定积分的元素法
一、问题的提出
回顾：曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成。
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间],[b a 分成n 个长度为i x ∆的小区间，相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为i A ∆，则∑=∆=
n i i A A 1 （2）计算i A ∆的近似值
（3） 求和，得A 的近似值
（4） 求极限，得A 的精确值
若用A ∆ 表示任一小区间],[x x x ∆+上的窄曲边梯形的面积，则∑∆=A A ，并取dx x f A )(≈∆，于是∑≈dx x f A )(
a
b i i i x f A ∆≈∆)(ξi i x ∆∈ξ.)(1i i n i x f A ∆≈∑=ξi i n i x f A ∆=∑=→)(lim 10ξλ⎰
=b a dx x f )(∑=dx x f A )(lim
.
)(⎰=b
a dx x f
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的量；
（2）U 对于区间[]b a ,具有可加性，就是说，如果把区间[]b a ,分成许多部分区间，则U 相应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之和；
（3）部分量i U ∆的近似值可表示为i i x f ∆)(ξ；就可以考虑用定积分来表达这个量U
元素法的一般步骤：
1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间],[b a
2）设想把区间],[b a 分成n 个小区间，取其中任一小区间并记为],[dx x x +，求出相应于这小区间的部分量U ∆的近似值.如果U ∆能近似地表示为],[b a 上的一个连续函数在x 处的值)(x f 与dx 的乘积，就把dx x f )(称为量U 的元素且记作dU ，即dx x f dU )(=；
3）以所求量U 的元素dx x f )(为被积表达式，在区间],[b a 上作定积分，得⎰=b
a dx x f U )(，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．
§6. 2 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积
1．直角坐标情形
设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为
dx x f x f S b
a ⎰-=)]()([下上.
类似地, 由左右两条曲线x =ϕ左(y )与x =ϕ右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图
形的面积为
⎰-=d
c dy y y S )]()([左右ϕϕ.
例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.
解 (1)画图.
(2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1].
(3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上.
(4)计算积分
31]3132[)(10323102=-=-=⎰x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积.
解 (1)画图.
(2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4].
(3)确定左右曲线: 4)( ,2
1)(2+==y y y y 右左ϕϕ. (4)计算积分
⎰--+=422)214(dy y y S 18]61421[42
32=-+=-y y y . 例3 求椭圆122
22=+b
y a x
所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ⎰=a
ydx S 04. 椭圆的参数方程为:
x =a cos t , y =b sin t ,
于是 ⎰=a ydx S 04⎰=0
2)cos (sin 4πt a td b
⎰-=022sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2π
dt t ab ππab ab =⋅=22.
2．极坐标情形
曲边扇形及曲边扇形的面积元素:
由曲线ρ=ϕ(θ)及射线θ =α, θ =β围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为 θθϕd dS 2)]([2
1=. 曲边扇形的面积为
⎰=βαθθϕd S 2)]([2
1. 例4. 计算阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)上相应于θ从0变到2π 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.
解: ⎰=πθθ202)(2
1d a S 32203234]31[21πθπa a ==. 例5. 计算心形线ρ=a (1+cos θ ) (a >0) 所围成的图形的面积.
解: ⎰+=πθθ02]cos 1([2
12d a S ⎰++=πθθθ02)2cos 21cos 221(d a πθθθπ2022
3]2sin 41sin 223[a a =++=.
二、体 积
1．旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴.
常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体.
旋转体都可以看作是由连续曲线y =f (x )、直线x =a 、a =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体.
设过区间[a , b ]内点x 且垂直于x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x ), 当平面左右平移dx 后, 体积的增量近似为∆V =π[f (x )]2dx , 于是体积元素为
dV = π[f (x )]2dx ,
旋转体的体积为
dx x f V b
a 2)]([π⎰=.
例1 连接坐标原点O 及点P (h , r )的直线、直线x =h 及x 轴围成一个直角三角形. 将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体. 计算这圆锥体的体积.
解: 直角三角形斜边的直线方程为x h
r y =. 所求圆锥体的体积为
dx x h r V h 20)(π⎰=h x h r 0322]3
1[π=231hr π=. 例2. 计算由椭圆12222=+b
y a x
所成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积. 解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 22x a a
b y -= 及x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体. 体积元素为
dV = π y 2dx ,
于是所求旋转椭球体的体积为
⎰--=a
a dx x a a
b V )(2222πa a x x a a b --=]31[3222π234ab π=. 例2 求星形线323232a y x =+)0(>a 绕x 轴旋转
构成旋转体的体积. 解：323232
x a y -=
