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概率统计简明教程课件讲义

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第二版 工程数学-概率统计简明教程-第二章-事件的概率

第二版 工程数学-概率统计简明教程-第二章-事件的概率

加法定理的推广
P(AU BU C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC)
A
B
C
加法定理的推广
对任意 n 个事件 A1, A2 ,L , An ，有
n
n
U P( Ak ) P(Ak )
P( Ai Aj ) L
盒子中，其球在盒子的分布总数为 (r 1)n j ，因而有利于 B 的样
本点数为

n j

(r

1)n
j
.最后得到
PB


n j

(r

1)n

j
rn
.
古典概率的计算：生日问题
某班有30 个同学，求他们生日“无重复”的概率。 （一年按365天计算，并设人在一年内任一天出生是等可能的）
例3 女士品茶问题. 一味常饮牛奶加茶的女士称：她能从一 杯冲好的饮料中分辨出先放茶还是先放牛奶。并且她在10次 实验中都能正确的辨别出来，问该女士的说法是否可信？ 解 假定该女士的说法不可信，她是蒙对的，
则每次蒙对的概率是0.5，于是10次都能蒙对的概率
这是小概率事件,一般在一次试验中不会发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立, 从而推断接待时间是有规定的.
第二步 计算事件包含的样本数
第一次取次品有30种可能，第二次次品29种，A有m＝30 ×29
第一次取次品有30种可能，第二次正品70种，B有m＝30 ×70
P( A)

m n

30 29 100 100

0.088.
P(B) 1300017000＝0.21.

概率统计简明教程全套PPT课件

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一般可以用极差来反映数据的分散程度。
第9页/共27页
5.样本相关系数：
rxy
n
(xi x )( yi y )
i 1
n
n
(xi x )2
( yi y )2
i 1
i 1
第10页/共27页
4.2 统计中常用的三种分布
统计量的分布称为抽样分布。数理统计 中常用到如下三个分布：
2—分布、 t —分布和F—分布。
t (n)
第17页/共27页
三、F—分布
1.构造 若U ~2(n)， V~2(m)，U， V独立，则
F U / n ~ F(n, m). V /m
称为第一自由度为n，第二自由度为m的F—分 布,其概率密度为
h(
y)
(n m)(n / 2
(
n 2
)(
m 2
)(1
m)n/ 2
y
n 1 2
n y)(nm)/2 m
数理统计基本概念
• 引言 • 总体与样本 • 统计中常用的三种分布 • 抽样分布
第1页/共27页
引言
数理统计学是数学的一个重要分支，它研究怎样 有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以 对所考察的问题作出推断或预测，并为采取一定
的决策和行动提供依据和建议。
几个实际问题：
1.某厂日产灯泡30000只，每只使用寿命不超过1000H 为次品，如何确定该灯泡每天的次品率？
(2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即
limf (t) (t)
1
t2
e 2 , x
n
2
3.分位点
设T～t(n)，若对
:0<<1,存在t(n)>0，

第二版 工程数学-概率统计简明教程-第三章-条件概率与事件的独立性

第二版 工程数学-概率统计简明教程-第三章-条件概率与事件的独立性

方案1和方案2的次品率分别为0.3% ， 0.1%，求公司产品
的次品的率. 解： P(次品)=P(方案1的产品 且 为次品)+P(方案2，次)
= 40% ×0.3% + 60%×0.1% = 0.0018 问：从产品中随机抽取1件，测试为次品，问此次品是哪种
方案生产出来的可能性大？
P(方案1|次品)=0.4×0.003/0.0018=2/3 P(方案2|次品)=0.6×0.001/0.0018=1/3
=0.323
例7 一项血液化验以0.95概率将患者检查为阳性，但0.01 的概率误将健康者检查为阳性。已知该病的患病率为0.5%。 问：如果某人检验为阳性，则他的确患病的概率是多少？
解 记B＝{阳性}，A1＝{患者}， A2＝{健康者}.
已知 P( A1) 0.5%, P( A2 ) 99.5%
C22 C62
61 15 15
=第一次在(4新+2旧)中取2新，第二次在(2新+4旧)中取2新
P(A ) 1 6 8 3 6 1 4 15 15 15 15 15 15 25
P( B0
|
A)
16 15 15
4
1 6
25
P(B1 |
A)
83 15 15
4
4 6
25
P( B2
|
A)
n
P(B) P(Ai )P(B | Ai ) i1
全概率公式 若事件 A1, A2, , An 两两互斥，且 P( Ai ) 0 ，1 i n ,
n
令 B BAi 则有 P(B) P( A1B) P( AiB) P( AnB)
i 1
P( A1)P(B | A1) P( An )P(B | An ) .

