几何综合(五)(含答案)

重难点05 几何综合题【命题趋势】几何综合题是中考数学中的重点题型，也是难点所在．几何综合题的难度都比较大，所占分值也比较重，题目数量一般有两题左右，其中一题一般为三角型、四边形综合；另一题通常为圆的综合；它们在试卷中的位置一般都在试卷偏后的位置．只所以几何综合题难度大，学生一般都感觉难做，主要是因为这种类型问题的综合性较强，涉及的知识点或者说考点较多，再加上现在比较热门的动点问题、函数问题，这就导致了几何综合题的难度再次升级，因此这种题的区分度较大．所以我们一定要重视平时多培养自己的综合运用知识的能力，从不同的角度，运用不同的知识去解决同一个问题．【满分技巧】一．熟练掌握平面几何知识﹕要想解决好有关几何综合题，首先就是要熟练掌握关于平面几何的所有知识，尤其是要重点把握三角形、特殊四边形、圆及函数、三角函数相关知识．几何综合题重点考查的是关于三角形、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、圆等相关知识．二．掌握分析问题的基本方法﹕分析法、综合法、“两头堵”法﹕1．分析法是我们最常用的解决问题的方法，也就是从问题出发，执果索因，去寻找解决问题所需要的条件，依次向前推，直至已知条件；例如，我们要证明某两个三角形全等，先看看要证明全等，需要哪些条件，哪些条件已知了，还缺少哪些条件，然后再思考要证缺少的条件，又需要哪些条件，依次向前推，直到所有的条件都已知为止即可．2．综合法﹕即从已知条件出发经过推理得出结论，适合比较简单的问题；3．“两头堵”法﹕当我们用分析法分析到某个地方，不知道如何向下分析时，可以从已知条件出发看看能得到什么结论，把分析法与综合法结合起来运用是我们解决综合题最常用的办策略．三．注意运用数学思想方法﹕对于几何综合题的解决，我们还要注意运用数学思想方法，这样会大大帮助我们解决问题，或者简化我们解决问题的过程，加快我们解决问题的速度，毕竟考场上时间是非常宝贵的．常用数学思想方法﹕转化、类比、归纳等等．【限时检测】（建议用时：60分钟）1. (2019 湖南省郴州市)如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE 翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把△BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE△△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且△DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．【解析】（1）证明：由折叠的性质可知：△DAE＝△DA1E＝90°，△EBH＝△EB1H＝90°，△AED＝△A1ED，△BEH ＝△B1EH，△△DEA1+△HEB1＝90°．又△△HEB1+△EHB1＝90°，△△DEA1＝△EHB1，△△A1DE△△B1EH；（2）结论：△DEF是等边三角形；理由如下：△直线MN是矩形ABCD的对称轴，△点A1是EF的中点，即A1E＝A1F，在△A1DE和△A1DF中△△A1DE△△A1DF（SAS），△DE＝DF，△FDA1＝△EDA1，又△△ADE△△A1DE，△ADF＝90°．△△ADE＝△EDA1＝△FDA1＝30°，△△EDF＝60°，△△DEF是等边三角形；（3）DG，EG，FG的数量关系是DG2+GF2＝GE2，理由如下：由（2）可知△DEF是等边三角形；将△DGE逆时针旋转60°到△DG'F位置，如解图（1），△G'F＝GE，DG'＝DG，△GDG'＝60°，△△DGG'是等边三角形，△GG'＝DG，△DGG'＝60°，△△DGF＝150°，△△G'GF＝90°，△G'G2+GF2＝G'F2，△DG2+GF2＝GE2，2. (2019 江西省)在图1，2，3中，已知△ABCD，△ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE 为边向上作菱形AEFG，且△EAG＝120°．（1）如图1，当点E与点B重合时，△CEF＝°；（2）如图2，连接AF．△填空：△F AD△EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；△求证：点F在△ABC的平分线上；（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．【解析】（1）△四边形AEFG是菱形，△△AEF＝180°﹣△EAG＝60°，△△CEF＝△AEC﹣△AEF＝60°，故答案为：60°；（2）△△四边形ABCD是平行四边形，△△DAB＝180°﹣△ABC＝60°，△四边形AEFG是菱形，△EAG＝120°，△△F AE＝60°，△△F AD＝△EAB，故答案为：＝；△作FM△BC于M，FN△BA交BA的延长线于N，则△FNB＝△FMB＝90°，△△NFM＝60°，又△AFE＝60°，△△AFN＝△EFM，△EF＝EA，△F AE＝60°，△△AEF为等边三角形，△F A＝FE，在△AFN和△EFM中，，△△AFN△△EFM（AAS）△FN＝FM，又FM△BC，FN△BA，△点F在△ABC的平分线上；（3）△四边形AEFG是菱形，△EAG＝120°，△△AGF＝60°，△△FGE＝△AGE＝30°，△四边形AEGH为平行四边形，△GE△AH，△△GAH＝△AGE＝30°，△H＝△FGE＝30°，△△GAN＝90°，又△AGE＝30°，△GN＝2AN，△△DAB＝60°，△H＝30°，△△ADH＝30°，△AD＝AH＝GE，△四边形ABCD为平行四边形，△BC＝AD，△BC＝GE，△四边形ABEH为平行四边形，△HAE＝△EAB＝30°，△平行四边形ABEN为菱形，△AB＝AN＝NE，△GE＝3AB，△＝3．3. (2019 浙江省宁波市)如图1，△O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF△EC交AE于点F．（1）求证：BD＝BE．（2）当AF：EF＝3：2，AC＝6时，求AE的长．（3）设＝x，tan△DAE＝y．△求y关于x的函数表达式；△如图2，连结OF，OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值．【解析】证明：（1）△△ABC是等边三角形，△△BAC＝△C＝60°，△△DEB＝△BAC＝60°，△D＝△C＝60°，△△DEB＝△D，△BD＝BE；（2）如图1，过点A作AG△BC于点G，△△ABC是等边三角形，AC＝6，△BG＝，△在Rt△ABG中，AG＝BG＝3，△BF△EC，△BF△AG，△，△AF：EF＝3：2，△BE＝BG＝2，△EG＝BE+BG＝3+2＝5，在Rt△AEG中，AE＝；（3）△如图1，过点E作EH△AD于点H，△△EBD＝△ABC＝60°，△在Rt△BEH中，，△EH＝，BH＝，△，△BG＝xBE，△AB＝BC＝2BG＝2xBE，△AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝（2x+）BE，△在Rt△AHE中，tan△EAD＝，△y＝；△如图2，过点O作OM△BC于点M，设BE＝a，△，△CG＝BG＝xBE＝ax，△EC＝CG+BG+BE＝a+2ax，△EM＝EC＝a+ax，△BM＝EM﹣BE＝ax﹣a，△BF△AG，△△EBF△△EGA，△，△AG＝，△BF＝，△△OFB的面积＝，△△AEC 的面积＝，△△AEC 的面积是△OFB 的面积的10倍，△，△2x 2﹣7x +6＝0，解得：， △，探究问题4. (2019 辽宁省沈阳市)思维启迪：（1）如图1，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C ，连接BC ，取BC 的中点P （点P 可以直接到达A 点），利用工具过点C 作//CD AB 交AP 的延长线于点D ，此时测得200CD =米，那么A ，B 间的距离是 米．思维探索：（2）在ABC ∆和ADE ∆中，AC BC =，AE DE =，且AE AC <，90ACB AED ∠=∠=︒，将ADE ∆绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在AC 边上时ADE ∆的位置作为起始位置（此时点B 和点D 位于AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD ，点P 是线段BD 的中点，连接PC ，PE ．△如图2，当ADE ∆在起始位置时，猜想：PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是 ； △如图3，当90α=︒时，点D 落在AB 边上，请判断PC 与PE 的数量关系和位置关系，并证明你的结论； △当150α=︒时，若3BC =，DE l =，请直接写出2PC 的值．【解析】（1）解：//CD AB Q ，C B ∴∠=∠， 在ABP ∆和DCP ∆中，BP CPAPB DPC B C =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，()ABP DCP SAS ∴∆≅∆，DC AB ∴=． 200AB =Q 米． 200CD ∴=米，故答案为：200．（2）△PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC PE =，PC PE ⊥． 理由如下：如解图1，延长EP 交BC 于F ， 同（1）理，可知()FBP EDP SAS ∴∆≅∆，PF PE ∴=，BF DE =，又AC BC =Q ，AE DE =，FC EC ∴=，又90ACB ∠=︒Q ，EFC ∴∆是等腰直角三角形，EP FP =Q ，PC PE ∴=，PC PE ⊥．△PC 与PE 的数量关系和位置关系分别是PC PE =，PC PE ⊥．理由如下：如解图2，作//BF DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ， 同△理，可知()FBP EDP SAS ∆≅∆， BF DE ∴=，12PE PF EF ==，DE AE =Q ， BF AE ∴=，Q 当90α=︒时，90EAC ∠=︒，//ED AC ∴，//EA BC //FB AC Q ，90FBC ∠=， CBF CAE ∴∠=∠，在FBC ∆和EAC ∆中，BF AE CBE CAE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()FBC EAC SAS ∴∆≅∆，CF CE ∴=，FCB ECA ∠=∠， 90ACB ∠=︒Q ， 90FCE ∴∠=︒，FCE ∴∆是等腰直角三角形， EP FP =Q ，CP EP ∴⊥，12CP EP EF ==．