人教版高中数学必修一学案：《对数与对数运算》(含答案)

必修1专题复习——对数与对数函数1．23log 9log 4⨯=（ ） A ．14 B ．12C ．2D ．4 2．计算()()516log 4log 25⋅= （ ）A ．2B ．1C ．12 D ．14 3．已知222125log 5,log 7,log 7a b ===则 （ ）A ．3a b - B ．3a b - C ．3a b D ．3ab4．552log 10log 0.25+=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．45．已知31ln 4,log ,12===-x y z ，则（ ） A.<<x z y B.<<z x y C.<<z y x D.<<y z x6．设3log 2a =，5log 2b =，2log 3c =，则（ ）（A ）a c b >> （B ）b c a >> （C ）c b a >> （D ）c a b >> 7．已知2log 3a =，12log 3b =，123c -=，则A.c b a >> B ．c a b >> C.a b c >> D.a c b >> 8．已知a =312,b =l og 1312,c =l og 213,则（ ）A. a >b >cB.b >c >aC. c>b>acD. b >a >c 9．函数y =A ．[1，2]B ．[1,2)C ．1(,1]2D ．1[,1]210．函数)12(log )(21-=x x f 的定义域为（ ）A ．]1,-(∞B ．),1[+∞C ．]121，（D ．），（∞+21 11．已知集合A 是函数)2ln()(2x x x f -=的定义域，集合B={}052>-x x ，则（ ）A ．∅=B A B ．R B A =C ．A B ⊆D ．B A ⊆ 12．不等式1)2(log 22>++-x x 的解集为( )A 、()0,2-B 、()1,1-C 、()1,0D 、()2,113．函数)1,0)(23(log ≠>-=a a x y a 的图过定点A ，则A 点坐标是 （ ） A 、（32,0） B 、（0,32） C 、（1,0） D 、（0,1） 14．已知函数log ()(,a yx c a c =+为常数，其中0,1)a a >≠的图象如右图，则下列结论成立的是（ ）A.1,1a c >>B.1,01ac ><<C.01,1a c <<>D.01,01a c <<<< 15．函数y ＝2|log 2x|的图象大致是( )16．若0a >且1a ≠,则函数2(1)y a x x =--与函数log a y x =在同一坐标系内的图像可能是( )17．在同一坐标系中画出函数x y a log =，xa y =，a x y +=的图象，可能正确的是( )．18．将函数2()log (2)f x x =的图象向左平移1个单位长度，那么所得图象的函数解析式为（ ）（A ）2log (21)y x =+ （B ）2log (21)y x =- （C ）2log (1)1y x =++ （D ）2log (1)1y x =-+19．在同一直角坐标系中，函数x x g x x x f a alog )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）20．函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ． 21．若当R x ∈时，函数()xa x f =始终满足()10<<x f ，则函数xy a1log =的图象大致为（ ）22．（本题满分12分）已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数。

对数运算及对数函数习题课基础巩固1. 36log 3log 22+的值为( )A .1B .12C .12- D .-12.函数()1lg +=x y 的图象大致是( )3.函数()()x x f 2log 2=的图象可由x y 2log =的图象经下列哪种变换而得到() A .向左平移1个单位 B .向右平移1个单位C .向上平移1个单位D .向下平移1个单位4.函数()()x x x f ++=1lg 2是( )A .奇函数B .偶函数C .既是奇函数,也是偶函数D .既不是奇函数,也不是偶函数5.已知0>a ,9432=a ,则a 32log 等于( )A .2B .3C .4D .56.函数()1log 12+=-x y 的值域为( )A .RB .(0,+∞)C .(-∞,0)∪(0,+∞)D .(-∞,1)∪(0,+∞)7.函数()x x f ln =的单调递减区间是 .8.若函数()()1log 22++=ax x x f 为偶函数,则=a .9.已知()x xx f -+=11lg ,x ∈(-1,1),若()21=a f ,则f (-a )= .10.已知f (x )=log 3x.(1)作出函数f (x )的图象;(2)若f (a )<f (2),利用图象求a 的取值范围.能力提升1.函数y=2+log 2x (x ≥2)的值域为( )A .(2,+∞)B .(-∞,2)C .[2,+∞)D .[3,+∞)★2.函数y=lg xx 的图象大致是( )3.若函数()()⎩⎨⎧≥<--=1,log 1,43x x x a x a x f a 在(-∞,+∞)内为增函数,则a 的取值范围是() A .(1,+∞) B .(-∞,3) C .⎪⎭⎫⎝⎛3,53 D .(1,3)4.lg 32lg 21lg 6lg 5+-=- .5.已知函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<+-=21,log 21,2x x x a x x f 的最小值为1-,则a 的取值范围是 . 6.函数f (x )=log 2(x 2-1)-log 2(x+1)在x ∈[3,5]上的值域为 .★7.已知实数x 满足-3≤12log x ≤-,求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=4log 2log 22x x y 的值域.★8.已知函数f (x )=1log 1amx x --(a>0,且a ≠1,m ≠1)是奇函数. (1)求实数m 的值;(2)探究函数f (x )在(1,+∞)内的单调性.参考答案一、基础巩固1.解析:原式=212log 363log 22==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯. 答案:B.2.解析:函数()1lg +=x y 的图象可看作是x y lg =的图象向左平移1个单位长度得到的. 答案: C.3.解析:∵()()x x x x f 2222log 1log 2log 2log +=+==,∴ x y 2log =的图象向上平移1个单位可得到()x x f 2log 1+=的图象.答案:C.4.解析:∵x x x -≥>+221 ∴ 012>++x x 恒成立. ∴()x f 的定义域为R.又()()()x f x x x x x x x f -=++=++=-+=-11lg 11lg 1lg 222∴()x f 为奇函数.答案:A.5.解析:∵9432=a , 0>a ,∴3233294⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a . ∴ 3log 32=a . 答案:B.6.解析:∵ 11111≠+=+-x x ,∴ ()01log 1log 212=≠+=-x y ,∴所求值域为()()+∞∞-,00, . 答案:C。

