北师大版九级数学上正方形的性质与判定正方形的判定专题练习题及答案

北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步测试题带答案·知识点1正方形的性质1.正方形具有而矩形不具有的性质是( )A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相垂直2.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=8√2cm,则EF的长度为( )A.1 cmB.2 cmC.2√2cmD.4 cm3.(2023·青岛中考)如图,O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为√6.4.如图,在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,求证:△ABE≌△ADF.·知识点2利用正方形的性质求面积5.为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为( )A.2a2B.3a2C.4a2D.5a26.将三个大小不同的正方形如图放置,顶点处两两相接,若正方形A的边长为4,正方形C的边长为3,则正方形B的面积为( )A.25B.5C.16D.127.(2023·重庆中考)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为( )A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°8.(2023·黄石中考)如图,正方形OABC的边长为√2,将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°,则点B的对应点B1的坐标为( )A.(-√2,0)B.(√2,0)C.(0,√2)D.(0,2)9.(2023·黔东南州中考)如图,在边长为2的等边△ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为√3.10.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点P为AD边上的一点,过点P分别作PE⊥AC于点E,作PF⊥BD于点F.若PE+PF=5,则正方形ABCD 的面积为.【素养提升】11.(2023·贵阳中考)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF∥AD.(1)求证:△ABE≌△FMN;(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.【解题模型】·模型:正方形内两条直线与对边相交所成线段若垂直则必相等(若相等则必垂直)模型.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE,BF相交于点O,若AE⊥BF,则AE=BF.如图2,点E,F,G,H分别在边BC,CD,DA,AB上,EG,FH相交于点O,若GE=HF,则GE⊥HF.参考答案·知识点1正方形的性质1.正方形具有而矩形不具有的性质是(D)A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相垂直2.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=8√2cm,则EF的长度为(B)A.1 cmB.2 cmC.2√2cmD.4 cm3.(2023·青岛中考)如图,O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为√6.4.如图,在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,求证:△ABE≌△ADF.【证明】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABE=∠ADF在△ABE与△ADF中{AB=AD∠ABE=∠ADFBE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).·知识点2利用正方形的性质求面积5.为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为(A)A.2a2B.3a2C.4a2D.5a26.将三个大小不同的正方形如图放置,顶点处两两相接,若正方形A的边长为4,正方形C的边长为3,则正方形B的面积为(A)A.25B.5C.16D.127.(2023·重庆中考)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为(C)A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°8.(2023·黄石中考)如图,正方形OABC的边长为√2,将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°,则点B的对应点B1的坐标为(D)A.(-√2,0)B.(√2,0)C.(0,√2)D.(0,2)9.(2023·黔东南州中考)如图,在边长为2的等边△ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为√3+1.10.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点P为AD边上的一点,过点P分别作PE⊥AC于点E,作PF⊥BD于点F.若PE+PF=5,则正方形ABCD的面积为50.【素养提升】11.(2023·贵阳中考)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF∥AD.(1)求证:△ABE≌△FMN;(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.【解析】略【解题模型】·模型:正方形内两条直线与对边相交所成线段若垂直则必相等(若相等则必垂直)模型.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE,BF相交于点O,若AE⊥BF,则AE=BF.如图2,点E,F,G,H分别在边BC,CD,DA,AB上,EG,FH相交于点O,若GE=HF,则GE⊥HF.。

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形1.3正方形的性质与判定同步练习题一、选择题1．下列说法正确的是(C)A ．一组邻边相等的四边形是菱形B ．四边相等的四边形是正方形C ．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形D ．对角线相等的矩形是正方形2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是(D)A ．BC ＝ACB ．BD ＝DFC ．CF ⊥BFD ．AC ＝BF3．如图，正方形ABCD 中，AB ＝1，则AC 的长是(B)A ．1 B. 2 C. 3 D ．24.如图，正方形ABCD 的边长是2，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别在边AD ，AB 上，且OE ⊥OF ，则四边形AFOE 的面积是(C)A ．4B ．2C ．1 D.125.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为坐标原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，对角线AC 与BD 相交于点E ，P 为BC 上一点，点P 坐标为(a ，b)，则点P 绕点E 顺时针旋转90°得到的对应点P ′的坐标是(D)A ．(a －b ，a)B ．(b ，a)C ．(a －b ，0)D ．(b ，0)二、填空题 6.如图，在正方形ABCD 的外侧作等边△ABE ，则∠BFC ＝60°.7．如图，在正方形ABCD 中，E 是BD 上一点，BE ＝BA ，则∠ACE ＝22.5°．8．如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点A ，C 到直线l 的距离分别是3和4，则正方形ABCD 的面积是25．9.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点O 是AB 的中点，且AC ＝1，将一块直角三角板的直角顶点放在点O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC ，BC 相交，交点分别为D ，E ，则两个三角形重叠部分的面积为14．三、解答题10.如图，在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，BF ∥CE ，CF ∥BE.求证：四边形BECF 是正方形．证明：∵BF ∥CE ，CF ∥BE ，∴四边形BECF 是平行四边形．又∵在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠DCB ，∴∠EBC ＝∠ECB ＝45°.∴∠BEC ＝90°，BE ＝CE.∴四边形BECF 是正方形．11.如图，点M ，N 分别是正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，且BM ＝CN ，AM 与BN 交于点P ，试探索AM 与BN 的关系．(1)数量关系AM ＝BN ，并证明；(2)位置关系AM ⊥BN ，并证明．解：(1)AM ＝BN.证明如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM ＝∠BCN ＝90°，AB ＝BC.在△ABM 和△BCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN ，BM ＝CN ，∴△ABM ≌△BCN(SAS)．∴AM ＝BN.(2)AM ⊥BN.证明如下：∵△ABM ≌△BCN ，∴∠BAM ＝∠NBC.∵∠NBC ＋∠ABN ＝∠ABC ＝90°，∴∠BAM ＋∠ABN ＝90°.∴∠APB ＝90°.∴AM ⊥BN.12.如图，等边△AEF 的顶点E ，F 在矩形ABCD 的边BC ，CD 上，且∠CEF ＝45°.求证：矩形ABCD 是正方形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝∠C ＝90°.∵△AEF 是等边三角形，∴AE ＝AF ，∠AEF ＝∠AFE ＝60°.∵∠CEF ＝45°，∴∠CFE ＝∠CEF ＝45°.∴∠AFD ＝∠AEB ＝180°－45°－60°＝75°.∴△AEB ≌△AFD(AAS)．∴AB ＝AD.∴矩形ABCD 是正方形．13.已知：如图，P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥DC ，PF ⊥BC ，E ，F 分别为垂足，求证：AP ＝EF.证明：连接PC.∵ABCD 是正方形，∴∠ABP ＝∠CBP ，∠BCD ＝90°.∵PE ⊥CD ，PF ⊥BC ，∴四边形PFCE 是矩形．∴EF ＝PC.在△ABP 和△CBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABP ＝∠CBP ，BP ＝BP ，∴△ABP ≌△CBP(SAS)．∴AP ＝CP.∴AP ＝EF.14.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 上一点，连接EB.过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F.求证：OE ＝OF.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOE ＝∠AOF ＝90°，OB ＝OA.又∵AM ⊥BE ，∴∠BEO ＋∠MAE ＝∠AFO ＋∠MAE ＝90°.∴∠BEO ＝∠AFO.∴△BOE ≌△AOF(AAS)．∴OE ＝OF.15.已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OE ，OF.(1)求证：△BCE ≌△DCF ；(2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ＝OF ＝OE ＝12BC ，OE ∥BC. 在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D ，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS)．(2)当AB ⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形，理由如下：由(1)可得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ，∴OE ⊥AB.∴∠AEO ＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．16.如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，点E ，F 分别在AB ，BC 上(AE ＜BE)且∠EOF ＝90°，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN.求证：OM ＝ON.证明：∵∠EOF ＝90°，∠AOB ＝90°，∴∠AOM ＝∠BON.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAC ＝∠ABD ＝45°，OA ＝OB.∴∠OAM ＝∠OBN ＝135°.在△AOM 和△BON 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOM ＝∠BON ，OA ＝OB ，∠OAM ＝∠OBN ，∴△AOM ≌△BON(ASA)．∴OM ＝ON.17.如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，连接DE ，过点A 作AG ⊥ED 交DE 于点F ，交CD 于点G.(1)求证：△ADG ≌△DCE ； (2)连接BF ，求证：AB ＝FB.证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADG ＝∠C ＝90°，AD ＝DC.又∵AG ⊥DE ，∴∠DAG ＋∠ADF ＝∠CDE ＋∠ADF ＝90°.∴∠DAG ＝∠CDE.∴△ADG ≌△DCE(ASA)．(2)延长DE 交AB 的延长线于点H ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.又∵∠C ＝∠HBE ＝90°，∠DEC ＝∠HEB ，∴△DCE ≌△HBE(ASA)．∴BH ＝DC ＝AB.∴B 是AH 的中点．又∵∠AFH ＝90°，∴在Rt △AFH 中，BF ＝12AH ＝AB. 18.如图1，▱ABCD 中，O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E.(1)求证：△AOD ≌△EOC ；(2)如图2，连接AC ，DE ，当∠B ＝∠AEB ＝45°时，求证：四边形ACED 是正方形．图1 图2证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠D ＝∠OCE ，∠DAO ＝∠E.∵O 是CD 的中点，∴OC ＝OD.在△AOD 和△EOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠OCE ，∠DAO ＝∠E ，DO ＝CO ，∴△AOD≌△EOC(AAS)．(2)∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE.又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∴∠COE＝∠BAE＝90°.∴四边形ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD.∴四边形形ACED是正方形．19.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，连接BG，DE.(1)试判断BG与DE的关系； (2)当AB＝3，CE＝2时，求BE2＋DG2的值．解：(1)延长BG交DE于点H.∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形．∴DC＝BC，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°.∴Rt△BCG≌Rt△DCE(SAS)．∴BG＝DE，∠GBC＝∠EDC.∵∠BGC＋∠GBC＝90°，∠BGC＝∠DGH，∴∠DGH＋∠EDC＝90°.∴∠DHG＝90°.∴BG⊥DE.∴BG与DE的关系是BG＝DE且BG⊥DE.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝DC＝3.∴BE＝BC＋CE＝3＋2＝5.∵四边形CEFG是正方形，∴CG＝CE＝2.∴DG＝DC－CG＝3－2＝1.∴BE 2＋DG 2＝25＋1＝26.20.如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上任意一点，∠AEF ＝90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F.求证：AE ＝EF.证明：在AB 上截取BM ＝BE ，连接ME.∵∠B ＝90°，CF 平分∠DCH ，∴∠BME ＝∠FCH ＝45°.∴∠AME ＝∠ECF ＝135°.∵∠AEF ＝90°，∴∠AEB ＋∠FEC ＝90°.∵∠AEB ＋∠MAE ＝90°，∴∠MAE ＝∠FEC.∵AB ＝BC ，BM ＝BE ，∴AM ＝EC.在△AME 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MAE ＝∠CEF ，AM ＝EC ，∠AME ＝∠ECF ，∴△AME ≌△ECF(ASA)．∴AE ＝EF.21.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，E 是对角线AC 上一点，且EB ＝ED.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若DE ＝EC ＝26，AD ＝43，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AE ＝AE ，ED ＝EB ，∴△ADE ≌△ABE(SSS)．∴∠AED ＝∠AEB ，∠DAC ＝∠BAC.在△ADC 和△ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，∠DAC ＝∠BAC ，AC ＝AC ，∴△ADC ≌△ABC(SAS)．∴DC ＝BC.∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB.∴∠ACB ＝∠BAC.∴AB ＝BC.∴AB ＝BC ＝CD ＝AD.∴四边形ABCD 是菱形．(2)∵DE ＝EC ＝26，AD ＝43，∴DE 2＋EC 2＝AD 2＝CD 2.∴∠DEC ＝90°.∴∠DCE ＝∠EDC ＝45°.∵△ADC ≌△ABC ，∴∠BCE ＝∠DCE ＝45°.∴∠DCB ＝90°.∵四边形ABCD 是菱形，∴四边形ABCD 是正方形．22.如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE.(1)求证：CE ＝CF ；(2)若点G 在AD 上，且∠GCE ＝45°，则GE ＝BE ＋GD 成立吗？为什么？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS)．∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由：由(1)得，△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠BCD ＝∠ECF ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∴△ECG ≌△FCG(SAS)．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.23．如图，在▱ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，AE ＝CG ，AH ＝CF ，且EG 平分∠HEF.(1)求证：△AEH ≌△CGF ；(2)若∠EFG ＝90°，求证：四边形EFGH 是正方形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C.在△AEH 和△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CG ，∠A ＝∠C ，AH ＝CF ，∴△AEH ≌△CGF(SAS)．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠B ＝∠D.∵AE ＝CG ，AH ＝CF ，∴EB ＝DG ，HD ＝BF.∴△BEF ≌△DGH(SAS)．∴EF ＝HG.又∵△AEH ≌△CGF ，∴EH ＝GF.∴四边形EFGH 为平行四边形．∴EH ∥FG.∴∠HEG ＝∠FGE.∵EG 平分∠HEF ，∴∠HEG ＝∠FEG.∴∠FGE ＝∠FEG.∴EF ＝GF.又∵∠EFG ＝90°，∴四边形EFGH 是正方形．24.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，CD 上一点，且∠EAF ＝45°，AE ，AF 分别交对角线BD 于点M ，N.求证：MN 2＝BM 2＋DN 2.解：过点A 作GA ⊥AN ，使GA ＝NA ，连接GB ，GM.∵∠GAB ＋∠BAF ＝90°，∠NAD ＋∠BAF ＝90°，∴∠GAB ＝∠NAD.在△GAB 和△NAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧GA ＝NA ，∠GAB ＝∠NAD ，BA ＝DA ，∴△GAB ≌△NAD(SAS)．∴∠ABG ＝∠ADN ＝45°，BG ＝DN.∴∠GBM ＝90°.∵∠EAF ＝45°，∠GAN ＝90°，∴∠GAM ＝45°.在△GAM 和△NAM 中，⎩⎪⎨⎪⎧GA ＝NA ，∠GAM ＝∠NAM ，AM ＝AM ，∴△GAM ≌△NAM(SAS)．∴GM ＝MN.在Rt △GBM 中，GM 2＝GB 2＋BM 2，∴MN 2＝BM 2＋DN 2.25.如图，四边形ABCD 是正方形，G 是直线BC 上的任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F.(1)如图1，若点G 在线段BC 上，判断AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并说明理由；(2)若点G 在BC 延长线上，判断AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并说明理由；(3)若点G 在CB 延长线上，直接写出AF ，BF ，EF 之间的数量关系．解：(1)AF ＝EF ＋BF.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AFB ＝∠DEA ＝90°. ∴∠BAF ＋∠DAE ＝∠DAE ＋∠ADE ＝90°. ∴∠BAF ＝∠ADE.在△BAF 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠DEA ，∠BAF ＝∠ADE ，AB ＝DA ，∴△BAF ≌△ADE(AAS)．∴AE ＝BF. ∴AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF.(2)AF ＋EF ＝BF.理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°.∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AFB ＝∠DEA ＝90°. ∴∠BAF ＋∠DAE ＝∠DAE ＋∠ADE ＝90°. ∴∠BAF ＝∠ADE.在△BAF 和△ADE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠DEA ，∠BAF ＝∠ADE ，AB ＝DA ，∴△BAF ≌△ADE(AAS)．∴AE ＝BF. ∴AF ＋EF ＝AE ＝BF.(3)AF ＋BF ＝EF.。

