高中数学_均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思

人教A版必修一第二单元第二节《基本不等式》教学设计2.2基本不等式【教学目标】1. 能在具体的情境中，通过抽象概括及逻辑推理获得基本不等式；并认识两个平均数；2. 掌握不等式成立的条件，掌握不等式取等号成立的条件；3. 理解不等式的几何意义，体会数形结合的数学思想方法；4. 掌握基本不等式的多种证法及常见变式；会用基本不等式求某些函数的最值，能用基本不等式解决一些简单的实际问题，体会数学的应用价值；5. 激发学生的参与意识，提高数学学习的兴趣，培养探索的学习习惯，感悟逻辑推理，数学抽象，数学建模，数学运算，直观想象等核心素养.【教学重点、难点】重点：基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题。

难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题。

【教学过程】（一）基本不等式的定义情景引入：通过观看一段微课，让学生对赵爽弦图有充分的了解，并观察弦图回答以下问题 你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？学生答：对任意R ∈a,b ，都有ab b a 222≥+.追问：特别地，如果a >0,b >0,我们用b a ,分别代替上式中的a,b,可以得到怎样的式子？ 学生答：ab b a 2≥+(0,0)2a b a b +>>①，当且仅当a =b 时，等号成立，通常我们称不等式①为基本不等式.其中，“2b a +”叫做正数a ,b 的算术平均数，”“ab 叫做a ,b 的几何平均数.基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】通过取上一节课得到的不等式ab b a 222≥+的特殊形式，得到基本不等式，同时在两个不等式之间建立联系.通过分析基本不等式的代数结构特征，得到基本不等式的代数解释，加深对基本不等式的认识.(二) 基本不等式的证明问题1: 前面，我们通过考察ab b a 222≥+的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？师生活动：学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较法证明上式.教师在肯 定学生的做法之后，给出教科书第44页用分析法证明的过程，同时指出，只要把上述过程倒过来，就能用不等式的性质直接推出基本不等式了.追问（1) : 上述证明中，每一步推理的依据是什么？师生活动：学生分别回答教科书第44页的证明过程中，由①⇒①, 由①⇒①, 由①⇒①, 由①⇒①的依据.追问（2) : 上述证明方法叫做“分析法”.你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？师生活动：学生讨论后回答.教师总结：分析法是一种“执果索因” 的证明方法，即从要证 明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.【设计意图】根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略.（三）基本不等式的几何解释问题2 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ，BC =b ，过点C 作垂直于AB的弦DE ，连接AD ，BD .2+a b 的线段，得出基本不等式的几何解释吗？师生活动：学生先观看几何画板，思考后回答，教师引导学生总结：从条件和基本不等 式出发，发现圆的半径长等于2+a b ，所以基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到解释.当且仅当弦过圆心时，二者相等.【设计意图】让学生自己寻找基本不等式的几何解释是非常困难的，因此这里给出了几何图 形，2+a b 与图中的几何元素建立起联系，再观察这些几何元素在变化中表现的大小关系的规律，从而获得基本不等式的几何解释.（四）基本不等式的简单应用 例1 已知x >0,求x x 1+的最小值. 追问（1）“求xx 1+的最小值”的含义是什么？ 师生活动：学生思考后回答.教师总结：求x x 1+的最小值就是要求一个)1(000x x y +=，使任意x >0,都有.10y x x ≥+ 追问（2) : 本题中要求最小值的代数式有什么结构特点？是否可以利用基本不等式求xx 1+的最小值？如果能，如何求？ 师生活动：学生思考后回答.教师总结：本题中要求的代数式是x 与x 1和的形式，而且 x x 1⋅=1. 由于x x 1+是x 与x 1的算术平均数的2倍，而后者的几何平均数x x 1⋅是一个定值，所以可以利用基本不等式求解.教师展示教科书第45页例1的解答过程.追问（3) : 在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当11==x xx ，即时，等号 成立”？师生活动：学生讨论后回答，教师总结：这是为了说明“2”是xx 1+的一个取值.请同学 们想一想，当20≤y 时，01y x x ≥+成立吗？这时能说0y 是)0(1>+x x x 的最小值吗？ 变式：已知0<x <1,求()x x -1的最大值.学生解答板书展示，教师补充.追问（4) : 通过本例的解答，你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最 值吗？