基本不等式复习课

等式性质、不等式性质与基本不等式复习课公开课教案教学设计课件资料第一章：等式性质的复习与探究1.1 等式的概念与基本性质回顾等式的定义和基本性质（如交换律、结合律、分配律等）。

通过示例和练习，让学生熟悉等式的应用和解题方法。

1.2 等式的变形与解复习等式的变形规则，如两边加减乘除相同的数等。

讲解等式解的定义和求解方法，通过例题展示解题步骤和技巧。

第二章：不等式性质的复习与探究2.1 不等式的概念与基本性质回顾不等式的定义和基本性质（如传递性、同向不等式的可加性等）。

通过示例和练习，让学生熟悉不等式的应用和解题方法。

2.2 不等式的变形与解复习不等式的变形规则，如两边加减乘除相同的数等。

讲解不等式解的定义和求解方法，通过例题展示解题步骤和技巧。

第三章：基本不等式的复习与探究3.1 基本不等式的概念与性质回顾基本不等式的定义和性质，如算术平均数不小于几何平均数等。

通过示例和练习，让学生熟悉基本不等式的应用和解题方法。

3.2 基本不等式的证明与应用讲解基本不等式的证明方法，如使用AM-GM不等式等。

探讨基本不等式在实际问题中的应用，如优化问题、经济问题等。

第四章：等式与不等式的综合应用4.1 等式与不等式的联立讲解等式与不等式的联立解法，如解方程组和不等式组。

通过例题和练习，让学生熟悉解题步骤和技巧。

4.2 等式与不等式的应用问题分析等式与不等式在实际问题中的应用，如几何问题、物理问题等。

通过例题和练习，让学生熟悉解题思路和方法。

第五章：复习与练习5.1 等式性质的复习与练习总结等式的性质和解题方法，进行复习和练习。

提供练习题，让学生自主练习和巩固知识点。

5.2 不等式性质的复习与练习总结不等式的性质和解题方法，进行复习和练习。

提供练习题，让学生自主练习和巩固知识点。

5.3 基本不等式的复习与练习总结基本不等式的性质和解题方法，进行复习和练习。

提供练习题，让学生自主练习和巩固知识点。

第六章：等式与不等式的转换6.1 等式到不等式的转换讲解如何将等式转换为不等式，以及在不同情况下如何处理不等式的符号变化。

第二节基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2.(1)基本不等式成立的条件：01a >0，b >0．(2)等号成立的条件：当且仅当02a ＝b 时，等号成立．(3)其中03a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，04ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 205≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab 06≥2(a ，b同号)．(3)(a ，b ∈R )．(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为09a ＝b ．3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当10x ＝y 时，和x ＋y 有最小值112P ．(简记：积定和最小)(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当12x ＝y 时，积xy 有最大值1314S 2．(简记：和定积最大)注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．1．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致．2．若a >0，b >0，则21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．常见求最值的模型模型一：mx ＋nx≥2mn (m >0，n >0，x >0)，当且仅当x ＝nm时，等号成立；模型二：mx ＋n x －a ＝m (x －a )＋nx －a ＋ma ≥2mn ＋ma (m >0，n >0，x >a )，当且仅当x －a ＝n m时，等号成立；模型三：xax 2＋bx ＋c ＝1ax ＋b ＋c x ≤12ac ＋b(a >0，c >0，x >0)，当且仅当x ＝ca时，等号成立；模型四：x (n －mx )＝mx (n －mx )m ≤1m ·>0，n >0，0<x 当且仅当x ＝n 2m时，等号成立．4．三个正数的均值不等式：若a ，b ，c >0，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝x ＋1x 的最小值是2.()(2)|b a ＋a b |≥2.()(3)已知0<x <12，则x (1－2x )的最大值为18.()(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)设a ＞0，则9a ＋1a 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7答案C 解析9a ＋1a≥29a ·1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝13时，等号成立．(2)矩形两边长分别为a ，b ，且a ＋2b ＝6，则矩形面积的最大值是()A ．4 B.92C.322D ．2答案B解析依题意，可得a ＞0，b ＞0，则6＝a ＋2b ≥2a ·2b ＝22·ab ，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以ab ≤628＝92，即矩形面积的最大值为92.故选B.(3)(2024·河南郑州高三模拟)已知实数a >0，b >0，a ＋b ＝2，则1a ＋ab 的最小值为________．答案12＋2解析1a ＋a b ＝12×a ＋b a ＋a b ＝12＋b 2a ＋a b ≥12＋2b 2a ·a b ＝12＋2，当且仅当b 2a ＝ab，即a ＝22－2，b ＝4－22时，等号成立．(4)(人教A 必修第一册习题2.2T1(2)改编)函数y ＝x (3－2x )(0≤x ≤1)的最大值是________．答案98解析因为0≤x ≤1，所以3－2x ＞0，所以y ＝12·2x ·(3－2x )≤122x ＋(3－2x )22＝98，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号．(5)(人教A 必修第一册复习参考题2T5改编)已知a ，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．答案[9，＋∞)解析因为a，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．考点探究——提素养考点一利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1配凑法求最值例1(1)(2024·福建福州四校高三期中联考)已知0<x<2，则y＝x4－x2的最大值为() A．2B．4C．5D．6答案A解析因为0<x<2，所以y＝x4－x2＝x2(4－x2)≤x2＋(4－x2)2＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝2时，等号成立，即y＝x4－x2的最大值为2.故选A.(2)函数y＝x2＋3x＋3x＋1(x<－1)的最大值为()A．3B．2C．1D．－1答案D解析y＝x2＋3x＋3x＋1＝(x＋1)2＋(x＋1)＋1x＋1＝－－(x＋1)＋1－(x＋1)＋1≤－1＝－1，当且仅当x＋1＝1x＋1＝－1，即x＝－2时，等号成立．故选D.【通性通法】配凑法求最值的关键点【巩固迁移】1．函数y ＝3x ()A ．8B ．7C ．6D ．5答案D解析因为x >13，所以3x －1>0，所以y ＝3x ＋43x －1＝(3x －1)＋43x －1＋1≥2(3x －1)·43x －1＋1＝5，当且仅当3x －1＝43x －1，即x ＝1时，等号成立，故函数y ＝3x 值为5.故选D.2．(2023·浙江杭州高三教学质量检测)已知a >1，b >1，且log 2a ＝log b 4，则ab 的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．32答案C解析∵log 2a ＝log b 4，∴12log 2a ＝log b 4，即log 2a ＝2log 24log 2b ，∴log 2a ·log 2b ＝4.∵a >1，b >1，∴log 2a >0，log 2b >0，∴log 2(ab )＝log 2a ＋log 2b ≥2log 2a ·log 2b ＝4，当且仅当log 2a ＝log 2b ＝2，即a ＝b ＝4时取等号，所以ab ≥24＝16，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，故ab 的最小值为16.故选C.考向2常数代换法求最值例2(1)已知0<x <1，则9x ＋161－x 的最小值为()A ．50B ．49C ．25D ．