八年级数学下册 12 直角三角形的性质与判定(Ⅱ)课时训练2(新版)湘教版

初中数学试卷马鸣风萧萧1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时 勾股定理要点感知 直角三角形的性质定理(勾股定理)：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于__________的平方.即a 2+b 2=c 2.预习练习 △ABC 中,∠C ＝90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边. (1)若a ＝5,b ＝12,则c ＝__________； (2)若c ＝41,a ＝40,则b ＝__________.知识点 勾股定理1.在△ABC 中，∠C=90°，如果AB=10，BC ∶AC=3∶4，那么BC=( )A.6B.8C.10D.以上都不对 2.一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的斜边长为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 3.已知一个三角形三个内角的比是1∶2∶1,则它的三条边的比是( )A.1∶2∶1B.1∶2∶1C.1∶2∶3D.1∶4∶14.如图,长方形OABC 的边OA 长为2,边AB 长为1,OA 在数轴上,以原点O 为圆心,对角线OB 的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )A.2.5B.22C.3D.55.如图，点D 在△ABC 的边AC 上，将△ABC 沿BD 翻折后，点A 恰好与点C 重合.若BC ＝5，CD ＝3，则BD 的长为( )A.1B.2C.3D.46.在△ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC 的长为__________.8.一个直角三角形的斜边长比直角长边大2，另一直角边长为6，则斜边长为__________.9.如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，AD=15，且AD⊥AC，求BD长.10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，CD⊥AB交AB于点D.求：(1)AC的长；(2)△ABC的面积；(3)CD的长.11.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB 的长度为( )A.5B.6C.7D.2512.如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为( )A.3B.23C.33D.4313.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角,如图,则三角板的最大边的长为( )A.3 cmB.6 cmC.32 cmD.62 cm14.如图，在直线l上依次摆放着三个正方形，已知中间斜放置的正方形的面积是6，则正放置的两个正方形的面积之和为( )A.6B.5C.6D.3615.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )A.53B.52C.4D.516.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6，DE=5，则CD的长等于__________.17.已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__________.18.如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD的长.19.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB 的长.20.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F ，若AE=4，FC=3，求EF 长.参考答案要点感知 斜边c 预习练习 13 91.A2.C3.A4.D5.D6.267.88.109.∵AD ⊥AC ，AC=20，AD=15， ∴CD=222015 =25.∴BD=BC-CD=32-25=7.10.(1)∵∠ACB=90°，AB=10 cm ，BC=6 cm ，∴AC=8 cm ；(2)S △ABC =12BC ·AC=12×6×8=24(cm 2)；(3)∵S △ABC =12BC ·AC=12CD ·AB ，∴CD=·BC AC AB =245cm.11.A 12.D 13.D 14.A 15.C 16.8 17.5或718.设DC=x ，则BD=14-x.在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理可得： (14-x)2+AD 2=152，x 2+AD 2=132.两式相减得(14-x)2-x 2=56.解得x=5. 在Rt △ACD 中，由勾股定理得AD=12.∴∠ABD=∠CBD=30°. ∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ， ∴BD=10 cm.∴BC=22BD CD -=22105-=53(cm). ∴AB=2BC=103 cm.20.连接BD ，∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点， ∴BD ⊥AC ，BD=CD=AD ，∠ABD=∠C=45°. ∵DE ⊥DF ， ∴∠FDC=∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，,,ABD C FDC EDB BD CD ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴△EDB ≌△FDC. ∴BE=FC=3.