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高中数学公式(均值不等式)高中数学公式(均值不等式)公式的数学本质是用简洁的语言准确地描述数学问题。
在高中数学中，均值不等式是一个重要而又常用的工具。
它可以帮助我们证明和解决各种数学问题。
本文将介绍均值不等式的定义、性质和应用。
一、均值不等式的定义均值不等式是数学中一类重要的不等式。
它表述了若干个数的某种“平均值”与这些数之间的大小关系。
常见的均值不等式有算术平均不等式、几何平均不等式和平方平均不等式。
1. 算术平均不等式算术平均不等式是指若干个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值。
设有n个正数x₁、x₂、...、xₙ，它们的算术平均值为AM，几何平均值为GM，则有AM ≥ GM。
2. 几何平均不等式几何平均不等式是指若干个正数的几何平均值不大于它们的算术平均值。
设有n个正数x₁、x₂、...、xₙ，它们的算术平均值为AM，几何平均值为GM，则有GM ≤ AM。
3. 平方平均不等式平方平均不等式是指若干个正数的平方平均值不小于它们的算术平均值。
设有n个正数x₁、x₂、...、xₙ，它们的算术平均值为AM，平方平均值为QM，则有QM ≥ AM。
二、均值不等式的性质均值不等式有一些基本性质可以帮助我们进行各种推导。
1. 对称性均值不等式具有对称性，即对数x₁、x₂、...、xₙ的排列顺序不影响不等式的成立。
例如，若AM ≥ GM成立，则交换任意两个数的位置，不等式仍然成立。
2. 反序性均值不等式具有反序性，即改变不等式中的不等号方向，不等式仍然成立。
例如，若AM ≥ GM成立，则取倒数得到1/AM ≤ 1/GM，不等式仍然成立。
3. 结合性均值不等式具有结合性，即若AM₁ ≥ GM₁和AM₂ ≥ GM₂成立，则有AM₁ * AM₂ ≥ GM₁ * GM₂。
这一性质可以帮助我们将不等式进行合并和推导。
三、均值不等式的应用均值不等式具有广泛的应用场景，涉及各个数学领域。
1. 不等式证明均值不等式可以用于证明其他的数学不等式。
均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。
当且仅当a=b=c时，等号成立。
3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。
当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。
n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。
二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。
x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。
(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。
另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。
三个正数的均值不等式的证明三个正数的均值不等式是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解数值之间的关系。
在这篇文章中，我将向大家介绍关于三个正数的均值不等式，并给出其证明。
三个正数的均值不等式是指对于任意三个正数a、b和c，它们的算术平均数大于等于它们的几何平均数，并且大于等于它们的谐波平均数。
具体来说，我们有以下不等式：(a+b+c)/3 ≥ √(abc) ≥ 3/(1/a + 1/b + 1/c)我们来证明不等式的第一部分：(a+b+c)/3 ≥ √(abc)。
假设a、b 和c是任意三个正数，我们可以将(a+b+c)/3的平方展开得到：(a+b+c)/3 ≥ √(abc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ abc接下来，我们考虑右侧的abc。
根据算术平均-几何平均不等式，我们有：(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ √(a^2b^2c^2)(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ abc现在，我们将前两个不等式相加，得到：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ abc + abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ 2abc通过简化不等式，我们可以得到：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ 2abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ (2/3)(3abc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ (2/3)(a+b+c)(abc)由于(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)是(a+b+c)^2的展开式，我们可以将不等式进一步简化为：(a+b+c)^2/9 ≥ (2/3)(a+b+c)(abc)接下来，我们可以将等式两边的(a+b+c)约去，得到：(a+b+c)/3 ≥ (2/3)(abc)(a+b+c)/3 ≥ 2abc/3由于abc是正数，不等式仍然成立。
