2013年秋北师大版必修1示范教案3.4.1对数及其运算(2)

5.1 对数函数的概念一、三维目标：1、 知识与技能（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型。

（2）了解指数函数x a y =(a >0, 1≠a )与对数函数x y a log =（a >0, a 1≠）互为反函数。

在解决简单实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型。

能运用现代信息技术学习、探索和解决问题。

3、 情感、态度与价值观通过对对数函数的研究，使学生深刻认识到函数是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型，结合实际问题，感受运用对数函数概念建立模型的过程与方法。

二、学习重点：理解对数函数的概念。

三、学习难点：指数函数x a y =(a >0, 1≠a )与对数函数x y a log =（a >0, a 1≠）互为反函数。

四、知识链接 ：（阅读课本P89页，完成下列问题）1、对数函数的概念我们把函数 叫做对数函数，a 叫做 。

特别地，我们称 为常用对数函数；称 _______________为自然对数函数。

2、指数函数x a y =(a >0, 1≠a )与对数函数x y a log =（a >0, a 1≠）有什么关系？在指数函数x y a =中，x 是自变量，y 是x 的函数，其定义域是 ，值域是 ，在对数函数log y a x =中，y 是自变量，x 是y 的函数，其定义域是 ，值域是 ，像这样的两个函数互为反函数.五、典例分析、变式训练例1计算：（1） 计算对数函数x y 2log =对应于x 取1,2,4时的函数值；（2） 计算常用对数函数x y lg =对应于x 取1,10,100,0.1时的函数值。

变式：(1)计算对数函数x y 21log =对应于x 取0.25,0.5，1,2,4,8，16时的函数值;(2)计算常用对数函数x y lg =对应于x 取0.1，0.001.，1，1000时的函数值。

§4.1 对数及其运算（第二课时）一．教学目标：1．知识与技能①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.②运用对数运算性质解决有关问题.③培养学生分析、综合解决问题的能力.培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2. 过程与方法①让学生经历并推理出对数的运算性质.②让学生归纳整理本节所学的知识.3. 情感、态度、和价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.二．教学重点、难点重点：对数运算的性质与对数知识的应用难点：正确使用对数的运算性质三．学法和教学用具学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.教学用具：投影仪四．教学过程：1．设置情境复习：对数的定义及对数恒等式log b a N b a N =⇔= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0），指数的运算性质.;m n m n m n m n a a a a a a +-⋅=÷=();n m n mn ma a a == 2．讲授新课探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a +⋅=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？如：,,m n m n m n a a a M a N a +⋅===设。

于是,m n MN a += 由对数的定义得到log ,log m n a a M a m M N a n N =⇔==⇔=log m n a MN a m n MN +=⇔+=log log log ()a a a M N MN ∴+=放出投影即：同底对数相加，底数不变，真数相乘提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？（让学生探究，讨论）如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log log log a a a MN M N =+（2）log log log a a a M M N N=- （3）log log ()n a a M n Mn R =∈ 证明：（1）令,m n M a N a ==则：m n m n M a a a N-=÷= log a M m n N ∴-= 又由,m n M a N a ==log ,log a a m M n N ∴== 即：log log log a a aM M N m n N -=-= （3）0,log ,N n n a n N M M a ≠==时令则 log ,bna b n M M a ==则 Nb n na a ∴= Nb ∴= 即log log log a a a M M N N=- 当n =0时，显然成立.log log n a a M n M ∴=提问：1. 在上面的式子中，为什么要规定a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0？2.你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？例题分析例4 计算：（1）㏒3（92×35）； （2）lg1001/5 例5 用㏒a x, ㏒a y ㏒a z 表示下列各式：（1）㏒a （x 2yz ） （2）㏒a yz x 2 （3）㏒z y x 2.例6科学家以里氏震级来度量地震的强度。

