第二章_圆锥曲线与方程_导学案

高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》2.2抛物线习题导学案北师大版选修1-1学习目标:1.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．2.从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力重点、难点：理解并掌握抛物线的几何性质；能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质。

练习反馈 一、选择题1.已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是 ( ) A.x 2=-28yB.y 2=-28yC.y 2=28xD.x 2=28x 2．若是定直线 外的一定点，则过与 相切圆的圆心轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线 3．抛物线2(0)x ay a =≠的焦点坐标为（ ） A ．1(,0)a B ．1(,0)2a C ．1(,0)4a D ．0a > 时为1(,0)4a ，0a < 时为1(,0)4a- 4．若点到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）A ．216y x =- B ．232y x =- C ．216y x = D ．232y x = 5．抛物线20x y += 的焦点位于（ ）A ． 轴的负半轴上B ． 轴的正半轴上C ．轴的负半轴上 D ．轴的正半轴上6．与椭圆224520x y += 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）A ．24y x =B ．24y x =±C ．24x y =D ．24x y =± 7.抛物线y 2=ax (a ≠0)的准线方程是 ( )(A )4a x =-；(B)x =4a ；(C)||4a x =- ；(D)x =||4a10. 一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） A. (4，0) B. （2，0） C.（0，2） D. (0，－2)11. 已知F 为抛物线22y x =的焦点，定点Q （2，1）点P 在抛物线上，要使||PQ PF +的值最小，点P 的坐标为（ ）A. (0，0)B. 112⎛⎫⎪⎝⎭， C.()22， D. (2，2)12、抛物线y=ax 2的准线方程是y=2,则a 的值为（ ） A 、18 B 、18- C 、8 D 、-8 13、已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）614、抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A 、1716 B 、1516 C 、78D 、0 15、在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则P 的值为（ ） A 、12B 、1C 、2D 、418 设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A2pB pC p 2D 无法确定 19．已知直线y kx k =-及抛物线22y px =（0p >）则（ ）A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没公共点 20﹑与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程为（ ）A. 230x y -+=B. 230x y --=C. 210x y -+=D. 210x y --=21、过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ ）（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）422．过点（-3，2）的直线与抛物线24y x =只有一个公共点，求此直线方程。

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2抛物线的简单性质(二)学习目标 1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题.知识点直线与抛物线的位置关系思考1直线与抛物线有哪几种位置关系？答案三种：相离、相切、相交.思考2若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？答案不一定,当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点。

梳理直线与抛物线的位置关系与公共点个数.位置关系公共点个数相交有两个或一个公共点相切有且只有一个公共点相离无公共点直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p〉0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数。

当k≠0时,若Δ>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点;当Δ〈0时，直线与抛物线没有公共点。

当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点.类型一直线与抛物线的位置关系例1已知直线l：y＝k(x＋1）与抛物线C：y2＝4x,问：k为何值时,直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？解由方程组错误!消去y得k2x2＋（2k2－4)x＋k2＝0，Δ＝（2k2－4）2－4k4＝16(1－k2）。

（1)若直线与抛物线有两个交点，则k2≠0且Δ〉0,即k2≠0且16（1－k2)>0，解得k∈(－1,0)∪（0，1）。

所以当k∈（－1，0）∪（0,1)时，直线l和抛物线C有两个交点。

(2)若直线与抛物线有一个交点,则k2＝0或当k2≠0时，Δ＝0，解得k＝0或k＝±1.所以当k＝0或k＝±1时，直线l和抛物线C有一个交点.（3）若直线与抛物线无交点，则k2≠0且Δ〈0。