第一章 特殊平行四边形1 . 3.2 正方形的性质与判定〔二〕【根底练习】 一、填空题：1. 在正方形ABCD 的AB 边的延长线上取一点E ，使BE = BD ，连接DE 交BC 于F ，那么∠BFD = °；2. ：四边形 ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O . ①假设OA = OB ，且OA ⊥OB ，那么四边形ABCD 是 ，②假设AB = BC ，且AC = BD ，那么四边 形ABCD 是 ；3. 正方形边长为a ，假设以此正方形的对角线为一边作正方形，那么所作正方形的对角线长为 . 二、选择题：1. 四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，以下条件中，能判定这个四边形是正方形的是〔 〕；A. AO = BO = CO = DO ，AC ⊥BDB. AB ∥CD ，AC = BDC. AD ∥BC ，∠A =∠CD. AO = CO ，BO = C O ，AB = BC2. 四边形ABCD 的对角线AC = BD ，且AC ⊥BD ，分别过A 、B 、C 、D 作对角线的平行线，那么所构成的四边形是〔 〕.A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形 三、解答题：1. ：如右图，△ABC 中，∠BAC = 90°，分别以AB 、BC 为边作正方形 ABDE 和正方形BCFG ，延长DC 、GA 交于点P . 求证：PD ⊥PG .DC BA图3-19GE P F2．如右图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ． 〔1〕求证：DE=DF ．〔2〕只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．〔不另外添加辅助线，无需证明〕【综合练习】：如右图，正方形ABCD 中，AE ∥BD ，BE = BD ，BE 交AD 于F . 求证：DE = DF .DCBA图3-20E F【探究练习】如右图，要把边长为1的正方形ABCD 的四个角〔阴影局部〕剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩以下图形的面积为原正方形面积的59，请说明理由.11BA1A 图3-21参考答案【根底练习】 一、； 2. 正方形，正方形； 3. 2a . 二、1. A ； 2. D.三、1.提示：证△ABG ≌△DBC .2．〔1〕提示：证△DEB ≌△DFC ，〔2〕∠A=900167，四边形AFDE 是平行四边形等〔方法很多〕 【综合练习】提示：先证∠DBE = 30°.【探究练习】提示：AA 1 = BB 1 = CC 1 = DD 1 = 13〔或= 23〕.4 相似多边形一、选择题1.△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是2∶3，那么△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比是 ( ) ∶∶4 ∶∶22.将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的 ( )倍倍 倍倍3.在△ABC 中，DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，且AD ∶DB =1∶2，那么以下结论正确的选项是( )A. BC DE =21B. BC DE =31C. 的周长的周长ABC ADE ∆∆=21D. ABC ADE S S ∆∆=314.如图1，ABCD 中，AE ∶ED =1∶2，S △AEF =6 cm 2，那么S △CBF 等于( )图1 A.12 cm 2B.24 cm 2C. 54 cm 2D.15 cm 25.以下说法中正确的选项是( ) A.位似图形可以通过平移而相互得到 B.位似图形的对应边平行且相等 C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等 二、填空题6.△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比是3∶4，△ABC 的周长是27 cm ，那么△A ′B ′C ′的周长为________.7.两个相似多边形对应边的比为3∶2，小多边形的面积为32 cm 2，那么大多边形的面积为________. 8.假设两个三角形相似，且它们的最大边分别为6 cm 和8 cm ，它们的周长之和为35 cm ，那么较小的三角形的周长为________.9.在矩形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，如果矩形ABCD ∽矩形BCFE ，那么AD ∶AB =________，相似比是________，面积比是________.10.，如图2，A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，且OA ′∶A ′A =4∶3，那么△ABC 与________是位似图形，位似比为________；△OAB 与________是位似图形，位似比为________.图2三、解答题11.在比例尺为1∶50000的地图上，一块多边形地区的周长是72 cm，多边形的两个顶点A、B之间的距离是25 cm，求这个地区的实际边界长和A、B两地之间的实际距离.12.如图3，梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于E，假设S△DCE∶S△DCB=1∶3，求S△DCE∶S△ABD.图313.：△ABC∽△A′B′C′，它们的周长之差为20，面积比为4∶1，求△ABC和△A′B′C′的周长.14.选取一个你喜欢的图形，然后将此图形放大，使放大后的图形的面积是原图形面积的4倍.参考答案一、二、6.36 cm7.72 cm28.15 cm9.2∶2 2∶1 2∶110.△A′B′C′ 7∶4 △OA′B′ 7∶4三、千米千米∶613.40 2014.略。

北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形3.正方形的性质与判定正方形的判定专题练习题1．下列说法不正确的是()A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是() A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC3. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC ⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是()A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④4．如图，只要把一张矩形纸片的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个正方形，判断的依据是____________________________．5．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是__________________．6．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四位同学的答案都正确，则黑板上画的图形是__________．7．对角线________的菱形是正方形，对角线________的矩形是正方形，对角线________________的平行四边形是正方形，对角线的四边形是正方形．8．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥BC于点F.求证：四边形DEBF是正方形．9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE.(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．10．四边形ABCD的对角线AC＝BD，AC⊥BD，分别过点A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是()A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是()A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF12．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成________度角.13．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n 个四边形的周长为________．14．如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD 的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．15．如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．答案：1---3 DCB4. 有一组邻边相等的矩形是正方形5. AC＝BD6. 正方形7. 相等互相垂直互相垂直且相等互相垂直平分且相等8.证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEDF为矩形．∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴矩形BEDF为正方形．9. (1)证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到的，∴A，E，C三点共线，D，E，F三点共线，且AE＝CE，DE＝FE，故四边形ADCF是平行四边形；(2)解：当∠ACB＝90°，AC＝BC时，四边形ADCF是正方形．理由如下：在△ABC中，∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°.由(1)知，四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ACB＝90°，∴CD＝12AB＝AD，故四边形ADCF是正方形10. A11. D12. 4513. 2 4(2 2)n14．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG ＝HE.∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形．15.证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°.又∵DH＝CE，BK＝CE，∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，∴△ABK ≌△KEF≌△HGF≌△ADH，∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝∠DAH.∵∠BAD＝90°，∴∠HAK＝∠HAD＋∠DAK＝∠BAK＋∠DAK＝∠BAD＝90°，∴四边形AKFH为正方形．。

