p调和方程的Dirichlet问题

第３Ｏ卷第４期　
２０１６年１２月　

山西师范大学学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈａｎｘｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　
Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｅｉｅｎｅｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　
Ｖｏｉ．３Ｏ　Ｎｏ．４　

Ｄｅｃ．２０１６　

文章编号：１００９－４４９０（２０１６）０９－００２６－０３　
Ｐ调和方程的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ问题　

刘　娟　
（山西农业大学文理学院，山西太谷０３０８００）　

摘要：本文将用线性方程的理论来解决特殊非线性方程ｐ调和方程的Ｄｉｒｉｃｈｌｅ￡问题，并将其成立的区　
域推广到具有外锥条件的区域．　
关键词：Ｐ调和函数；有外锥条件的区域；Ｃｏｒｄｅｓ条件　
中图分类号：Ｏ１７４．２　文献标识码：Ａ　

１　相关概念　
定义ｌ　令　为Ｒ　中的区域，若存在函数ｕ∈　１，。ｐ（　），ｌ＜ｐ＜∞，对于Ｖ　∈ｃｏ。（　），有　ｕ　
（　ｕ，　叩）ｄｘ＝０，称Ｍ为Ｐ调和函数．　
由定义知，Ｐ调和函数为ｐ－Ｌａｐｌａｃｅ方程△　“＝ｄｉｖ（Ｉ　Ｖｕ　Ｉ　Ｖｕ）＝０的弱解．　
我们注意到　
△　＝ｄｉｖ（Ｉ　Ｖｕ　Ｉ　一　Ｖｕ）＝｛ｌ　Ｖｕ　Ｉ　ｐ－２△Ⅱ＋（Ｐ一２）Ｉ　Ｖｕ　Ｉ　ｐ－４　ＶｕＶｕＡ　

＝
Ｉ　一　｛・Ｖｕ　１　２　Ａｕ＋（ｐ－２）　ｎ　Ｏｕ　ｃ）ｕ　ｃ９２ｕ）　

＝
ｌ　Ｖｕ　｛Ｊ　Ｖｕ　ｆ　△　＋（ｐ一２）∑　ｕ　｝　
：
Ｉ　Ｍ｝　一　∑
．
｛Ｉ　“Ｉ　６　＋（ｐ一２）　ｑ，“　一　

当　ｕ：０时，有△。ｕ：０；　
当　ｕ≠０时．有　

令　（　）　
Ｖｕ　１　２＆ｑ＋（ｐ－２　＝　妻。　ｃｐ　）＝。　

：　
‘ｐ一２　嵩　ｕ刘
，
可知　
ｕ＝０　

；（　）＝　ｕ（　）　

ｒａｉｎ（１，Ｐ一１）ｌ　Ｉ　≤∑　；（　）　≤ｍａｘ（１，Ｐ一１）Ｉ　ｌ　
ｉ　＝ｌ　
ｕ（　）∈Ｌ　（　）　

令Ａ＝ｍａｘ（１，Ｐ一１），定义椭圆算子￡　，使得对任意　Ｅ　，有　

收稿日期：２０１６－０３．２９　
作者简介：刘娟（１９８８一），女，山西朔州人，山西农业大学文理学院教师，硕士，主要从事调和分析及应用方面的研究　

（２）　
（３）　
（４）　
第４期　刘娟：Ｐ调和方程的Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ问题　・２７・　
（　）：∑０；（　）　）　
则Ｌ　为具有有界可测系数的一致椭圆算子，根据文献［１］，Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ问题　
｛　：　㈣　
的可解性与椭圆方程系数　：（　）的性质有关，而这里　；（　）是有界不连续的，将其磨光，根据文献［１］知　
线性方程的理论同样适用．但是为了得到Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ问题的解的唯一性需假设算子Ｌ满足Ｃｏｒｄｅｓ条件．　
定义２　若对任意的　，都存在　∈（０，１］，使得下面式子成立　

