人教版高一物理必修1第二章匀变速直线运动的研究专题复习：追及和相遇问题

追及与相遇问题

教学内容

两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系求解。

一、 追及问题

1、追及问题的特征及处理方法：

“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：

⑴ 初速度比较小（包括为零）的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上。

a、追上前，当两者速度相等时有最大距离；

b、当两者位移相等时，即后者追上前者。

⑵ 匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，存在一个能否追上的问题。

判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。

解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。

a、当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者，则永远追不上，此时两者间有最小距离；

b、若两者速度相等时，两者的位移也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件；

c、若两者速度相等时，追者位移大于被追者，说明在两者速度相等前就已经追上；在计算追上的时间时，设其位移相等来计算，计算的结果为两个值，这两个值都有意义。 即两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个较大值。

⑶ 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，情形跟⑵类似。

匀速运动的物体甲追赶同向匀减速运动的物体乙，情形跟⑴类似；被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。

2、分析追及问题的注意点：

⑴ 要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。

⑵ 若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。

⑶ 仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意vt图象的应用。

二、相遇

⑴ 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。

⑵ 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

【典型例题】

【例1】 在十字路口，汽车以0.5m/s2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：

（1） 汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远？最远距离是多少？

（2） 在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？

解：①汽车追上自行车之前，两车速度相等时相距最远，设所用时间为t

v汽＝at＝v自 t＝10s 最远距离x＝x自－x汽＝v自t－21at2＝25m

②设汽车追上自行车所用时间为t／ 此时x自＝x汽 v自t／＝21a t／2 t／＝20s

此时距停车线距离 x＝v自t／＝100m 此时汽车速度 v汽＝a t／＝10m/s

【例2】 客车以30m/s的速度行驶,突然发现前方72 m处有一自行车正以6m/s的速度同向匀速行驶,于是客车紧急刹车,若以3m/s2的加速度匀减速前进,问：

（1） 客车是否会撞上自行车?若会撞上自行车，将会在匀减速前进多久时撞上？

（2） 若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时距离自行车至少多远？

（3）

若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少多大？

解析：（1）速度相等时用时t,则30-3t=6m/s解得t=8s,此时自行车行驶6*8=48m,客车行驶30*8-1/2*3*8*8=144,72+48=120m<144m,所以会撞上.假设t时刻撞上,则有30*t-1/2*3t2=72+6*t解得t1=4s,t2=12s（舍去）

（2）不会撞上则速度相同时刚好不会撞上.由（1）中得144=48+S,所以至少相差96m.

（3）两车速度相等经历的时间为：t′=

根据位移关系有：v1t′+1/2*at′2=v2t′+72m

代入数据解得客车刹车的加速度最小值为：a=4m/s2．

【例3】 在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使：

（1）两车不相遇；

（2）两车只相遇一次；

（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。

解析：设两车速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追及乙车时，应有

其中 解得 。

若，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，及两车不相遇。 若，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大。

若，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次。

【例4】 如图,A、B两物体相距S=7米,A正以V1=4米/秒的速度向右做匀速直线运动,而物体B此时速度V2=10米/秒,方向向右,做匀减速直线运动(不能返回),加速度大小a=2米/秒2,从图示位置开始计时,经多少时间A追上B.

解: 物体B的运动时间为 5210aVtAB秒

在此时间内B前进了 255210BBtVS米

这时A前进了 2054 BAAtVS米

可见在此时间内A没有追上B,必须在B停止后,A才能追上B.

故A追上B的时间为: 84257ABVSSt秒 v2-v1

a

A B

S V1 V2 【例5】 一辆摩托车行驶的最大速度为30m/s。现让该摩托车从静止出发，要在4分钟内追上它前方相距1千米、正以25m/s的速度在平直公路上行驶的汽车，则该摩托车行驶时，至少应具有多大的加速度？

解：假设摩托车一直匀加速追赶汽车。则：

221atV0t+S0 ……（1）

a =24.024010002240252222200tStV（m/s2） ……（2）

摩托车追上汽车时的速度： V = at = 0.24240 = 58 (m/s) （3）

因为摩托车的最大速度为30m/s，所以摩托车不能一直匀加速追赶汽车。

应先匀加速到最大速度再匀速追赶。

tVSttVatm0012121 ……（4）

Vm ≥at1 ……（5）

由（4）（5）得：t1=40/3（秒）

a=40903/40302.25 (m/s)

