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静电场的标势及其微分方程

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2-1_静电势及其微分方程

2-1_静电势及其微分方程
2-9
Qf
二、静电势的微分方程和边值关系 静电势的微分方程和边值关系 1.电势满足的方程 电势满足的方程 电势 泊松方程 导出过程
ρ ∇ ϕ =− ε
2
适用于均 匀介质
r 2 ⇒ε∇⋅ E = −ε∇⋅ ∇ϕ = −ε∇ ϕ = ρ
拉普拉斯方程
2-10
r r D = εE,
r E = −∇ϕ
r ∇⋅ D = ρ
Q
P
a
A 2 ϕ = + B (r > 0) 满足 ∇ ϕ = 0 r
2-20
(r > a)
r r ∇⋅ ∇ϕ ∝ −∇⋅ 3 = 0 r
(r ≠ 0)
r → ∞,ϕ → 0
B≡0
A ϕ= r
∂ϕ Q = − ε0 dS = ε 0 dS = ∂r r=a a2
∫
∫
∂ϕ ∂ϕ A = =− 2 ∂n ∂r r ε 0 A4π a2 A
σf =0
σ p = ε0 (E2n − E1n )
电磁性质方程： 电磁性质方程： 静电平衡时的导体： 均匀各向同性线性介质： ② 静电平衡时的导体： ① 均匀各向同性线性介质 r r r r r 导体内 J = σE = 0 σ ≠ 0 （ ） P = χeε0 E = (ε − ε0 )E r r r r r r r r E, D, P, ρ,L= 0 (D = ε0 E + P) D = εE σ 外表面 E = En = , Et = 0 r ε0 ε ρP = −∇⋅ P = ( −1)ρ ε 电荷分布在表面上， 电荷分布在表面上，电 r r r σ P = −n ⋅ (P − P ) 场处处垂直于导体表面 2 1
注意：考虑了束缚电荷， 注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质

第三章 静电场和稳恒磁场1

第三章 静电场和稳恒磁场1

y
r′
q′
r
q x
( x, y , z ) x = 0 = 0
(1)
ε
z
q
2
O v n 1 2 ε
q
4πε ( x a ) + y 2 + z 2 4πε r 由对称性：a, 0, 0 ) , q ( a, 0, 0 ) , q′ = q : (
r = 3ε 0 E 0 c o s θ
r=a
由真空中电偶极矩 v 在真空中产生的电势
P
v v P r = 4π ε 0 r 3
P P cos θ = 4π ε 0 r 2
v P = 4π ε 0 E 0 a 3
例2.
P75
解：电势是球对称，则 b1 1 = a1 + (R > R3 ) R b2 2 = a2 + ( R 2 > R > R1 ) R 条件：
v δ (x) = 0
v
∫ δ ( x )dV = 1
v x≠0 v x = 0 ∈V
v v x δ x x′ 表示 ( ) v 与 x = 0 的 δ 函数定义相较，则有
v v δ ( x x′) = 0
v v
v 处于 x′点上的单位点电荷密度用函数
∫ δ ( x x′)dV = 1
v v x ≠ x′ v x′ ∈V
1） 2 3） σ ∴
R = R1
R3
2
R2 R1 1
= 1
R→ ∞
= 0， 2 ） 2 ,σ
R = R3 2
R = R2
= 1
R = R3
1
= ε0
1 R
= ε0
2 R

电动力学课件：2-1-静电势及其微分方程1

电动力学课件：2-1-静电势及其微分方程1

① 知的道选择即不可唯确一定，相E差一个常数，只要
② 取负号
③ 满足迭加原理
Q
E E1
E1 E2
1
E2
2
\ 1 2 (1 2 )
2、电势差
d dl E dl
空间某点电势无物 理意义，两点间电 势差才有意义
Q
P Q
E dl
P
① 电场力作正功，电势下降 ( Q P ) 电场力作负功，电势上升 ( Q P )
1 1 r r 2l cos 2l cos
r r
r r
R 2 l 2 cos2
R2
(P) 2Ql cos 2QlRcos p R
4 0 R2
4 0 R3
4 0 R3
3. 42页例2 4．带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。
电荷分布在有限区，参
考点选在无穷远。根据
Q
P
对称性，导体产生的场
因为电荷分布在无穷区域，可选
R
空间任一点为参考点，为方便取
y
坐标原点电势
0 x
0 0 P
0
(P)
E
P
dl
E0
dl
P
E0
0
dl
E0
R
(P) 0 E0 R( 0 E0Z 0 E0Rcos )
2. 电偶极子产生的电势
解：电偶极子： 两个相距为
2l
的同量异号点电荷构成的
|s 常数
n s
Q dS dS
S
S n
En