7答案B解析因为0<x <1，所以9x ＋161－x ＝(x ＋1－x )25＋9(1－x )x＋16x 1－x ≥25＋29(1－x )x ·16x 1－x ＝49，当且仅当9(1－x )x＝16x 1－x ，即x ＝37时，等号成立，所以9x ＋161－x 的最小值为49.故选B.(2)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则1a ＋1b 的最小值为()A.223B.233C ．1＋223D ．1＋233答案C解析因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1，＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a≥1＋2a 3b ·2b3a＝1＋223，当且仅当a 3b ＝2b3a ，即a ＝3(2－1)，b ＝3(2－2)2时，等号成立．故选C.【通性通法】常数代换法求最值的基本步骤【巩固迁移】3．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＝9，则－1x －4y 的最大值是()A.6＋429B ．－6＋429C ．6＋42D ．－6－42答案B解析因为1x ＋4y ＝19x ＋y )＋y x ＋8x y＋6＋429，当且仅当y x ＝8xy ，即x ＝9(2－1)2，y ＝9(2－2)时，等号成立，所以－1x －4y ≤－6＋429.故选B.4．(2024·湖北荆门三校高三联考)已知实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，则2a ＋b 的最小值是()A ．5B ．9C ．13D ．18答案B解析由lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，可得lg (ab )＝lg (a ＋2b )，所以ab ＝a ＋2b ，即2a ＋1b ＝1，且a >0，b >0，则2a ＋b ＝(2a ＋b 5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2ab，即a ＝b ＝3时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为9.故选B.考向3消元法、换元法求最值例3(1)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是()A.14B.45C.255D ．2答案B解析因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以x 2＝1－y 45y 2，又x 2≥0，所以y 2∈(0，1]，所以x 2＋y 2＝y 2＋1－y 45y2＝4y 4＋15y 2＝y 2≥15×24y 2·1y 2＝45，当且仅当4y 2＝1y 2，即y 2＝12，x 2＝310时取等号，所以x 2＋y 2的最小值是45.故选B.(2)(2024·浙江嘉兴第一中学高三期中)若x >0，y >0，且1x ＋1＋1x ＋2y＝1，则2x ＋y 的最小值为()A ．2B ．23C.12＋3D ．4＋23答案C解析设x ＋1＝a ，x ＋2y ＝b ，则x ＝a －1，y ＝b －a ＋12，且a >0，b >0，则1a ＋1b ＝1，2x ＋y＝2(a －1)＋b －a ＋12＝3a ＋b 2－32，而3a ＋b ＝(3a ＋b 4＋3a b ＋ba ≥4＋23a b ·ba＝4＋23，当且仅当3a b ＝ba ，即a ＝3＋33，b ＝3＋1时，等号成立，则2x ＋y ≥4＋232－32＝12＋ 3.故选C.【通性通法】当所求最值的代数式中变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．【巩固迁移】5．(2023·江苏南京高三调研)设a ≥0，b ≥0，且2a ＋b ＝1，则ab 的最小值为__________．答案解析因为2a ＋b ＝1，所以a ＝(b －1)24，所以a b ＝(b －1)24b＝b 4＋14b －12≥2b 4·14b－12＝0，当且仅当a ＝0，b ＝1时取等号．6．(2024·湖北襄阳五中高三质量检测)若正数a ，b 满足2a ＋b ＝1，则a 2－2a ＋b2－b的最小值是________．答案223－12解析设u ＝2－2a ，v ＝2－b ，则a ＝2－u 2，b ＝2－v ，则u ＋v ＝3(u >0，v >0)，所以a 2－2a ＋b2－b＝1－12u u＋2－v v ＝1u ＋2v －32＝13(u ＋v 32＋v u ＋－32＋321＋223－32＝223－12，当且仅当v ＝6－32，u ＝32－3时，等号成立，所以a 2－2a ＋b 2－b 的最小值为223－12.考向4“和”“积”互化求最值例4(多选)设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么()A ．a ＋b 有最小值22＋2B ．a ＋b 有最大值22－2C ．ab 有最大值3－22D ．ab 有最小值3＋22答案AD解析∵a >1，b >1，∴ab －1＝a ＋b ≥2ab ，当a ＝b 时取等号，即ab －2ab －1≥0，解得ab ≥2＋1，∴ab ≥(2＋1)2＝3＋22，∴ab 有最小值3＋2 2.又ab ，当a ＝b 时取等号，∴1＝ab －(a ＋b )－(a ＋b )，即(a ＋b )2－4(a ＋b )≥4，则[(a ＋b )－2]2≥8，解得a ＋b －2≥22，即a ＋b ≥22＋2，∴a ＋b 有最小值22＋2.故选AD.【通性通法】“和”“积”互化求最值的方法(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．(2)如果条件中含有两个变量的和与积的形式，可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．【巩固迁移】7．正实数x ，y 满足4x 2＋y 2＋xy ＝1，则xy 的最大值为________，2x ＋y 的最大值为________．答案152105解析∵1－xy ＝4x 2＋y 2≥4xy ，∴5xy ≤1，∴xy ≤15，当且仅当y ＝2x ，即x ＝1010，y ＝105时取等号．∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，∴(2x ＋y )2－1＝3xy ＝32·2x ·y，即(2x ＋y )2－1≤38(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴2x ＋y ≤2105，当且仅当2x ＝y ，即x ＝1010，y＝105时取等号．考点二基本不等式的综合应用例5(2024·河南濮阳外国语学校模拟)若对任意正数x ，不等式2x 2＋4≤2a ＋1x恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．[0，＋∞) B.－14，＋∞C.14，＋∞ D.12，＋∞答案B解析依题意得，当x >0时，2a ＋1≥2x x 2＋4＝2x ＋4x恒成立，又x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号，所以2x ＋4x 的最大值为12，所以2a ＋1≥12，解得实数a 的取值范围为－14，＋故选B.【通性通法】1．利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围．2．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是为其他知识提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．【巩固迁移】8．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则△ABC 面积的最大值是()A ．6B ．12C ．18D ．24答案A解析设AB ＝AC ＝2m ，BC ＝2n ，因为∠ADB ＝π－∠CDB ，所以m 2＋9－4m 26m ＝－m 2＋9－4n 26m，整理得m 2＝9－2n 2.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12BC ＝12×2n ×4m 2－n 2＝3n 4－n 2＝3n 2(4－n 2)≤3×n 2＋4－n 22＝6，当且仅当n ＝2时，等号成立．故选A.考点三基本不等式的实际应用例6网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x (万件)与投入实体店体验安装的费用t (万元)之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．答案37.5解析由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．【通性通法】利用基本不等式解决实际应用问题的技巧【巩固迁移】9．