2.2.1对数与对数运算（第3课时）一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，培养学生根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题的真实性和初步的推理能力．培养学生的分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识． （二）学习目标1．了解对数的换底公式及其推导；2．能应用对数换底公式进行化简、求值、证明； 3．运用对数的知识解决实际问题． （三）学习重点用对数的运算性质进行化简、求值和证明． （四）学习难点 1．会用log log nm a a mb b n =，aN N a log 1log =等变形公式进行化简． 2．对数换底公式的应用．二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）换底公式 一般地，log a b =log log c c ba，其中0,1,0,0,1a a b c c >≠>>≠，这个公式称为对数的换底公式． （2）对数的换底公式的应用log log a b b a ⋅= 1 ．log log m n N a a nN m=． 2．预习自测（1）计算100lg 20log 25+= ． 【答案】2．（2）计算=4log 16log 327 ．【答案】23． （3）83log 9log 2⋅的值为（ ） A ．32 B ．1 C ．23 D ．2 【答案】A ．（4）计算272log 9+= ．【答案】83．(二)课堂设计 1．知识回顾（1）指数和对数的互化b a N =⇔ l o g a b N = （其中0a >，且1a ≠，0N >）． （2）默写对数的运算法则① N M MN a a a log log log += ； ② N M NMa a al o g l o g l o g -= ； ③ M n M a na l o g l o g = ．（3）计算:522log 253log 64-= ； ()22log log 16= ． 【答案】14-，2． 2．问题探究 探究一●活动① （大胆猜想，大胆操作，探究新知识） 计算下列各组中两个式子的值．()55log 1001lg100,log 10； ()232log 272log 27,log 3；()373log 3log log 7．【答案】（1）因为22555555log 100log 102log 10lg100lg102,2log 10log 10log 10=====，所以55log 100lg100log 10=；（2）232log 27log 27log 3=； （3）373log log log 7=． 【设计意图】通过对具体数据的观察，加深对换底公式的直观认识． ●活动② （集思广益，证明新知识） 证明对数换底公式： log log log c a c bb a=，其中（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）． 证明：令log a b N =，则N a b =，又令log c b A =,则A c b =，令log c a B =，则B c a =， 所以，()NN B BN a c c ==，所以，BN A c c =，所以BN A =，即A N B=， 故 log log log c a c bb a=． 【设计意图】由特殊到一般，由旧识到新知． ●活动③ （反思过程，发散思维） 利用对数的换底公式化简下列各式： （1）a c log c log a ⋅；（2）23453452log log log log ⋅⋅⋅． 【答案】（1）1；（2）1．【设计意图】熟悉公式基本结构，得出换底公式的常见变形结构：ac c a log 1log =． 探究二●活动① （基础性例题） 例1 求值： （1）235111log log log 2589⨯⨯； （2）（3log 3log 84+）（2lo g 2l o g 93+）； （3）0.21log 35-．【知识点】换底公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】（1）235111lglg lg1112589log log log 2589lg 2lg 3lg 5⨯⨯=⨯⨯()()()2lg53lg 22lg312lg 2lg3lg5---=⨯⨯=-；（2）()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++9lg 2lg 3lg 2lg 8lg 3lg 4lg 3lg 2log 2log 3log 3log 9384⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3lg 22lg 3lg 2lg 2lg 33lg 2lg 23lg 453lg 22lg 32lg 63lg 5=⨯=； （3）0.25lg3lg3lg15111log 3log 15lg0.2lg5lg55555515-+-=====．【思路点拨】抓住对数运算法则同底的要求，利用换底公式将底数变为同底． 【答案】（1）12-；（2）54；（3）15． 同类训练求值：（1）427125log 9log 25log 16⋅⋅； （2）9log 4log 25log 532⋅⋅． 【知识点】换底公式的基本应用．【数学思想】转化思想．【解题过程】（1）427125lg9lg 25lg168log 9log 25log 16lg 4lg 27lg1259⋅⋅=⋅⋅=； （2）85lg 9lg 3lg 4lg 2lg 25lg 9log 4log 25log 532=⋅⋅=⋅⋅． 【思路点拨】抓住对数运算法则同底的要求，利用换底公式将底数变为同底．【答案】（1）89；（2）8．例2 若()324941log 7log 9log log 02a a ⋅⋅=>，则a =_______. 【知识点】换底公式的含参应用． 【数学思想】转化思想．【解题过程】由已知可得：()1lglg 7lg 9lg 20lg 3lg 2lg 49lg 4aa ⋅⋅=>，即()lg 72lg3lg lg 20lg3lg 22lg 72lg 2a a -⋅⋅=>， 得()1lg lg 202a a =->，故1222a -==． 【思路点拨】抓住对数运算法则同底的要求，利用换底公式将底数变为同底．【答案】2．同类型训练若2log 31x =，则3x的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．6D ．21 【知识点】换底公式的变形应用和指数相结合． 【数学思想】方程思想．【解题过程】因2log 31x =，则23log 321log 233=2.log 3x x ==∴=【思路点拨】解方程． 【答案】B.【设计意图】知识点的交叉，以及对数利用换底公式化简． ●活动2 （提升型例题）例3 设lg 2a =，lg3b =，试用a 、b 表示12log 6和5log 12． 【知识点】换底公式的逆用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】ba ba ++=++==23lg 2lg 3lg 2lg 26lg 12lg 12log 6， b a a+-=+-==213l g 2l g 22l g 112lg 5lg 5log 12．【思路点拨】利用换底公式将对数换为同底． 【答案】b a b a ++2，ba a+-21． 同类训练设a =3log 2，b =7log 3，试用a 、b 表示21log 14和56log 21． 【知识点】换底公式的逆用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】ab aba b ab ++=++=++==1117log 2log 7log 3log 14log 21log 21log 33333314；ab a ab b a b ++=++=++==3137log 3log 8log 7log 21log 56log 56log 33333321．【思路点拨】利用换底公式将对数换为同底．【答案】ab ab a ++1； aba ab ++3． ●活动3 （探究型例题）例4 若1052==b a ，求ba 11+的值．【知识点】指数与对数互化，换底公式． 【数学思想】方程思想，化归思想．【解题过程】因为1052==b a ，所以2lg 110log 2==a ，5lg 110log 5==b 15lg 2lg 11=+=+ba ． 【思路点拨】用解方程的思想将a 、b 分解出来. 【答案】1.同类训练 设3643==y x ，求yx 12+的值．【知识点】指数与对数互化，换底公式． 【数学思想】方程思想，化归思想．【解题过程】因为3643==y x ，所以3log 136log 363==x ，4log 136log 364==y ， 则136log 4log 3log 212363636==+=+yx ．【思路点拨】用解方程的思想将x 、y 分解出来. 【答案】1.【设计意图】结合前一节知识，强化指对关系以及在对数运算中同底意识． 3．课堂总结 知识梳理（1）了解对数的换底公式及其推导；（2）能应用对数换底公式进行化简、求值、证明； （3）运用对数的知识解决实际问题． 重难点归纳（1）用对数的运算性质进行化简、求值和证明； （2）利用对数的换底公式进行化简、求值．（三）课后作业 基础型 自主突破 1．已知32log 3=a ，31log 31=b ，则=ab （ ） A ．3 B ．33C ．31D ．33【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想．【解题过程】由题31log 3-=b ，所以31log log log 333==+ab b a ，故33=ab ．【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】B ． 2．+31log 12131log 151的值属于区间（ ）A ．()1,2--B ．()1,0C ．()2,1D ．()3,2【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】()1113333112511111log log log log 102,3112510log log 33+=+==∈． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】D ．3．若a =2log 3，则=3log 12（ ）A ．11+a B ．1+a aC ．1+aD ．aa 1+ 【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想．【解题过程】由题a =2log 3，则2log 23lg 212lg 3lg 2lg 3===a ， 故a+=+==112log 23log 112log 3log 3log 333312． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】A ．4．设a =2lg ，b =3lg ，则12log 5等于（ ）A ．a ba ++12 B ．ab a ++12C ．a b a -+12D ．ab a -+12【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】aba -+=-+==122lg 13lg 4lg 5lg 12lg 12log 5． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】C ．5．已知3632==n m ，则=+nm 11（ ） A ．2B ．1C ．21 D ．31【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】由题知2log 12log 136log 36362=⇒==m m ， 3l o g 13l o g 136log 36363=⇒==nn ， 所以216log 6log 3log 2log 1126363636===+=+n m ． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】C ． 6．计算：=+3log 3log 422__________.【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想． 【解题过程】3332222233l o g 233l o g 213l o g 3l o g 3l o g 3l o g 3l o g 22222242=====+++【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】33． 能力型 师生共研 7．375754log 31log 9log 2log ⋅⋅ =_________.【知识点】换底公式的应用． 【数学思想】化归思想．【解题过程】()232lg 323lg 7lg 5lg 7lg 5lg 3lg 22lg 217lg 4lg 5lg 31lg 7lg 9lg 5lg 2lg 4log 31log 9log 2log 337575-=⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】23-． 8．若1log 325log 225=-x x ()1,0≠>x x ，则=x ．【知识点】换底公式的应用．【数学思想】化归思想，方程思想．【解题过程】因为1log 325log 225=-x x ()1,0≠>x x ，则1log 3log 122525=-x x， 令x t 25log =，即1312=-t t ，则1312=-t t，即()()0123=+-t t ， 所以32=t 或1t =-，即345=x 或125x =． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用解方程． 【答案】345或125． 探究型 多维突破9．已知5log log 248=+b a ，7log log 248=+a b ，则=ab ________．【知识点】换底公式的应用．【数学思想】化归思想．【解题过程】已知5log log 248=+b a ，7log log 248=+a b ，则5log log 3122=+b a ，7log log 3122=+a b ， 所以 ()1275log log 3422=+=+b a ， 即9log 2=ab ，则51229==ab ．【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．【答案】512．10．若()b ab ab a log 4log =，则=ba ______． 【知识点】换底公式的应用．【数学思想】化归思想．【解题过程】若()b ab ab a log 4log =，则ab b a ab lg lg 4lg lg =，()b a b a b a ba ba lg lg 4lg lg lg lg lg 4lg lg lg 2⋅=+⇒+=+，所以()0lg lg 2=-b a ，即b a lg lg =， 所以1=b a．【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．【答案】1．自助餐1．若a =2lg ，b =3lg ，则3log 2等于（ ）A ．a bB ．b aC ．b aD ．a b【知识点】换底公式的应用．【数学思想】化归思想． 【解题过程】a b==2lg 3lg 3log 2．【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．【答案】A ．2．()()=⋅4log 9log 32（ ）A ．14 B ． 12 C ．2 D ．4【知识点】换底公式的应用．【数学思想】化归思想．【解题过程】()()43lg 2lg 22lg 3lg 23lg 4lg 2lg 9lg 4log 9log 32=⋅=⋅=⋅． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．【答案】D ．3． 设m b a ==52，且211=+ba ，则=m （ ） A ．10 B ．10 C ．20 D ．100【知识点】换底公式的应用．【数学思想】化归思想．【解题过程】因为m b a ==52，所以2log 1log 2m m a ==，5log 1log 5m m b ==， 则210log 5log 2log 11==+=+m m m b a ，所以10=m ．【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．【答案】 A ．4．若*,1,1N n b a ∈>>，则下列各式：①a b log 1:；②a b lg lg ；③n a b n log ；④b a ab ab log 1log -1-中，与b a log 相等的是 (把符合的序号都填上)．【知识点】换底公式的应用．【数学思想】化归思想．【解题过程】④ b ab b ab a abb a a ab ab ab abab ab log log log log log log 1log 1===--． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解．【答案】① ② ③ ④．5．已知3log 2a =，35b =，用a 、b 表示30log 2．【知识点】换底公式的应用．【数学思想】化归思想．【解题过程】已知35b =，则3log 5b =，所以ab a a 2125log 3log 2log 2log 30log 2130log 2130log 3333322++=++=⋅==． 【思路点拨】将对数化为同底，再利用对数运算法则求解． 【答案】ab a 21++． 6．解不等式：012792493log log >--x x ．【知识点】换底公式的变形应用，解不等式．【数学思想】化归思想．【解题过程】012730127922732493log log 2log log >--⇒>--x x x x012012732log 2log 73>--⇒>--⇒x x x x ()()034>+-⇒x x 又0>x ，故4>x ．【思路点拨】利用换底公式的变形将不等式化简后再求解． 【答案】{}4>x x ．。

