中考数学培优满分专题突破专题5图形中的函数关系

中考数学函数关系式的建立技巧讲解一、考点分析1.图形运动的过程中，求两条线段之间、线段和面积之间、线段和比值之间的函数关系式，是一模、二模和中考数学的热点问题，这些问题归根结底都可以转化为线段之间的函数关系；2.模考中，函数关系式问题常出现在24题第二问和25题第二问或第三问，以25题第二问出现的频率最高，基本90%会考查到；3.模考中建立函数关系式5-9分，虽然分值不高，但往往是高分段学生的分水岭，如果对建立函数关系式不够熟练，那么容易影响甚至决定了最后一问的解答，影响分有时可以达到18-20分之多，不可不察。

二、专题详解（一）由比例线段产生的函数关系问题1.产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是比例关系，二是勾股定理。

2.由比例线段产生的函数关系问题，一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域。

3.关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错。

例题1如图，在四边形ABCD中，已知AB=2，CD=3，P是对角线BD上的一个点，PE∥AB交AD于E，PF∥CD交BC于F.设PE=x，PF=y，求y关于x的函数关系式.例题2如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0,4）点B 是x 轴上的一个动点，AB 平分∠OAC,且∠ABC=90°.设点C 的坐标为（x,y ）,求y 关于x 的函数关系式. 例题3BC如图，在矩形ABCD 中，AB=9，BC=15.将点B 翻折到AD 边上的点M 处，折痕与AB 相交于点E,与BC 相交于点F.如果AM=x,BE=y,求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围.例题4如图，在边长为6的正方形ABCD 中，点E 为AD 边上的一个动点（与点A 、D 不重合），45EBM ︒∠=，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线AC 于点G ，交CD 于点M ；（1）如图1，联结BD ，求证：△DEB ∽△CGB ，并写出DECG的值； （2）联结EG ，如图2，设A E x =，EG y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；A EF例5已知，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，45B BCD ∠=∠=︒，3AD =，9BC =， 点P 是对角线AC 上的一个动点，且APE B ∠=∠，PE 分别交射线AD 和射线CD 于点E 和点G ；（1）如图1，当点E 、D 重合时，求AP 的长；（1）如图2，当点E 在AD 的延长线上时，设AP x =，DE y =，求y 关于x 的函数解 析式，并写出它的定义域；（二）由面积产生的函数关系问题1.图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是一模、二模和中考数学的热点问题之一。

【类型综述】图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题．计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．【方法揭秘】一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值．关于面积的最值问题，有许多经典的结论．例1，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大．例2，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小．例3，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆．例4，如图1，锐角△ABC的内接矩形DEFG的面积为y，AD＝x，当点D是AB的中点时，面积y最大．例5，如图2，点P在直线AB上方的抛物线上一点，当点P位于AB的中点E的正上方时，△PAB的面积最大．例6，如图3，△ABC中，∠A和对边BC是确定的，当AB＝AC时，△ABC的面积最大．图1图2图3【典例分析】例1如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、B 1的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．图1图2例2如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1)16两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0,2)．（1）求a 、b 、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M (x 1,0)、N (x 2,0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．图1例3如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．例4如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．（1）当CE ＝3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；（2）设CE ＝x ，AE ＝y ，当CG ＝2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当AC ＝5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．图1例5在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m m y x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．图1图4图5图6【变式训练】1．（2017年贵州省毕节地区第27题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．2．（2017年贵州省黔东南州第24题）如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D （2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．3．（2017年湖北省荆州市第25题）（本题满分12分）如图在平面直角坐标系中，直线334y x=-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为秒.其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度.以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q.（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0）,作直线AB的垂线CM，垂足为M，若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切，若存在，请直接写出．．．．此时点C的坐标，若不存在，请说明理由.4．（2017年山东省东营市第25题）如图，直线y=﹣33x+3分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax 23A ，B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点M 作MH ⊥BC 于点H ，作MD ∥y 轴交BC 于点D ，求△DMH 周长的最大值．5．（2017年四川省内江市第28题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）与y 轴交与点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点，点B 坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x =1．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 从A 点出发，在线段AB 上以每秒3个单位长度的速度向B 点运动，同时点N 从B 点出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN 的面积为S ，点M 运动时间为t ，试求S 与t 的函数关系，并求S 的最大值；（3）在点M 运动过程中，是否存在某一时刻t ，使△MBN 为直角三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．6．（2017年湖北省黄冈市第24题）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，.动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点从点出发，沿轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动.设点、点的运动时间为.（1）当时，求经过点三点的抛物线的解析式；（2）当时，求的值；（3）当线段与线段相交于点，且时，求的值；（4）连接，当点在运动过程中，记与矩形重叠部分的面积为，求与的函数关系式．7．（2017年山东省日照市第22题）如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y 轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D．（1）求线段CD的长及顶点P的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；=8S△QAB，且△QAB∽△OBN （3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．。