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g ，则()A ．m >10B ．m ＝10C ．m <10D ．以上都有可能答案A解析由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a ≠b ，设先称得黄金为xg ，后称得黄金为y g ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ，∴x ＝5a b ，y ＝5b a ，∴x ＋y ＝5a b ＋5ba＝5×2a b ·b a ＝10，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b 时，等号成立，但a ≠b ，等号不成立，即x ＋y >10.因此顾客实际购得的黄金克数m >10.故选A.课时作业一、单项选择题1．当x ＜0时，函数y ＝x ＋4x ()A ．有最大值－4B ．有最小值－4C ．有最大值4D ．有最小值4答案A解析y ＝x ＋4x＝－(－x )－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立．故选A.2．(2023·陕西咸阳高三模拟)已知x >0，y >0，若2x ＋y ＝8xy ，则xy 的最小值是()A.18B.14C.24D.22答案A解析因为2x ＋y ≥22xy ，所以8xy ≥22xy ，解得xy ≥18，当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时，等号成立．故选A.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为()A ．13B ．12C ．9D ．6答案C解析由椭圆的定义可知，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6.由基本不等式可得|MF 1|·|MF 2|＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，等号成立．故选C.4．(2024·浙江绍兴第一中学高三期中)已知直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆(x －1)2＋(y －2)2＝2024的圆心，则1a ＋1b 的最小值为()A ．3＋22B ．3－22C ．6D ．9答案A解析由圆的方程知，圆心为(1，2)．∵直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆的圆心，∴a ＋2b ＝1(ab >0)，∴1a ＋1b ＝(a ＋2b )＝3＋a b ＋2ba≥3＋2a b ·2b a＝3＋当且仅当a b ＝2ba，即a ＝2b ，∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2.故选A.5．(2023·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是()A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定答案B解析设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则第一种方案：两次加油的平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y 2>xy ，第二种方案：两次加油的平均价格为400200x ＋200y ＝2xyx ＋y <xy ，故无论油价如何起伏，第二种方案都比第一种方案更划算．故选B.6．(2023·浙江杭州调研)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为()A ．4 B.92C.2D ．22答案D 解析由m 2－amn ＋2n 2≥0得m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn＝m n ＋2n m 恒成立，因为m n ＋2nm≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2nm，即m ＝2n 时取等号，所以a ≤22，故实数a 的最大值为2 2.故选D.7．(2024·浙江名校协作体高三模拟)设x ，y 为正实数，若2x ＋y ＋2xy ＝54，则2x ＋y 的最小值是()A ．4B ．3C ．2D ．1答案D解析因为x ，y 为正实数，且54＝2x ＋y ＋2xy ＝(2x ＋1)(y ＋1)－1，令m ＝2x ＋1，n ＝y ＋1，则mn ＝94，所以2x ＋y ＝m ＋n －2≥2mn －2＝1，当且仅当m ＝n ，即y ＝12，x ＝14时取等号．故选D.8．(2024·湖北襄阳第四中学高三适应性考试)若a ，b ，c 均为正数，且满足a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，则2a ＋2b ＋3c 的最小值是()A ．2B ．1C.2D ．22答案A解析因为a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，所以a (a ＋2b )＋3c (a ＋2b )＝(a ＋2b )(a ＋3c )＝1，又a ，b ，c 均为正数，(a ＋2b )(a ＋3c )＝(2a ＋2b ＋3c )24，当且仅当a ＋2b ＝a ＋3c ＝1时取等号，所以(2a＋2b＋3c)24≥1，即2a＋2b＋3c≥2.故选A.二、多项选择题9．下列四个函数中，最小值为2的是()A．y＝sin xxB．y＝ln x＋1ln x(x＞0，x≠1)C．y＝x2＋6 x2＋5D．y＝4x＋4－x 答案AD解析对于A，因为0＜x≤π2，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋1sin x≥2，当且仅当sin x＝1sin x，即sin x＝1时取等号，故y＝sin x x2，符合题意；对于B，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时y＝ln x＋1ln x为负值，无最小值，不符合题意；对于C，y＝x2＋6x2＋5＝x2＋5＋1x2＋5，设t＝x2＋5，则t≥5，则y≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋14x≥24x·14x＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意．故选AD.10．(2024·湖北部分名校高三适应性考试)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是()A．ab的最大值为2B．a＋b的最小值为4C．a＋2b的最小值为62－3D.1a(b＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2ab，即(ab)2＋2ab－8≤0，解得0<ab≤2，则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；对于B，ab＋a＋b＝8≤(a＋b)24＋(a＋b)，即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍去)，a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，所以b＝8－aa＋1>0，解得0<a<8，a＋2b＝a＋2·8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D ，因为1a (b ＋1)＋1b ＝181a (b ＋1)＋1b [a (b ＋1)＋b ]＝182＋b a (b ＋1)＋a (b ＋1)b ≥18＋2)＝12，当且仅当b a (b ＋1)＝a (b ＋1)b ，即b ＝4，a ＝45时取等号，故D 正确，故选BCD.11．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D.a ＋b ≤2答案ABD解析对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.三、填空题12．(2023·山东滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________．答案3解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.13．(2024·河北衡水中学高三第三次综合素养评价)已知实数a >b >1，满足a ＋1a －1≥b ＋1b －1，则a ＋4b 的最小值是________．答案9解析由已知条件，得a －b ≥1b －1－1a －1＝(a －1)－(b －1)(b －1)(a －1)＝a －b (b －1)(a －1)，∵a －b >0，∴1≥1(b －1)(a －1)，又a －1>0，b －1>0，∴(b －1)(a －1)≥1，∴a ＋4b ＝(a －1)＋4(b －1)＋5≥2(a －1)·4(b －1)＋5＝9，－1＝4(b －1)，－1)(a －1)＝1，＝3，＝32时，等号成立．