∴AB=7，则BC=7. ∴BF=4.在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2=32+42， ∴EF=5.第2课时 勾股定理的实际应用要点感知 应用勾股定理解决实际问题时，应先根据题意画出几何图形，分析图形中各线段之间的数量关系，正确运用勾股定理求解.求边长时，一般有两种情况：一是直接运用勾股定理通过计算求解，二是借助勾股定理列方程求解.预习练习 (2014·东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行__________米.知识点1 直接利用勾股定理1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )2.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米3.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为( )A.5米B.3米C.(5+1)米D.3米4.假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，仅走了1千米，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是( )A.20千米B.14千米C.11千米D.10千米5.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.知识点2 利用勾股定理列方程求解6.小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )A.2 mB.2.5 mC.2.25 mD.3 m7.在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为( )A.13 mB.12 mC.4 mD.10 m8.如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为__________米.9.如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？10.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为( )A.0.7米B.0.8米C.0.9米D.1.0米11.如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=210 m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于( )A.1053 mB.2103 mC.703 mD.105 m12.在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )A.5 cmB.12 cmC.13 cmD.153 cm13.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为__________mm.14.如图,一辆小汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边的车速检测仪的正前方30 m处,过了2 s后,测得小汽车与车速检测仪的距离为50 m,问这辆小汽车是否超速了？（中华人民共和国交通管理条例规定：小汽车在城市公路上行驶时的速度不得超过70 km/h）15.为了丰富居民的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB=25 km，CA=15 km，DB=10 km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？16.两条公路OM、ON相交成30度角，在公路OM上，距O点80米的A处有一所小学，当拖拉机沿公路ON方向行驶时，路两旁50米以内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么拖拉机沿ON方向行驶时，是否会给小学带来噪声影响？若受影响，计算影响的时间.参考答案预习练习 101.A2.B3.C4.D5.4806.A7.B8.60039.设BD=x米，则AD=(10+x)米，CD=(30-x)米，根据题意得(30-x)2-(x+10)2=202.解得x=5.即树的高度是10+5=15（米）.10.A 11.A 12.C 13.15014.小汽车超速了.理由：在Rt△ABC中,AC=30 m,AB=50 m,根据勾股定理得：BC=22AB AC=40 m.小汽车的速度是40÷2=20(m/s)=72(km/h).而规定速度为70 km/h,72>70，∴小汽车超速了.15.设AE=x km，则BE=(25-x)km.在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE2=AE2+AC2=x2+152.同理可得：DE2=(25-x)2+102.若CE=DE，则x2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：图书室E应该建在距A点10 km处，才能使它到两所学校的距离相等.16.过点A作AD⊥ON于点D，即点A到ON的最短距离为AD，已知在Rt△OAD中，∠O=30°，OA=80，可得AD=40＜50，故学校会受到拖拉机的影响；在D点两侧分别取两点E、F，使得AE=AF=50，在Rt△ADE中，AE=50，AD=40，可得DE=30，又易证Rt△ADE≌Rt△ADF，即DE=DF=30，即EF=60.