广西桂林十八中2021届高三上学期第一次月考 数学(文)(含答案)

桂林市第十八中学14级高三第一次月考试卷物 理命题人:朱复辉 审题人:唐茂春留意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分110分。

考试时间：90分钟 。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。

2、选择题答案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。

3、主观题必需用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必需写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

第Ⅰ卷（共48分）一．选择题（本题共12小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，第1-7题只有一项符合题目要求，第8-12题有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

）1. 在物理学进展的过程中，科学家总结了很多重要的物理学思想与方法。

下列有关物理学思想与方法的描述中正确的是（ ）A ．在验证力的合成法则的试验中利用了把握变量法的思想B ．在探究弹力和弹簧伸长的关系的试验中利用了比例法和图象法C ．在争辩加速度与合外力、质量的关系的试验中，利用了等效替代的思想D ．在争辩物体的运动时，把物体视为一个有质量的“点”，即质点，利用了假设法的思想2. 电梯的顶部挂一个弹簧秤，秤下端挂了一个重物，电梯匀速直线运动时，弹簧秤的示数为10 N ，在某时刻电梯中的人观看到弹簧秤的示数变为6 N ，关于电梯的运动（如图所示），以下说法正确的是(g 取10 m/s 2) ( )A ．电梯可能向上加速运动, 加速度大小为2m/s 2B ．电梯可能向下加速运动, 加速度大小为4m/s 2C ．电梯可能向上减速运动, 加速度大小为2m/s 2D ．电梯可能向下减速运动, 加速度大小为4m/s 23. 屋檐隔肯定时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1m 的窗子的上、下沿，如图所示，g 取 ，则此屋檐离地面的距离为（ ）A 、2.2mB 、2.5mC 、3.0mD 、3.2m4. 物体在甲、乙两地来回一次，从甲到乙的平均速度为v 1，返回时的平均速度为v 2，则物体来回一次平均速度的大小和平均速率分别是（ ）A ．0，v 1＋v 22B.v 1＋v 22，2v 1v 2v 1＋v 2C ．0，2v 1v 2v 1＋v 2D.2v 1v 2v 1＋v 2，2v 1v 2v 1＋v 25. 如图，在水平桌面上放置一斜面体P ，两长方体物块a 和b 叠放在P 的斜面上，整个系统处于静止状态。

2,3
右支上一点，且 PF2 F1 F2 ， PF1 F2 30 ，则该双曲线的离心率为 A. 2 B. 2 1 C.
3i 2.已知 z ，则复数 z 的虚部为 1 i 3 3 A. B. 2 2
3.命题 的否定是 “x 0,2 1 ”
x
3 1 2
D. 3 1


y 1 13.已知 x, y 满足不等式组 x y 1 ，则 z 2 x y 的最大值为 y x 1
.
5.设 S n 为等差数列 an 的前 n 项和，若 a2 a10 16, S7 14 ，则数列 an 的公差为 A. 3 B. 2 C. 1 D. 6
7 2应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17． （本小题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且 a cos B b sin A c ． （I）求角 A 的大小； （II）若 a
s=s+a
10.执行如图所示程序框图，若输出的结果为 56 ，则判断框中的条件可以是
a=a+2
A. n 7? B. n 7? C. n 6? D. n 6?
是
输出S 结束
n=n+1
否
B
D. 2,3
11.已知 F1 , F2 是双曲线
x2 y 2 1 a 0, b 0 的左、右焦点，点 P 为双曲线 a 2 b2
桂林市第十八中学 16 级高三第一次月考 文科数学
时间：2018 年 8 月 28 日 15：00-17：00

