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分式的化简求值及应用（人教版）（综合）一、单选题(共10道，每道9分)1.化简代数式的结果为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：故选A试题难度：三颗星知识点：略2.当时，代数式的结果是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：当时，故选A试题难度：三颗星知识点：略3.当时，代数式的值为( )A.5B.-1C.5或-1D.0答案：B解题思路：∵且a-3≠0∴a=-3所以=-3+2=-1故选B试题难度：三颗星知识点：略4.当，化简的结果是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：∵∴故选D试题难度：三颗星知识点：略5.先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入，所求结果为( )A. B.C. D.以上都对答案：B解题思路：要点：此类型题目分为三步：①化简；②取值说理；③代入求值．∵，且为整数，∴若使分式有意义，只能取-1，当时，，故选B.试题难度：三颗星知识点：略6.化简分式，并在中选取一个你认为合适的整数代入，结果可能是( )A.-3B.-1C.0D.1答案：D解题思路：∵且是整数，∴若使分式有意义，可取-2，-1或2，当x=-2时，原式=2；当x=-1时，原式=1；当x=2时，原式=-2．故选D．试题难度：三颗星知识点：略7.已知a米布料能做b件上衣，2a米布料能做3b条裤子，则一件上衣的用料比一件裤子的用料多( )A. B.C. D.答案：A解题思路：由题意可得，一件上衣的用料为，一件裤子的用料为所以则一件上衣的用料比一件裤子的用料多故选A试题难度：三颗星知识点：略8.有A，B两箱水果，A箱水果重量为kg，B箱水果的重量为kg（其中a＞1），售完后，两箱水果都卖了120元，两箱水果中高的单价是低的单价的( )倍.A. B.C.1D.无法确定答案：B解题思路：有题意可得，A箱水果的单价为B箱水果的单价为∴A箱水果的单价高于B箱水果的单价∴两箱水果中高的单价是低的单价的倍故选B试题难度：三颗星知识点：略9.已知，分式的分子分母都加上1，所得分式的值相比( )A.增大B.减小C.不变D.无法确定答案：A解题思路：所得分式的值是变大、减小还是不变，其实就是比较与的大小（考虑通过作差与0比较大小）.∵，∴，，∴，∴．故选A．试题难度：三颗星知识点：略10.（上接第9题）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加k（整数k＞0），则( )．A.＞B.<C.＝D.无法确定答案：A解题思路：∵，k＞0∴，，∴，∴．故选A．试题难度：三颗星知识点：略二、填空题(共1道，每道10分)11.（上接第9题，第10题）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10％，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，若原来的地板面积和窗户面积分别为x，y，同时增加相等的窗户面积和地板面积，则住宅的采光条件____（填“变好”或“变坏”）．答案：变好解题思路：设增加面积为a，由第10题可知，∴住宅的采光条件变好故填变好．试题难度：知识点：略。
精品文档初二数学分式化简求值练习题及答案2、先化简，再求值:12?2，其中x,,2( x?1x?1，其中a=,1(3、先化简，再求值:4、先化简，再求值:5先化简，再求值6、化简:7、先化简，再求值:，其中(，其中x=(，其中x满足x,x,1=0(2a?3ba?b? a?ba?b，其中a=(先化简x11?)?2，再从,1、0、1三个数中，选择一个你认x?1x?1x?1为合适的数作为x的值代入求值(1 / 26精品文档9、先化简，再求值:先化简下列式子，再从2，,2，1，0，,1中选择一个合适的数进行计算(12、先化简，再求值:13、先化简，再求值:，其中((318+1)?，其中x=2(x?1x,其中x=2.xx?1??x?2?3xx2x?)?14、先化简?2x?1x?1x?12a?1a2?2a?111a????值:2，其中。
2a?1a2?aa?11x,2x，118(先化简，再求值:??1，x,2?x2,4x,,5(??x2?1?2x?1?22 / 26精品文档??x?19. 先化简再计算:2?，其中x是一元二次方程x?2x?2?0的正数根. x?x?x?2m2?2m?1m?120 化简，求值: )其中m=( ? aa??x?3x2?6x?91?2?,再取恰的x的值代入求值.3请你先化简分式2x?1x?2x?1x?12a?2a2?1??a?1??224、先化简再求值其中a=+1 a?1a?2a?125、化简，其结果是(x2,16x26(先化简，再求值:?，其中x3,4(x,2x,2xx2，4x，4x，22x27、先化简，再求值:,x,2.x,162x,8x，428、先化简，再求值:?2，其中x?4( x?2x?2x?42aa3 / 26精品文档?)?a，其中a?1. a?11?a30、先化简，再求值:?a，其中aa2?11?a2?1?x?1(?1???x?x?1a?1?aab2a?b)?32(?a2?b2a?bb?a2??233先化简，再求值:?a?1???a?1，其中a1( a?1????34化简:(35(先化简，再求值:11?a2a?，其中( ?221-a1?a4 / 26精品文档x2，2x，1x36、.先化简,x值代入求值.x,1x,1x22x?1?39(当x??2时，求的值( x?1x?1x2?42?xx?)?40先化简，再把x取一个你最喜欢的数代入求值:42、先化简，再求值:43、先化简:先化简，再求值(+x(其中45、先化简，再求值，?(再从1，2，3中选一个你认为2(+)?，其中x=2(1化简，再从,1，1两数中选取一个适当的数作为x的值代x?1入求值(全国初中数学竞赛辅导第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义;也像分数一样，分式的分子与分母都乘以同一个不等于5 / 26精品文档零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据(在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值(除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答(本讲主要介绍分式的化简与求值(例1 化简分式:分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多(,,--+,说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式(例求分式当a=2时的值(分析与解先化简再求值(直接通分较复杂，注意到平方差公式:a-b=，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项(22例若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂(下面介绍几种简单的解法(解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零(解法因为abc=1，所以a?0，b?0，c?0(6 / 26精品文档例化简分式:分析与解三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简(说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧(例化简计算:似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为，而分子又恰好凑成+，因此有下面的解法(解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例已知:x+y+z=3a，求分析本题字母多，分式复杂(若把条件写成++=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解(解令x-a=u，y-a=v，z-a=w ，则分式变为u+v+w+2=0(由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u+v+w?0，从而有7 / 26精品文档222222说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化(下例同:例化简分式:变形，化简分式后再计算求值(适当22=3，即x-8x+13,0(原式分子=+++10432322分式练习题及答案初二1、当x为何值时，分式x2 8 / 26精品文档?1x2?x?2有意义,当x为何值时，分式x2?1 x2?x?2的值为零,2、计算: a2?4x2a?2??a?2??1a?22x?x?2?x? ??1??1?x??xx?2??? x2?2x ?22?x?y??x?y?1124?3x?x?y??x?y?3x????9 / 26精品文档?x1?x?1?x?1?x2?1?x43、计算已知x2x2?2?1，求11??x的值。
分式的化简一、比例的性质：⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m ab d n b+++=+++（...0b d n +++≠）二、基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c ⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn n n a a aa a aa ab b bb b bb b⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：知识点睛中考要求同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、分式的化简求值【例1】 先化简再求值：2111x x x---，其中2x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南郴州【解析】原式()()111x x x x x =---()111x x x x-==-当2x =时，原式112x ==【答案】12【例2】 已知：2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【答案】4-【例3】 先化简，再求值：22144(1)1a a a a a-+-÷--，其中1a =- 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考【解析】()()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭- 当1a =-时，原式112123a a -===---【答案】1例题精讲【例4】 先化简，再求值：2291333x x x x x ⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭其中13x =. 【考点】分式的化简求值【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南省长沙市中考试题【解析】原式()()()33133x x x x x +-=⋅-+ 1x=当13x =时，原式3=【答案】3【例5】 先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中x =【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题【解析】原式()()()111121x x x x x +-=⋅+-+-+ ()()12x x x =-+-22x =-当x 时，原式224=-=．【答案】4【例6】 先化简，后求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中5x =-． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题【解析】22121(1)24x x x x -++÷--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+- =21(2)(2)2(1)x x x x x -+-⋅-- =21x x +- 当5-=x 时，原式21x x =+-521512+-=-=-. 【答案】12【例7】 先化简，再求值：532224x x x x -⎛⎫--÷⎪++⎝⎭，其中3x =． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省武汉市中考试题【解析】原式2453(3)(3)2(2)22(2)22(3)3x x x x x x x x x x ---+-+=⨯=+++-=÷+，当3x =-时，原式=【答案】【例8】 先化简，再计算：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中3a =． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南省岳阳市中考试题【解析】原式()()2223221a a a a a a +--⎛⎫=+⨯ ⎪--+⎝⎭()()22121a a a a a +-+=⨯-+ 2a =+【答案】2a +【例9】 当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值 【考点】分式的化简求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(1)1(1)(1)2413x x x x x x x x x x -++=⨯==+--+- 【答案】13【例10】 先化简分式22222936931a a a a a a a a a ---÷-+-+-，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省深圳市中考试题【解析】原式()()()()223332313a a a a a a a a a a a a +-+-=⋅-=+=--+ 当0123a =，，，时，原式0246=，，， 【答案】0，2，4，6【例11】 先化简：22222a b ab b a a ab a ⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭，当1b =-时，再从22a -<<的范围内选取一个合适的整数a 代入求值．