均值不等式及其应用一、 均值不等式的含义及成立的条件（一） 原型： ;2:22ab b a R b a ≥+∈，都有、对于任意的实数 .3,333abc c b a R c b a ≥++∈+都有：、、对于任意的正数（二） 均值不等式：任意n 个正数的算术平均值不小于这n 个正数的几何平均值两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则2a b+a b =时成立）三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立） （等号仅当a b c ===d 时成立） （三）均值不等式常见的变形时取得最小值）为常数，则若时取得最小值）（注意当且仅当的最小值为，则常数若、、、对于任意的正数b a ((b a .22,122=≤=+=+≥+=∈+mm ab m b a m b a m b a m ab R c b a注意当且仅当若（注意当且仅当则常数、若c b a (c b a ,2===++==+=m c b a b a m abc3、几个常用不等式：① ab 2 ⎪⎝⎭233b c ++⎫⎪⎝⎭；③如果,a b R ∈≥2a b +2a b+（可以推广到n 的情形）【均值不等式的几何证明------用几何意义加深对不等式的理解】 （1）的几何意义ab b a 222≥+：如右图，不妨设0>>a b ，两个正方体的体积 之和为22b a +，两个矩形的面积之和为：ab 2 显然，这两部分面积之差ab b a 2-22+为图中 阴影部分面积..4,4abcd d c b a R d c b a ≥+++∈+都有：、、、对于任意 b(2)的几何意义ab ba ≥+2： 【其一】分析：设ab x =，其意义是什么？联想到圆幂定理：ab x =2如右图：设a AB =，b AC =，则a b BC -=，以BC 为直径作圆，切线AD 与圆相切于D 点，则有：AD=ab ，AO=2ba +（为什么？）. 显然，AD AO ≥ 【其二】原式即的几何意义）（ab b a ≥+22： 如右图，设a AC =，b AB =，中点为BC D ，则，2b a AD +=，正方形ADEF 的面积=22）（b a + 矩形ACHG 的面积= ab ，这两面积的差= MHNE S 矩形，（为什么？）即22）（b a +=ab +S 矩形（注意：CD EN S S 矩形=（3）如右图：设a AC =，则，2ba AD +=， 则222b a +而b a ）（22+这两个面积的差等于MNG S ∆即222b a +=22）（b a ++MNG S ∆（为什么？）ABCODFA BC D二、均值不等式的应用【适应性预备练习】1、课本P11练习1、2、32、课本P11习题1、2、3、4、6;2(4);(3);411)2( ;2211 ,322ab ba abab abb a )ba b)((a abb a R b a >+>+>++>++∈+）（）成立的是（则下列不等式中一定不、、设 zxyz xy z y x R z y x cba b a c a c b R c b a ++≥++∈≥+++++∈+222,2614求证：、、）已知：（，证明：、、）已知：、（ 【方法三种：均值不等式、构造函数的方法、配方法】（一）应用于证明不等式--------值不等式证之.1、 证明：log 5lg 42<(2)12222222444c b b a b a c b a R c b a ++++≥++∈）（、、、已知;(2) 4;))((13222c b a ac c b b a c b a c b a R a 、、b、c ++≥++≥++++∈+），求证：（、设9)111)(( (3)≥++++cb ac b a .8)1-1)(1-1)(1-1231,14≥≤++=++∈+cb ac b a c b a R a 、、b、）（；（）（求证：，若、设 9111 (3)≥++c b a ； ;31)4(222≥++c b a )(2,,5222zx yz xy z cb a y b ac x a c b R c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证：、、、、、若4171(4).225)b 1(b )1(3)( ;425)b 1)(b 1)(2( ;811111,0,0622≥+≥+++≥++≥++=+>>ab ab a a a a ab b a b a b a ）（，求证：、设【第（1）题方法：具有代表性，五种方法。
⑦向量形式的柯西不等式：,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k αβ=时，等号成⑧排序不等式（排序原理）：()22b c a b R ++≥∈，（当且仅当a b c ==...a ≤≤≤,...,c 是b知识点一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：(2)12,33y x x x =+>-。
变式练习：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈。
技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++） 当,即t=时,4259y t t≥⨯+=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。
即化为()(0,0)()A y mg xB A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