对数及其运算【教学目的】（1）理解对数的概念（2）能够说明对数与指数的关系（3）掌握对数式与指数式的相互转化【教学重点】（1）对数的概念（2）对数式与指数式的相互转化【教学难点】对数概念的理解【教学类型】新课教学【教学过程】Ⅰ.新课引入问题引入：问题: 2000年我国总产值为a亿元，若每年比上年约平均增长8%,问经过几年,总产值是2000年的2倍?以题意：设经过x年,总产值是今年的2倍,则可列式: a(1+8%)x=2a, 即得1.08x=2 此式的x如何解出(表达出)呢?这是已知底数和幂值求指数的运算，以前没有接触过。

就是我们今天要学的对数.（板书本节课题）设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究，引出对数的概念，了解引出对数的必要性.Ⅱ.概念讲解首先，看到书上给出的对数的概念（板书对数的概念）1、对数的概念：一般地，如果x a N =（0a >且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记做log a x N =,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.注：1o 注意对数的写法；2o 底数的限制0a >且1a ≠T ：好的，看到我们的概念，注意对数的写法，可以看出对数实际就是对指数中的指数的另一种表示，那么这里的a 也就要满足0a >且1a ≠.特殊地，1o 常用对数：把10log N 记为lg N ；2o 自然对数：把log e N 记为ln N .常用对数和自然对数的出现是为了方便表示、计算.呐，再看到对数的概念，既然对数的引入与指数有关，那么它们之间究竟存在着怎样的关系？我们一起来探究一下.2、概念深化当0a >且1a ≠时，log x a a N x N =⇔=指数式 ⇔ 对数式底数 a ←→ 底数指数 x ←→ 对数幂 N ←→ 真数我们可以看出，指数式与对数式存在着互化的关系，a 、x 、N 在指数式和对数式中名称和位置都发生了变化，不同的位置是不同名称，也就是说指数式中的底数、指数、幂对应着对数式中的底数、对数、真数，反之，对数式中的底数、对数、真数对应着指数式中的底数、指数、幂.设计意图：明确指数式与对数式存在着互化的关系，清楚指数式与对数式中a 、x 、N 三个量之间的同一关系，名称和位置的变化，加深对对数定义的理解.清楚了指数与对数存在着相互转化的关系，我们已知指数有它自己的性质，那么反映到对数中又是怎样的呢？我们知道对数x a N =，这里0a >且1a ≠，那么0N >，反映到对数中是什么？ 在对数log a x N =中，真数N 大于零.是的，也就是说负数和零没有对数.（板书）1o 负数和零没有对数同样的，我们知道01a =，1a a =，那么反映到对数中又是什么呢？log 10a =,log 1a a =2o log 10a =,log 1a a =设计意图：由指数的一些性质得到对数的常用性质，熟悉指数式与对数式的相互转化.3、两种常见对数1o 常用对数：把10log N 记为lg N ；2o 自然对数：把log e N 记为ln N .Ⅲ.例题讲解例1 将下列指数式写成对数式:(1) 54=625(2) (3) 3a =27(4) 解： (1)log 5625=4. (2).6641log 2-= 64126=-73.531=⎪⎭⎫ ⎝⎛m(3)log 327=a.(4)例2 将下列对数式写成指数式: (1) 416log 21-=(2)log 2128=7(3)lg0.01=-2解：(1) (2) 27=128(3) 10-2=0.01.Ⅳ.巩固练习=====3log 22222221log 16log 1log 2logⅤ.归纳总结1、引入对数的必要性2、指数与对数的关系3、对数的基本性质今天我们根据指数的应用引入了对数，知道了对数的概念，明确指数和对数相互转化的关系，了解了对数的基本性质.设计意图：对知识进行归纳概括，体会等价转化的思想在对数计算中的作用. .73.5log 31m =.16214=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ⅵ.作业布置下课后，请同学们认真完成课后习题作业 A 1 、3. Ⅶ.板书设计一、对数的概念二、概念深化对数及其运算三、例题讲解例1例2四、课堂练习五、布置作业。