正方形的性质与判定（典型题）第1课时正方形及其性质1．如图1，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是()图1A．45°B．22.5°C．67.5°D．75°2．正方形的一条对角线的长为4，则这个正方形的面积是()A．8 B．4 2C．8 2D．163．如图2，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.图24．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE交于点F，则∠BFC的度数为()A．45°B．55°C．60°D．75°5.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，Rt△FEG的两直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N.若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为()A.23a2B.14a2C.59a2D.49a26.如图5，正方形ABCD的边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，F A⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．图57．如图6，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC相交于点G，连接AE，CF.(1)求证：AE＝CF；(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．图68．如图7，正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°与正方形AEFG重合，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，正方形ABCD的边长为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为()图7A．4 2－4 B．4 2＋4 C．8－4 2 D.2＋19．如图8，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE＝2，将正方形DEFG 绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′＋CG′＝()图8A.2＋6B.3＋1C.3＋2D.3＋610．如图9，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．图911．如图10所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且∠EBF＝45°.(1)求证：EF＝FC＋AE；(2)若AB＝2，求△DEF的周长．图1012．如图11，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB的长相等，则在点E，F移动的过程中：(1)∠EAF的大小是否发生变化？请说明理由；(2)△ECF的周长是否发生变化？请说明理由．图1113．如图12，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，B4，…在射线OM上……依此类推，则第n个正方形的周长C n＝________．图1214．如图13①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明；(3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．参考答案1．B2．A3．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.4．C5．D6．6 2[解析]7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°.∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∴△ABE≌△CBF，∴AE＝CF.(2)∵BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BEF＝45°.∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，∴∠GBE＝35°，∴∠EGC＝∠GBE＋∠BEF＝80°.8．A9．A10．3211．解：(1)证明：将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，则BA＝BC，AE＝CM，BE＝BM，∠ABE＝∠CBM，∠A＝∠BCM.∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∴F，C，M三点共线，∠EBM＝90°.∵∠EBF＝45°，∴∠FBM＝45°.在△BEF与△BMF中，BE＝BM，∠EBF＝∠MBF，BF＝BF，∴△BEF≌△BMF，∴EF＝FM＝FC＋CM＝FC＋AE.(2)由(1)知EF＝FC＋AE，∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝DE＋DF＋AE＋CF＝AD＋CD＝2AB＝4. 12．解：(1)∠EAF的大小不发生变化．理由如下：根据题意，知AB＝AH，∠B＝∠AHE＝90°.又∵AE＝AE，∴Rt△BAE≌Rt△HAE，∴∠BAE＝∠HAE.同理，Rt△HAF≌Rt△DAF，∴∠HAF＝∠DAF，∴∠EAF＝12∠BAH＋12∠HAD＝12(∠BAH＋∠HAD)＝12∠BAD.又∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝45°，∴∠EAF的大小不发生变化．(2)△ECF的周长不发生变化．理由如下：C△ECF＝EF＋EC＋FC.由(1)，得Rt△BAE≌Rt△HAE，∴EB＝HE.同理，HF＝DF.∴C△ECF＝EF＋EC＋FC＝EB＋DF＋EC＋FC＝2BC，∴△ECF的周长不发生变化．13．2n＋114．解：(1)相等互相平行(2)成立．证明：如图，过点G作GH⊥CB交其延长线于点H.∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°.∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE.在△HGE与△CED中，∠GHE＝∠DCE＝90°，∠HGE＝∠DEC，EG＝DE，∴△HGE≌△CED，∴GH＝CE，HE＝CD.∵CE＝BF，∴GH＝BF.又∵GH∥BF且∠GHE＝90°，∴四边形GHBF是矩形，∴FG＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE.∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝CE，∴FG＝CE.(3)成立．FG＝CE，FG∥CE.第2课时正方形的判定（典型题）1．下列说法不正确的是()A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是________．3．如图14，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB＝()时，则四边形AECF是正方形．图14A．30°B．45°C．60°D．90°4．已知四边形ABCD各边的中点分别是E，F，G，H，如果四边形ABCD满足____________________，那么四边形EFGH是正方形．5．如图15，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AD＝AF；(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．图156．如图16，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD＝CD，E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF，CG.(1)求证：AF＝BF；(2)如果AB＝AC，求证：四边形AFCG是正方形．图167．⑥如图17，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是()图17A．7 B．8 C．7 2D．7 38．2017·宜昌如图18，正方形ABCD的边长为1，O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°.(1)当OM经过点A时，请直接填空：ON________(填“可能”或“不可能”)过点D；(图①仅供分析)(2)如图②，在ON上截取OE＝OA，过点E作EF垂直于直线BC，垂足为F，作EH⊥CD 于点H，求证：四边形EFCH为正方形．图189．如图19，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，E，F分别是AC，BC上的点(点E不与端点A，C重合)，且AE＝CF，连接EF并取EF的中点O，连接DO并延长至点G，使GO＝OD，连接DE，DF，GE，GF.(1)求证：四边形EDFG是正方形；(2)当点E在什么位置时，四边形EDFG的面积最小？并求出四边形EDFG面积的最小值．图1910.矩形的四个内角平分线围成的四边形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般平行四边形11．如图0，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．图012．如图1，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H.(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明；(2)在(1)的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？图113．如图2，AC，BD是正方形ABCD的对角线，将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG.(1)求证：△AED≌△GED；(2)求证：四边形AEGF是菱形；(3)若AC＝1，求BC＋FG的值．图214．如图3①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交AD于点F.连接DE，DF.(1)试判断四边形CDEF是何种特殊的四边形．(2)当AB＞AC，∠ABC＝20°时，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC 的度数；如果不能，请说明理由．(3)若AD平分∠BAC的外角交直线BC于点D，在直线AB上截取AE＝AC，过点E作EF∥BC交直线AD于点F，如图②”，设∠ABC＝x，其他条件不变，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时∠BAC关于x的关系式；如果不能，试说明理由．图3参考答案1．D2．①③④3．D.4．对角线互相垂直且相等5．解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠EDB.∵E是AD的中点，∴AE＝DE.在△AEF和△DEB中，∠EAF＝∠EDB，AE＝DE，∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB(ASA)，∴AF＝BD.∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，∴AD＝BD＝DC＝12BC，∴AD＝AF.(2)四边形ADCF是正方形．证明：∵AF＝BD＝DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC.又∵AD＝AF，∴四边形ADCF是正方形．6．证明：(1)∵AD＝CD，E是边AC的中点，∴DE⊥AC，∴DE是线段AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴∠F AC＝∠ACB.在Rt△ABC中，由∠BAC＝90°，得∠B＋∠ACB＝90°，∠F AC＋∠BAF＝90°，∴∠B＝∠BAF，∴AF＝BF.(2)∵AG∥CF，∴∠AGE＝∠CFE.又∵E是边AC的中点，∴AE＝CE.在△AEG和△CEF中，∠AGE＝∠CFE，∠AEG＝∠CEF，AE＝CE，∴△AEG≌△CEF(AAS)，∴AG＝CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形．又∵AF＝CF，∴四边形AFCG是菱形．在Rt△ABC中，由AF＝CF，AF＝BF，得BF＝CF，即F是边BC的中点．又∵AB＝AC，∴AF⊥BC，即∠AFC＝90°，∴四边形AFCG是正方形．7．C8．解：(1)不可能．理由如下：若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，∴OA2＋OD2＞2AD2≠AD2，∴∠AOD≠90°，这与∠MON＝90°矛盾，∴ON不可能过点D，故答案为：不可能．(2)证明：∵EH⊥CD，EF⊥BC，∴∠EHC＝∠EFC＝90°.又∠HCF＝90°，∴四边形EFCH为矩形．∵∠MON＝90°，∴∠EOF＝90°－∠AOB.在正方形ABCD中，∠BAO＝90°－∠AOB，∴∠EOF＝∠BAO.在△OFE和△ABO中，∠EOF＝∠BAO，∠EFO＝∠B，OE＝AO，∴△OFE≌△ABO(AAS)，∴EF＝OB，OF＝AB.又OF＝CF＋OC，AB＝BC＝BO＋OC，∴CF＝BO＝EF，∴四边形EFCH为正方形．9．解：(1)证明：连接CD，如图①所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD.在△ADE和△CDF中，AE＝CF，∠A＝∠DCF，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF.∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝∠EDF＝90°，∴△EDF为等腰直角三角形．∵O为EF的中点，GO＝OD，∴GD⊥EF，且GD＝2OD＝EF，∴四边形EDFG是正方形．(2)过点D作DE′⊥AC于点E′，如图②所示．∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴DE′＝12BC＝2，AB＝42，点E′为AC的中点，∴2≤DE＜22(点E与点E′重合时取等号)，∴4≤S四边形EDFG＝DE2＜8.∴当点E为线段AC的中点时，四边形EDFG的面积最小，该最小值为4.10．A11．3212．解：(1)当矩形ABCD的长是宽的2倍时，四边形PHEF是矩形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD.∵E是BC的中点，∴AB＝BE＝EC＝CD，则△ABE，△DCE均是等腰直角三角形，∴∠AEB＝∠DEC＝45°，∴∠AED＝90°.在四边形PHEF中，∵∠PFE＝∠FEH＝∠EHP＝90°，∴四边形PHEF是矩形．(2)当点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形．理由如下：由(1)可得∠BAE＝∠CDE＝45°，∴∠F AP＝∠HDP＝45°.又∵∠AFP＝∠DHP＝90°，AP＝DP，∴Rt△AFP≌Rt△DHP，∴PF＝PH，∴矩形PHEF是正方形．13．解：(1)证明：由旋转可知DG＝DC，∠DGH＝∠DCB＝90°. ∵AD＝CD，∴AD＝DG.又∵ED＝ED，∴Rt△AED≌Rt△GED(HL)．(2)证明：由(1)知△AED≌△GED，∴AE＝EG，∠ADE＝∠GDE＝12∠BDA＝22.5°，∴∠CDF＝67.5°，∠CFD＝67.5°，∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD.又∵AC＝BD，CD＝DG，∴AF＝BG＝EG.由旋转知∠H＝∠DBC＝45°.又∵∠DAC＝45°，∴AF∥EG，∴四边形AEGF是平行四边形．又∵AE＝EG，∴▱AEGF是菱形．(3)由(2)知四边形AEGF是菱形，∴AF＝FG.由(2)知CF＝CD，∴BC＝CF，∴BC＋FG＝CF＋AF＝AC＝1.。