2.2 对数函数解读对数概念及运算对数是中学数学中重要的内容之一，理解对数的定义，掌握对数的运算性质是学习对数的重点内容．现梳理这部分知识，供同学们参考．一、对数的概念对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log a N ＝N .例1 计算：log 22＋log 51＋log 3127＋9log 32. 分析 根据定义，再结合对数两个恒等式即可求值．解 原式＝1＋0＋log 33－3＋(3log 32)2＝1－3＋4＝2.点评 解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数．二、对数的运算法则常用的对数运算法则有：对于M >0，N >0.(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝n log a M .例2 计算：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18. 分析 运用对数的运算法则求解．解 由已知，得原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.点评 对数运算法则是进行对数运算的根本保证，同学们必须能从正反两方面熟练应用．三、对数换底公式根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式：log a b ＝log c b log c a(a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，b >0)． 由对数换底公式又可得到两个重要结论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log an b m ＝m nlog a b . 例3 计算：(log 25＋log 4125)×log 32log 35. 分析 在利用换底公式进行化简求值时，一般是根据题中对数式的特点选择适当的底数进行换底，也可选择以10为底进行换底． 解 原式＝(log 25＋32log 25)×log 322log 35＝52log 25×12log 52＝54. 点评 对数的换底公式是“同底化”的有力工具，同学们要牢记．通过上面讲解，同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互化的依据，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径．对数的运算性质，同学们要熟练掌握，在应用过程中避免错误，将公式由“正用”“逆用”逐步达到“活用”的境界．数换底公式的证明及应用设a >0，c >0且a ≠1，c ≠1，N >0，则有log a N ＝log c N log c a，这个公式称为对数的换底公式，它在对数的运算中有着重要的应用，课本中没有给出证明，现证明如下：证明 记p ＝log a N ，则a p ＝N .**式两边同时取以c 为底的对数(c >0且c ≠1)得log c a p ＝log c N ，即p log c a ＝log c N .所以p ＝log c N log c a ，即log a N ＝log c N log c a. 推论1：log a b ·log b a ＝1.推论2：log an b m ＝m nlog a b (a >0且a ≠1，b >0)． 例4 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645的值；(2)求log 23·log 34·log 45·…·log 6364的值．解 (1)因为log 189＝a,18b ＝5，所以lg 9lg 18＝a . 所以lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.所以log 3645＝lg (5×9)lg 1829＝lg 5＋lg 92lg 18－lg 9 ＝b lg 18＋a lg 182lg 18－a lg 18＝b ＋a 2－a. (2)log 23·log 34·log 45·…·log 6364＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 5lg 4·…·lg 64lg 63＝lg 64lg 2＝6lg 2lg 2＝6. 点评 对数运算法则中，对数式都是同底的，凡不同底的对数运算，都需要用换底公式将底统一，一般统一成常用对数．例5 已知12log 8a ＋log 4b ＝52，log 8b ＋log 4a 2＝7，求ab 的值． 解 由已知可得⎩⎨⎧16log 2a ＋12log 2b ＝52，13log 2b ＋log 2a ＝7， 即⎩⎪⎨⎪⎧ log 2a ＋3log 2b ＝15，3log 2a ＋log 2b ＝21.解得⎩⎪⎨⎪⎧log 2a ＝6，log 2b ＝3. 所以a ＝26，b ＝23.故ab ＝26·23＝512.点评 发现底数“4”，“8”与“2”的关系，将底数统一成“2”，解决问题比较简单．此外还有下面的关系式：log N M ＝log a M log a N ＝log b M log b N； log a M ·log b N ＝log a N ·log b M ；log a M log b M ＝log a N log b N＝log a b ；N log a M ＝M log a N .数函数图象及性质的简单应用对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题思路、获得问题结果的重要途径．能准确地作出对数函数的图象是利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提，而数形结合是研究与对数函数的有关问题的常用思想．一、求函数的单调区间例6 画出函数y ＝log 2x 2的图象，并根据图象指出它的单调区间．解 当x ≠0时，函数y ＝log 2x 2满足f (－x )＝log 2(－x )2＝log 2x 2＝f (x )，所以y ＝log 2x 2是偶函数，它的图象关于y 轴对称．当x >0时，y ＝log 2x 2＝2log 2x ，因此先画出y ＝2log 2x (x >0)的图象为C 1，再作出C 1关于y 轴对称的图象C 2，C 1与C 2构成函数y ＝log 2x 2的图象，如图所示．由图象可以知道函数y ＝log 2x 2的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是(0，＋∞)． 点评 作图象时一定要考虑定义域，否则会导致求出错误的单调区间，同时在确定单调区间时，要注意增减区间的分界点，特别要注意区间的开与闭问题．二、利用图象求参数的值例7 若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于( ) A.13 B. 2 C.22 D ．2 解析 当a >1时，f (x )＝log a (x ＋1)的图象如图所示．f (x )在[0,1]上是单调增函数，且值域为[0,1]，所以f (1)＝1，即log a (1＋1)＝1，所以a ＝2，当0<a <1时，其图象与题意不符，故a 的值为2，故选D.答案 D点评 (1)当对数的底数不确定时要注意讨论；(2)注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域)．三、利用图象比较实数的大小例8 已知log m 2<log n 2，m ，n >1，试确定实数m 和n 的大小关系．解 在同一直角坐标系中作出函数y ＝log m x 与y ＝log n x 的图象如图所示，再作x ＝2的直线，可得m >n .点评 不同底的对数函数图象的规律是：(1)底都大于1时，底大图低(即在x >1的部分底越大图象就越接近x 轴)；(2)底都小于1时，底大图高(即在0<x <1的部分底越大图象就越远离x 轴)．四、利用图象判断方程根的个数例9 已知关于x 的方程|log 3x |＝a ，讨论a 的值来确定方程根的个数．解 因为y ＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ， x >1，－log 3x ， 0<x <1， 在同一直角坐标系中作出函数与y ＝a 的图象，如图可知：(1)当a <0时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0；(2)当a ＝0时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根有1个；(3)当a >0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根有2个．点评 利用图象判断方程根的个数一般都是针对不能将根求出的题型，与利用图象解不等式一样，需要先将方程等价转化为两端对应的函数为基本函数(最好一端为一次函数)，再作图象．若含有参数，要注意对参数的讨论，参数的取值不同，函数图象的位置也就不同，也就会引起根的个数不同． 三类对数大小的比较 一、底相同，真数不同 例10 比较log a 2与log a 33的大小．分析 底数相同，都是a ，可借助于函数y ＝log a x 的单调性比较大小．解 由(2)6＝8<(33)6＝9，得2<33.当a >1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，故log a 2<log a 33；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，故log a 2>log a 33.点评 本题需对底数a 的范围进行分类讨论，以确定以a 为底的对数函数的单调性，从而应用函数y ＝log a x 的单调性比较出两者的大小．二、底不同，真数相同例11 比较log 0.13与log 0.53的大小．分析 底数不同但真数相同，可在同一坐标系中画出函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 的图象，借助于图象来比较大小；或应用换底公式将其转化为同底的对数大小问题．解 方法一 在同一坐标系中作出函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 的图象，如右图．在区间(1，＋∞)上函数y ＝log 0.1x 的图象在函数y ＝log 0.5x 图象的上方，故有log 0.13>log 0.53.方法二 log 0.13＝1log 30.1，log 0.53＝1log 30.5. 因为3>1，故y ＝log 3x 是增函数，所以log 30.1<log 30.5<0.所以1log 30.1>1log 30.5. 即log 0.13>log 0.53.方法三 因为函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 在区间(0，＋∞)上都是减函数，故log 0.13>log 0.110＝－1，log 0.53<log 0.52＝－1，所以log 0.13>log 0.53.点评 方法一借助于对数函数的图象；方法二应用换底公式将问题转化为比较两个同底数的对数大小；方法三借助于中间值来传递大小关系．三、底数、真数均不同例12 比较log 323与log 565的大小． 分析 底数、真数均不相同，可通过考察两者的范围来确定中间值，进而比较大小． 解 因为函数y ＝log 3x 与函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上都是增函数，故log 323<log 31＝0，log 565>log 51＝0， 所以log 323<log 565. 点评 当底数、真数均不相同时，可找中间量(如1或0等)传递大小关系，从而比较出大小．综上所述，比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论，如例10；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小，如例11；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较，如例12.学对数给你提个醒对数函数是函数的重要内容之一，由于同学们对概念、定义域、值域、图象等知识点掌握得不够好，经常出现解题错误，现将这些错误进行归纳并举例说明．一、忽视0没有对数例13 求函数y ＝log 3(1＋x )2的定义域．错解 对于任意的实数x ，都有(1＋x )2≥0，所以原函数的定义域为R .剖析 只考虑到负数没有对数．事实上，由对数的定义可知，零和负数都没有对数． 正解 {x |x ≠－1}二、忽视1的对数为0例14 求函数y ＝1log 2(2x ＋3)的定义域． 错解 由2x ＋3>0，得x >－32， 所以定义域为{x |x >－32}． 剖析 当2x ＋3＝1时，log 21＝0，分母为0没有意义，上述解法忽视了这一点．正解 {x |x >－32且x ≠－1}三、忽视底数的取值范围例15 已知log (2x ＋5)(x 2＋x －1)＝1，则x 的值是( )A ．－4B ．－2或3C ．3D ．－4或5错解 由2x ＋5＝x 2＋x －1，化简得x 2－x －6＝0，解得x ＝－2或x ＝3.故选B.剖析 忽视了底数有意义的条件：2x ＋5>0且2x ＋5≠1.当x ＝－2时，2x ＋5＝1，应舍去，只能取x ＝3.正解 C四、忽视真数大于零例16 已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2x y的值． 错解 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y ，即x y ＝1或x y ＝4， 所以log 2x y ＝0，或log 2x y＝4. 剖析 错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件，x >0，y >0，x －2y >0，所以x >2y >0，所以x ＝y 不成立．正解 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y ，因为x >0，y >0，x －2y >0，所以x ＝y 应舍去，所以x ＝4y ，即x y＝4， 所以log 2x y＝4. 五、对数运算性质混淆例17 下列运算：(1)log 28log 24＝log 284； (2)log 28＝3log 22；(3)log 2(8－4)＝log 28－log 24；(4)log 243·log 23＝log 2(43×3)．其中正确的有( ) A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个错解 A剖析 (1)log 28log 24真数8与4不能相除；(3)中log 2(8－4)不能把log 乘进去运算，没有这种运算的，运算log 284＝log 28－log 24才是对的；(4)错把log 提出来运算了，也没有这种运算，正确的只有(2)．正解 D六、忽视对含参底数的讨论例18 已知函数y ＝log a x (2≤x ≤4)的最大值比最小值大1，求a 的值．错解 由题意得log a 4－log a 2＝log a 2＝1，所以a ＝2.剖析 对数函数的底数含有参数a ，错在没有讨论a 与1的大小关系而直接按a >1解题． 正解 (1)若a >1，函数y ＝log a x (2≤x ≤4)为增函数，由题意得log a 4－log a 2＝log a 2＝1，所以a ＝2，又2>1，符合题意．(2)若0<a <1，函数y ＝log a x (2≤x ≤4)为减函数，由题意得log a 2－log a 4＝log a 12＝1， 所以a ＝12，又0<12<1，符合题意， 综上可知a ＝2或a ＝12.巧借对数函数图象解题数形结合思想，就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合．通过对图形的认识、数形转化，来提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易、化抽象为具体．它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．