八年级数学下册2.5.1矩形的性质课时作业新版湘教版

2．5 矩形2．5.1 矩形的性质1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；(重点)2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；(重点)3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明计算．(难点)一、情境导入如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示．二、合作探究探究点一：矩形的性质【类型一】运用矩形的性质求线段长矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB的长为( )A．1cm B．2cm C．2.5cm D．4cm解析：矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA＝OD，∠DAO＝45°，所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB，由矩形ABCD的周长为24cm，得24＝2AB＋2×2AB，解得AB＝4cm.故选D.方法总结：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】运用矩形的性质解决面积问题如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A.15B.14C.13D.310解析：∵矩形ABCD 的边AB ∥CD ，∴∠ABO ＝∠CDO ，在矩形ABCD 中，OB ＝OD ，在△BOE和△DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO ＝∠CDO ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF (ASA)，∴S △BOE ＝S △DOF ，∴阴影部分的面积＝S△AOB ＝14S 矩形ABCD .故选B. 方法总结：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出阴影部分的面积＝S △AOB 是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】 运用矩形的性质证明线段相等如图，在矩形ABCD 中，以顶点B 为圆心、边BC 长为半径作弧，交AD 边于点E ，连接BE ，过C 点作CF ⊥BE 于F .求证：BF ＝AE .解析：利用矩形的性质得出AD ∥BC ，∠A ＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC ≌△EAB ，进而得出结论．证明：在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∴∠AEB ＝∠FBC ，∵CF ⊥BE ，∴∠BFC ＝∠A ＝90°，由作图可知，BC ＝BE ，在△BFC 和△EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠CFB ，∠AEB ＝∠FBC ，EB ＝BC ，∴△BFC ≌△EAB (AAS)，∴BF ＝AE .方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性质，得出△BFC ≌△EAB 是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型四】 运用矩形的性质证明角相等已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED .求证：AE 平分∠BAD .解析：要证AE 平分∠BAD ，可转化为△ABE 为等腰直角三角形，得AB ＝BE ，又AB ＝CD ，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，可确定BE ＝CD ，即求证．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠BAD ＝90°，AB ＝CD ，∴∠BEF ＋∠BFE ＝90°.∵EF ⊥ED ，∴∠BEF ＋∠CED ＝90°.∴∠BFE ＝∠CED .∴∠BEF ＝∠EDC .在△EBF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFE ＝∠CED ，EF ＝ED ，∠BEF ＝∠EDC ，∴△EBF ≌△DCE (ASA)．∴BE ＝CD .∴BE ＝AB .∴∠BAE ＝∠BEA ＝45°.∴∠EAD ＝45°.∴∠BAE ＝∠EAD ，即AE 平分∠BAD .方法总结：矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计矩形的性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．平行四边形变形为矩形的过程的演示；生活中给人以矩形形象物体的播放；学生画矩形；学生探究矩形性质时看、猜、比、量、折、写、说等，让学生在体验、实践的过程中，扩大认知结构，发展能力，完善人格，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂矩形教学真正落实到学生的发展上。

2.5.1矩形的性质导学案一、新课引入〈一〉、复习引入1、什么是平行四边形？2、平行四边形有些什么性质？DD①对边的关系：②角的关系：③对角线的关系：④对称性：〈二〉、导读目标：学习目标：1、掌握矩形的概念与有关性质；2、会利用矩形的性质进行简单的推理与计算。

重点：矩形的概念与有关性质；并会运用矩形的性质。

难点：运用矩形的性质进行简单的推理与计算。

二、预习导学预习课本P58-60 ，解答下列的问题。

1、什么矩形？由此可见，矩形是特殊的，它具有平行四边形的所有性质。

2、如图，矩形ABCD有什么性质？①边的关系：②角的关系：③对角线的关系：④对称性：那些是矩形所特有的性质：ADOCB三、合作探究例1：如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AC=4cm，∠AOB=60o，求BC的长。

ADOCB例2：如图，四边形ABCD为矩形，试利用矩形的性质说明：直角三角形斜边AC上的中线BO等于斜边的一半。

ADOCB四、解法指导五、堂上练习1、已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的一个夹角为60o，求矩形的各边长。

2、如图，在矩形ABCD中，E是AB上一点，F是AD上一点，EF⊥FC，DF=4cm，求AE的长。

A BC DE课堂小结谈谈你的收获和疑惑？六、 课后作业1、 如图，在矩形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF ，分别交于AD ，BC 于点E ，F ，求AE 的长。

