人教A版数学必修一《对数与对数运算》(一)教案

2.2.1 对数与对数运算第一课时 对数的概念 三维目标定向 〖知识与技能〗理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。

〖过程与方法〗 从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒等式。

〖情感、态度与价值观〗增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值，形成正确的价值观。

教学重难点：指、对数式的互化。

教学过程设计 一、问题情境设疑引例1：已知2524,232==，如果226x =，则x = ？ 引例2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设2006年我国国内生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国内生产总值比2006年翻两番？分析：设经过x 年国内生产总值比2006年翻两番，则有a a x4%)81(=+，即1.08 x = 4。

这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式ba N =中，求b 的问题。

能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把x 表示出来。

二、核心内容整合1、对数：如果)10(≠>=a a N a x且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作Nx a log =。

其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当 a > 0且1a ≠时，Nx N a a x log =⇔=（符号功能）——熟练转化如：1318log 131801.101.1=⇔=x x ，4 2 = 16 ⇔ 2 = log 4 162、常用对数：以10为底10log N写成lg N ；自然对数：以e 为底log e N写成ln N （e = 2.71828…）3、对数的性质：（1）在对数式中N = a x > 0（负数和零没有对数）；（2）log a 1 = 0 , log a a = 1（1的对数等于0，底数的对数等于1）；（3）如果把b a N =中b 的写成log a N ，则有N a N a =log （对数恒等式）。

