【公开课教案】“变化率问题与导数的概念”教学设计

3.1变化率与导数（教学设计）（2）3．1．2导数的概念教学目标：1、知识与技能：通过对课本实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，让学生知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：①通过动手计算（作图）培养学生观察、分析、比较和归纳能力，并结合物理学中的知识进行对比。

②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 教学重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解，由瞬时变化率过度到导数的概念难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点教学过程：一、创设情景，引入新课：1、回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在6549t≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。

为什么会产生这样的情况呢？二、师生互动、新课讲解：问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算(2)(2)h t ht+∆-=∆v的值？学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成问题二，问题三：当Δt 趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？让学生分组讨论，板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt 趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，通过逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆问题四：运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示呢？运动员在某个时刻0t 的瞬时速度如何表示? 学生意识到将0t 代替2,可类比得到000()()lim t h t t h t t∆→+∆-∆（1）气球在体积v 0时的瞬时膨胀率如何表示呢？类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示000()()limv r v v r v v∆→+∆-∆（2）如果将这两个变化率问题中的函数用()f x 来表示，那么函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率如何呢？导数的概念：从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=-例1：求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2再求6f x x∆=+∆∆再求0lim 6x f x ∆→∆=∆解：222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 例2：求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆例3（课本P75例1）：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。

1.1变化率与导数【课题】：1.1.2导数的概念（2）【教学目标】：（1）知识目标：使学生熟悉导数定义，进一步理解导数内涵。

（2）情感目标：让学生充分体会到生活中处处有数学。

（3）能力目标：提高学生学习能力与探究能力、理解表达能力。

【教学重点】：熟悉导数定义，进一步理解导数内涵【教学难点】：熟悉导数定义，进一步理解导数内涵【课前准备】：powerpoint【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习回顾（1）速度的平均变化率：tt vtt v∆-∆+)()(（2）瞬时加速度：当无限趋近于0 时，t∆无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t0tt vtt v∆-∆+)()(时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率（3）函数的增量；)()(xfxxfy-∆+=∆（4）求平均变化率；xxfxxfxy∆-∆+=∆∆)()(（5）取极限，得导数．xyxfx∆∆='→∆0lim)(导数的概念函数在处的瞬时变化率()f xx x=即在处的导数，记0000()()lim limx xf x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆()y f x=x x=作或，即()'f xx x='y00()()()limxf x x f xf xx∆→+∆-'=∆（6）思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般让学生自己回顾、梳理已经学过的知识点有利于自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。

加深学生对导数概念的理解二、实践新知例1：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。

如果在第x h时候，原油温度（单位：）为.计算第2h和第6hc︒2()715(08)f x x x x=-+≤≤时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。

①启发学生根据导数定义，分别求出和(2)f'(6)f'②既然我们得到了第2h和第6h的原油温度的瞬时变化率分别为-3与5，大家能说明它的含义吗？师生共同归纳得到，导数即瞬时变化率，可反映物体变○3化的快慢发展学生的应用意识，是高中数学课程标准所倡导的重要理念之一。

导数与函数变化率教案设计：一、教学目标1.了解导数的概念和定义，掌握基本求导公式和法则。

2.理解函数的单调性和极值，并能应用导数求解。

3.能够掌握函数的变化率的概念，应用导数求解。

4.能够运用导数的概念和方法解决实际问题。

二、教学内容1.导数的概念和定义2.求导法则3.函数的单调性和极值4.函数的变化率与导数5.应用导数解决实际问题三、教学过程第一节：导数的概念和定义1.引入教师通过引导学生想象一下：车在马路上行驶时，如果我们想知道车的速度是多少，应该怎么做？引导学生想到了导数的概念。

2.导数的定义介绍导数的定义：设函数y=f（x），若极限lim Δx→0（f（x+Δx）－f（x））/Δx存在，称为函数f（x）在点x处的导数。

3.图像解释导数通过画图来解释导数的概念，帮助学生掌握。

第二节：求导法则1.基本求导法则（1）常数函数（2）幂函数（3）指数函数（4）对数函数（5）三角函数2.综合例题分析通过综合例题来演示求导过程，让学生掌握求导的方法。

