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2.1静电场的标势及其微分方程

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《电动力学第三版》chapter2_1静电场的标势及其微分方程

《电动力学第三版》chapter2_1静电场的标势及其微分方程

解：整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球面上，
可知球面上的电势为
a
Q
4π 0 a
因此静电场总能量为
W12VdV12Qa
W Q2
8 0a
静电场总能量也可以由 E, D求出. 因为球内电场 为零，故只需对球外积分
1
W2EDdV
W0 E2dV0
2
2
Q2
(4π0r2)2
r2drd
Q2
8π0
第二章 静电场
电磁场的基本理论应用到最简单的情 况：电荷静止，相应的电场不随时间而变 化的情况.
在给定自由电荷分布以及周围空间介 质和导体分布的情况下，求解静电场.
E0
Edl 0
静电场对电荷做功与路径无关. 设C1和C2为连接P1和
P2点的两条不同路径，则
EdlEdl
C1
C2
静电场是无旋场，故可引入标量场，静电势 (x,y,z)
(x)
(x)
E(x)
静电场是电荷分布与电场的稳定平衡状态下的场.
2. 静电势的微分方程和边值关系
对各向同性、线性介质
D E D ()
若是均匀介质
2 ——泊松方程
其中ρ为自由电荷密度.
描述均匀、各向同性、线性介质中静电场的基 本方程：泊松方程.
泊松方程是静电势满足的基本微分方程. 给出边
W
1 2
dV
(1) 上式只能用于计算静电场的总能量.
(2) 1 不是能量密度. 2
仅对静电场成立，/2不代表能量密度.
电荷分布 所激发的电场总能量
W 1 24 π 1 d V d V 'ρ x r x '
例1 求均匀电场的电势.

2-1_静电势及其微分方程

2-1_静电势及其微分方程
2-9
Qf
二、静电势的微分方程和边值关系 静电势的微分方程和边值关系 1.电势满足的方程 电势满足的方程 电势 泊松方程 导出过程
ρ ∇ ϕ =− ε
2
适用于均 匀介质
r 2 ⇒ε∇⋅ E = −ε∇⋅ ∇ϕ = −ε∇ ϕ = ρ
拉普拉斯方程
2-10
r r D = εE,
r E = −∇ϕ
r ∇⋅ D = ρ
Q
P
a
A 2 ϕ = + B (r > 0) 满足 ∇ ϕ = 0 r
2-20
(r > a)
r r ∇⋅ ∇ϕ ∝ −∇⋅ 3 = 0 r
(r ≠ 0)
r → ∞,ϕ → 0
B≡0
A ϕ= r
∂ϕ Q = − ε0 dS = ε 0 dS = ∂r r=a a2
∫
∫
∂ϕ ∂ϕ A = =− 2 ∂n ∂r r ε 0 A4π a2 A
σf =0
σ p = ε0 (E2n − E1n )
电磁性质方程： 电磁性质方程： 静电平衡时的导体： 均匀各向同性线性介质： ② 静电平衡时的导体： ① 均匀各向同性线性介质 r r r r r 导体内 J = σE = 0 σ ≠ 0 （ ） P = χeε0 E = (ε − ε0 )E r r r r r r r r E, D, P, ρ,L= 0 (D = ε0 E + P) D = εE σ 外表面 E = En = , Et = 0 r ε0 ε ρP = −∇⋅ P = ( −1)ρ ε 电荷分布在表面上， 电荷分布在表面上，电 r r r σ P = −n ⋅ (P − P ) 场处处垂直于导体表面 2 1
注意：考虑了束缚电荷， 注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质

电动力学课件：2-1-静电势及其微分方程1

电动力学课件：2-1-静电势及其微分方程1

① 知的道选择即不可唯确一定，相E差一个常数，只要
② 取负号
③ 满足迭加原理
Q
E E1
E1 E2
1
E2
2
\ 1 2 (1 2 )
2、电势差
d dl E dl
空间某点电势无物 理意义，两点间电 势差才有意义
Q
P Q
E dl
P
① 电场力作正功，电势下降 ( Q P ) 电场力作负功，电势上升 ( Q P )
1 1 r r 2l cos 2l cos
r r
r r
R 2 l 2 cos2
R2
(P) 2Ql cos 2QlRcos p R
4 0 R2
4 0 R3
4 0 R3
3. 42页例2 4．带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。
电荷分布在有限区，参
考点选在无穷远。根据
Q
P
对称性，导体产生的场
因为电荷分布在无穷区域，可选
R
空间任一点为参考点，为方便取
y
坐标原点电势
0 x
0 0 P
0
(P)
E
P
dl
E0
dl
P
E0
0
dl
E0
R
(P) 0 E0 R( 0 E0Z 0 E0Rcos )
2. 电偶极子产生的电势
解：电偶极子： 两个相距为
2l
的同量异号点电荷构成的
|s 常数
n s
Q dS dS
S
S n
En