北师大版九年级数学上册《1.3正方形的判定》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 知识点1 根据正方形的定义进行正方形的判定1. 已知在四边形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,若使四边形ABCD 是正方形，则还需加上一个条件：(填一个即可).知识点2 根据菱形进行正方形的判定2. 如图1-3-14,在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，能判定菱形ABCD是正方形的是( )A. AB=ACB. OA=OCC. AC=BDD. AC⊥BD3. 如图1-3-15,有4 个动点P,Q,E,F 分别从正方形ABCD 的4个顶点A,B,C,D 同时出发,沿着AB,BC,CD,DA 以同样的速度向点B,C,D,A 移动.请判断四边形PQEF的形状，并说明理由.知识点3 根据矩形进行正方形的判定4. 如图1-3-16,将矩形纸片ABCD 折叠,使点A 落在BC 上的点F 处，折痕为BE.若沿EF 剪开,将折叠部分展开得到的四边形ABFE 是一个正方形，其数学原理是( )A.有一组邻边相等的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形C.两个全等的直角三角形构成正方形D.轴对称图形是正方形5. 如图1-3-17,在▱AB-CD中,AB⊥BC,E,F是□ABCD 对角线BD上的两点,连接AE,CE,AF,CF,构成的四边形AECF 是一个菱形.求证:□ABCD 是正方形.6. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件:①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使□ABCD(如图1-3-18)为正方形,现有下列四种选法，你认为错误的是( )A.①②B.②③C.①③D.②④7. 如图1-3-19,菱形ABCD 的对角线AC,BD相交于点O，DE‖AC,CE‖BD.(1)连接OE,求证: BC=OE;(2)当∠ABC的度数为多少时，四边形OCED是正方形? 并证明你的结论.8. 如图1-3-20,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 的中点.(1)判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；(2)当BD,AC满足什么条件时,四边形EF-GH 是正方形.典题变式特殊四边形的中点四边形问题典例呈现如图1-3-21,E,F,G,H 分别是四边形ABCD 的边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法正确的是( )A.若AC=BD,则四边形EFGH 为矩形B.若AC⊥BD,则四边形EFGH 为菱形C.若四边形EFGH 是平行四边形,则AC与BD 互相平分D.若四边形EFGH 是正方形,则AC与BD 互相垂直且相等变式训练1. 如图1-3-22,在四边形ABCD 中,E,F,G,H 分别是BC,AC,AD,BD 的中点,要使四边形EF-GH 是菱形,四边形ABCD 的边AB,CD 应满足的条件是.2. 如图1-3-23,在菱形ABCD中,E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD,AD的中点,EF=2EH,则AB与EH 的数量关系是.3. 如图1-3-24,已知矩形ABCD 的对角线长为8cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 的中点,则四边形EFGH 的周长等于cm.参考答案1. AB=BC(答案不唯一)2. C3. 解:四边形PQEF 为正方形.理由:由题意知AP=BQ=CE=DF.在正方形ABCD中,AB=BC=CD=DA又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF.∴FP=PQ=QE=EF.∴四边形PQEF 是菱形.∵△AFP≌△BPQ,∴∠APF=∠BQP.∴∠BPQ+∠APF=∠BPQ+∠BQP=90°.则∠FPQ=90°.∴四边形PQEF 为正方形.4. A [解析] ∵△BEF是由△BEA 折叠得到的,∴∠EFB=∠A=90°,BA=BF.又∵∠ABF=90°,∴四边形ABFE 是矩形.又∵BA=BF,∴四边形ABFE是正方形.5. 证明:连接AC,交BD于点O.∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°.又∵四边形ABCD 是平行四边形∴□ABCD 是矩形.∵四边形AECF 是菱形∴AC⊥BD.∴□ABCD 是正方形(对角线互相垂直的矩形是正方形).6. B [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴当①AB=BC时,平行四边形ABCD 是菱形,当②∠ABC=90°时,菱形ABCD 是正方形,故A选项正确，不符合题意；∵四边形ABCD 是平行四边形∴当②∠ABC=90°时,平行四边形ABCD 是矩形,当③AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD 是正方形，故B选项错误，符合题意；∵四边形ABCD 是平行四边形,∴当①AB=BC时,平行四边形ABCD 是菱形,当③AC=BD时,菱形ABCD 是正方形,故C 选项正确,不符合题意；∵四边形ABCD是平行四边形,∴当②∠ABC=90°时,平行四边形ABCD 是矩形,当④AC⊥BD时，矩形ABCD 是正方形，故D 选项正确，不符合题意.故选B.7. 解:(1)证明:∵四边形ABCD为菱形∴∠COD=90°.∵DE∥AC,CE∥BD∴四边形OCED 为平行四边形.又∵∠COD=90°∴四边形OCED 是矩形∴OE=CD,∴BC=OE.(2)当∠ABC=90°时,四边形OCED 是正方形.证明:∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=90°∴四边形ABCD 是正方形∴OD=OC.又∵四边形OCED 是矩形∴四边形OCED是正方形.8. 解:(1)四边形EFGH 是平行四边形.证明:∵E,F分别是AB,BC的中点AC,∴EF∥AC,且EF=12同理可得HG∥AC,且HG=1AC.2∴EF∥HG,且EF=HG∴四边形EFGH 是平行四边形.(2)当BD=AC且BD⊥AC时,四边形EFGH是正方形. 串题训练典例呈现D变式训练1. AB=CD2.AB=√5EH[解析] 如图,连接AC,BD 相交于点O.∵四边形ABCD 是菱形∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.∵E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD,AD 的中点∴EH=12BD,EHBD,GH=12AC,GHAC.∵EF=2EH,∴OA=2OD∴AB=AD=√OA2+OD2=√5OD ∴AB=√5EH.3. 16。

1.3 正方形的性质与判定一．选择题1．下列说法错误的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是矩形B．矩形的对角线相等C．对角线相等的菱形是正方形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形2．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝25°，则∠AED＝（）A．60°B．65°C．70°D．75°3．如图，两把完全一样的直尺叠放在﹣起，重合的部分构成一个四边形，给出以下四个论断：①这个四边形可能是正方形②这个四边形一定是菱形③这个四边形不可能是矩形④这个四边形一定是轴对称图形，其中正确的论断是（）A．①②B．③④C．①②④D．①②③④4．如图，以△ABC的各边为边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG，对于四边形ADEG的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若△ABC为任意三角形，则四边形ADEG是平行四边形B．若∠BAC＝90°，则四边形ADEG是矩形C．若AC＝AB，则四边形ADEG是菱形D．若∠BAC＝135°且AC＝AB，则四边形ADEG是正方形5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O；下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AD＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题6．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为．7．如图，正方形ABCD的边长为5，AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，连接GH，则线段GH的长为．8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．9．如图，已知正方形ABCD的边长为7，点E，F分别在AD、DC上，AE＝DF＝3，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．10．如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形外作等边三角形ABE、CE与DB相交于点F，则∠AFD＝度．11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠DEB的度数为度．12．如图，若四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，则∠EAB的度数为．13．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE ＝．14．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝．15．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝．三．解答题16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）当∠ACB＝度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．17．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．18．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF ⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）求AG+AE的值；（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．19．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．20．如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是DB延长线上一点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AEB＝2∠EAB，求证：四边形ABCD是正方形．21．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？参考答案一．选择题1．解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项A错误；矩形的对角线相等，故选项B正确；对角线相等的菱形是正方形，故选项C正确；两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项D正确；故选：A．2．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）．∴∠ADE＝∠ABE＝90°﹣25°＝65°．∴∠AED＝180°﹣45°﹣65°＝70°．故选：C．3．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．∵两张长方形直尺的宽度相等，∴DE＝DF，又∵平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝BC•DF，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD为菱形．当∠DAB＝90°时，这个四边形是正方形，∴这个四边形一定是轴对称图形，故选：C．4．解：A、∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC，∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°，∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等），正确，故本选项不符合题意；B、∵四边形ABDI和四边形ACHG是正方形，∴∠DAI＝45°，∠GAC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∵四边形ADEG是平行四边形，∴四边形ADEG不是矩形，错误，故本选项符合题意；C、∵四边形ADEG是平行四边形，∴若要四边形ADEG是菱形，则需AD＝AG，即AD＝AC．∵AD＝AB，∴当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，正确，故本选项不符合题意；D、∵当∠BAC＝135°时，∠DAG＝360°﹣45°﹣90°﹣135°＝90°，即平行四边形ADEG是平行四边形，∵当AB＝AD，即AB＝AC时，四边形ADEG是菱形，∴四边形ADEG是正方形，即当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：B．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°．∵CE＝DF，∴AF＝DE．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE．∴AE＝BF，故（1）正确．∵△ABF≌△DAE，∴∠AFB＝∠AED．∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AFB+∠DAE＝90°，∴∠AOF＝90°，即AE⊥BF，故（2）正确．∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△ADE．∴S△AOB＝S△ABF﹣S△AOF，S四边形DEOF＝S△ADE﹣S△AOF，即∴S△AOB＝S四边形DEOF．如图所示：过点E作EG⊥AB，则EG＝AD．∵HE＞OE，GE＞HE，∴GE＞OE．∴AD＞OE，故（3）错误．故选：B．二．填空题6．解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠CED＝∠BFC＝90°．∵ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°．∴∠DCE+∠BCF＝90°．又∵∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠BCF．在△CDE和△BCF中，∴△CDE≌△BCF（AAS），∴BF＝CE＝2．∵CF＝1，∴BC2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面积为5．故答案为：5．7．解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∵AG＝CH＝4，BG＝DH＝3，AB＝5，∴AG2+BG2＝AB2，∴∠AGB＝∠CHD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝4，CE＝BG＝3，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝4﹣3＝1，同理可得HE＝1，在Rt△GHE中，GH＝＝＝，故答案为：．8．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝1，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝1，∴PE＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝．9．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△BAE和△ADF中，，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝90°，∴∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，又∵BC＝CD＝7，DF＝3，∠C＝90°，∴CF＝4，∴BF＝＝＝，∴GH＝，故答案为：．10．解：∵∠CBA＝90°，∠ABE＝60°，∴∠CBE＝150°，∵四边形ABCD为正方形，三角形ABE为等边三角形∴∠BEC＝15°，∵∠FBE＝∠DBA+∠ABE＝105°，∴∠BFE＝60°，在△CBF和△ABF中，，∴△CBF≌△ABF（SAS），∴∠BAF＝∠BCE＝15°，又∠ABF＝45°，且∠AFD为△AFB的外角，∴∠AFD＝∠ABF+∠F AB＝15°+45°＝60°．故答案为60．11．解：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AD，∠BAD＝90°∵△ABE是等边三角形∴AE＝AB，∠BAE＝∠BEA＝60°∴AD＝AE，∠DAE＝150°∴∠AED＝∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝15°∴∠DEB＝∠BEA﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°故答案为：45．12．解：∵∠ADE＝∠BCE＝90°+60°＝150°，AD＝BC，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA．∵正方形中AD＝DC，等边三角形中DC＝DE，∴AD＝DE，∵∠ADE＝90°+60°＝150°，∴∠DEA＝＝15°，同理∠CEB＝15°，∴∠AEB＝60°﹣15°﹣15°＝30°，∴∠EAB＝＝75°．故答案为75°．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，AD∥BC，∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，∴∠E＝∠ACB＝22.5°，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠E＝22.5°．故答案为：22.5°．14．解：过E作EF⊥DC于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO＝EF，在Rt△COE和Rt△CFE中，∴Rt△COE≌Rt△CFE（HL），∴CO＝FC，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝，∴CO＝AC＝，∴CF＝CO＝，∴EF＝DF＝DC﹣CF＝1﹣，∴DE＝＝﹣1，另法：因为四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°＝∠DBC＝∠DAC，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴∠ACE＝∠DCE＝22.5°，∴∠BCE＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠CBE＝45°，∴∠BEC＝67.5°，∴BE＝BC，∵正方形ABCD的边长为1，∴BC＝1，∴BE＝1，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝，∴DE＝﹣1，故答案为：﹣1．15．解：如图作FH∥BC交BD于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°∵FH∥BC，∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，∴∠OHF＝∠OFH，∴OH＝OF＝1，FH＝＝，∵BF平分∠OBC，∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，∴BH＝FH＝，∴OB＝OC＝1+，∴BC＝OB＝2+．故答案为2+．三．解答题16．证明：（1）如图，连接EC，交BD于点O∵BE＝BC，BD平分∠ABC∴EO＝CO，BD⊥CE∴EF＝FC，DE＝CD，∵CF∥DE∴∠DFC＝∠FDE，且EO＝CO，∠FOC＝∠DOE ∴△DOE≌△FOC（AAS）∴DE＝CF∴EF＝FC＝CD＝DE∴四边形EFCD是菱形（2）当∠ACB＝120度时，四边形CDEF是正方形，理由如下：∵∠ACB＝120°，BC＝AC∴∠ABC＝∠BAC＝30°∵BD平分∠ABC∴∠DBC＝15°，且BD⊥EC∴∠BCO＝75°∴∠ACE＝45°，∵四边形EFCD是菱形∴∠FCD＝2∠ACE＝90°∴四边形CDEF是正方形，∴∠ADE＝90°如图，过点C作CP⊥AB于点P，∵BC＝AC＝6，∠ABC＝30°，CP⊥AB∴CP＝3，BP＝CP＝3，AB＝2BP＝6，∴AE＝AB﹣BE＝6﹣6∵∠A＝30°，∠ADE＝90°∴DE＝AE＝3﹣317．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．18．解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．（3）如图，作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF＝＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EH＝DF＝，∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM＝，∴HM＝HF﹣FM＝，在Rt△EHM中，EM＝＝．19．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．20．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO．∵△ACE是等边三角形，∴AE＝CE．∴BE⊥AC．∴四边形ABCD是菱形．（2）从上易得：△AOE是直角三角形，∴∠AEB+∠EAO＝90°∵△ACE是等边三角形，∴∠EAO＝60°，∴∠AEB＝30°∵∠AEB＝2∠EAB，∴∠EAB＝15°，∴∠BAO＝∠EAO﹣∠EAB＝60°﹣15°＝45°．又∵四边形ABCD是菱形．∴∠BAD＝2∠BAO＝90°∴四边形ABCD是正方形．21．解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．在△BDE和△BAC中，，∴△BDE≌△BAC（SAS），∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA＝∠BAD＝45°．∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°＝225°﹣∠BAC∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．由（2）知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．∵四边形ABDI是正方形，∴AD＝AB．又∵四边形ACHG是正方形，∴AC＝AG，∴AC＝AB．∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．。

