量X具有密度函数)(xfX)(x，又设)(xgy处处可导且恒有0)(xg（或恒有0)(xg），则)(XgY是连续型随

X 1x 2x … ix …

P 1p 2p … ip …

)(XgY )(1xg )(2xg

… )(ixg …

))((XgYP 1p 2p

… ip … 4

机变量，其密度函数为 )(yfY.,0,,)()]([其它yyhyhfX )2( 其中)}(),(min{gg，)}(),(max{gg，)(yhx )(y是)(xgy的反函数。 例题 P52之例2-5；P55之1，3，4，5；

第三讲 二维随机变量及其概率分布 一 二维随机变量的分布函数及边缘分布函数 1.二维随机变量

2.联合分布函数:),(),(yYxXPyxF 3.联合分布函数的性质(P58.三个)； 4.边缘分布函数:),(lim)(yxFxFyX , ),(lim)(yxFyFxY

例题 P58之例1 二 二维离散型随机变量的分布律和边缘分布律 1.二维离散型随机变量的分布律和边缘分布律

Y X 1y … jy …

1x  ix  11p … jp1 …  …  … 1ip … ijp …  …  … 1p  ip



1p … jp … 例题 P59之例1-2,P65之例1 ；P61之2,3；P68之2； 三 二维连续型随机变量

1.联合密度函数：dsdttsfyxFxy),(),( 2.联合密度函数的性质(P62.四个) ⑴1),(dxdyyxf；（常用来确定密度函数中的参数） ⑵dxdyyxfDYXPD),()),((，其中2RD；（计算概率的重要公式） 5

例题 P62之例1；P63之1 3.边缘密度函数:dyyxfxfX),()( )(x

dxyxfyfY),()( )(y

例题 P67之例2；P69之4

4. 二维均匀分布:otherRGyxGyxf,0),(,1),(2的面积 例题P63例2 ；P64之2 四 随机变量的独立性

1．YX,相互独立:)()(),(yFxFyxFYX

2． 离散情形:jiijppp ),2,1,(ji 3．连续情形:)()(),(yfxfyxfYX 例题 P70之例1、2、3；P74之1、2、4 五 二维正态分布

结论 ⑴设),,,,(~),(222121NYX,则X和Y相互独立0；

⑵设),,,,(~),(222121NYX，则),(~211NX，),(~222NY； ⑶设X和Y相互独立，且),(~211NX，),(~222NY，ba,为常数，则 ),(~22221221babaNbYaX 特别地，),(~2121abaNbaX，)1,0(~11NX； 六 二维随机变量的函数及其分布 1.),(YX为二维离散型随机变量 例题 P80之例1； 2.),(YX为二维连续型随机变量

设),(YX为二维连续型随机变量，其联合密度函数为),(yxf,则),(YXgZ 的密度函数的计算方法为: ⑴先计算联合分布函数:

)),(()()(zYXgPzZPzFZdxdyyxfzyxg),(),(

⑵再对联合分布求导得到联合密度: )()(zFzfZZ 6

例题 P83之例3；P86之1、2 第四讲 随机变量的数字特征 一 数学期望 1定义 ⑴离散情形 iiipxXE)( , iiipxgXgE)())((

⑵连续情形 dxxxfXE)()( , dxxfxgXgE)()())(( 例题 P89之例2-6； ⑶二维随机变量的函数的期望 ①离散情形 ijjijipyxgYXgE,),()),((

例题 P93之例7； ②连续情形 dxdyyxfyxgYXgE),(),()),(( 例题 P93之例8；P93之2、4（1-2）、5（1-3）；

2.期望的性质

⑴ccE)( ⑵)()()(YbEXaEbYaXE

⑶若X和Y独立，则)()()(YEXEXYE； 例题 P99之例3； 二 方差和标准差

1.方差:222))(()(]))([()(XEXEXEXEXD；标准差:)()(XDX； 2.方差的性质 ⑴0)(cD； ⑵)()(2XDaaXD；

⑶若X和Y独立，则)()()(YDXDYXD； (4))()(XDCXD

3.常见随机变量的分布律(密度函数),数学期望和方差 分布 分布律或密度函数 期望 方差

0-1分布 





pp110

p )1(pp