。　
）　≤　（　））　
称算子　满足Ｃｏｒｄｅｓ条件．　
注：当１＜ｐ＜３＋　且ｎ≥３时，通过简单的计算知　ｕ满足Ｃｏｒｄｅｓ条件，且由文献［２］知，“∈　
（　）．　
２　引理　
引理１（强极大值原理）　如果Ｐ调和函数　在区域　内部达到极大值，则　在力上为常数．　
引理２［　设　为Ｒ　中的开集　∈Ｌ　（　），　∈　（　）ｎ￡（　）为方程Ｌｖ＝ｆ的解，则对于任意　
Ｃ　Ｃ　，有　
Ｊｎ∑　≤ｃ（　ｌ　Ｉ　＋ｆｏ　Ｉ　ｆｌ　）　
其中，Ｃ＝Ｃ（１７，，Ａ，　，　，　）．　
引理３　设厂∈Ｌ　（　，　∈　（Ｂ）ｎ　（Ｂ）为方程Ｌｖ＝ｆ￣ｆ（ｆ－，则　

∑　２竹≤ｃ（　，６）（上Ｉ　ｆｌ。）　

３　定理证明　
证明分为两步．　
第一步，通过磨光系数利用线性方程的理论证明存在性．将系数　（　）磨光并延拓到Ｒ　，选择一个非　

负函数　（　），满足　（　）∈　（　），　（　）ｄ　＝１．令　（　）＝古　（詈），定义　：（　）＝（　）（　），则　

（　）为光滑函数．当ｈ趋于０时，对于任意Ｐ，１＜Ｐ＜∞，　（　）在Ｌｆｏ　（　）的意义下趋于　（ｚ）．　
定义算子　

ｕ（　）＝∑　ｈ　（　）　（　）　
容易看出　满足　
ｍｉｎ（１，Ｐ一１）ｌ　Ｉ　≤∑　（　）　≤ｍａｘ（１，Ｐ一１）ｌ　ｌ　
且知道　系数光滑，由文献［１］中定理９．３０知Ｄｉｒｉｅｈｌｅｔ问题　
＝０　ｉｎ力　
／．ｔ＾（　）＝ｇ（　）　ｏｎ　００　
有解．由文献［１］中推论９．２４知　在　的紧集上为一致Ｈ￣ｌｄｅｒ连续，由极大值原理和文献［１］中定理９．　
Ｉ知ｌＩ　ｕ　ｌｌ　ｎ）≤ＩＩ　ｇ　ｆｌ　由引理３知，对于任意　ｃ　ｃ　可以推出Ｄ　ｕ　在　（力　）上一致有界．故　
当ｈ　趋于０时，在　的紧子集上可以找到一子列ｔｔ　
．
一

致收敛于　∈嘭（力）ｎ　Ｇ（　），使得对于任意　

ｃ　ｃ　，Ｄ　在　（　）意义下弱收敛于Ｄ　／／，．于是在　上有Ｌｕ＝０．　
・
２８・　山西师范大学学报（自然科学版）　２０１６钷　
接下来证明在０ｇ２上有　：ｇ．　
在性定理知，存在ｕ　ｉ　，Ｕ　，满足　
用Ｍ　，ｍ　来表示Ｐｕｃｃｉ最大值与最小　

ＭＡＵ　＝０　ｉｎ　
Ｍ＾ｕ　ｉ　＝０　ｉｎ　
“　：ｇ　ｉｎ　

由Ｐｕｃｃｉ算子的基本性质知，对任意　
ｕ　ｉ　ｇ　ｉｎ力　
∈　，有：　Ｉ　

ｍｉ　
（　）≤／Ｚ＾．（　）≤　ｍ　（　）　

值．由文献［１］中Ｐｕｃｃｉ方程的存　

当ｈ　趋于０时，有　
１Ａ，
ｍｉｎ

（　）≤ｕ（　）≤￣／＇ｍａｘ（　）　

这推出了Ｕ∈Ｃ（　），Ｕ＝ｇ　ｏｎ　０／２．　
第二步，证明唯一性，即证明当ｇ＝０时，Ｕ＝０即可．　
设Ｂ为一个球，满足Ｂ　ｃ　ｃ　ｎ由存在性定理的证明知，存在　∈　（　ｎ　ｃ（曰）使得　