解得k〉1或k〈－1。

所以当k>1或k<－1时，直线l和抛物线C无交点。

反思与感悟直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况。

2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程学习目标：1.了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系.2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点)[自主预习·探新知]1．曲线的方程与方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．思考：(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明．(2)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？[提示](1)会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程y＝1－x2表示的曲线是半圆，而非整圆．(2)充要条件是f(x0，y0)＝0.2．求曲线方程的步骤[基础自测]1．思考辨析(1)若点P的坐标是方程f(x，y)＝0的解，则点P在方程f(x，y)＝0的曲线上．( )(2)单位圆上的点的坐标是方程x2＋y2＝1的解．( )(3)方程y ＝1x 与方程y ＝1x(x >0)是同一条曲线的方程．( )[答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上B [将点M 的坐标代入直线l ，曲线C 的方程知点M 在直线l 上，也在曲线C 上．] 3．到两坐标轴距离之和为4的点M 的轨迹方程为( )【导学号：46342051】A ．x ＋y ＝4B ．x －y ＝4C ．|x ＋y |＝4D ．|x |＋|y |＝4D [点M (x ，y )到两坐标轴的距离分别为|x |和|y |，故选D.][合 作 探 究·攻 重 难]题中正确的是 ( )A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C C ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上 (2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①过点A (2,0)平行于y 轴的直线与方程|x |＝2之间的关系； ②到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5之间的关系； ③第二、四象限角平分线上的点与方程x ＋y ＝0之间的关系． [解析] (1)根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A 、C 、D 错． [答案] (1)B(2)①过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x |＝2的解，但以方程|x |＝2的解为坐标的点不一定都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上．因此|x |＝2不是过点A (2,0)平行于y 轴的直线的方程．②到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.③第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0，反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.1．(1)已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么( )【导学号：46342052】A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0B ．凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上 C ．不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D ．不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0 C [根据曲线的方程的定义知，选C ．] (2)已知方程x 2＋(y －1)2＝10.①判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；②若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值． [解] ①因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．②因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以x ＝m2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.[探究问题]1．求曲线方程为什么要首先“建立适当的坐标系”？如何建系？提示：只有建立了平面直角坐标系，才能用坐标表示点，才能把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹．建立坐标系时，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．2．在求出曲线方程后，为什么要说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上？提示：根据条件求出的方程，只满足“曲线上的点的坐标都是方程的解”，而没说明“以方程的解为坐标的点都在曲线上”，故应说明．在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：46342053】[思路探究]以线段AB的中点为原点，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，法一(直接法)：利用|AC|2＋|BC|2＝|AB|2求解．法二(定义法)：顶点C在以AB为直径的圆上．[解] 法一(直接法)：取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y)．由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．法二(定义法)：建立平面直角坐标系同法一因为AC⊥BC，则顶点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A，B两点)，因此顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)母题探究：1.(变条件)若本例题改为“一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍．求动点P的轨迹方程．如何求解？”[解] 设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.则|8－x|＝2(x－2)2＋(y－0)2，化简，得3x2＋4y2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48.2．(变条件)若本例题改为“已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．”如何求解？[解] 如图，设OQ 为过O 点的一条弦，P (x ，y )为其中点，则CP ⊥OQ ，设M 为OC 的中点，则M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.∵∠OPC ＝90°，∴动点P 在以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上， 由圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14(0<x ≤1)．m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程．[解] 设点Q 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x 0，y 0)，则点N 的坐标为(0，y 0)． 因为OQ →＝OM →＋ON →，即(x ，y )＝(x 0，y 0)＋(0，y 0)＝(x 0,2y 0)， 则x 0＝x ，y 0＝y2.又点M 在圆C 上，所以x 20＋y 20＝4，即x 2＋y 24＝4.所以，动点Q 的轨迹方程是x 24＋y 216＝1.2．已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．[解] 设△ABC 的重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)，由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋0＋x 13，y ＝0－2＋y 13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2.代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1. ∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程．[当 堂 达 标·固 双 基]1．若点M (m ，m )在曲线x －y 2＝0上，则m 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1或0 D ．0或1 D [由题意知m －m 2＝0，解得m ＝0或m ＝1，故选D.] 2．在直角坐标系中，方程|x |·y ＝1的曲线是( )【导学号：46342054】C [当x ＞0时，方程为xy ＝1， ∴y ＞0，故在第一象限有一支图象； 当x ＜0时，方程为－xy ＝1， ∴y ＞0，故在第二象限有一支图象．]3．已知等腰三角形ABC 底边两端点是A (－3，0)，B (3，0)，顶点C 的轨迹是( ) A ．一条直线 B ．一条直线去掉一点 C ．一个点D ．两个点B [由题意知|AC |＝|BC |，则顶点C 的轨迹是线段AB 的垂直平分线(除去线段AB 的中点)，故选B.]4．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________．x 2＋y 2＝8 [设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.]5．动点M 与距离为2a 的两个定点A ，B 的连线的斜率之积等于－12，求动点M 的轨迹方程.【导学号：46342055】[解] 如图，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (－a,0)，B (a,0)．设M (x ，y )为轨迹上任意一点，则k MA ＝yx ＋a，k MB ＝yx －a(x ≠±a )．∵k MA ·k MB ＝－12，∴y x ＋a ·yx －a ＝－12，化简得：x 2＋2y 2＝a 2(x ≠±a )．∴点M 的轨迹方程为x 2＋2y 2＝a 2(x ≠±a )．。