广西桂林十八中2021届高三数学第十次（适应性）月考试题 理（含解析）一、选择题1. 已知全集{}2|980U x N x x =∈-+<，集合{}3,4,5,6A =，UA =（ ）A. {}2,7B. {}1,2,7C. {}2,7,8D. {}1,2,7,8【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得全集U ，由此求得UA .【详解】由()()298180x x x x -+=--<，解得18x <<，所以{}2,3,4,5,6,7U =，所以UA ={}2,7.故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合补集的概念和运算，属于基础题. 2. 若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A.163i B. 6i C.203i D. 20【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果. 【详解】()()()32326z i a i a a i =-+=++- ∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数， ∴320a +=且60a -≠ 得23a =-，此时203z i =故选：C.【点睛】本题考查复数的概念与运算，属基础题.3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若316214S a a -+=，则9S =（ ） A. 7 B. 10C. 63D. 18【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式，结合等差中项性质即可得到答案. 【详解】等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d 所以311323332S a d a d ⨯=+=+，615a a d =+， 所以111133252814a d a a d a d +-++=+=， 所以147a d +=，即57a =， 所以1995()99632a a S a +⨯===..故选：C.【点睛】本题考查等差数列的概念与性质，属于基础题.4. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】试题分析：因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.所以其正视图和侧视图是一个圆，因为俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选B. 考点：1、阅读能力及空间想象能力；2、几何体的三视图.5. 以双曲线2213y x -=的右焦点为圆心，与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（ ）A. ()2223x y +-= B. ()2229x y -+= C. ()2223x y -+= D. ()2223x y ++=【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的右焦点坐标和渐近线方程，进而求出圆的半径，进而可得结果.【详解】3213y x -=，其中2221,3,4,2==∴==a b c c ，右焦点(2,0)渐近线方程为：y =，右焦点(2,0)到直线y =的距离为：2d == 圆的方程为：22(2)3x y -+=故选：C【点睛】本题考查了双曲线的方程和几何性质，圆的标准方程，考查了运算求解能力，属于一般题目. 6. 已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ） A.23B.29C. 13-D. 49-【答案】C 【解析】 【分析】22sin αα=可得cos 3α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos α=， 所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 7. 若323log a = ，1ln2b =，0.20.6c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c ＞b ＞a B. c ＞a ＞bC. b ＞a ＞cD. a ＞c ＞b【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解． 【详解】因为31323330log log log 1a =<=<=，1lnln102b =<=， 0.200.60.61c -=>=，所以c ＞a ＞b ． 故选：B ．【点睛】本题主要考查利用指数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题. 8. 已知在边长为3的等边ABC ∆中，12BD DC =，则AD AC ⋅=（ ） A. 6 B. 9C. 12D. －6【答案】A 【解析】 【分析】转化1()()3AD AC AB AC BD AB A B C C ⋅=+⋅=+⋅,利用数量积的定义即得解. 【详解】1()()3AD AC AB AC BD AB A B C C ⋅=+⋅=+⋅13AB AC B AC C =⋅+⋅1||||cos ||||cos 3AB AC A AC C BC =⋅+⋅11133336232=⋅⋅+⋅⋅⋅=故选：A【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用以及数量积，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 9. 函数2ln xy x=的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 分析】根据函数的定义域，特殊点的函数值符号，以及函数的单调性和极值进行判断即可. 【详解】解：由ln 0x ≠得，0x >且1x ≠， 当01x <<时，ln 0x <此0y <时，排除B,C函数的导数'2212ln 22ln 2()(ln )(ln )x x x x f x x x -⋅-==，由'()0f x >得ln 1x >，即x e >时函数单调递增，由'()0f x <得ln 1x <且1x ≠，即01x <<或1x e <<时函数单调递减，故选：D【点睛】此题考查函数图像的识别和判断，根据函数的性质，利用定义域，单调性，极值等函数特点是解决此题的关键，属于中档题. 10. 