三．静电场的能量
仅讨论均匀介质
1. 一般方程： 能量密度
w
1
E
D
2
总能量

第二章 静电场

第二章 静电场

一、静电场的标势
dz
ln( z z 2 R 2 )
40 z 2 R 2 40
由高斯定理得
E
2 0r
er
一、静电场的标势
(P ) (P0)
P0 E dl
P
R0 dr ln R0 ln R
R 20 r 20 R 20 R0
若取P0点为参考点，即规定 (P0 ) 0 ，则 (P ) ln R 20 R0
二、静电场的微分方程和边值关系
对于静电场来说，求电势分布时，可以解 满φ足 的微分方程，但是要把 唯φ一确定下来，还必须知
道初始条件和边界条件。
二、静电场的微分方程和边值关系 在均匀各向同性的线性电介质中，
D E, E
D ρ
(E ) ()
2 /
称为泊松(Poisson)方程.
三、静电场的总能量
W
1 2
dV
1 2
(D )dV
V (D)dV SD dS
W
1 2
dV
（1.14）
三、静电场的总能量
W
1 2
dV
（1.14）
值得说明的是： ① （1.14）式表明，能量只与存在电荷分布的空间
有关，但并不是只有电荷分布的区域才有能量。
三、静电场的总能量
W
1 2
V
dV
取导体为介质1，介质为介质2。
φ1 ＝常量（即导体为等势体）
2
2
n
二、静电场的微分方程和边值关系
常量
（1.11a）
n
（1.12a）
导体为介质1，介质为介质2，n 的方向由导体指向 介质。
三、静电场的总能量
W
1 2

电动力学标势微分方)

电动力学标势微分方)


C1
E dl E dl 0
C2

C1
E dl E dl
C2
电荷由P1点移至P2点时电场 对它所作的功与路径无关， 只和两端点有关。
5
相距为dl的两点的电势差
d E dl
由于
d dx dy dz dl x y z
因此，电场强度E等于电势φ的负梯度
E
当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已 知电势φ时，通过求梯度就可以求得电场强度。
6Leabharlann E 0 0
E
d E dl
(P)

P
E dl
( P2 ) ( P1 )
13
式中右边第二项散度体积分化为面积分
r 0 (D)dV D dS
所以
1 W dV 2
14
例 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。
解
方法之一: 按电荷分布
整个导体为等势
1 1 W dV Q a 2 2
16
1 2 E P1 P2 0
1 2
2 1 2 1 n n
11
法向电场不连续
理解：导体的静电平衡（电荷不动）
1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； 2、导体内部电场为零； 3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为 等势面，整个导体的电势相等。 设导体表面所带电荷面密度为σ，设它外面的介质电容 率为ε，导体表面的边界条件为
( x)
( x)dV 40 r
9
二、静电势的微分方程和边值关系

2.1静电场的标势及其微分方程.

2.1静电场的标势及其微分方程.

ˆ ( E E ) 0 n 2 1 ˆ ( D D ) n 2 1
由此，可导出电势所满足的边值关系：
结束
第二章∶静电场
任意两种介质分界面情况
在界面两边附近任取 h 2 两点P1和P2 ，它们与界面 h1 距离分别为h1和h2 ，则 P1 1
A
f
因而相距为
dl 两点的电势差为
d E dl
结束
第二章∶静电场
又
d dx dy dz dl x y z
所以
E
既：电场ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ度是电势的负梯度。 讨论 空间某点电势无物理意义，只有两点的电势差才有 物理意义。电势差的意义为电场力将单位正电荷从P1 移到P2点所作功负值。
2、静电势的微分方程
(differential equation of electrostatic potential)
如果电荷周围有导体，那么物理机制为：
给定电荷分布 求空间一点 电场分布 感 应电荷分布 而场引起导体上 而感应电荷分布反过来引起
为简化问题，可把电荷和电场相互作用规律用 微分方程描写，而把周围导体或介质作为边界条件 处理。这样把求解静电场问题转化为解一定边界条 件下的微分方程问题。因是标量，求解的微分方 程比直接求解电场强度要简单。
第二章∶静电场
第二章
静电场
Electrostatic field
结束
第二章∶静电场
本章研究的主要问题是：在给定的自由电荷分 布以及周围空间介质和导体分布的情况下，如 何求解电场。静电问题一般通过静电势求解。 静电场的特点
① H B 0 Jf 0 ② E, D, P, , 等均与时间无关。