【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，贵州省贵阳市中考试题【解析】原式()()()()22221a b a b a ab b a b a a a b a a a ba b +-+++=÷=⋅=-++在22a -<<中，a 可取的整数为101-，，，而当1b =-时， ①若1a =-，分式222a b a ab--无意义；②若0a =，分式22ab b a +无意义；③若1a =，分式1a b+无意义． 所以a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【答案】a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【例12】 已知212242xA B C x x x ===--+，，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中3=x ．【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，河南省中考试题【解析】选一：()()()21221242222x x x A B C x x x x x x x +⎛⎫-÷=-÷=⨯= ⎪--++--⎝⎭ 当3x =时，原式1132==- 选二：()21212124222x A B C x x x x x x x -÷=-÷=-=--+--，当3x =时，原式13=【答案】选一：当3x =时，原式1132==- 选二：当3x =时，原式13=【例13】 先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a +++÷--÷-+，其中4a = 【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】原式2224(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a aaa a a a+++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5(34)(2)2a a aa a a+-+-=÷-++ 4(3)2(34)(2)(3)(3)a aa a a a++=⋅-+-+4(34)(3)a a=--当4a=时，原式441(34)(3)(344)(43)2a a=== --⨯--本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似，分式的四则混合运算的顺序是:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．【答案】1 2【例14】已知20102009x y==，，求代数式22xy y x yxx x⎛⎫---⎪⎝⎭÷的值．【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，顺义一模试题【解析】22xy y x y xx x ⎛⎫---⎪⎝⎭÷222x xy y xx x y-+=-2()x y xx x y-=-x y=-当2010x=，2009y=时，原式=201020091x y-=-=．【答案】1【例15】已知22a b==a bb a-的值．【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，湖北荆门市中考试题【解析】∵22a b=+=∴4a b+=，a b-=，1ab=而a bb a-22()()a b a b a bab ab-+-==∴a bb a-=()()a b a bab+-==【答案】【例16】 先化简，再求值：()()x yy x y x x y -++，其中11x y ==，． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南湘潭市中考试题【解析】原式()()22x y xy x y xy x y =-++ ()22x y xy x y -=+()()()x y x y xy x y -+=+x y xy-=当 11x y ==，时，11221x yxy--=== 【答案】2【例17】 化简，再求值：11-a b b a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ab a b÷+.其中1a =, b =. 【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，黄石市中考试题【解析】原式()()()()()2b a a b a b a b b a ab a b b++-+=⋅=-+-∵1a b ==，∴原式1b ==，∴=【例18】 先化简，再求值：22112b a b a b a ab b ⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中11a b ==-【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，宣武一模试题【解析】原式()()()()()()22a b a b a b a b a b a b b a b+----=⋅=-++当11a b ==-==【答案】【例19】 先化简，再求值：22211x yx y x y x y⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中11x y ==， 【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，广西桂林中考试题 【解析】原式2222222x y x y x yx y x y x y ⎛⎫+-=+÷ ⎪---⎝⎭ 22222x y x y x y x y x y++--=⨯- 222x x y xy==当11x y ==，原式22131xy====-【答案】1【例20】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23c =- 【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】()()22222222222a b ca b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++- ()()()()()()()()()2a b c a a b c a b c a b a b a a b a b c a b c a b -+-+--+-=⋅⋅-+--++a b c a b --=+． ∴当1a =，12b =-，23c =-时，原式12123112++=-1313263=⨯=． 【答案】133二、条件等式化简求值1. 