函数()()sin 22f x A x πϕϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭部分图象如图所示，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()123f x x +=，则（ ）A. ()f x 在5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数 B. ()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数 C. ()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 D. ()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，求出2A =，再由()()12f x f x =，结合题中图像，得到12222x x πϕ+⎛⎫+=⎪⎝⎭，再由()123f x x +=，求出3πϕ=，根据正弦函数的单调性，即可求出结果.【详解】由题中图像可知2A =，由图像，因为对不同的[]12,,x x a b ∈，都有()()12f x f x =，易知函数在122x x x +=取到最大值， 所以12222x x πϕ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故122x x πϕ+=-，又()123f x x +， 故()()122sin 23x x ϕ++=，得()3sin 22πϕϕ-+=， 因为2πϕ≤，所以3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z 解得：5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈；即函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；由3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈解得：7,1212ππππ+≤≤+∈k x k k Z ； 即函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；故C 选项正确，ABD 都错； 故选：C.【点睛】本题主要考查由三角函数的图像确定函数解析式，求函数的单调区间，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.11. 已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为(c,0)F ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P满足()0FP FA AP +⋅=，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. ⎫⎪⎪⎣⎭ C. ⎫⎪⎪⎣⎭ D. ⎛ ⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】取AP 中点Q ，可转化()0FP FA AP +⋅=为20FQ AP ⋅=，即FA FP =，可求得FA a =，2a FP c c≥-，求解即得.【详解】取AP 中点Q ，故20FQ AP FQ AP ⋅=∴⊥， 故三角形AFP 为等腰三角形，即FA FP =，且FA a ==由于P 在直线2a x c =上，故2a FP c c ≥-即2222110a a a a c e e c c c≥-∴≥-∴+-≥解得：e ≥e ≤01e <<故112e >≥ 故选：C【点睛】本题考查了椭圆的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 12. 若关于x 的不等式e 2x﹣a ln x 12≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. [0，2e ] B. （﹣∞，2e ]C. [0，2e 2]D. （﹣∞，2e 2]【答案】C 【解析】 【分析】讨论a ＜0时，f （x ）＝e 2x﹣a ln x 无最小值，不符题意；检验a ＝0时显然成立；讨论a ＞0时，求得f （x ）的导数和极值点m 、极值和最值，解不等式求得m 的范围，结合a ＝2me 2m，可得所求范围．【详解】解：当a ＜0时，f （x ）＝e 2x﹣a ln x 为（0，+∞）的增函数（增函数+增函数=增函数），此时0x →时，f （x ）→-∞，所以不符合题意； 当a ＝0时，e 2x ﹣a ln x 12≥a 即为e 2x ≥0显然成立； 当a ＞0时，f （x ）＝e 2x ﹣a ln x 的导数为()'f x ＝2e 2x a x-， 由于y ＝2e 2xax-在（0，+∞）递增（增函数+增函数=增函数）， 设()'f x ＝0的根为m ，即有a ＝2me 2m，22ma em=. 当0＜x ＜m 时，()'f x ＜0，f （x ）单调递减；当x ＞m 时，()'f x ＞0，f （x ）单调递增， 可得x ＝m 处f （x ）取得极小值，且为最小值e 2m﹣a ln m ， 由题意可得e 2m ﹣a ln m 12≥a ，即2a m -a ln m 12≥a ， 化为m +2m ln m ≤1，设g （m ）＝m +2m ln m ，()g m '＝1+2（1+ln m ），所以函数()g m 在320,)e -（内单调递减，在32,)e -+∞（单调递增.当m ＝1时，g （1）＝1，当0x →时，()0g m <. 可得m +2m ln m ≤1的解为0＜m ≤1， 设22()2,()2(21)0,mmh m me h m m e '=∴=+>所以函数()h m 在(0,1]单调递增.则a ＝2me 2m ∈（0，2e 2]， 综上可得a ∈[0，2e 2]， 故选：C ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二、填空题13. 函数()xf x xe =在0x =处的切线方程是________.【答案】y x = 【解析】 【分析】先求函数的导函数，再求斜率，然后利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：由函数()xf x xe =，求导可得()'(1)x f x x e =+，所以()'01f=，又()00f =，即函数()xf x xe =在0x =处的切线方程是01(0)y x -=⨯-，即y x =，故答案为：y x =.【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.14. ()52311x x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为__________. 