14．(2023·湖北荆宜三校高三模拟)已知正数a ，b 满足a ＋3b ＋3a ＋4b ＝18，则a ＋3b 的最大值是________．答案9＋36解析设t ＝a ＋3b ，则3a ＋4b ＝18－t ，所以t (18－t )＝(a ＋3b 15＋9b a ＋4ab≥15＋29b a ·4ab＝27，当且仅当2a ＝3b 时取等号．所以t 2－18t ＋27≤0，解得9－36≤t ≤9＋36，即a ＋3b 的最大值是9＋36，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝3＋6，b ＝2＋263时取等号．15．(2024·浙江名校联盟高三上学期第一次联考)已知正实数x ，y 满足1x ＋4y ＋4＝x ＋y ，则x＋y 的最小值为()A.13－2B ．2C ．2＋13D ．2＋14答案C解析因为正实数x ，y 满足1x ＋4y＋4＝x ＋y ，等式两边同乘以x ＋y ，可得(x ＋y )2＝4(x ＋y )＋5＋y x ＋4xy≥4(x ＋y )＋5＋2y x ·4xy ＝4(x ＋y )＋9，所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－9≥0，因为x ＋y >0，所以x ＋y ≥2＋13，当且仅当y ＝2x 时，等号成立．因此x ＋y 的最小值为2＋13.故选C.16．已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点(不包括端点)，若AE →＝xAB →＋yAC →，则2x ＋1y 的最小值为()A ．4B ．6C ．8D ．9答案C解析设BE →＝λBD →(0<λ<1)，∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBD →＝AB →＋λ(AD →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →，∴x ＝1－λ，y ＝λ2(x >0，y >0)，∴2x ＋1y ＝21－λ＋2λ＝－λ)＋λ]＝4＋2λ1－λ＋2(1－λ)λ≥4＋22λ1－λ·2(1－λ)λ＝8，当且仅当2λ1－λ＝2(1－λ)λ，即λ＝12时取等号，故2x ＋1y 的最小值为8.故选C.17．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析由x 2＋y 2－xy ＝1得(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1得x 2＋y 2－1＝xy ，又x 2＋y 2≥2x 2·y2＝2|xy |，所以|x 2＋y 2－1|≤x2＋y 22即－x 2＋y 22≤x 2＋y 2－1≤x 2＋y 22，所以23≤x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时，x 2＋y 2＝2，当x ＝33，y ＝－33或x ＝－33，y ＝33时，x 2＋y 2＝23，所以C 正确，D 错误．故选BC.18．(多选)(2024·湖北襄阳第五中学高三月考)若a >b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．2a ＋2b ≥22B ．2a ＋ab ≥2＋22C ．(a 2＋1)(b 2＋1)<32D ．a 2a ＋2＋b 2b ＋1≥14答案BD解析因为a >b >0，且a ＋b ＝1，所以0<b <12，12<a <1.对于A ，因为2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，故A 错误；对于B ，因为b a >0，a b >0，由基本不等式，得2a ＋a b ＝2a ＋2b a ＋a b ＝2＋2b a ＋a b ≥2＋22b a ·ab＝2＋22，当且仅当2b a ＝a b ，即a ＝2－2，b ＝2－1时，等号成立，所以2a ＋ab≥2＋22，故B 正确；对于C ，因为a ＋b ＝1，所以(a 2＋1)(b 2＋1)＝a 2b 2＋a 2＋b 2＋1＝a 2b 2＋(a ＋b )2－2ab ＋1＝a 2b 2－2ab ＋2＝(ab －1)2＋1，其中ab ≤(a ＋b )24＝14，当且仅当a ＝b 时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，所以0<ab <14，(a 2＋1)(b 2＋1)＝(ab －1)2＋1故C 错误；对于D ，a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝[(a ＋2)－2]2a ＋2＋[(b ＋1)－1]2b ＋1＝(a ＋2)＋4a ＋2－4＋(b ＋1)＋1b ＋1－2＝4a ＋2＋1b ＋1－2，因为a ＋b＝1，所以a ＋2＋b ＋1＝4，故a ＋24＋b ＋14＝1，所以4a ＋2＋1b ＋1＝＝1＋14＋b ＋1a ＋2＋a ＋24(b ＋1)≥54＋2b ＋1a ＋2·a ＋24(b ＋1)＝94，当且仅当b ＋1a ＋2＝a ＋24(b ＋1)，即a ＝23，b ＝13时，等号成立，所以a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝4a ＋2＋1b ＋1－2≥94－2＝14，故D 正确．故选BD.19．(2024·湖北百校高三联考)已知正数x ，y 满足3x ＋4y ＝4，则y是________．答案1解析因为x ，y 是正数，所以＝y xy ＋3＋y 2xy ＋1＝1x ＋3y ＋12x ＋1y，且x ＋3y ＋2x ＋1y ＝3x ＋4y ＝4，所以y＝14＋3y ＋2x·＝＋2x ＋1y x ＋3y ＋≥14×(2＋2)＝1，当且仅当2x ＋1y x ＋3y ＝x ＋3y 2x ＋1y，即x ＝45，y ＝52，等号成立，所以y 1.20．(2023·广东深圳高三二模)足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的底线宽AB ＝72码，球门宽EF ＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得∠EPF 最大，这时候点P 就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O 处(OA ＝AB ，OA ⊥AB )时，根据场上形势判断，有OA →，OB →两条进攻线路可供选择．若选择线路OA →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置．答案72－165722－165解析若选择线路OA →，设AP ＝t ，其中0<t ≤72，AE ＝32，AF ＝32＋8＝40，则tan ∠APE ＝AEAP＝32t ，tan ∠APF ＝AF AP ＝40t ，所以tan ∠EPF ＝tan(∠APF －∠APE )＝tan ∠APF －tan ∠APE 1＋tan ∠APF tan ∠APE＝40t －32t 1＋1280t 2＝8t 1＋1280t2＝8t ＋1280t ≤82t ·1280t ＝520，当且仅当t ＝1280t ，即t ＝165时，等号成立，此时OP ＝OA －AP ＝72－165，所以若选择线路OA →，则甲带球72－165码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA →，AO →的方向分别为x ，y 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B (－36，0)，O (36，72)，F (－4，0)，E (4，0)，k OB ＝7236＋36＝1，直线OB 的方程为y ＝x ＋36，设点P (x ，x ＋36)，其中－36<x ≤36，tan ∠AFP ＝k PF ＝x ＋36x ＋4，tan ∠AEP ＝k PE ＝x ＋36x －4，所以tan ∠EPF ＝tan(∠AEP －∠AFP )＝tan ∠AEP －tan ∠AFP1＋tan ∠AEP tan ∠AFP＝x ＋36x －4－x ＋36x ＋41＋x ＋36x －4·x ＋36x ＋4＝8(x ＋36)x 2－161＋(x ＋36)2x 2－16＝8(x ＋36)＋x 2－16x ＋36，令m ＝x ＋36∈(0，72]，则x ＝m －36，所以x ＋36＋x 2－16x ＋36＝m ＋(m －36)2－16m ＝2m ＋1280m －72≥22m ·1280m72＝3210－72，当且仅当2m ＝1280m，即m ＝810，即x ＝810－36时，等号成立，所以tan ∠EPF ＝82m＋1280m－72≤83210－72＝1410－9，当且仅当x＝810－36时，等号成立，此时|OP|＝2·|36－(810－36)|＝722－165，所以若选择线路OB→，则甲带球722－165码时，到达最佳射门位置．。

