1静电场标势及微分方程

第二章 静电场带电体系：电荷静止，所激发的电场不随时间变化；给定自由电荷的分布以及周围空间介质或者导体的分布，运用电磁场理论求解这样的带电体系的电场。

§1 静电场的标势及其微分方程 1、 静电场的标势——静电势 麦克斯韦方程0 , ,=⋅∇∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇=⋅∇B tD J H tB E Dρ静电条件：()00==∂∂J t 物理量 将静电条件代入麦克斯韦方程得到00=⋅∇=⨯∇=⋅∇=⨯∇B H D Eρ✧ 在静电条件下，电场和磁场相互独立，可以分开求解；✧ 静电场是无旋场；自由电荷分布是D的源。

解决静电问题的基本方程： 微分方程0 =⨯∇=⋅∇E D ρ +边界条件f D D n σ=-⋅1221+介质的电磁性质方程静电势的定义：静电场的无旋性是静电场的一个重要的特征，其积分形式为0d =⋅⎰l E L——（1.3）“电场沿任一闭合回路的线积分等于零。

”将单位电荷从1P 点移至2P 点时电场对它所做的功⎰⋅21d P P l E将单位电荷从1P 点移至2P 点时电场对它所做的功与具体的路径无关，只与起点和终点有关。

0d =⋅⎰l E L0d d 21=⋅+⋅⎰⎰-C C l E l E0d d 21=⋅-⋅⎰⎰C C l E l E⎰⎰⋅=⋅21d d C C l E l E利用这一特点，引入电势的概念，是空间位置的标量函数（标势）； 定义两点间的电势差为⎰⋅-=-21d )()(12P P l E P Pϕϕ ——（1.4）推论：如果电场对（单位）正电荷做正功，则电势降低；只有两点的电势差才具有物理意义； 如果知道空间的电场的分布，则可以计算空间任意两点间的电势差；实际的计算中为了方便，常选取某个参考点，规定该点的电势为零，这样整个空间里的电势就有一个确定的值。

如果电荷分布在有限的空间里，则可以取无穷远处的电势为零，即()0=∞ϕ这样空间P 点的电势为()⎰∞⋅=Pl E P d ϕ相距为ld 的两点的电势的增量为l E dd ⋅-=ϕ式中()lz y x z y x zzy y x x z y x y y xd de d e d e e e e d d d d ⋅∇=++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕϕϕϕϕ从而得到，ϕ-∇=E——（1.5）如果知道了空间电势的分布情况，则可采用上式计算电场强度的分布。

点电荷的电势分布情况： 点电荷的电场分布()r r Q r E 304πε=()rQ r r Q r r r Q r E lE P rr rP 020304'd '4 'd ''4 'd d πεπεπεϕ==⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞多个点电荷所激发的电场的电势为每个点电荷所激发电场的电势的代数和。

()∑=ii i r Q P 04πεϕ对于电荷连续分布的情况：()()Vrx x Vd 4'0⎰=περϕ x代表场点的位置坐标；'x代表电荷源()V x d ' ρ的位置坐标；r 代表从源点到场点的距离。

电荷为线分布，则电势可表示为()()lr x x L d 4'0⎰=πελϕ如果空间中的电荷分布都给定，则可根据此公式求出空间里电势的分布，然后求得电场的分布；实际问题中，往往不是所有的电荷的分布都能预先给定的。

例题：均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为λ，求电势分布。

解：设场点P 到导线的垂直距离为R ，电荷元z d λ到P 点的距离为 EMBEDEquation.322R z +。

根据电势的计算公式()()lr x x L d 4'0⎰=πελϕ得到()()∞+∞-∞+∞-++=+=⎰220220ln 4 d 4Rz z zRz P πελπελϕ()22220222201111lnlim 4 lnlim 4Z R Z R R Z Z RZ Z P Z Z ++-++=++-++=∞→∞→πελπελϕ由于电荷的分布不是在有限的区域，导致上述积分发散。

实际上，有意义的只是两点间的电势差。

()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++-⋅++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-++-++-++=-∞→∞→2222022022022022022220011111111ln lim 41111ln1111ln lim 4Z R Z R Z R Z R Z R Z R Z R Z R P P Z Z πελπελϕϕ利用近似公式)( 1)1(为小量δδδn n+≈+得到()()()R R R R Z R Z R Z R Z R P P Z ln ln 2ln 4 212212ln lim 4002200222202202200-==⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=-∞→πελπελπελϕϕ 如果取0P 点为零电势点，即()00=P ϕ，则有()()R R P ln ln 200-=πελϕ根据电荷（电势）分布的对称性，电场只有径向分量R E ，R R E R 1210πεϕ=∂∂-=此结果与采用高斯定理求得的结果是一致的。