又拖拉机的速度为18千米/时，故拖拉机经过EF段所用的时间t=0.0618×3 600=12（s）.答：拖拉机会给小学带来噪声影响，影响时间为12秒.第3课时勾股定理的逆定理要点感知直角三角形的判定定理(勾股定理的逆定理)：如果一个三角形的三边长a、b、c 有下面的关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是__________三角形.预习练习1-1三角形的三边长满足（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角1-2以下列数组为三角形的边长：①5,12,13；②10,12,13；③7,24,25；④6,8,10,其中能构成直角三角形的有( )A.4组B.3组C.2组D.1组知识点勾股定理的逆定理1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1，2，32.已知三角形的三边长之比为1∶1∶2，则此三角形一定是( )A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.已知两条线段的长分别为2 cm、3 cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是( )A.1 cmB.5 cmC.5 cmD.1 cm与5cm4.如图，正方形小方格边长为1，则网格中的△ABC是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对c +|a-8|+(b-15)2=0，则△ABC的形状是( )5.若a、b、c表示△ABC的三边，且满足17A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6.在Rt△ABC中，若AC=2，BC=7，AB=3，则下列结论中正确的是( )A.∠C=90°B.∠B=90°C.△ABC是锐角三角形D.△ABC是钝角三角形7.在△ABC中，a=2，b=6，c=22，则最大边上的中线长为( )A.2B.3C.2D.以上都不对8.三角形三边长分别为4、8、43,则该三角形最小角与最大角依次是( )A.30°,60°B.30°,90°C.60°,90°D.45°,90°9.若在△ABC中，AB=5 cm，BC=6 cm，BC边上的中线AD=4 cm，则∠ADC的度数是__________度.10.如图,一根电线杆高8 m.为了安全起见,在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6 m处加一拉线.拉线工人发现所用线长为10.2 m(不计捆缚部分),则电线杆与地面__________(填“垂11.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4，AC=23，∠C=30°，求∠B的大小.12.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )A.CD、EF、GHB.AB、EF、GHC.AB、CF、EFD.GH、AB、CD13.已知一个三角形的三边长分别为n+1，n+2，n+3，则当n=__________时，这个三角形是直角三角形.14.如图所示,是一个零件的形状,按规定这个零件中的AD与CD必须互相垂直,工人师傅通过测量得到A到C的距离是10 cm,AD=8 cm,CD=6 cm.问这个零件是否合格？15.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,BC=3,AB=4,AD=12,CD=13.求四边形ABCD的面积.16.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.求证：△ABC是直角三角形.17.如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5.(1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数.参考答案要点感知直角预习练习1-1 C1-2 B1.B2.D3.D4.A5.B6.A7.A8.B9.90 10.不垂直11.∵△ABC中，AB=2，BC=4，AC=23，∴AB2+AC2=4+12=16=BC2.∴∠A=90°.∴∠B+∠C=90°.又∵∠C=30°，∴∠B=60°.12.B 13.214.合格.连接AC.∵AD2+CD2=82+62=102=AC2,根据勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°, ∴零件合格.15.连接AC.∵∠ABC=90°,在Rt△ABC中，BC=3,AB=4,∴AC=22BC AB+=2234+=5.在△ACD中,∵AC2+AD2=52+122=132=CD2,∴△ACD是直角三角形.∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36.16.证明：∵CD是AB边上的高，∴△ADC和△BCD都是直角三角形.∴AC2＝AD2+CD2，BC2＝BD2+CD2.∴AC2+BC2=AD2+CD2+BD2+CD2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=(AD+BD)2＝AB2.∴△ABC是直角三角形.17.(1)根据旋转的性质，得AD=EC=4，BD=BE=3，AB=BC，∠DBE=∠ABC=60°，∠ADB=∠BEC.∴△ABC和△DBE均为等边三角形.∴DE=BD=3.∵CD=5，∴DE2+EC2=32+42=52=CD2.故△DEC为直角三角形.(2)∵△DEC为直角三角形，∴∠DEC=90°.又∵△BDE为等边三角形，∴∠BED=60°.故∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°.。