基本不等式（复习课）吴红考纲要求：1、了解基本不等式的证明过程2、会用基本不等式解决简单的最值问题考情分析：1、从内容上看本节，本节重点考查基本不等式的常规问题，即求最值问题。

2、从考查形式上看，单纯对基本不等式的命题，主要表现在选择题和填空题中，在解答题中参与函数、三角结合，难度适中。

3、从能力要求上看，要求学生具备较高的转化能力，具备将特殊问题转化为常规问题的能力。

教学目标与知识目标：1、了解基本不等式的证明过程。

2、会用基本不等式解决简单的最值问题。

重点：利用基本不等式求最值问题。

难点：配凑后用不等式的条件，一正二定三相等。

教学过程：一．基础知识 一、基本不等式2b a ab +≤ 1、基本不等成立的条件：a>0,b>02、等号成立的条件：当且仅当a=b 时取等式。

二、几个重要不等式 ()1ab b a 222≥+（a ∈R,b ∈R)(2)ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a )(a ∈R,b ∈R (3)()02>≥+ab b a a b (4)22222b a b a +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+(a ∈R,b ∈R) 三、算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a 、b 的算术平均为2b a +，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算述平均数不小于它们的几何平均数四、利用基本不等式求最值问题已知x>0、y>0，则：（1）如果积xy 是定值P ，那么，当且仅当x=y 时，x+y 有最小值2p （简记积定和最小）（2）如果和x+y 是定值P ，那么，当且仅当x=y 时，xy 有最大值42p （简记和定积最大）注意：一正二定三相等基础练习1、求下列各题的最值（1）f(x)=x+x 1的值域[变式：限制定义域x ∈[)+∞,2或x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 （2）x<3求f(x)=34-x +x 最大值 （3）求f(x)=sin 2x+1+1sin 52+x 的最小值 （4）已知x>0,y>0,且191=+yx ，求x+y 的最小值 （5）若0<x<1，求f(x)=x(4-3x)最大值典型例题例1，已知x>45，求函数y=54128162-+-x x x 的最小值 [分析：此为形如y=x C Bx Ax ++2或y=CBx Ax x ++2的一类求 值域的变形，此 题通过换元转化为]Ax+C xB +的形式 变形（1），将例1的条件改为x ≤54求y 的最小值 变形（2），将例1的条件改为x ≠45，求y 的值域. 变形（3），若将例1的条件改为0<x<45，求y 的最大值例2，已知a>0,b>0，且ab=a+b+3,求a+b 的最小值[分析一]化二元函数为一元函数[分析二]将ab=a+b+3与联立消去ab,可建立关于a+b的不等式，求出a+b 的取值范围备用例题围垦一个面积为360㎡的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上需留一个宽度为2m 的进出口（如图所示），已知旧墙的长度为x（单位：米）修建此矩形围墙的总费用为y（单位：元）。