三．静电场的能量
仅讨论均匀介质
1. 一般方程： 能量密度
w
1
E
D
2
总能量

静电场

静电场

1Q (1
2
)a
2
，
2

D2r

2Q 2 (1 2 )a2
问：为什么内球面上面电荷分布不对称，而场强却能保持球对称？
补充题：平行板电容器充满电容率为的均匀介质，介质中
均匀分布着体密度为的电荷，两板间距为d，电势差为U
，
0
现有三人计算出电容器中的电势分布为： d
1

S
n
S
，以及每个导体的电势i
（第一类问题的唯一性定理）或给定每个
Si
导体上的总电荷Qi
（第二类问
Si
题
的
唯
一
性定
理
）
，
则V
中的电场
有
唯一的解。
证明：(第一类)采取反证法，假定解不唯一，有二不同
的解，然后证明二 解相等。
设1，2都是解，则有： 21 2 2



在电磁学和电磁场理论书籍中，常常把
1
2
Q 边值关系叫边界条件，但二者一般情况
1
2 S
下是不同的。边值关系反映的是在所研 究区域内场方程在分界面上的体现；边
界条件反映的是区域边界外的电荷对区
域内的影响。
静电场的能量
在均匀各向同性线性介质中，静电场的能量为
W

1 2

E D dV
静电场的特点
① J 0

② E, B, , P 等均与时间无关


③不考虑永久磁体（M 0） ④ B H 0



（ H 0, B 0 ，H B 0 为唯一解）

015-2第2章 静电场-1-静电场的标势及其微分方程

015-2第2章 静电场-1-静电场的标势及其微分方程

₪静电场1.静电场的标势2.静电势的微分方程和边值关系3.静电场能量静电场2.1静电场的标势及其微分方程第2章₪静电场1.静电场的标势(２) 电标势的定义根据静电场无旋性，电场中任一闭合回路L 的环量等于零，C1、C 2是点a 到点b 的两条不同路径 1212d 0d d 0d d 功与路径无关L C C C C b a E l E l E l E l E l b a E dlC 1C 2a bL₪静电场1.静电场的标势(4) 电势参考点在有限的电荷分布于有限区域的情况下，可以选择无穷远处作为零电势参考点，则每一点的电势实际是该点与无穷远点的电势差，因而是有确定的物理意义的。

=PPP P E dl E dl1.静电场的标势(5) 零电势参考点的选取1.有限电荷分布于有限自由空间的情况，选取无穷远处作为零电势参考点；2.对于接地的带电体，选取地球或者接地处、或者接地的导体，作为零电势的参考点、或者参考面、或者参考体；QQ₪静电场₪静电场1.静电场的标势(5) 零电势参考点的选取3.对于电路而言，选取地线为零电势参考线；4.对于无限电荷分布于无限空间，根据题目条件选取参考点。

0地线火线零线拉线开关三孔插座₪静电场1.静电场的标势(6)电势与电场的关系PP E dl E 电势与电场可以由上面两个式子共同决定，相互制约的。

可以看出，只要确定电场分布或者电势的其中一个物理量，另外一个物理量就可以确定。

而且电场强度的方向是电势梯度方向（电势改变最快的方向）。

1.静电场的标势(７)关于电势的五点说明1.引入电势的优点：如果知道电势，只需要通过计算梯度，即可求出电场强度矢量。

这说明电势和电场强度矢量所包含的信息量是一样的，但是电场强度矢量有三个分量，而电势只是一个标量，因此通过引入电势这个量，可以将矢量问题约化为标量问题。

₪静电场₪静电场1.静电场的标势(７)关于电势的五点说明3.参考点的选择是任意的，选择不同的参考点电势会增加一个常数K ，K 是电场强度矢量在两个参考点之间的线积分。