变式练习(1) 231,(0)x x y x x++=>技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。
例：求函数2254x y x +=+的值域。
解：令24(2)x t t +=≥，则2254x y x +=+22114(2)4x t t t x =++=+≥+ 因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
三个正数的均值不等式第一篇：三个正数的均值不等式三个正数的均值不等式一、基础知识1、（1）．重要不等式：如果a,b∈R,那么a2+b22ab（当且仅当时取“=”号）（2）．基本不等式：如果a,b是，那么a+bab即（当且仅当时取“=”号）2、三个正数的均值不等式：（1）如果a,bc是，那么号）（2）变形形式。
二、典型例证：例1：已知0<x<1，求y=x(1-x2)的最大值。
2变式：（1）已知0<x<1，求函数y=x(1-x)的最大值。
a+b+c33abc（当且仅当时取“=”2（2）已知0<x<1求函数x(1-x)的最大值。
例2：若x>0，求函数f(x)=3x+12x的最小值。
练习（1）若正数x,y满足xy2=4，求x+2y的最小值。
（2）若实数x,y满足x.y>0，且x2y=2，求xy+x2的最小值。
题型二：不等式证明+例3：设a,b,c∈R求证：（1）(a+b+c)（1a+11b++1c)≥9 1+1a+c)≥（2）(a+b+c)（例4：设a,b,c∈R，求证+a+bb+c1a+1b+1c+abc≥23第二篇：三个正数的基本不等式三个正数的算术-几何平均数例1.(1)求函数y=(x－1)2(3－2x)(1 值.练习:1.设x>0,则f(x)=4-x-值为().A.4-2B.4－2 24(x>1)最小2(x-1)1的最大22xC.不存在D.5/22.已知x,y∈R+,且x2y=4,求x+y的最小值及达到最小值时x,y的值.3.设a>2,b>3,则a+b+1的(a-2)(b-3)最小值为.4.设01.已知a,b,c∈R+,求证:(a+b+c)(1119++)≥.a+bb+ca+c22.设x、y、z>0,且x+3y+4z=6,求x2y3z的最大值.第三篇：均值不等式均值不等式定义Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
其中：1、调和平均数：2、几何平均数：3、算术平均数：4、平方平均数（均方根）：一般形式设函数（当r不等于0时）；（当r=0时）特例可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形。
特例可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：当n=2时，上式即：当且仅当时，等号成立。
根据均值不等式的简化，有一个简单结论，中学常用，即。
记忆调几算方，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。
均值不等式的变形(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0(6)对非负数a,b，有a^2+b^2≥1/2*(a+b)^2≥2ab(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2(10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)证明均值不等式的证明方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A ＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。
原题等价于：((a1＋a2＋…＋an)／n)^n≥a1a2…an。
当n＝2时易证；假设当n＝k时命题成立，即((a1＋a2＋…＋ak)／k)^k≥a1a2…ak。
那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2，…，a(k＋1)中最大者，则ka(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak。
设s＝a1＋a2＋…＋ak，{[a1＋a2＋…＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1)＝{s/k＋[ka(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1)≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[ka(k＋1)－s]／k(k＋1)用引理＝(s／k)^k*a(k＋1)≥a1a2…a(k＋1)。
用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...* xn)^(1/n)] 即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）均值不等式的应用例一证明不等式：2√x≥3-1/x(x>0)证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3 所以，2√x≥3-1/x 例二长方形的面积为p，求周长的最小值解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p 因为a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p 周长最小值为4√p 例三长方形的周长为p，求面积的最大值解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p 因为a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16 面积最大值是p^2/16第四篇：均值不等式课标分析（1）课程标准要求：课程标准对均值不等式要求探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。