江苏省响水中学高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》圆锥曲线的共同性质（一）导学案 苏教版选修1-1学习目标：1. 掌握椭圆、双曲线的第二定义以及准线的概念2. 类比抛物线的定义引出椭圆和双曲线的第二定义，借助几何画板 等多媒体手段探究出轨迹的形成，进一步推导出椭圆和双曲线的 方程。

3.培养学生类比推理的能力,探究能力，激发学习兴趣。

教学重点：圆锥曲线的统一定义的形成 教学难点：圆锥曲线方程的推导 课前预习：1.抛物线的定义：2.思考:1≠d PF呢3.圆锥曲线的统一定义:平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是 (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率,定点F 叫做圆锥曲线的焦点,定直线l 就是该圆锥曲线的准线.4. (1) 上述定义中只给出了一个焦点，一条准线，还有另一焦点，是否还有另一准线？ (2) 另一焦点的坐标和准线的方程是什么？ 课堂探究：1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2:=的距离的比是常数 c a (a>c>0),求P 的轨迹.变题:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2:=的距离的比是常数 c a (c>a>0),求P 点的轨迹.２.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:22(1)1259x y22(2) 416x y 22(3)1259x y22(4) 416y x2(5) 16y x2(6) 16x y课堂检测：1.椭圆22|348|(2)(2)25x yx y++-+-=的离心率为2、椭圆长轴长为10,短轴长为8,则椭圆上点到椭圆中心距离的取值范围是3、P是椭圆22143x y+=上点,F1、F2是两焦点,则PF1·PF2的最大值是教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