§3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算(一)一．教学目标：1．知识技能：①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；②理解和掌握对数的性质；③掌握对数式与指数式的关系.2.过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.3．情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质.（3）在学习过程中培养学生探究的意识.（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.二．重点与难点：（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质（2）难点：对数性质的推导三．学法与教具：（1）学法：讲授法、讨论法、类比分析与发现（2）教具：投影仪教学过程[问题情境] 对数,延长了天文学家的生命.“给我空间、时间和对数,我可以创造一个宇宙”,这是16世纪意大利著名学者伽利略的一段话.从这段话可以看到,伽利略把对数与最宝贵的空间和时间相提并论.那么,“对数”到底是什么呢？本节就来探讨这个问题.探究点一 对数的概念问题1 若24＝M ,则M 等于多少？若2－2＝N ,则N 等于多少？答： M ＝16,N ＝14. 问题2 若2x ＝16,则x 等于多少？若2x ＝14,则x 等于多少？ 答： x 的值分别为4,－2.问题3 满足2x ＝3的x 的值,我们用log 23表示,即x ＝log 23,并叫做“以2为底3的对数”.那么满足2x ＝16,2x ＝14,4x ＝8的x 的值如何表示？ 答： 分别表示为log 216,log 214,log 48. 小结： 1.在指数函数f (x )＝a x (a ＞0,且a ≠1)中,对于实数集R 内的每一个值x ,在正实数集内都有唯一确定的值y 和它对应;反之,对于正实数集内的每一个确定的值y ,在R 内都有唯一确定的值x 和它对应.幂指数x ,又叫做以a 为底y 的对数.一般地,对于指数式a b ＝N ,我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ,即b ＝log a N (a >0,a ≠1).其中,数a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以a 为底N 的对数”.2.对数log a N (a >0,且a ≠1)的性质(1)0和负数没有对数,即N >0;(2)1的对数为0,即log a 1＝0;(3)底的对数等于1,即log a a ＝1.3.常用对数以10为底的对数叫做常用对数.为了简便起见,对数log 10N 简记作lg N .探究点二 对数与指数的关系问题1 当a >0,且a ≠1时,若a x ＝N ,则x ＝log a N ,反之成立吗？为什么？答：反之也成立,因为对数表达式x ＝log a N 不过是指数式a x ＝N 的另一种表达形式,它们是同一关系的两种表达形式.问题2 在指数式a x ＝N 和对数式x ＝log a N 中,a ,x ,N 各自的地位有什么不同？答问题3 若a b ＝N ,则b ＝log a N ,二者组合可得什么等式？答：对数恒等式:a ＝N .问题4 当a >0,且a ≠1时,log a (－2),log a 0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？ 答：不存在,因为log a (－2),log a 0对应的指数式分别为a x ＝－2,a x ＝0,x 的值不存在,由此能得到的结论是:0和负数没有对数.问题5 根据对数定义,log a 1和log a a (a >0,a ≠1)的值分别是多少？答：log a 1＝0,log a a ＝1.∵对任意a >0且a ≠1,都有a 0＝1, ∴化成对数式为log a 1＝0; ∵a 1＝a ,∴化成对数式为log a a ＝1.小结： 对数log a N (a >0,且a ≠1)具有下列性质:(1)0和负数没有对数,即N >0;(2)1的对数为0,即log a 1＝0;(3)底的对数等于1,即log a a ＝1.