第2课时 对数的运算学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一 对数运算性质思考 有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算．那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？答案 有．例如，设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则a m＝M ，a n＝N ，∴MN ＝a m·a n＝am ＋n，∴log a (MN)＝m ＋n ＝log a M＋log a N.得到的结论log a (MN)＝log a M ＋log a N 可以当公式直接进行对数运算． 梳理 如果a>0，a ≠1，M>0，N>0，则 (1)log a (MN)＝log a M ＋log a N. (2)log a M n＝nlog a M(n ∈R)． (3)log a MN ＝log a M －log a N.知识点二 换底公式思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e 为底)，可以查表求对数值．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？ 答案 设法换为同底．思考2 假设log 25log 23＝x ，则log 25＝xlog 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x＝5，再化为对数式可得到什么结论？答案 把3x ＝5化为对数式为log 35＝x ， 又因为x ＝log 25log 23，所以得出log 35＝log 25log 23的结论．梳理 对数换底公式为log b N ＝log a Nlog a b(a ，b>0，a ，b ≠1，N>0)．特别地：log a b·log b a ＝1(a>0，且a ≠1，b>0，且b ≠1)．1．log 2x 2＝2log 2x.( × )2．log a [(－2)×(－3)]＝log a (－2)＋log a (－3)．( × ) 3．log a M·log a N ＝log a (M ＋N)．( × )4．log x2＝1log2x.( √)类型一具体数字的化简求值例1 计算：(1)log345－log35；(2)log2(23×45)；(3)lg27＋lg8－lg 1000lg1.2；(4)log29·log38.考点对数的运算题点具体数化简求解对数值解(1)log345－log35＝log3455＝log39＝log332＝2log33＝2.(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2(213)＝13log22＝13.(3)原式＝3333222278)lg10lg(3210)1212lg lg1010-⨯÷=3234312lg lg310210.12122lg lg1010⨯⎛⎫⎪⎝⎭===(4)log29·log38＝log2(32)·log3(23)＝2log23·3log32＝6·log23·1log23＝6.反思与感悟具体数的化简求值主要遵循2个原则：(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．(2)不同底化为同底．跟踪训练1 计算：(1)2log63＋log64；121(2)lg25lg100;4-⎛⎫-÷⎪⎝⎭(3)log43·log98；132.5(4)log 6.25e0.064+考点对数的运算题点 具体数化简求解对数值解 (1)原式＝log 632＋log 64＝log 6(32×4)＝log 6(62)＝2log 66＝2.(2)原式＝12225lg 1014⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎪÷ ⎪ ⎪⎝⎭＝lg102÷10－1＝2×10＝20. (3)原式＝lg3lg4·lg8lg9＝lg32lg2·3lg22lg3＝34.(4)原式＝1322.5164log (2.5)21000⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝2＋12－410＝2110.类型二 代数式的化简 命题角度1 代数式恒等变形 例2 化简log ax2y 3z.考点 对数的运算 题点 指数对数的混合运算 解 ∵x 2y 3z >0且x 2>0，y>0，∴y>0，z>0. log ax2y 3z＝log a (x2y)－log a 3z＝log a x 2＋log a y －log a 3z ＝2log a |x|＋12log a y －13log a z.反思与感悟 使用公式要注意成立条件，如lgx 2不一定等于2lgx ，反例：log 10(－10)2＝2log 10(－10)是不成立的．要特别注意log a (MN)≠log a M·log a N ，log a (M±N)≠log a M±log a N. 跟踪训练2 已知y>0，化简log a xyz. 考点 对数的运算 题点 指数对数的混合运算解 ∵xyz>0，y>0，∴x>0，z>0. ∴log a x yz ＝log a x －log a (yz)＝12log a x －log a y －log a z.命题角度2 用代数式表示对数例3 已知log 189＝a,18b＝5，用a ，b 表示log 3645. 考点 对数的运算 题点 用代数式表示对数解 方法一 ∵log 189＝a,18b＝5， ∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a. 方法二 ∵log 189＝a,18b＝5，∴log 185＝b ， 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a.