【答案】31 【解析】 【分析】由二项式定理及其展开式得通项公式得：因为521x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式得通项为()5515=-12r r r r r T C x --+⋅⋅，则()52311x x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为： ()()45455531114C C ⨯-+-=，得解. 【详解】解：()5515=-12rrr r r T C x --+⋅⋅，则()52311x x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为： ()()451405553121231C C ⨯-⋅⋅--⋅⋅=.故答案为：31.【点睛】本题考查二项式定理及其展开式的通项公式，求某项的导数，考查计算能力.15. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动，服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，则事件A 的概率()P A =______． 【答案】332【解析】 【分析】根据题意，确定总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】因为四名同学，每人限报四个项目中的其中一项，每人均有4种选择，共44256=种情况；事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，因此事件A 包含的基本事件个数为4424A =种，因此事件A 的概率()24325632P A ==. 故答案为：332. 【点睛】本题考查求古典概型的概率，熟记公式即可，属于常考题型.16. 的球面上有三点,,A B C ，AB =O ，二面角-C AB O -的大小为60°，当直线OC 与平面OAB 所成角最大时，三棱锥O ABC -的体积为____． 【答案】3 【解析】 【分析】先表示出二面角-C AB O -的平面角，结合长度及垂直关系求出三棱锥O ABC -的高，及底面积的最大值，代入体积公式可求体积.【详解】设ABC 所在截面圆的圆心为1,O AB 的中点为D, 连接1,OD O D ， 因为OA OB =，所以⊥OD AB ，同理1O D AB ⊥，所以1ODO ∠即为二面角C AB O --的平面角， 即160ODO ∠=；因为7,23OA OB AB ===，所以2OD =在1Rt ODO △中，13sin 60OO OD ==，11cos 602O D OD ==，所以13OO =，11O D =; 所以22112O A O D AD =+=;当直线OC 与平面OAB 所成角最大时，1,,C O D 三点共线，ABC 的面积为1233332S =⨯⨯=， 此时三棱锥O ABC -的体积为111333333V S OO =⋅=⨯⨯=. 故答案为：3.【点睛】本题主要考查多面体和球的组合问题，综合了二面角，线面角及三棱锥的体积，综合性强，稍有难度，侧重考查数学运算及直观想象的核心素养. 三、解答题17. 四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AD DC ⊥，1BC CD ==，2AD =，PA PD =，E 为PC 的中点，F 为AD 的中点，平面PAD ⊥底面ABCD .（Ⅰ）证明：平面BEF ⊥平面PAD ； （Ⅱ）若PC 与底面ABCD 所成的角为3π，求二面角E BF A --的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）7-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据线段中点的性质、平行四边形形的判定定理和性质定理，结合面面垂直的性质定理和判定定理、平行线的性质进行证明即可；（Ⅱ）连结PF ，根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质定理可以证明出PF ⊥底面ABCD ，这样可以建立以FA ，FB ，FP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）//BC DF∴四边形BCDF 是平行四边形//BF CD ∴.又CD AD ⊥，BF AD ∴⊥.又面PAD ⊥面ABCD ，面PAD面ABCD AD =，BF ⊂面ABCD BF ∴⊥面PAD且BF ⊂面BEF∴平面BEF ⊥平面PAD .（Ⅱ）连结PF ，PA PD =，F 为AD 中点，PF AD ∴⊥又PF ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD平面ABCD AD =，PF ∴⊥底面ABCD ，又BF AD ⊥，以FA ，FB ，FP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设()0,0,P t ，()1,1,0C -，取平面ABCD 的法向量()10,0,1n =，()1,1,PC t =--，()0,1,0B ，11sin3n PC nPCπ⋅∴=⋅，=t ∴=(P ∴，11,,222E ⎛- ⎝⎭设平面EBF 的法向量()2,,n x y z =，2211602220n FEx y z n FB y ⎧⋅=-++=⎪∴⎨⎪⋅==⎩，令1z =， 6x ∴=，()26,0,1n =.设二面角E BF A --的平面角为θ12127cos n n n n θ⋅∴==⋅ 又θ为钝角，7cos θ∴=-，即二面角E BF A --的余弦值为7-.【点睛】本题考查了证明面面垂直，考查了面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查了利用空间向量夹角公式求二面角的平面角，考查了推理论证能力和数学运算能力.18. 已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a c +=，cos 2cos C a cB b-=． （1）求b 的最小值；（2）若a b <，2b =，求cos 6A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）32；（2）74. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=，进而得到cos B ，再结合余弦定理和基本不等式，即可求解；（2）由（1）和由正弦定理和3a c +=，求得2sin sin 333A A π⎡⎤⎛⎫⨯+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得到3sin 64A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】（1）在ABC 中，满足cos 2cos C a cB b-=，即()cos 2cos b C a c B =-， 由正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-，整理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=，即()sin 2sin cos B C A B +=， 因为()()sin sin sin B C A A π+=-=， 又因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以1cos 2B =， 因为0B π<<，所以3B π=．