例1 求log 22, log 21, log 216, log 212. 解： 因为21＝2,所以log 22＝1;因为20＝1,所以log 21＝0;因为24＝16,所以log 216＝4;因为2－1＝12,所以log 212＝－1. 小结： log a N ＝x 与a x ＝N (a >0,且a ≠1,N >0)是等价的,表示a ,x ,N 三者之间的同一种关系,可以利用其中两个量表示第三个量.因此,已知a ,x ,N 中的任意两个量,就能求出另一个量. 跟踪训练1 将下列指数式写成对数式:(1)54＝625; (2)2－6＝164; (3)3a ＝27; (4)⎝⎛⎭⎫13m ＝5.73. 解： (1)log 5625＝4;(2)log 2164＝－6;(3)log 327＝a ;(4)log 135.73＝m . 例2 计算:(1)log 927; (2)log 4381; (3)log 354625.解：(1)设x ＝log 927,则9x ＝27,32x ＝33,∴x ＝32. (2)设x ＝log 4381,则⎝⎛⎭⎫43x ＝81,3＝34,∴x ＝16.(3)令x ＝log 354625,∴⎝⎛⎭⎫354x ＝625,5＝54,∴x ＝3.小结：要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求解.跟踪训练2 求下列各式中的x 的值:(1)log 64x ＝－23; (2)log x 8＝6; (3)lg 100＝x . 解： (1)x ＝(64) －23＝(43) －23＝4－2＝116.(2)x 6＝8,所以x ＝(x 6) 16＝816＝(23) 16＝212＝ 2.(3)10x ＝100＝102,于是x ＝2.探究点三 常用对数问题 阅读教材96页下半页,说出什么叫常用对数？常用对数如何表示？答：以10为底的对数叫做常用对数.通常把底10略去不写,并把“log”写成“lg”,并把log 10N 记做lg N .如果以后没有指出对数的底,都是指常用对数.如“100的对数是2”就是“100的常用对数是2”.例3 求lg 10,lg 100,lg 0.01.解：因为101＝10,所以lg 10＝1;因为102＝100,所以lg 100＝2;因为10－2＝0.01,所以lg 0.01＝－2.小结：由本例题可以看出,对于常用对数,当真数为10n (n ∈Z )时,lg 10n ＝n ;当真数不是10的整数次方时,常用对数的值可通过查对数表或使用科学计算器求得.跟踪训练3 求下列各式中的x 的值:(1)log 2(log 5x )＝0;(2)log 3(lg x )＝1; (3)log (2－1)13＋22＝x .解： (1)∵log 2(log 5x )＝0. ∴log 5x ＝20＝1,∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1,∴lg x ＝31＝3,∴x ＝103＝1 000.(3)∵log (2－1)13＋22＝x ,∴(2－1)x ＝13＋22＝1(2＋1)2＝12＋1＝2－1, ∴x ＝1.当堂检测1.若log (x ＋1)(x ＋1)＝1,则x 的取值范围是( B ) A.x >－1B.x >－1且x ≠0C.x ≠0D.x ∈R 解析：由对数函数的定义可知x ＋1≠1，x ＋1>0即x >－1且x ≠0.2.已知log 12x ＝3,则x 13＝__12______.解析：∵log 12x ＝3,∴x ＝(12)3, ∴x 13＝12. 3.已知a 12＝49(a >0),则log 23a ＝__4______.解析：由a 12＝49(a >0),得a ＝(49)2＝(23)4, 所以log 23a ＝log 23(23)4＝4. 4.将下列对数式写成指数式:(1)log 16＝－4;(2)log 2128＝7;(3)lg 0.01＝－2.解：(1)⎝⎛⎭⎫12－4＝16;(2)27＝128; (3)10－2＝0.01.课堂小结：1.掌握指数式与对数式的互化a b ＝N ⇔log a N ＝b .2.对数的常用性质有:负数和0没有对数,log a 1＝0,log a a ＝1.3.对数恒等式有:a log a N ＝N ,log a a n ＝n .4.常用对数:底数为10的对数称为常用对数,记为lg N .。