一、利用数形结合判断方程解的范围方程解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化．例1 方程lg x＋x＝3的解所在区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)答案 C解在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝lg x与y＝－x＋3的图象(如图所示)．它们的交点横坐标x0显然在区间(1,3)内，由此可排除选项A、D.实际上这是要比较x0与2的大小．当x0＝2时，lg x0＝lg 2，3－x0＝1.由于lg 2<1，因此x0>2，从而判定x0∈(2,3)．点评本题是通过构造函数用数形结合法求方程lg x＋x＝3的解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．二、利用数形结合求解的个数例2 已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1)时，f(x)＝x，则方程f(x)＝lg x的根的个数是________．解析构造函数g(x)＝lg x，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，易知有4个根．答案 4点评本题学生极易填3，其原因是学生作图不标准，尤其是在作对数函数的图象时没有考虑到当x＝10时，y＝1.因此，在利用数形结合法解决问题时，要注意作图的准确性．三、利用数形结合解不等式例3 使log2x<1－x成立的x的取值范围是______________________________________．解析构造函数f(x)＝log2x，g(x)＝1－x，在同一坐标系中作出两者的图象，如图所示，直接从图象中观察得到x∈(0,1)．答案(0,1)点评用数形结合的方法去分析解决问题，除了会读图外，还要会画图，绘制图形既是利用数形结合方法的需要，也是培养我们动手能力的需要．数函数常见题型归纳一、考查对数函数的定义例4 已知函数f (x )为对数函数，且满足f (3＋1)＋f (3－1)＝1，求f (5＋1)＋f (5－1)的值．解 设对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，由已知得log a (3＋1)＋log a (3－1)＝1，即log a [(3＋1)×(3－1)]＝1⇒a ＝2.所以f (x )＝log 2x (x >0)．从而得f (5＋1)＋f (5－1)＝log 2[(5＋1)×(5－1)]＝2.二、考查对数的运算性质例5 log 89log 23的值是( ) A.23 B ．1 C.32D ．2 解析 原式＝log 29log 28·1log 23＝23·log 23log 22·1log 23＝23. 答案 A三、考查指数式与对数式的互化例6 已知log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，求log abc x 的值．解 由已知，得a 2＝x ，b 3＝x ，c 6＝x ，所以a ＝x 12，b ＝x 13，c ＝x 16. 于是，有abc ＝x 12＋13＋16＝x 1， 所以x ＝abc ，则log abc x ＝1.四、考查对数函数定义域和值域(最值)例7 (江西高考)若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎦⎤－12，0 C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 答案 A解析 要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)>0＝log 121， ∴0<2x ＋1<1，∴－12<x <0. 例8 已知函数f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，则函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值为________，最小值为________．解析 由已知，得函数g (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9⇒1≤x ≤3.且g (x )＝f 2(x )＋f (x 2) ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6.则当log 3x ＝0，即x ＝1时，g (x )有最小值g (1)＝6；当log 3x ＝1，即x ＝3时，g (x )有最大值g (3)＝13.答案 13 6五、考查单调性例9 若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 为( )A.24B.22C.14D.12解析 由于0<a <1，所以f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上递减，在区间[a,2a ]上的最大值为f (a )，最小值为f (2a )，则f (a )＝3f (2a )，即log a a ＝3log a (2a )⇒a ＝24. 答案 A 六、考查对数函数的图象例10 若不等式x 2－log a x <0在(0，12)内恒成立，则a 的取值范围是________． 解析 由已知，不等式可化为x 2<log a x .所以不等式x 2<log a x 在(0，12)内恒成立，可转化为当x ∈(0，12)时， 函数y ＝x 2的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，如图所示．答案 [116，1) 点评 不等式x 2<log a x 左边是一个二次函数，右边是一个对数函数，不可能直接求解，充分发挥图象的作用，则可迅速达到求解目的．巧比对数大小一、中间值法若两对数底数不相同且真数也不相同时，比较其大小通常运用中间值作媒介进行过渡． 理论依据：若A >C ，C >B ，则A >B .例11 比较大小：log 932，log 8 3. 解 由于log 932<log 93＝14＝log 822<log 83， 所以log 932<log 8 3. 点评 以14为纽带，建立起放缩的桥梁，解题时常通过观察确定中间值的选取． 二、比较法比较法是比较对数大小的常用方法，通常有作差和作商两种策略．理论依据：(1)作差比较：若A －B >0，则A >B ；(2)作商比较：若A ，B >0，且A B>1，则A >B . 例12 比较大小：(1)log 47，log 1221；(2)log 1.10.9，log 0.91.1.解 (1)log 47－log 1221＝(log 47－1)－(log 1221－1)＝log 474－log 1274＝1log 744－1log 7412， 由于0<log 744<log 7412，所以1log 744>1log 7412，即log 47>log 1221. (2)由于log 1.10.9，log 0.91.1都小于零，所以|log 1.10.9||log 0.91.1|＝(log 1.10.9)2＝(－log 1.10.9)2 ＝(log 1.1109)2>(log 1.11110)2＝1， 故|log 1.10.9|>|log 0.91.1|，所以log 1.10.9<log 0.91.1.点评 将本例(1)推广延伸为：若1<A <B ，C >0，则log A B >log AC (BC )，进而可比较形如此类对数的大小．三、减数法将对数值的大概范围确定后，两边同减去一个数，通过局部比较大小．理论依据：若A －C >B －C ，则A >B .例13 比较大小：log n ＋2(n ＋1)，log n ＋1n (n >1)．解 因为log n ＋2(n ＋1)－1＝log n ＋2n ＋1n ＋2>log n ＋2n n ＋1>log n ＋1n n ＋1＝log n ＋1n －1.所以log n ＋2(n ＋1)>log n ＋1n .点评 将本例推广延伸为：若1<A <B ，C >0，则log A ＋C (B ＋C )>log A B ，进而可比较形如此类对数的大小．四、析整取微法将对数的整数部分分别析取出来，通过比较相应小数部分的大小使得问题获解． 理论依据：若A ＝log a M ＝k ＋x ，B ＝log b N ＝k ＋y ，且x >y ，则A >B .例14 比较大小：log 123，log 138. 解 令log 123＝－2＋x ，log 138＝－2＋y ， 于是2－(－2＋x )＝3,3－(－2＋y )＝8，则2－x －3－y ＝34－89<0，故2－x <3－y . 两边同时取对数，化简得x lg 2>y lg 3，则x y >lg 3lg 2>1，即x >y ，故log 123>log 138. 点评 这种方法便于操作，容易掌握，并且所涉及的知识又都是通性通法，有利于“回归课本，夯实基础”，此法值得深思．例15 对于函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在一常数c ，对任意x 1∈D ，存在惟一的x 2∈D ，使f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .已知f (x )＝lg x ，x ∈[10,100]，则函数f (x )＝lg x 在[10,100]上的均值为( )A.32B.34C.110D ．10 分析 该题通过定义均值的方式命题，以定义给出题目信息，是当前的一种命题趋势．其本质是考查关于对数和指数的运算性质和对定义的理解与转化．解析 首先从均值公式可得lg (x 1x 2)＝2c ，所以x 1x 2＝102c ＝100c .因为x 1，x 2∈[10,100]，所以x 1x 2∈[100,10 000]．所以100≤100c ≤ 10 000.所以1≤c ≤2.从选项看可知成为均值的常数可为32.故选A.答案 A例16 函数y ＝|log 2x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值为( )A ．3 B.34 C ．2 D.23分析 对函数的性质的分析研究一直是高中数学的重点，尤其是二次函数、指数函数和对数函数等重点函数的形态研究．本题正是以函数y ＝log 2x 为基础而编制，从定性分析和定量的计算中刻划a ，b 的关系．结合函数的图象(图象是函数性质的立体显示)数形结合易于寻找、确定二者的关系．解析 画出函数图象如图所示．由log 2a ＝－2得a ＝14.由log 2b ＝2得b ＝4.数形结合知a ∈[14，1]，b ∈[1,4]．考虑函数定义域，满足值域[0,2]的取值情况可知，当b ＝1，a ＝14时，b －a 的最小值为1－14＝34.故选B.答案 B解题要学会反思解题中的反思是完善解题思路的有效方法，面对一道较为综合的题，寻找解题思路时，想一步到位，往往不太现实；边解边反思，逐步产生完善、正确的解题思路，却是可行的，请看：题目：已知函数f (x )＝log m x －3x ＋3，试问：是否存在正数α，β，使f (x )在[α，β]上的值域为[log m (β－4)，log m (α－4)]？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．甲：在[α，β]上的值域为[log m (β－4)，log m (α－4)]，也就是⎩⎪⎨⎪⎧log mα－3α＋3＝log m (β－4)，log mβ－3β＋3＝log m(α－4)⇒⎩⎪⎨⎪⎧αβ－5α＋3β＝9，αβ－5β＋3α＝9⇒α＝β，与α<β矛盾，故不存在．乙：你的解答不全面，你的求解建立在一个条件的基础上，就是函数f (x )是增函数，而题目并没有说明这个函数是增函数呀！丙：没错，应该对m 进行讨论． 设0<α≤x 1<x 2≤β，由于x 1－3x 1＋3－x 2－3x 2＋3＝6(x 1－x 2)(x 1＋3)(x 2＋3)<0，那么0<x 1－3x 1＋3<x 2－3x 2＋3.讨论：(1)若0<m <1，则log m x 1－3x 1＋3>log m x 2－3x 2＋3，即f (x 1)>f (x 2)，得f (x )为减函数．(2)若m >1，则log m x 1－3x 1＋3<log m x 2－3x 2＋3，即f (x 1)<f (x 2)，得f (x )为增函数． 若m 存在，当0<m <1时，则 ⎩⎪⎨⎪⎧log mβ－3β＋3＝log m(β－4)，log mα－3α＋3＝log m(α－4)⇒⎩⎪⎨⎪⎧β2－2β－9＝0，α2－2α－9＝0. 显然α，β是方程x 2－2x －9＝0的两根，由于此方程的两根中一根为正，另一根为负，与0<α<β不符，因此m 不存在；当m >1时，就是甲的解题过程，同样满足条件的α，β不存在．老师：乙和丙实质上是对甲的解法做了个反思．通过你们的讨论可以看出，反思的作用相当大，它可以使思路逐步完善，最终形成完美的解题过程．对数函数高考考点例析对数函数是高中数学函数知识的重要组成部分，关于对数函数的考查在高考中一直占有重要的地位．下面我们针对近几年高考中考查对数函数知识的几个着眼点作一一剖析，希望对大家的学习有所帮助．考点一 判断图象交点个数1．(湖南高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1，x 2－4x ＋3， x ＞1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 作出函数f (x )与g (x )的图象，如图所示，由图象可知：两函数图象的交点有3个． 答案 C考点二 函数单调性的考查2．(江苏高考)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，＋∞考点三 求变量范围3．(辽宁高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ， x ≤1，1－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12，即x >1，所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．答案 D考点四 比较大小(一)图象法4．(天津高考)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c＝log 2c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 解析由2a>0，∴log 12a >0，∴0<a <1.同理0<b <1，c >1， ∴c 最大在同一坐标系中作出y ＝2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝log 12x 的图象如图所示， 观察得a <b .∴a <b <c . 答案 A (二)排除法当我们面临的问题不易从正面入手直接挑选出正确的答案或解题过程繁琐时，可以从反面入手，因为选择题的正确答案已在选项中列出，从而逐一考虑所有选项，排除其中不正确的，则剩下的就是正确的答案．5．(全国高考)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 解析 首先比较a ，b ， 即比较3ln 2,2ln 3的大小， ∵3ln 2＝ln 8＜ln 9＝2ln 3， ∴a ＜b .故排除B 、D. 同理可得c ＜a . 答案 C (三)媒介法对于直接比较困难时，常插入媒介，以此为桥梁进行比较，常插入0或1.6．(山东高考)下列大小关系正确的是( ) A ．0.43>30.4<log 40.3 B ．0.43<log 40.3<30.4 C ．log 40.3<0.43<30.4 D ．log 40.3<30.4<0.43 解析 分析知0<0.43<1,30.4>30＝1， log 40.3<log 41＝0，故log 40.3<0.43<30.4.故选C. 答案 C (四)特值法对于有些有关对数不等式的选择题，通过取一些符合条件的特殊值验证，往往也能简便求解．7．(青岛模拟)已知0<x <y <a <1，则有( ) A ．log a (xy )<0 B ．0<log a (xy )<1 C ．1<log a (xy )<2 D ．log a (xy )>2解析 取x ＝18，y ＝14，a ＝12，代入log a (xy )检验即可得D.答案 D。