静电场的标势及其微分方程


布的空间，更不能认为存储于电荷；
只是对于静电场，能量才可表为
W
1 2
dV
这表明电场能量与电荷分布有关 。
对于随时间变化的电场，磁场亦要激发电场，电场总能量 不能完全通过电荷分布来表示。
8
(P)(O)PE dlE 0r
O
设坐标原点O 的电势为零
(P)E 0r
均匀电场不衰减，不宜选无穷远处为零势点。
导线单位长度带有电荷为t, 在P 点
i si
S
第一种情形：给定外表面上电势
SSS0 上式左端积分为零。
第二种情形：给定外表面处法向微商
0 nS nS nS
上式左端积分也为零。
14
i 2 d V 0 c o n s t. i V i
电势附加常量对电场无影响，所以电场是唯一确定的。
第一类：给定导体表面上的
i
n
或 i
第二类：给定导体上的电荷 Q i
1
E0Rcos
n
bn Rn1
Pncos
2 n cnRnPncos
23
➢ 在介质球表面处，电势满足
1
2
0
1 n
2 n
E0R0P1n
0E0P10
Rb0nn1Pn n cnR0nPn
n
(n1)bn R0n2
Pn
n
nncR0n1Pn
勒让德函数是相互正交独立的函数，所以对于不同的n 值，
40
Mli mln11
1R/ M2 1R0 /M2
R2 R02
（利用了洛比 达法则）
R2 R
40
lnR02
20
ln R0
设P0点为电势零点
(P) ln R

静电场的标势及其微分方程


介质的电磁性质方程：Dv
v E
2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
1、静电场的标势
静电场的Maxwell方程为：
v
D
v E 0
自由电荷分布
是电位移
v D
的源
静电场是无旋场
➢静电场的无旋性表明电场沿任意闭合回路L的环量等于零
vv
Ñ L E dl 0
蜒 v v v v
E dl E dl 0
v D
vv
对于各向同性线性均匀介质有： D E
v E
v
E
2
Poisson方程，静电势满足的基本 微分方程
7
讨论： (1) Poisson方程的求解，必须给定边界条件。
2
(2) 若介质为不同类型的均匀介质组成，则对于每种介质，建立 Poisson方程，而在介质分界面上建立合适的边值关系以及边界条件。
➢ 导体内部不带净电荷，净电荷只能分布于导体表面上
由高斯定理
S E dS
q
0
可知，q=0
➢ 导体表面上电场必沿法线方向，导体表面为等势面，整
个导体为等势体
由
v E
可知，
为常量，因而是等势体；如果导体表面上的电场
不沿法线方向，则必有切向分量，因而电荷将沿切线方向移动
11
3）导体表面的边值关系
2 S12 常数
静电场
静电场的基本特点：
电荷静止
v J
vv
0
场量不随时间变化 物理量 =0
t
静电场的基本问题：
给定自由电荷的分布，以及周围空间介质或 导体的分布，运用电磁场理论求解带电体系 的电场。
1
解决静电问题的基本方程：

第1节标势及其方程

E E 0 E 0 E

（1）
2
（2） 代入（1）式：

2 0 称为泊松方程，在 时： 0
称为拉普拉斯方程。
得到了两种求静电势的方法
2

( x1 ' , x2 ' , x3 ' )
2 ( P2 ) 1 ( P 1 )
P 1 P 1
E dl
P 令： 且在界面两侧场量有限 1P 2 0

则有：
P 1
P 1
E dl 0
2 ( P2 ) 1 ( P 1)
在边界面上同一点两侧电势相等。或， 在交界面两侧电势连续。
证明：电场强度的边值关系
1 2
对均匀介质有 D E E n D n E n ( )n
n n ( D2 D1 ) f
代入 即得
D2n D1 f
2 1 2 1 n n
令：