师生活动：学生讨论后回答.教师总结：代数式是否能转化为两个正数的和或积的形式，它 们的和或者积是否是一个定值，不等式中的等号是否能取到，通俗的说，就是“一正、二定、三相等”.【设计意图】引导学生根据所求代数式的形式，判断是否能利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范. 例2 已知x ,y 都是正数，求证：(1)如果积xy 等于定值P ，那么当x =y 时，和x+y 有最小值 P 2.(2)如果和x+y 等于定值s ,那么当x =y 时，积xy 有最大值241S . 师生活动：师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善. 追问：通过本题，你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗？师生活动：学生思考后回答，教师总结：满足“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值 时，求它们的和的最小值”， 或者“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值”的问题，能够用基本不等式解决.【设计意图】在例1的基础上，再利用一道例题示范如何直接利用基本不等式解决问题，同时借此题的题干指出用基本不等式能够解决的两类问题，为用基本不等式解决实际问题创造了条件.学生自主完成以下练习练习21.已知11≤≤-x ，求21x -的最大值.2.已知x >0,y >0,且y x ≠，求证：xy yx xy <+2. 3.已知0x ≠，当x 取什么值时，221x x+的值最小？最小值是多少？ 【设计意图】巩固新知，学以致用，规范解答的习惯.（五）课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？是否还有疑惑或不解？学生总结，老师补充.【设计意图】通过课堂小结，梳理总结本节课所学知识和学习过程，回顾基本不等式的获得过程、推导方法、集合解释、简单应用、使用条件、注意问题，进一步体会数学的实用之美.（六）布置作业（1）基本作业：课本P48习题2.2复习巩固1（1）、2题.（2）拓展作业：请同学们课外到阅览室或网上查找基本不等式的其他证法和几何解释，整理并相互交流.（3）探究作业：现有一台天平，两臂长不相等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量.这种说法对吗？并说明你的结论.【设计意图】通过作业达到规范、提高的效果，通过探究作业激发学生学习基本不等式的热情，感受数学与生活的密切联系，体会数学来源于生活，用于生活，生活中处处有数学.（六）板书设计学情分析学生在前面学习了用不等关系表示不等式、不等式的基本性质以及实数大小的比较方法，在初中学习了勾股定理、圆的几何性质等与基本不等式的有关的知识.但是能否在具体问题情境中发现不等关系，并抽象概括出基本不等式是本节教学的一个难点.另外，对不等式的证明，学生经历的很少，这又是本节课的另外一个难点.用基本不等式证明不等式，求最值、解决实际问题是学生的第三个难点.基于上述因素，在教学设计上可以通过合理的问题，引导学生自主发现、探究并证明.不等式应用问题上，应该由浅入深，不能盲目拔高.效果分析1.知识的掌握：在基本不等式的获得、推导过程中，有82%的学生能够达到A，15%的学生能够达到B,3%的学生属于C.前两种学生平时的学习习惯较好，方法科学，第三种学生基础较差，学习习惯和方法均存在问题.这一部分中部分学生出现了把结论当成条件来用的情况，课堂上已经处理并及时引入分析法.2.思维能力的发展：35%的学生能够达到A，60%的学生能够达到B,5%的学生属于C.第一种是平时表现特别积极、敢于展现、大胆发言的学生.第二种是平时表现比较积极，在课堂活动中能够积极参与的学生.第三种平时默默无闻，不敢发言和表现.在激励第一种学生的同时，平时教师应多给与第二和第三种学生发言和表现的机会，以此实现学生的全面发展.解决问题能力：15%的学生能够达到A，76%的学生能够达到B,9%的学生属于C.第一种学生在组内一般是组长，发挥着带头作用，第二种学生处于组内第二、三位次，第三种学生一般学习基础较差.平时的小组讨论和活动中，鼓励组长先让基础差的同学发言，其他同学补充，这样可以调动这部分学生的积极性，同时也有利于提高他们的知识水平和能力.在展示时，鼓励第二、三种学生上台，第一种学生进行点评.3.合作交流：66%的学生能够达到A，26%的学生能够达到B,8%的学生属于C.第一种学生在占多数，他们带动起了全班的合作学习的氛围，应继续激励他们.第二种略高于第三种，对于这两种学生要进一步激发他们的学习积极性，在小组合作交流中，多给这些学生一些机会，也可以考虑让他们上台作为小组代表展示.4.认真程度：81%的学生能够达到A，13%的学生能够达到B,6%的学生属于C.第一种学生在班里占了绝大多数，在小组合作中，让这部分带动第二和第三种学生发言，同时在平时的学习中可以让他们结成帮扶对子，以使后面的学生尽快跟上.总体来说，在班里积极学习、主动参与讨论、交流和展示的学生居多，占到80%以上.整个课堂气氛较为活跃，课堂检测效果较好，基础知识巩固、落实效果好.学生通过导学案和课堂探究问题，能够进行全方位训练和提升.教材分析相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础.基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中学数学知识体系中也是一个非常重要的、基础的内容.