§2.2.1对数与对数运算3（换底公式及对数的应用）班级：高一（ ） 姓名： 学号：学习目标：1、理解并掌握对数的换底公式2、运用对数运算性及公式质解决有关问题学习重点、难点：对数的换底公式，对数运算性质及公式的灵活应用自主预习：一、知识梳理：问题引入：数学史上，人们通过大量努力，制作了常用对数表、自然对数表，只要通过查表就可求出任意正数的常用对数或自然对数。

那么有没有方法把其他底的对数转换为以10或e 为底的对数呢？对数的底数能否随意转换?探究：设M b a =log （0>a 且 1≠a ,b>0）由对数的意义有，b a M =，显然M a ＞0，两边取常用对数得：_______________∵ 0>a ，∴M b a lg lg =•，又1≠a ,∴0lg ≠a ，∴M a b lg lg = ，即 【总结】更一般地，可得对数的换底公式：【归纳提升】1. 注意换底公式的结构特点：右边分子、分母所换的底必须是同一底，且为真数的对数除以底数的对数。

2. 当b ≠1且b ＞0时，存在倒数关系：二、自我检测1、计算下列各式的值 (1) log 98 log 3227 ; (2) 235111log log log 125323••三、学点探究探究1：对于底不同的对数的运算例1、 计算（1）32log 9log 38⨯ （2）a c c a log log •（3）)2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+变式训练一：应用对数换底公式化简下列各式1、（1）16log 25log 9log 125274••（2）)3log 3)(log 2log 2(log 8493++方法小结1：利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想，在解题过程中应注意：1、针对具体问题，选择恰当的底数；2、注意换底公式与对数运算法则结合使用3、换底公式的正用与逆用探究2、对数换底公式的应用例2、已知518,9log 18==b a ，用a 、b 来表示45log 36变式训练二：1、30log ,53,2log 33表示、用b a a b ==2.已知32=x ，y =38log 4，则x+2y= .3.设p =3log 8，q =5log 3，则lg5= （用含p 、q 的式子表示） 课后作业：1、应用对数换底公式化简下列各式(1) 84log 27log 9； (2) log 225 log 34 log 59 ;2、 若0>a 且 1≠a ，x ，y ∈R 且xy ＞0则下列各式正确的是 ： ① x x a a log 2log 2= ； ②||log 2log 2x x a a =； ③y x xy a a a log log )(log +=； ④||log ||log )(log y x xy a a a +=3、已知lg2=a,lg3=b ，用a,b 表示代数式log 2716=4、已知 lgN=alnN ; lnN=b lgN, 则a= , b=5、已知514,7log 14==b a ，求28log 356、设3a =4b =36，求21a b +的值7、已知m a =8log ,n a =5log ,请求n m a 2+的值.课后反思：。

一、选择题1．将指数式2a =b 写成对数式为A ．log 2b =aB ．log a b =2C ．log 2a =bD ．log b 2=a【答案】A【解析】指数式2a =b 所对应的对数式是：log 2b =a ．故选A ．2．若log a b •log 3a =5，则b =A ．a 3B ．a 5C ．35D ．53 【答案】C3．如果log 3x =log 6x ，那么x 的值为A ．1B ．1或0C ．3D ．6【答案】A【解析】∵log 3x =log 6x ，36log 1log 1==0，而对数函数3log y x =，6log y x =在x >0时，具有单调性，因此x =1．故选A ．4．1411log 9+1511log 3= A ．lg3B ．–lg3C ．1lg3D ．–1lg3【答案】C 【解析】原式=191log 4+131log 5=131log 2+131log 5=131log 10=log 310=1lg3．故选C ．5．若x =12log 16，则x = A．–4 B ．–3 C ．3 D ．4【答案】A【解析】∵x =12log 16，∴2–x =24，∴–x =4，解得x =–4．故选A ．6．log 8127等于A ．34B ．43C ．12D ．13【答案】A【解析】log 8127=3lg334lg34=．故选A ． 7．计算lg （103–102）的结果为A ．1B ．32C ．90D ．2+lg9【答案】D8．若x log 34=1，则4x +4–x 的值为A ．3B ．4C ．174D ．103【答案】D【解析】∵x log 34=1，∴43log x =1，则4x =3，∴4x +4–x =3+11033=，故选D ． 9．273log 16log 4的值为 A ．2 B ．32 C ．1 D ．23【答案】D【解析】原式=164332734433log 2log log 23log log 3==．故选D ．二、填空题10．已知log 3（log 2x ）=1，那么x 的值为__________．【答案】8【解析】由log 3（log 2x ）=1，得log 2x =3，解得x =8．故答案为：8．11．已知lg2=a ，lg3=b ，用a ，b 的代数式表示lg12=__________．【答案】2a +b【解析】lg12=lg （3×4）=lg3+2lg2=2a +b ．故答案为：2a +b ．12．求值：2log 510+log 50.25–log 39=__________．【答案】0【解析】原式=()25log 100.25⨯–2=25log 5–2=2–2=0．故答案为：0．13．若lg2=a ，lg3=b ，则log 418=__________．（用含a ，b 的式子表示）【答案】22a b a+14．若log 32=log 23x ，则x =__________．【答案】223(log ) 【解析】∵log 32=log 23x ，∴32321log log x =，∴223(log )x =．故答案为：223(log )． 三、解答题15．计算（log 43+log 83）（log 32+log 92）的值．【解析】（log 43+log 83）（log 32+log 92）=lg3lg3lg2lg2lg4lg8lg3lg9⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=lg3lg3lg2lg22lg23lg2lg32lg3⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ =1111524364+++=． 16．解方程：log 2（x –1）+log 2x =1．【解析】∵log 2（x –1）+log 2x =1，∴log 2（x –1）x =1， ∴x （x –1）=2，解得x =–1或x =2，经检验，得x =–1是增根，x =2是原方程的解，∴x =2．17．计算：（1）lg 12–lg 58+lg12.5–log 89•log 34+0.5log 32； （2）0.21log 35-–（log 43+log 83）（log 32+log 92）．（2）0.21log 35-–（log 43+log 83）（log 32+log 92） =5÷51log 35–（log 6427+log 649）（log 94+log 92）=15–5362lg3lg2lg2lg3⨯ =15–1512=554． 18．解关于x 的方程：lg （x 2+1）–2lg （x +3）+lg2=0．【解析】∵lg （x 2+1）–2lg （x +3）+lg2=0，∴()2221lg (3)x x ++=0，∴()2221(3)x x ++=1，解得x =–1或x =7，经检验满足条件．∴方程的根为：x =–1或x =7．。

4．3.2 对数的运算学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一 对数运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 知识点二 换底公式1．log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)log a N ＝1log N a (N >0，且N ≠1；a >0，且a ≠1)；(2)log n m a b ＝mnlog a b (a >0，且a ≠1，b >0)；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a >0，b >0，c >0，d >0，且a ≠1，b ≠1，c ≠1)． 预习小测 自我检验1．计算log 84＋log 82＝________. 『答 案』 12．计算log 510－log 52________. 『答 案』 13．(1)lg 10＝________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea ＝________.『答 案』 (1)12 (2)0.84.log 29log 23＝________. 『答 案』 2一、对数运算性质的应用 例1 计算下列各式： (1)log 53625；(2)log 2(32×42)； (3)log 535－2log 573＋log 57－log 595.解 (1)原式＝13log 5625＝13log 554＝43.(2)原式＝log 232＋log 242＝5＋4＝9.(3)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2. 反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 跟踪训练1 计算下列各式的值： (1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2； (2)lg3＋25lg9－35lg 27lg81－lg27.解 (1)原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg5－lg2＋2lg2 ＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝lg3＋45lg3－910lg34lg3－3lg3＝⎝⎛⎭⎫1＋45－910lg3(4－3)lg3＝910. 二、对数换底公式的应用例2 (1)计算：(log 43＋log 83)log 32＝________. 『答 案』 56『解 析』 原式＝⎝⎛⎭⎫1log 34＋1log 38log 32 ＝⎝⎛⎭⎫12log 32＋13log 32log 32 ＝12＋13＝56. (2)已知log 189＝a ,18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示) 解 因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(2×18)＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .延伸探究若本例(2)条件不变，求log 915.(用a ，b 表示) 解 因为18b ＝5，所以log 185＝b . 所以log 915＝log 1815log 189＝log 18(3×5)log 189＝log 183＋log 185a ＝log 189＋ba＝1218log9ba＝12log189＋ba＝12a＋ba＝a＋2b2a.反思感悟 利用换底公式化简与求值的思路跟踪训练2 (1)log 89log 23的值是( )A.23B.32C ．1D ．2 『答 案』 A『解 析』 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数， 即log 89log 23＝lg9lg8lg3lg2＝2lg33lg2·lg2lg3＝23. 方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数， 即log 89log 23＝log 29log 28log 23＝2log 233log 23＝23. (2)计算：log 52·log 79log 513·log 734.解 原式＝log 52log 513·log 79log 73423122114233log 2log log 23log 3==⋅＝－12·log 32·3log 23＝－32.三、对数的综合应用例3 2018年我国国民生产总值为a 亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍？(lg2≈0.3010，lg1.08≈0.0334，精确到1年) 解 设经过x 年后国民生产总值为2018年的2倍． 经过1年，国民生产总值为a (1＋8%)， 经过2年，国民生产总值为a (1＋8%)2， …，经过x 年，国民生产总值为a (1＋8%)x ＝2a ， 所以1.08x ＝2，所以x ＝log 1.082＝lg2lg1.08＝0.30100.0334≈9，故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍． 反思感悟 解决对数应用题的一般步骤跟踪训练3 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)满足e v ＝⎝⎛⎭⎫1＋Mm 2000(e 为自然对数的底数，ln3≈1.099)．当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．解 因为v ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm 2000 ＝2000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ， 所以v ＝2000·ln3≈2000×1.099＝2198(m/s)．故当燃料质量M 为火箭质量m 的两倍时，火箭的最大速度为2198m/s.1．计算：log 123＋log 124等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 『答 案』 A2．若lg2＝m ，则lg5等于( ) A ．m B.1m C ．1－m D.10m『答 案』 C 『解 析』 lg 5＝lg102＝lg 10－lg 2＝1－m . 3．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．62B ．122C ．log 63D.12『答 案』 C『解 析』 原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 4．下列各等式正确的为( ) A ．log 23·log 25＝log 2(3×5) B ．lg3＋lg4＝lg(3＋4) C ．log 2xy＝log 2x －log 2yD ．lg nm ＝1n lg m (m >0，n >1，n ∈N *)『答 案』 D『解 析』 A ，B 显然错误，C 中，当x ，y 均为负数时，等式右边无意义． 5．计算：log 513·log 36·log 6125＝________.『答 案』 2『解 析』 原式＝lg 13lg5·lg6lg3·lg 125lg6＝－lg3lg5·lg6lg3·－2lg5lg6＝2.1．知识清单： (1)对数的运算性质． (2)换底公式． (3)对数的实际应用． 2．方法归纳：(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度． (2)利用结论log a b ·log b a ＝1，log n m a b ＝m n log a b 化简求值更方便．3．常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆．。