方法三 ∵log 189＝a,18b＝5， ∴lg9＝alg18，lg5＝blg18，∴log 3645＝lg45lg36＝lg (9×5)lg 1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝alg18＋blg182lg18－alg18＝a ＋b2－a.反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元． 跟踪训练3 已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256. 考点 对数的运算 题点 用代数式表示对数 解 ∵log 23＝a ，则1a ＝log 32，又∵log 37＝b ，∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1.1．下列各等式正确的是( ) A ．log 23·lo g 25＝log 2(3×5) B ．lg3＋lg4＝lg(3＋4) C ．log 2xy ＝log 2x －log 2yD ．lg nm ＝1n lgm(m>0)考点 对数的运算 题点 对数的运算性质 答案 D解析 A ，B 显然错误，C 中，当x ，y 均为负数时，等式右边无意义． 2．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b·log c b ＝log c a B ．log a b·log c a ＝log c b C ．log a (bc)＝log a b·log a c D ．log a (b ＋c)＝log a b ＋log a c 考点 对数的运算 题点 对数的运算性质 答案 B解析 由log a b·log c b ＝lgb lga ·lgb lgc ≠log c a ，故A 错；由log a b·log c a ＝lgb lga ·lga lgc ＝lgblgc ＝log c b.C ，D 显然错误．故选B.3．设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b1＋a B.a ＋2b 1＋a C.2a ＋b1－aD.a ＋2b 1－a考点 对数的运算 题点 用代数式表示对数 答案 C解析 log 512＝lg12lg5＝lg (3×4)lg102＝lg3＋2lg21－lg2＝b ＋2a1－a.4．lg0.01＋log 216的值是________． 考点 对数的运算题点 具体数化简求解对数值 答案 2解析 lg0.01＋log 216＝－2＋4＝2.5．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值是________．考点 对数的运算 题点 对数的运算性质 答案 2解析 由已知得lga ＋lgb ＝2，lga·lgb＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lga －lgb)2＝(lga ＋lgb)2－4lga·lgb＝4－2＝2.1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简． 2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n＝(log a N)n，②log a (MN)＝log a M·log a N ，③log a M±log a N ＝log a (M±N).一、选择题1．下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( )①log a (MN)＝log a M ＋log a N ；②log a (M －N)＝log a M log a N ；③a nm -＝1m an；④(a m )n＝n m a ；⑤log n a b ＝－nlog a b.A ．2B ．3C ．4D ．5考点 对数的运算 题点 对数的运算性质答案 B解析 ①正确，②不正确，③正确，④不正确，⑤不正确． 2.1411log 9＋1511log 3等于( )A ．lg3B ．－lg3 C.1lg3D ．－1lg3考点 对数的运算题点 具体数化简求解对数值 答案 C解析 原式＝log 1914＋log 1315＝12log 1314＋log 1315＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＋log 1315＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫12×15 ＝log 13110＝lg 110lg13＝－1－lg3＝1lg3.3．化简log 58log 52等于( )A ．log 54B ．3log 52C ．2D ．3考点 对数的运算 题点 换底公式的应用 答案 D 解析log 58log 52＝log 28＝log 2(23)＝3. 4．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则用a ，b 表示lg15为( ) A ．b －a ＋1 B ．b(a －1) C ．b －a －1 D ．b(1－a)考点 对数的运算 题点 用代数式表示对数 答案 A解析 lg15＝lg(3×5)＝lg3＋lg5＝lg3＋lg 102＝lg3＋1－lg2＝b －a ＋1.5．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )A ．9 B.19 C ．25D.125考点 对数的运算 题点 换底公式的应用 答案 D解析 由换底公式，得－lg3lg5·lg6lg3·lgxlg6＝2，lgx ＝－2lg5，x ＝5－2＝125.6．计算(log 32＋log 23)2－log 32log 23－log 23log 32的值是( )A ．