．　

（６）　
（７）　
（８）　
（９）　

为正则解的近似解．由　∈　，　（Ｂ）和引理３知　一　Ｅ　’　（　，所以　：　．　
（反证法）若Ｍ不全为零，可以找到球Ｂ　ｃ　Ｂ　Ｃ　ｃ　，在Ｂ　中有ｕ（　）≤ｍａｘ｛ｕ（ｙ）：ｙ∈　｝＝Ｍｏ，　

在ＢＰ上有Ｍ（　）＜　．于是存在　。∈　

当ｏｌ充分大时，在Ｂ　＼　上有Ｌｗ（ｘ）　
Ｂ　＼Ｂ　，使得ｕ（　。）＝　．令　

（　）：ｅ　ｘ　一ｅ　
≥０．　
考虑　一　＋占　，由于在　上有Ｍ（　）＜Ｍｏ，故当ｈ充分小时，存在　＞０，在ＯＢ　上有　

ｕ＾一Ｍｏ＋　埘≤叼ｏ＜０　
其中，　在Ｂ　上趋于“．由极大值原理知，在Ｂ—Ｒ上有“　≤Ｍｏ，在ＯＢ　上有ｕ　一Ｍｏ＋ｏｏｗ≤叼，＜０・再由极　

大值原理知，在Ｂ　Ｂ—ｅ上有　

当ｈ　趋于０时，在　。处得到矛盾　Ｍ＾一Ｍｏ＋ｏｏＷ≤Ｉｎａｘ（＇７ｏ，叼】）＜０　，所以定理得证．　
参考文献：　
［１］Ｇｉｌｂａ　ｇ　Ｄ，Ｔｒｕｄｉｎｇｅｒ　Ｎ．Ｅｌｌｉｐｔｉ。ｐａｔｔｉａ１　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａ１　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｓｅｃｏｎｄ　０ｒｄｅｒ［Ｍ］・Ｇｅｒｍａｎｇ：ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２０Ｏ　Ｊ・　
【２］Ｍ８ｒｌｆｒｅｄｉ　Ｊ，Ｗｅｉｔｓｍａｎ　Ａ．Ｏｎ　ｔｈｅ　Ｆａｔ【ｌｕ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒｐ—Ｈａｒｍ。ｎｉｃ　ＦｕｎｅｔｉＯｉｌ…．Ｃｏｍｉｌｌｕｎｉ（　ａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　Ｐａｒｔｉａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ１　Ｅｑ“　ｉ。“　，１９８８，１３：６５１～　

６６８．　
［３］Ｐｅｔｅｒ　Ｌ．Ｎｏｔｅｓ　Ｏｉｌ　ｔｈ　Ｐ—Ｌａｐｌａｃｅ　ｅｑｕａｔｉ。ｎ［Ｒ］．ＵｎｉＶｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，２００６　

Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｐ　Ｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　
ＬＩＵ　Ｊｕａｎ　
（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ａｒｔｓ　ａｎｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｓｈａｎｘｉ　Ａｇｒｉｃｕｌ￣ｕｒａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔａｉｇｕ　０３０８００，Ｓｈａｎｘｉ，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ。ｗｅ　ｕｓｅ　ｔｈｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉ（ｍ　ｔｈｅｏｒＹ　ｔｏ　ｐｒｏｏｆ　ｔｈｅ　Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｐ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｅ　
ｑｕａｔｉ。ｎ，ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｉｎ　ｎ。ｎｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｆｆｏｎｓ．Ａｔ　ｔｈｅ　ｓ３￣ｌｅ　ｔｉｍｅ，ｔｈｉｓ　ｒｅｓｕｌｔ　ｅｘｔｅｎｄｓ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌ　ｄｏｒａａｉｎｓ　ｔ。ｔｈｅ　ｄ。一　

ｍａｉｎｓ　ｗｉｔｈ　ｅｘｔｅｒｉｏｒ　ｃｏｎｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．　
Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｐ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｄｏｍａｉｌＩＳ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｅｘｔｅｒｉｏｒ　ｃｏｎｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ；ｃｏｒｄｅｓ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