基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关，从数与运算的角度，2b a +是两个正数a ,b 的“算术平均数”， ab 是两个正数a ,b 的“几何平均数”.因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算.从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”“等圆中，弦长不大于直径”等，都是基本不等式的直观理解.基本不等式的证明或推导方法很多，上面的分析也是基本不等式证明方法的来源.利用分析法，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式；从几何图形的角度，借助几何直观，通过数形结合来探究不等式的几何解释；从函数的角度，通过构造函数，利用函数性质来证明基本不等式；等等.这些方法也是代数证明和推导的典型方法.基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推广至n 个正数的几何平均值不大于算术平均值.基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小值.同时，在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法.因此，基本不等式内容可以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养.基于以上分析，确定本节课的教学重点：基本不等式的定义、几何解释和证明方法，用基本不等式解决简单的最值问题.由于学生缺少代数式证明的经验，所以基本不等式的证明是本节课的一个难点.基本不等式的几何解释也是学生不容易想到的，需要数形结合地去理解，所以这也是本节课的一个难点.此外，在利用基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求最值等问题，这也是学生思维不够严谨的表现，因此基本不等式的证明和利用基本不等式求最值也是本节课的难点.评测练习1. 若b a <<0且1=+b a ,则下列四个数中最大的是 （ ）A.21 B. 22b a + C. ab2 D. a . 2. 设x >0,则x x y 133--=的最大值为 （ ） A.3 B. 233- C. 323- D. 1-.3. 若y x ,是正数，且141=+yx ，则xy 有 （ ）A. 最大值16B. 最小值161 C. 最小值16 D. 最大值161. 4. a ,b 是正数，则ba ab ab b a ++2,,2三个数的大小顺序是 （ ） A. b a ab ab b a +≤≤+22 B.ba ab b a ab +≤+≤22 C. 22b a ab b a ab +≤≤+ D.22b a b a ab ab +≤+≤. 5.函数21x x y -=的最大值为____________.6.若直角三角形的斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是____________.7.已知正数a ,b 满足1=+b a ，（1）求ab 的取值范围；（2）求abab 1+的最小值. 8.已知11≤≤-x ，求21x -的最大值.答案1. B2.C3.C4.C5.21 6.212- 7.（1）⎥⎦⎤ ⎝⎛∈41,0ab ，（2）417. 8.1. 课后反思通过本节课的教学实践，认识到做好精心设计，让学生有探究体验.在教学过程中，注意到了由“给出知识”转变为“探究知识”， 由“完成教学任务”转变为“促进学生发展”. 本节课比较满意的方面有：1. 课堂气氛活跃、师生互动积极、教学相长、意犹未尽.2. 教学思路比较清晰，各环节联系紧密，问题的设置能够指导学生进行主动的探究，使学生做大量的思维活动.3. 主要结论均由学生探究获得，学生体会到数学知识的形成过程，感受到探究的乐趣、成功的喜悦.4. 在探索基本不等式的几何解释时，学生给了我很大的惊喜，除了利用三角形相似解决问题，有的学生还利用了勾股定理解决问题.本节课还需改进之处有：学生在探究问题时，没有注意把握时间，没有及时作出反馈和总结，影响到后面的教学安排，处理例题、巩固提高的时间少了.还是由于时间关系，小结部分没有总结到位，时间稍显仓促.学生总结归纳不到位时，偶尔有抢学生话的情况出现，没有完全发挥学生的主观能动性.课标分析 基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关，从数与运算的角度，2b a +是两个正数a ,b 的“算术平均数”， ab 是两个正数a ,b 的“几何平均数”.因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算. 了解基本不等式的获得过程，会用不等式性质证明基本不等式，掌握基本不等式)0,0(2>>+≤b a b a ab .了解基本不等式的几何解释.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.启发引导学生自主探索、主动参与、亲身实践、独立思考，通过直观感知、观察发现结论；进一步渗透等价转化、分类讨论等思想方法；感受数学逻辑的严密性，培养学生的逻辑思维能力，培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模素养.。