（2）课程标准解读这个要求可以分为两个层次：一是探索并了解基本不等式的证明过程；二是会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。
从第一个层次来看，要达到“探索并了解”，需要三个步骤：首先要给学生创造相关的问题情景，启发学生的思维，获取感性认识。
其次通过问题探究让学生步步深入，剖析特点；最后利用不等式的性质将得出的结论，进行完整的证明，并明确使用均值不等式的三个条件。
第二个层次是应用层面，因此要通过适当的例题、习题和变式训练，引导学生明白对式子如何变形才可满足运用均值不等式的条件。
教材分析本节是高中人教B版《数学》必修5第三章不等式第二节的内容。
本节内容的教学需要两个课时，这是第一课时。
高中数学不等式是初中不等式知识的完善和提升，更是高等数学的基础，起着承前启后的作用．高中不等式与其他知识联系紧密，具有工具性功能．高中数学课程标准加强了不等式知识与实际生活的联系，力求体现数学来源于现实的真谛，教学中也更为突出不等式在解决实际问题中的工具作用．均值不等式的两个作用非常重要：第一是证明不等式。
第二个作用是求最值。
用来求最值时三个条件缺一不可，这是学生掌握的重点也是用均值不等式解决实际问题的易错点。
教学重点：理解均值定理并运用其解题。
教学难点：均值不等式成立的三个条件，也是学生用均值不等式解决实际问题的易错点。
难点突破方法：①多观察、勤类比、善归纳、重建构② 题组引路、逐层深化、归纳总结、明确要点学情分析从知识方面看：通过对必修五模块第一节不等关系与不等式的学习，以及学生在初中对一些不等式知识有一定的掌握，相关技能和能力有了一定的提高，均值不等式的推出及证明过程学生可顺利得出，但均值不等式的运用，以及公式的变形运是对学生的一个新的要求。
因此，还需要学生有一个逐步熟悉的过程。
从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习对学习有着较浓的学习兴趣。
从能力上看，预测学生思维活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面，不够严谨，而且缺少系统的分析问题和解决问题的能力。
从学生的思维特点看，不等式的成立，容易联系不等式的相关性质。
不利因素是：本节课的重点讲均值不等式求最值，对等号是否成立，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用过程中更容易出错。
所以我特意设置一个辨一辩的环节，借此引起学生的重视。
从学生的不同层次来看学优生在公式推导和运用方面掌握的较好。
因此组织了三次小组讨论，并且在当堂小测环节设置了A组和让不同层次的孩子都有所收获。
效果分析（1）从目标达成上看：学生在课堂上学习气氛热烈，兴趣浓厚，回答老师提问积极主动且正确率高，板演、上台展讲等环节，表现的也都很优秀，教师在课堂巡视时，发现除学案例题2的变式练习外，其它课堂练习完成情况很好。
学案例题2的变式练习，学生根据老师的提示，重新作答，也很好的完成。
根据上面检测，前2个目标至少40人达成，第3个目标38人达成，很好的完成了预设目标。
（班级43人）（2）从重、难点突破上看：均值不等式能运用好的关键是认准均值不等式成立的条件，以及什么样结构的式子适合用均值不等式求最值。
对于学生来说，能一眼看到定值的还可以应付，稍微复杂或定值不太明显的题目，学生还是缺少一定的认识。
这方面的练习要强化一些。
因此我在教学中着力在这儿做文章，舍得花时间营造知识形成过程的氛围，通过问题串引导学生，突破学生学习的障碍点．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，引导学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。
通过我的合理有效的问题串的引导，学生通过小组合作探讨，比较顺利得辨别出均值不等式的使用环境，轻松突破本节课的重、难点。
（3）从课堂观察量表上看：观课中老师使用了课程观察量（附件1）共有10名数学教师进行观课，有1名教师给打了99分，6名教师给打了98分，3名教师给打了97分，平均得分为97.8分，平均得分比较高，说明总体效果较好。
从课程观察量表各项得分上看，教师的课堂设计和课堂处理都达到了很好的评价，学生的参与度非常高、学生间的合作与小组间的合作很强、学生的思维状态很活跃，学习的效果较好。
（4）从课堂检测批改情况来看：课堂小测批改情况是：全班共43人，全对的有38个同学，有4个同学错在B组练习。
从这个结果可以看出，本节课学生基本掌握了所学内容，完成了学习任务。
从上面的分析知，本节课所授内容基本与预设效果一致，评略得当，重点突出，难点突破。
在问题的引入、讲解及应用的处理方法、时间安排都把握的比较好，能够引导学生积极主动地探索，使学生学习兴趣浓厚，自主高效地完成课堂学习。
根据课堂检测和课后反馈练习的批改情况，可以看出学生对公式的运用非常好，完整地实现了教学目标。