对数的运算性质教案篇一：对数的运算性质(公开课教案)2.7.2 对数的运算性质教学目标（一）教学知识点1. 对数的基本性质.2. 对数的运算性质.(二) 能力训练要求1. 进一步熟悉对数的基本性质.2. 熟练运用对数的运算性质.3. 掌握化简,求值的技巧. 教学重点对数运算性质的应用.教学难点化简,求值技巧.教学方法启发引导法教学过程.一、复习回顾上节课，我们学习对数的定义，由对数的定义可得：Nab?N?b?log （a?0且a?1，N?0）a本节课，我们将在这基础上，结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质.二、讲授新课1 . 对数的基本性质a? 1 （a?0且a?1）由对数的定义可得：loga1?0 loga把b?logaN 代入ab?N 可得alog形式。

aN?N（a?0且a?1，N?0）上式称为对数恒等式，通过上式可将任意正实数N转化为以a 为底的指数bb把a?N 代入b?logaN 可得b?logaa （a?0且a?1）通过上式可将任意实数b转化为以a为底的对数形式。

例如：2?aloga2?logaa2（a?0且a?1）2 . 对数的运算性质接下来我们用指对数互化的思想，结合指数的运算性质来推导有关对数的运算性质。

指数的运算性质ap?aq?ap?q在上式中设ap?M，aq?N 则有MN?ap?q 将指数式转化为对数式可得：p?log M q?logN p?q?logMNaaa∴logM?loagN?alaoMgN（M?0 N?0 a?0且a?1）这就是对数运算的加法法则，用语言描述为：两个同底对数相加，底不变，真数相乘。

请同学们猜想：两个同底对数相减，结果又如何？logaM?logaN?logaMN证明如下：∵logaMN?Mloa?laNog?Nlo gaNM?log?N?)laoNg aNM?loNg ?logaa对数运算的减法法则：两个同底对数相减，底不变，真数相除。

根据上述运算法则，多个同底对数相加，底不变，真数相乘，N1?loagN2???即logalaoNgN?laNo1gN?2N n若N1?N2???NN?MM?则上式可化为nlogaloMgann?N?若将n的取值范围扩展为实数集R，上式是否还会成立？M?下证nlogaloMgan（M?0 a?0且a?1 n?R）pM?p 则有M?a 证明：设loga∴Mn?anp ∴logaMn?npnM?nloMg （M?0 a?0且a?1 n?R）即logaa对数的乘法法则：M的n次方的对数会等于M的对数的n倍。

《对数与对数运算》（第一课时）(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节)一、教学内容解析《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质.基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化.二、教学目标设置1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念；2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值；3.感受数学符号的抽象美、简洁美.本课时落实以上三个教学目标：通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。