静电场的标势及其微分方程

静电场的标势及其微分方程

介质的电磁性质方程：Dv
v E
2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
1、静电场的标势
静电场的Maxwell方程为：
v
D
v E 0
自由电荷分布
是电位移
v D
的源
静电场是无旋场
➢静电场的无旋性表明电场沿任意闭合回路L的环量等于零
vv
Ñ L E dl 0
蜒 v v v v
E dl E dl 0
v D
vv
对于各向同性线性均匀介质有： D E
v E
v
E
2
Poisson方程，静电势满足的基本 微分方程
7
讨论： (1) Poisson方程的求解，必须给定边界条件。
2
(2) 若介质为不同类型的均匀介质组成，则对于每种介质，建立 Poisson方程，而在介质分界面上建立合适的边值关系以及边界条件。
➢ 导体内部不带净电荷，净电荷只能分布于导体表面上
由高斯定理
S E dS
q
0
可知，q=0
➢ 导体表面上电场必沿法线方向，导体表面为等势面，整
个导体为等势体
由
v E
可知，
为常量，因而是等势体；如果导体表面上的电场
不沿法线方向，则必有切向分量，因而电荷将沿切线方向移动
11
3）导体表面的边值关系
2 S12 常数
静电场
静电场的基本特点：
电荷静止
v J
vv
0
场量不随时间变化 物理量 =0
t
静电场的基本问题：
给定自由电荷的分布，以及周围空间介质或 导体的分布，运用电磁场理论求解带电体系 的电场。
1
解决静电问题的基本方程：

第1节标势及其方程

E E 0 E 0 E

（1）
2
（2） 代入（1）式：

2 0 称为泊松方程，在 时： 0
称为拉普拉斯方程。
得到了两种求静电势的方法
2

( x1 ' , x2 ' , x3 ' )
2 ( P2 ) 1 ( P 1 )
P 1 P 1
E dl
P 令： 且在界面两侧场量有限 1P 2 0

则有：
P 1
P 1
E dl 0
2 ( P2 ) 1 ( P 1)
在边界面上同一点两侧电势相等。或， 在交界面两侧电势连续。
证明：电场强度的边值关系
1 2
对均匀介质有 D E E n D n E n ( )n
n n ( D2 D1 ) f
代入 即得
D2n D1 f
2 1 2 1 n n
令：

1 4 0
1

( x1 ' , x2 ' , x3 ' )
r
v
dV '
在均匀无限大介质中（介电常数为 ）

4
( x1 ' , x2 ' , x3 '示
( x1 ' , x2 ' , x3 ' )r 1 E dV ' 3 4 0 v r f (r ' ) P (r ' ) r 1 E dV ' 3 4 0 v r ( x1 ' , x2 ' , x3 ' )r 1 E dV ' 3 4 v r

1第二章-静电场

（3）球壳带总电荷Q，因而

1 R2d
2 R2d Q
RR3 R
RR2 R
0
由这些边界条件得 a 0，b Q Q1 ，
c Q1 ，d Q1
40 40
4 0 R1
4 0
其中
Q1


R11

R31 R21

R31
Q
利用这些值，得电势的解
若问题具有球对称性
a b
R
2. 柱坐标一般用于二维问题
二维问题的解：
( A0 B0 ln r)(C0 D0 )
( Anrn Bnrn )(Cn cos n Dn sin n )
n
或写成： A0 B0 ln r C0 D0 ln r
而 d dl dx dy dz
x y z
所以 E
由以上讨论可知，若空间中所有电荷分布都
给定，则电场强度和电势均可求出。但实际情况
往往并不是所有电荷都能预先给定，因此，必须
求电荷与电场相互作用的微分方程。
二、静电势的微分方程和边值关系
1. 泊松（Poisson)方程
) cos
m

n,m
(cnm R n

dnm R n 1
)Pnm (cos ) sin
m
anm, bnm, cnm, dnm为积分常数，在具体问题中由边 界条件确定。
若问题具有轴对称性，取此轴为极轴，通解为

n
(an Rn

bn R n 1
)Pn
(cos

)
其中 P0 cos 1， P1cos cos，

2.1静电场的标势及其微分方程


总结静电场的能量表达式 1. 一般方程： 能量密度
1 w ED 2
1 总能量 W E DdV 2 2. 若已知 , 总能量为 1 W dV 2 V

1 不是能量密度 2
由 E 和 D 得 E D D (D) D (D)
因此 即
1 1 W d (D)d 2 2
1 1 W d D ds 2 2 s
例题
0
0 P 0 ( P) E dl E0 dl E0 dl E0 R
0 P P 0
( P) 0 E0 R( 0 E0 Z 0 E0 R cos )
2. 电偶极子产生的电势
Q P
P
Q
0
所以 即
P Q
1 S 2
S
此式可以代替
（2）另一边值关系
由于
结合 E
n ( D2 D1 )
D E
2 2 n
因此，在两种不同介质的 分界面上，电势满足的
S
1 1 n