直接换元求值【例21】 已知：2244a b ab +=（0ab ≠），求22225369a b a b ba b a ab b a b--÷-++++的值． 【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，石景山二模【解析】由2244a b ab+=得2b a=原式2 a ba b-=+当2b a=时，原式42a aa a-=+1=-【答案】1-【例22】已知x y z，，满足235x y z z x==-+，则52x yy z-+的值为（）A.1B.13C.13- D.12【考点】分式的化简求值【难度】4星【题型】选择【关键词】2007年，全国初中数学联赛试题【解析】B；由235x y z z x==-+得332y x z x==，，∴5531 2333 x y x xy z x x--== ++【答案】1 3【例23】已知：34xy=，求2222222x y xy yx xy y x xy-+÷-+-的值【考点】分式的化简求值【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】2222222()()()3 2()()4 x y xy y x y x y y x y xx xy y x xy x y x x y y -++-+÷=÷== -+---【答案】3 4【例24】已知：220x-=，求代数式222(1)11x xx x-+-+的值．【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，丰台一模【解析】原式=22 (1)1)(1)1 x x x x x-++-+（=2111 x x x x-+++=211x xx+-+．∵220x-=，∴22x=．∴原式=211111x x x x +-+==++．【答案】1【例25】 已知12=x y ，求2222222-⋅+-++-x x y y x xy y x y x y 的值． 【考点】分式的化简求值【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀一模【解析】y x y y x y x y xy x x-++-⋅+-2222222 22()()2()x x y x y yx y x y x y -+=⋅++-- 22()x y x y x y =+--2()()x y x y +=-．当21=y x 时，x y 2=. 原式2(2)6(2)x x x x +==--.【答案】6-【例26】 已知221547280x xy y -+=，求xy的值. 【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】221547280x xy y -+=，∴(37)(54)0x y x y ++=，∴370x y +=或540x y +=，由题意可知:0y ≠，73x y =-或45x y =-. 【答案】45-【例27】 已知22690x xy y -+=，求代数式2235(2)4x yx y x y +⋅+-的值.【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀二模【解析】22690x xy y -+=，2(3)0x y -=．∴ 3x y =． ∴原式35(2)(2)(2)x yx y x y x y +=⋅++-352x yx y +=-3(3)52(3)y yy y+=-145=． 【答案】145【例28】 已知x =，求351x x x++的值． 【考点】分式的化简求值 【难度】4星 【题型】解答【关键词】降次，整体置换【解析】21x -=21x x =+，0x ≠．则()233245555111x x x x x x x x x x x++++=====【例29】 已知20x y -=，求22()2x y xyy x x xy y -⋅-+的值．【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，东城二模【解析】22()2x y xyy x x xy y -⋅-+=22222x y xyxy x xy y-⋅-+ =2()()()x y x y xyxy x y -+⋅- =x y x y+-. ∵20x y -=， ∴2x y =.∴x y x y +-=2332y y yy y y+==-. ∴原式3.=【答案】3【例30】 已知3a b =，23a c =，求代数式a b c a b c+++-的值. 【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】（法1）注意将未知数划归统一，2,33a a b c ==，123331233a a aa b c a b c a a a++++==+-+- （法2）3a b =，223233a c b b ==⨯=，32332a b c b b ba b c b b b ++++==+-+-【答案】3【例31】 已知123a b c a c ==++，求ca b+的值． 【考点】分式的化简求值【难度】4星 【题型】解答【关键词】第8届，华罗庚金杯复赛【解析】23b c a a c a +=⎧⎨+=⎩22b c a c a +=⎧⇒⎨=⎩02b c a =⎧⇒⎨=⎩，所以220c aa b a ==++．【答案】2【例32】 已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：252a b a b +=- 【考点】分式的化简求值 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】【解析】由已知可得22230a ab b --=，则(3)()0a b a b -+=，所以3a b =或a b =-∵0a >,0b >，∴3a b =，则23255322a hb b b a b b b b ++===--【答案】52【例33】 已知：2232a b ab -=，求2a ba b+-的值.【考点】分式的化简求值 【难度】3星【题型】解答【关键词】清华附中暑假作业【解析】变形可得：()(3)0a b a b +-=，所以a b =-或3a b =，所以212a b a b +=--或52. 【答案】12-或52【例34】 已知22(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xya x ab y b xy++++的值．【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】第9届，华罗庚金杯总决赛1试 【解析】由已知可得：2y x =，3a b =，故原式7297=. 【答案】7297【例35】 已知分式1x yxy+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】由题可知：()()()1.1x ym xy x y n x y +⎧=⎪-⎪⎨-+-⎪=⎪---⎩，①②由②得：11x y x yn m xy xy--+==-=---．∴m n =-，∴0m n +=． 所以m n ，的关系为互为相反数．【答案】m n ，的关系为互为相反数【例36】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n． 