工程数学_概率统计简明教程_第二章_随机事件

工程数学_概率统计简明教程_第二章_随机事件

成一件事情有n 个步骤，第 i 个
步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m

i 1
i
种不同的方法
选排列 从 n 个不同的元素中，任取 m 个
(不放回地）按一定次序排成一列，不同的 排法共有
Pnm n(n 1)( n 2) (n m 1)
等可能性
每次试验中，每一种可能结果发生的可能性相同， 即
1 P( A1 ) P( A2 ) P( An ) n Ai i , i 1,2,, n 其中
古典概型的计算公式
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个,即基本事件ω1，ω2，...， ωn ，而且这些事件的发生具有相同的可能性
例
已知P(A)=0.3， P(B)=0.6,试在下列两
种情形下分别求出P(A-B)与P(B-A)
(1) 事件A,B互不相容 (2) 事件A,B有包含关系
解
(1) 由于 AB ,因此 A B A, B A B
P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
次试验，事件Ａ发 生的频率 m/n，随着试验次
数n的增大而稳定地在某个常数 p附近摆动,那么
称p为事件Ａ的概率
P( A) p
当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频 率近似的代替事件A的概率
排列组合有关知识复习
加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类
方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m
当人数为 50 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.03
古典概率的计算：抽签
10个学生抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取 10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A={第 五个学生抽到入场券}的概率。

概率统计简明教程(全套课件)--第十三讲

概率统计简明教程(全套课件)--第十三讲
7
100
2
则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即
1 40 6 60 9 70 15 80 7 90 2 100 76.5(分) 1 6 9 15 7 2
定义 1. 若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…n, 则称
E ( X ) xk pk
60
1 E (Y ) g( x)dx 60 0
=10分25秒
设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)
f ( x)
1 e 2
2
x2 2

E( X )
2



x e 2
x2 2

x 2
2
dx

x de 2
x2 2




1 e 2
2 3
0
1 3
2 1 2 E (Y ) 1 0 3 3 3
定理1 若 X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则Y=g(X)
的期望E(g(X))为(p115)
E (Y ) E[ g( X )] g( xk ) pk .
k 1

推论: 若 (X, Y) P{X=xi ,Y=yj,}= pij, i, j=1, 2, … , 则Z= g(X，Y)的期望
定义 3 若X~f(x), -<x<, 则称
6
| x | f ( x)dx

E( X )


xf ( x )dx.
为X的数学期望。
例3. 若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为
试求E(X). 解
x 1 f ( x) exp 2

概率统计简明教程(同济版)课件第4章

概率统计简明教程(同济版)课件第4章

例
随机变量的实例
X 的可能取值为 [0,+)
某灯泡厂所产的一批灯泡中灯泡的寿命X。 某电话总机在一分钟内收到的呼叫次数Y.
Y 的可能取值为 0，1，2，3，...,M
在[0，1]区间上随机取点，该点的坐标X.
X 的可能取值为 [0，1]上的全体实数。 随机变量根据其取值方式的不同，通常分为两 类：离散型随机变量与连续型随机变量。后面将分 别进行讲述。
x -1
1 , 6
0
1 , 2
x 2
1 3
x 3 x
x
当 x 1时， F x P X x 0. X x是不可能事件，
1 当 1 x 2 时， X x就是 X 1, F x 6 . X x就是X 1或X 2, 当 2 x 3 时，
8 9 10 C10 0.98 0.12 C10 0.99 0.1 C10 0.910
0.9298
泊松分布
Poisson distribution
定义
若随机变量 X 的分布律为:
P( X k )
k
k!
e , k 0,1,2...
其中 >0, 则称X服从参数为的泊松分布
已知 X 的分布律为
X
P
1
1 2
0
1 3
1
1 12
2
1 12
求X的分布函数，
并画出它的图形。
第二节
重点
离散型随机变量
理解离散型随机变量及分布律的概念
会用分布律或分布函数的概念和性质计 算有关事件的概率
随机变量的类型
离散型 随机变量的所有取值是有限个或可数个 非离散型 随机变量的取值不能一一列举 连续型随机变量