第三节：函数的单调性和极值1.函数的单调性介绍函数的单调性：设函数y=f（x）在区间（a，b）内具有一阶导数，那么如果f’（x）>0，则函数在该区间单调递增，如果f’（x）<0，则函数在该区间单调递减。

2.函数的极值介绍函数的极值：设函数y=f（x）在点x=c处连续，那么如果在（c-d，c）上f（x）≤f（c）,在（c， c+d）上f（x）≤f（c），则c为函数y=f（x）的极大值点；如果在（c-d， c）上f（x）≥f （c），在（c， c+d）上f（x）≥f（c），则c为函数y=f（x）的极小值点。

3.图像分析单调性和极值通过图像分析函数的单调性和极值，帮助学生理解。

第四节：函数的变化率与导数1.函数的变化率介绍函数的变化率：使用导数来研究函数的变化率，函数在某一点的导数就是该点的变化率。

2.应用导数求解通过例题来演示应用导数求解的过程，让学生掌握应用导数求解的方法。

人教版高中选修1-13.1变化率与导数教学设计一、教学目标通过本节课的学习，使学生掌握变化率的计算方法，理解导数的概念，掌握导数的计算方法，能够应用导数完成一些简单的问题解答。

二、教学内容1.变化率的概念及计算方法2.导数的概念及计算方法3.导数的应用三、教学重点1.导数的概念及计算方法。

2.导数在各种问题中的应用。

四、教学难点1.学生理解导数的概念。

2.学生理解导数在解决实际问题中的应用。

五、教学方法与教学手段本课程将采用讲授、练习、探究相结合的方式，其中讲授是主要手段，而探究是辅助手段。

1.讲授–通过讲述变化率和导数的概念及计算方法，引导学生理解。

2.练习•给出一些例题进行课堂练习，并对练习做出解释和总结。

3.探究–提供一些实际问题的案例，让学生自己探究如何使用导数解决问题。

六、教学过程1.引入（5分钟）询问学生对导数的概念的了解程度，并简单介绍导数的定义。

2. 讲授变化率的概念和计算方法（40分钟）1.引入变化率的概念2.讲解变化率的计算方法3.对一些例题进行讲解和课堂练习3. 讲授导数的概念及计算方法（40分钟）1.导数的概念及其含义2.导数的计算方法3.对一些例题进行讲解和课堂练习4. 导数的应用（30分钟）1.探究导数在实际问题中的应用2.提供一些案例，让学生自己探究如何使用导数解决问题七、教学评估通过给出的练习题和考试题进行评估，考察学生对变化率和导数的理解，以及对其在实际问题中应用的能力。