【考点】分式的化简求值 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】【解析】∵0x ≠，∴由233mx y +=，得：()()231133y y y m x x+--==． 由222nx y -=，得：()222122y y n x x++==． ∵1y ≠-，∴0n ≠，∴231121y y y m n x x +-+=÷()231121y y x x y +-=⋅+312x y -=． 【答案】()312x y -【例37】 已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求3332223273a b c ab bc a c-++-的值.【考点】分式的化简求值 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】【解析】由题意可知：2303260a b c a b c -+=⎧⎨--=⎩，解得43a c b c =⎧⎨=⎩，333322233215173453a b c c ab bc a c c -+-==-+- 【答案】13-【例38】 已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠)，求：::x y z【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】把z 看作已知数，解关于x 、y 的方程组，解得5y z =，7x z =，所以::7:5:1x y z =. 【答案】::7:5:1x y z =【例39】 若4360x y z --=，270x y z +-=(0xyz ≠)，求222222522310x y z x y z +---的值.【考点】分式的化简求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】全国初数数学竞赛【解析】由43627x y z x y z -=⎧⎨+=⎩，得32x zy z =⎧⎨=⎩，代入得原式13=-.【答案】13-【例40】 设自然数x 、y 、m 、n 满足条件58x y m y m n ===，求的x y m n +++最小值． 【考点】分式的化简求值 【难度】5星 【题型】解答【关键词】黄冈市初中数学竞赛【解析】58x y =，58y m =，85m y =，864525n m y ==，从而y 是825200⨯=的倍数，当200y =586412520032051211578525x y m n y y y y +++=+++=+++=【例41】 设有理数a b c ，，都不为0，且0a b c ++=，则222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值为___________。
八年级数学化简求值题例题讲解与训练（含答案解析）资料编号:202202091346化简求值题是各地中考的热门题型,考查频率非常高,而且是经常作为解答题的“开门”题,分值8分,评分标准一般是按两部分或三部分进行评分.学生必须掌握化简求值题的书写规范,下面,我们将以例题的形式进行书写规范的讲解,并给出评分标准.直接代入求值型此类型化简求值题的书写分为化简和直接代入求值两部分,评分标准也是按这两部分评分的.若满分8分的话,化简给5分,求值给3分.例1.（8分）先化简,再求值:11112-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a ,其中15+=a . 分析:本题字母的值已经给出,属于直接代入求值型,其过程的规范书写和评分标准都是分为两部分.解:11112-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a ()()()()a a a a a a a a a a a 111111111-+⋅+=-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=1-=a ………………………………………………………………………………5分 当15+=a 时 原式5115=-+=.……………………………………………………………8分点评 在将字母的值代入化简结果求值时,第一步必须是数据的代入,不能直接写出求值的结果.整体代入求值型此类型化简求值题的书写分为化简、整体变形和整体代入求值三部分,相应的,评分标准按三部分进行评分.例2.（8分）先化简,再求值:122132++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x ,其中x 满足022=-+x x . 分析:本题未给出x 的具体值,而是给出了关于x 的一元二次方程,所以就产生了两种求值的思路:一是解方程,得出x 的具体值再代入求值;另一种是不用解方程,即不必知道x 的具体值,但要根据化简结果的特点,对方程进行合适的变形,从中获得一个关于x 的代数式的值,然后把这个值整体代入化简结果即可.解:122132++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x ()()()()()()()1211221122113121*********+=-+⋅+-=-+⋅+-=-+⋅+-+=+-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x +=2………………………………………………………………………………5分 ∵022=-+x x∴22=+x x ……………………………………………………………………………7分 ∴原式2=.………………………………………………………………………………8分 点评 化简的最终结果不能是()1+x x ,必须展开写出x x +2.间接代入求值型此类型化简求值题的书写分为化简、求字母的值和代入求值三部分, 相应的,评分标准按三部分进行评分.例3.（8分）先化简22121122++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ,再从不等式组⎩⎨⎧≥+<-02042x x 的整数解中选取一个作为x 的值代入求值.分析:本题没有给出x 的值,只是告知x 是满足不等式组⎩⎨⎧≥+<-02042x x 的整数解,这就需要我们先解这个不等式组,根据解集确定x 的整数值,注意x 的取值必须保证题目中的所有分式都有意义.解:22121122++-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ()()12111122+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=x x x x x()()211211-+⋅+--=x x x x 12--=x ………………………………………………………………………………5分 解不等式组⎩⎨⎧≥+<-02042x x 得:2-≤2<x ……………………………………………6分 ∴原不等式组得整数解为1,0,1,2--∵1±≠x∴2-=x 或0=x当0=x 时 原式2102=--=.……………………………………………………………………8分 或:当2-=x 时 原式32122=---=. 例4.