【2019最新】高中数学第二章圆锥曲线与方程2-2-2双曲线的几何性质课堂导学案 双曲线的几何性质课堂导学三点剖析一、双曲线的渐近线【例1】 求双曲线16x 2-9y 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程.解析：把方程16x 2-9y 2=-144化为标准方程222234x y -=1. 因此可知，实半轴长a =4,虚半轴长b =3;c =22b a +=5,焦点坐标为(0，-5)，(0，5)；离心率e =45=a c ; 顶点坐标为(0，-4)，(0，4)； 渐近线方程为y =±34x . 温馨提示 双曲线2222b y a x -=1(a ＞0,b ＞0)的渐近线为y =±ab x ,双曲线2222b x a y -=1的渐近线为x =±a b y ，即y =±ba x ,应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点. 二、双曲线的离心率【例2】 双曲线2222by a x -=1(a ＞1,b ＞0)的焦距为2c ,直线l 过点(a ,0)和(0,b ),且点(1，0)到直线l 的距离与点(-1，0)到直线l 的距离之和s ≥54c .求双曲线的离心率e 的取值范围.解：直线l 的方程为by a x +=1,即bx +ay -ab =0. 由点到直线的距离公式，且a ＞1,得到点(1，0)到直线l 的距离d 1=22)1(b a a b +-.同理得到点(-1，0)到直线l 的距离： d 2=22)1(b a a b ++,s =d 1+d 2=cab b a ab2222=+. 由s ≥５４c ,得,542c c ab ≥即5a 22a c -≥2c 2.于是得512-e ≥2e 2, 即4e 4-25e 2+25≤0. 解不等式，得45≤e 2≤5. 由于e ＞1＞0, 所以e 的取值范围是25≤e ≤5. 温馨提示本题通过构造法来求离心率的取值范围，考查了不等式的数学思想，点到直线的距离公式，双曲线的基本性质，以及综合运算能力.三、直线与双曲线的位置关系【例3】 已知直线y =ax +1与双曲线3x 2-y 2=1交于A 、B 两点(1)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；(2)是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y =21x 对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由. 解析：(1)由⎩⎨⎧=-+=13,122y x ax y 消去y ，得 (3-a 2)x 2-2ax -2=0. ①依题意⎩⎨⎧>∆≠-,0,032a即-6＜a ＜6且a ≠±3.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=+④③ .32 ,32221221a x x a a x x ∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB .∴x 1x 2+y 1y 2=0.但y 1y 2=a 2x 1x 2+a (x 1+x 2)+1,由③④，x 1+x 2=232aa -,x 1x 2=232a --. ∴(a 2+1)·232a --+a ·232a a -+1=0. 解得a =±1且满足②.(2)假设存在实数a ，使A 、B 关于y =21x 对称，则直线y =ax +1与y =21x 垂直，∴a ·21=-1，即a =-2. 直线l 的方程为y =-2x +1.将a =-2代入③得x 1+x 2=4.∴AB 中点横坐标为2，纵坐标为y =-2×2+1=-3.但AB 中点(2，-3)不在直线y =21x 上, 即不存在实数a ，使A 、B 关于直线y =21x 对称.各个击破类题演练1求满足下列条件的双曲线方程(1)以2x ±3y =0为渐近线，且经过点(1，2)；(2)与椭圆x 2+5y 2=5共焦点且一条渐近线方程为y -3x =0.解：(1)设所求双曲线方程为4x 2-9y 2=λ,点(1，2)在双曲线上,点的坐标代入方程可得λ=-32, ∴所求双曲线方程为4x 2-9y 2=-32,即.1832922=-x y (2)由已知得椭圆x 2+5y 2=5的焦点为(±2，0)，又双曲线的一条渐近线方程为y -3x =0,则另一条渐近线方程为y +3x =0.设所求双曲线方程为3x 2-y 2=λ(λ＞0),则a 2=3λ,b 2=λ. ∴c 2=a 2+b 2=34λ=4,即λ=3, 故所求的双曲线方程为x 2-32y =1.变式提升1设P 是双曲线9222y ax -=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x -2y =0,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若｜PF 1｜=3，则｜PF 2｜=( )A.1或5B.6C.7D.9解：由双曲线方程19222=-y a x ,得b =3.∵渐近线方程为y =±ab x ,已知其渐近线方程为3x -2y =0,即y =23x ∴23=a b ∴a =2.由双曲线定义｜｜PF 1｜-｜PF 2｜｜=2a ∵｜PF 1｜=3∴｜PF 2｜=7或｜PF 2｜=-1(舍)∴｜PF 2｜=7，故正确答案为C.类题演练2 已知双曲线2222y a x -=1(a ＞2)的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C.362 D.332 解析：双曲线2222y ax -=1(a ＞2). ∴渐近线斜率分别为k 1=a2,k 2=-a 2. ∴tan ,2.|2122|3π2a t aa =-设 ∴3t 2+2t -3=0.解之，得t =33或-3(舍去). ∴a =6.∴e =.33222=+=a a a c 答案：D变式提升2 已知双曲线2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且｜PF 1｜=4｜PF 2｜，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A.34 B.35C.2D.37 解：由双曲线的第二定义可得｜PF 1｜=e (x 0+ca 2)=ex 0+a , ｜PF 2｜=e (x 0-ca 2)=ex 0-a ∵｜PF 1｜=4｜PF 2｜ ∴ex 0+a =4(ex 0-a ) 解得e =0·35x a ∵x 0≥a ＞0 ∴当且仅当x 0=a 时，e 取最大值35.故正确答案为B.类题演练3已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为2且过点(4，-10).(1)求双曲线的标准方程；(2)直线x =3与双曲线交于M 、N 两点，求证：F 1M ⊥F 2M . (1)解：由双曲线的离心率为2，即222,2ab a ac +=则=2, ∴a =b ,即双曲线为等轴双曲线.可设其方程为x 2-y 2=λ(λ≠0).由于双曲线过点(4，-10).则42-(-10)2=λ. ∴λ=6.∴双曲线方程为.16622=-y x (2)证明：由(1)可得F 1、F 2的坐标分别为(-23，0)、(23，0)，M 、N 的坐标分别为(3，3)、(3，-3).∴k F 1M =.3233,32332-=+M F k 故k F 1M ·k F 2M =.13233·3233-=-+ ∴F 1M ⊥F 2M .变式提升3已知直线y =kx -1与双曲线x 2-y 2=1的左支交于A 、B 两点，若另一条直线l 过点P (-2，0)及线段AB 的中点Q ，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围.解析：由方程,1122⎩⎨⎧=--=y x kx y 消去y ,整理得 (1-k 2)x 2+2kx -2=0.由题设得120120120)1(8401222222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=<--=+>-+=∆≠-k k x x k kx x k k k 解得： 设A 、B 两点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2) 则).11,1(121222221221--∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+k k k Q k y y k k x x ∴直线l 的方程为y =),2(2212+-+x k k 令x =0,得直线l 在y 轴上截距b =.2222-+k k ∵-2＜k ＜-1,∴截距b 的取值范围是：(-∞,-2)∪(2+2,+∞).。