同时，教师也对学生的学习过程进行评估。

八、教学资源1.课本《数学选修1》，人教版。

2.基础视频教程，如B站，YouTube等。

九、课后作业1.完成课本中相关练习题。

2.自行寻找一些导数的各种应用案例解决问题。

十、教学总结本节课通过讲授、练习、探究相结合的方式，深入浅出地讲解了变化率和导数的概念及计算方法，让学生对导数的应用有了更深刻的理解。

同时，强化了学生的解决实际问题的能力。

高中数学《变化率问题》公开课优秀教学设计2、理解导数的概念及其几何意义，能够求解导数，并能应用导数解决实际问题。

3、培养学生抽象概括能力和应用数学语言表达问题的能力，提高学生的数学思维能力和创新意识。

基于以上课程标准，本节课的教学目标设计如下：1、理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。

2、理解导数的概念及其几何意义，能够求解导数，并能应用导数解决实际问题。

3、通过具体生活实例，概括出平均变化率的定义，并能够运用“平均变化率”解释生活中变化快慢的生活实例。

4、培养学生抽象概括能力和应用数学语言表达问题的能力，提高学生的数学思维能力和创新意识。

四、教学过程设计1、导入环节通过“气球膨胀率”、“高台跳水”等生活实例，引导学生思考变化率的概念，并通过图像、表格等方式，让学生感受变化率的变化趋势。

2、知识讲解1）平均变化率的概念和计算方法，以及平均变化率的几何意义。

2）瞬时变化率的概念和计算方法，以及导数的定义和几何意义。

3）导数的求解方法和应用。

3、案例分析通过一些典型例题，让学生掌握导数的计算方法和应用，培养学生的解决实际问题的能力。

4、练与巩固通过一些练题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

5、拓展与应用通过一些拓展性的问题，让学生进一步理解导数的概念和应用，培养学生的创新思维能力。

6、总结与评价对本节课所学知识进行总结，并对学生的表现进行评价和反馈。

五、教学方法通过引导学生思考、案例分析、练巩固、拓展应用等多种教学方法，培养学生的数学思维能力和创新意识。

六、教学手段通过黑板、投影仪、实物模型等多种教学手段，让学生更加直观地理解所学知识。

本节课的教学目标需要更具体、可操作和可检测性。

通过解读《课程标准》，我们将课堂教学目标确定为：1.理解平均变化率的概念，了解其几何意义；2.通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率的定义；3.体会数形结合的思想方法。

为了有效地突破教学难点，我们将引用苏教版《变化率问题》中的“气温变化”问题，通过数学角度解释生活中的变化快慢现象，为后面探究“气球膨胀率”、“高台跳水”问题奠定基础，为归纳“平均变化率”的概念提供具体背景。

导数的变化率教案一、教学目标：1. 让学生理解导数的定义和意义，掌握导数的计算方法。

2. 引导学生理解变化率的概念，并能运用变化率解决实际问题。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学重点：1. 导数的定义和计算方法。

2. 变化率的概念及应用。

三、教学难点：1. 导数的计算。

2. 变化率在实际问题中的应用。

四、教学准备：1. 教师准备PPT和教学案例。

2. 学生准备笔记本和笔。

五、教学过程：1. 导入：教师通过PPT展示导数和变化率的概念，引导学生回顾初中阶段的学习内容，为新课的学习做好铺垫。

2. 导数的定义与计算：教师讲解导数的定义，通过PPT展示导数的几何意义和物理意义。

教师引导学生学习导数的计算方法，包括基本函数的导数公式、导数的四则运算等。

3. 变化率的概念：教师讲解变化率的概念，引导学生理解变化率是描述函数在某一点处变化快慢的物理量。

教师通过实例讲解如何运用变化率解决实际问题。

4. 课堂练习：教师布置练习题，让学生独立完成。

练习题包括导数的计算和变化率的应用。

教师在练习过程中给予学生个别辅导，帮助学生巩固所学知识。

6. 课后作业：教师布置课后作业，让学生巩固所学知识。

作业包括导数的计算、变化率的应用等。

六、教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，分析教学过程中的优点和不足，为下一节课的教学做好准备。

七、教学评价：教师通过课堂表现、课后作业和课堂练习对学生进行评价，了解学生对导数和变化率的掌握情况，为下一步的教学提供依据。

八、教学计划：1. 下一节课内容：导数的应用。

2. 教学方法：讲解、案例分析、课堂练习。

3. 教学目标：让学生掌握导数的应用，能运用导数解决实际问题。

4. 教学难点：导数的应用。

5. 教学准备：教师准备PPT和教学案例，学生准备笔记本和笔。

6. 教学过程：同上。

7. 教学反思：同上。

8. 教学评价：同上。

六、教学内容：导数的应用1. 最大值和最小值问题：教师通过案例引导学生如何使用导数求解函数的最大值和最小值。

第一章导数及其应用第一课时：变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r =分析: 343)(πV V r =，⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈-- ⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1212)()(V V V r V r --hto问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f y -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(21x f x f y 代替可用+∆)3． 则平均变化率为=∆∆xy xx f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB 的斜率 三．备选例题44.043.041.040.01.0,21)(12、、、、的值为（）时，，则在、已知函数例D C B A y x x x x f y ∆=∆=+==例2、已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ．解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2四．课堂练习1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平x 1x 2Oy y =f (x )f (x 1)f (x 2)△x = x 2-x 1△y =f (x 2)-f (x 1) x均速度为 ． 五．回顾总结 1．平均变化率的概念2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业上的平均变化率在区间，变式训练，求函数、金榜时平均变化率值变化率，并求当上的平均的在区间，求，例、金榜]2,2[12221,1],[12)(12120002x x y P x x x x x x x f y P ∆++==∆=∆++==第二课时 导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点：导数的概念． 教学过程： 一．创设情景 （一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然hto运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