（8分）先化简,再求值:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-a b ab a a b a 22,其中b a ,满足()0232=-+-b a . 分析:本题要根据非负数的性质求出b a ,的值.解:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-a b ab a a b a 22 ()2222b a a a b a a b ab a a b a -⋅-=+-÷-= ba -=1………………………………………………………………………………5分 ∵()0232=-+-b a3-a ≥0,()22-b ≥0∴02,03=-=-b a∴2,3==b a ………………………………………………………………………7分 当2,3==b a 时原式1231=-=.…………………………………………………………………8分 【作业】1. 先化简,再求值:a a a a a 1122-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++,其中2=a .2. 先化简()121112222+--++÷-+a a a a a a ,然后从32<<-a 中选一个合适的整数作为a 的值代入求值.3. 先化简,再求值:1212312+-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x x x ,其中x 满足012=--x x .【作业答案解析】1. 先化简,再求值:a a a a a 1122-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++,其中2=a . 解:a a a a a 1122-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++ ()()()()()11111111222-+=-+⋅+=-+÷++=a a a a a aa aa a a a a当2=a 时 原式31212=-+=. 2. 先化简()121112222+--++÷-+a a a a a a ,然后从32<<-a 中选一个合适的整数作为a 的值代入求值.解:()121112222+--++÷-+a a a a a a ()()()()131112111111122-+=-++-=--+++⋅-+=a a a a a a a a a a a ∵32<<-a∴整数a 的值为2,1,0,1-∵1±≠a∴0=a 或2=a当0=a 时 原式31030-=-+=. 或:当2=a 时 原式51232=-+=.3. 先化简,再求值:1212312+-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x xx x x ,其中x 满足012=--x x . 解:1212312+-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x xx x x x()()11111221121232222+=+-+=+-=+--+⋅+-=+-+-÷⎪⎭⎫⎝⎛+-++=x x x xx x x xx x xx x x x x x xx x x x x x∵012=--x x∴12+=x x ∴原式111=++=x x .。
2021-2021学年度第二学期八年级数学化简求值方程专题训练 1． 解方程（5分）2244212-=-++x x x x 2.（本题12分,每小题6分）先化简，再求值： (1) 412)211(22-++÷+-x x x x ，其中3-=x (2) 22933x x x x x x -⎛⎫-• ⎪-+⎝⎭，其中2x = 3（本题满分8分）有一道题，先化简，再求值：91)9633(22-÷-++-x x x x x ， 其中2008-=x ，小明同学做题时把2008-=x 错抄成2008=x ，但他 的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事。
4（本题满分10分）先化简，再求值：1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ， 其中a 满足12=-a a 。
一．化简求值（每题5分）1.化简22221()11x x x x x x -+-÷+- 2.化简，并代入你喜欢的数值求值2111x x x -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭3.化简：2411422x x x ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭4.化简：221211241x x x x x x --+÷++--．5.化简2222x xy y x y x xy y x ⎛⎫-+÷- ⎪-⎝⎭，再将3x =-y =6.化简求值：2112x x x x x ⎛⎫++÷- ⎪⎝⎭，其中1x =．7.化简，再对a 取一个你喜欢的数，代入求值．221369324a a a a a a a +--+-÷-+-8.化简求值：112112++-⋅-x x x x ，其中x=2. 9.化简:35(2)482y y y y -÷+---10.化简求值：)(222y x y x y x +-+-，其中31,3-==y x . 11.化简求值：)2422(4222+---÷--x x x x x x ，其中22+=x 12.先化简，再求值：2224441x x x x x x x --+÷-+-，其中32x =． 二．解分式方程（第1、4每题5分，其余每题6分）1.解方程：22333x x x -+=--. 2.解方程：223124x x x --=+-． 3.解方程：163104245--+=--x x x x 4.解方程：14143=-+--xx x . 5.解方程：2111x x x x ++=+ 6.解方程：2316111x x x +=+-- 7.解方程： 212423=---x x x 参考答案一．化简求值1.解：原式x =2.解： 11x =- 3.解：原式===1． 4. 解：原式）11x x -=-1= 5. 解： y x y =+当3x =-y ===6. 解：原式===21x -．将1x =代入上式得原式2== 7. 解：原式==33a - ···························································································· 注：a 取值时只要不取2，-2，3就可以．8．解：原式=111)1(112+-=+-⋅-x x x x x . 当x=2时，原式311212=+-. 9．原式=3(2)(2)54822y y y y y y ⎡⎤-+-÷-⎢⎥---⎣⎦=239324824(2)(3)(3)y y y y y y y y y ----÷=⨯----+=14(3)y + 10. 解：原式=)(2))((y x yx y x y x +-+-+ =y x y x 22---=y x 3-- 当31,3-==y x 时,原式=)31(33-⨯--=2-11. 