北师大版数学九年级数学上册第一章特殊平行四边形1．3 正方形的性质与判定正方形的性质专题练习题1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等2．如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为( )A．1 B．2 C．3 D．3 23．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( )A．3 B．4 C．5 D．64．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E 处，则∠CME＝________．5．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为________.6. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为________．7．如图，过正方形ABCD 的顶点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E.(1)判断四边形ACED 的形状，并说明理由； (2)若BD ＝8 cm ，求线段BE 的长．8．如图，正方形ABCD 的边长为4 cm ，则图中阴影部分的面积为( )A ．6 cm 2B ．8 cm 2C ．16 cm 2D ．不能确定9．如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边CD ，AD 上的点，且CE ＝DF ，AE ，BF 相交于点O ，下列结论：①AE ＝BF ；②AE ⊥BF ；③AO ＝OE ；④S △AOB ＝S 四边形DEOF .其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，CE ＝5，F 为DE 的中点．若△CEF 的周长为18，则OF 的长为________．11．如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 的中点，∠AEF ＝90°，EF 交正方形外角的平分线CF 于点F.求证：AE ＝EF.12．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB.(1)求证：△BCP≌△DCP；(2)求证：∠DPE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，则∠DPE＝________度．13.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2 015B2 016C2 016的顶点B2 016的坐标是________．14．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM，ME，试猜想DM与ME 的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为________；(2)如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M 仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．答案;1. A2. C3. B4. 45°5. 76. 57. (1)四边形ACED是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD ∥BC，即AD∥CE，∵DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形．(2)由(1)知，BC＝AD＝CE＝CD，在Rt△BCD中，令BC＝CD＝x，则x2＋x2＝82.解得x＝42，∴BE＝2x＝82(cm)．8. B9. B10. 7 211.如图，取AB的中点H，连接EH，∵∠AEF＝90°，∴∠2＋∠AEB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1＋∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2，∵点E是BC的中点，点H是AB的中点，∴BH ＝BE，AH＝CE，∴∠BHE＝45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，在△AHE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，AH ＝EC ，∠AHE ＝∠ECF ，∴△AHE ≌△ECF(ASA)，∴AE ＝EF.12. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCP ＝∠DCP ＝45°，又∵CP ＝CP ，∴△BCP ≌△DCP(SAS)．(2)证明：由(1)知，△BCP ≌△DCP ，∴∠CBP ＝∠CDP ，∵PE ＝PB ，∴∠CBP ＝∠E ，∴∠CDP ＝∠E ，∵∠1＝∠2(对顶角相等)， ∴180°－∠1－∠CDP ＝180°－∠2－∠E ，即∠DPE ＝∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠ABC ，∴∠DPE ＝∠ABC. (3) 58°13. (21 008，0) 14. (1) MD ＝ME(2) 证明：延长EM 交AD 于点H(图略)，∵四边形ABCD 和ECGF 是矩形，∴AD ∥EF ，∴∠EFM ＝∠HAM ，又∵∠FME ＝∠AMH ，FM ＝AM ，∴△FME ≌△AMH(ASA)，∴HM ＝EM ，在Rt △HDE 中，HM ＝EM ，∴DM ＝HM ＝ME ，∴DM ＝ME.(1)DM ＝ME.(2)连接AE(图略)，∵四边形ABCD 和ECGF 是正方形，∴∠FCE ＝45°，∠FCA ＝45°，∴AE 和EC 在同一条直线上，在Rt △ADF 中，AM ＝MF ，∴DM ＝AM ＝MF ，在Rt △AEF 中，AM ＝MF ，∴AM ＝MF ＝ME ，∴DM ＝ME.。

正方形的性质——典型题专项训练知识点 1 利用正方形的性质求解与线段有关的问题1．如图1－3－1，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为________．1－3－11－3－22．如图1－3－2，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．3．2017·广安如图1－3－3，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.图1－3－3知识点 2 利用正方形的性质求解与角有关的问题4．如图1－3－4，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为( ) A．10° B．12.5° C．15° D．20°1－3－4图1－3－55．如图1－3－5，E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，则∠DCE＝________°.6．2017·怀化如图1－3－6，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．图1－3－6知识点 3 利用正方形的性质求解与面积有关的问题7．若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )A．8 B．4 2 C．8 2 D．16图1－3－78．如图1－3－7，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．9．如图1－3－8，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．图1－3－8知识点 4 正方形对称性的应用10．如图1－3－9，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是( )A．(1，1) B．(－1，－1)C．(1，－1) D．(－1，1)图1－3－9图1－3－1011.如图1－3－10，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．12．如图1－3－11，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( )A．45° B．55° C．60° D．75°1－3－111－3－1213.如图1－3－12，正方形ABCD的边长为2，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．14．如图1－3－13，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．图1－3－13 图1－3－1415．如图1－3－14，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．16．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.图1－3－1517．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图1－3－16①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图1－3－16②)，求证：EF2＝ME2＋NF2.图1－3－161．2132.2－13．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BCE＋∠CBG＝90°.∵∠ABF＋∠CBG＝90°，∴∠BCE＝∠ABF.在△BCE和△ABF中，∠BCE＝∠ABF，BC＝AB，∠CBE＝∠A，∴△BCE≌△ABF(ASA)，∴AF＝BE.4．C5．22.56．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠EBC＝∠ECB＝60°，∴∠ABE＝∠ECD＝30°.在△ABE和△DCE中，AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，BE＝CE，∴△ABE≌△DCE(SAS)．(2)∵BA＝BE，∠ABE＝30°，∴∠BAE＝12×(180°－30°)＝75°.∵∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°－75°＝15°，同理可得∠ADE＝15°，∴∠AED＝180°－15°－15°＝150°.7．A8．29．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，BC＝DC.∵E，F分别为DC，BC的中点，∴DE＝12DC，BF＝12BC，∴DE＝BF.在△ADE和△ABF中，AD＝AB，∠D＝∠B，DE＝BF，∴△ADE≌△ABF(SAS)．(2)由题知△ABF，△ADE，△CEF均为直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝12×4＝2，CE＝CF＝12×4＝2，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝4×4－12×4×2－12×4×2－12×2×2＝6.10．C11．10 12.C13．414．3 cm15．(0，21009)16．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OD＝OC.又∵DE＝CF，∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF.在△AOE和△DOF中，AO＝DO，∠AOE＝∠DOF，OE＝OF，∴△AOE≌△DOF(SAS)，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，即AM⊥DF.17．证明：(1)∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AG＝AF，∠GAF＝90°.∵∠EAF＝45°，∴∠GAE＝∠GAF－∠EAF＝90°－45°＝45°，即∠GAE＝∠EAF.在△AEG和△AEF中，AG＝AF，∠GAE＝∠EAF，AE＝AE，∴△AEG≌△AEF(SAS)．(2)把△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，如图，连接GM，则△ADF≌△ABG，∴DF＝BG.由(1)知△AEG≌△AEF，∴EG＝EF.∵∠CEF＝45°，∴△BME，△DNF，△CEF均为等腰直角三角形，∴CE＝CF，BE＝BM，NF＝2DF，∴BE＝DF，∴BE＝BM＝DF＝BG，∴∠BMG＝45°，∴∠GME＝45°＋45°＝90°，∴EG2＝ME2＋MG2.又∵EG＝EF，MG＝2BM＝2DF＝NF，∴EF2＝ME2＋NF2.正方形的判定——典型题专项训练知识点 1 用定义判定正方形1．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )A．AB＝BD且AC⊥BDB．∠A＝90°且AB＝ADC．∠A＝90°且AC＝BDD．AC和BD互相垂直平分2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：________________．知识点 2 利用菱形判定四边形是正方形3．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是( )A．OA＝OC，OB＝ODB．OA＝OB＝OC＝ODC．OA＝OC，OB＝OD，AC＝BDD．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD图1－3－174．如图1－3－17，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成( )A．22.5°角B．30°角C．45°角D．60°角5．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－18，有4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．请判断四边形PQEF的形状．图1－3－18知识点 3 利用矩形判定四边形是正方形6．2017·齐齐哈尔矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：________，使其成为正方形．(只填一个即可)图1－3－197．如图1－3－19所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定的方法是__________________________．8．2017·邵阳如图1－3－20所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．图1－3－209．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是( )A．矩形B．对角线互相垂直的四边形C．菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形图1－3－2110．如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB为正方形的是( )A．BC＝AC B．CF⊥BFC．BD＝DF D．AC＝BF图1－3－2211．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－22，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )A．30 B．34 C．36 D．4012．2017·贵阳期末如图1－3－23，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．图1－3－2313．如图1－3－24，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为N.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？并给出证明．图1－3－2414．观察如图1－3－25所示图形的变化过程，解答以下问题：图1－3－25如图1－3－26，在△ABC中，D为BC边上的一动点(点D不与B，C两点重合)，DE∥AC 交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.(1)试探索当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；(2)在(1)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形？为什么？图1－3－2615．如图1－3－27，在四边形ABCD中，E，G分别是AD，BC的中点，F，H分别是BD，AC的中点．(1)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？并证明你的结论；(2)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论；(3)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并证明你的结论．图1－3－271．B 2.AB＝BC(答案不唯一)3．D4．C .5．解：在正方形ABCD中，AP＝BQ＝CE＝DF，AB＝BC＝CD＝DA，∴AF＝BP＝CQ＝DE.又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，∴FP＝PQ＝QE＝EF，∴四边形PQEF是菱形．∵△AFP≌△BPQ，∴∠APF＝∠BQP.∵∠BPQ＋∠BQP＝90°＝∠BPQ＋∠APF，∴∠FPQ＝90°，∴四边形PQEF为正方形．6．AB＝BC或AC⊥BD(答案不唯一)7．有一组邻边相等的矩形是正方形8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．(2)AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一)．9．D 10.D11．B12．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等边三角形，∴EO平分∠AEC，∴∠AED＝12∠AEC＝12×60°＝30°.又∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝15°＋30°＝45°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，∴四边形ABCD是正方形．13．解：(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC.∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝12×180°＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形．(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE为正方形．证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°.∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD.又∵四边形ADCE是矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．14．解：(1)当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形．理由：∵AE∥DF，DE∥AF，∴四边形AEDF为平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD.又∵DE∥AF，∴∠FAD＝∠ADE，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF为菱形．(2)当∠BAC＝90°时，菱形AEDF是正方形．因为有一个角是直角的菱形是正方形．15．解：(1)当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形．证明：∵E，F分别是AD，BD的中点，G，H分别是BC，AC的中点，∴EF∥AB，EF＝12AB，GH∥AB，GH＝12AB，FG∥CD.∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形．∵AB⊥CD，∴EF⊥FG，即∠EFG＝90°，∴四边形EFGH是矩形．(2)当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．证明：∵E，F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，∴EF＝12AB，GH＝12AB，FG＝12CD，EH＝12CD.又∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝EH，∴四边形EFGH是菱形．(3)当AB＝CD且AB⊥CD时，四边形EFGH是正方形．证明：∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF∥AB，EF＝12AB，同理，EH∥CD，EH＝12CD，FG＝12CD，GH＝12AB.∵AB＝CD，∴EF＝EH＝GH＝FG，∴四边形EFGH是菱形．∵AB⊥CD，∴EF⊥EH，即∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．。