《基本不等式（第一课时）》教学设计教学目标(1)知识与技能：理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释。

(2)过程与方法：本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。

要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。

变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。

两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质。

(3)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力。

教学重点和难点重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式2ba ab +≤的证明过程；难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式．教学方法引导探究法、讨论法教学用具实物投影仪，多媒体软件，电脑。

教学过程：1.创设情境，引入新课如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．探究一：你能通过这个简单的“风车”造型中得到一些相等和不等关系吗?在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为ba,，那么正方形的边长为22b a +．于是， 4个直角三角形的面积之和ab S 21=， 正方形的面积222b a S +=． 由图可知12S S >，即ab b a 222>+．当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=。

2．代数证明，得出结论根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论： 若+∈R b a ,，则ab b a 222>+． 若+∈R b a ,，则2ba ab +≤． 师生活动：学生探讨等号取到情况，教师演示几何画板，通过展示图形动画，使学生直观感受不等关系中的相等条件，从而进一步完善不等式结论：（1）若+∈R b a ,，则ab b a 222≥+；（2）若+∈R b a ,，则2ba ab +≤ 请同学们用代数方法给出这两个不等式的证明． 证法一（作差法）： 0)(2222≥-=-+b a ab b aab b a 222≥+∴，当b a =时取等号．（在该过程中，可发现b a ,的取值可以是全体实数） 证法二（分析法）：由于+∈R b a ,，于是 要证明ab ba ≥+2， 只要证明 ab b a 2≥+， 即证 02≥-+ab b a ，即 0)(2≥-b a ，该式显然成立，所以ab ba ≥+2，当b a =时取等号．得出结论，展示课题内容 基本不等式: 若+∈R b a ,，则2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立） 深化认识：称ab 为b a ,的几何平均数；称2ba +为b a ,的算术平均数 基本不等式2ba ab +≤又可叙述为： 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 3．几何证明，相见益彰探究二：如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，a AC =，b BC =．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接BD AD ,．根据射影定理可得：ab BC AC CD =⋅= 由于Rt COD ∆中直角边<CD 斜边OD ， 于是有2ba ab +<当且仅当点C 与圆心O 重合时，即b a =时等号成立． 故而再次证明： 当0,0>>b a 时，2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） [设计意图]： 几何直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。

均值不等式说课稿1（五篇模版）第一篇：均值不等式说课稿1一教材分析1、教材地位和作用均值不等式又叫做基本不等式，选自人教B版（必修5）的3章的2节的内容，是在上节不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．同时也是为了以后学习中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用。

本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力。

“均值不等式”在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。

求最值是高考的热点。

它在科学研究、经济管理、工程设计上都有广泛的作用。

2、教学目标A．知识目标：学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，并掌握定理中取等号的条件.B．能力目标：通过对均值不等式的推导过程，提高学生探究问题，分析与解决问题的能力。

参透类比思想，数形结合的思想，优化了学生的思维品质。

C.情感目标:（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、研究精神。

（2）通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态，并形成勇于提出问题、分析问题的习惯。

3、教学重点、难点：重点：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力，所以均值不等式的推导是本节课的重点难点：很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻，在应用时候常常出错误，所以，均值不等式成立的条件是本节课的难点二教法学法分析1.教法本节课主要采用探究归纳，启发诱导，讲练结合的教学方法。