概率统计简明教程(同济)Chapter10


第二节 估计方法
方法1: 矩估计法(K. 方法1: 矩估计法(K. Pearson). X : X1, X2, …, Xn.
µk = E( X k ), k =1,2,3,L
1 k k k Ak = X1 + X2 +L+ Xn , k =1,2,3,L n
(
)
Clearly,
1 A = ( X1 + X2 +L+ Xn ) = X 1 n
ˆ = 1 = 1 = 1 ≈ 0.0077 λ m x 130.55 1
例6(P114) X ~ N(µ, σ2): -1.20, 0.82, 0.12, N( 0.45, -0.85, -0.30. Solution 两个参数待估计. 两个参数待估计.
µ1 = E( X ) = µ
µ2 = E( X 2 ) = D( X ) + (E( X ))2 = σ 2 + µ2
1 k k k mk = x1 + x2 +L+ xn , k =1,2,3,L n 1 m = ( x1 + x2 +L+ xn ) = x 1 n
(
)
1 k P k k X1 + X2 +L+ Xn →µk , k =1,2,3,L n
(
)
(θ1,θ2,...,θk )?
假定总体X的前k 假定总体X的前k阶矩 µ1, µ2 ,L, µk已知(?): 已知(
例2(P112) X ~ E(λ), λ(?) : X1, X2, …, Xn.
例3(P113) X ~ N(µ, σ2)(?) : X1, X2, …, Xn. N(

《概率统计》PPT课件


后抽比先抽的确实吃亏吗？
“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.”
到底谁说的对呢？让我们用概率 论的知识来计算一下,每个人抽到“ 入场券”的概率到底有多大?
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5. 则 A 表示“第 i个人未抽到入场券” i 显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5
P(A2)=0.4×0.5×(1－0.7)+0.5×0.7×(1－0.4)+ 0.4×0.7×(1－0.5)=0.41, P(A3)=0.4×0.5×0.7=0.14 P(B|A0)=0, P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1, 根据全概率公式有
P( B) P( B | Ai )P( Ai ) 0.458
P(Ai|B)，表示症状B由Ai引起的概率 若P(Ai|B), i=1,2,…,n中,最大的一个是P(A1|B),
我们便认为A1是生病的主要原因,下面的关键是:
计算 P(Ai|B), i=1,2,…,n
P( Ai B) P( B | Ai ) P( Ai ) P( Ai | B) n Bayes公式 P( B) P( B | Ai ) P( Ai )
也就是说，
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 由乘法公式
A2 A1 A2
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.
P ( A2 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 )
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未 抽到， 计算得：
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5

概率统计简明教程(全套课件)-第一讲PPT课件


ABC
A6 “: 三人均未命中目标:” A B C
第18页/共23页
1.3 古典概型与概率
从直观上来看，事件A的概率是指事件A发 生的可能性
P（A）应具有何种性质？
抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？
三、事件之间的关系
第9页/共23页
1.包含关系“ A发生必导致B发生”记为AB A＝B AB且BA.
第10页/共23页
2.和事件： “事件A与B至少有一个发生”，记 作AB
2’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
第11页/共23页
n
Ai
i1
3.积事件 :A与B同时发生，记作 AB＝AB
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
第16页/共23页
随
样本空间
机
试
验
随机事件
,∪,-,互不相容，互逆
第17页/共23页
EX：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A 、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、 C的运算关系表示下列事件：
序言
概率论是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
第1页/共23页
第一章 随机事件及其概率
• 随机试验 • 样本空间、随机事件 • 古典概型与概率 • 频率与概率 • 条件概率 • 独立性
第2页/共23页
1.1 随机试验(简称“试验”)
随机试验的特点 1.试验所有可能结果已知或可以确定； 2.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可表为E