教案题目:变化率与导数教案作者单位：云南省曲靖市富源县第六中学邮箱：联系电话：姓名：叶志波课题：变化率与导数教案学校：富源县第六中学高二数学组授课教师：叶志波教学目标1．了解平均变化率、瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解平均变化率几何意义，会求函数在某点处附近的平均变化率及函数在某点的导数；3.理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想．教学重点求函数在某点处附近的平均变化率及函数在某点的导数教学难点在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率教学方法学案导学，“看—做—议—讲”结合法教学课时一课时教学工具多媒体、直尺等教学过程一、新课引入早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果——微积分的产生。

导数是微积分的核心概念之一，它是研究函数最有效的工具，今天我们将开始导数的学习之旅。

二、教师板书课题、引领学生解读学习目标请同学们先看一下我们本节课的学习目标．（教师板书课题），之后教师解读学习目标，特别注意重点目标解读．三、学生自主预习课本给出导学案中4个自学需要解决的问题，让学生带着问题预习课本第2-6页，期间教师走进学生中间观察学生自学情况，适当的给予自学引导．四、讲授新课问题情境1：很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球的半径有什么变化情况？从数学角度如何解释这种现象?在引导学生解决问题的过程中，发现随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小，让学生思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?得出平均膨胀率为1212)()(V V V r V r --.问题情境2：在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：米)与起跳后的时间t （单位：秒)存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题：（1） 运动员在这段时间里是静止的吗?（2） 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 1．通过探究理解什么是函数的平均变化率？如何表示？对于函数()x f y =，给定自变量的两个值1x 和2x ，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1x f 变为()2x f ，我们把式子()()1212x x x f x f --称为()x f y =从1x 到2x 的平均变化率．习惯上用x ∆表示12x x -，即x ∆=12x x -，可把x ∆看作是相对于1x 的一个“增量”，可用x x ∆+1代替2x ，类似地，y ∆=()()12x f x f -，于是，平均变化率可表示为y x∆∆． 2．让学生思考第4页思考题并回答平均变化率的几何意义是什么？ 设()()()()1122,,,A x f x B x f x 是曲线()x f y =上任意不同的两点，函数()x f y =的平均变化率y x∆∆=()()1212x x x f x f --=()()x x f x x f ∆-∆+11为割线AB 的斜率．3．让学生阅读课本并回答瞬时速度是什么？如何表示物体在某一时刻的瞬时速度?一般地，设物体的运动规律是()t s s =，则物体在t 到t t ∆+这段时间内的平均速度为tt s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()(．如果t ∆无限趋近于0时，t s∆∆无限趋近于某个常数a ，就说当t ∆趋向于0时，ts∆∆的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度，0lim x sv t∆→∆=∆． 4．引导学生思考第5页探究，讲解函数在处的瞬时变化率怎样表示？导数的定义是什么？一般地，函数()x f y =处0x x =的瞬时变化率是：()()0000limlim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数，记作()0f x '　或0x x y ='即()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim ＝． 五、例题分析题型一：函数的平均变化率 例1．已知函数()221f x x ＝－．（1）求当14x ＝，且1x ∆＝时，函数增量y ∆和平均变化率yx∆∆； （2）若设21x x x ∆＝＋．分析（1）问中的平均变化率的几何意义． 设计意图：例1要求学生理解函数的平均变化率的相关概念，能求函数的平均变化率，抓住求函数平均变化率的要点即为求函数的函数值．此外，需要学生理解平均变化率的几何意义，为导数的几何意义这部分内容作铺垫．教学过程中教师要带领学生归纳求平均变化率的步骤：（1）求自变量的该变量x ∆=12x x -；（2）求函数值的该变量y ∆=()()12x f x f -；（3）求平均变化率y x∆∆=()()1212x x x f x f --． 题型二：函数在某点处的导数 例2：求函数2y=x 在2x ＝处的导数．设计意图：通过本题的练习让学生掌握求函数在某点处导数的方法，此题即是本节课的重点内容也是难点内容，特别是学生对极限思想的首次接触，可能在理解上存在问题，教师对极限思想需要认真的分析讲解．另外，教师带领学生归纳出求函数在某点处的导数步骤：（1）求函数值的该变量()()00x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率y x ∆∆=()()x x f x x f ∆-∆+00（3）取极限，得导数()xyx f x ∆∆='→∆00lim ．课堂练习1．如果函数y ax b =+在区间[]1,2上的平均变化率为3，则a = ．2．一个物体的运动方程为()20s t t t =-≥，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬时速度是多少？3．已知函数()232f x x x =-+，且()04f x '=，求0x 的值． 【自助训练】1．求函数1y=x 在3x ＝处的导数．2．已知()f x 在0x x =处的导数为4，则()()0002limx f x x f x x∆→+∆-∆= ．课堂小结 本节课你有什么收获？ 课后作业习题1．1（A 组）：2板书设计左黑板 右黑板变化率与导数1．平均变化率2．平均变化率的几何意义 3．瞬时速度4．导数（瞬时变化率）学生展示区课后反思。