§2.2对数函数2.2.1 对数与对数运算第1课时对数学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点).知识点1 对数1.对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.2.常用对数与自然对数【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )(2)对数式log32与log23的意义一样.( )(3)对数的运算实质是求幂指数.( )提示(1)×因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√由对数的定义可知(3)正确.知识点2 对数的基本性质 (1)负数和零没有对数. (2)log a 1＝0(a >0，且a ≠1). (3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1). 【预习评价】若log 32x －33＝1，则x ＝________；若log 3(2x －1)＝0，则x ＝________.解析 若log 32x －33＝1，则2x －33＝3，即2x －3＝9，x ＝6；若log 3(2x －1)＝0，则2x －1＝1，即x ＝1. 答案 6 1题型一 对数的定义【例1】 (1)在对数式y ＝log (x －2)(4－x )中，实数x 的取值范围是________； (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. ①54＝625；②log 216＝4；③10－2＝0.01；④log5125＝6.(1)解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －2>0，x －2≠1，解得2<x <4且x ≠3.答案 (2，3)∪(3，4)(2)解 ①由54＝625，得log 5625＝4. ②由log 216＝4，得24＝16. ③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. ④由log5125＝6，得(5)6＝125.规律方法 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 【训练1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)43＝64；(2)ln a ＝b ；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ；(4)lg 1000＝3.解 (1)因为43＝64，所以log 464＝3；(2)因为ln a ＝b ，所以e b＝a ；(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ，所以log 12n ＝m ； (4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000. 题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 【例2】 (1)求下列各式的值.①log 981＝________.②log 0.41＝________.③ln e 2＝________. (2)求下列各式中x 的值. ①log 64x ＝－23；②log x 8＝6；③lg 100＝x ；④－ln e 2＝x .(1)解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2；②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0，即log 0.41＝0；③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2. 答案 ①2 ②0 ③2(2)解 ①由log 64x ＝－23得x ＝64－23＝43×(－23)＝4－2＝116； ②由log x 8＝6，得x 6＝8，又x >0，即x ＝816＝23×16＝2；③由lg 100＝x ，得10x＝100＝102，即x ＝2； ④由－ln e 2＝x ，得ln e 2＝－x ，所以e －x＝e 2， 所以－x ＝2，即x ＝－2.规律方法 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想.在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解. (2)基本方法.①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算.【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x 的值. (1)log 2x ＝－12；(2)log x 25＝2；(3)log 5x 2＝2.解 (1)由log 2x ＝－12，得2－12＝x ，∴x ＝22. (2)由log x 25＝2，得x 2＝25. ∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5. (3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0， ∴x ＝5或x ＝－5.题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值 【例3】 (1)71－log 75；(2)100⎝⎛⎭⎪⎪⎫12lg 9－lg 2； (3)alog ab ·log bc(a ，b 为不等于1的正数，c >0).解 (1)原式＝7×7－log 75＝77log 75＝75. (2)原式＝10012lg 9×100－lg 2＝10lg 9×1100lg 2＝9×1102lg 2 ＝9×110lg 4＝94.(3)原式＝(alog ab )log bc＝blog bc＝c .规律方法 对数恒等式a log a N ＝N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可.(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.【训练3】 (1)设3log 3(2x ＋1)＝27，则x ＝________.(2)若log π(log 3(ln x ))＝0，则x ＝________. 解析 (1)3log 3(2x ＋1)＝2x ＋1＝27，解得x ＝13.(2)由log π(log 3(ln x ))＝0可知log 3(ln x )＝1，所以ln x ＝3，解得x ＝e 3. 答案 (1)13 (2)e 3课堂达标1.有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log 3(－5)＝－5成立.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析 (1)正确；(2)，(3)，(4)不正确. 答案 B2.使对数log a (－2a ＋1)有意义的a 的取值范围为( ) A.a >12且a ≠1B.0<a <12C.a >0且a ≠1D.a <12解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1>0，a >0，a ≠1，解得0<a <12.答案 B3.方程lg(2x －3)＝1的解为________.解析 由lg(2x －3)＝1知2x －3＝10，解得x ＝132.答案1324.计算：2log 23＋2log 31－3log 77＋3ln 1＝________.解析 原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0. 答案 05.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. (1)2－3＝18；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫17a ＝b ；(3)lg 11 000＝－3；(4)ln 10＝x .解 (1)由2－3＝18可得log 218＝－3；(2)由⎝ ⎛⎭⎪⎫17a＝b 得log 17b ＝a ；(3)由lg 11 000＝－3可得10－3＝11 000；(4)ln 10＝x 可得e x＝10.课堂小结1.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a ab ＝b ；(2)a log a N ＝N .2.在关系式a x＝N 中，已知a 和x 求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N 求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算. 3.指数式与对数式的互化基础过关1.有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.①②D.③④解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故①②正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，故③错误；若e ＝ln x ，则x ＝e e，故④错误. 答案 C2.log a b ＝1成立的条件是( ) A.a ＝b B.a ＝b 且b >0 C.a >0，a ≠1D.a >0，a ＝b ≠1解析 由log a b ＝1得a >0，且a ＝b ≠1. 答案 D3.设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －b 的值为( )A.107B.710C.1049D.4910解析 3a －b＝3a÷3b＝3log 310÷3log 37＝10÷7＝107.答案 A4.若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________. 解析 由题意知1－x ＝(1＋x )2， 解得x ＝0或x ＝－3.验证知，当x ＝0时，log (1－x )(1＋x )2无意义， 故x ＝0时不合题意，应舍去.所以x ＝－3. 答案 －35.若log 3(a ＋1)＝1，则log a 2＋log 2(a －1)＝________.解析 由log 3(a ＋1)＝1得a ＋1＝3，即a ＝2，所以log a 2＋log 2(a －1)＝log 22＋log 21＝1＋0＝1. 答案 16.将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式. (1)35＝243；(2)2－5＝132；(3)log 1381＝－4；(4)log 2128＝7.解 (1)log 3243＝5；(2)log 2132＝－5；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－4＝81；(4)27＝128.7.求下列各式中的x 的值. (1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2； (4)log 5(log 2x )＝0； (5)x ＝log 2719.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2， ∴x ＝(3＋22)－12＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1.∴x ＝21＝2. (5)由x ＝log 2719，得27x＝19，即33x＝3－2， ∴x ＝－23.能力提升8.对于a >0且a ≠1，下列说法正确的是( )(1)若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；(2)若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；(3)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；(4)若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A.(1)(2)B.(2)(3)(4)C.(2)D.(2)(3)解析 (1)中若M ，N 小于或等于0时，log a M ＝log a N 不成立；(2)正确；(3)中M 与N 也可能互为相反数且不等于0；(4)中当M ＝N ＝0时不正确. 答案 C9.已知log 3(log 5a )＝log 4(log 5b )＝0，则a b的值为( ) A.1 B.－1 C.5D.15解析 由log 3(log 5a )＝0得log 5a ＝1，即a ＝5，同理b ＝5，故a b＝1. 答案 A 10.方程3log 2x ＝127的解是________. 解析 3log 2x ＝3－3，∴log 2x ＝－3，x ＝2－3＝18.答案 1811.若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b＝________.解析 设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，则a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k ，即4a ＝2k，27b ＝3k ，所以108ab ＝6k，∴108ab ＝a ＋b ，∴108＝1a ＋1b.答案 10812.(1)若f (10x)＝x ，求f (3)的值； (2)计算23＋log 23＋35－log 39.解 (1)令t ＝10x，则x ＝lg t ，∴f (t )＝lg t ，即f (x )＝lg x ，∴f (3)＝lg 3. (2)23＋log 23＋35－log 39＝23·2log 23＋353log 39 ＝23×3＋359＝24＋27＝51.13.(选做题)若log 2(log 12(log 2x ))＝log 3(log 13(log 3y ))＝log 5(log 15(log 5z ))＝0，试确定x ，y ，z 的大小关系.解 由log 2(log 12(log 2x ))＝0，得log 12(log 2x )＝1，log 2x ＝12，x ＝212＝(215)130.由log 3(log 13(log 3y ))＝0，得log 13(log 3y )＝1，log 3y ＝13，y ＝313＝(310)130.由log 5(log 15(log 5z ))＝0，得log 15(log 5z )＝1，log 5z ＝15，z ＝515＝(56)130.∵310>215>56，∴y >x >z .。

2.2.1 对数与对数运算(二)自主学习1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么，(1)log a (MN )＝______________；(2)log a M N＝____________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )．2．对数换底公式：________________________.对点讲练正确理解对数运算性质【例1】 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x ＋ log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x(2)对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④对数运算性质的应用【例2】 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.换底公式的应用【例3】 设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．规律方法 换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 142＝a ，用a 表示log 27.1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．5．两个常用的推论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b (a 、b >0且均不为1)．课时作业一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为( )A ．14B ．8C ．22D ．27二、填空题6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么lg 1.8＝______________.7．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝____________.三、解答题8．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.9．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.2.2.1 对数与对数运算(二) 答案自学导引1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N(3)n log a M2．log a b ＝log c b log c a对点讲练【例1】 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．] 变式迁移1 (1)A(2)C [在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有 M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立．]【例2】 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7) ＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.【例3】 解 由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9.(2)由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2(1a －1)＝2(1－a )a. 课时作业1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]2．B [log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b.] 3．A [由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12， ∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.] 4．A [由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.] 5．C6.a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg 1.8 ＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg 2＋lg 9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．2解析 由log 63＋log 6x＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.8．解 (1)方法一 原式＝12(5 lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)方法一 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10·lg 52＋lg 4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg 10＝1. 方法二 原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg 22＝1－2lg 2＋lg 22＋2lg 2－lg 22＝1.9．解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b,又∵log 189＝a ，∴log 365＝log 185lg 1836＝b log 18(18×2) ＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189 ＝b 1＋(1－log 189)＝b 2－a.。