S
关系为
2 S 1 S 2 1 1 2 n S n
Q P
Q
Pபைடு நூலகம்
E dl
① 电场力作正功，电势下降 ( Q P ) 电场力作负功，电势上升 ( Q P )
② 两点电势差与作功的路径无关 ( E dl 0) L
3. 电势零点的选择 （1）电荷分布在有限区域， 通常选无穷远为电势 参考点 0 (Q )

电动力学第二章

若轴对称，
u()abln
§3拉普拉斯方程——分离变量法 例2：电容率为 的介质球置 于匀强外场 中，求电势 解： 设：球半径为 ，球外为真空， 该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外场 方 向的轴线。取此线为轴线，球心为原点建立球坐标系。 以原点为电势0点， 为球外势， 为球内势能
1
写出通解 通解为
上给定
（i）电势 S
或
（ii）电势的法向导数
n S
若求解区域内有导体存在，还要给定各导体上的电
势或导体上的电荷。
则V内的电场唯一地确定。
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． 例如：① 电容器内部的电场是由作为电极的两个
导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是 由分布于电极上的自由电荷决定的。
当带电体为一点电荷
静电场标势 静电势的微分方程
a.边界条件
由边界条件
导体的静电条件归结为：
①导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面 上。
②导体内部电场为零。
③导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表 面为等势面，整个导体的电势相等。
§1 静电场的标势及其微分方程 1。静电场标势 2。静电势的微分方程
的梯度、散度、旋度公式
§4 镜象法
一、研究的问题 在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷， 区域边界是导体或介质界面
二、镜象法的基本思想 在所求场空间中，使用场空间以外的区域某个 或某几个假想的电荷来代替导体的感应电荷或 介质的极化电荷
§4 镜象法
三、理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在 所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在 的“镜象电荷”来代替真实的导体感应电荷或 者介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时 候必须保证原有的场方程，边界条件不变
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S
（3）导体表面上的边值关系 导体内部有自由电子，在电场作用下这些电子就 会运动。因此，在静止情况下，导体内部电场必须为 零，而且导体表面上的电场亦不能有切向分量，否则 电子将沿表面运动。 导体内部没有电场的必要条件是导体内部不带电， 导体所带电荷只能分布于表面上。 因此，导体的静电条件归结为： a)导体内部不带电，电荷只能分布于导体外表面上； b）导体内部电场为零； c）导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为 等势面。 d)整个导体的电势相等。
例题
0
0 P 0 ( P) E dl E0 dl E0 dl E0 R
0 P P 0
( P) 0 E0 R( 0 E0 Z 0 E0 R cos )
2. 电偶极子产生的电势
满足迭加原理
E E1 E 2 E1 1 E 2 2 ( ) 1 2 1 2
2.电势差
d dl E dl
空间某点电势无物 理意义，两点间电 势差才有意义 电势差为电场力将 单位正电荷从P移 到Q点所作功负值
总结静电场的能量表达式 1. 一般方程： 能量密度
1 w ED 2
1 总能量 W E DdV 2 2. 若已知 , 总能量为 1 W dV 2 V

1 不是能量密度 2
由于导体表面为等势面，因此在导体表 面上电势为一常数。将介质情况下的边 值关系用到介质与导体的分界面上，并 考虑导体内部电场为零，则可以得到边 值关系。
| s 常数
n s
三、静电场的能量
已知在线性介质中静电场的总能量为
1 W E Dd 2
在静电情形下，能量W可以用电势和电荷表出。
P