1 4 0
1

( x1 ' , x2 ' , x3 ' )
r
v
dV '
在均匀无限大介质中（介电常数为 ）

4
( x1 ' , x2 ' , x3 '示
( x1 ' , x2 ' , x3 ' )r 1 E dV ' 3 4 0 v r f (r ' ) P (r ' ) r 1 E dV ' 3 4 0 v r ( x1 ' , x2 ' , x3 ' )r 1 E dV ' 3 4 v r

1第二章-静电场

（3）球壳带总电荷Q，因而

1 R2d
2 R2d Q
RR3 R
RR2 R
0
由这些边界条件得 a 0，b Q Q1 ，
c Q1 ，d Q1
40 40
4 0 R1
4 0
其中
Q1


R11

R31 R21

R31
Q
利用这些值，得电势的解
若问题具有球对称性
a b
R
2. 柱坐标一般用于二维问题
二维问题的解：
( A0 B0 ln r)(C0 D0 )
( Anrn Bnrn )(Cn cos n Dn sin n )
n
或写成： A0 B0 ln r C0 D0 ln r
而 d dl dx dy dz
x y z
所以 E
由以上讨论可知，若空间中所有电荷分布都
给定，则电场强度和电势均可求出。但实际情况
往往并不是所有电荷都能预先给定，因此，必须
求电荷与电场相互作用的微分方程。
二、静电势的微分方程和边值关系
1. 泊松（Poisson)方程
) cos
m

n,m
(cnm R n

dnm R n 1
)Pnm (cos ) sin
m
anm, bnm, cnm, dnm为积分常数，在具体问题中由边 界条件确定。
若问题具有轴对称性，取此轴为极轴，通解为