2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1 曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下列命题正确的是( )A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2 求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】 (1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x |＝2的解，但以方程|x |＝2的解为坐标的点不一定都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上.因此|x |＝2不是过点A (2,0)平行于y 轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x ＋y ＝0，反之，以方程x ＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值.【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以x ＝m2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.(1)(x ＋y －1)x －1＝0； (2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0； (3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？ (3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？ 【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1. (2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0. ∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.从而方程表示的图形是一个点(1，－1). (3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于x －y ＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以(x＋a2＋y2)2＋(x－a2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋y－2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( )A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是( )【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1， ∴y ＞0，故在第一象限有一支图象； 当x ＜0时，方程为－xy ＝1， ∴y ＞0，故在第二象限有一支图象. 【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________. 【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程. 【解】 法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上.由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。

第二章圆锥曲线与方程一、授课课题：§2.1 椭圆二、教学目标（三维目标）：1、知识与技能：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程与化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．2、过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

3、情感、态度与价值观:通过运用椭圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

三、教学重点:椭圆的标准方程四、教学难点:会根据不同的已知条件，利用待定系数法求椭圆的标准方程。

五、教学方法：尝试，探究六、教学手段(教学用具)：课件七、课时安排:一课时八、学情分析：导学生用其他方法来解．另解：设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，因点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，则22222591104464a a b b a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩． 例2 如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？分析：点P 在圆224x y +=上运动，由点P 移动引起点M 的运动，则称点M 是点P 的伴随点，因点M 为线段PD 的中点，则点M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点M 的轨迹方程．引申：设定点()6,2A ，P 是椭圆221259x y +=上动点，求线段AP 中点M的轨迹方程．解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设(),M x y ，()11,P x y ；②（点与伴随点的关系）∵M 为线段AP 的中点，∴112622x x y y =-⎧⎨=-⎩；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵22111259x y +=，∴点M 的轨迹方程为()()223112594x y --+=；④伴随轨迹表示的范围． 例3如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则直线AM ，BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示，由于直线AM ，BM 的斜率之积是49-，因此，可以求出,x y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程．解法剖析：设点(),M x y ，则()55AM y k x x =≠-+，()55BM yk x x =≠-；代入点M 的集合有4559y y x x ⨯=-+-，化简即可得点M 的轨迹方程． 引申：如图，设△ABC 的两个顶点(),0A a -，(),0B a ，顶点C 在移动，且AC BC k k k ⨯=，且0k <，试求动点C 的轨迹方程． 引申目的有两点：①让学生明白题目涉与问题的一般情形；②当k 值在变化时，线段AB 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．三.随堂练习第45页1、2、3、4、四.课堂小结1．椭圆的定义，应注意什么问题？ 2．求椭圆的标准方程，应注意什么问题五.板书设计：六.布置作业七.教学反思（手写）一、授课课题：§2.1.2椭圆的几何性质 二、教学目标（三维目标）：1、知识与技能：(1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;(2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图; (3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备 2、过程与方法: 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力 3、情感、态度与价值观: 培养他们的辨析能力以与培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．三、教学重点: 椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图 四、教学难点: 椭圆离心率的概念的理解.五、教学方法：尝试，探究六、教学手段(教学用具)：课件 七、课时安排:一课时 八、学情分析：一.课题导入复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程.二.讲授新课（一）通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.[在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x 轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.]已知椭圆的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x1.范围[我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围，就是研究椭圆在哪个区域里，只要讨论方程中x ，y 的范围就知道了.] 问题1 方程中x 、y 的取值范围是什么?由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标()都适合不等式22a x ≤1, 22by ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2 所以 ≤a ， ≤b即 －a ≤x ≤a, －b ≤y ≤b这说明椭圆位于直线x ＝±a, y ＝±b 所围成的矩形里。