根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念.通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值.恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性.三、学生学情分析1.认知基础从运算的角度来讲，加、乘、乘方运算中只有乘方的逆运算对数运算还没有学习.从函数的角度来说，高一的学生刚刚学习了集合、函数的概念、函数的表示方法和函数的一般性质，对函数有了初步的认识，在此基础上又学习了指数运算和指数函数，了解了研究函数的一般方法，经历过从特殊到一般，具体到抽象的研究过程，之后将在学习对数的基础上继续学习对数函数.2.问题诊断对数的概念对于学生来说，是全新的.形式地进行指数式与对数式之间的互化是容易的，在真正理解对数概念的基础上进行解题是有一定难度的，表现在两个方面：（1）不能将对数与普通的数平等对待，不理解对数的概念，只能够进行表面上的形式转换；（2）不能把“对数的实质是指数”应用在数学问题的解决中.基于以上分析，本节的教学难点是：（1）对数概念的理解；（2）对数的常用性质的概括.为了突破第一个难点，要在引入对数概念时，通过不同的实例，让学生感受到为什么要学习对数，是基于研究指数的需求才引入对数，因此对数的实质是指数；在形成概念时，要引导学生明确“对数是数”这一事实；在引入对数概念后，学生通过自主举例，具体感知个例，从对数概念外延的角度进行理解.本节的第二个难点是：“0和负数没有对数”这一性质的深入认识.在教学中最明显的例证是涉及到求定义域时，看到对数符号，不能如同看到分母一样，瞬间闪现出真数要大于0的限制，因此应该在学习对数伊始，就打好“0和负数没有对数”的认识基础.为了突破第二个难点，不要急于将现成的结论抛出，可以让学生在自主举例（感受个例）的基础上，尝试思考（分析通例）对数中的底数和真数可以取什么样的数，引导学生思考是不是所有的实数都有对数，哪些数有对数？为什么？通过互化和求值的练习，让学生逐渐地从内涵和外延两方面加深对数概念的理解.四、教学策略分析本节教学中，学习对数概念的过程就是认识的辨证发展过程：从实践到认识：通过具体情境，具体问题，具体对数的体验感知，遵循从具体到抽象的过程，来建立对数概念，从概念内涵的角度学习；再实践：形成概念之后，遵循从一般到特殊的思路，进行自主举例，感知个例，从概念外延的角度加深概念理解；再认识：理性分析通例（思考底数和真数的范围），又从特殊到一般进行概念的再认识；循环往复：在随后的练习巩固中，认识两种特殊的对数（常用对数和自然对数）和两种特殊的对数值（1的对数和底数的对数），来获得基于对数概念的运算性质，从而丰富学生对于对数概念的认知.突破难点的策略为：旧知新悟，适度模仿，归纳概括，自主举例.五、教学过程设计1.对数概念的形成1.1创设情境，引发思考【实际情境】网上的一则消息：有驴友挖到几枚恐龙蛋，送到权威机构做了碳14同位素鉴定，结果是白垩纪的恐龙蛋化石，现坐等博物馆上门收购.生物死亡后，它机体内原有的碳14含量，每经过大约6000年，会衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，研究人员常常根据机体内碳14的含量来推断生物体的年代，其中半衰次数x与碳14的含量P间的关系为：1()2x P.但是，当生物组织内的碳14含量低于千分之一时（这里我们按11024来计算），一般的放射性探测器就测不到碳14了.众所周知，恐龙生活在距今大约一亿年前的地球上，那么用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗？问题1：（1）经过1次半衰期，碳14的含量会变为原来的多少？3次呢？（2）经过几次半衰期，一般的放射性探测器就测不到碳14了呢？（3）用碳14同位素法能推断出恐龙蛋化石的年代吗？【预设的答案】12，18；10；不能【设计意图】对数概念不是凭空产生的，用考古鉴定这一实例，让学生感受“求指数”这样的问题是客观存在的，是源于实际生活的.【数学情境】解方程：（1）2x=2；（2）2x=3；（3）2x=4.【设计意图】创设数学情境，通过指数方程的实例，让学生感受在数学学习中，“求指数”这样的问题也是存在的，有必要研究这一类问题.问题2：以上几个问题的共同特征是什么？【活动预设】引导学生归纳概括出问题的共同特征：已知底数和幂，求指数x .1.2探究典例，形成概念活动：解方程：（1）2x =2； （2）2x =3； （3）2x =4.【活动预设】感受在求指数的过程中，有的指数可以直接写出结果，有的指数却不好表示.【设计意图】为引入对数符号表示指数做铺垫.问题3：以引例中的2x =3为例，分析x 的值存在吗？如果存在，符合条件的x 的值有几个？能估计出x 的大致范围吗？【活动预设】（1）根据函数图象，思考等式2x =3中指数x 的存在性，唯一性和大致范围；（2）类比：在学习求方程x 3=2的根时，为了表示底数x ，引入了数学符号：√，表示3次方为2的数；这里，我们引入对数符号来表示指数x ,将x 记作log 23.【设计意图】从引例中的具体问题入手，思考指数x 的存在性，唯一性和大致范围，为了表示指数，引入对数符号，在具体问题中体验用对数符号表示指数的过程.问题4：结合方程2x =3来思考，x =log 23中log 23表示什么？【活动预设】（1）分析log 23表示的含义；（2）感受：以2x =4为例，分析指数x 可以怎样用对数符号表示，以及该符号表示什么. 教师讲授：若a x =N （a >0，a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：N x a log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.【设计意图】理解具体的对数符号所表示的含义，并且在探究特例的基础上，遵循从具体到抽象的思路，形成对数概念.问题5：指数式与对数式是等价的，但a ，x ，N 在两个式子中的名称一样吗？【预设的答案】此处画上连线图，呈现指数式与对数式之间的关系。