又由()2222293939324a c b a c ac a c ac ac +⎛⎫=+-=+-=-≥-=⎪⎝⎭．当且仅当32a c ==时，等号成立，故b 的最小值为32．（2）由（1）可得2sin b R B ==，又由正弦定理知sin sin sin 3a b c A B C ===，所以a A =，c C =，因为3a c +=2sin sin 33A A π⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 整理可得3sin 64A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 又a b <，3B π=，所以3A π<，故662A πππ<+<，所以cos 6A π⎛⎫+== ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，以及三角函数与三角恒等变换的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.19. “一带一路”为世界经济增长开辟了新空间，为国际贸易投资搭建了新平台，为完善全球经济治理拓展了新实践.某企业为抓住机遇，计划在某地建立猕猴桃饮品基地，进行饮品A ，B ，C 的开发.（1）在对三种饮品市场投放的前期调研中，对100名试饮人员进行抽样调查，得到对三种饮品选择情况的条形图.若饮品A 的百件利润为400元，饮品B 的百件利润为300元，饮品C 的百件利润为700元，请估计三种饮品的平均百件利润；（2）为进一步提高企业利润，企业决定对饮品C 进行加工工艺的改进和饮品D 的研发.已知工艺改进成功的概率为45，开发新饮品成功的概率为13，且工艺改进与饮品研发相互独立； （ⅰ）求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率；（ⅱ）若工艺改进成功则可为企业获利80万元，不成功则亏损30万元，若饮品研发成功则获利150万元，不成功则亏损70万元，求该企业获利ξ的数学期望. 【答案】（1）415元；（2）（ⅰ）35；（ⅱ）1843. 【解析】 【分析】（1）根据样本的条形图可得顾客选择饮品A 、选择饮品B 、选择饮品C 的的频率，从而可计算总体的百件利润平均值.（2）（ⅰ）设饮品工艺改进成功为事件A ，新品研发成功为事件B ，事件M 为工艺改进和新品研发恰有一项成功，则()()()P M P AB P BA =+，从而可计算工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率. （ⅱ）求出ξ的分布列后可求ξ的数学期望.【详解】（1）根据样本的条形图可得顾客选择饮品A 的频率为350.35100=， 选择饮品B 的频率为450.45100=， 选择饮品C 的频率为200.20100=； 由样本估计总体可得总体顾客中选择饮品A 的概率为350.35100=， 选择饮品B 的概率为450.45100=选择饮品C的概率为200.20100=； 则可以得到总体的百件利润平均值为4000.353000.457000.20415⨯+⨯+⨯=元. （2）（i ）设饮品工艺改进成功为事件A ，新品研发成功为事件B ， 依题意可知事件A 与事件B 相互独立，事件M 为工艺改进和新品研发恰有一项成功. 则()()()1142353535P M P AB P BA =+=⨯+⨯=. （ⅱ）由题意知企业获利ξ的取值为100-，10，120，230， 则()1221005315P ξ=-=⨯=，()428105315P ξ==⨯=， ()1111205315P ξ==⨯=，()4142305315P ξ==⨯=.故ξ的分布列如下：所以()281418410010120230151515153E ξ=-⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查条形图的应用以及独立事件的概率公式的应用，还考查了离散型随机变量的分布列与数学期望，本题属于中档题.20. 设抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为()1,1.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若B ，C 为抛物线E 上的两个动点（异于点A ），且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围. 【答案】（1）24x y =；（2）()[),610,-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）设点()00,A x y ，由线段AF 的中点坐标可得出点A 的坐标，再代入抛物线E 的标准方程可得出关于p 的方程，解出正数p 的值，即可得出抛物线E 的标准方程；（2）设点211,4y B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4x C x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出直线AB 的斜率，进而求出直线BC 的方程，将直线BC 的方程与抛物线E 的标准方程联立，可得出()21122160x x x x ++++=，可知该方程有解，由0∆≥可求得x 的取值范围，并进行检验，由此可得出点C 的横坐标的取值范围.【详解】（1）依题意得0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,A x y ，由AF 的中点坐标为()1,1，得0012212x p y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即02x =，022p y =-，所以4222p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2440p p -+=，即2p =，所以抛物线E 的标准方程为24x y =；（2）由题意知()2,1A ，设211,4xB x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4xC x ⎛⎫⎪⎝⎭，则()2111114224BA x kx x -==+-，因为12x ≠-，所以142BCk x =-+，BC 所在直线方程为()2111442x y x x x --=-+，联立()211124424x y x x x x y ⎧--=-⎪+⎨⎪=⎩， 因为1x x ≠，得()()112160x x x +++=，即()21122160x x x x ++++=，因为()()2242160x x ∆=+-+≥，即24600x x --≥，故10x ≥或6x ≤-. 