第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1 由比例线段产生的函数关系问题课前导学（一）图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式．类型二，图形的翻折．已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式．图1 图2由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．课前导学（二）图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题．计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S 取得最大值或最小值．关于面积的最值问题，有许多经典的结论．例1，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大．例2，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小．例3，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆．例4，如图1，锐角△ABC的内接矩形DEFG的面积为y，AD＝x，当点D是AB的中点时，面积y最大．例5，如图2，点P在直线AB上方的抛物线上一点，当点P位于AB的中点E的正上方时，△P AB的面积最大．例6，如图3，△ABC中，∠A和对边BC是确定的，当AB＝AC时，△ABC的面积最大．图1 图2 图3例 1 2014年湖南省常德市中考第26题如图1，图2，已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P，作PE⊥AD（或延长线）于E，作PF⊥DC（或延长线）于F，作射线BP交EF于G．（1）在图1中，正方形ABCD的边长为2，四边形ABFE的面积为y，设AP＝x，求y关于x的函数表达式；（2）GB⊥EF对于图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图2证明：△FGC∽△PFB．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14常德26”，拖动点P在射线AC上运动，可以体验到，EM和FN把正方形ABCD分割成了两个正方形和两个全等的矩形，B、C、G、F四点共圆．思路点拨1．四边形ABFE可以用大正方形减去两个直角三角形得到．2．画直线EP、FP，把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形．图文解析（1）如图3，延长EP交BC于M，延长FP交AB于N，那么四边形AEPN和四边形CFPM是正方形．由AP＝x，可得正方形AEPN的边长为22x．所以FC＝DE＝222x-．由于S△DEF＝12DF DE⋅＝122(2)222x x⨯-，S△BCF＝12BC FC⋅＝122(2)22x⨯⨯-，所以y＝S四边形ABFE＝S正方形ABCD－S△DEF－S△BCF＝4－22(2)42x x-－2(2)2x-＝21+24x．图3 图4（2）如图4，因为tan ∠EFP ＝PE PF ，tan ∠PBN ＝NPNB ，且PE ＝NP ，PF ＝NB ，所以∠EFP ＝∠PBN ．又因为∠1＝∠2，∠1＋∠PBN ＝90°，所以∠2＋∠EFP ＝90°．所以GB ⊥EF ．（3）如图5，由于GB ⊥EF ，∠BCF ＝90°，所以B 、C 、G 、F 四点共圆．所以∠FCG ＝∠PBF ，∠CGB ＝∠CFB ．又因为∠CGF ＝∠CGB ＋90°，∠BFP ＝∠CFB ＋90°，所以∠CGF ＝∠BFP ．所以△FGC ∽△PFB ．图5 图6 图7考点伸展如图6， 由于tan ∠EFP ＝tan ∠PBN ， 所以∠EFP ＝∠PBN ．又因为∠PBN ＋∠1＝90°，所以∠EFP ＋∠1＝90°．因此这种情况下，依然有BG ⊥EF ．第（1）题还有更简便的割补办法：如图7，连结EN ．由于S 四边形NBFE ＝S △ENF ＋S △BNF ＝11()222NF EP MP NF EM +=⋅=，S △AEN ＝221144AP x =，所以y ＝S 四边形ABFE ＝S 四边形NBFE ＋S △AEN ＝21+24x ．例 2 2014年湖南省湘潭市中考第25题如图1，△ABC 为等边三角形，边长为a ，点F 在BC 边上，DF ⊥AB ，EF ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．