△如解图2，作//BF DE ，交EP 延长线于点F ，连接CE 、CF ，过E 点作EH AC ⊥交CA 延长线于H 点， 当150α=︒时，由旋转旋转可知，150CAE ∠=︒，DE 与BC 所成夹角的锐角为30︒，150FBC EAC α∴∠=∠==︒，同△可得()FBP EDP SAS ∆≅∆，同△FCE ∆是等腰直角三角形，CP EP ⊥，CP EP ==， 在Rt AHE ∆中，30EAH ∠=︒，1AE DE ==，12HE ∴=，AH =，又3AC AB ==Q ，3AH ∴=，22210EC AH HE ∴=+=+2212PC EC ∴==．动点问题5. (2019 湖南省衡阳市)如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以lcm /s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE△AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在△ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．【解析】（1）△△ABC是等边三角形，△△B＝60°，△当BQ＝2BP时，△BPQ＝90°，△6+t＝2（6﹣t），△t＝3，△t＝3时，△BPQ是直角三角形．（2）存在．理由：如图1中，连接BF交AC于M．△BF平分△ABC，BA＝BC，△BF△AC，AM＝CM＝3cm，△EF△BQ，△△EFM＝△FBC＝△ABC＝30°，△EF＝2EM，△t＝2•（3﹣t），解得t＝3．（3）如图2中，作PK△BC交AC于K．△△ABC是等边三角形，△△B＝△A＝60°，△PK△BC，△△APK＝△B＝60°，△△A＝△APK＝△AKP＝60°，△△APK是等边三角形，△P A＝PK，△PE△AK，△AE＝EK，△AP＝CQ＝PK，△PKD＝△DCQ，△PDK＝△QDC，△△PKD△△QCD（AAS），△DK＝DC，△DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3（cm）．（4）如图3中，连接AM，AB′△BM＝CM＝3，AB＝AC，△AM△BC，△AM＝＝3，△AB′≥AM﹣MB′，△AB′≥3﹣3，△AB′的最小值为3﹣3．6. (2019 江苏省扬州市)如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，△G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ△AB．设PQ与AB之间的距离为x．（1）若a＝12．△如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为；△在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．【解析】（1）解：△P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，四边形AMQP的面积＝（12+20）x＝48，解得：x＝3；故答案为：3；△当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，△0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12+20）10＝160，当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，作PH△AB于M，交CD于N，作GE△CD于E，交AB于F，如图2所示：则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，△△GDC是等腰直角三角形，△DE＝CE，GE＝CD＝10，△GF＝GE+EF＝20，△GH＝20﹣x，由题意得：PQ△CD，△△GPQ△△GDC，△＝，即＝，解得：PQ＝40﹣2x，△梯形AMQP的面积＝（12+40﹣2x）×x＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，△当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；（2）解：P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝（a+40﹣2x）×x＝﹣x2+x，对称轴为：x＝10+，△0≤x≤20，△10≤10+≤15，对称轴在10和15之间，△10≤x≤20，二次函数图象开口向下，△当x＝20时，S最小，△﹣202+×20≥50，△a≥5；综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．7. (2019 山东省济宁市)如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且△DMN＝△DAM，设AM＝x，DN ＝y．△写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；△是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）如图1中，△四边形ABCD是矩形，△AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，△△B＝△BCD＝90°，由翻折可知：AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ABF中，BF＝＝6，△CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，在Rt△EFC中，则有：（8﹣x）2＝x2+42，△x＝3，△EC＝3．（2）△如图2中，△AD△CG，△＝，△＝，△CG＝6，△BG＝BC+CG＝16，在Rt△ABG中，AG＝＝8，在Rt△DCG中，DG＝＝10，△AD＝DG＝10，△△DAG＝△AGD，△△DMG＝△DMN+△NMG＝△DAM+△ADM，△DMN＝△DAM，△△ADM＝△NMG，△△ADM△△GMN，△＝，△＝，△y＝x2﹣x+10．当x＝4时，y有最小值，最小值＝2．△存在．有两种情形：如图3﹣1中，当MN＝MD时，△△MDN＝△GMD，△DMN＝△DGM，△△DMN△△DGM，△＝，△MN＝DM，△DG＝GM＝10，△x＝AM＝8﹣10．如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH△DG于H．△MN＝DN，△△MDN＝△DMN，△△DMN＝△DGM，△△MDG＝△MGD，△MD＝MG，△BH△DG，△DH＝GH＝5，由△GHM△△GBA，可得＝，△＝，△MG＝，△x＝AM＝8﹣＝．综上所述，满足条件的x的值为8﹣10或．8. (2019 山东省青岛市)已知：如图，在四边形ABCD中，AB△CD，△ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE△AB，交BC于点E，过点Q作QF△AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当t为何值时，点E在△BAC的平分线上？（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE△OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）在Rt△ABC中，△△ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，△AC＝＝6（cm），△OD垂直平分线段AC，△OC＝OA＝3（cm），△DOC＝90°，△CD△AB，△△BAC＝△DCO，△△DOC＝△ACB，△△DOC△△BCA，△＝＝，△＝＝，△CD＝5（cm），OD＝4（cm），△PB＝t，PE△AB，易知：PE＝t，BE＝t，当点E在△BAC的平分线上时，△EP△AB，EC△AC，△PE＝EC，△t＝8﹣t，△t＝4．△当t为4秒时，点E在△BAC的平分线上．（2）如图，连接OE，PC．S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）＝•（4﹣t）•3+[•3•（8﹣t）+•（8﹣t）•t﹣•3•（8﹣t）＝﹣t2+t+16（0＜t＜5）．（3）存在．△S＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜5），△t＝时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．（4）存在．如图，连接OQ．△OE△OQ，△△EOC+△QOC＝90°，△△QOC+△QOG＝90°，△△EOC＝△QOG，△tan△EOC＝tan△QOG，△＝，△＝，整理得：5t2﹣66t+160＝0，解得t＝或10（舍弃）△当t＝秒时，OE△OQ．9. (2019 四川省绵阳市) 如图，在以点O为中心的正方形ABCD中，AD=4，连接AC，动点E从点O出发沿O→C以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点C停止．在运动过程中，△ADE的外接圆交AB于点F，连接DF交AC于点G，连接EF，将△EFG沿EF翻折，得到△EFH．（1）求证：△DEF是等腰直角三角形；（2）当点H恰好落在线段BC上时，求EH的长；（3）设点E运动的时间为t秒，△EFG的面积为S，求S关于时间t的关系式．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠CAB=45°，∴∠FDE=∠CAB，∠DFE=∠DAC，∴∠FDE=∠DFE=45°，∴∠DEF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（2）设OE=t，连接OD，∴∠DOE=∠DAF=90°，∵∠OED=∠DFA，∴△DOE∽△DAF，∴OEAF=ODAD=22，∴AF=2t ，又∵∠AEF=∠ADG，∠EAF=∠DAG，∴△AEF∽△ADG，∴AEAD= AF AG，∴AG · AE=AD · AF=42t ，又∵AE=OA+OE=2 2 +t，∴AG=42t22+t，∴EG=AE-AG=t2+822+t，当点H恰好落在线段BC上∠DFH=∠DFE+∠HFE=45°+45°=90°，∴△ADF∽△BFH，∴FHFD=FBAD=4-2t4，∵AF∥CD，∴FGDF=2t4+2t，∴4-2t4=2t4+2t，解得：t1=10 - 2 ，t2=10 + 2 （舍去），∴EG=EH=t2+822+t =(10-2)2+822+10-2= 310 - 5 2 ；（3）过点F作FK⊥AC于点K，由（2）得EG=t2+822+t，∵DE=EF，∠DEF=90°，∴∠DEO=∠EFK，∴△DOE≌△EKF（AAS），∴FK=OE=t，∴S△EFG=12EG · FK =t3+8t42+2t．