湘教版数学八年级下册《1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）》说课稿2一. 教材分析湘教版数学八年级下册《1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）》这一节的内容，是在学生已经掌握了直角三角形的性质和判定（Ⅰ）的基础上进行进一步学习的。

本节内容主要包括两个方面：一是锐角三角函数的概念和求法，二是直角三角形的边角关系。

这两个方面都是直角三角形的重要性质，对于学生深入理解直角三角形的性质和判定，提高解题能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经具备了一定的数学基础，对直角三角形的性质和判定（Ⅰ）有一定的了解。

但同时，学生在这一节内容学习中也会遇到一些困难，如对锐角三角函数的理解和应用，对直角三角形的边角关系的理解和运用等。

因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，采取适当的教学方法，帮助学生克服困难，提高学习效果。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握锐角三角函数的概念和求法，理解直角三角形的边角关系，提高解题能力。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。

四. 说教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的概念和求法，直角三角形的边角关系。

2.教学难点：对锐角三角函数的理解和应用，对直角三角形的边角关系的理解和运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解等方法，引导学生主动探究，提高学习效果。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，帮助学生直观地理解知识。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习直角三角形的性质和判定（Ⅰ），引出本节内容：直角三角形的性质和判定（Ⅱ）。

2.自主学习：让学生自主探究锐角三角函数的概念和求法，直角三角形的边角关系。

3.合作交流：学生分组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。

4.教师讲解：针对学生的疑问和教学难点，教师进行讲解，引导学生深入理解知识。

勾股定理1、在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？2、下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案1、（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC=(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3，AC 2+BC 2=42+32=25∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图） S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+72 2、①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2.③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.。

湘教版八下数学1.2直角三角形的性质和判定（II）（第2课时）教学设计一. 教材分析湘教版八下数学1.2直角三角形的性质和判定（II）（第2课时）的内容包括：进一步探究直角三角形的性质，了解直角三角形的判定方法，以及运用这些性质和判定方法解决实际问题。

本节课的内容是学生在学习了勾股定理和直角三角形的性质和判定（I）的基础上进行的，是对前面知识的深化和拓展。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了勾股定理和直角三角形的性质和判定（I），具备了一定的几何知识基础。

但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的解题能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握直角三角形的性质和判定方法，能够运用这些性质和判定方法解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的几何思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生合作交流、积极探究的精神。

四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质和判定方法。

2.教学难点：如何引导学生将理论知识与实际问题相结合。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、猜想、验证，发现直角三角形的性质和判定方法。

2.案例分析法：教师通过列举实例，让学生运用所学知识解决实际问题。

3.合作交流法：学生分组讨论，分享解题心得，互相学习，提高解题能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示直角三角形的性质和判定方法。

2.练习题：准备一些有关直角三角形的性质和判定问题的练习题，用于巩固所学知识。

3.实物模型：准备一些直角三角形的实物模型，便于学生观察和操作。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾勾股定理和直角三角形的性质和判定（I），为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师利用课件展示直角三角形的性质和判定方法，引导学生观察、操作、猜想、验证。

八年级数学下册1.3.2《直角三角形全等的判定（二)》课时作业(新版)湘教版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册1.3．2《直角三角形全等的判定(二)》课时作业（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

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直角三角形全等的判定(二)一、选择题1。

两个直角三角形全等的条件是（ )A.一锐角对应相等； B 。

两锐角对应相等;C 。

一条边对应相等；D 。

两条边对应相等２。

要判定两个直角三角形全等，需要满足下列条件中的()①有两条直角边对应相等； ②有两个锐角对应相等； ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等； ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.Ａ．6个 B.5个 C.４个 D.３个3.如图,AB∥ＥＦ∥DC，∠ABC=90°，AB=DC,那么图中有全等三角形( )Ａ.5对； Ｂ。

4对； C.3对; D 。

2对 4．已知在△AＢC 和△DEF 中,∠A=∠Ｄ=90°,则下列条件中不能判定△ＡBC 和△DEF 全等的是（ )A 。

A Ｂ=D Ｅ,AC=DF Ｂ。

AC ＝EF ，BC=D ＦC.AB ＝DE ，ＢC ＝E Ｆ D ．∠Ｃ＝∠F，BC ＝EF5。

如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是( ) A 。

AAS Ｂ。

SAS C 。

ＨL D 。

SSS二、填空题１.“H Ｌ”公理是：有 相等的两个 三角形全等。

2.在应用“ＨL ”公理时,必须先得出两个 三角形,然后证明 对应相等3、已知△AＢC 和△Ａ′B′C′，∠Ｃ=∠C′=９0°,ＡC=Ａ′Ｃ′,要判定△ＡBC≌△A′Ｂ′C′,必须添加条件为①_＿＿__＿__或②__＿_____或③_＿＿＿_＿__或④_________。