变化率与导数教案【教案】一、教学目标：1. 知识与能力目标：(1) 理解变化率的概念及其在实际问题中的应用；(2) 掌握导数的定义及其计算方法；(3) 能够灵活运用导数的概念和方法解决实际问题。

2. 过程与方法目标：(1) 培养学生分析问题、抽象问题、解决问题的能力；(2) 培养学生的逻辑思维和推理能力；(3) 培养学生自主学习和协作学习的能力。

二、教学重点：1. 变化率的概念及其应用；2. 导数的定义及其计算方法。

三、教学难点：1. 导数的计算方法；2. 导数在实际问题中的应用。

四、教学过程：Step 1 引入问题引导学生思考以下问题：在日常生活中，我们经常会遇到速度的变化、物体数量的变化、面积的变化等，这些变化的速率如何表示？如何计算？为什么需要计算变化率？Step 2 变化率的定义及计算方法1. 引导学生思考何为变化率：变化率，即某一量在单位时间内的变化量。

如速度的变化率表示单位时间内的位移量。

2. 引导学生思考如何计算变化率：变化率的计算方法是利用两个变量之间的差值来表示。

如速度的变化率可以用两点之间的斜率来表示。

3. 通过具体例子让学生体会变化率的计算方法：如一辆汽车行驶了100公里，时间为2小时，那么汽车的速度变化率是多少？Step 3 导数的引入1. 引导学生思考何为导数：导数是函数在某一点的变化率。

在数学上，导数用来表示函数的变化速度。

2. 引导学生思考如何计算导数：导数的计算方法主要有两种，一种是用极限的方法求导，另一种是使用求导公式。

3. 通过具体例子让学生理解导数的计算方法：如给出函数y=x²，求x=1处的导数。

Step 4 导数的应用1. 引导学生思考导数在实际问题中的应用：导数在实际问题中可以用来描述变化的速率、求解最值等。

2. 通过具体例子让学生理解导数的应用：如一块铁板的边长随时间的变化率是多少？Step 5 练习与拓展1. 提供一些简单的导数计算练习题，让学生巩固所学知识。

“变化率问题与导数的概念”教学设计一、教材分析本节内容选自课标实验教材人教A版，是导数的起始课，主要内容有变化率问题和导数的概念。

导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。

在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。

大纲教材中导数概念学习的起点是极限，这种建立概念的方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质理解。

教材通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），这种直观形象的方法中蕴含了逼近的思想，这样定义导数的优点是：1．使学生将更多精力放在导数本质的理解上；2．学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义。

基于上述分析，本节课的教学重点是：丰富学生的感性经验，运用逼近的思想方法引导学生探索理解导数的思想及内涵。

二、教学设计课题：变化率问题与导数的概念教学目标：1．通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；2．通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的能力，体会逼近的思想方法；3．经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。

通过概念的形成过程体会从特殊到一般的数学思想方法。

教学重点：了解瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。

教学难点：从平均变化率向瞬时变化率的过渡。

教学过程：1．创设情境、引入新课教师介绍：微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要方法和手段。

在本章中，学生将通过大量的实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，那么，我们先来研究变化率的问题，引出新课。

设计意图：充分挖掘章引言的教学价值，它说明了三方面的问题：首先，简明的指出了函数和微积分的关系；其次，概述了微积分的创立史及它的地位；第三，概述本章的学习内容。