以学生为主体，以均值不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。

2、教学手段为了使抽象变为具体，我使用了多媒体。

为了突出重点我使用了彩色粉笔。

3，学法从实际生活出发，通过创设问题情境，让学生经历由实际问题出发，探求均值不等式，发现均值不等式的实质，利用均值不等式解决实际问题的过程。

使学生从代数证明和几何证明两方面理解并掌握基本不等式。

教学设计
如果矩形的长和宽分别为a 和b ，那么矩形的面积为ab ，
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+b a 可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个
几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大.
【想一想】
【探索与研究】
如图所示半圆中，AB 为直径，O 为圆心.已知AC=a ，BC=b ，D 为半圆上一点，且DC ⊥AB ，算出OD 和CD ，给出均值不等式的另一个几何意义。

均值不等式的另一个几何意义为：半圆上的点到直径的距离不大于半圆的半径. 【典型例题】
例1 已知,0>x 求x
x y 1
+
=的最小值，并说明x 为何值时y 取得最小值. 解 因为,0>x 所以根据均值不等式有 21
x 2x 1x =•≥+
x
其中等号成立当且仅当,1
x
x =
即12=x ，解得1=x 或1-=x （舍） 因此当1=x 时，y 取得最小值2. 变式1 已知,0<x 求x
x y 1
+=的最大值，并求y 取得最大值时 相应x 的值.
变式2 已知x >1,求y =x +1
x−1的最小值，并说明x 为何值时y 取得最小值. 变式3 如果将典例中的"0">x 改成,"2"≥x x
x y 1
+=的最小值还是2吗？为什么？
【课堂小结】
你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？
备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。

人教B版高中数学必修五第3章3《均值定理》说课稿一、教材分析均值不等式”是必修五第三章第二节的内容，它是在学完“不等式的性质”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最大（小）值过程中有着广泛的应用。

求最大（小）又是高考的热点。

同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。

二、学情分析从学生知识层面看，学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题从学生的能力层面看，高二学生已经具备了应用固有知识探求新知的能力，从较长时间的训练中具备合作交流探究学习的学习模式。

三、教学目标1、知识目标:探索均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决最大（小）值问题。

2、能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。

3、情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。

四、教学重点与难点1、重点:理解均值不等式2、难点:均值不等式的应用五、教学策略与教学方法先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出重要不等式。

从生活中实际问题还原出数学本质，可调动学生的学习热情。

定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案。

充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.采用“启发—探究—讨论”式教学模式.六、教学过程中国古代有很多发明推动了世界的发展，如图是2002年在北京举行的国际数学家大会的会标，它是我国古代三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理而绘制的。

颜色的明暗可以使人联想到了风车，代表了中国人民的热情好客。

把这一会标抽象出如图所示的几何图形，在下方形ABCD中，有4个全等的直角三角形，设每一个直角三角形的直角分别为a、b。

我将向学生提出以下问题：正方形ABCD的面积是多少？四个直角三角形面积之和是多少？它们的大小关系如何？可时取等号？通过传统文化知识创设情境引入新知可以激发学生学习兴趣，培养他们的爱国情怀，充分体现了数学学科中的数学建模这一核心素养。

均值不等式教材说明人教B版普通高中课程标准实验教科书（必修五）课题 3.2 均值不等式课型新授课课时第1课时学情分析学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题.教学内容分析本节课《均值不等式》是《数学必修五（人教B版）》第三章第二节的内容，主要内容是通过现实问题进行数学实验猜想，构造数学模型，得到均值不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义基础上，理解均值不等式的几何解释；与此同时在推导论证的基础上进行公式的推广并学会应用.均值不等式是这一章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到了工具性作用。

有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值、值域进一步拓展与研究，起到承前启后的作用.教学目标1、知识与技能：（1）掌握均值不等式以及其成立的条件；（2）能运用均值不等式解决一些较为简单的问题。

2、过程与方法：（1）探索并了解均值不等式的证明过程、体会均值不等式的证明方法；（2）培养探究能力以及分析问题、解决问题的能力。

3、情感态度与价值观：（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、钻研、合作精神；（2）通过对均值不等式成立条件的分析，养成严谨的科学态度；(3)认识到数学是从实际中来，通过数学思维认知世界。