1.3正方形的性质与判定—2023-2024学年北师大版数学九年级上册堂堂练1.下列说法正确的个数有( ).①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形；③对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；④平行四边形不是轴对称图形；⑤顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形一定是菱形.A.2B.3C.4D.52.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是( )A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线互相垂直平分3.下列说法中，是正方形具有而矩形不具有的性质是( )A.两组对边分别平行B.对角线互相垂直C.四个角都为直角D.对角线互相平分4.对角线长为4cm的正方形其边长为( )A.2cmB.C.4cmD.5.如图，正方形ABCD的面积为2，菱形AECF的面积为1，则E、F两点的距离为( )A.1B.2C.D.6.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且，则的度数是___________.7.如图，四边形ABCD为菱形，添加一个条件：____，可使它成为正方形.8.如图，在四边形ABCD中，，对角线BD平分，P是BD上一点，过点P作，，垂足分别为M、N.(1)求证：；(2)若，求证：四边形MPND是正方形.答案以及解析1.答案：C解析：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，属于平行四边形的判定定理，正确；②对角线相等的平行四边形是矩形，所以错误；③对角线互相垂直平分且相等的四边形，能够判定矩形，也能够判定菱形，所以是正方形，正确；④平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，正确；⑤矩形的对角线相等，所以顺次连接矩形各边的中点所得到的四边形一定是菱形，正确.故选C.2.答案：A解析：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立.故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分.故选A.3.答案：B解析：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分，所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直.故选B.4.答案：B解析：设这个正方形的边长为x cm，则，解可得；则它的边长是；故选B.5.答案：A解析：如图，连接AC，正方形ABCD的面积为2，，，菱形AECF的面积为1，，，故选A.6.答案：22.5°解析：正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，，，，，，故答案为：22.5°.7.答案：（答案不唯一）解析：当时，菱形ABCD是正方形.理由：四边形ABCD是菱形，，，，.，，，四边形ABCD是矩形.四边形ABCD是菱形，四边形ABCD是正方形.8.解析：证明：(1)对角线BD平分，，在和中，，，；(2)，，，，四边形MPND是矩形，，，四边形MPND是正方形.。

北师大版九年级上册数学第一章正方形的性质与判定课时精练（附答案）一、单选题1.下列四个命题中错误的是（）A. 对角线相等的菱形是正方形B. 有两边相等的平行四边形是菱形C. 对角线相等的平行四边形是矩形D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形2.下列说法正确的是（）A. 矩形的对角线互相垂直平分B. 对角线相等的菱形是正方形C. 两邻边相等的四边形是菱形D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3.如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）A. 1B.C.D.4.若一个正方形的面积是18，则它的边长是( )A. 9B. 4．5C. 3D. 25.下列命题正确的是（）A. 平行四边形的对角线互相垂直平分B. 矩形的对角线互相垂直平分C. 菱形的对角线互相平分且相等D. 正方形的对角线互相垂直平分6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线，，，为的中点，E为边上一点，直线交于点F，连结，．下列结论不成立的是（）A. 四边形为平行四边形B. 若，则四边形为矩形C. 若，则四边形为菱形D. 若，则四边形为正方形7.下列说法中错误的是（）A. 有一组邻边相等的矩形是正方形B. 在反比例函数中，y随x的增大而减小C. 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形D. 如果用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°8.如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（）A. 2B. 4C.D.9.一顶点重合的两个大小完全相同的边长为3的正方形ABCD和正方形AB′C′D′,如图所示，∠DA′D′=45°，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（）A. 6B. 6C. 4D. 3+3二、填空题10.如图，两个正方形的面积分别是100和36，则字母B所代表的正方形的面积是________（10题）（11题）11.如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，连接AE，若AB=2，则AE的长为________12.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA ，对角线AC与BD相交于点O ，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是________（12题）（13题）13.如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为________．14.如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是________．（14题）（15题）15.如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A、C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为（2，0），P是OB上的一个动点，试求PD+PA和的最小值是________16.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为________．17.若正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=3，M为线段AB上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF=AE，则BM的长为________．18.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在CD、AD上，CE＝DF，BE、CF相交于点G，若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为3：4，则△BCG的面积为________．三、解答题19.已知四边形ABCD是正方形（1）如图1．点M在边BA的延长线上，点N在边BC上，且AM=CN，连接MN，DM，DN，判断△DMN 的形状（直接写出答案）．（2）如图2，当店N在边AB上，点N在边BC的延长线上，AM=CN，连接MN，取线段MN的中点G，连接DG，DM，判断线段DG和线段MG的关系并说明理由．（3）如图3，当点M在边AB的延长线上，点N在边BC的延长线上，AM=CN，连接MN，DM，DN，点G 是线段MN的中点，连接BG，DG，连接GC并延长交BD于点H，若∠AMN=75°，判断线段GH和线段BD 的关系并说明理由．20.图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB、EF的端点均在小正方形的顶点上。

北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步测试题附答案·知识点1正方形的判定1.在菱形ABCD中,若添加一个条件后,使它是正方形,则添加的条件可以是( )A.AB=ADB.AB⊥BCC.AC⊥BDD.AC平分∠BAD2.(2023·玉林中考)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对边分别相等b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等d.一个角是直角顺次添加的条件:①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是( )A.仅①B.仅③C.①②D.②③3.如图,在△ABC中,AC=BC,点D,E分别是边AB,AC的中点.延长DE到点F,使DE=EF,得四边形ADCF.当∠ACB=°时,四边形ADCF 是正方形.4.(2023·邵阳中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.·知识点2正方形的性质与判定的综合应用5.如图,在正方形OABC中,点A的坐标是(-3,1),则C点的坐标是( )A.(1,3)B.(2,3)C.(3,2)D.(3,1)6.(2023·益阳中考)如图,将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移,使A的对应点A'满足AA'=1AC,则所得正方形与原正方形重叠部分3的面积是.7.如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为( )A.1B.√2C.√3D.28.如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为边BC,CD上一点,且OE⊥OF,连接EF.若∠AOE=150°,DF=√3,则EF的长为( )A.2√3B.2+√3C.√3+1D.39.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG,下列结论:①CE=DF;②CE⊥DF;③∠AGE=∠CDF;④∠EAG=30°,其中正确的结论是( )A.①②B.①③C.①②④D.①②③10.如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,点P是对角线BD上的动点,则AP+PE的最小值是.【素养提升】11.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线m∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线m于点E,垂足为点F,连接BE.(1)求证:CE=AD;(2)如图2,当点D是AB中点时,连接CD.(ⅰ)四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;(ⅱ)当∠A=°时,四边形BECD是正方形.(直接写出答案)【解题模型】·模型:共顶点的正方形中“手拉手”模型如图,两个正方形ABCD和DEFG,连接AG与CE,二者相交于H.则(1)AG=CE;(2)AG⊥CE;(3)HD平分∠AHE.参考答案·知识点1正方形的判定1.在菱形ABCD中,若添加一个条件后,使它是正方形,则添加的条件可以是(B)A.AB=ADB.AB⊥BCC.AC⊥BDD.AC平分∠BAD2.(2023·玉林中考)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对边分别相等b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等d.一个角是直角顺次添加的条件:①a→c→d②b→d→c③a→b→c则正确的是(C)A.仅①B.仅③C.①②D.②③3.如图,在△ABC中,AC=BC,点D,E分别是边AB,AC的中点.延长DE到点F,使DE=EF,得四边形ADCF.当∠ACB=90°时,四边形ADCF是正方形.4.(2023·邵阳中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.【证明】∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是菱形;∵OE=OA=OF,∴OE=OF=OA=OC,即EF=AC∴菱形AECF是正方形.·知识点2正方形的性质与判定的综合应用5.如图,在正方形OABC中,点A的坐标是(-3,1),则C点的坐标是(A)A.(1,3)B.(2,3)C.(3,2)D.(3,1)6.(2023·益阳中考)如图,将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移,使A的对应点A'满足AA'=1AC,则所得正方形与原正方形重叠部分3的面积是4.7.如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为(D)A.1B.√2C.√3D.28.如图,在正方形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为边BC,CD上一点,且OE⊥OF,连接EF.若∠AOE=150°,DF=√3,则EF的长为(A)A.2√3B.2+√3C.√3+1D.39.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,CE,DF交于点G,连接AG,下列结论:①CE=DF;②CE⊥DF;③∠AGE=∠CDF;④∠EAG=30°,其中正确的结论是(D)A.①②B.①③C.①②④D.①②③10.如图,已知正方形ABCD的边长为4,点E是边AB的中点,点P是对角线BD上的动点,则AP+PE的最小值是2√5.【素养提升】11.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线m∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线m于点E,垂足为点F,连接BE.(1)求证:CE=AD;(2)如图2,当点D是AB中点时,连接CD.(ⅰ)四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;(ⅱ)当∠A=°时,四边形BECD是正方形.(直接写出答案)【解析】略【解题模型】·模型:共顶点的正方形中“手拉手”模型如图,两个正方形ABCD和DEFG,连接AG与CE,二者相交于H.则(1)AG=CE;(2)AG⊥CE;(3)HD平分∠AHE.。