经检验，当6x =-时，不满足题意； 所以点C 的横坐标的取值范围是()[),610,-∞-+∞.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了由直线垂直求抛物线上的点的横坐标的取值范围，考查计算能力，属于中等题.21. 已知函数()()ln f x a x b =+（1）若1a =，0b =，求()f x 的最大值； （2）当0b >时，讨论()f x 的极值点的个数. 【答案】（1）()max 2ln 22f x =-；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）当1a =，0b =时，()ln f x x =()f x 的单调性即可；（2）求出fx ，然后分0a ≤、0a <≤、a >.【详解】（1）当1a =，0b =时，()ln f x x =此时，函数()f x 的定义域为0,，()1f x x '==由0fx 得：04x <<；由0f x 得：4x >，所以()f x 在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减. 所以()()max 42ln 22f x f ==-，（2）当0b >时，函数()f x 定义域为[)0,+∞，()a f x xb '==+ ①当0a ≤时，0f x对任意的()0,x ∈+∞恒成立，()f x 在0,上单调递减，所以此时()f x 极值点的个数为0个；②当0a >时，设()2h x x b =-+，（i ）当2440a b -≤，即0a <≤时，()0f x '≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，即()f x 在0,上单调递减，所以此时()f x 极值点的个数为0个；（ii ）当2440a b ->，即a >()0h x =的两根分别为12,x x ，0a =>0b =>，所以12,x x 都大于0， 即fx 在0,上有2个左右异号的零点，所以此时()f x 极值点的个数为2.综上所述a ≤()f x 极值点的个数为0个；a >()f x 极值点的个数为2个.【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性、最值和极值点，考查了分类讨论的思想，属于较难题.22. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为π,22sin 6π1,π.2θθρθ≤<⎪+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎪≤≤⎪⎩ （1）求曲线C 与极轴所在直线围成图形的面积； （2）设曲线C 与曲线1sin 2ρθ=交于A ，B 两点，求AB . 【答案】（1）1π4；（2【解析】 【分析】（1）利用互化公式，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线C 与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的14圆周及一个两直角边分别为1（2）联立方程组，分别求出A 和B 的坐标，即可求出AB .【详解】解：（1）由于C的极坐标方程为π,22sin 6π1,π.2θθρθ≤<⎪+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎪≤≤⎪⎩， 根据互化公式得，曲线C 的直角坐标方程为：当0x <≤0x -=，当10x -≤≤时，221x y +=， 则曲线C 与极轴所在直线围成的图形， 是一个半径为1的14圆周及一个两直角边分别为1∴围成图形的面积1π4S =.（2）由11sin 2ρρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得5π1,6A ⎛⎫⎪⎝⎭，其直角坐标为321⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 1sin 2ρθ=化直角坐标方程为12y =， 3π2sin 6ρθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭化直角坐标方程为33x y += ∴312B ⎫⎪⎝⎭， ∴33322AB ==【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算能力.23. 已知0m n >>，函数1()()f x x n m n =+-.（1）若4m =，1n =，求不等式()6f x >的解集； （2）求证：2()4f x x m --.【答案】（1）1719 33x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭∣或；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）代入4m =，1n =，转化163x +>为163x +>或163x +<-，即得解； （2）利用绝对值不等式的性质，可得到21()222111()()()x x m x x m m n m n n m n n m n ++-+--=+---，再借助均值不等式()2(n m n n m +--214()n m n m -，即222144()m m n m n m ++-，可得证 【详解】（1）依题意，1()3f x x =+， 则11()66633f x x x >⇔+>⇔+>或163x +<-， 解得173x >或193x <-， 故不等式()6f x >的解集为1719 33x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭∣或. （2）依题意，221()44()f x x m x x m n m n --⇔++--，因为()222111()()()x x m x x m m n m n n m n n m n ++-+--=+---， ()2(m n m n n m =+--，故214()nm n m -，故222144()m m n m n m ++-，当且仅当m =，n =时等号成立. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，绝对值不等式的性质和均值不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题。