10. (2019 四川省资阳市)在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B→A→C 的路径运动，运动时间为t（秒）．过点E作EF△BC于点F，在矩形ABCD的内部作正方形EFGH．（1）如图，当AB＝BC＝8时，△若点H在△ABC的内部，连结AH、CH，求证：AH＝CH；△当0＜t≤8时，设正方形EFGH与△ABC的重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式；（2）当AB＝6，BC＝8时，若直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，求t的值．【解析】（1）△如图1中，△四边形EFGH是正方形，AB＝BC，△BE＝BG，AE＝CG，△BHE＝△BGH＝90°，△△AEH＝△CGH＝90°，△EH＝HG，△△AEH△△CGH（SAS），△AH＝CH．△如图1中，当0＜t≤4时，重叠部分是正方形EFGH，S＝t2．如图2中，当4＜t≤8时，重叠部分是五边形EFGMN，S＝S△ABC﹣S△AEN﹣S△CGM＝×8×8﹣2×（8﹣t）2＝﹣t2+32t﹣32．综上所述，S＝．（2）如图3﹣1中，延长AH交BC于M，当BM＝CM＝4时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．△EH△BM，△＝，△＝，△t＝．如图3﹣2中，延长AH交CD于M交BC的延长线于K，当CM＝DM＝3时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CK＝8，△EH△BK，△＝，△＝，△t＝．如图3﹣3中，当点E在线段AC上时，延长AH交CD于M，交BC的延长线于N．当CM＝DM时，直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，易证AD＝CN＝8．在Rt△ABC中，AC＝＝10，△EF△AB，△＝，△＝，△EF＝（16﹣t），△EH△CN，△＝，△＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为s或s或s．11. (2019 天津市)在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，△ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（△）如图△，求点E的坐标；（△）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．△如图△，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；△当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．【解析】（△）△点A（6，0），△OA＝6，△OD＝2，△AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，△四边形CODE是矩形，△DE△OC，△△AED＝△ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝＝＝4，△OD＝2，△点E的坐标为（2，4）；（△）△由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′△O′C′△OB，△△E′FM＝△ABO＝30°，△在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝＝＝t，△S△MFE′＝ME′•FE′＝×t×t＝，△S矩形C′O′D′E′＝O′D′•E′D′＝2×4＝8，△S＝S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8﹣，△S＝﹣t2+8，其中t的取值范围是：0＜t＜2；△当S＝时，如图△所示：O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，△△AO'F＝90°，△AFO'＝△ABO＝30°，△O'F＝O'A＝（6﹣t）△S＝（6﹣t）×（6﹣t）＝，解得：t＝6﹣，或t＝6+（舍去），△t＝6﹣；当S＝5时，如图△所示：O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，△O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），△S＝[（6﹣t）+（4﹣t）]×2＝5，解得：t＝，△当≤S≤5时，t的取值范围为≤t≤6﹣．12. (2019 四川省南充市)如图，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一点，以DE 为边作正方形DEFG ，DF 与BC 交于点M ，延长EM 交GF 于点H ，EF 与GB 交于点N ，连接CG.（1）求证：CD△CG ；（2）若tan△MEN=31，求EMMN 的值；（3）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在运动过程中，EM 的长能否为21？请说明理由.【解析】（1）证明：在正方形ABCD ，DEFG 中，DA=DC ，DE=DG ，△ADC=△EDG=△A=90°（1分）△△ADC -△EDC=△EDG -△EDC ，即△ADE=△CDG ，△△ADE△△CDG （SAS ）（2分）△△DCG=△A=90°，△CD△CG （3分）（2）解：△CD△CG ，DC△BC ，△G 、C 、M 三点共线△四边形DEFG 是正方形，△DG=DE ，△EDM=△GDM=45°，又△DM=DM△△EDM△△GDM ，△△DME=△DMG （4分）又△DMG=△NMF ，△△DME=△NMF ，又△△EDM=△NFM=45°△△DME△△FMN ，△DMFM ME MN =（5分） 又△DE△HF ，△DM FM ED HF =，又△ED=EF ，△EFHF ME MN =（6分） 在Rt△EFH 中，tan△HEF=31=EF HF ，△31=ME MN （7分） （3）设AE=x ，则BE=1-x ，CG=x ，设CM=y ，则BM=1-y ，EM=GM=x+y （8分）在Rt△BEM 中，222EM BM BE =+，△222)()1()1(y x y x +=-+-， 解得11+-=x x y （9分） △112++=+=x x y x EM ，若21=EM ，则21112=++x x ， 化简得：0122=+-x x ，△=-7＜0，△方程无解，故EM 长不可能为21. 13. (2019 浙江省台州市)如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是BA 延长线上的一点，连接PC 交AD 于点F ，AP ＝FD ．（1）求的值；（2）如图1，连接EC ，在线段EC 上取一点M ，使EM ＝EB ，连接MF ，求证：MF ＝PF ；（3）如图2，过点E 作EN △CD 于点N ，在线段EN 上取一点Q ，使AQ ＝AP ，连接BQ ，BN ．将△AQB 绕点A 旋转，使点Q 旋转后的对应点Q '落在边AD 上．请判断点B 旋转后的对应点B '是否落在线段BN 上，并说明理由．【解析】（1）设AP ＝FD ＝a ，△AF ＝2﹣a ，△四边形ABCD 是正方形，△AB △CD ，△△AFP △△DFC ，△，即，△AP＝FD＝﹣1，△AF＝AD﹣DF＝3﹣△＝（2）在CD上截取DH＝AF△AF＝DH，△P AF＝△D＝90°，AP＝FD，△△P AF△△HDF（SAS），△PF＝FH，△AD＝CD，AF＝DH，△FD＝CH＝AP＝﹣1，△点E是AB中点，△BE＝AE＝1＝EM，△PE＝P A+AE＝，△EC2＝BE2+BC2＝1+4＝5，△EC＝，△EC＝PE，CM＝﹣1，△AP△CD，△△P＝△PCD，△△ECP＝△PCD，且CM＝CH＝﹣1，CF＝CF，△△FCM△△FCH（S AS），△FM＝FH，△FM＝PF.（3）若点B'在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，△EN△AB，AE＝BE△AQ＝BQ＝AP＝﹣1由旋转的性质可得AQ＝AQ'＝﹣1，AB＝AB'＝2，Q'B'＝QB＝﹣1，△点B（0，﹣2），点N（2，﹣1）△直线BN解析式为：y＝x﹣2设点B'（x，x﹣2）△AB'＝＝2△x＝△点B'（，﹣）△点Q'（﹣1，0）△B'Q'＝≠﹣1△点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上．。

几何综合（通用版）一、单选题(共12道，每道8分)1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E在AC边上，且AE：EC=1：2，BE交AD于点P，则AP：PD的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：如图，过点D作DF∥BE，交AC于点F，∵BD=CD，∴EF=CF．∵，∴AE=EF=CF，∴，∴．故选A．试题难度：三颗星知识点：平行线分线段成比例2.如图，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且tan∠B=．AC上有一点E，满足AE：EC=2：3．则tan∠ADE是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：如图，过点E作EF⊥AD于点F，∵△ABC为以BC为底边的等腰三角形，，∴．∵AD⊥BC，∴EF∥BC．设AD=4t，则DC=3t，AC=5t，∴，．∵，∴AE=2t，EC=3t，，∴，∴．故选C．试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定和性质3.已知△ABC中，∠C=90°，，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=( )A. B.C. D.答案：A解题思路：如图，过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△ABC中，，设BC=a，则AC=2a，∴．∵∠CBD=∠A，∴，∴，，∴在Rt△CBD中，．易得△ADE∽△ABC，∴，∴，∴．故选A．试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定和性质4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，点E在AC上，AB=12，，AE=6，∠BAC=50°．