第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算(第一课时)学习目标①理解对数的概念;②能够说明对数与指数的关系;③掌握对数式与指数式的相互转化.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:在新课标高中数学A版必修1中P57第二章2.1.2的例8中,我们能从关系y=13×1.01x中,算出任意一个年头x的人口总数.反之,如果问“哪一年的人口达到18亿,20亿,30亿,…”,该如何解决?二、自主探索,尝试解决问题2:在问题1列出的式子中,x分别等于多少?这一问题也就是:若a x=N,已知a和N如何求指数x(其中,a>0,且a≠1)为了解决这一问题,古代的数字家创造了“对数”来表示x,即对数的定义:注意:①底数的限制: ;②对数的书写格式;另外,在以后学习对数的过程中我们还要经常用到两种特殊的对数,即1.常用对数:以10为底的对数;log10N简记为.2.自然对数:以无理数e=2.71828…为底的对数;log e N简记为.三、信息交流,揭示规律问题3:由对数的定义知,对数由指数式转化而来,那么指数式a x=N与对数式x=log a N之间的关系是什么?怎样应用?当a>0,且a≠1时,即指数式⇔幂底数←a→指数←x→幂←N→问题4:我们要注意到,a x=N中的a>0且a≠1,因此,log a N=x也要求a>0且a≠1;还有log a N=x中的真数N能取什么样的数呢?这是为什么?四、运用规律,解决问题【例1】指数式化为对数式:(1)41=4,61=6,7.81=7.8;(2)40=1,60=1,7.80=1.问题5:由例1中的log44=1,log66=1,log7.87.8=1与log41=0,log61=0,log7.81=0,我们大胆猜测,可以发现什么规律?怎么证明?结论:log a1=,log a a=(其中,a>0,且a≠1).证明:【例2】求下列各式的值.(1)=;=;0.=.(2)log223=;log334=;log0.50.5100=.问题6:由例2中的两个小题,我们大胆猜测,可以发现什么规律?怎样证明? 结论:对数恒等式,=,log a a n=.证明:【例3】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:(1)54=625;(2)2-6=;(3)()m=5.73;(4)log39=2;(5)log5125=3;(6)lo16=-4.五、变式演练,深化提高【例4】求下列各式中x的值:(1)log64x=-;(2)log x8=6;(3)lg100=x;(4)-lne2=x.六、反思小结,观点提炼1.对数定义(关键);2.指数式与对数式互化(重点);3.求值(重点).七、作业精选,巩固提高1.课本P68练习题第1,2,3,4题;2.课外阅读:P68对数的发明.参考答案一、设计问题,创设情境=1.01x,=1.01x,=1.01x二、自主探索,尝试解决问题2:一般地,如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.注意:①a>0,且a≠1;②(如图);1.lg N2.ln N三、信息交流,揭示规律问题3:指数式⇔对数式幂底数←a→对数底数指数←x→对数幂←N→真数问题4:因为a>0且a≠1,所以a x=N>0.因此,log a N=x中真数N也要求大于零,即负数与零一定没有对数.四、运用规律,解决问题【例1】解:(1)log44=1,log66=1,log7.87.8=1;(2)log41=0,log61=0,log7.81=0.问题5:0;1.证明:把a1=a,a0=1(其中,a>0,且a≠1)化为对数式,即得到上述结论.【例2】(1)3;4;100.(2)3;4;100.问题6:N;n.证明:(1)由a x=N与x=log a N得=N;(2)由a n=a n得log a a n=n.【例3】解:(1)log5625=4;(2)log2=-6;(3)lo5.37=m;(4)32=9;(5)53=125;(6)()-4=16.五、变式演练,深化提高【例4】解:(1)因为log64x=-,则x=6=(43=4-2=;(2)因为log x8=6,所以x6=8,x==(23;(3)因为lg100=x,所以10x=100,10x=102,于是x=2;(4)因为-lne2=x,所以lne2=-x,e2=e-x,于是x=-2.。

《换底公式》课时作业1．log 49343等于( ) A ．7 B ．2 C.23 D.32答案 D解析 log 49343＝lg343lg49＝3lg72lg7＝32.2．log 29×log 34＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析 log 29×log 34＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.3.log 89log 23＝( ) A.23 B.32 C ．1 D ．2 答案 A解析 原式＝lg9lg8lg3lg2＝2lg33lg2lg3lg2＝23，故选A.4．log 2353可以化简为( ) A ．log 25 B ．log 52 C ．log 85 D ．log 2125答案 A5．若log 23·log 3m ＝12，则m ＝( )A ．2 B. 2 C ．4 D ．1答案 B解析 ∵log 23·log 3m ＝log 2m ＝12，∴m ＝2 12＝2，故选B.6．若f (e x )＝x ，则f (5)等于( ) A ．log 5e B ．ln5 C ．e 5 D ．5e答案 B7．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36＝( ) A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b 答案 B8．设a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( ) A ．a －2 B ．5a －2 C ．3a －(1＋a )2 D ．3a －a 2－1 答案 A解析 原式＝3log 32－2(1＋log 32)＝a －2. 9．log 24＋log 33＝________. 答案 92解析 原式＝log 24log 22＋log 3312＝212＋12＝92.10．2513log 527＋4log 1258＝________. 答案 2 30411．若a >0，a 23 ＝49，则log 23 a ＝________.答案 312．若4a ＝25b ＝10，则1a ＋1b ＝________.答案 213.(log 32)2－log 34＋1＋log 94＝________. 答案 114．已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg5＝________.(用p ，q 表示) 答案q p ＋q解析 方法一：lg5＝log 65log 610＝q log 62＋log 65＝qp ＋q.方法二：⎩⎨⎧lg2lg6＝p ，lg5lg6＝q ⇒{ 1－lg5＝p lg6，lg5＝q lg6⇒lg5＝qp ＋q .15．若log a b ·log b c ·log c 3＝2，则a 的值为________． 答案316．计算下列各式的值． (1)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)； (2)log 2732·log 6427＋log 92·log 427.解析 (1)原式＝(log 32＋12log 32)×(12log 23＋13log 23)＝32log 32×56log 23＝54.(2)原式＝53log 32×36log 23＋12log 32×12log 2332＝56＋12log 32×34log 23＝56＋38＝2924. 17．已知log 142＝a ，用a 表示log27.解析 方法一：∵log 142＝a ，∴log 214＝1a .∴1＋lo g 27＝1a .∴log 27＝1a －1.∴log 27＝log 27log 22＝log 272.∴log 27＝2log 27＝2(1a －1)＝2(1－a )a .方法二：log 142＝log 22log 214＝2log 27＋2＝a ，∴2＝a (log 27＋2)，即log 27＝2(1－a )a. 方法三：log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22)＝2(1a －1)＝2(1－a )a .1．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y ＝( )A.13 B ．3 C ．－13D ．－3答案 A解析 ∵x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000， ∴1x ＝log 1 0002.5，1y＝log 1 0000.25. ∴1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13，故选A. 2．log 43·log 13 432＝________.答案 －58解析 原式＝log 43·(－14log 332)＝－14×log 432＝－14×log 2225＝－14×52＝－58. 3．lg9＝a,10b ＝5，用a ，b 表示log 3645为________． 答案a ＋ba －2b ＋2解析 由已知b ＝lg5，则log 3645＝lg45lg36＝lg5＋lg9lg4＋lg9＝a ＋b a ＋2lg2＝a ＋b a ＋2(1－b )＝a ＋b a －2b ＋2.4．计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)． 解析 方法一：原式＝(log 253＋log 225log 24＋log 25log 28)(log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125) ＝(3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22)(log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55)＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13.方法二：原式＝(lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8)(lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125)＝(3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2)(lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5)＝(13lg53lg2)(3lg2lg5)＝13.5．已知2x ＝3，log 483＝y ，求x ＋2y 的值．解析 ∵x ＝log 23，y ＝12(log 28－log 23)，∴x ＋2y ＝log 23＋3－log 23＝3.6．已知lg 87＝a ，lg 5049＝b ，用a ，b 表示lg2，lg7.解析 ∵lg 87＝a ，∴3lg2－lg7＝a .①∵lg5049＝b ，∴2－lg2－2lg7＝b .② 由①②可得lg2＝2a －b ＋27，lg7＝6－a －3b7.《对数函数的概念、图像和性质》课时作业1．函数y ＝log (x －1)(3－x )的定义域为( ) A ．(1,3) B ．(－∞，3) C ．(1,2)∪(2,3) D ．(－∞，1)答案 C解析 由{ x －1>0，x －1≠1，－x >0，得1<x <3且x ≠2，故选C.2．log 43，log 34，log 3443的大小顺序是( )A ．log 34<log 43<log 34 43B ．log 34>log 43>log 34 43C ．log 34>log 34 43>log 43D ．log 3443>log 34>log 43答案 B解析 ∵log 34>1,0<log 43<1，log 3443<0，∴选B.3．若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A ．(0，23)B ．(23，＋∞)C ．(23，1)D ．(0，23)∪(1，＋∞)答案 D解析 ∵log a 23<1＝log a a ，当a >1时，⎩⎨⎧a >1，23<a ，得a >1；当0<a <1时，⎩⎨⎧0<a <1，23>a ，得0<a <23.综上，选D.4．如图，曲线是对数函数y ＝lo g a x 的图像，已知a 的取值有43，3，35，110，则相应c 1，c 2，c 3，c 4的a 的值依次是( )A.3，43，110，35B.3，43，35，110C.43，3，35，110D.43，3，110，35 答案 B解析 利用例2中关于图像的结论，亦可用特殊值法，例如令x ＝2，则比较log 43 2，log 32，log 35 2，log 1102的大小．5．若log a (π－3)<log b (π－3)<0，a ，b 是不等于1的正数，则下列不等式中正确的是( ) A ．b >a >1 B ．a <b <1 C ．a >b >1 D ．b <a <1答案 A解析 ∵0<π－3<1，log a (π－3)<log b (π－3)<0， ∴a ，b ∈(1，＋∞)且b >a ，∴选A.6．设P ＝log 23，Q ＝log 32，R ＝log 2(log 32)，则( ) A ．R <Q <P B ．P <R <Q C ．Q <R <P D ．R <P <Q 答案 A解析 P >1,0<Q <1，∵0<log 32<1， ∴log 2(log 32)<0，∴P >Q >R .7．若0<a <1，则函数y ＝log a (x ＋5)的图像不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 A解析 ∵y ＝log a (x ＋5)过定点(－4,0)且单调递减， ∴不过第一象限，选A.8．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg2 B ．lg32 C ．lg 132 D.15lg2答案 D解析 令x 5＝2，∴x ＝2 15. ∴f (2)＝lg2 15 ＝15lg2，故选D.9．函数y ＝1log 0.5(4x －3)的定义域为( )A ．(34，1)B ．(34，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(34，1)∪(1，＋∞)答案 A10．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |log 12x ≥12，则∁R A ＝( )A ．(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪[22，＋∞) D ．[22，＋∞) 答案 A11．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0且a ≠1)在同一坐标系中的图像只可能是( )答案 A12．函数y ＝log a (x －2)＋3(a >0且a ≠1)恒过定点______． 答案 (3,3)13．比较大小，用不等号连接起来． (1)log 0.81.5________log 0.82； (2)log 25________log 75； (3)log 34________2； (4)log 35________log 64. 答案 (1)> (2)> (3)< (4)>14．求不等式log 2(2x －1)<log 2(－x ＋5)的解集． 解析 ∵{ 2x －1>0，－x ＋5>0，x －1<－x ＋5，得12<x <2.∴不等式的解集为{x |12<x <2}．15．求函数y ＝2－xlg (x ＋3)的定义域．解析 要使函数有意义，必须且只需{ 2－x ≥0，x ＋3>0，x ＋3≠1，即{ x ≤2，x >－3，x ≠－2.∴－3<x <－2或－2<x ≤2.∴f (x )的定义域为(－3，－2)∪(－2,2]． ►重点班·选做题16．函数y ＝log 2x 和y ＝lo g 124x 的图像关于直线( )对称( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．y ＝1D ．y ＝－1 答案 D17．若正整数m 满足10m －1＜2512＜10m ，则m ＝______.(lg2≈0.301 0) 答案 155解析 由10m －1＜2512＜10m ，得m －1＜512lg2＜m .∴m －1＜154.12＜m ，∴m ＝155.1．已知f (x )＝1＋lg(x ＋2)，则f －1(1)的值是( )A ．1＋lg3B ．－1C ．1D ．1＋lg2 答案 B2．求下列函数定义域． (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log x ＋1(16－4x )．思路点拨 (1)真数要大于0，分式的分母不能为0，(2)底数要大于0且不等于1，真数要大于0.解析 (1)由{ x －2>0，x －3≠0，得x >2且x ≠3. ∴定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4x >0x ＋1>0x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <4x >－1x ≠0，解得－1<x <0或0<x <4. ∴定义域为(－1,0)∪(0,4)．。