对数与对数运算（一）三维目标一、知识与技能1.理解对数的概念.2.理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.3.了解自然对数和常用对数的概念以及对数恒等式.二、过程与方法1.通过探究对数的概念以及对数式和指数式之间的关系，明确数学概念的严谨性和科学性，感受化归的数学思想，使学生能用相互转化的观点辩证地看问题.2.通过计算器或计算机的演示，使学生加深对“N＞0”的理解，培养学生数学地分析问题的意识.3.通过探究、思考、反思、完善，培养学生理性思维能力.三、情感态度与价值观1.通过具体实例引出对数的概念，使学生感受到数学源于实际生活，激发学生的学习兴趣.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对数概念理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.3.通过指导学生阅读“对数的发展史”不断了解数学、走进数学，增强学生的数学素养.教学重点1.对数式和指数式之间的关系.2.对数的概念以及对数式和指数式的相互转化. 教学难点对数概念的理解以及对数符号的理解. 教具准备多媒体课件、投影仪、计算器或计算机、打印好的作业. 教学过程一、创设情景，引入新课（多媒体投影我国人口增长情况分析图，并显示如下材料） 截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？（精确到亿）师：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则y =13×1.01x.我们能从这个关系式中算出任意一个年头x 的人口总数.反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿……”该如何解决？（生思考，师组织学生讨论得出）由y =1.01x的图象可求出当y =1318、1320、1330时，相应的x 的值，实际上就是从1.01x=1318，1.01x=1320，1.01x=1330……中分别求出x .师：根据指数的有关知识，在关系式1.01x=1318中，要我们求解的量在什么位置？生：在等式左边的指数位置上.师：那么，要求x 的值，也就是让我们求指数式中的哪一个量？ 生：求指数x .师：这样，就出现了与前面学习指数时不同的一类问题——已知指数式的底数和幂值，求指数式的指数，这就是我们本节课所要研究的对数问题.（引入新课，书写课题——对数） 二、讲解新课（一）介绍对数的概念合作探究：若1.01x=1318，则x 称作是以1.01为底的1318的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？（生合作探究，师适时归纳总结，引出对数的定义并板书） 一般地，如果a x=N （a ＞0，且a ≠1），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.合作探究：根据对数的概念写出几个对数式，同桌之间互相检查写法是否正确.师：你如何理解“log ”和log a N ？ （生探讨，得出如下结论） 知识拓展：符号“log ”与“+，”等符号一样表示一种运算，log a N 是一个整体，表示以a 为底N 的对数，不表示log 、a 、N三者的乘积.读作以a为底N的对数，注意a应写在右下方.（二）概念理解合作探究：对数和指数幂之间有何关系？（生交流探讨得出如下结论）说明：括号内属填空、选择的题目.合作探究：是不是所有的实数都有对数呢？在对数式log a N=b 中，真数N可以取哪些值？为什么？（生讨论，结合指数式加以解释）∵在指数式中幂N=a b＞0，∴在对数式中，真数N＞0.（师借助计算器或计算机进行示范）可以发现真数为负数时，计算器会提示出错信息.师：条件N＞0说明了什么？生：负数与零没有对数.合作探究：根据对数的定义以及对数式和指数式的关系，试求log a1和log a a（a＞0，且a≠1）的值.（生根据对数式和指数式之间的关系，得出如下结论）∵对任意a＞0且a≠1，都有a0=1，∴log a1=0.同样，∵对任意a＞0且a≠1，都有a1=a，∴log a a=1.合作探究：a N a log=N、log a a b=b是否成立？（师生共同讨论，给出如下解释）（1）设a Na log =x ，则log a N =log a x ，所以x =N ，即a Na log =N .（2）∵a b =a b ，∴log a a b=b （对数恒等式）.师：对数运算在研究科学和了解自然中起了巨大的作用，其中有两类对数贡献最大，它们就是自然对数和常用对数.（师指导学生阅读课本第57页常用对数和自然对数的概念和记法，然后板书）（三）常用对数通常将以10为底的对数称为常用对数，如log 102、log 1012等，并把对数log 10N 简记为lg N ，如lg2、lg12等.（四）自然对数在科学技术中，常常使用以e （e=2.71828…是一个无理数）为底的对数，这种对数称为自然对数.正数N 的自然对数log e N 一般简记为ln N ，如ln2、ln15等.（五）例题讲解师：我们已经对对数的概念有了一定的理解，你能快速地完成下面练习吗？（投影显示如下例题）【例1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）54=625；（2）2－6=641；（3）（31）m =5.73；（4）log 2116=－4；（5）lg0.01=－2；（6）ln10=2.303.方法引导：进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色.（生口答，师板书）解：（1）log 5625=4；（2）log 2641=－6；（3）log 315.73=m ；（4）（21）－4=16；（5）10－2=0.01；（6）e2.303=10.【例2】 求下列各式中的x 的值：（1）log 64x =－32；（2）log x 8=6；（3）lg100=x ；（4）－lne 2=x .（师生共同讨论，师板书）解：（1）因为log 64x =－32，所以x =6432-=（43）32-=4－2=161； （2）因为log x 8=6，所以x 6=8，x =861=（23）61=221=2；（3）因为lg100=x ，所以10x=100，10x=102，于是x =2； （4）因为－lne 2=x ，所以lne 2=－x ，e 2=e －x，于是x =－2. 方法小结：在解决对数式求值问题时，若不能一下子看出结果，根据指数式与对数式的关系，首先将其转化为指数式，进一步根据指数幂的运算性质求出结果.（六）目标检测课本P 74练习第1，2，3，4题.（生完成，师组织学生进行课堂评价）解答：1.（1）log 28=3；（2）log 232=5；（3）log 221=－1；（4）log 2731=－31.2.（1）32=9；（2）53=125；（3）2－2=41；（4）3－4=811. 3.（1）设x =log 525，则5x =25=52，所以x =2； （2）设x =log 2161，则2x=161=2－4，所以x =－4；（3）设x =lg1000，则10x=1000=103，所以x =3； （4）设x =lg0.001，则10x=0.001=10－3，所以x =－3. 4.（1）1；（2）0；（3）2；（4）2；（5）3；（6）5. 三、课堂小结师：请同学们回顾一下本节课的教学过程，你觉得哪些知识你已经掌握？哪些东西你还没有掌握？（生总结，并互相交流讨论，师投影显示本课重点知识） 1.对数的定义及其记法； 2.对数式和指数式的关系； 3.自然对数和常用对数的概念. 四、布置作业 板书设计2.2.1 对数与对数运算（1）1.对数的定义2.对数式和指数式的关系3.自然对数和常用对数的概念 一、例题解析及学生练习 例1例2二、课堂小结与布置作业。