基本不等式专题复习【例1】已知,0x y >，且21x y +=，求11x y +的最小值.【变式1】已知,0x y >，且21x y +=，求1x x y +的最小值.【变式2】已知,0x y >，且1x y +=，求4912x y +++的最小值.【变式3】已知,0x y >，且2x y +=，求213x y x y ++-的最小值.【变式4】已知,0x y >，求22x y x y x y +++的最大值及22x y x y x y+++的最小值.【例2】已知,0x y >，且24xy x y ++=，求x y +的最小值.【变式1】已知,0x y >，且26x y xy ++=，求xy 的最小值.【变式2】已知,0x y >，且228x y xy ++=，求2x y +的最小值.【变式3】已知实数,x y 满足2241x y xy ++=，求2x y +的最小值.【变式4】已知实数,x y 满足221x y xy ++=，求x y +的最大值.【例3】已知,,0a b c >，且()bc 4a a b c +++=，求2a b c ++的最小值.【变式1】已知,,0a b c >，且222412a ab ac bc +++=，求a b c ++的最小值.【例4】已知,,0x y z >，且230x y z -+=，求2y xz的最小值.【变式1】已知,,0x y z >，且2221x y z ++=，求12z S xyz +=的最小值.【变式2】已知,,0x y z >，且2221x y z ++=，求212S xyz =的最小值.【例5】已知,,0x y z >，求222xy yz x y z +++的最大值.【变式1】已知,,0x y z >，求2222x y z xy yz+++的最小值.【例6】已知,0x y >，求44x y x y x y +++的最大值.【例7】已知,0x y >，11121x y y +=++，求x y +的最小值.【例8】已知正数,x y 满足1xy ≤，则11112x y+++的最小值为____________.【例9】将边长为a m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是________.【例10】已知0a >，0b >，比较a b +.【例11】对任意实数11,2x y >>，不等式224211x y p y x +--≤恒成立，则实数p 的最大值为__________.【例12】 (2016南京三模)若实数,x y 满足2221x xy y +-=，则222522x y x xy y--+的最大值为________.【例13】已知,a b R ∈，函数()f x ax b =-，若对任意[1,1]x ∈-，有()01f x ≤≤，则3122a b a b +++-取值范围是_______.【例14】已知,,x y z 为正数，且2221x y z ++=，则yz xz xy x y z ++的最小值是________.【例15】设,(1,)x y e ∈（e 为自然对数的底数），则ln ln (1ln )(1ln )(1ln )ln x y xy x y xy⋅---的最大值为_____.【例16】（2013年高考湖南卷（理））已知,,*,236a b c R a b c ∈++=，则22249a b c ++的最小值为___.【例17】已知0,0,,1,(,),(,)n n x y y x x y n N n A x y B x y nx y x ny nx y x ny>>∈>=+=+++++，是否存在()f n ，使得(,)()(,)n n A x y f n B x y ≤≤对0,0x y >>恒成立？【例1】已知,0x y >，且21x y +=，求11x y+的最小值.【答案】3+【变式1】已知,0x y >，且21x y +=，求1x x y+的最小值.【答案】1+【变式2】已知,0x y >，且1x y +=，求4912x y +++的最小值. 【答案】254【变式3】已知,0x y >，且2x y +=，求213x y x y ++-的最小值.【答案】342+ 【变式4】已知,0x y >，求22x y x y x y +++的最大值及22x y x y x y+++的最小值. 【答案】22,33【例2】已知,0x y >，且24xy x y ++=，求x y +的最小值.【答案】3【变式1】已知,0x y >，且26x y xy ++=，求xy 的最小值.【答案】18【变式2】已知,0x y >，且228x y xy ++=，求2x y +的最小值.【答案】4【变式3】已知实数,x y 满足2241x y xy ++=，求2x y +的最小值.【答案】5【变式4】已知实数,x y 满足221x y xy ++=，求x y +的最大值.【答案】3【例3】已知,,0a b c >，且()bc 4a a b c +++=，求2a b c ++的最小值.【答案】4【变式1】已知,,0a b c >，且222412a ab ac bc +++=，求a b c ++的最小值.【答案】【例4】已知,,0x y z >，且230x y z -+=，求2y xz的最小值. 【答案】3【变式1】已知,,0x y z >，且2221x y z ++=，求12z S xyz+=的最小值. 【答案】4 【解析】22211141122(1)(1)()24z x y S xyz xyz z z z z ++===----+≥≥ 【变式2】已知,,0x y z >，且2221x y z ++=，求212S xyz=的最小值. 【答案】4【解析】2222222222212111142222x y z xy z S xyz xyz xyz z xy z x y +++===+++≥≥≥ 【例5】已知,,0x y z >，求222xy yz x y z+++的最大值.【答案】2【变式1】已知,,0x y z >，求2222x y z xy yz+++的最小值.【解析】2222,2[(1)]2x ay xy yz a y z +-+=， 解得15a =，∴2222222112[(1)]()2552xy yz x y y z x y z +⋅++-+=++≤，【例6】已知,0x y >，求44x y x y x y+++的最大值. 分析：考虑到分母较复杂，分子简单，故对分母进行双换元，再利用基本不等式求最值即可. 解析：设40,0x y t x y s +=>+=>，得4,33t s s t x y --==，于是 ()444848433433333s t t s x y s t x y x y t s t s --⎛⎫+=+=-+-= ⎪++⎝⎭≤. 当且仅当433s t t s=，即2y x =时等号成立. 【例7】已知,0x y >，11121x y y +=++，求x y +的最小值. 分析一：将原方程变形，用变量y 表示x ，再利用基本不等式求最值即可. 解析一：∵11121x y y +=++，得221xy y y =-++，于是 111113(1)()2222x y y y y y y +=+-+=++≥. 当且仅当1y y =，即1,12x y ==时等号成立. 分析二：考虑到分母较复杂，分子简单，故对分母进行双换元，再利用基本不等式求最值即可.解析二：设20,11x y t y s +=>+=>，得1,12t s x y s -+==-，且111t s+=，于是 11()()113222t s t s t s x y ++-+-+==≥. 当且仅当2t s ==，即1,12x y ==时等号成立.【例8】已知正数,x y 满足1xy ≤，则11112x y +++的最小值为____________. 解法一：【先降元，再求导】∵1xy ≤，∴1111121121y M y y yy +=+++++≥，令1112y t y y =+++，求导，得 22222222212(12)2(1)21'(1)(12)(1)(12)(1)(12)y y y y y t y y y y y y +--+-+-=+==++++++，(柳)∴当且仅当2x y ==时，2t +=. 解法二：【通分后，分离常数】11222211121121223232x y x y M x y x y xy x y x y ++++=+==-=+++++++++≥≥.∴当2x y ==时，2t =. 解法三：【双换元后，利用基本不等式】 令110,0112a b x y =>=>++,得11110,22x y a b =->=-, 又∵1xy ≤,∴11111111()(1)(1)(1)1122a b a b ab a b ab-+--=--+⇒≤≤ 221()()()4()402a b a b ab a b a b +⇒-+⇒+++-≤≤≥即2a b +≥.