概率统计简明教程 第一章 随机事件


而“掷出点数8”则是不可能事件。
2016/2/29 皖西学院 数理系 12
第二节 事件的关系与运算
概 率 论 与 数 理 统 计
为了研究事件的需要，下面介绍事件间的几种
主要关系以及事件的运算。
设为样本空间，A, B, C , Ai为事件，
1、包含关系
若A发生 B发生，
B

则称A为B的子事件。
(3) “A，B，C三个事件至少发生两个”可表示为：
ABC ABC ABC ABC , 或 AB AC BC .
2016/2/29
皖西学院 数理系
18
例2. 向一目标射击3枪，分别用A1 , A2 , A3表示第1，2，3 枪命中目标，试用A1 , A2 , A3表示下列各事件.

B
A
B
AB A
记作：AB 或 A B.
2016/2/29 皖西学院 数理系 14
4、差事件
A发生，但B不发生，
概 率 论 与 数 理 统 计

AS
称为A, B的差事件. 记作：A B .
注意：A B A AB A B.
B
5、互斥事件 事件A与事件B不能同时发生， 则称A与B为互斥事件或互 不相容事件。 即 AB＝Φ
AB.
2016/2/29
皖西学院 数理系
21
思考： A B B A A B B 吗？
概 率 论 与 数 理 统 计
A B B ( A B ) B A B. A B B ( A B ) B A B.