第一章特殊平行四边形 1.3 正方形的性质与判定1. 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为( )A. 4B. 5C. 6D. 82. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A．对角线互相垂直且相等 B．对角线相等C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分3. 如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E 处，则∠CME等于( )A. 25°B. 35°C. 45°D. 50°4. 如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为( )A. 7B. 8C. 9D. 105. 如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF.其中正确的有( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )A．AC＝BF B．CF⊥BF C．BD＝DF D．BC＝AC7. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF，CD，如果AC＝BC，那么四边形DECF是( )A.菱形B.矩形C. 正方形D. 梯形8. 下列命题中，真命题是( )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形9. 四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB＝AD；②∠DAB＝90°；③AO＝CO，BO＝DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是( )A．①②⇒⑥ B．①③⇒⑤ C．①④⇒⑥ D．②③⇒④10. 如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成( )度角．A. 30B. 45C. 50D. 6011. 如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为12. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是13. 如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为 cm214. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE ＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为________．15. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2 015B2 016C2 016的顶点B2 016的坐标是________．16. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；④若∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，则四边形AEDF是正方形，你认为正确的是 (填序号)17. ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：____________，使得▱ABCD为正方形．18. 如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF=19. 如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，所作的第三个四边形的周长为20. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF.21. 如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；(2)若BD＝8 cm，求线段BE的长．22. 如图，点O是线段AB上一点，OA＝OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F.(1)求证：四边形CDOF是矩形；(2)当∠AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？请说明理由．23. 如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB.(1)求证：△BCP≌△DCP；(2)求证：∠DPE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，则∠DPE＝________度．24. 如图①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O.(1)如图②，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；(2)将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3 cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1 cm，则图③中阴影部分的面积为________cm2.25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点F，交直线MN于点E，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(3)若点D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由．答案：1---10 BDCAB ACDAB 11. 3 12. 4 13. 8 14. 7215. (21 008，0) 16. ① ② ③ ④ 17. ∠BAD＝90° 18. 7 219. 2 4(22)n20. 解：如图，取AB 的中点H ，连接EH ，∵∠AEF＝90°，∴∠2＋∠AEB＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠1＋∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2，∵点E 是BC 的中点，点H 是AB 的中点，∴BH＝BE ，AH ＝CE ，∴∠BHE＝45°，∵CF 是∠DCG 的角平分线， ∴∠FCG＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，在△AHE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，AH ＝EC ，∠AHE＝∠ECF，∴△AHE≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF.21. 解：.(1)四边形ACED 是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，(2)由(1)知，BC＝AD＝CE＝CD，在Rt△BCD中，令BC＝CD＝x，则x2＋x2＝82.解得x＝42，∴BE＝2x＝82(cm)．22. .(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，∴∠AOC＝2∠COD，∠COB＝2∠COF，∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∴2∠COD＋2∠COF＝180°，∴∠COD＋∠COF ＝90°，∴∠DOF＝90°.∵OA＝OC，OD平分∠AOC，∴OD⊥AC，AD＝DC，∴∠CDO＝90°，∵CF⊥OF，∴∠CFO＝90°，∴四边形CDOF是矩形．(2)当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．理由如下：∵∠AOC＝90°，AD＝DC，∴OD＝DC.又由(1)知四边形CDOF是矩形，则矩形CDOF是正方形．因此，当∠AOC＝90°时，四边形CDOF是正方形．23. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，又∵CP＝CP，∴△BCP≌△DCP(SAS)．(2)证明：由(1)知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP，∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠E，∴∠CDP＝∠E，∵∠1＝∠2(对顶角相等)，∴180°－∠1－∠CDP＝180°－∠2－∠E，即∠DPE＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE ＝∠ABC，∴∠DPE＝∠ABC.(3) 5824. (1)四边形EFGH是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，DH.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴EH＝EF ＝FG ＝GH.∴四边形EFGH 是菱形．由△DHG≌△AEH，知∠DHG＝∠AEH.∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°.∴菱形EFGH 是正方形．(2) 125. (1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，又∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴CE＝AD.(2)四边形BECD 是菱形．理由如下：∵D 为AB 中点，∴AD＝BD ，又∵CE＝AD ，∴BD＝CE ，∵BD∥CE，∴四边形BECD 是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D 为AB 中点，∴CD＝BD ，∴▱BECD 是菱形．(3)当∠A ＝45°时，四边形BECD 是正方形．理由如下：∵∠ACB ＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A ＝45°，∴AC＝BC ，∵D 为BA 的中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB ＝90°，∵四边形BECD 是菱形，∴四边形BECD 是正方形，即当∠A ＝45°时，四边形BECD 是正方形．、最困难的事就是认识自己。

优异当先 翱翔梦想1.3 正方形的性质与判断基础过关1. 若正方形的边长是 4，则它的对角线长是 _________，面积是 _________.2. 正方形的对角线与边长之比是 _____________.3．如图， 点 E 是正方形 ABCD 的边 BC 延伸线上的一点， 且 CE=AC ，若 AE 交 CD 于点 F ，则∠ E= °；∠ AFC=°4. 如图， E 是正方形 ABCD 对角线 AC 上随意一点，四边形 EFBG 是矩形，若正方形 ABCD 的周长 a ，则矩形 EFBG 的周长是 __________.5. 已知四边形 ABCD 是菱形，当知足 ________________ 时，它成为正方形（填上你以为正确的一个条件即可） .6. 已知四边形 ABCD 是矩形，当知足 _______________ 时，它成为正方形（填上你以为正确的一个条件即可） .ADADGEF-1O1 A BCEBF C (7题图)(3题图)(4 题图)能力提升7. 如图，以数轴的单位长线段为边作一正方形，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴正半轴与点 A ，则点 A 表示的数是 ______________.8．如图， E 为正方形 ABCD 内一点，若△ ABE 是等边三角形，则∠ DCE= ° .DCEADMPQNBCA(8 题图)B(9 题图)9. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4 ， MN ∥ BC 分别交 AB 、CD 于点 M ， N ，在 MN 上任取两点 P 、Q ，那么图中暗影部分的面积是.10. 如图，正方形 ABCD 边长为８， M 在 DC 上，且 DM ＝２， N 是在 AC 上的一动点，则 DN ＋ MN 的最小值为___________.AD AFDN MOEbcaB题图)CB Cl(10 （ 11 题图） （第 14 题图）（ 12 题图）11. 如图，正方形 ABCD 的对角线AC 是菱形 AEFC 的一边，则∠FAB 等于()优异当先翱翔梦想A.135 °B.45 °° D.30 °12.如图， E、F 分别是正方形 ABCD的边 CD、AD上的点，且 CE=DF，AE、BF 订交于点 O，以下结论（ 1）AE=BF；（ 2） AE⊥ BF；（ 3） AO=OE；（4） S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个13．将一正方形纸片按以下次序折叠，而后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片睁开，获得的图形是（）A ．B ．C．D．14．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若 a， c 的面积分别为5和11b的面积为（），则Ａ． 4Ｂ． 6Ｃ． 16Ｄ． 5515. 四边形 ABCD中， AC、 BD交于点 O，能鉴别这个四边形是正方形的条件是（）A.OA=OB=OC=OD，AC⊥ BDB.AB∥ CD，AC=BDC.AD∥ BC，∠A=∠ CD.OA=OC ，OB=OD，AB=BC16. 用两块完整同样的直角三角形必定能拼以下图形：（ 1）平行四边形（ 2）矩形（ 3）菱形（ 4）正方形（ 5）等腰三角形（6）等边三角形，必定能拼成的图形是（）A. （ 1）（ 4）（ 5）B. （2）（ 5）（ 6）C.(1)(2)(3)D.(1)(2)(5)17. 以以下图， ABCD和 AEFG都是正方形 . 求证： BE=DGB CEFADG优异当先翱翔梦想18. 把正方形ABCD绕着点 A，按顺时针方向旋转获得正方形HG与线段HB相等吗？请先察看猜想，而后再证明你的猜想．AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段D CGHFA BE19.如图， ABCD是正方形，点 G是 BC上的随意一点， DE⊥ AG于 E，BF∥ DE，交 AG于 F，求证： AF—BF=EF．证明：∵四边形 ABCD是正方形，A DEFBG C20. 如图，正方形ABCD的边长是 1， G是 CD边上的一个动点（点G与 C、 D 不重合），以 CG为一边向正方形 ABCD外作正方形 GCEF，连接 DE交 BG的延伸线于 H.（ 1）求证：△ BCG≌△ DCE；（ 2） BH⊥ DE；（ 3）试问当点G运动到什么地点时，BH垂直均分DE？A DHGFB C E21．如图 l，已知正方形 ABCD 的对角线 AC 、BD 订交于点 O，E 是 AC 上一点，连接 EB，过点 A 作 AM BE ，垂足为 M，AM 交 BD 于点 F．⑴求证： OE ＝OF；⑵如图 2，若点 E 在 AC 的延伸线上， AM BE 于点 M ，交 DB 的延伸线于点F，其余条件不变，则结论“ OE＝ OF”还建立吗 ?假如建立，请给出证明；假如不建立，请说明原因．A D A DO OF EM CB MC B图 1F图 2E22.如图， Q是正方形 ABCD的 CD边的中点， P 为 CD上一点，且 AP=PC+CB求.证：∠ BAP=2∠QAD.A DQPB C聚沙成塔1.如图，△ ABC中，点 O是 AC边上一动点，过点 O作直线 MN∥ BC，交∠ ACB的均分线于点 E，交∠ ACB的外角均分线于 F.（ 1）求证： EO=FO；（ 2）当 O运动到什么地点时，四边形AECF是矩形？证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当ABC知足什么条件时，四边形AECF是正方形？说明你的原因.AOM EF NB C D2.如图，等腰梯形 ABCD中， AD∥ BC， M、 N 分别是 AD、 BC的中点， E、 F 分别是 BM、CM的中点 . （ 1）求证：四边形 MENF是菱形；（ 2）若四边形 MENF是正方形，请探究等腰梯形 ABCD的高和底边 BC 的数目关系并说明你的结论 .A MDE FBN C。

1.3《正方形的性质与判定》同步练习一、填空题1．正方形的定义：有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______。

2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角。

它有______条对称轴。

3．正方形的判定：(1)____________________________________的平行四边形是正方形；(2)____________________________________的矩形是正方形；(3)____________________________________的菱形是正方形。

4．对角线________________________________的四边形是正方形。

5．若正方形的边长为a ，则其对角线长为______，若正方形ACEF 的边是正方形ABCD 的对角线，则正方形ACEF 与正方形ABCD 的面积之比等于______。

6．延长正方形ABCD 的BC 边至点E ，使CE ＝AC ，连结AE ，交CD 于F ，那么∠AFC 的度数为______，若BC ＝4cm ，则△ACE 的面积等于______。

7．如图，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，则∠ACE ＝ 。

8．如图，已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 。

二、选择题。

1、已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( ) A ．选①② B ．选②③ C ．选①③ D ．选②④2、四边形ABCD 的对角线AC ＝BD ，AC ⊥BD ，分别过点A ，B ，C ，D 作对角线的平行线，所成的四边形EFMN 是( )A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．任意四边形3、已知四边形中，对角线与相交于点，，下列判断中错误的是（ ） A.如果＝，＝，那么四边形是平行四边形 B.如果，＝，那么四边形是矩形 C.如果＝，，那么四边形是菱形 D.如果＝，垂直平分，那么四边形是正方第7题图 第8题图4、满足下列条件的四边形是正方形的是（）A.对角线互相垂直平分的平行四边形B.对角线互相平分且相等的矩形C.对角线互相垂直平分的菱形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形5、如图，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°题5图题6图题7图6、如图，点在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（）A.76B.70C.48D.247、如图,在四边形中，点是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形为正方形的是（）A.，B.，C.，D.，，8、如图，四边形是正方形，对角线，交于点，下列结论：①；②；③；④正方形有四条对称轴．上述结论正确的有（）A.①②③④B.①②③C.②③④D.①③④9、下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（）A.个B.个C.个D.个三、解答题1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB交AB于D，DF//BC,DE//AC。