桂林十八中18级高三第二次月考试卷数 学（理科）命题：霍荣友 审题：谭振枝注意事项：① 试卷共4页，答题卡2页。

考试时间120分钟，满分150分；②正式开考前，请务必将自己的姓名、学号用黑色水性笔填写清楚填涂学号； ③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分。

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.{}{}{}{}{}2|3100,|22,.|21.|51..0x A x x x B x A B A x x B x x C D =--<=<=-<<-<<∅1.已知集合则2+32=32.1.1.2.2iz z iA B C D ---.设,则的虚部为00200222200003:2,.2.2.2.=2n n n nnp n N n p A n N n B n N n C n N n D n N n ∃∈>⌝∀∈>∃∈≤∀∈≤∃∈.已知命题，则为，，，，{}256439,.36.32.28.24n n S a n a a S A B C D ===.记为等差数列的前项和，若，则153,2.6.9.12.6ABC BD DC AD AC A B C D =⋅=-.在边长为的等边三角形中,则 ()(26202,22,22.22..22y px p M F MF A B C D =>-.已知抛物线经过点焦点为，则直线的斜率为()()()()1212172cos ,23...2.42f x x x R f x f x f x x x A B C D πππππ⎛⎫=-∈≤≤- ⎪⎝⎭.设函数若对任意都有成立，则的最小值为()()4238121.8.6.8.6x x x x A B C D -++--.的展开式中含的项的系数为0.40.8890.8,0.4,log 4,....a b c A a b cB a c bC c a bD b c a===<<<<<<<<.已知则()()(]()()()1010,132,20192020.0.1.1.2x f x R f x x f x f f A B C D +∈=-+=-.已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，则112902,,,3.15.20.25.30ABCD ABD ABD ABD BD A BD C A B C D A B C D πππππ∆∠=∆--.在平行四边形中，是腰长为的等腰直角三角形，,现将沿折起，使二面角的大小为，若四点在同一个球面上，则该球的表面积为()()()()()()()()())1122112112ln ,,,.19021,13021..0.1.2.3x l f x e g x x A x y B x y AOB O x x x x A B C D ==∠>∈-<->.已知直线与曲线和分别相切于点有以下命题：为原点；；当时，则真命题的个数为二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13tan 2tan 4παα⎛⎫=-=⎪⎝⎭.已知，则3014,11x y y x y x z x y +-≤⎧⎪≥=⎨⎪≥⎩.已知实数满足约束条件，则的最小值为{}()111021215,.22n n n n a n S a a a n N S n n*+=-+=∈=+.已知数列的前项和为,满足且则()22222216:1:2193x y F C A B E x y AB AF -=+=+.已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上,为圆+上一点，则的最小值为三、解答题：共70分。