教学重点均值不等式的推导与证明，均值不等式的使用条件..教学难点均值不等式成立的条件教学策略选择与设计本节课主要采用启发引导式的教学策略.通过设计问题引出课题，通过启发引导解决问题、总结问题、论证问题、延拓问题等环节让学生领悟科学的探究方法，增强学生的探究能力.在教学中指导学生展开联想，大胆探索，以训练和培养学生的思维能力.教学资源与手段导纲、教科书，ppt.教学过程设计一 、复习不等式的性质：1.(对称性）a>b ⇔b<a2.（传递性）a>b,b>c ⇒a>c3.（可加性）a>b ⇒a+c>b+c4.(移项法则)a+b>c ⇒a>c-b5.（加法法则）a>b,c>d ⇒a+c>b+d6.（减法法则）a>b,c>d ⇒a-c>b-d7、（可积性）若a>b,且c>0，那么ac>bc ；若a>b,且c<0，那么ac<bc.8.（乘法法则）若a>b>0,且c>d>0，则ac>bd9.（乘方法则）若a>b>0,则a n >b n(n ∈+N ,且n>1)10.（开方法则）若a>b>0,则n n b a > (n ∈+N ,且n>1)设计意图：巩固前面所学，为本节课所学打下基础.二、概念引入1.证明：如果a,b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab证明：作差法： 222)(2b a ab b a -=-+ 0≥∴a 2+b 2≥2ab思考：何时等号成立？当且仅当""b a =时，取“=”（式中等号成立）2. 证明均值不等式：若,0a b >，则ab b a ≥+2.（当且仅当b a =时，等号成立） 证明:方法一：作差法：ab b a -+2 22ab b a -+=ab a+b 2b a O D C B A 2)(2b a -= 0≥∴ab b a ≥+2当且仅当b a =时，等号成立 深化认识： 特征：和的形式≥积的形式项数：左边两项，右边一项,项数比2：1.次数：左边一次，右边一次，次数比1：1.本质：代数意义： 称2b a +为b a ,的算术平均数；称ab 为b a ,的几何平均数； 语言叙述：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数.功能：和化积或积化和.变式1： 若,0a b >，则ab b a 2≥+.（当且仅当b a =时，等号成立） 思考： 1.如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？2.均值不等式与不等式a 2+b 2≥2ab 的关系如何？设计意图:让学生加深对均值不等式的认识.变式2：若,0a b >，则2)2(b a ab +≤.（当且仅当b a =时，等号成立） 方法二：几何法：令正实数a 、b 为两条线段的长,用几何作图的方法作出长度为2a b + 和ab 的两条线段,然后比较这两条线段的长。

《向量减法运算及其几何意义》学情分析学生已经学习了不等式基本性质，初中对完全平方公式特别熟悉，具备了一定的逻辑思维能力。

这为学习基本不等式打下了很好的基础，但是学生还从未接触过分析法（选修2-2第二章），可能在对基本不等式证明时感到突兀。

引导学生自主探索如何通过基本不等式求和、积的最值，基本不等式成立的条件，培养学生的自学能力，激发学生学习热情，提高学生的学习积极性及主动性。

课堂教学效果分析学生是课堂的主体，通过学生表情的变化、思维的速度，回答问题、练习、测试、动手操作的准确性等信息反馈，可获知教学信息的传输是否畅通，亦可看出新知识新技能的掌握情况。

教学任务是否完成不能只看少数尖子学生，大多数中下学生同样也是知识的接受体，从他们身上更能体现教学任务是否完成，以及教师的教学水平、教学质量的高低。

本节课的设计体现学生的主体地位，培养学生科学的探究能力。

设计本节课之后，实现学生在知识上掌握基本不等式及重要不等式及其应用，在能力上：培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。