第1章直角三角形1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第1课时勾股定理【知识与技能】1.让学生体验勾股定理的探索过程.2.掌握勾股定理.3.学会用勾股定理解决简单的几何问题.【过程与方法】经历操作、归纳和猜想，用面积法推导作出肯定结论的过程，来了解勾股定理.【情感态度】了解我国古代数学家发现、推导和应用勾股定理中的贡献与成就，增进爱国主义情感，体验探索发现的过程和知识运用，增强学习数学的自信.【教学重点】勾股定理【教学难点】勾股定理的应用一、创设情境，导入新课问题向学生展示国际数学大会（ICM——2002）的会标图徽，并简要介绍其设计思路.可以首次提出勾股定理.【教学说明】激发学生爱好数学的情感和学习勾股定理的兴趣，调动他们的积极性.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知勾股定理的验证做一做：教材第9页“做一做”【教学说明】通过测量，学生自主探究，对于直角三角形这一性质有个初步了解.议一议：教材第9页“议一议”【教学说明】引导学生计算，让学生进一步体会探索勾股定理的过程，并对勾股定理拓展应用，进一步体会数形结合的思想.想一想：教材第10页“探究”【教学说明】通过拼图活动，充分调动学生的思维，进一步激发学生的求知欲望，同时加深了学生对新知识的理解.例：教材第11页例1【教学说明】学生初步运用勾股定理解决问题，能够学以致用.三、运用新知，深化理解1.若Rt△ABC中，∠C=90°，且c=37，a=12，则b的值为（）A.50B.35C.34D.262.一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A.4B.8C.10D.123.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB 于D，求CD的长.4.已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2.求证：AB=BC.【教学说明】由学生独立完成，加深对所学知识的理解和运用，对于有困难的学生教师给予点拨，及时调整教学中的缺漏并加以强化，在完成上述题目后，学生自主完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.B 2.C3.解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∴由勾股定理有AC2=AB2-BC2=52-32=16，∴AC=4.又∵S△ABC=1/2AB·CD=1/2AC·BC,∴CD=AC·BC/AB=12/5(cm)4.证明：连接AC，∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2.∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2.∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴AB=BC.四、师生互动，课堂小结本节课你学到了什么知识？同学们还存在哪些困惑？【教学说明】让学生畅所欲言，使学生概括能力、语言表达能力进一步得到提高，完善了学生对知识的梳理.1.布置作业：习题1.2中的第1、4题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第2课时勾股定理的实际应用【知识与技能】1.勾股定理从边的方面进一步刻画直角三角形的特征，学生将在原有的基础上对直角三角形有更深刻的认识和理解.2.掌握直角三角形三边关系——勾股定理及直角三角形的判别条件——勾股定理的逆定理.【过程与方法】1.放手学生从多角度地了解勾股定理.2.提高学生亲自动手的能力.【情感态度】1.学会运用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值.2.尽可能的给学生提供有关勾股定理的材料，给予交流的机会，并在与他人交流的过程中，敢于发表不同的见解，在交流活动中获得成功的体验.【教学重点】应用勾股定理有关知识解决有关问题.【教学难点】灵活应用勾股定理有关知识解决有关问题.一、创设情境，导入新课问题勾股定理的内容是什么？它揭示了直角三角形三边之间的关系，今后我们来看看这个定理的应用.【教学说明】教师创设问题，有针对性地复习了勾股定理，对本节课的应用勾股定理解决实际的问题打下了坚实的基础.教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题勾股定理的应用思考教材第12页“动脑筋”【教学说明】提出问题，提供学生参与数学活动的时间与空间，调动学生的观察能动性，引导学生建立数学模型，提高学生分析问题、解决问题的能力.例：教材第12页例2【教学说明】以古代的数学问题为背景，一方面及时巩固勾股定理的运用，另一方面让学生感受到数学文化.三、运用新知，深化理解1.直角三角形中已知其中的两条边长是4和5，则第三条边等于（）A.3B.41C.3或41D.无法确定2.在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b，∠B=90°.