（1）求证：△BDF ∽△CEF ；（2）若a ＝4，设BF ＝m ，四边形ADFE 面积为S ，求出S 与m 之间的函数关系，并探究当m 为何值时S 取得最大值；（3）已知A 、D 、F 、E 四点共圆，已知tan ∠EDF ＝32，求此圆的直径（用含a 的式子表示）．图1 动感体验请打开几何画板文件名“14湘潭25”，拖动点F 在BC 上运动，观察S 随m 变化的图像，可以体验到，当F 运动到BC 的中点时，S 取得最大值．还可以看到，圆的直径就是直角三角形AEF 的斜边．思路点拨1．用割补法求四边形ADFE 的面积比较简单．2．当A 、D 、F 、E 四点共圆时，由于∠EDF ＝∠EAF ，那么在△ACF 中，两角及夹边就是确定的，可以解这个三角形．图文解析（1）如图1，因为∠B ＝∠C ＝60°，∠BDF ＝∠CEF ＝90°，所以△BDF ∽△CEF ．（2）如图2，当等边三角形ABC 的边长a ＝4时，S △ABC ＝43．在Rt △BDF 中，∠B ＝60°，BF ＝m ，所以12BD m =，32FD m =． 所以S △BDF ＝12BD FD ⋅＝238m ． 在Rt △CEF 中，∠C ＝60°，CF ＝4－m ，所以1(4)2CE m =-，3(4)2FE m =-．所以S △CEF ＝12CE FE ⋅＝23(4)8m -．因此S ＝S 四边形ADFE ＝S △ABC －S △BDF －S △CEF ＝223343(4)88m m ---＝233234m m -++＝23(2)334m --+．所以当m ＝2时，S 取得最大值，最大值为33．此时点F 是BC 的中点（如图3）．（3）如图4，由于A 、D 、F 、E 四点共圆，所以∠EAF ＝∠EDF ．因为∠AEF ＝90°，所以AF 是圆的直径．在Rt △EAF 中，由于tan ∠EAF ＝EFEA ＝32，设EF ＝3x ，EA ＝2x ．在Rt △ECF 中，∠C ＝60°，所以3EFEC =．因此EC ＝x ．由AC ＝EA ＋EC ＝a ，得2x ＋x ＝a ．所以x ＝13a ．所以在Rt △EAF 中，EF ＝33a ，EA ＝23a ，由勾股定理，得圆的直径AF ＝73a ．图2 图3 图4考点伸展第（2）题也可以求△ADF 与△AEF 的面积和． 由于12BD m =，32FD m =，所以AD ＝142m -，S △ADF ＝3(8)8m m -． 由于1(4)2CE m =-，3(4)2FE m =-，所以AE ＝122m +，S △AEF ＝23(16)8m -．因此S ＝S △ADF ＋S △AEF ＝233(8)(16)88m m m -+-＝233234m m -++．例 3 2014年湖南省郴州市中考第25题如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，BC＝16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE＝1cm，点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动．以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S．当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连结DP，当t为何值时，△CPD 是等腰三角形？图1动感体验请打开几何画板文件名“14郴州25”，拖动点N在BC上运动，可以体验到，重叠部分是正方形存在两种情况，等腰三角形CPD也存在两种情况．思路点拨1．用含t的式子把直线BC上的线段长都表示出来．2．重叠部分的图形是正方形，临界时刻是点H落在AB上，和点G落在AC上．3．等腰三角形CPD不存在DP＝DC的情况，因为以DC为半径的圆D与线段AC只有一个交点．图文解析（1）如图2，当点G刚好落在线段AD上时，DN＝0．而DN＝BD－BM－MN＝4－t－1＝3－t，所以3－t＝0．解得t＝3．图2 图3（2）重叠部分的图形是正方形，存在两种情况：①当HM 在AD 的左侧时，正方形MNGH 的大小不变，边长为1，S ＝1．如图3，当H 落在AB 上时，BM ＝HM tan30°＝33．所以33≤t ＜4． ②如图4，当HM 在AD 上时，正方形的边长为t －3，S ＝(t －3)2．如图5，当G 落在AC 上时，AH ＝HG tan30°＝3(3)3t -． 由AD ＝43，得3(3)(3)433t t -+-=．解得633t =-．所以4≤t ≤633-．