AS
B
所以， A B B A A B B .
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p =回答“是”的人的比率
得到 估计为ˆ 2 p
3、统计是受过教育的人应有 的素养。
• 血液检查中的经济学
血液检查中的经济学
第二次大战时，必须招募很多士 兵，为检查某种疾病需对每个申请者 作血液检查，工作量巨大。如何在保 证质量的前提下减少检验次数呢？假 定该病的流行率为1/20。
可将申请者分成20人一组，如每组进行20次 检查，则平均一组有一例阳性。
统计数据和统计资料具有变异性， 即个体之间有差异，而对同一个体的多次 观察，其结果也会不一样，并且几乎每一 次观察都随着时间的不同而改变，因而变 异性是一个重要的统计观念。
• 抽样结果的差异是变异性的主要表现。例 如，要调查某个人群中参与股票交易的比
例p，抽取大小1523的样本，参与人数为
868，则p的估计为 pˆ 57(%) ，另外再抽
一次，大小为1523的样本，结果是什么?
不能仅仅根据一次抽样的结果就断言p 不多不少就是57(%)！重要的是对变异性 有科学的描述。在这里运用概率思考是重 要的。
对上例置信陈述可以是一个合适的工 具：例如，以95(%)的置信水平，这个比 例p在0.546和0.624之间。
（三）“不确定性”和“随机 性”
普通高等教育“十五”国家级规划教材
«概率统计简明教程»
━多媒体教学参考资料
同济大学数学系 柴根象 蒋凤瑛 杨筱菡
参考书目
1、复旦大学数学系，概率论（第一、二册），北京：高等 教育出版社，1979
2、浙江大学数学系，概率论与数理统计，北京：高等教育 出版社，1979
3、王梓坤，概率论及其应用，北京：科学出版社，1976 4、陈希孺，数理统计学简史，长沙：湖南教育出版社，
从概率的观点认为结果（1）、 （2）、（3）的发生有相同的概率， 因而没有哪一个结果比其他结果更多 一点或少一点随机性。
在某地的彩票活动中，七年中有 人累计中两次大奖的机会是：
族团体中的大多数人避难到称之为红色堡垒的地方，少部分
人逃到修姆因庙，政府必须给避难者提供食物；但无避难者
人数的任何信息，而受委托的承包商提出的购买各种日用品
的帐单，开支巨大，政府求助统计学家估计红色城堡中避难
者的正确人数。
从帐单可知如下数据：
品种
大米 豆类 盐
总量(kg)
R
P
S
需求量/人.天 r
p
s
统计是一门艺术，着重说明统计方法 需要灵活使用，依赖于人的判断以至灵感。
对敏感问题的调查
为调查某地区人群中吸食大麻的比例 ，随
机地挑选一人，然后请到一个与人隔离的小房子 里，用掷一枚均匀硬币的方法挑选问题 S 或 T， 并作出回答。其中 S：你吸大麻吗？ T：你的电话号码末尾数是偶数吗？
=吸大麻人的比率（未知） =电话号码末尾数是偶数人的比率（已知）
1、C.R.Rao：统计学就是围绕不确定 性的驾驭而发展起来的
2、随机性是自然界所固有的 3、短期的机遇变异和长期的规律性 4、将随机性归纳于可能的规律性之中
2、随机性是自然界所固有的
• 凯特勒（A.Quetlet,1796-1874）利用概 率论概念描述社会学和生物现象
• 孟德尔（G.Mendel,1870）使用简单的随 机结构，建立了他的遗传法则
• 玻尔茨曼（Boltzmann,1866）给出了热 力学第二定律的统计学解释
这些伟人的思想观点是自然界的一场 革命，然而这些观点在当时并未为人们所 接受。
3、短期的机遇变异和长期的规律性
重复投掷一枚均匀硬币六次，观察每 次出现的面：
（1）正反正反反正 （2）反反反正正正 （3）正反反反反反
直觉认为结果（1）是随机的，结果 （2）和结果（3）很不随机。
2002 5、陈希孺，概率论与数理统计，合肥：中国科技大学出版
社，1992 6、G.R.Iverson and M.Gergen. Statistics-the
conceptual approach. New York:SpringerVerlag,1997 7、D.Freedman, R.Pisaui, R.Purves and A.Adhikari. Statistics. New York:W.W.Norton&Company,1991
• 第一部分 序言 • 第二部分 概率 • 第三部分 统计
第一部分 序言
（一） 从“什么是统计”说起 （二）重在“观念”和“思考” （三）“不确定性”和“随机性” （四） 统计的特点
（一）从“统计是什么”说起
1、几个案例
2、统计学是收集和析数据的科学 和艺术。
3、统计是受过教育的人应有的素养。
1、几个案例
小儿麻痹症 盐的统计
小儿麻痹症
20世纪五十年代的一种流行病，对于 一种疫苗有效性检验。收集20万儿童随机 分成二组：实验组和对照组。结果对照组 中有138个受感染；而实验组则有56个受 到感染。使用假设检验的统计方法，表明 138与56的差异是高度显著，疫苗是有效 的。
盐的统计
1947 年印度独立时，德里发生一次公共暴乱，一少数民
（二）重在“观念”和“思考”
美国统计协会和数学会的一个联合课 程委员会曾指出：任何统计的入门课程， 都应该“强调如何做统计思考”而且内容 应该“多一些数据和观念，少一点公式和 推导过程”。
因此统计作为一门公共基础课程，其 内涵符合素质教育的基本精神，应重在 “观念”和“思考”。
变异性(Variablity)
发现 S/s<P/p<R/r 结论：城堡中避难人数估计为 S/s
2、统计学是收集和分析数据 的科学和艺术
统计是一门科学，它依赖的基本原理 并不固定哪一种模式，作为量化和表现不确 定性的方法论科学，其基础涉及很多哲学 观点，能够对任一主题进行独立讨论，因 而对人们的正确的世界观的形成是十分必 要的。
今把20人分成2组（10人一组），采得每个 组的10个人的混合血液，分别再对二次混合血液 各做一次检验，则有一组呈阳性，而另一组为阴 性。再对呈阳性一组，做10次检验，以确认哪一 个人为阳性，如此只须做2+10=12次检验，比 20次减少40%。
如分成5人一组，则同理只须做4+5=9次检 验，减少55%。这是在流行率为1/20的条件下， 对20个人的最少检验次数。