①已知a=5,b=12，求c;②已知a=20,c=29,求b.3.如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所能走的最短路线的长度.【教学说明】由学生独立完成，以加深对知识的理解和运用，便于了解学生掌握情况，给有困难的学生给予指导，及时纠正他们出现的错误，并改正强化，在完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.C3.解：将曲面沿AB展开，如图，过C作CE⊥AB于E，在Rt△ECF 中，∠E=90°，EF=18-1-1=16（cm），CE=1/2×60=30（cm），由勾股定理，得CF=223016+=34（cm）+=22CE EF四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，给同学们谈谈你的收获是什么？你认为自己还在哪些问题上存在疑问?与大家共同交流.【教学说明】学生自已总结归纳加深印象.引导学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.1.布置作业：习题1.2中的第5、9题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第3课时勾股定理的逆定理【知识与技能】1.探索并掌握直角三角形判别的方法——勾股定理逆定理.2.会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形.3.通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.【过程与方法】通过“创设情境——实验验证——理论释意——应用”的探索过程，让学生感受知识的乐趣.【情感态度】1.通过合作交流学习的发展体验获取数学知识的感受.2.通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神.【教学重点】理解和应用直角三角形的判定方法.【教学难点】理解勾股定理的逆定理.一、创设情境，导入新课问题据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.【教学说明】利用古埃及人画直角的方法，让学生体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课所研究的问题，既进行了数学史的教育，又锻炼了学生观察探究的能力，激发了他们渴求知识的欲望，教师讲课前，先让学生完成预习.二、思考探究，获取新知问题勾股定理的逆定理的证明探究教材第14页“探究”【教学说明】让学生有充分的探究、讨论的空间，体会逆定理的发生、发展、形成的过程，让学生亲身体验成功的喜悦，再次感受到数形结合的思想方法的应用.勾股定理的应用例：教材第15页例3、例4 【教学说明】加深对勾股定理逆定理的理解，并能初步的应用逆定理.三、运用新知，深化理解1.下列命题中是假命题的是（）A.△ABC中，若∠B=∠C-∠A，则△ABC是直角三角形B.△ABC中，若a2=(b+c)(b-c)，则△ABC是直角三角形C.△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形D.△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为__________，此三角形的形状为________.3.若a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判定这个三角形的形状.4.探险队里的A组由驻地出发，以12km/h的速度前进，同时，B 组也由驻地出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2小时后同时停下来，这时A、B两组相距30km，那么A、B两组行驶的方向成直角吗？说明理由.【教学说明】由学生自主完成，考验学生学习过程中存在的问题，适时给予引导、点拨，并有针对性地加强训练.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1. C 2. 6，8，10；直角三角形3.∵a2c2-b2c2=a4-b4,∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2),当a2-b2=0时，即（a+b）(a-b)=0，因为a>0,b>0，所以a+b≠0,a-b=0,即a=b，此时为等腰三角形，当a2-b2≠0时，则有c2=a2+b2,根据勾股定理的逆定理此时为直角三角形.综上可得这个三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.4.∵（12×2）2+（9×2）2=30∴A，B两组行驶方向成直角.四、师生互动，课堂小结通过学习，你能判断一个三角形是否为直角三角形吗？还有哪些困惑？请与同学们共同操作.1.布置作业：习题1.2中的第2、8题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.。