【例6】汽车以1m/s2的加速度起动，同时车后60m远处有一人以一定速度V0匀速追赶要车停下．已知人在离车小于20m，且持续时间为2s喊停车，方能把停车信息传达给司机，问V0至少要多大？如果以V0=10m/s的速度追车，人车距离最小值应为多少？

解：

方法一、 设经过时间T人和车相距20m，则根据位移关系可得 60 m＋1/2aT²－V0T＝20m

将a＝1m/ s2代入上式并整理得 T 2－2V0T＋80＝0

设T1、T2为该方程的两个根，由韦达定理有 T1＋T2＝2V0 ① T1·T2＝80 ②

又因为人车相距20 m以内的时间至少持续2s，所以有 T1－T2＝2 ③

解①②③可得的最小速度为9m/s。

当V0＝10m/s时经过一段时间t后人车之间距离为

d＝1/2aT 2＋60－V0T＝1/2T 2－10T＋60＝1/2(T－10) 2＋10

∴当T＝10s时,d取得最小，即人与车的最小距离为10m。

点评 本题可以有多种解法，相比较而言用韦达定理和配方法求解更为简便一些，这种简便不仅体现在求解运算上，更体现在解题思路上。

方法二、已知人在离车小于20m，且保持时间为2s喊停车方能把停车信息转达到司机，那么题意就是当距离为20m后，再经过2s，距离仍然不超过这个范围。相当于人追赶了车40m.

所以有，vt-1/2at2=40 ① 同时v(t+2）-1/2a (t+2)2=40 ②

②-①得 t=v/a+1 ③ 将③代入①得最小速度v = 9m/s.

如果v=10m/s，当然是车的速度也是10m/s的时候，距离最小。

所以最小距离=60-10*10-1/2*102=10m

方法三、因为人在离车距离小于20m.持续时间为2s喊停车.才能把信息传给司机.经过时间t后人与车相距为20m 即 1/2at2+60-vot=20

此时车速为at ，接下来2s内保持20m距离即 2×vo=at×2+1/2a×22.

解得 t=8s. vo=9m/s

方法四、 根据题意，要在汽车的速度达到v之前，人与车的距离小于20m，因为如果在汽车速度达到v的时候人车的距离还大于20m，那汽车在加速，速度变得比人快，人车的距离就在变大了，永远都追不上了，同时也不能等于，因为人在叫的时候要2秒，那会儿，汽车还在行进，我们的目标是要使人在叫的过程中人车的距离都要小于20m,既然这样那就分析当人叫完两秒的时候的情况。人距车的距离关于t=v/a对称，也就是说t=v/a+1也就是t=v+1（因为a=1）时，人距车必须小于20米，有60+1/2*(v+1)^2-v*(v+1)<=20,解出vo就行了

方法五、根据判别式等于零来求解。

练习：车从静止开始以1 m/s2的加速度前进，在车开始运动的同时，车后20 m处，某人骑自行车开始以6 m/s的速度匀速追赶，能否追上？若不能追上，人与车的最小距离是多少？若能追上，什么时候追上？

[解析] 解法一：利用速度相等这一条件求解．

当车的速度与人的速度相等时，相距最近，此时若追不上，以后永远追不上．

v车＝at，v人＝v0

当v车＝v人时，at＝v0，所以得时间t＝v0a＝61 s＝6 s

以人开始追时的位置为起点，此时人与车的位移分别为x人＝v人t＝6 m/s×6 s＝36 m

x车＝x0＋12at2＝20 m＋12×1 m/s2×(6 s)2＝38 m

显然x车>x人，追不上．

人与车相距最近为Δx＝x车－x人＝38 m－36 m＝2 m

解法二：利用二次函数求解

车与人的位移分别为x车＝x0＋12at2

x人＝v0t

车与人相距

Δx＝x车－x人＝x0＋12at2－v0t＝20＋12t2－6t＝12(t－6)2＋2 m

显然Δx总大于2 m，即追不上，而且当t＝6 s时，Δx有最小值2 m，即相距最近为2 m.

[答案] 不能 2 m