P
E dl
P点电势为将单位正 电荷从P移到∞电场 力所做的功。
（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考 点，否则积分将无穷大。
4.电荷分布在有限区几种情况的Q ( P) dl 3 2 P 4 r P 4 r 4 0 r 0 0
注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质 用真空中的
，而
0 。这由
p E 0
决定。
二、静电势的微分方程和边值关系 1.电势满足的方程
对于各向同性线性均匀介质有
D E, D 由于 E 2 E
介质分界面上的束缚电荷：
P f n ( E 2 E1 ) 0
f 0
p 0 E2n E1n
电磁性质方程： ① 均匀各向同性线性介质： ② 静电平衡时的导体： 导体内 J E 0（ 0） P e 0 E ( 0 ) E E , D, P , , 0 ( D 0 E P) D E 外表面 E En , Et 0 0 P P ( 1) 电荷分布在表面上，电 P n ( P2 P1 ) 场处处垂直于导体表面
1 的使用注意几点： W d 2
（2）适用于求总能量（如果求某一部分能量时，面
1 积分项 D ds 0 ）； 2 s （3）不能把 1 看成是电场能量密度，它只能表
2 示能量与存在着电荷分布的空间有关。
1 的形式在空间 真实的静电能量是以密度 w E D 2 连续分布，场强大的地方能量也大；
第二章 静 电 场
本章重点：
静电势及其特性、分离变量法、镜象法 本章难点： 分离变量法（柱坐标）、电多极子
静电场的基本特点：
① ② 等均与时间无关 ） ④ ， 为唯一解）
③不考虑永久磁体（ （ 基本方程：
边值关系：
n ( E 2 E1 ) 0 n ( D2 D1 )
§2.1 静电势及其微分方程
本节主要内容 一、静电场的标势 二、静电势的微分方程和边值关系 三、静电场的能量
一、静电场的标势
1．静电势的引入
静电场标势 [简称电势]
E 0

E
① 的选择不唯一，相差一个常数，只要 知道 即可确定 E ② 取负号是为了与电磁学讨论一致 ③
（2）电荷组
( P)
4
i 1
n
Qi
0 i
r
（3）无限大均匀线性介质中点电荷

Q 4 r
点电荷在均匀介质中 的空间电势分布（Q 为自由电荷）
（4）连续分布电荷
( P)

V
( x )dV 4 0 r
1.求均匀电场 E0 的电势.
解：均匀电场中每一点电场均相同，其电场线为 一组平行线。由于电荷分布在无穷区域，可选空 间任一点为参考点，为方便取坐标原点电势
z
解：电偶极子： 两个相距为
P
系统偶极矩 P 2Ql ez
P点电势：
2l 的同量异号点电荷构成的
Q
r
R r 2l
y x -Q
Q 1 1 ( P) ( ) 40 r r
（无穷远为零点）
(l R)
求近似值：
r R l 2Rl cos
2 2 2
1 2l cos r R 1 2l cos / R R(1 ) R l cos 2 R
同理
r R l cos
1 1 r r 2l cos 2l cos 2 2 2 2 r r r r R l cos R 2Ql cos 2QlR cos pR ( P) 2 3 4 0 R 4 0 R 4 0 R 3
x y 平面为等势面（Z = 0的平面）。
若电偶极子放在均匀介质 中（无限大介质）：

PR 4 R 3
(l R)
均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电 荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与 束缚偶极子产生的势的迭加，设 Q p 为束缚电荷，
0 0 Q p (1 )Q Pp 2QPl ez 2Ql ez ( 1) P Pp R 0 PR PR PR [1 ( 1)] 3 3 3 3 40 R 40 R 40 R 4 R
由 E 和 D 得 E D D (D) D (D)
因此 即
1 1 W d (D)d 2 2
1 1 W d D ds 2 2 s
Q P
P
Q
0
所以 即
P Q
1 S 2
S
此式可以代替
（2）另一边值关系
由于
结合 E
n ( D2 D1 )
D E
2 2 n
因此，在两种不同介质的 分界面上，电势满足的
S
1 1 n

S
关系为
2 S 1 S 2 1 1 2 n S n
（4）W 1 d 中的 是由电荷分布 激发的电
势；
2
（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没 有独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。
（6）若全空间充满了介电常数为ε的介质，且得到
电荷分布ρ所激发的电场总能量
1 ( x ) ( x ) W d r d 8
Q P
Q
P
E dl
① 电场力作正功，电势下降 ( Q P ) 电场力作负功，电势上升 ( Q P )
② 两点电势差与作功的路径无关 ( E dl 0) L
3. 电势零点的选择 （1）电荷分布在有限区域， 通常选无穷远为电势 参考点 0 (Q )
电势满足方程 2 0(适用于没有自由电荷分布的区域) f 2 (适用于自由电荷分布均匀的区域)
2．静电势的边值关系 • 两介质分界面处
由于电场强度有限，当P点到Q点趋于0时，把电荷 由P点移到Q点时电场力做功亦趋于0，即有
Q P E dl
若我们考虑的是体系的总能量，则上式的体积
分是对全空间进行的。因此上式右边第二项的面积 分是对无穷大的面进行的。有限的电荷体系在无穷
1 1 ~ ，电场 2 远处的电势 ~ r r
，而面积~r2,故在
r→∞时，面积分项的值=0，故有
1 W d 2
讨论：对
（1）适用于静电场，线性介质；