勾股定理1．勾股定理的探索如图，在单位长度为1的方格纸中画一等腰直角三角形，然后向外作三个外正方形：观察图形可知：(1)各正方形的面积：正方形①的面积S1为1，正方形②的面积S2为1，正方形③的面积S3为2；(2)各正方形面积之间的关系：S1＋S2＝S3；(3)由此得到等腰直角三角形两直角边与斜边之间的关系是：两直角边的平方和等于斜边的平方．【例1】如图，Rt△ABC在单位长度为1的正方形网格中，它的外围是以它的三条边为边长的正方形．回答下列问题：(1)a2＝__________，b2＝__________， c2＝__________；(2)a，b，c之间有什么关系？(用关系式表示)分析：a2等于以BC为边长的正方形的面积16，b2等于以AC为边长的正方形的面积9，c2等于以AB为边长的正方形的面积25.解：(1)16 9 25 (2)a2＋b2＝c2.释疑点网格中求正方形的面积求以AB为边长的正方形的面积时，可把它放到以正方形格点为顶点的正方形CDEF(如图)中去，它的面积等于正方形CDEF的面积减去它外围的4个小直角三角形的面积．2．勾股定理(1)勾股定理的有关概念：如图所示，我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边，用弦(c)来表示斜边．(2)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．即：勾2＋股2＝弦2.(3)勾股定理的表示方法：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a2＋b2＝c2.辨误区应用勾股定理的几个误区(1)勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系．(2)利用勾股定理时，必须分清谁是直角边，谁是斜边．尤其在记忆a2＋b2＝c2时，此关系式只有当c是斜边时才成立．若b是斜边，则关系式是a2＋c2＝b2；若a是斜边，则关系式是b2＋c2＝a2.(3)勾股定理有许多变形，如c是斜边时，由a2＋b2＝c2，得a2＝c2－b2，b2＝c2－a2等．熟练掌握这些变形对我们解决问题有很大的帮助．【例2－1】在△ABC中，∠C＝90°，(1)若a＝3，b＝4，则c＝__________；(2)若a＝6，c＝10，则b＝__________；(3)若a∶b＝3∶4，c＝5，则a＝__________，b＝__________.解析：因为在△ABC中，∠C＝90°，所以有关系式a2＋b2＝c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”．(1)c2＝a2＋b2＝32＋42＝52，则c＝5；(2)b2＝c2－a2＝102－62＝82，则b＝8；(3)若a∶b＝3∶4，可设a＝3x，b＝4x，于是(3x )2＋(4x )2＝52. 化简，得9x 2＋16x 2＝25， 即25x 2＝25，x 2＝1，x ＝1(x ＞0)． 因此a ＝3x ＝3，b ＝4x ＝4. 答案：(1)5 (2)8 (3)3 4 谈重点 用勾股定理求边长这是一组关于勾股定理应用的计算题，由勾股定理可知，在直角三角形中只要已知两边长，就可以求出直角三角形第三边的长．【例2－2】 有一飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4 000 m 处，过了20 s ，飞机距离这个男孩头顶5 000 m ，那么飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出图形．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4 000 m ，AB ＝5 000 m.欲求飞机每时飞行多少千米，就须知道其20 s 时间里飞行的路程，即图中CB 的长． 由于△ABC 的斜边AB ＝5 000 m ，AC ＝4 000 m ，这样BC 就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算．解：如图，AB ＝5 000 m ＝5 km ，AC ＝4 000 m ＝4 km ， 故由勾股定理得BC 2＝AB 2－AC 2＝52－42＝9， 即BC ＝3 km.因为飞机20 s 飞行3 km ，所以它每小时飞行的距离为3 60020×3＝540(km)．3．勾股定理的验证方法1：用四个相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的正方形．由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得 (a ＋b )2＝c 2＋4×12ab .化简可得：a 2＋b 2＝c 2.方法2：用四个相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的正方形．由“大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积”，得c 2＝(b －a )2＋4×12ab .化简可得：a 2＋b 2＝c 2.