则∠CDE的度数为( )A.25°B.40°C.50°D.65°答案：A解题思路：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=50°，∴∠B=40°．∵AD平分∠CAB，∴∠EAD=∠DAB=25°．∵AB=12，，AE=6，∴．∴△AED∽△ADB．∴∠EDA=∠B．∵∠CDE+∠EDA=∠B+∠DAB，∴∠CDE=∠DAB=25°．故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形外角的性质5.如图，在四边形ABCD中，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为( )A.3B.4C.5D.6答案：C解题思路：如图，延长BA，CD交于点E，∵∠B=∠AMD=∠C，∴∠DMC=∠BAM，∴△ABM∽△MCD，∴．又MC=BM，AB=8，CD=9，∴MC=，∴BC=2MC=．∵∠B=∠C=45°，∴∠E=90°，BE=CE=12，∴AE=4，DE=3，∴AD=5．故选C．试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），以OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，C为x轴正半轴上的一动点（），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，直线DA交y轴于点E．则点E的坐标为( )A. B.（0，2）C. D.（0，4）答案：A解题思路：∵△OAB与△BCD均为等边三角形，∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=∠AOB=60°，BC=BD，∠CBD=60°，∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，∴△OBC≌△ABD（SAS），∴∠BAD=∠BOC=60°，∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°．在Rt△AOE中，∠OAE=60°，OA=2，∴，∴点E的坐标为．故选A．试题难度：三颗星知识点：一次函数综合题7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边中点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E．当时，的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：如图，过点O作OG⊥AC交BC于点G，∴∠GOA=90°，即∠FOA+∠GOF=90°．∵OE⊥OB，∴∠EOG+∠GOF=90°，∴∠FOA=∠EOG．∵AD⊥BC，∴∠OAF+∠C=90°，∵∠OGE+∠C=90°，∴∠OGE=∠OAF，∴△OGE∽△OAF，∴．设AB=a，则AC=3a，OG=0.5a，OA=1.5a，∴，即．故选C．试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质8.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是( )A.16B.18C. D.答案：A解题思路：如图，过点F作FD⊥AC于点D，∴∠EDF=∠A=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°．∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠FED+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠FED，∴Rt△ABE∽Rt△DEF，∴．∵AB=AC=，点E为AC的中点，∴，．设DF=t，则DE=2t，在Rt△CDF中，∠C=45°，∴DC=DF=t，∴，解得．∴．故选A．试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定和性质9.如图，在中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则△CEF的周长为( )A.8B.9.5C.10D.11.5答案：A解题思路：∵四边形ABCD为平行四边形，AB=6，AD=9，∴AB∥CD，AD∥BC，BC=9，∴∠DAE=∠AEB．∵AE平分∠DAB，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，∴EC=3．∵∠ABE=∠ECF，∠CEF=∠AEB，∴△ABE∽△FCE，∴．∵BG⊥AE，∴∠AGB=90°，AG=GE．在Rt△ABG中，AB=6，BG=，∴，∴，∴．故选A．试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质及判定10.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，连接BF，则△BFG的周长为( )A. B.C. D.4答案：B解题思路：由题意，易得四边形ABED为矩形，AD=BE=EC=，∴∠DEC=∠ADE=90°．在Rt△DEC中，∠C=60°，，∴DE=AB=3．∵△DEF为等边三角形，∴DE=DF=EF=3，∠FDE=60°，∴∠ADG=30°，∴在Rt△AGD中，AG=1，GD=2，∴GB=AB-AG=2，GF=DF-GD=3-2=1．∵∠AGD=∠FGB，∴△FGB≌△AGD，∴FB=AD=，∴．故选B．试题难度：三颗星知识点：解直角三角形11.如图，CB，CD分别是钝角三角形AEC和锐角三角形ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE．其中一定正确的结论为( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④答案：B解题思路：①由题意得，AE=2AB=2AC．故结论①正确．②由题意得，AE=2AB=2AC=4AD，∴．又∵∠EAC=∠CAD，∴△EAC∽△CAD，∴，∴CE=2CD．故结论②正确．③由②中△EAC∽△CAD得，∠ACD=∠E，若∠ACD=∠BCE，则∠E=∠BCE，可得BC=BE，进而得到AC=AB=BC，即△ABC为等边三角形．而由题干条件只能说明△ABC为等腰三角形，并不能得到△ABC为等边三角形．故结论③不一定正确．④由AC=AB得，∠ACB=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=∠E+∠BCE．∵∠ACD=∠E，∴∠DCB=∠BCE，∴CB平分∠DCE．故结论④正确．故选B．试题难度：三颗星知识点：三角形的中线12.如图，在边长为的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，CF⊥EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH=8，则FG=( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，过点H作MN⊥AD，交AD于点N，交BC于点M，延长BC至点P，使CP=BE，连接HP，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠EBC=∠CDG=∠BCD=90°．∵BE=DG，∴Rt△CBE≌Rt△CDG，∴CE=CG，∠ECB=∠GCD，∠BEC=∠DGC，∴∠ECG=∠BCD=90°．∵CF⊥EG，∴CH=HE，∠CEH=∠HCG=45°．∵∠DGC=∠GCP，∴∠HEC+∠BEC=∠HCG+∠GCP，即∠HEB=∠HCP．∵BE=CP，∴△HEB≌△HCP（SAS），∴HB=HP，∠EHB=∠CHP．∵∠EHC=90°，∴∠BHP=90°，∴△BHP为等腰直角三角形．∵BH=8，MN⊥AD，∴．∵，∴．易得Rt△HNF∽Rt△HMC∽Rt△GNH，∴∴，∴．故选B．试题难度：三颗星知识点：旋转结构。

几何综合--中考数学抢分秘籍（全国通用）几何综合问题在中考中以填空题和解答题的形式出现，考查难度较大.此类问题在中考中多考查面积平分、面积最值和几何变换的综合问题，一般要用到特殊三角形、特殊四边形、相似三角形、圆、锐角三角函数、勾股定理、图形变换的性质和二次函数的最值等相关知识，以及分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想.此类题型常涉及以下问题：①几何图形中的线段最值问题②探究图形面积的分割问题；③探究图形面积的最值问题.右图为几何综合问题中各题型的考查热度.题型1：线段最值问题①动点路径问题②“胡不归”问题③“将军饮马”问题④“造桥选址”问题解题模板：1.（2021秋•白云区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切，则点A到⊙O上的点的距离的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出符合题意的图形，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，利用勾股定理即可求得结论．【解答】解：由题意，当⊙O与BC，CD相切时，点A到⊙O上的点的距离取得最大值，如图，由对称性可知：圆心O在AC上．AC＝＝4．∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥EC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°．∴△OEC为等腰直角三角形．∴OC＝OE＝．∴CG＝OC﹣OG＝﹣1．∴AG＝AC﹣CG＝4﹣（﹣1）＝3+1．故选：C．【点评】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，连接OE，利用切线的性质得到OE⊥EC是解题的关键．【变式1-1】（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．