§2.1.1 曲线与方程（1）1．理解曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程．3436，找出疑惑之处）复习1：画出函数22y x=(12)x-≤≤的图象．复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．二、新课导学※学习探究探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．问题：能否写成y x=，为什么？新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C与一个二元方程(,)0F x y=之间，如果具有以下两个关系：1．曲线C上的点的坐标，都是的解；2．以方程(,)0F x y=的解为坐标的点，都是的点，那么，方程(,)0F x y=叫做这条曲线C的方程；曲线C叫做这个方程(,)0F x y=的曲线．注意：1︒如果……，那么……；2︒“点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；4︒曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试：1．点(1,)P a在曲线2250x xy y+-=上，则a=___ ．2．曲线220x xy by+-=上有点(1,2)Q，则b= ．新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．※典型例题例 1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k>的点的轨迹方程式是xy k=±．变式：到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y-=吗？例2设,A B两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A，(2,0)B-，(2,0)C．中线AO（O为原点）所在直线的方程是0x=吗？为什么？反思：BC边的中线的方程是0x=吗？小结：求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y表示曲线上的任意一点的坐标；②写出适合条件P的点M的集合{|()}P M p M=；③用坐标表示条件P，列出方程(,)0f x y=；④将方程(,)0f x y=化为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．※动手试试练1．下列方程的曲线分别是什么？(1)2xyx=(2)222xyx x-=-(3) log a xy a=练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？三、总结提升※学习小结1．曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程的步骤：①建系，设点；②写出点的集合；③列出方程；④化简方程；⑤验证．※知识拓展求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 与曲线y x=相同的曲线方程是（）．A．2xyx=B．y=C．y=D．2log2xy=2．直角坐标系中，已知两点(3,1)A，(1,3)B-，若点C满足OCu u u r=αOAu u u r+βOBu u u r，其中α，β∈R，α+β=1，则点C的轨迹为( ) ．A．射线B．直线C．圆D．线段3．(1,0)A，(0,1)B，线段AB的方程是（）．A．10x y-+=B．10x y-+=(01)x≤≤C．10x y+-=D．10x y-+=(01)x≤≤4．已知方程222ax by+=的曲线经过点5(0,)3A和点(1,1)B，则a= ，b= ．5．已知两定点(1,0)A-，(2,0)B，动点p满足12PAPB=，则点p的轨迹方程是．1．点(1,2)A-，(2,3)B-，(3,10)C是否在方程2210x xy y-++=表示的曲线上？为什么？2 求和点(0,0)O，(,0)A c距离的平方差为常数c的点的轨迹方程．§2.1.2 曲线与方程（2）1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．3637，找出疑惑之处）复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?二、新课导学 ※ 学习探究 引入：圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程．问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．※ 典型例题例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．变式：现有一曲线在x 轴的下方，曲线上的每一点到x 轴的距离减去这点到点(0,2)A ，的距离的差是2，求曲线的方程．小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是 ；点(,)P a b 到y 轴的距离是 ； 点(1,)P b 到直线10x y +-=的距离是 ．例2已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．※动手试试练1．有一曲线,曲线上的每一点到x轴的距离等于这点到直线10x y+-=的距离的2倍，试求曲线的方程．练2. 曲线上的任意一点到(3,0)A-,(3,0)B两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程．三、总结提升※学习小结1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．※知识拓展圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线．01e<<：椭圆；1e=：抛物线；1e>：双曲线．※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．方程[]2(3412)log(2)30x y x y--+-=的曲线经过点(0,3)A-，(0,4)B，(4,0)C，57(,)34D-中的（）.A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知(1,0)A，(1,0)B-，动点满足2MA MB-=,则点M的轨迹方程是（）. A．0(11)y x=-≤≤B．0(1)y x=≥C．0(1)y x=≤-D．0(1)y x=≥3．曲线y=与曲线0y x+=的交点个数一定是（）．A．0个B．2个C．4个D．3个4．若定点(1,2)A与动点(,)P x y满足4OP OA•=vv,则点P的轨迹方程是．5．由方程111x y-+-=确定的曲线所围成的图形的面积是．1．以O为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？2．已知点C的坐标是(2,2)，过点C的直线CA与x 轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B．设点M是线段AB的中点，求点M 的轨迹方程．§2.2.1椭圆及其标准方程(1)1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程．3840，文P 32~ P 34找出疑惑之处） 复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ． 复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．二、新课导学※ 学习探究取一条定长的细绳， 把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．试试： 已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数2a F F >．新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b +=>> 其中222b a c =-若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ． ※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,ac =y 轴上； ⑶10,a b c +==．变式：方程214x ym +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．※ 动手试试练 1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）． A ． B ．6C ．D ．12练2 ．方程219x ym-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．三、总结提升 ※ 学习小结 1. 椭圆的定义： 2. 椭圆的标准方程：※ 知识拓展1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）． A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）． A ．