log 26B ．log 36C ．2D ．1考点 对数的运算 题点 换底公式的应用 答案 C解析 原式＝(log 32)2＋2log 32·log 23＋(log 23)2－(log 32)2－(log 23)2＝2. 二、填空题7．(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. 考点 对数的运算题点 具体数化简求解对数值 答案 54解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫1log 23＋1log 232＝56log 23·32log 23＝54. 8．(lg5)2＋lg2·lg50＝________. 考点 对数的运算题点 具体数化简求解对数值 答案 1解析 (lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10) ＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2 ＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2 ＝lg5＋lg2＝1.9．已知lg(x ＋2y)＋lg(x －y)＝lg2＋lgx ＋lgy ，则xy ＝________.考点 对数的运算 题点 对数的运算性质 答案 2解析 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y>0，x －y>0，x>0，y>0，(x ＋2y )(x －y )＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x>y y>0，(x ＋2y )(x －y )＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x>y ，y>0，(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0，∴xy＝2.10．若3x ＝4y＝36，则2x ＋1y ＝________.考点 对数的运算 题点 对数的运算性质 答案 1解析 3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得 xlog 63＝ylog 64＝2，∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1y ＝log 62， 故2x ＋1y＝log 63＋log 62＝1. 11．若x·log 32016＝1，则2016x＋2016－x＝________. 考点 对数的运算题点 指数对数的混合运算 答案103解析 方法一 ∵x·log 32016＝log 32016x＝1， ∴2016x ＝3，∴2016－x＝13.∴2016x ＋2016－x＝3＋13＝103.方法二 由x·log 32016＝1，得x ＝1log 32016＝log 20163，∴2016x＝ 2 016log 32 016＝3,2016－x＝12016x ＝13.∴2016x ＋2016－x＝3＋13＝103.12．若f(x)＝a12x -且f(lga)＝10，则a ＝________.考点 对数的运算 题点 指数对数的混合运算 答案 10或1010解析 f(lga)＝a1lg 2a -＝algaa＝10，∴a lga＝(10a)12，两边取常用对数， 得(lga)2＝12(1＋lga)，∴2(lga)2－lga －1＝0，解得lga ＝1或lga ＝－12，则a ＝10或a ＝1010. 三、解答题 13．计算：(1)(log 3312)2＋log 0.2514＋9log 55－log31；(2)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8.考点 对数的运算题点 具体数化简求解对数值解 (1)(log 3312)2＋log 0.2514＋9log 55－log 31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋9×12－0 ＝14＋1＋92＝234. (2)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝2lg2＋lg31＋12lg0.62＋13lg23 ＝2lg2＋lg31＋lg0.6＋lg2＝2lg2＋lg31＋(lg6－lg10)＋lg2 ＝2lg2＋lg3lg6＋lg2＝2lg2＋lg3(lg2＋lg3)＋lg2 ＝2lg2＋lg32lg2＋lg3＝1. 四、探究与拓展14．若log 83＝p ，log 35＝q ，则lg5可以表示为( )A.3pq 1＋3pqB.1＋3pq 3pqC.pq 2＋3pqD.3pq 3＋2pq考点 对数的运算题点 用代数式表示对数答案 A解析 ∵log 83＝lg3lg8＝lg33lg2＝lg33(1－lg5)＝p ，① log 35＝lg5lg3＝q ，② 联立①②两式得lg5＝3pq 1＋3pq. 15．设a ，b ，c 是直角三角形的三边长，其中c 为斜边，且c ≠1，求证：log (c ＋b)a ＋log (c －b)a ＝2log (c ＋b)a·log (c －b)a.考点 对数的运算题点 换底公式的应用证明 ∵a ，b ，c 是直角三角形的三边长，c 为斜边，∴log (c ＋b)a ＋log (c －b)a ＝1log a (c ＋b )＋1log a (c －b )＝log a (c －b )＋log a (c ＋b )log a (c ＋b )·log a (c －b )＝log a[(c－b)(c＋b)] 1log(c＋b)a·1log(c－b)a＝log a a2·log(c＋b)a·log(c－b)a ＝2log(c＋b)a·log(c－b)a，即等式成立．。