【分析】（1）要证明EF＝DE，只要证明△DME≌△ENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以得到△DME≌△ENF的条件，从而可以证明结论成立；（2）根据勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的长，然后即可得到GE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECM＝45°，∵MN∥BC，∠BCM＝90°，∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，∴MC＝ME，∵CD＝MN，∴DM＝EN，∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠DEM+∠FEN＝90°，∴∠EDM＝∠FEN，在△DME和△ENF中，∴△DME≌△ENF（ASA），∴EF＝DE；（2）解：如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，∴ME＝NF，∵四边形MNBC是矩形，∴MC＝BN，又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，∴BN＝MC＝NF＝1，∵∠EMC＝90°，∴CE＝，∵AF∥CD，∴△DGC∽△FGA，∴，∴，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AC＝AG+GC，∴AG＝，CG＝，∴GE＝GC﹣CE＝＝；如图2所示，同理可得，FN＝BN，∵AF＝2，AB＝4，∴AN＝1，∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，∴AC＝4，∵AF∥CD，∴△GAF∽△GCD，∴，即，解得，AG＝4，∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，∴AE＝，∴GE＝GA+AE＝5．综上所述：GE的长为：，5．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形相似，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2.（2022春•广陵区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝2，点P为线段BD上的一个动点，则MP+PB的最小值是4．【分析】过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，根据菱形的性质得到AB＝BC，BO 平分∠ABC，AO⊥BD，再判断△ABC为等边三角形得到∠ABC＝∠ACB＝60°，则∠OBC＝30°，所以PH＝BP，则MP+PB＝MP+PH，所以MP+PH的最小值为MN的长，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出MN即可．【解答】解：过P点作PH⊥BC于H，过M点作MN⊥BC于N，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，BO平分∠ABC，AO⊥BD，∵AB＝AC＝10，∴AB＝AC＝BC＝10，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠OBC＝30°，∴PH＝BP，∴MP+PB＝MP+PH，当M、P、H共线时，MP+PH的值最小，即MP+PH的最小值为MN的长，∵AM＝2，∴CM＝10﹣2＝8，在Rt△MNC中，∵∠MCN＝60°，∴CN＝CM＝4，∴MN＝CN＝4，即MP+PB的最小值为4．故答案为：．【点评】本题考查了胡不归问题：利用垂线段最短解决最短路径问题，把PB转化为PH是解决问题的关键．也考查了菱形的性质和等边三角形的性质．【变式2-1】（2021•郴州）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sin A＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为．【分析】过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，首先得出BD＝4，AD＝3，根据sin∠ABD＝，得EP＝，则PC+PB的最小值为PC+PE的最小值，即求CH的长，再通过等积法即可解决问题．【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵sin A＝＝，AB＝5，∴BD＝4，由勾股定理得AD＝，∴sin∠ABD＝，∴EP＝，∴PC+PB＝PC+PE，即点C、P、E三点共线时，PC+PB最小，∴PC+PB的最小值为CH的长，＝，∵S△ABC∴4×4＝5×CH，∴CH＝．∴PC+PB的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了锐角三角函数，垂线段最短、勾股定理等知识，将PC+PB的最小值转化为求CH的长，是解题的关键．3.（2022秋•朝阳区校级月考）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），点C在边AB上，且＝，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的纵坐标为．【分析】根据已知条件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E （0，2），求得直线EC的解析式为y＝x+2，解方程组即可得到结论．【解答】解：∵∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵＝，点D为OB的中点，∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y＝x，设直线EC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线EC的解析式为y＝x+2，解，得，∴P（，），故答案为：．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．【变式3-1】（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x 轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为（﹣，0）．【分析】在BC上截取BH＝3，可证四边形BHEF是平行四边形，可得BF＝EH，由对称性可得DE＝D'E，则四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，由EF和BD是定值，则当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF 的周长有最小值，即当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，利用待定系数法可求HD'解析式，即可求解．【解答】解：在BC上截取BH＝3，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'H交AO于点E，∴BH＝EF＝3，BC∥AO，∴四边形BHEF是平行四边形，∴BF＝EH，∵点D与点D'关于x轴对称，∴DE＝D'E，点D'坐标为（0，﹣4），∵四边形BDEF的周长＝EF+BF+BD+DE，∴四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，∵EF和BD是定值，∴当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，∴当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，∵点B（﹣4，6），∴点H（﹣1，6），设直线D'H的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线D'H的解析式为y＝﹣10x﹣4，∴当y＝0时，x＝﹣，∴点E（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质等知识，确定点E的位置是解题的关键．4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE＝1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是．【分析】根据题意得出作EF∥AC且EF＝，连接DF交AC于M，在AC上截取MN＝，此时四边形BMNE的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：作EF∥AC且EF＝，连接DF交AC于M，在AC上截取MN＝，延长DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，作出点E关于AC的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN平移至E′F′处，则四边形MNE′F′为平行四边形，则当BM+EN＝BM+FM＝BF′时四边形BMNE的周长最小，由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得FQ＝EQ＝1，∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，∴＝，∴＝，解得：PQ＝，∴PC＝，由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝＝．故答案为．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出M，N的位置是解题关键．【变式4-1】如图，已知四边形ABCD四个顶点的坐标为A（1，3），B（m，0），C（m+2，0），D（5，1），当四边形ABCD的周长最小时，m的值为．【分析】因为AD，BC的长度都是固定的，所以求出AB+CD的长度就行了．问题就是AB+CD什么时候最短．把D点向左平移2个单位到D′点；作D′关于x轴的对称点D″，连接AD″，交x轴于P，从而确定C点位置，此时AB+CD最短．设直线AD″的解析式为y＝kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得m的值．【解答】解：将C点向左平移2单位与B重合，点D向左平移2单位到D′（3，1），作D′关于x轴的对称点D″，根据作法知点D″（3，﹣1），设直线AD″的解析式为y＝kx+b，则，解得k＝﹣2，b＝5．∴直线AD″的解析式为y＝﹣2x+5．当y＝0时，x＝，即B（，0），m＝．故答案为：．【点评】考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是熟悉关于x轴的对称点，两点之间线段最短等知识．题型2：面积平分问题解题模板：技巧精讲1：利用中线平分图形面积的方法2.利用对称性平分图形面积的方法5.