椭圆 B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹 2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）． A ．(0,)+∞ B ．(0,2) C ．(1,)+∞ D ．(0,1)3．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）． A ．4 B ．14 C ．12 D ．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程 是．5．如果点(,)M x y 在运动过程中，总满足关系式10=，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ．1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -；⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=．2. 椭圆2214x y n+=的焦距为2，求n 的值．§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)1．掌握点的轨迹的求法；2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．4142，文P 34~ P 36找出疑惑之处）复习1：椭圆上221259x y+=一点P 到椭圆的左焦点1F 的距离为3，则P 到椭圆右焦点2F 的距离 是 ．复习2：在椭圆的标准方程中,6a =,b =则椭圆的标准方程是 ．二、新课导学 ※ 学习探究问题：圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在 圆 上．※ 典型例题例1在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式： 若点M 在DP 的延长线上，且32DM DP =，小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程 ．变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？※ 动手试试 练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x=的距离之比练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．三、总结提升 ※ 学习小结1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程．※ 知识拓展椭圆的第二定义：到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹． 定点F 是椭圆的焦点； 定直线l 是椭圆的准线； 常数e 是椭圆的离心率．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 22αα曲线是椭圆，则α在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）．A ．221259x y +=B ．221259y x += (0)y ≠C ．221169x y +=(0)y ≠D ．221259x y +=(0)y ≠3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件124(0)PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（ ）．A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 ． 5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是 ．1．已知三角形ABC V 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程． 2．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；程研究它的性质，画图．4346，文P37~ P40找出疑惑之处）复习1：椭圆2211612x y+=上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．复习2：方程2215x ym+=表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．二、新课导学※学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x ya b+=(0)a b>>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记cea=，且01e<<．试试：椭圆221169y x+=的几何性质呢？图形：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：cea== ．反思：ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？※典型例题例1 求椭圆221625400x y+=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y+=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c；②注意焦点所在坐标轴．例 2 点(,)M x y与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4l x=的距离的比是常数45，求点M的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆 ．※ 动手试试练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，6a =，13e =；⑵焦点在y 轴上，3c =，35e =；⑶经过点(3,0)P -，(0,2)Q -；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．三、总结提升 ※ 学习小结1 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率．※ 知识拓展（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮球与地面※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．若椭圆2215x y m+=的离心率e =则m的值是（ ）．A．3 B ．3或253C D 2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F ，2(3,0)F ，则其离心率为（ ）．A ．34 B．23 C ．12 D ．143．短轴长为，离心率23e =的椭圆两焦点为12,F F ，过1F 作直线交椭圆于,A B 两点，则2ABF ∆的周长为（ ）．A ．3B ．6C ．12D ．244．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，且以点P 及焦点12,F F 为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标是 ．5．某椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ；⑵22936x y +=与221610x y += ．2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴经过点(P -，Q ；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P ； ⑶焦距是8，离心率等于0.8．§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；2．椭圆与直线的关系．一、课前准备（预习教材理P 46~ P 48，文P 40~ P 41找出疑惑之处）复习1： 椭圆2211612x y +=的焦点坐标是（ ）（ ） ；长轴长 、短轴长 ；离心率 ．复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？二、新课导学 ※ 学习探究问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？反思：点与椭圆的位置如何判定？※ 典型例题例 1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．变式：若图形的开口向上，则方程是什么？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴．（理）例2 已知椭圆221259x y +=，直线l ：45400x y -+=。