图4 图5（3）等腰三角形CPD 存在两种情况：①如图6，当PC ＝PD 时，点P 在DC 的垂直平分线上，N 是DC 的中点．此时t ＝3＋6＝9．②如图7，当CP ＝CD ＝12时，在Rt △CPN 中，由cos30°＝32CN CP =，得63CN =．此时t ＝1563-．图6 图7考点伸展当点G 落在AC 上时，CG ∶AG 的比值是多少呢？如图5，cot 303CGCNCNAG DN GN ===︒=．例 4 2019年湖南省常德市中考第25题如图1，曲线y 1是抛物线的一部分，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且表达式为213(23)3y x x =--（x ≤3），曲线y 2与曲线y 1关于直线x ＝3对称． （1）求A 、B 、C 三点的坐标和曲线y 2的表达式；（2）过点C 作CD //x 轴交曲线y 1于点D ，连结AD ，在曲线y 2上有一点M ，使得四边形ACDM 为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M 的横坐标；（3）设直线CM 与x 轴交于点N ，试问在线段MN 下方的曲线y 2上是否存在一点P ，使△PMN 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15常德25”，拖动点P 运动，可以体验到，由于M 、N 两点间的水平距离是定值，因此当PE 最大时，△PMN 的面积最大．思路点拨1．由A 、C 、D 的坐标可以得到△ACD 是底角为30°的等腰三角形，于是可知直线MN （直线CN ）与y 轴的夹角为30°．2．过点P 作x 轴的垂线交MN 于E ，那么△PMN 分割为有公共底边PE 的两个三角形，这两个三角形的高的和为定值．图文解析（1）由2133(23)(1)(3)33y x x x x =--=+-，得A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3-)． 因为A (－1, 0)、B (3, 0) 关于直线x ＝3的对称点为A ′(7, 0)、B (3, 0)，所以抛物线y 2的表达式为2233(7)(3)(1021)33y x x x x =--=-+（x ＞3）． （2）由CD //x 轴，可知C 、D 关于抛物线y 1的对称轴x ＝1对称，所以D (2,3-)．如图2，由A (－1, 0)、C (0,3-)、D (2,3-)，可得AC ＝DC ＝2．因此点C 在AD 的垂直平分线上．如果四边形ACDM 的对角线互相垂直平分，那么四边形ACDM 是菱形，此时点M 在x 轴上，不在抛物线y 2上．因此只存在MC 垂直平分AD 的情况．图2 图3如图2，如图3，过点A 、M 分别作x 轴的垂线，与直线CD 分别交于点G 、H ，那么 ∠ADG ＝∠CMH ．由于tan ∠ADG ＝AGDG ＝33，所以∠ADC ＝30°．因此3MH CH =．设M 23103(,+73)33x x x -，那么23103(+73)(3)333x x x ---=．整理，得x 2－13x ＋24＝0．解得13732x ±=．所以点M 的横坐标为13732x +=．（3）如图2，如图3，由于∠ADC ＝30°，当CM ⊥AD 时，∠OCN ＝30°．所以ON ＝33OC ＝1，N (1, 0)．所以直线CN 为33y x =-．如图4，过点P 作x 轴的垂线，垂足为K ，PK 交MN 于E ，过点M 作y 轴的垂线交PK 于F ． 所以S △PMN ＝S △PME ＋S △PNE ＝1()2PE MF NK +．因为MF ＋NK 为定值，因此当PE 最大时，△PMN 的面积最大．设P 23103(,+73)33m m m -，E (,33)m m -，那么PE ＝23103(33)(+73)33m m m ---＝231338333m m -+- ＝23137333212m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭． 所以当132m =时，PE 取得最大值，△PMN 面积最大．此时P 1373(,)212-．图4 图5考点伸展第（3）题也可以这样思考：如图5，由于MN 是定值，因此点P 到MN 的距离最大时，△PMN 的面积也最大． 过点P 作MN 的平行线，当这条直线与抛物线y 2只有一个交点时，两条平行线间的距离最大，也就是说方程组233(1021)3y x b y x x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，只有一组解，即∆＝0．解得132x =．。