（1）问题提出：如图（1），在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为AC上一点且AD＝2，过点D作直线DE交△ABC于点E，使得△ABC被分成面积相等的两部分，则DE的长为2．（2）类比发现：如图（2），五边形ABOCD，各顶点坐标为：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C （4，0），D（4，2）请你找出一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD分为面积相等的两部分，求出该直线对应的函数表达式．（3）如图（3），王叔叔家有一块四边形菜地ABCD，他打算过D点修一条笔直的小路把四边形菜地ABCD 分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物，已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝200米，∠BAD ＝90°过点D是否存在一条直线将四边形ABCD的面积平分？若存在，求出平分该四边形面积的线段长：若不存在，请说明理由．【分析】（1）如图1中，取AC的中点F，连接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，连接DE交BF于O．证明DE平分△ABC的面积，利用平行线分线段成比例定理求出CE即可解决问题．（2）如图2中，连接AO、AC，作BE∥AO交x轴于E，DF∥AC交x轴于F，EF的中点为M，则直线AM平分五边形ABCOD的面积，求出点M的坐标即可解决问题．（3）先求出四边形ABCD的面积，即可得出四边形ABQD的面积，从而求出QM，再用平行线分线段成比例定理求出BM，即可得出DM，最后用勾股定理即可．【解答】解：（1）如图1中，取AC的中点F，连接BF，BD，作FE∥BD交BC于E，连接DE交BF 于O．∵AF＝FC，＝S△BFC，∴S△AFB∵BD∥EF，＝S△BDF，∴S△BDE＝S△BOE，∴S△DFO＝S四边形ABED，∴S△ECD∴DE平分△ABC的面积，∵AC＝8，AD＝2，∴AF＝CF＝4，DF＝2，∵EF∥BD，∴＝，∴＝，∴CE＝4，∴DE＝＝＝2，故答案为2．（2）如图2中，连接AO、AC，作BE∥AO交x轴于E，DF∥AC交x轴于F，EF的中点为M，则直线AM平分五边形ABCOD的面积，∵直线AO的解析式为y＝x，∴直线BE解析式为y＝x+2，∴点E坐标（﹣，0），∵直线AC的解析式为y＝﹣4x+16，∴直线DF的解析式为y＝﹣4x+18，∴点F坐标为（，0）∴EF的中点M坐标为（，0），∴直线AM的解析式为：y＝x﹣4．（3）如图3中，连接BD，AC交于点O．在BC上取一点Q，过Q作QM⊥BD，∵AB＝AD＝200、BC＝CD＝200，∴AC是BD的垂直平分线，在Rt△ABD中，BD＝AB＝200，∴DO＝BO＝OA＝100，在Rt△BCO中，OC＝＝300，＝S△ABD+S△CBD＝BD×（AO+CO）＝×200×（100+300）＝80000，∴S四边形ABCD∵在一条过点D的直线将筝形ABCD的面积二等分，＝S四边形ABCD＝40000，∴S四边形ABQD＝×BD×OA＝20000，∵S△ABD＝BD×QM＝×200×QM＝100QM＝S四边形ABQD﹣S△ABD＝20000，∴S△QBD∴QM＝100，∵QM∥CO．∴＝，∴＝，∴BM＝，∴DM＝BD﹣BM＝，在Rt△MQD中，DQ＝＝＝．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中线，几何作图，勾股定理，等积问题等知识，解题的关键是把多边形转化为三角形是解决问题的关键，记住三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．【变式5-1】（2022•江北区模拟）新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．解决问题：（1）①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是三角形的中线；②如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，DC上，连接EF，与AD交于＝S△DGF，则EF是（填“是”或“不是”）△ABC的一条二分线．点G．若S△AEG（2）如图2，四边形ABCD中，CD平行于AB，点G是AD的中点，射线CG交射线BA于点E，取EB 的中点F，连接CF．求证：CF是四边形ABCD的二分线．（3）如图3，在△ABC中，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED＝∠A，EF是四边形ABDE的一条二分线，求DF的长．【分析】（1）①由平面图形的二分线定义可求解；②由面积的和差关系可得S△BEF＝S△ABD＝S△ABC，可得EF是△ABC的一条二分线；＝S△CEF，由AB∥DC，G是AD的中点，证明△CDG≌△EAG，所（2）根据EB的中点F，所以S△CBF＝S△CEF，所以S四边形AFCD＝S△CBF，可得CF是四边形ABCD的二分线；以S四边形AFCD＝S△DEC＝S△ABE，可得S△HED＝（3）延长CB使BH＝CD，连接EH，通过全等三角形的判定可得S△BEHS四边形ABDE，即可得DF＝DH＝．【解答】解：（1）∵三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；∴三角形的中线是三角形的二分线，故答案为三角形的中线②∵AD是BC边上的中线＝S△ACD＝S△ABC，∴S△ABD＝S△DGF，∵S△AEG+S△AEG＝S四边形BDGE+S△DGF，∴S四边形BDGE＝S△ABD＝S△ABC，∴S△BEF∴EF是△ABC的一条二分线故答案为：是（2）∵EB的中点F，＝S△CEF，∴S△CBF∵AB∥DC，∴∠E＝∠DCG，∵G是AD的中点，∴DG＝AG，在△CDG和△EAG中，∴△CDG≌△EAG（AAS），＝S△DCG，∴S△AEG＝S△CEF，∴S四边形AFCD＝S△CBF，∴S四边形AFCD∴CF是四边形ABCD的二分线．（3）如图，延长CB使BH＝CD，连接EH，AB＝CB＝CE＝7，∠A＝∠C，∠CBE＝∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED＝∠A，∵BC＝7∴BD+CD＝7∴BD+BH＝7＝HD∵∠BED＝∠A，∠BED+∠DEC＝∠A+∠ABE∴∠ABE＝∠CED，且AB＝CE＝7，∠A＝∠C∴△ABE≌△CED（ASA）＝S△EDC，∴AE＝CD，BE＝DE，∠AEB＝∠EDC，S△ABE∴AE＝BH，∵∠CBE＝∠CEB∴∠AEB＝∠EBH∴∠EBH＝∠EDC，且BE＝DE，BH＝CD∴△BEH≌△DEC（SAS）、＝S△DEC，∴S△BEH＝S△DEC＝S△ABE，∴S△BEH＝S四边形ABDE，∴S△HED∵EF是四边形ABDE的一条二分线，＝S四边形ABDE＝S△HED，∴S△DEF∴DF＝DH＝【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，理解新定义是本题的关键．【变式5-2】（2021•西安一模）问题提出（1）如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度；问题探究（2）如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由；解决问题（3）如图③，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）当点D是BC的中点时，AD将△ABC分成面积相等的两部分，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一般，可求出AD的长度；（2）根据同底等高的三角形面积相等，再减去相等的部分，就可以得出△AOM与△BON的面积相等；（3）连接AB，过点O作AB的平行线，交CA的延长线于点F，交OA于点G，则△OBG的面积等于△AFG的面积，则四边形OACB的面积转化为△BCF的面积，取CF的中点P，求出点P的坐标，即可求出直线BP的表达式．【解答】解：（1）如图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC＝，∵点D为BC的中点，∴AD＝BC＝．＝S△BON，理由如下：（2）S△AOM＝S△ABM﹣S△AOB，S△BON＝S△ABN﹣S△AOB，由图可知，S△AOM如图②，过点M作MD⊥AB于点D，过点N作NE⊥AB于点E，∴MD∥NE，∠MDE＝90°，又∵MN∥DE，∴四边形MDEN是矩形，∴MD＝NE，＝，S△ABN＝，∵S△ABM＝S△ABN，∴S△ABM＝S△BON．∴S△AOM（3）存在，直线BP的表达式为：y＝x+4．如图③，连接AB，过点O作OF∥AB，交CA的延长线于点F，交OA于点G，＝S△AFG，由（2）的结论可知，S△OBG＝S△BCF，∴S四边形OACB取CF的中点P，作直线BP，直线BP即为所求．∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），∴线段AB所在直线表达式为：y＝﹣x+4，线段AC所在直线的表达式为：y＝3x﹣12，∴直线OF的表达式为：y＝﹣x，联立，解得，∴F（3，﹣3），∵点P是CF的中点，∴P（，），∴直线BP的表达式为：y＝x+4．【点评】主要考查了勾股定理，中点的性质，面积转化以及待定系数法求一次函数表达式等内容，熟练掌握勾股定理的内容，中点性质的应用，作出辅助线，进行面积的转化是解答本题的关键．题型3：面积最值问题6.（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为8．得到BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，求得GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8﹣x，所以S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．【解答】解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴△AMB∽△CGB，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，∵ED＝DC，∠EHD＝∠DGC，∠HED＝∠GDC，∴△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，＝＝＝，∴S△BDE当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．