解法四：【凑项，利用基本不等式】111111112112112y M x y y y y y=++=-+++++++≥1122121()[22(21)]132********y y y y y y y y ++=+++-+=++---+++≥.∴当2x y ==时，2t =.解法五: 【对变量y 进行双换元】设1,12+=+=y m y n ,则,12=-=-y n m m n所以1112222112112y n m m n n m M x y y y m n m n--=++=+=+-++++≥≥. 一类反思：这类问题的求解策略很多，如变为齐次式，通分后利用基本不等式，等等.但是从上面的解答可以看出，进行双换元后化简，变为关于,s t 的式子，再利用基本不等式求解，显得顺理成章，减少了运算量.下面我们回顾一下2010江苏高考填空题第14题的一道变式题：【例9】（例8变式2）将边长为a m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是________. 分析：由题意，设出小正三角形的边长，得出S 关于,a x 的关系式，利用关系式求最小值即可.解析一：设剪成的小正三角形的边长为x ，则()()22(3)(0)a x S x a a x a x -==<<+- （方法一）我们可以利用导数求函数最小值.222(3)()a x S x a x -=-，222222(26)()(3)(2)()()x a a x a x x S x a x -⋅---⋅-'=-222222222(26)()(3)(2)2(3)(3)()()x a a x a x x x a x a a x a x -⋅---⋅----==-- ()0,0,3a S x x a x '=<<=， 当(0,]3ax ∈时，()0,S x '<递减；当[,)3a x a ∈时，()0,S x '>递增； 故当3a x =时，S的最小值是3. （方法二）利用函数的方法求最小值. 令1113,(2,3),(,)32a x t t a a t a a -=∈∈，则：22222186681t S a a t at a t t==-+--+- 故当13,83a a x t ==时，S. （方法三）利用双换元法求最小值.令1,0a x t a x s +=>-=>，得2t s a +=,32a x t s -=+则()(2223t s S ts ts +== 故当423t s a ==，即3a x =时，S. 题后反思：本题考查函数中的建模应用，等价转化思想.一题多解.解法一是新课标中，常用导数法求解高次，分式函数的一类问题，解法二转化为函数思想，解法三是本文的核心思想，利用双换元法求解本题，简化了运算，降低了难度，充分体现出了双换元的优越性.【例10】已知0a >，0b >，比较a b +.进行双换元，这样容易解决问题.x =y =，得3a x =，3b y =，于是()()()()()2332222a b x y x y xy x x y y x y x y x y +-=+-+=---=-+故0a b +-≥（当且仅当a b =时取等号），即a b +题后反思：本题进行双换元后，转化为平方与立方进行因式分解，作差变形是解决问题的关键.【例11】对任意实数11,2x y >>，不等式224211x y p y x +--≤恒成立，则实数p 的最大值为__________.分析：此题是不等式恒成立问题，利用双换元，转化为利用基本不等式求最小值问题. 解析：令210,10y s x t -=>-=>，得11,2s x t y +=+=，于是22224(1)(1)8211x y t s y x s t +++=+=--≥，当且仅当22(1)(1),1t s t s s t++===，即2,1x y ==时，等号成立， 因此实数p 的最大值为8.【例12】已知,,a b c R +∈，求a b cb c a c a b+++++的最小值. 分析：分母的形式较为复杂，对分母进行三换元，转化为基本不等式求解. 解析：∵,,a b c R +∈，令0,0,0b c x a c y a b z +=>+=>+=>，得,,222y z x x z y x y za b c +-+-+-===， 于是3133()2222222a b c y z x z x y y x z x y z m b c a c a b x y z x y x z z y +++=++=++-=+++++-+++≥，当且仅当x y z ==即a b c ==时取等号. ∴a b cb c a c a b+++++的最小值为3. 题后反思：考虑到分母较为复杂，采用三换元简化分母，结合基本不等式求最值. 同类问题如下：【例13】已知,,a b c 是ABC ∆的三边长，求a b cm b c a a c b a b c=+++-+-+-的最小值. 分析：分母的形式较为复杂，对分母进行三换元，转化为基本不等式求解. 解析：∵,,a b c 是ABC ∆的三边长，∴,,b c a a c b a b c +>+>+>，令,,b c a p a c b q a b c r +-=+-=+-=，得2,2,2a q r b p r c p q =+=+=+，于是1()2a b c q r p r p qm b c a a c b a b c p q r+++=++=+++-+-+-又∵2,2,2q p r p r qp q p r q r+++≥≥≥，当且仅当p q r ==即a b c ==时取等号. ∴m 的最小值为3，此时三角形为正三角形.题后反思：考虑到分母较为复杂，采用三换元简化分母，结合基本不等式求最值. 再看如下类题：【例14】已知,,x y z 为正数，且2221x y z ++=，则yz xz xyx y z++的最小值是________. 分析：所求是较为复杂，对每项进行换元，然后利用基本不等式求解. 解析：令,,yz xz xya b c x y z===，得2221bc ac ab x y z ++=++=，于是yz xz xy a b c x y z++=++==当且仅当a b c ==，即x y z ===. 题后反思：此题换元后，再结合基本不等式求解，简化了运算. 【例15】设,(1,)x y e ∈（e 为自然对数的底数），则ln ln (1ln )(1ln )(1ln )ln x y xy x y xy⋅---的最大值为_____.解析：令ln ,ln x a y b ==，得()()()()()()()ln ln 1ln 11ln 1ln ln 11x y xy ab a b x y xy a b a b ⋅⋅---=----+， 令1a b c --=，得1,1a b c b a c -=+-=+，且a b b c a c +++≥≥≥∴ ()()()()()()()()()()ln ln 1ln 111ln 1ln ln 118x y xy ab a b abc x y xy a b a b b c a c a b ⋅⋅---==----++++≤.（柳）当且仅当13a b c ===，即a b ==. 【例16】（2013年高考湖南卷（理））已知,,*,236a b c R a b c ∈++=，则22249a b c ++的最小值为___.分析：注意到22224(2),9(3)b b c c ==，进行换元，利用基本不等式求解即可.解析:令,2,3a x b y c z ===，于是6x y z ++=，则2222()123x y z x y z ++++=≥，当且仅当2x y z ===，即22,1,3a b c ===时等号成立. 题后反思：先进行双换元，再进行三换元，结合基本不等式求解，简化了运算，求出了最后结果.下面我们利用双换元解决一类数列恒成立问题. 【例17】已知0,0,,1,(,),(,)n n x y y xx y n N n A x y B x y nx y x ny nx y x ny>>∈>=+=+++++，是否存在()f n ，使得(,)()(,)n n A x y f n B x y ≤≤对0,0x y >>恒成立？ 分析：原式中的分母较为复杂，对分母进行双换元，再利用基本不等式求解. 解析： 令,nx y a x ny b +=+=，得220,011na b nb ax y n n --=>=>--，于是 22222221222(,)()(1)(1)11111n x y na b nb a n b a n A x y nx y x ny n a n b n n a b n n n --=+=+=-+-=++------+≤2222222222(,)()(1)(1)11111n y x nb a na b n b a n B x y nx y x ny n a n b n a b n n n n --=+=+=+--=++------+≥ 综上，存在()21f n n =+，使得(,)()(,)n n A x y f n B x y ≤≤对0,0x y >>恒成立. 题后反思：进行双换元求解后，可以很好的利用基本不等式求解.。