海南省文昌中学高中数学必修一：221对数与对数运算（一）教案教学目标（一） 教学知识点1． 对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求1．理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培育学生数学应用意识．（三）德育渗透目标1．熟悉事物之间的普遍联系与彼此转化；２．用联系的观点看问题； ３．了解对数在生产、生活实际中的应用． 教学重点 对数的概念． 教学难点 对数概念的理解． 教学进程 一、温习引入：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，若是每一年平均增加8%，那么通过量少年国民生产总值是2002年的2倍？()x %81+=2⇒x =?也是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？如何求呢？ 二、新授内容：概念：一般地，若是 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N ,就是N a b=，那么数 b 叫做以a为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数．b N N a a b =⇔=log例如：1642= ⇔ 216log 4=； 100102=⇔2100log 10=；2421= ⇔212log 4=； 01.0102=-⇔201.0log 10-=． 探讨：1。

是不是所有的实数都有对数？b N a =log 中的N 能够取哪些值？ ⑴ 负数与零没有对数（∵在指数式中 N ＞ 0 ）2．按照对数的概念和对数与指数的关系，=1log a ？ =a a log ？ ⑵ 01log =a ，1log =a a ；∵对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a 一样易知： 1log =a a ⑶对数恒等式若是把 N a b= 中的 b 写成 N a log , 则有 N aNa =log ．⑷常常利用对数：咱们通常将以10为底的对数叫做常常利用对数．为了简便,N 的常常利用对数N 10log 简记作lgN ． 例如：5log 10简记作lg5； 5.3log 10简记作.⑸自然对数：在科学技术中常常利用以无理数e=……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN ． 例如：3log e 简记作ln3； 10log e 简记作ln10．（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围),0(+∞． 三、讲解范例：例1．将下列指数式写成对数式： （1）62554= （2）64126=- （3）273=a(4)73.531=m ）（ 解：（1）5log 625=4； （2）2log 641=-6； （3）3log 27=a ； （4）m =73.5log 31． 例2． 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=； （2）7128log 2=； （3）201.0lg -=； （4）303.210ln =．解：（1）16)21(4=- （2）72=128； （3）210-=； （4）303.2e =10．例3．求下列各式中的x 的值：（1）32log 64-=x ； （2）68log =x （3）x =100lg （4）x e =-2ln 例4．计算： ⑴27log 9，⑵81log 43，⑶()()32log 32-+，⑷625log 345．解法一：⑴设 =x 27log 9 则 ,279=x3233=x , ∴23=x ⑵设 =x 81log 43 则()8134=x, 4433=x , ∴16=x⑶令 =x ()()32log 32-+=()()13232log -++, ∴()()13232-+=+x , ∴1-=x⑷令 =x 625log 345, ∴()625534=x, 43455=x , ∴3=x解法二：⑴239log 3log 27log 239399===； ⑵16)3(log 81log 1643344== ⑶()()32log 32-+=()()132log 132-=+-+;⑷3)5(log 625log 334553434==四、练习：(书P64`) 1.把下列指数式写成对数式(1) 32＝８； （２）52＝32 ； （３）12-＝21； （４）312731=-．解：(1)2log ８＝３ (2) 2log 32＝５ (3) 2log 21＝－１ (4) 27log 31＝－312.把下列对数式写成指数式(1) 3log ９＝２ ⑵5log １２５＝３ ⑶2log 41＝－２ ⑷3log 811＝－４ 解：(1)23＝９ (2)35＝１２５ (3)22-＝41 (4) 43-＝811 3.求下列各式的值(1) 5log 25 ⑵2log 161⑶lg 100 ⑷lg ⑸lg 10000 ⑹lg 解：(1) 5log 25＝5log 25＝２ (2) 2log 161＝－４ (3) lg 100＝２ (4) lg ＝－２ (5) lg 10000＝４ (6) lg ＝－４4.求下列各式的值(1) 15log 15 ⑵4.0log 1 ⑶9log 81 ⑷5..2log ⑸7log 343 ⑹3log 243 解：(1) 15log 15＝１ (2) 4.0log 1＝０ (3) 9log 81＝２ (4) 5..2log ＝２ (5) 7log 343＝３ (6) 3log 243＝５ 五、课堂小结⑴对数的概念； ⑵指数式与对数式互换； ⑶求对数式的值．。

2.2.1 对数运算一、教材分析本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.2对数运算的内容二、三维目标1．知识与技能（1）．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；（2）．理解和掌握对数的运算性质；（3）．掌握对数的运算性质的正逆转化。

2．过程与方法（1）通过实例了解对数运算，体会引入对数运算的必要性；（2）通过指数运算的观察分析得出对数运算的性质及换底公式；（3）通过分组探究进行活动，掌握对数运算的重要性质。

3．情感、态度与价值观（1）通过本节的学习体验数学的严谨性，培养细心观察、认真分析分析、严谨认真的良好思维习惯和不断探求新知识的精神；（2）感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性认知过程；（3）体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．三、教学重点教学重点：（1）对数运算的性质；（2）换底公式的灵活应用。