故答案为8．【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．；【变式6-1】（1）如图①，若BC＝6，AC＝4，∠C＝60°，求△ABC的面积S△ABC；（2）如图②，若BC＝a，AC＝b，∠C＝α，求△ABC的面积S△ABC（3）如图③，四边形ABCD，AC＝m，BD＝n，对角线AC交于O点，他们所成锐角为β，求四边形ABCD ．的面积S四边形ABCD【分析】（1）过A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根据三角形面积公式求出即可；（2）过A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根据三角形面积公式求出即可；（3）过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，解直角三角形求出AE、CF，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：（1）如图①，过A作AM⊥BC于M，则∠AMC＝90°，∵∠C＝60°，AC＝4，∴AM＝AC×sin60°＝4×＝2，∵BC＝6，＝×BC×AM＝×6×2＝6；∴△ABC的面积S△ABC（2）如图②，过A作AM⊥BC于M，则∠AMC＝90°，∵∠C＝α，AC＝b，∴AM＝AC×sinα＝b×sinα＝b sinα，∵BC＝a，＝×BC×AM＝×a×b sinα＝ab sinα；∴△ABC的面积S△ABC（3）如图3，过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，BD＝n，OA+OC＝m，∵AC、BD夹角为β，∴AE＝OA•sinβ，CF＝OC•sinβ，＝S△ABD+S△BDC∴S四边形ABCD＝BD•AE+BD•CF＝BD•（AE+CF）＝BD•（OA•sinβ+OC•sinβ）＝BD•AC•sinβ＝mn sinβ．＝mn sinβ．即四边形ABCD的面积S四边形ABCD【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的面积的应用，此题比较难，解题时关键要找对思路，即原四边形的高已经发生了变化，只要把高求出来，一切将迎刃而解．【变式6-2】如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB﹣BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式；（3）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，证出∠ADE＝∠CDG，由SAS证明△ADE≌△CDG，得出∠DCG＝∠DAE＝90°，证出∠DCG+∠DCB＝180°，即可得出结论；（2）分情况讨论：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，则AC∥EK∥AD，证明△ADE∽△BEH，由相似三角形的性质得出＝，求出BH＝，S＝正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积，即可得出结果；②当点E在BC边上时，S＝△DEC的面积＝4﹣x；（3）由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；由勾股定理求出BD，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADE+∠EDC＝∠EDC+∠CDG＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAE＝90°，∵∠DCB＝90°，∴∠DCG+∠DCB＝180°，∴点G在直线BC上；（2）解：①当点E在AB边上时，过点E作EK∥AD，交CD于点K，如图1所示：则AC∥EK∥AD，∴∠HEK＝∠EHB，∠DEK＝∠EDA，∵∠EHB+∠BEH＝90°，∠EDA+∠AED＝90°，∠HEK+∠DEK＝90°，∴∠EDA＝∠BEH，∠AED＝∠EHB，∴△ADE∽△BEH，∴＝，即＝，∴BH＝，S＝正方形ABCD的面积﹣△ADE的面积﹣△BEH的面积＝2×2﹣×2×x﹣×（2﹣x）×＝；②当点E在BC边上时，S＝△DEC的面积＝×2×（4﹣x）＝4﹣x；（3）解：由（1）知，当点E在AB上时，点G在直线BC上，当点E与B点重合时，点F的位置如图2所示：点F运动的路径为BF；同理，点E在BC上时，当点E与C点重合时，点F运动的路径为FG；∵BD＝＝＝2，∴BF+FG＝2BD＝4，∴点F运动的路径长为4．【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、平行线的判定与性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．1．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BCD＝60°，连接BD，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且AE＝BF，连接DE、DP、EF．（1）如图①，当点E是边AB的中点时，求∠EDF的度数；（2）如图②，当点E是边AB上任意一点时，∠EDF的度数是否发生改变？若不改变，请证明；若发生改变，请说明理由；（3）若点P是线段BD上一动点，求PF+DP的最小值．【分析】（1）由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝60°，可证△ABD，△BCD 是等边三角形，由等边三角形的性质可证DE＝DF，∠EDF＝60°，可得结论；（2）证明△ADE≌△BDF（SAS），根据全等三角形的性质得∠ADE＝∠BDF，由角的和差即可得∠EDF ＝∠ADB＝60°；（3）过点P作PG⊥AD于点G，连接PF，过点F作FG′⊥AD于点G′，交BD于点P′，可得GP＝DP•sin60°＝DP，则PF+DP＝PF+GP，当点F、P、G三点共銭，且FG⊥AD时，PF+GP有最小值，最小值为FG′的长，过点D作DH⊥BC于点H，则DH＝FG'，PF+DP的最小值即为DH的长，由△BDC是等边三角形可得DH＝CD•sin60°＝3，即可求得PF+DP的最小值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，边长为6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD，△BCD是等边三角形，∵点E是边AB的中点，AE＝BF，∴点F是边BC的中点，∴∠ADE＝∠BDE＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴∠EDF＝∠BDE+∠BDF＝60°；（2）∠EDF的度数不改变，证明：△ABD，△BCD是等边三角形，∴AD＝BD，∠DAB＝∠DBC＝60°，∵AE＝BF，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴∠ADE＝∠BDF，∴∠EDF＝∠ADB＝60°；（3）如图，过点P作PG⊥AD于点G，连接PF，过点F作FG′⊥AD于点G′，交BD于点P′，∵∠ADB＝60°，∴GP＝DP•sin60°＝DP，∴PF+DP＝PF+GP，∴当点F、P、G三点共銭，且FG⊥AD时，PF+GP有最小值，最小值为FG′的长，过点D作DH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴DH＝FG'，∴PF+DP的最小值即为DH的长，∵DH⊥BC，△BDC是等边三角形，∴DH＝CD•sin60°＝3，∴PF+DP的最小值为3．【点评】本题考查了四边形的综合应用，掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，最短路径等知识，添加恰当辅助线构造构造在直角三角形是解本题的关键．2．（2022•连云港）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC．（1）求证：四边形DBCE为菱形；（2）若△DBC是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+PN的最小值．【分析】（1）先证明四边形DBCE是平行四边形，再由BE⊥DC，得四边形DBCE是菱形；（2）作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，可得PM+PN＝PM+PN'，即知MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，可得DH＝DB•sin∠DBC＝，即可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝AD，∴DE＝BC，∵E在AD的延长线上，∴DE∥BC，∴四边形DBCE是平行四边形，∵BE⊥DC，∴四边形DBCE是菱形；（2）解：作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，如图：由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，∴PM+PN＝PM+PN'，∴当P、M、N'共线时，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，∵DE∥BC，∴MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，∴DH＝DB•sin∠DBC＝2×＝，∴PM+PN的最小值为．【点评】本题考查平行四边形性质及应用，涉及菱形的判定，等边三角形性质及应用，对称变换等，解题的关键是掌握解决“将军饮马”模型的方法．3．（2014•海南）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a＝1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x 轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF＝PM2最小．【解答】方法一：解：（1）∵对称轴为直线x＝2，∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k．将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：，解得，∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5．