对数运算与对数函数1下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）A . e °= 1 与 ln1 = 0 C . Iog 39= 2 与一 3 1 D . Iog 77= 1 与 7 = 7 2.若 xlog 23= 1,则 3x +9x的值为( ) 6C . 2) lg2- lg3 C .—) B .D . A . 3 B .3. 若2X = 3,则x 等于( A . Iog 32 B .4. 下列等式中一定正确的是( A . _C . _ — — x 的最大整数”，如［-2］ =- 2, ［ - 1. 5.已知符号［X ］表示“不超过 [log 2-]+[log 厂]+[log 厂]+[log 21]+[Iog 22]+[Iog 23]+[log 24]的值为( A . - 1 B . - 2C . 06. 下列函数是对数函数的是( )A . y = Iog 3 (x+1)B . y = log a (2x ) (a > 0，且 a 丰 1)C . y = InxD .>，且27. 函数f (x ) = ( a +a - 5) log a x 为对数函数，则f (一)等于( A . 3B . - 3C . - log 36&对数式log (a -2) (5 - a )中实数a 的取值范围是()A . (-R, 5)B . (2, 5)C . (2, 3)U( 3, 5)D . (2, +^)=-2, [2.5] = 2,则 ) D . 1)D . - log 389.函数y --------------- 的定义域为（）B . [1 , + a)C . [0, -]D . (-a, 0)U(-, +m )214.已知函数f (x )= lg (ax - 2x+a )的值域为R ，则实数a 的取值范围为()A . [ - 1 , 1]B . [0 , 1]C . (-a,- 1)U( 1, +a)D . ( 1 , +a)215. 已知函数f (x )= log a (x+2) +3的图象恒过定点(m , n ),且函数g (x )= mx - 2bx+n 在[1 , + a)上单调递减，则实数 b 的取值范围是()C . （1 , 2）U （ 2, +a ） 10•如图所示曲线是对数函数D . (1, 2)U [3 , +a)y = log a x 的图象，已知a 的取值为，-)，则相应11.若A.a vb vc B . b v c v a12.设a = log 43, -0 1b = log 86,c = 0.5 ，则( A .a >b >c B . b > a > c D. , , ,—，则（ )C.a v c vb D . b v a v c)C .c > a > bD . c > b > a R ，则 k 的取值范围（)A . (0, 一)图象C 1, C 2, C 3, C 4中的a 的值依次为（B .A . [1 , + a)B . [ — 1 , + a)C . (-a,- 1 )D . (-a, 1 )16. 已知定义域为 R 的偶函数f(x )在(0］上是减函数，且>2的解集为( )A .，—B . (2, +C .，- —D .,-17.-—;-a18.已知4 : =8,2 = 9 = 6,且一 — ，贝U a+b = X 49, -tH m 人 占 At TlZ Z —\log 535，则 log 535= 19.设 35 = 右用含x 的形式表示 20. __________________________________________________ 已知 2lg f x -2y )= Igx+lgy ，则—___________________________________________________________ .221. _______________________________________________________ 函数y _ (x +2x - 3)的单调递减区间是 ____________________________________________________ .222. _________________________________________________________________ 若函数y = log a (x - ax+1 )有最小值，则 a 的取值范围是 ____________________________________ . 23. ________________________________________________________________ 已知函数f (x )= lg|x - 1|,下列命题中所有正确的序号是 _______________________________________ .(1)函数f (x )的定义域和值域均为R ;(2) 函数f (x )在(-R,1)单调递减，在(1, +8)单调递增；(3) 函数f (x )的图象关于y 轴对称； (4) 函数f (x+1)为偶函数； (5) 若 f (a )> 0 则 a v 0 或 a > 2. 24. 已知函数 (3 - ax ) (0且a ^± 1)在［0 , 2］上是减函数，则实数范围是 ______________ .25. 若函数f(x )= loga(x - 1)( a > 0且a 丰1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是2 226. 函数y =( x ) x +5在2< x < 4时的值域为 ___________ .2,则不等式f(log 4x )a 的取值27. 若24a= 12.将下列各式用a的代数式表示(1)log242; (2) log243.28. 计算下列各式的值:29. 计算下列各式：（只写出结果）(1) —___________(2) Iog23?log34?log45?log52= _______(3) 一(4) = =______(5) 已知:Igx+lgy = 2lg (2x—3y),则30. 已知f( x)= 1+log2x (1 w x w 4),求g (x)= f (x) +f ( x2)的值域.x x+131. 已知函数f (x)= log2 (- 4 +5?2 - 16).(1 )求f (x)的定义域；(2)求f (x)在区间［2 , log27］上的值域.32. 已知函数一(I)若函数f (x)是R上的奇函数，求a的值；(H)若函数f (x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；(川)若函数f (x)在区间［0 , 1］上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.33.设为奇函数，a为常数.(1)确定a的值(2)求证：f ( 乂)是(1, + 上的增函数m取值> - 恒成立，求实数(3)若对于区间［3 , 4］上的每一个x值，不等式范围.34.已知f (x)是定义在[-1, 1]上的奇函数，且f (1) = 1,若a, b€[ - 1, 1],且a+b^ 0,有---------- > 恒成立.(1)判断f (x)在[-1, 1]上的单调性，并证明你的结论；(2)解不等式 f (Iog2x)v f (Iog43x)的解集；m的取值(3)若f(x)w m2- 2am+1 对所有的x€[ - 1, 1], a €[ - 1, 1]恒成立，求实数范围.。

数学·必修1(人教A 版)2.2 对 数 函 数 2．2.1 对数与对数运算(一)►基础达标1．若x ＝log 2719，则x 等于( )A ．－23B ．－32C.23D.322．对数式log a －2(5－a )＝b 中，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2，＋∞) D ．(2,3)∪(3,5)3．若lg x ＝0，则x ＝________；若lg x ＝1，则x ＝________. 答案：1 104．若ln x ＝1，则x ＝______；若ln(ln x )＝0，则x ＝______. 答案：e e5．log 31－2x9＝0，则x ＝________. 答案：－46．求下列对数式中x 的值： (1)log 2x ＝－53；(2)log x 3＝－35.►巩固提高7．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④若e ＝ln x ，则x ＝e 2.其中正确的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④9．若log2[log3(log4x)]＝0，则x＝__________.1．根据需要可将指数式与对数式相互转化，从而实现化难为易，化繁为简．2．进行化简求值变形时，必须紧扣对数的概念与对数的性质．数学·必修1(人教A 版)2.2.2 对数与对数运算(二)►基础达标1．lg a 与lg b 互为相反数，则( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．ab ＝1 D.ab ＝1答案：C2．在log (a －2)2中，a 的取值范围是________．3．已知log 5[log 4(log 3x )]＝0，则x ＝________. 答案：814．求值：log 23×log 38＝________.5．(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．46．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 512等于( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a►巩固提高7．(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2 lg 5的值是( ) A ．4 B ．1 C ．6 D ．3 答案：B9．求值：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.10．求值：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．1．条件代数式的求值问题包括以下三个方面：①若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手；②若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化成结论的形式；③若条件与结论的复杂程度相差无几时，可同时对它们进行化简，直到找出它们之间的联系为止．2．利用换底公式统一对数的底数，即化异为同是处理含不同底的对数的常用方法． 3．在化简、求值、证明等问题中，要把换底公式与对数的运算性质结合起来． 4．有时需将对数式log a 5log a 3写成log 35后解决有关问题．。