静电场的标势及其微分方程

第二章 静电场带电体系：电荷静止，所激发的电场不随时间变化；给定自由电荷的分布以及周围空间介质或者导体的分布，运用电磁场理论求解这样的带电体系的电场。

§1 静电场的标势及其微分方程 1、 静电场的标势——静电势 麦克斯韦方程0 , ,=⋅∇∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇=⋅∇B tD J H tB E Dρ静电条件：()00==∂∂J t 物理量 将静电条件代入麦克斯韦方程得到00=⋅∇=⨯∇=⋅∇=⨯∇B H D Eρ✧ 在静电条件下，电场和磁场相互独立，可以分开求解；✧ 静电场是无旋场；自由电荷分布是D的源。

解决静电问题的基本方程： 微分方程0 =⨯∇=⋅∇E D ρ +边界条件f D D n σ=-⋅1221+介质的电磁性质方程静电势的定义：静电场的无旋性是静电场的一个重要的特征，其积分形式为0d =⋅⎰l E L——（1.3）“电场沿任一闭合回路的线积分等于零。

”将单位电荷从1P 点移至2P 点时电场对它所做的功⎰⋅21d P P l E将单位电荷从1P 点移至2P 点时电场对它所做的功与具体的路径无关，只与起点和终点有关。

0d =⋅⎰l E L0d d 21=⋅+⋅⎰⎰-C C l E l E0d d 21=⋅-⋅⎰⎰C C l E l E⎰⎰⋅=⋅21d d C C l E l E利用这一特点，引入电势的概念，是空间位置的标量函数（标势）； 定义两点间的电势差为⎰⋅-=-21d )()(12P P l E P Pϕϕ ——（1.4）推论：如果电场对（单位）正电荷做正功，则电势降低；只有两点的电势差才具有物理意义； 如果知道空间的电场的分布，则可以计算空间任意两点间的电势差；实际的计算中为了方便，常选取某个参考点，规定该点的电势为零，这样整个空间里的电势就有一个确定的值。

如果电荷分布在有限的空间里，则可以取无穷远处的电势为零，即()0=∞ϕ这样空间P 点的电势为()⎰∞⋅=Pl E P d ϕ相距为ld 的两点的电势的增量为l E dd ⋅-=ϕ式中()lz y x z y x zzy y x x z y x y y xd de d e d e e e e d d d d ⋅∇=++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕϕϕϕϕ从而得到，ϕ-∇=E——（1.5）如果知道了空间电势的分布情况，则可采用上式计算电场强度的分布。

静 势 静电势及其微分方程 微 方程汪 毅本章重点：静电势及其特性、分离变量法、镜象法本章难点： 本章难点电多极矩法、格林函数法静电势静电场遵循的方程：∇⋅ D = ρ ∇× E = 0表明静电场是无旋场，是保守力场，静电场的源为 自由电荷。

自由电荷 矢量场无旋，可以表示为任意标量的梯度静电场标势 [简称电势] 简称电势∇× E = 0ϕE = −∇ϕ静电势静电场安培环路定理：∫LE ⋅ dl = 0静电场力做功与路径无关只与两端点有关，定义P1 和P2两点间的电势差为 两点间的电势差为：ϕ ( P2 ) − ϕ ( P ) = − ∫ E ⋅ dl 1P 1P2实际计算中将无穷远处定义为电势的零点： 实际计算中将无穷远处定义为电势的零点ϕ ( P) = ∫P无穷远处E ⋅ dl静电势相距为dl的两点的电势差为：∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = − E ⋅ dl = dx + dy + y dz = ∇ϕ ⋅ dl ∂x ∂y ∂zE = −∇ϕ① ϕ 的选择不唯一，相差一个常数，只要知道 ϕ 即可确定E ② 取负号是为了与电磁学讨论一致 ③ ϕ 满足叠加原理电荷分布在有限区的静电势∞ Qdr ′ Qr ′ Q ⋅ dl = ∫ = a.点电荷: ϕ = ∫P 3 2 P 4πε r ′ 4πε 0 r ′ 4πε 0 r 0 n Qi b.电荷组: b 电荷组: ϕ = ∑ i =1 4πε 0 ri ∞c.无限大均匀线性介质中点电荷: 无限大均匀线性介质中点电荷ϕ=QQP Qf + QP Qf ϕf = ϕP = ϕ = ϕf +ϕP = = 4πε 0 r 4πε 0r 4πε0r 4πε rQfd.连续分布电荷: d 连续分布电荷:4πε rϕ=∫Vρ ( x′)dV ′ 4πε 0 r静电势的微分方程D = ε E,E =−∇ϕ ∇∇⋅D = ρ2⇒ ε∇⋅ E = −ε∇⋅∇ϕ = −ε∇ ϕ = ρρ 泊松方程： ∇ ϕ = − 松方程 ε 2 拉普拉斯方程： 拉普拉斯方程 ∇ ϕ = 02适用于均匀线性介质求解静电势ϕ仅需要一个偏微分方程，求解E却需 求解静电势 仅需要 个偏微分方程 求解E却需 要知道其散度和旋度。

₪静电场1.静电场的标势2.静电势的微分方程和边值关系3.静电场能量静电场2.1静电场的标势及其微分方程第2章₪静电场1.静电场的标势(２) 电标势的定义根据静电场无旋性，电场中任一闭合回路L 的环量等于零，C1、C 2是点a 到点b 的两条不同路径 1212d 0d d 0d d 功与路径无关L C C C C b a E l E l E l E l E l b a E dlC 1C 2a bL₪静电场1.静电场的标势(4) 电势参考点在有限的电荷分布于有限区域的情况下，可以选择无穷远处作为零电势参考点，则每一点的电势实际是该点与无穷远点的电势差，因而是有确定的物理意义的。

=PPP P E dl E dl1.静电场的标势(5) 零电势参考点的选取1.有限电荷分布于有限自由空间的情况，选取无穷远处作为零电势参考点；2.对于接地的带电体，选取地球或者接地处、或者接地的导体，作为零电势的参考点、或者参考面、或者参考体；QQ₪静电场₪静电场1.静电场的标势(5) 零电势参考点的选取3.对于电路而言，选取地线为零电势参考线；4.对于无限电荷分布于无限空间，根据题目条件选取参考点。

0地线火线零线拉线开关三孔插座₪静电场1.静电场的标势(6)电势与电场的关系PP E dl E 电势与电场可以由上面两个式子共同决定，相互制约的。

可以看出，只要确定电场分布或者电势的其中一个物理量，另外一个物理量就可以确定。

而且电场强度的方向是电势梯度方向（电势改变最快的方向）。

1.静电场的标势(７)关于电势的五点说明1.引入电势的优点：如果知道电势，只需要通过计算梯度，即可求出电场强度矢量。

这说明电势和电场强度矢量所包含的信息量是一样的，但是电场强度矢量有三个分量，而电势只是一个标量，因此通过引入电势这个量，可以将矢量问题约化为标量问题。

₪静电场₪静电场1.静电场的标势(７)关于电势的五点说明3.参考点的选择是任意的，选择不同的参考点电势会增加一个常数K ，K 是电场强度矢量在两个参考点之间的线积分。