基本不等式的应用专题复习教案教学三维目标：1、知识与水平目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值。

2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程。

3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神。

教学重点、难点：重点：基本不等式在解决最值问题中的应用。

调性求解最值。

学情分析与学法指导：基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在使用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又能够转化成使用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。

在本节复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习。

一、基础梳理1、基本不等式：如果a,b是正数，a b时取""=号）代数背景：如果22a b + 2ab （,,a b R ∈当且仅当a b 时取""=号 ）（用代换思想得到基本不等式）几何背景：半径不小于半弦。

2、常见变形：（1）ab 222a b + （2）222a b + 22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）（3）ba a b+ 2（,a b 同号且不为零） 3、算术平均数与几何平均数如果a ，b 是正数，我们称 为a ，b 的算术平均数，称 的a ，b 几何平均数。

4、利用基本不等式求最值问题（建构策略）已知0,0x y >>,则（1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P ,那么当 时，和x +y 有最小值 ；（2）“和定积最大”：如果和x +y 是定值S ,那么当 时，积xy 有最大值 .二、探究：下面对基本不等式的使用是否准确？4(1)R,x x x ∈+已知求的最值 21(2),12x x +≥已知时求的最小值44:24x x x x +⋅=≥解总结：“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可三、典例分析（一）利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则yx 21+的最小值为________； (2)当x >0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为_____。

高中数学基本不等式专题复习第11课：基本不等式与双根号函数一、双根号函数形如y=√(px+q)，p>0，q>0.图像如右图所示：1）x>0时，当x=0时取到最小值min=2√(pq)；2）值域：当x=q/p时取到最小值min=2p；3）当p<0，q<0时，函数图像关于X轴对称，为二、四象限倒双根号；4）当pq<0时，不是双根号函数。

2、研究：以y=3√(x-)为例二、基本不等式a+b≥2√(ab)1、一正：只要a、b为正，上式就恒成立！2、二定：当利用基本不等式求一端的最值时，则必须配凑出不等式另一端是定值！积定和最小，取等于ab/2；3、三相等：用来验证等号能否取；当求最值时则是验证最值能否取到！成败的关键！示例：求函数y=x+3/(x-2)（x>2）的最小值。

错误解法：当x>2时，得a=x，b=3/(x-2)，则a+b=x+3/(x-2)≥2√(3)，当且仅当x=2时，函数有最小值2√(3)。

正确解法：将y=x+3/(x-2)（x>2）化为y=(x-2)/2+3/(2(x-2))，即y=√(3/2)√(x-2)+√(3/2)√(3/(x-2))，此时a=√(3/2)，b=√(3/2)，则a+b=2√(3/2)，取等于ab/2，即函数有最小值2√(3)。

两者联系：1）基本不等式去等号时的值即为双根号函数的拐点；2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双根号函数！三、利用基本不等式求最值类型一：形如y=(ax+b)/(ax^2+bx+c)1、求y=4x+3/(x-2)的最小值；2、求y=x/(x+1)的最小值；3、求y=sin(x)+cos(x)的最大值。

类型二：形如y=(cx+d)/(x^2+x+9)1、求y=3x-5/(4x-5)的最小值；2、求y=2x/(x+4e+4)的值域；3、求y=e^x/(x+1)的最小值；4、求y=(x^2+2x+1)/(x+2)的最小值；5、求y=√(2x/(1-2x))的最小值；6、求y=x/(2x+1)的值域。

§1.6 基本不等式(第一课时)课程标准1.掌握基本不等式： ab ≤a ＋b 2（a >0，b >0） 2.能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：_________. (2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥_____(a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b≥__(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值已知x >0，y >0，则(1) 如果积xy 是定值p ，那么当且仅当_____时，和x ＋y 有最___值2p . (简记：积定和最小)(2) 如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，积xy 有最___值p 24. (简记：和定积最大)注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正，二定，三相等”．[练小题巩固基础]一、准确理解概念(判断正误)(1)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 成立的条件是相同的．( )(2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( )(4)“x ＞0且y ＞0”是“x y ＋y x ≥2”的充要条件．( )二、练牢教材小题1．(人教B 版必修①P73例1改编)若x ＜0，则x ＋1x ( )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－22．(人教A 版必修①P46例3改编)矩形两边长分别为a ，b ，且a ＋2b ＝6，则矩形面积的最大值是________．3．(北师大版必修①P28T4改编)已知x ＞2，则x ＋1x －2的最小值是________．考法(一) 配凑法例1(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________；(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________；(3)已知 ,则[方法技巧]配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键．考法(二)常数代换法求最值[例2] 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则 + 的最小值为________．[方法技巧] 1．常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．2．常数代换法求解最值应注意的问题(1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础；(2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键；(3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．变式1：已知a>0，b>0，3a＋2b＝2，则 + 的最小值为________．2.已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．ab的最大值为________________考法（三）消元法求最值[例3] 已知a>0，b>0，3a＋b＋ab＝9，则a＋b的最小值为________．[方法技巧] 利用消元法求最值的技巧消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围．变式：(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，则12a＋12b＋8a＋b的最小值为________．。

即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，42≥+∴y x
分析：问题（）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于xy 的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解. 解:(
点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.
例动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
图3-4-1
（）现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大
（）若使每间虎笼面积为2
，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小
思路分析：设每间虎笼长为，宽为，则（）是在的前提下求的最大值；而()则是在的前提下来求的最小值.
解：（）设每间虎笼长为，宽为，则由条件,知，即. 设每间虎笼的面积为，则. 方法一：由于≥y x 32⨯xy 6,
∴xy 6≤,得≤
227，即≤2
27. 当且仅当时等号成立. 由⎩⎨
⎧=+=,1832,22y x y x 解得⎩⎨⎧==.
3,5.4y x
故每间虎笼长为，宽为时，可使面积最大.
若改为 ()()>
此函数一定
为二次函数吗。