通过对例题的分析，使学生掌握解题的思想和方法；对变式训练的思考，使学生巩固知识点的掌握；通过课后拓展提高，开阔学生视野，拓宽知识面。

总之，本节课在教师的引导帮助下，全体学生的潜力得到很大限度的挖掘，程度好的学生吃得饱，中等水平的学生吸收得好，差的学生消化得了，学生人人学有所得。

课堂教学中充分体现师生平等、教学民主的思想，师生信息交流畅通，情感交流融洽，合作和谐，配合默契，教与学的气氛达到最优化，课堂教学效果达到最大化。

教师教得轻松，学生学得愉快。

《基本不等式》的教材分析《基本不等式》是人教版高中数学必修5第三章第4节内容。

本节课重点探究了基本不等式的证明，并且将之应用于具体实际问题，是理论数学与应用数学结合的良好典范。

教材首先给出重要不等式分析其等号成立的条件，在此基础上得到基本不等式（均值不等式），将均值不等式分别用文字语言、符号语言来表示，然后给出了基本不等式的几何解释，帮助学生认识和理解基本不等式.例1是基本不等式基础上的拓展，目的是让学生认识到：积定和最小、和定积最大，同时感受数学应用于生活。

基本不等式第二课时（1）教学目标（a ）知识与技能：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题（b ）过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。

整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。

3道例题的安排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平。

教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误（c ）情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性（2）教学重点、教学难点教学重点：正确运用基本不等式教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件（3）学法与教学用具列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一。

对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。

直尺和投影仪（4）教学设想1、设置情境提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把2a b 叫做正数a b 、的算术平均数，把ab 叫做正数a b 、的几何平均数。

今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。

2、新课讲授例1、（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。

最大面积是多少？分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则100,xy篱笆的长为2（x y）m由2x yxy ，可得2100xy2（xy ）40等号当且仅当10xy xy时成立，此时，因此，这个矩形的长、宽为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m(2)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则2（xy）=36，x y=18，矩形菜园的面积为xy2m，由189,22x y xy 可得81xy ,可得等号当且仅当9xy xy时成立，此时因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为812m 例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为48003,m深为3 m 。

高中数学新课程 "均值不等式 "单元的教学设计摘要:纵观历年以来的高考题目，均值不等式是一个重要的考察内容，贯穿于各种数学考试题型中。

运用均值不等式可以灵活的解决判断大小、求最值以及取值范围等问题，同时不等式的知识点也可以对今后的数学学习产生影响，学好并且利用好均值不等式的知识，可以为学生提供多样的数学解决方法。

高中教师要重视均值不等式的教学，认真做好教学设计，加深学生对于均值不等式的理解。

关键词:高中数学；均值不等式；教学设计引言:高中生在学习均值不等式的时候会面临各种各样的困难，不能深刻把握不等式应用的深层含义，在传统的数学教学模式下，均值不等式的重点问题很难把握，数学典型例题比较少，学生的思维很容易被固化。

因此为了实行新式教育，教师要做好备课工作，积极准备均值不等式教学设计任务，完成高质量的教学设计工作，从课程与教材分析、教学计划、教学评价、案例分析与案例示范等方面出发，指出教师在进行高中数学均值不等式设计时需要重点考虑的问题。

一、关于均值不等式的数学文化要想学好均值不等式，教师就要先带领学生深入了解一下关于均值不等式的数学文化。

均值不等式是一个比较传统的数学知识点，其最大的优势就在于均值不等式可以应用在生产实际当中。

比如在日常生活中经常出现的土地利用、机械制造以及广告投资等领域中经常可以看到均值不等式知识的应用，不论是生活中的大问题还是生活中的小问题都可以看到均值不等式的身影，可以说均值不等式知识点的发现、验证和实际应用是数学文化的精彩部分，对于人类来说也是一笔宝贵的财富。

另外从美学层面上来讲，均值不等式与数学几何图形的完美结合也体现了数学学科的美。

众所周知，数学问题可以同时有多种解决方法和解决方式，均值不等式知识点事数学学科基础知识的一部分，灵活应用均值不等式解决数学问题，可以开阔学生的视野，拓宽学生的解题思路，捋清学生的解题思路。

有的时候为了节省解题时间，省去复杂的解题步骤，学生完全可以应用均值不等式知识点找出正确的答案，又快又准，很好的提高了学生的数学成绩。