2、 静电势的微分方程和边值关系 1） 电势的微分方程对于均匀、各向同性、线性介质，有电磁性质关系E D ε= 由ρ=⋅∇D——（1.2）1.2） ϕ-∇=E——（1.5）得到()()ερϕx x -=∇2()xρ为自由电荷的分布；上式为静电势满足的微分方程，称为泊松方程。

2） 介质分界面上，静电势的边值关系： 考虑介质1和2分界面两侧相邻的两点1P 和2P ，这两点的电势差为⎰⋅-=-21d )()(12P P l E P Pϕϕ由于在介质的分界面处电场是有限，在积分路径非常小的情况下，右边的积分值趋近于零，因此介质分界面两侧的电势相等。

0)()(12=-P P ϕϕ或者)()(12P P ϕϕ=——（1.11）即在介质的分界面处电势是连续的；“电势连续”与“电场强度切向分量连续”的边界条件是完全等价的。

0)(1221=-⨯E E n从图中看出，由于电势连续，)()(2211P P ϕϕ=)()('22'11P P ϕϕ=从而有)()()()(22'2211'11P P P P ϕϕϕϕ-=- 假设从1P （'1P ）到2P （'2P ）的位矢为l∆ 则有l E P P ∆⋅-=-111'11)()(ϕϕl E P P ∆⋅-=-222'22)()(ϕϕ所以l E l E∆⋅=∆⋅21此式表示电场沿界面的切向分量相等。

在介质存在的情况下，有关电场的另一个边值关系()f D D n σ=-⋅1221——（1.10）表示电位移矢量法向与界面上自由电荷面密度之间的关系。

212221n E n ∂∂-=ϕ 211121n E n ∂∂-=ϕ对于介质/介质构成的分界面，上式可以表示为 利用2121111n n E D ε=2121222n n E D ε=从而得到σϕεϕε-=∂∂-∂∂21112122n n ——（1.12）总结静电势的边值关系：)()(12P P ϕϕ=σϕεϕε-=∂∂-∂∂21112122n n3、 导体静电学 1）导体的特点一般地，导体材料满足欧姆定律：E Jσ=在导体的内部，如果存在电场就会有电流存在。

2）静电条件下的导体在静电条件下，导体内部的电场强度必为零；在静电条件下，在导体内靠近界面处，电场的切向分量也必须为零；电场线处处与分界面垂直；导体的表面是等势面；整个导体是等势体。

根据E Dε=，可知0==⋅∇ρD ，即导体的内部不可能有净电荷，电荷只能分布在导体的表面。

3）静电条件下，导体/介质边界条件（导体称为介质1）0=⨯E nσ=⋅D n即：在分界面介质的一侧，电场的切向分量为零；4）有导体存在时静电势的边界条件：常数边界=ϕσϕε-=∂∂2122n导体的静电问题可分为两类：一类是给定导体上的总电荷，而电荷的分布由静电平衡条件决定；另一类是给定导体上的电势，求导体上的总电荷和电荷分布。

4、 采用电势表示静电场的能量 1）介质中电场能量的表达式对于线性介质，根据第一章公式（6.12），静电场的总能量为V D E W d 21⎰∞⋅=利用关系ρϕ=⋅∇-∇=D E,得到，()()ϕρϕϕϕϕ+⋅-∇=⋅∇+⋅-∇=⋅-∇=⋅D DD DD E此处利用了公式（I.19）()f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇ϕϕϕ将电场的能量改写为()⎰⎰⎰⎰⋅-=⋅∇-=∞∞∞SSD V VD V W d 21d 21 d 21d 21ϕϕρϕϕρ 由于我们考察的是体系的总能量，因此上述体积分是对全空间进行的，相应的面积分是对无限大的面进行的。

而对有限的电荷体系，其在无穷远处的电场为零，从而面积分的值为零。

能量的表达式变为V W d 21⎰∞=ϕρ说明：上式只有作为静电场的总能量才有效； 存在电场的地方就存在能量，而电场不局限于电荷的区域，因此()ϕρ21并不代表电场能量密度；对于导体系统，采用上述公式计算静电场的总能量最为方便（静电条件下的导体为等势体）当计算空间某一有限范围内的电场能量时，应采用公式VDEWVd21⎰⋅=。