图形运动中的函数关系问题1.培养学生动态思维能力；2.培养学生学会从动态图形中寻找因果关系；3.培养学生分析问题、解决问题的能力。

知识结构【备注】：此部分知识点梳理，根据下列图表引导学生总结“建立函数关系的方法”和“函数关系常见题型”，建议时间在5分钟左右。

一．建立函数关系式方法：二．动点产生的函数关系常见题型：例1.如图，已知在△ABC 中，AB =4，BC =2，以点B 为圆心，线段BC 长为半径的弧交边AC 于点D ，且∠DBC =∠BAC ，P 是边BC 延长线上一点，过点P 作PQ ⊥BP ，交线段BD 的延长线于点Q 。

设CP x =，DQ y =。

（★★★★★）（1）求CD 的长；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域。

【参考教法】：可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题。

一.寻找题目中的已知量和特殊条件：1.哪些的边长度已知？ 提示：AB =4，BC =2。

2.哪些边有特殊关系？ 提示：BD BC =、PQ ⊥BP 。

3.哪些角有特殊关系？ 提示：∠DBC =∠BAC 。

4.有没有特殊图形？ 提示：∠DBC =∠BAC 形成相似基本型。

二．求解边CD 的大小，怎么求解？你求解看看。

提示：用相似可直接求解。

二．求解函数关系式：1.寻找一下x 和y 分别表示什么？ 提示：CP x =，DQ y =，都表示线段的长度。

2.x 和y 是否存在直接关系？ 提示：从图中观察不能找到直接关系，一次需要添加辅助线构造基本图形，因此引导学生添加辅助线。

3.如果需要添加辅助线，那怎么添加比较好？ 提示：分别过点A 、D 作BC 垂线，构造相似基本图形。

4.怎么求解？ 提示：利用相似基本型产生的比利式求解5.别忘记求解定义域。

（让学生计算看看）6.通过本题的解答，有什么体会吗？让学生说说看。

7.添加辅助线构造相似基本图形，是解答本题的关键。

【满分解答】（1）∵∠DBC =∠BAC ，∠BCD =∠ACB ，∴△BDC ∽△ABC ．∴ABBCBD CD =． ∵4=AB ，2==BD BC ，∴1=CD ． （2）∵BC =BD ，∴∠BCD =∠BDC ．∵∠DBC =∠BAC ，∠BCD =∠ACB ，∴∠ABC =∠BDC ． ∴∠ABC =∠ACB ． ∴AC =AB =4．作AH ⊥BC ，垂足为点H ． ∴BH =CH =1．作DE ⊥BC ，垂足为点E ，可得DE ∥AH ．∴CACDCH CE =，即411=CE ． ∴41=CE ，47=BE ．又∵DE ∥PQ ，∴BEEPBD DQ =，即47412+=x y ．整理，得7278+=x y 。