解: 原式=2242222+-÷--x x x x x x =x x x x x x x 22)2)(2(222-+⨯+-- =21-x 将2=x +2 代入21-x 得：22 12. 解：2224441x x x x x x x --+÷-+-2(2)(2)(1)(2)1x x x x x x x -+-=+÷--212x x +=+-22x x =- 当32x =时，原式3226322⨯==-- 二．解分式方程1. 解：去分母得：()2332x x -+-=-化简得25x =，解得52x =， 经检验，52x =是原方程的根. ∴原方程的根是52x =． 2. 解：22(2)(4)3x x ---=．45x -=-．54x =．经检验，54x =是原方程的解． 3. 解：方程两边同乘)2(3-x ，得3(54)4103(2).x x x -=+-- 解这个方程，得 x=2检验：当x=2时，)2(3-x =0，所以x=2是增根，原方程无解4. 解：方程两边同乘以x －4，3－x －1＝x －4解这个方程，得x ＝3检验：当x ＝=3时，x －4＝－1≠0 ∴ x ＝3是原方程的解5. 解：2(1)(21)(1)x x x x x ++=++解这个整式方程得：12x =-经检验：12x =-是原方程的解．∴原方程的解为12x =-． 6.解：去分母得：61)1(3=++-x x6133=++-x x2=x 经检验2=x 是原方程的解。
八年级数学分式的化简与求值复习题全国初中（初二）数学竞赛辅导第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似；例如；分式的分母的值不能是零；即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样；分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式；分式的值不变；这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中；主要是通过约分和通分来化简分式；从而对分式进行求值．除此之外；还要根据分式的具体特征灵活变形；以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1 化简分式：分析直接通分计算较繁；先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式；再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2 求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂；注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；可将分式分步通分；每一步只通分左边两项．例3 若abc=1；求分析本题可将分式通分后；再进行化简求值；但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1；所以a；b；c都不为零．(减元先消c)解法2 因为abc=1；所以a≠0；b≠0；c≠0．(减元先消a)(减元先消a)例4 化简分式：分析与解三个分式一齐通分运算量大；可先将每个分式的分母分解因式；然后再化简．说明互消掉的一对相反数；这种化简的方法叫“拆项相消”法；它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a；b；c两两不相等)：(循环对称式)似的；对于这个分式；显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)；而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)；因此有下面的解法．解说明本例也是采取“拆项相消”法；所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a≠0；且x；y；z不全相等)；求分析本题字母多；分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0；那么题目只与x-a；y-a；z-a有关；为简化计算；可用换元法求解．解令x-a=u；y-a=v；z-a=w；则分式变为u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．由于x；y；z不全相等；所以u；v；w不全为零；所以u2+v2+w2≠0；从而有说明从本例中可以看出；换元法可以减少字母个数；使运算过程简化．下例同: 例7 化简分式：适当变形；化简分式后再计算求值．(x-4)2=3；即x2-8x+13＝0．原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10；原式分母=(x2-8x+13)+2=2；说明本例的解法采用的是整体代入的方法；这是代入消元法的一种特殊类型；应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0；由等比定理有所以a+b-c=c；a-b+c=b；-a+b+c=a；于是有(2)若a+b+c=0；则a+b=-c；b+c=-a；c+a=-b；于是有说明比例有一系列重要的性质；在解决分式问题时；灵活巧妙地使用；便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c；①a+c=(k+1)b；②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)；所以 (a+b+c)(k-1)=0；故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时；当a+b+c=0时；说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件；可使已知条件便于使用．练习四1．化简分式：2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2；的值．。
2023年中考数学---分式的运算与化简求值知识回顾与专项练习题（含答案解析）知识回顾1. 因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a −+=−22；完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。
③十字相乘法：在c bx x ++2中，若()均为整数，且n m b n m mn c =+=，则：()()n x m x c bx x ++=++2。
2. 分式的性质：分式的分子与分母同时乘上或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变。
()0≠÷÷==C CB C A BC AC B A 3. 约分与通分：①约分：将分式中能进行分解因式的分子分母分解因式，约掉公因式。
公因式等于系数的最大公约数乘上相同字母或式子的最低次幂。
②通分：将几个异分母的分式化成同分母的分式的过程。
公分母等于系数的最小公倍数乘上所有式子的最高次幂。
4. 分式的乘除运算：①乘法运算步骤：I ：对分子分母因式分解；II ：约掉公因式；III ：分子乘以分子得到积的分子，分母乘以分母得到积的分母。