2.2.2抛物线的简单性质（一）学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质。

2。

会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题。

知识点一抛物线的简单性质思考1类比椭圆、双曲线的简单性质,结合图像，你能说出抛物线y2＝2px（p〉0)中x的范围、对称性、顶点坐标吗？答案范围x≥0,关于x轴对称,顶点坐标(0,0)。

思考2参数p对抛物线开口大小有何影响?答案因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦的长度是2p，所以p越大，开口越大。

梳理标准方程y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p〉0）x2＝2py（p〉0）x2＝－2py(p〉0）图形性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点(0，0)离心率e＝1知识点二焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A（x1，y1），B(x2，y2），则y2＝2px(p>0）｜AB｜＝x1＋x2＋py2＝－2px （p〉0)|AB｜＝p－(x1＋x2）x2＝2py(p>0)｜AB｜＝y1＋y2＋px2＝－2py(p>0)｜AB|＝p－（y1＋y2)类型一抛物线简单性质的应用例1已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.解由题意，设抛物线方程为y2＝2mx（m≠0），焦点F（错误!，0）。

直线l：x＝错误!，所以A，B两点坐标为（m2,m)，(错误!，－m)，所以|AB｜＝2|m|.因为△OAB的面积为4,所以错误!·|错误!|·2|m｜＝4，所以m＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y2＝±4错误!x.引申探究等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px（p〉0),O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是__________________________________________________________ _.答案4p2解析因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°。

2.1 曲线与方程 曲线与方程 [提出问题] 在平面直角坐标系中： 问题1：直线x＝5上的点到y轴的距离都等于5，对吗？ 提示：对． 问题2：到y轴的距离都等于5的点都在直线x＝5上，对吗？ 提示：不对，还可能在直线x＝－5上． 问题3：到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么？ 提示：直线x＝±5. [导入新知] 曲线的方程、方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： ①曲线上点的坐标都是这个方程的解； ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． [化解疑难] “纯粹性”与“完备性” (1)定义中的关系①说明曲线上任何点的坐标都满足方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无例外，这是轨迹的“纯粹性”． (2)定义中的关系②说明符合条件的所有点都在曲线上而无遗漏，这是轨迹的“完备性”.

[提出问题] 在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(－2,0)． 问题1：平面上任一点P(x，y)到A点的距离是多少？ 提示：|PA|＝x－2＋y2. 问题2：平面上到A，B两点距离相等的点(x，y)满足的方程是什么？

求曲线的方程 提示： x－2＋y2＝x＋2＋y2. 问题3：到A，B两点距离相等的点的运动轨迹是什么？ 提示：轨迹是一条直线． [导入新知] 求曲线的方程的步骤

[化解疑难] 1．步骤(1)中“建立适当的坐标系”指坐标系建立的要恰当、合理．如定点作为原点，互相垂直的直线作为坐标轴等．合理地建立坐标系，能使运算更方便． 2．步骤(2)可以不必写出，也就是说可以根据等量关系列出方程，即(2)(3)步合并． 3．步骤(5)没有特殊情况可以省略不写．如有特殊情况，可以适当的说明，缺少的补上，多余的剔除.

曲线的方程与方程的曲线的概念 [例1] 分析下列曲线上的点与相应方程的关系： (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系； (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系； (3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系． [解] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程． (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5. (3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x ＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0. [类题通法] 这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则． [活学活用] 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( ) A．方程f(x，y)＝0的曲线是C B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C C．f(x，y)＝0是曲线C的方程 D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 解析：选B “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确. 曲线与方程的关系 [例2] 下列方程分别表示什么曲线： (1)(x＋y－1)x－1＝0； (2)4x2－y2＋6x－3y＝0. [解] (1)由方程(x＋y－1)x－1＝0，可得