四、教学难点教学难点：推导对数的运算性质和换底公式的推导过程。

五、自主梳理1．对数的定义bNa=log其中),1()1,0(+∞∈a与,0(+∞∈N2．指数式与对数式的互化3.重要公式：⑴负数与零没有对数；⑵1log=a，log=aa六、重点领悟1、积、商、幂的对数运算性质：如果 a ＞ 0， a1，M ＞ 0， N ＞ 0 有： 证明：①设a log M=p, a log N=q ． 由对数的定义可以得：M=p a ，N=qa ． ∴MN= p a q a =q p a + ∴a log MN=p+q ， 即证得a log MN=a log M + a log N ．②设a log M=p ，a log N=q ． 由对数的定义可以得M=p a ，N=qa ． ∴q p q p a a a N M -== ∴q p N M a -=log 即证得N M N M a a a log log log -=． ③设alog M=P 由对数定义可以得M=p a , ∴n M ＝np a ∴a log n M =np ， 即证得a log n M =n a log M ． 2、换底公式：(),0;10;1,0log log log >≠>≠>=N c c a a aN N c c a 且且（4） 证明：设P N a =log由对数的定义可以得：a N N a N p a p N a N a N c c a c c c c p c c p log log log log log ,log log log log ,==⇒=⇒=⇒=即证得这个公式就叫做换底公式七、探究提升（1）负数和零没有对数；（2）1的对数是零：01log =a ；（3）底数的对数是1：1log =a a ： 八、学法引领 例1． 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式：32log )2(;(1)log zy x z xy a a ． 解：（1）zxy a log =a log （xy ）a log z=a log x+a log y a log z（2）32log z y x a =a log （2x 3log )z y a -= a log 2x +alog 3log z y a -=2a log x+z y a a log 31log 21-． 例2． 计算 （1）25log 5， （2）1log 4.0， （3）)24(log 572⨯， （4）5100lg 解：（1）5log 25= 5log 25=2 （2）4.0log 1=0．（3）2log （74×25）= 2log 74+ 2log 52= 2log 722⨯+ 2log 52 = 2×7+5=19．（4）lg 5100=52lg1052log10512==． 例3．计算：(1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+ (2) ;25log 20lg 100+(3) .18lg 7lg 37lg 214lg -+- 解：(1) 50lg 2lg )5(lg 2⋅+＝)15(lg 2lg )5(lg 2+⋅+＝2lg 5lg 2lg )5(lg 2+⋅+ ＝2lg )2lg 5(lg 5lg ++＝2lg 5lg +＝1；(2) 25log 20lg 100+＝5lg 20lg +＝100lg ＝2；(3)解法一：lg142lg 37+lg7lg18=lg(2×7)2(lg7lg3)+lg7lg(23×2) =lg2+lg72lg7+2lg3+lg72lg3lg2=0．解法二：lg142lg 37+lg7lg18=lg14lg 2)37(+lg7lg18=lg 01lg 18)37(7142==⨯⨯九、课堂练习1、练习：用表示下列公式：z y x lg ,lg ,lg（1）);lg(xyz （2）zxy 2lg ； （3）zxy 3lg ； （4）z y x 2lg 。

§2.2.1 对数与对数运算第一课时一．教学目标：1．知识技能：①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；②理解和掌握对数的性质；③掌握对数式与指数式的关系.2.过程与方法：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.3．情感、态度、价值观（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质.（3）在学习过程中培养学生探究的意识.（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.二．重点与难点：（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质（2）难点：推导对数性质的三．学法与教具：（1）学法：讲授法、讨论法、类比分析与发现（2）教具：投影仪四．教学过程：1．提出问题思考：（P62思考题）中，哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该如何解决？即：在个式子中，分别等于多少？象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.1、对数的概念一般地，若，那么数叫做以a为底N的对数，记作叫做对数的底数，N叫做真数.举例：如：，读作2是以4为底，16的对数.，则，读作是以4为底2的对数.提问：你们还能找到那些对数的例子2、对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制＞0，且≠1（2）指数式对数式幂底数←→对数底数指数←→对数幂←N→真数说明：对数式可看作一记号，表示底为（＞0，且≠1），幂为N的指数工表示方程（＞0，且≠1）的解.也可以看作一种运算，即已知底为（＞0，且≠1）幂为N，求幂指数的运算.因此，对数式又可看幂运算的逆运算.例题：例1（P63例1）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）54=645 （2）（3）（4）（5）（6）注：（5）、（6）写法不规范，等到讲到常用对数和自然对数后，再向学生说明.（让学生自己完成，教师巡视指导）巩固练习：P64练习1、23．对数的性质：提问：因为＞0，≠1时，则由１、0=1 ２、1=如何转化为对数式②负数和零有没有对数？③根据对数的定义，=？（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）由以上的问题得到①（＞0，且≠1）②∵＞0，且≠1对任意的力，常记为.恒等式：=N4、两类对数①以10为底的对数称为常用对数，常记为.②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，常记为.以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即.说明：在例1中，.例2：求下列各式中x的值（1）（2）（3）（4）分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：（1）（2）（3）（4）所以课堂练习：P64练习3、4补充练习：1.将下列指数式与对数式互化，有的求出的值.（1）（2）（3）（4）（5）（6）2．求且不等于1，N＞0）.3．计算的值.4．归纳小结：对数的定义＞0且≠1）1的对数是零，负数和零没有对数对数的性质＞0且≠1作业：P74习题2.2 A组1、2P75B组 1。