②除法运算法则：除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式。
5. 分式的加减运算：具体步骤：I ：对能分解的分母进行因式分解，并求出公分母；II ：将分式通分成同分母；III ：分母不变，分子相加减。
6. 分式的化简求值：将分式按照加减乘除的运算法则化简至最简分式，然后带入已知数据求值即可。
专项练习题（含答案解析）1、（2022•西藏）计算：224222−−−⋅+a a a a a a ． 【分析】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【解答】解：原式＝•﹣ ＝﹣ ＝1．2、（2022•兰州）计算：()x x x +÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+211． 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝＝＝． 3、（2022•大连）计算：xx x x x x x 1422444222−−+÷+−−． 【分析】先算除法，后算减法，即可解答．【解答】解：÷﹣＝•﹣＝﹣＝．4、（2022•十堰）计算：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−+÷−a ab b a a b a 2222． 【分析】根据分式的运算法则计算即可．【解答】解：÷（a +）＝÷（+）＝÷＝•＝．5、（2022•常德）化简：212312+−÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+++−a a a a a ． 【分析】根据分式混合运算的法则计算即可．【解答】解：（a ﹣1+）÷ ＝[+]•＝•＝． 6、（2022•内蒙古）先化简，再求值：1441132−+−÷⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−x x x x x ，其中x ＝3．【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x ＝3代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝﹣•＝﹣，当x ＝3时，原式＝﹣＝﹣5． 7、（2022•阜新）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛−−÷−+−21129622a a a a a ，其中a ＝4． 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把a 的值代入计算即可．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝， 当a ＝4时，原式＝＝．8、（2022•资阳）先化简，再求值．111122−÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+−a a a ，其中a ＝﹣3． 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a 的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝＝当a ＝﹣3时，原式＝．9、（2022•黄石）先化简，再求值：1961212+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a a a ，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a 的值代入求值．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a 的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝÷＝•＝，由分式有意义的条件可知：a 不能取﹣1，﹣3，故a ＝2，原式＝＝． 10、（2022•朝阳）先化简，再求值：323444222++−+÷+−−x x x x x x x x ，其中x ＝（21）﹣2． 【分析】把除化为乘，再算同分母的分式相加，化简后求出x 的值，代入即可．【解答】解：原式＝•+＝+＝＝x ， ∵x ＝（）﹣2＝4，∴原式＝4．11、（2022•锦州）先化简，再求值：212112−−÷⎪⎭⎫ ⎝⎛−++x x x x ，其中13−=x ． 【分析】先对分式进行化简，然后再代入求解即可．【解答】解：原式＝＝＝＝， 当时， 原式＝． 12、（2022•盘锦）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+−−++−÷−−1111231322x x x x x x ，其中12+−=x ． 【分析】根据分式的运算法则“除以一个数等于乘以它的倒数”把除法改写成乘法；利用平方差公式和完全平方公式将分式的分子分母分别因式分解；约分化简后，求x 的值；去掉绝对值符号时注意正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，最后将x 的值代入原式．【解答】解：原式＝＝＝＝，∵＝， ∴原式＝＝＝13、（2022•郴州）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛−++÷−2221b a b b a b a ab ，其中a ＝5+1，b ＝5﹣1． 【分析】先算括号里，再算括号外，然后把a ，b 的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：÷（+）＝÷ ＝•＝ab ，当a ＝+1，b ＝﹣1时，原式＝（+1）（﹣1）＝5﹣1＝4． 14、（2022•营口）先化简，再求值：14412512+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++−+a a a a a a ，其中a ＝9+|﹣2|﹣（21）﹣1． 【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解，则约分得到原式＝，然后根据算术平方根的定义、绝对值和负整数指数幂的意义计算出a 的值，最后把a 的值代入计算即可．【解答】解：原式＝•＝•＝•＝•＝， ∵a ＝+|﹣2|﹣（）﹣1＝3+2﹣2＝3，∴原式＝＝． 14、（2022•绵阳）（1）计算：2tan60°+|3﹣2|+（20221）﹣1﹣212； （2）先化简，再求值：y x y x y x y x xy x −+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−−3，其中x ＝1，y ＝100． 【分析】（1）先算负整数指数幂、化简二次根式，再化简绝对值代入特殊角的函数值，最后算加减．（2）按分式的运算法则先化简分式，再代入求值．【解答】解：（1）原式＝2×+2﹣+2022﹣＝2+2﹣+2022﹣ ＝2024；（2）原式＝[﹣]÷＝× ＝× ＝× ＝． 当x ＝1，y ＝100时．原式＝100。