OA2、已知矩形ABCD 中,对角线交于点O,AB=6cm,BC=8cm,P 是AD 上一动点,PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE +PF 的值是多少？这个值会随点P 的移动（不与A 、D 重合）而改变吗？请说明理由.ABC D EF P。

矩形性质的应用矩形具有四个角都是直角、对边相等、对角线相等等性质。

因此，利用这些性质可以解决与角、线段有关的问题。

例1、已知：如图1，在矩形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，过顶点C 作BD 的平行线与AB 的延长线相交于点E 。

求证：△ACE 是等腰三角形[分析一]欲证△ACE 是等腰三角形，即证AC=EC 。

因AC 是矩形ABCD 的对角线，则AC=BD 。

问题转成证BD=EC 。

而这两条线段恰是四边形BDCE 的对边，考虑证它是平行四边形。

[证法一]∵BD∥EC，BE∥DC∴四边形BDCE 是平行四边形∴B D=EC∵四边形ABCD 是矩形，∴AC=BD∴AC=EC，∴△ACE 是等腰三角形[分析二]欲证AC=EC ，需证∠CAE=∠E，因为CE∥BD，所以∠E=∠DBA，需证∠DBA=∠CAE。

需证OA=OB 。

[证法二]∵四边形ABCD 是矩形 ∴OA=21AC ，OB=21BD ，AC=BD ∴OA=OB。

∴∠CAE=∠DBA∵CE∥BD，∴∠DBA=∠E∴∠CAE=∠E，∴AC=EC即△ACE 是等腰三角形图1[点评]对于特殊四边形的有关问题，要注意运用特殊四边形有关性质来解，这是处理这类问题的重要方法。

解法往往比较简单。

如证法一是利用矩形、平行四边形的性质证明的。

对于一些特殊四边形的有关问题，也可综合运用三角形、特殊四边形的性质来解，如证法二。

例2、已知：如图2，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD，若∠EAO=15°，求∠BOE 的度数。

[分析] ∠BOE 是△OBE 的内角，要求∠BOE 的度数，需求∠OBE、∠BEO，或找出它们与∠BOE 的关系。

由于题设可得∠OBE=∠ODA=∠OAD=30°，而∠BEO 不易求出。

因此，需找出∠BEO 与∠BOE 的关系。

[解]∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB∵AE 平分∠DAB，∴∠DAE=∠BAE∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE∵∠BAD=90°，∠BAE=∠EAD∴∠BAE=45°∵∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°∵OA=OB，△AOB 是等边三角形∴BO=AB∵AB=BE，∴BO=BE，∴∠BOE=∠BEO∵∠ABE=90°，∠ABO=60°∴∠OBE=30°在△BOE 中∵∠BOE+∠BEO+∠OBE=180° ∴∠BOE=21（180°-∠OBE）=75°D 图2。

湘教版数学八年级下册2.5.1矩形的性质课时教学设计课题矩形的性质单元 2 学科数学年级八学习目标情感态度和价值观目标培养严谨的推理能力，以及自主合作的精神，体会逻辑推理的思维价值能力目标经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；掌握几何思维方法。

并渗透运动联系、从量变到质变的观点知识目标、1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．重点矩形的性质难点矩形的性质的灵活应用学法自主探究，合作交流教法多媒体，问题引领教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课当独木桥前后运动时，四边形ABCD是什么形状？当独木桥最后停下时，四边形ABCD有什么特殊的变化？当独木桥静止时，四边形ABCD是什么图形？学生：积极思考带着问题参与新课.通过实际情境，让学生感受数学来源于生活，数学知识与生活实践密切相关，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程讲授新课观察图中的长方形是平行四边形吗？它有什么特点呢？从学生的已有的知识出发，利用教具，激让学生动手动如图，这是一个活动框架，改变这个平行四边形的形状，你会发现什么?矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形。

矩形是特殊的平行四边形。

想一想：你能举出在人们的日常生活和生产实践中，有哪些东西是矩形的？矩形的一般性质：1.矩形的两组对边分别平行2.矩形的两组对边分别相等发学生的强烈的好奇心和求知欲。

学生经历了将实际问题转化为数学问题的建模过程。

学生举出生活中的例子并总结矩形的一般性质脑，自主发现和认识矩形定义。

并运用了类比和比较的方式，让学生加深对定义的理解让学生在特定的数学活动中经历矩形性质的形成过程，通过操作、观察、分析、推理、归纳总结出了一般性的结论。

动脑筋矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？当平行四边形ABCD的一个∠ABC为直角时,观察其它角猜想1：矩形的四个角都是直角．已知：如图，四边形ABCD是矩形求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°证明：∵四边形ABCD是矩形。