（2）当a＝1时，E（1，0），F（2，0），OE＝1，OF＝2．设P（x，﹣x2+4x+5），如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN＝x，ON＝﹣x2+4x+5，∴MN＝ON﹣OM＝﹣x2+4x+4．S四边形MEFP＝S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME＝（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE＝（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x•（﹣x2+4x+4）﹣×1×1＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣）2+∴当x＝时，四边形MEFP的面积有最大值为，把x＝时，y＝﹣（﹣2）2+9＝．此时点P坐标为（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3．令y＝﹣x2+4x+5＝3，解得x＝2±．∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF＝PM2最小．设直线PM2的解析式为y＝mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：，解得：m＝，n＝﹣，∴y＝x﹣．当y＝0时，解得x＝．∴F（，0）．∵a+1＝，∴a＝．∴a＝时，四边形PMEF周长最小．方法二：（1）略．（2）连接MF，过点P作x轴垂线，交MF于点H，有最大值时，四边形MEFP面积最大．显然当S△PMF当a＝1时，E（1，0），F（2，0），∵M（0，1），∴l MF：y＝﹣x+1，设P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣t+1），＝（P Y﹣H Y）（F X﹣M X），∴S△PMF＝（﹣t2+4t+5+t﹣1）（2﹣0）＝﹣t2+t+4，∴S△PMF最大值为，∴当t＝时，S△PMF＝EF×MY＝×1×1＝，∵S△MEF的最大值为+＝，∴S四边形MEFP∴P（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+4x+5＝0，解得：x＝2±，∵点P在第一象限，∴P（2+，3），PM、EF长度固定，当ME+PF最小时，PMEF的周长取得最小值，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1），∵四边形MEFM1为平行四边形，∴ME＝M1F，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1），∴M2F＝M1F＝ME，当且仅当P，F，M2三点共线时，此时ME+PF＝PM2最小，∵P（2+，3），M2（1，﹣1），F（a+1，0），∴K PF＝K M1F，∴，∴a＝．【点评】本题是二次函数综合题，第（1）问考查了待定系数法；第（2）问考查了图形面积计算以及二次函数的最值；第（3）问主要考查了轴对称﹣最短路线的性质．试题计算量偏大，注意认真计算．4．（2021•靖江市校级一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，若AE＝2，则求EF的长．（请从“线段的长度或线段的位置关系”的方向设计条件及问题，并解答）【分析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，可得BG＝3，AG＝3＝EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得EF的长．【解答】若AE＝2．则求EF的长．解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝3＝EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得：EF＝＝＝2．【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．5．（2012•新密市自主招生）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF＝4，则△DEF面积的最大值为．【分析】首先过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，由菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，即＝DE•FG）＝﹣（x﹣2）2+，可求得AD＝CD＝4，∠FDG＝60°，然后设AE＝x，即可得S△DEF然后根据二次函数的性质，即可求得答案．【解答】解：过点F作FG⊥AD，交AD的延长线于点G，∵菱形ABCD边长为4，∠BAD＝60°，∴AD＝CD＝4，∠ADC＝180°﹣∠BAD＝120°，∴∠FDG＝180°﹣∠ADB＝60°，设AE＝x，∵AE+CF＝4，∴CF＝4﹣x；∴DE＝AD﹣AE＝4﹣x，DF＝CD﹣CF＝4﹣（4﹣x）＝x，在Rt△DFG中，FG＝DF•sin∠GDF＝x，＝DE•FG＝×（4﹣x）×x＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+，∴S△DEF∴当x＝2时，△DEF面积的最大，最大值为．故答案为：．【点评】此题考查了菱形的性质、三角函数的性质以及二次函数的最值问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与函数思想的应用．6．（2022•杭州模拟）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，记旋转角为α，连接BB′，过点D作DE垂直于直线BB′，垂足为点E，连接DB′，CE．（1）如图1，当α＝60°时，△DEB′的形状为等腰直角三角形，连接BD，BB′与CE的数量关系是BB'＝CE．（2）当0°＜α＜360°且a≠90°时，①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点E，C，D，B′为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BE与B′E的数量关系．。

学生做题前请先回答以下问题问题1：几何综合的思考流程是什么？问题2：几何综合中常见结构、常用模型有哪些？问题3：直角的思考角度有哪些？边：____________________；角：____________________；面积：多个直角，把直角当作高，常考虑____________________；固定模型和用法：①直角+中点______________________；②直角+特殊角____________________；③直角+角平分线__________________；④直角三角形斜边上的高___________；⑤弦图结构；⑥三等角模型；⑦斜直角放正.函数背景下考虑：______________________________；圆背景下考虑：________________________________．问题4：轴对称思考层次有哪些？问题5：旋转思考层次有哪些？问题6：圆的思考角度有哪些？几何综合及几何最值问题一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，沿△ABC的中线OC将△AOC折叠，使点A落在点D处．若CD⊥AB于点M，则tanA的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形两锐角互余2.如图，BE，CF分别是△ABC两边上的高，M为BC的中点．若EF=6，BC=10，则△MEF的边ME上的高为( )A. B. C.4 D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等面积法3.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若△BDF的面积为6，则矩形ABCD的面积为( )A.24B.36C.48D.72答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：转化法（等底或等高）求面积4.如图，在矩形ABCD中，，BC=3，F为CD的中点，EF⊥BF交AD于点E，连接CE交BF于点G，则EG的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：类倍长中线5.如图，在四边形ABCD中，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为( )A.3B.4C.5D.6答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三等角模型6.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标是(0，2)，顶点B在x轴负半轴上，对角线AC，BD相交于点M，，则点D的坐标是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型7.如图，在半径为3的⊙O中，B是劣弧的中点，连接AB并延长至点D，使BD=AB，连接AC，BC，CD．若AB=2，则CD的长为( )A.2B.1C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：圆心角、弧、弦的关系8.如图，直线与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥于点B，连接PA，设，则的最大值是( )A.1B.2C.4D.6答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数最值9.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为( )A.2B.C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：轴对称—最短路线问题10.如图，在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一块直角三角板的直角顶点放在点M处，并将此三角板绕点M旋转，三角板的两直角边与边OP，OQ分别交于点A，B，连接AB．则在旋转三角板的过程中，△AOB周长的最小值为( )A. B.C.6D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：斜直角的处理思路（斜转直）。