n
(an Rn

bn R n 1
)Pn
(cos

)
其中 P0 cos 1， P1cos cos，
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cn
cn bn 0
所以
1
2
E0 R
cos
0 20
3 0 20
E0R cos
E0 R03 R2
cos
(R R0 ) (R R0 )
25
1）球内电场
E
2
eR
R
e
1 R
e
1
R sin
3 0 20
E0R cos
3 0 20
E0
cos
eR
3 0 20
E0
sin
e
15
对于第i个导体，选择包裹该导体的 封闭曲面为高斯面，
Si
E dSi
Qi
Si
dSi
Qi
dS Qi
Si n
法线方向由导体内指向外。
（反证法）设有两个不同电势均满足Poisson方程，令
2 0
Ñ 对于每个导体
Si
dS
n
dS
Qi
Qi
Ñ Si n
dS 0
Si n
1
§1 静电场的标势及其微分方程
对于静电场
E
B
t
引入标势（标量函数）
E 0
E
E dl
dl
x
ex
y
ey
z
ez
dxex
dyey
dzez
dx dy dz d
x y z
2
对于空间中两点
P2
E
dl
P1
P2 P1
d
P2 P1
➢ 静电场电场强度的积分与路径无关，只取决于初末位置。 ➢ 标势就是电磁学中的静电势。
10
对于无穷长的导线
(P)
(P0 )
4 0
lim
M
ln
1 1
1 R / M 2 1
1 R0 / M 2 1
1 R / M 2 1 R0 / M 2
4 0
lim
M
ln
1 1
1 R / M 2 1 R0 / M 2
R2 R02
4 0
ln
R2 R02
2 0
ln
R R0
40 R2 z2
40
1
z2 R
ln R2 z2
4 0
9
积分结果是发散的。这是由于电势零点（无穷远处）选择不当 造成（电荷分布至无穷远），重新选择在面上距离导线R0 的P0 点为零点，仅考虑-M 到M 的有限导线，
(P) (P0 ) (P) () (P0 ) ()
ln z
M
R2 z2
2 R1 0
2 R2
1 R3
c d 0
R1 d
b
c a
R2
R3
选择包含球壳的面为高斯面（有两个球面）
E dS
2
R2
dS
1
R3
dS
R2
2
R
dS
R3
1
R
dS
2 R2d 1 R2d Q
R2 R
R3 R
0
21
无穷远处电势为零， a 0
a 0
c
E0
这正好是球外电势中的第二项。
实际运用：静电选矿
矿石粉碎为小颗粒，每个颗粒电偶极矩
p
( 0 ) 20
4 0 R03 E0
在外场中，电偶极子所受力为
F
q(E2
E1 )
ql
(E2
l
E1 )
ql
(
E2
l
E1 )
p E l
p(E
el
)
电偶极矩与电容率有关，不同矿物质所受外电场的作用力不
16
对于扣除导体的空间体积
r
Ñ dS
dV
2
dV
2dV
2 dV
V
V
V
V
导体表面电势是常数， const （不能写为零）
Si
() dS dS
dS 0
Si
Si Si
n Si Si
在区域外表面， 0。所以， Se
()2 dV 0 0 电场唯一确定。
V'
Ex. 可以猜想，电场强度
ln z
4 0
M 40
ln z 40 z
M
R2 z2
R02 z 2 M
M
R02 z 2 M
ln M R2 M 2 M R2 M 2 40 M R02 M 2 M R02 M 2
1 1 R / M 2 1 1 R / M 2
ln
40 1 1 R0 / M 2 1 1 R0 / M 2
E0
球内电场比原电场弱。
26
2）介质球内的极化强度 介质球的总电偶极矩
P
e
0
E
(
0
)E
( 0 ) 20
3 0
E0
p
V
dp
V
PdV
4
3
R03P
电偶极矩激发电场的电势
e0E
p
R
4 0 R 3
(
0)E
( 0 ) 20
( 0 ) 20
R03 E0 R2
cos
4
0
R03
i Si
i vi
对于上式左端积分，在分界面两边，有
dsi ds j
所以，在内部分界面上的积分为0， i dsi
dS
i si
S
第一种情形：给定外表面上电势
S S S 0
上式左端积分为零。
第二种情形：给定外表面处法向微商
0
n S n S n S
上式左端积分也为零。
它们的系数应该相等。
比较P1的系数，
E0R0
b1 R02
c1R0
0
E01
0
2b1 R03
c1
b1
0 20
E0 R03
c1
3 0 20
E0
24
比较Pn (n不为1)的系数，
Rb0nn01(Rn0nR120)nbcnn nR0n1cn
bn
R0
c 2n1 n
bn
nR02n1 0 (n 1)
5
电势的另一边值关系由电场法向分量边值关系得到，
n
D2
D1
n 2
E2
n
1E1
2n2 1n1
d
dl
ndn
n
n
2
2
n
1
1
n
j 为导体外表面附近的电势，法向由导体内指向导体外
const.
n
6
线性介质中静电场的总能量
1 r r
W
2
E
DdV
1 2
r D
dV
3 0 20
E0 (cos
eR
sin
e )
如右图所示，
eR ez cos ex sin e ez sin ex cos
cos eR ez cos2 ex sin cos
sin
e
ez sin
2
ex sin
cos
cos eR sin e ez
E
3 0 20
E0ez
3 0 20
E1
A r3
r
➢ 这样的电场强度对应的 电势满足Poisson方程。
E2
A r3
r
➢这样的解在介质分界面处满足边值关系：
电场强度切向分量连续，电位移矢量法向
分量连续；导体表面是等势面。
17
只要满足导体球上带电量为Q 的条件，由唯一性定理，猜想的 电场就是要求的解。
作一包裹导体球的Gauss面，
D d S 1E1 d S 2E2 d S 1
S1
S2
A a2
2 a2
2
A a2
2 a2
2
A1 2
Q
A
2
Q
1
2
E1
2
Q
1 2
r3
r
E2
2
Q
1 2
r3
r
1 2
D1r D2r
1E1r
1Q
2 1 2
2D2r
2Q
2 1 2
r
3
r
r
3r
18
§3 拉普拉斯方程 分离变量法
在两均匀介质分区的分界面上
i j
, i j
i
n i
j
n
j
,
i
n
i
j
n j
i j
i
n
i
j
n
j
13
对第i 个均匀介质分区，运用高斯定理，有
i
dsi
i dvi
i 2 dvi
i2dvi
si
vi
vi
vi
i 2 dvi
i
dsi
vi
i 2 dvi
Q1
4 0 R1
b Q Q1
40 40
d Q1
4 0
Q1
R11
R31 R21
R31
Q
1
Q Q1
4 0 R
2
Q1
4 0
1 R
1 R1
(R R3) (R2 R R1)
现求解导体球上感应电荷，选择包裹导体球的球面为高斯面，
蜒 蜒 Q
0
R1
r E
r dS
R1
1
r dS
R1
1
R
dS
P2
(cos
)
1 2
(3 cos 2