方法3：用两个完全相同的直角三角形(直角边为a ，b ，斜边为c )构成如图所示的梯形． 由“梯形面积等于三个直角三角形面积之和”可得： 12(a ＋b )(a ＋b )＝2×12ab ＋12c 2. 化简可得：a 2＋b 2＝c 2.说明：勾股定理的验证还有很多方法．我明白了！在一些几何问题中，利用图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变．对啊! 利用拼图来验证勾股定理,就是根据同一种图形(或两个全等的图形)面积的不同表示方法列出等式，从而推导出勾股定理.【例3】 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么(a ＋b )2的值为( )．A ．169B ．144C ．100D ．25解析：根据图形面积的和差关系，4个直角三角形的面积＝大正方形面积－小正方形面积＝13－1＝12，可知4×12ab ＝12，即2ab ＝12，由勾股定理得a 2＋b 2＝13，所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ＝13＋12＝25. 答案：D4．利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直角三角形的问题．常见的方法有：(1)利用高(作垂线)构造直角三角形； (2)利用已知直角构造直角三角形； (3)利用勾股定理构造直角三角形．已知直角三角形的两边，求第三边，关键是弄清已知什么边，求什么边，用平方和还是用平方差．【例4】 如图①，校园内有两棵树，相距12 m ，一棵树高13 m ，另一棵树高8 m ，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞多少米？图①分析：分别用AB ，CD 表示两棵树，如图②，得到梯形ABCD ，过D 作AB 的垂线，垂足为E ，可构造出Rt△AED ，利用勾股定理解决．解：如图②，作DE ⊥AB 于点E ，图②∵AB ＝13 m ，CD ＝8 m ， ∴AE ＝5 m.由BC ＝12 m ，得DE ＝12 m. ∵在Rt△ADE 中，AD 2＝AE 2＋DE 2，∴AD＝13 m.∴小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞13 m．5.利用勾股定理求面积(1)利用勾股定理求面积，关键是注意转化思想的应用．把所求的面积转化到已知的数量关系中去．如求图中阴影部分的面积，可转化为中间正方形的面积，而中间正方形的面积等于右侧直角三角形短直角边的平方，借助于右侧的直角三角形，利用勾股定理解答即可．(2)利用勾股定理求面积，还要注意整体思想的应用．【例5】如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4 m，高3 m，长20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积．分析：要求阳光透过的最大面积即塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边AB的长是多少，可以借助勾股定理求出．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝52，即AB＝5(m)．故矩形塑料薄膜的面积是5×20＝100(m2)．点评：勾股定理是以直角三角形存在(或添加辅助线可以构造的)为基础的；表示直角三角形边长的a，b，c并非是一成不变的，c并不一定就是斜边的长．6．勾股定理与方程相结合的应用(1)在进行直角三角形的有关计算时，一般要运用勾股定理，在运用过程中，有时直接运用，有时是通过勾股定理来列方程求解．具体问题如下：①已知直角三角形的两边，求第三边的长；②说明线段的平方关系；③判断三角形的形状或求角的大小；④解决实际问题．(2)利用勾股定理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形)，利用列方程或方程组来解决．(3)勾股定理与代数中的平方差公式相结合，解决此类问题可以先根据勾股定理列出关于两直角边的数量关系式，再通过恒等变形巧妙求解．【例6】如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5 m，顶端A 在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5 m，当端点B向右移动0.5 m时，求滑杆顶端A下滑了多少米？分析：注意滑杆AB在滑动过程中长度保持不变，同时注意∠ACB为直角这一条件．在Rt△ABC中，应用勾股定理求得AC；在Rt△ECD中，应用勾股定理求得EC，两者之差即为所求．解：设AE的长为x m，由题意，得CE＝(AC－x) m.∵AB＝DE＝2.5 m，BC＝1.5 m，∠C＝90°，∴AC2＝AB2－BC2＝2.52－1.52＝22.∴AC＝2 m.∵BD＝0.5 m，∴CD＝CB＋BD＝1.5＋0.5＝2 m.在Rt△ECD中，CE2＝DE2－CD2＝2.52－(1.5＋0.5)2＝1.52.∴2－x＝1.5 m，x＝0.5 m，即AE＝0.5 m.∴滑杆顶端A下滑了0.5 m．。