2023-2024学年九年级数学上册《第一章正方形的性质与判定》同步练习题有答案(北师大版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直2．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（）A．25 B．49 C．81 D．1003．正方形的一条对角线长为2，则这个正方形的边长为（）A．1 B．√2C．√3D．2√24．如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且CE=CA，AE交CD于点F，则∠DAF的度数为（）A．45°B．30°C．20°D．22.5°5．如图，正方形木板ABCD的面积是18dm2，在这个木板上截出面积为8dm2的正方形CFGE，连接AG，则AG的长度为（）A．3√2dm B．√2dm C．2dm D．4dm6．如图，在正方形ABCD中，点E，点F分别是BC，AB上的点，连接DE，DF，EF，满足∠DEF=∠DEC．若∠ADF=α，则∠EDC=（）A．2αB．45°−αC．45°+αD．90°−2α7．如图，一块边长为18dm的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为4dm的小正方形，现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来，剪出的正方形面积最大为（）A．100dm2B．128dm2C．162dm2D．180dm28．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①ED=EF；②AE=CG；③AE⊥CG；④∠DEC=∠CFG．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，请添加条件，使得菱形ABCD为正方形．（只能添加一个条件）10．如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，则留下部分的面积为cm2．11．如图所示，在正方形ABCD中，点P在AC上PE⊥AB，PF⊥BC垂足分别为E，F，EF=3则DP的长为．12．如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE=AB，连接CE，AE，则∠AEC的度数为．13．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，交对角线AC于点F，连接DF，若∠ABE=35°，则∠CFD=度.三、解答题14．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE=DF，连接AE和BF 相交于点M．求证：AE=BF．15．如图，已知正方形ABCD中AB=2，AC为对角线，AE平分∠DAC，EF⊥AC垂足为F．求FC的长．16．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点EF⊥CD，EG⊥AD垂足分别为F，G，已知EG=1，EF= 2求BE的长度．AB，求证：∠FEC=90°．17．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=1418．如图在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．（1）求证：BE=AF；（2）若AB=12，DE=3求AG的长．参考答案1．B2．D3．B4．D5．C6．B7．D8．C9．∠ABC=90°（答案不唯一）10．4√611．312．135°13．8014．证明：在正方形ABCD中AB=BC=CD=AD，∠ABE=∠BCF=90°∵CE=DF∴BE=CF在△AEB与△BFC中{AB=BC∠ABE=∠BCF BE=CF∴△AEB≌△BFC(SAS)∴AE=BF．15．解：∵正方形ABCD中AB=2，AC为对角线∴AB=BC=AD=2∴AC=√AB2+BC2=2√2∵AE平分∠DAC，EF⊥AC，ED⊥AD∴EF=ED∵EA=EA∴Rt△EAF≌Rt△EAD∴AF=AD=2∴FC=AC−AF=2√2−2．16．解：如图所示，连接DE∵四边形ABCD是正方形∴CB=CD，∠ECB=∠ECD=45°又∵CE=CE∴△CBE≌△CDE∴BE=ED∵EF⊥CD∴∠EGD=∠GDF=∠DFE=90°∴四边形GEFD是矩形∴GF=DE在Rt△EFG中EG=1∴FG=√EG2+EF2=√5∴BE=FG=√5．AB17．证明：∵正方形ABCD的边长为4，且AF=14∴AF=1，FD=3，DC=BC=4∵E为AB的中点∴AE=EB=2在Rt△AEF中EF=√AF2+AE2=√12+22=√5在Rt△DFC中FC=√DF2+DC2=√32+42=5在Rt△EBC中EC=√EB2+BC2=√22+42=2√5．∴EC2+EF2=FC2∴△EFC是以EC、EF为直角边的直角三角形∴∠FEC=90°．18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴∠BAE=∠ADF=90°∵DE=CF∴AE=DF.在△BAE和△ADF中{AB=AD，∠BAE=∠ADF，AE=DF，∴△BAE≌△ADF（SAS）∴BE=AF（2）解：由（1）得△BAE≌△ADF∴∠EBA=∠FAD∴∠GAE+∠AEG=∠GAE+∠BAG=∠BAD=90°∴∠AGE=90°∵AB=12，DE=3∴AE=9∴BE=√AB2+AE2=√122+92=15在Rt△ABE中12AB×AE=12BE×AG∴AG=12×915=7.2。

2023-2024学年九年级数学上册《第一章正方形的性质与判定》同步练习题有答案(北师大版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm22．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四边相等B．四角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直3．如图，正方形ABCD中，点O在△ACD内，∠OAC＝∠ODA，则∠AOD＝（）A．120°B．125°C．130°D．135°4．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm.现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm5．如图，四边形是正方形，延长至点E，使，连接交于点F，则的度数是（）A．B．C．D．6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG 的长为A．B．C．D．7．如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为（）A．1 B．2 C．3 D．8．如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处，该三角形板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E，四边形AECF的面积是（）A．16 B．12 C．8 D．4二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．正方形ABCD中，AB=2，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．10．如图，AC为正方形ABCD的对角线，延长AB到E，使AE=AC，以AC为一边作菱形AEFC，若菱形的面积为，则正方形边长．11．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(−3，0)，则点C到y轴的距离是．12．如图P是正方形内的一点，将绕点C逆时针方向旋转后与重合，若，则 = ．13．如图，正方形ABCD的边长是5，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是．三、解答题：（本题共5题，共45分）14．如图，是正方形的对角线上的两点，且，求证：；15．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OG＝OE.16．如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，DG=2，连接CF．求△FCG的面积．17．正方形ABCD中，E点为BC中点，连接AE，过B点作BF⊥AE，交CD于F点，交AE于G点，连接GD，过A点作AH⊥GD交GD于H点．（1）求证：△ABE≌△BCF；（2）若正方形边长为4，AH=，求△AGD的面积．18．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，联结EG．（1）求证：四边形AEGF是菱形；（2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形．参考答案：1．A 2．B 3．D 4．D 5．D 6．D 7．C 8．A 9．10．311．512．13．14．证明：∵正方形∴∴在和中和，BE=DF∴．15．证明：∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD，OC=OD∴∠DOG=∠EOC=90°，∠OCE+∠CED=90°∵DF⊥CE∴∠EDF+∠CED=90°∴∠EDF=∠OEC∴△DOG≌△COE（ASA）∴OE=OG16．解：过点F作FM⊥CD于M，如图所示：∵四边形ABCD是正方形∴∠A=90°，AB=CD=6，DC∥AB∴∠CGE=∠AEG∵四边形EFGH是菱形∴HE=GF，GF∥HE∴∠FGE=∠HEG∴∠CGF=∠AEH在△FGM和△HEA中∴△FGM≌△HEA（AAS）∴FM=AH=2∵DG=2，DC=6∴GC=4∴△FCG的面积=GC•FM=×4×2=4．17．证明：（1）正方形ABCD中，∠ABE=90°∴∠1+∠2=90°，又AE⊥BF∴∠3+∠2=90°，则∠1=∠3又∵四边形ABCD为正方形∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCF（ASA）（2）延长BF交AD延长线于M点∴∠MDF=90°由（1）知△ABE≌△BCF∴CF=BE∵E点是BC中点∴BE=BC，即CF=CD=FD，在△BCF和△MDF中∴△BCF≌△MDF（ASA）∴BC=DM，即DM=AD，D是AM中点又AG⊥GM，即△AGM为直角三角形∴GD=AM=AD又∵正方形边长为4∴GD=4S△AGD=GD•AH=×4×=．18．（1）证明：∵菱形ABCD∴AB=AD，∠B=∠D，∠BAC=∠DAC在△ABE和△ADF中∴△ABE≌△ADF（SAS）∴AE=AF，∠BAE=∠DAF∴∠EAG=∠FAG∵FG∥AE∴∠EAG=∠FGA∴∠FAG=∠FGA∴FG=AF=AE∵FG∥AE∴四边形AEGF是平行四边形又∵AF=AE∴四边形AEGF是菱形（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC∥AD∴∠B+∠BAD=180°∵∠B=∠BAE=30°∵△ABE≌△ADF∴∠BAE=∠DAF=30°∴∠BAD=180°-∠B=150°∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=150°-30°-30°=90°∵四边形AEGF是菱形∴四边形AEGF是正方形。

北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【基础达标】1.正方形是轴对称图形，它的对称轴共有()A.1条B.2条C.3条D.4条2.正方形、矩形、菱形都具有的特征是()A.对角线互相平分B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线平分一组对角3.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，则阴影部分的面积是.4.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形.AC为正方形ABCD的对角线，则∠EAC=度.5.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP的度数是度.【能力巩固】6.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为()A.10°B.15°C.20°D.12.5°7.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论:①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE.其中正确结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个8.如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为.9.如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为.10.如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC的中点.(1)求证:△ADE≌△ABF.(2)求△AEF的面积.【素养拓展】11.如图，四边形ABCD是正方形，G是CD边上任意一点，BE⊥AG于点E，DF∥BE，且交AG于点F.若EF=1，BE=3，求DF的长.参考答案【基础达标】1.D2.A3.14.1055.22.5 【能力巩固】6.B7.C8.√5-19.710.解:(1)证明:∵四边形ABCD 为正方形∴AB=AD ，∠B=∠D=90°，DC=CB. ∵E 、F 分别为DC 、BC 的中点 ∴DE=12DC ，BF=12BC∴DE=BF ，∴△ADE ≌△ABF (SAS).(2)由题知△ABF 、△ADE 、△CEF 均为直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF=12×4=2，CE=CF=12×4=2∴S △AEF =S 正方形ABCD -S △ADE -S △ABF -S △CEF =4×4-12×4×2-12×4×2-12×2×2=6. 【素养拓展】11.解:∵四边形ABCD 是正方形∴AB=AD ，∠DAB=∠ADC=90°. ∵BE ⊥AG ，DF ∥BE ∴DF ⊥GA.∵∠BAE+∠ABE=90°，∠DAF+∠BAE=90° ∴∠DAF=∠ABE ，且AB=AD ，∠AFD=∠AEB=90° ∴△ABE ≌△DAF (AAS) ∴AE=DF ，AF=BE=3. ∵AE=AF-EF=3-1=2 ∴DF=2.1.3 正方形的性质与判定【基础达标】1.下列说法不正确．．．的是()A.一组邻边相等的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.有一个角是直角的平行四边形是正方形2.下列命题中的真命题是()A.三个角相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形D.平行四边形是轴对称图形3.黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是.4.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件:，使得该菱形为正方形.5.把“直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.(1)正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成;(2)菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成;(3)矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成.【能力巩固】6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是()A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF7.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB.求证:四边形BEDF是正方形.【素养拓展】8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG.(1)求证:AF=BF.(2)如果AB=AC，求证:四边形AFCG是正方形.参考答案【基础达标】1.D2.C3.正方形4.AC=BD或AB⊥BC(答案不唯一)5.(1)等腰直角三角形(2)等腰三角形(3)直角三角形【能力巩固】6.D7.证明:∵∠ABC=90°，DE⊥BC，DF⊥AB∴∠BFD=∠BED=∠ABC=90°∴四边形BEDF为矩形.又∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB∴DF=DE.∴矩形BEDF为正方形.【素养拓展】8.证明:(1)∵AD=CD，E是边AC的中点，∴DE⊥AC，即得DE是线段AC的垂直平分线∴AF=CF∴∠FAC=∠ACB.在Rt△ABC中，由∠BAC=90°得∠B+∠ACB=90°，∠FAC+∠BAF=90°∴∠B=∠BAF，∴AF=BF.(2)∵AG∥CF，∴∠AGE=∠CFE.又∵E是边AC的中点∴AE=CE.在△AEG和△CEF中∵∠AGE=∠CFE，∠AEG=∠CEF，AE=CE∴△AEG≌△CEF，∴AG=CF.又∵AG∥CF，∴四边形AFCG是平行四边形.∵AF=CF，∴四边形AFCG是菱形.在Rt△ABC中，由AF=CF，AF=BF，得BF=CF，即得F是边BC的中点.又∵AB=AC，∴AF⊥BC，即得∠AFC=90°∴四边形AFCG是正方形.。